Guiomar Mora de Reyes Margarita Mónica Rey...

Guiomar Mora de Reyes

Margarita Mónica Rey Perdomo Bibiana Cristina Robles Rodríguez

Guiomar Mora de Reyes [email protected]

Margarita Mónica Rey Perdomo [email protected]

Bibiana Cristina Robles Rodríguez [email protected]

CUARTA EDICIÓN PRELIMINAR Bogotá, D.C., enero de 2003

Precálculo una nueva visión

Cuarta Edición Preliminar

© Guiomar Mora de Reyes, Margarita Mónica Rey Perdomo Bibiana Cristina Robles Rodríguez

© Escuela Colombiana de Ingeniería Avenida 13 Nº 205-59

(Autopista Norte kilómetro 13, costado occidental) Fax 6762655 Bogotá

www.escuelaing.edu.co

ISBN 958-8060-26-5

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita de la Escuela Colombiana de Ingeniería

PPPRRREEESSSEEENNNTTTAAACCCIIIÓÓÓNNN

Cuando hace algún tiempo, varios profesores de matemáticas de primer semestre tomamos la decisión de escribir una guía de precálculo, lo hicimos pensando en que tanto profesores como alumnos pudieran realizar un seguimiento ordenado de los temas, tal como se habían diseñado los cursos, sin necesidad de apegarse al libro adoptado como texto. La decisión no fue fácil. Como siempre, los arúspices de catástrofes nos decían que esa tarea era una pérdida de tiempo, ya que había numerosos libros, nacionales y extranjeros, que cubrían los mismos temas, aunque en diferente orden. Pero eso era precisamente lo que no nos dejaba tranquilos: que algunos profesores se dedicaran a seguir el texto escogido como guía, sin tener en cuenta el trabajo realizado por los coordinadores de la materia en el ordenamiento de los temas. Finalmente, este año se nos aprobó la idea de trabajar en la guía. El grupo se integró con la matemática de la Universidad de Los Andes Guiomar Mora de Reyes y las ingenieras de la Escuela Colombiana de Ingeniería Margarita Mónica Rey Perdomo y Bibiana Cristina Robles Rodríguez (Electricista la una e Industrial la otra), aparte del que escribe esta nota, Ingeniero Civil, pero también con el hobby de las matemáticas desde que era estudiante de la Universidad Nacional hace muchos años. Por cosas del destino, debí retirarme del grupo para atender otras responsabilidades dentro de la Escuela, pero estuve siempre cerca de ellas, apoyándolas en su trabajo intenso y continuo, para hoy, con gran satisfacción y algo de tristeza, apreciar el impresionante resultado de la dedicación y amor puestos en el desarrollo de este libro. Espero verlo impreso pronto en la misma forma como quedó el original, en la cual se destacan los puntos importantes que hay que recordar en cada tema y se hace hincapié sobre los errores que siempre cometen los estudiantes para que no reincidan en ellos. Sólo me queda felicitar a estas tres profesoras que, con ahínco y dedicación, acaban de terminar la primera edición de Precálculo, Una nueva visión, que será el texto para los estudiantes del primer semestre de la Escuela Colombiana de Ingeniería y guía para los profesores que dictan la materia. Ojalá les sirva de ejemplo a otros docentes, que todavía dudan si valdrá la pena escribir un libro de texto, a pesar de los muchos que ya existen en el mercado.

RICARDO QUINTANA SIGHINOLFI

Santafé de Bogotá, 25 de julio de 2000

iii

IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCCCCIIIÓÓÓNNN

I. INTRODUCCIÓN A LA PRIMERA VERSIÓN

PRECÁLCULO, UNA NUEVA VISIÓN es una propuesta para el estudio de Precálculo

diseñado con el ánimo de cubrir los temas de la Aritmética y del Álgebra desde una

perspectiva más moderna.

Aunque la rigidez de los conceptos matemáticos podría absorber cualquier estructura

innovadora, siempre es posible encontrar un camino que permita cumplir con el objetivo del

aprendizaje a partir de los recursos que el entorno nos brinda a la luz de un nuevo milenio.

Si bien los temas tratados en un libro de texto de matemáticas son los mismos que en su

momento cientos de generaciones han tenido a su alcance, las condiciones de los últimos

años exigen una presentación diferente, mucho más dinámica, con ayudas visuales

contextualizadas que ofrezcan al estudiante un sentido de pertenencia a través del

descubrimiento y la creación del conocimiento.

Más que un fin, las matemáticas son un medio de aprendizaje de las diferentes disciplinas y

profesiones. Este libro nace como inquietud de un grupo interdisciplinario en una escuela de

ingeniería en donde más que transmisión de teoría debe imprimirse en el alumno una

inmensa inconformidad que lleve a construir desde el análisis de una situación real.

La vivencia como profesores y estudiantes; como padres e hijos, como profesionales en el

campo laboral y académico nos ha formado con una capacidad de adaptación participativa

aceptando los cambios impuestos por la sociedad, pero con la mayor objetividad, con la

mente abierta y con una actitud de entrega que hace del día a día un nuevo reto de

aprendizaje y de aporte permanente. No hubiéramos concebido un proyecto que ignorara el

v

cambio de percepción en que nos hemos visto involucrados y por supuesto, la visión que del

mundo tienen los jóvenes a quienes finalmente va dirigido el resultado de este gran esfuerzo.

Cada tema en este libro ha sido desarrollado sacando el mayor provecho posible de los

recursos que aunque limitados nos han permitido delinear una primera aproximación de lo

que algún día esperamos cubra las necesidades de una importante población. Estas

necesidades, más que una simple imposición académica, deben entenderse como una

exigencia del mundo moderno que se alimenta de los grandes adelantos científicos y

tecnológicos. Aunque la infraestructura a que se tiene acceso en una sociedad como la

nuestra es bastante modesta, los medios de información nos saturan diariamente de

contenidos que deben recibirse con una actitud analítica dando lugar a la sana discusión.

La ambientación – gran innovación en este trabajo –, se ha concebido como ayuda visual

para que el estudiante haga una interpretación correcta en cuanto a los conocimientos

adquiridos que son necesarios para afrontar un nuevo tópico, la intención con que debe

estudiarse y las recomendaciones pertinentes que deben tenerse en cuenta. Una llamada de

atención como las utilizadas aquí no pretenden crear un “trauma psicológico” en el lector,

sino hacer un alto en el camino para darle a ciertos temas la importancia formal que merece,

así como recordar el cuidado con que deben manejarse los elementos teóricos en los que se

basa el concepto matemático estudiado.

Al estudiante le recomendamos leer entre líneas, sin perder detalle. La lectura ordenada

traerá los mejores resultados, ya que el programa se ha estructurado de manera progresiva

con un desarrollo en espiral. Cuando se plantee una pregunta, interróguese el por qué, el

para qué, hable con su profesor y con sus compañeros, y siempre que estudie, utilice su

cuaderno como si se tratara del diario de un viaje del cual es necesario tener los mejores

recuerdos para contárselos “a los nietos”. Si usted como aprendiz cree que el libro merece

una recomendación, una corrección, un nuevo aporte, no dude en hacérnoslo saber. Muchas

ideas de este libro han nacido como resultado de una clase, de una conversación con otros

profesores, con monitores, con amigos y con muchas otras personas a quienes la vida nos

ha dado la dicha de conocer, y a quienes hoy hacemos público nuestro agradecimiento.

El profesor que recomiende este libro a sus estudiantes como texto para su curso de

Precálculo debe saber que no todos los temas que se encuentran en un libro tradicional son

tratados en éste, ya que en la primera versión se cubren los requisitos mínimos que deben

dominarse antes de enfrentarse a un ciclo de Cálculo. En una edición posterior, seguramente

vi

se considerarán más ampliamente todos estos temas ausentes, por lo cual agradecemos los

aportes que a bien el maestro nos haga llegar.

El uso de la tecnología es un ingrediente definitivo para la realización de un curso moderno,

y aunque el tiempo no nos lo ha permitido para esta primera entrega, sabemos que es

posible alcanzar grandes logros con la ayuda de medios interactivos, puesto que ya hemos

vivido la experiencia de dirigir el aprendizaje con calculadoras y con software especializado,

lo que nos ha dado las herramientas para entregar un material que de ser utilizado con todas

las facilidades requeridas, permitirían concluir este curso con un alcance verdaderamente

actual.

Esta primera etapa es un resultado importante, pero sabemos que falta casi todo por hacer.

Queremos agradecer a nuestras familias por su paciencia, a los buenos amigos y

compañeros por su permanente motivación y ayuda desinteresada. Por supuesto también

agradecemos inmensamente a todas las personas que con sus palabras y actitudes

hubieran querido vernos desistir de nuestra idea, porque con ello nos brindaron cada día un

nuevo motivo para continuar.

II. INTRODUCCIÓN A LA SEGUNDA VERSIÓN

La primera versión de PRECÁLCULO, UNA NUEVA VISIÓN marcó una etapa importante en

el camino que venía recorriendo, desde hacía cinco semestres, la coordinación de Primer

Semestre de la ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA, y en particular, la coordinación

de Precálculo, a cargo de Guiomar Mora. Durante este tiempo, se recogió suficiente

información para desarrollar un primer bosquejo de este enfoque que pretende ante todo dar

solución a las necesidades encontradas en los estudiantes que comienzan su estudio

profesional en esta institución.

Esta segunda versión responde a las inquietudes generadas durante el segundo semestre

de 2000, por parte de los estudiantes y de los profesores que han seguido el estudio de la

asignatura con la ayuda de la primera presentación del texto. Si bien no incluye cambios

sustanciales en el desarrollo de los temas, sí se han hecho las correcciones de errores

tipográficos que se han encontrado y que son tan comunes en las primeras versiones.

Igualmente, se han revisado todos los ejercicios propuestos, se han incluido nuevos y se han

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reordenado de acuerdo con el grado de dificultad. Hacia el final del texto se ofrece además,

la respuesta para todos y cada uno de ellos.

Para el semestre anterior, el libro se dividió en una primera parte que abarcaba los temas de

Aritmética y de Álgebra y una segunda parte dedicada a Trigonometría. La segunda versión

aparece en un solo tomo que inicia en el estudio de los Sistemas Numéricos, en el Capítulo

I, y alcanza el Capítulo XXII, con las Funciones Inversas Trigonométricas. Una próxima

versión muy seguramente tratará temas aún no estudiados o dará profundidad a algunos que

por la limitación del tiempo, y por no ser prioridad para el pensum de la Escuela, no han sido

considerados.

Vale resaltar que el trabajo de las autoras no se ha limitado a la propuesta del estudio de los

temas y de la estructuración del libro, sino que ellas también se han hecho cargo de la

digitación, de la diagramación, y del diseño en general. Todo ello se logró con el uso de las

herramientas ofrecidas por Windows 98 y Windows 2000, las cuales son compatibles con

Winplot, programa ofrecido por R. Parris del Exeter College.

Nuevamente, agradecemos la oportunidad de compartir esta propuesta cuya razón de ser

radica en la discusión que alrededor de ella se genera, puesto que cada idea se convierte en

el inicio de una nueva obra.

A nuestras familias, a nuestros amigos, y aquellas personas de cuya compañía nos hemos

privado para dedicarnos a sacar adelante esta producción, extendemos sentidas excusas y

un inmenso gracias por su comprensión. Este logro también es suyo.

IIIIII.. IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN AA LLAA TTEERRCCEERRAA VVEERRSSIIÓÓNN

Algunos se preguntarán: Tercera Versión Preliminar?. Sí. Por mucho tiempo nosotras

tampoco lo creímos. Nuestros amigos y familiares se negaban a creer que aún nos quedaran

fuerzas para dejarlos a ellos y entregarnos de lleno a revisar, corregir y completar lo escrito

en el período intermedio del año anterior y en el inicio de éste. Pero de cualquier forma, esto

se convirtió en una necesidad cuando vimos que a lo largo del último año de trabajo,

nuestros estudiantes iniciaron un proceso como nunca lo habíamos visto en otros grupos.

Tal vez los impregnamos de todo lo que para nosotros ha sido producir un libro como el que

hoy está en sus manos.

viii

Ya en las horas de cierre de la edición, contábamos los meses que llevábamos en esta

travesía que por mucho tiempo fue tan sólo una ilusión, pero que cada día vemos

materializada, y por fortuna, para nosotras, en mejor forma. Detrás de estas páginas hay

días enteros de trabajo dedicados exclusivamente a leer, a conversar, a discutir, a

contemplar estudiantes en sus procesos de aprendizaje y aprendiendo con ellos nuevas

formas de visualizar temas que desde siempre nos enseñaron a ver como recetas

necesarias para lograr un plato no precisamente exquisito, pero sí suficiente para satisfacer

el gusto de los profesores y de los padres.

Entregada la Segunda Versión Preliminar, solicitamos atentamente a todos aquellos

profesores que utilizaron el libro como texto en sus clases, que nos dieran a conocer las

observaciones e inquietudes que a juicio de ellos eran útiles para el mejoramiento del libro.

Por nuestra parte, con nuestros estudiantes, el trabajo diario buscando errores, encontrando

nuevas formas de estudio, nuevas formas de exponer los temas fue definitivo para presentar

hoy este resultado. Vale decir que en este año estuvimos especialmente atentas a todo

aquello que en clase exponíamos cuando la inspiración nos visitaba, pero que antes no

consignábamos con el mismo cuidado ni en el momento oportuno, permitiendo que grandes

aportes se perdieran o que el esfuerzo para reconstruirlos fuera mayor.

Debemos reconocer de manera muy especial todas aquellas observaciones, llamadas de

atención e ideas que por parte del Doctor Álvaro Enrique Pachón nos esperaban diariamente

cuando se escapaba de su Decanatura y nos visitaba en nuestra oficina. Gracias a él,

descubrimos errores que pudimos corregir para esta versión y maduramos muchas de las

ideas que necesitaban de un ambiente propicio o de un cómplice que nos hiciera saber que

nuestro trabajo no era producto de un sueño o de una locura. Su apoyo permanente se

convirtió en motivación para llegar hasta aquí, pues en no pocas ocasiones hubiéramos

querido abandonar todo para recuperar nuestras familias y nuestros antiguos pasatiempos.

Aún falta mucho por hacer, pero lo que nos propusimos con los capítulos iniciales, lo

logramos. Claro, todo es susceptible de mejorar y desde ya estamos trabajando para que la

Cuarta Versión así lo demuestre.

Luego de un año de trabajo, que comprendió mucho más que la producción de esta edición,

sentimos que hemos cumplido con el compromiso que siempre nos ha unido, que nos ha

marcado y que nos ha enseñado que hay que pensar en futuro, que es un reto que se

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construye día a día y que ese es nuestro verdadero deber: descubrir lo que la vida quiere de

nosotras y hacer todo por hacerlo lo mejor posible, aunque mañana a la vida se le ocurra

otra cosa.

Quizá parezca falta de modestia, pero siempre hemos abrigado la esperanza de ver a

muchos jóvenes que viven su aprendizaje con la misma alegría que les puede causar una

serie de televisión o una carrera de Fórmula 1 con Juan Pablo Montoya arrancando en la

Pole Position. Bueno, quizá seamos simples ilusas… pero ya hemos visto los primeros y

aunque no sean muchos, ya constituyen razón suficiente para continuar.

A la Escuela Colombiana de Ingeniería, en particular a su Decanatura de Ciencias Básicas, y

a la Coordinación de Primer Semestre, y a todas aquellas personas que con su paciencia,

compañía y apoyo nos han acompañado en este año, a aquellas personas que nos abrían la

puerta para salir a altas horas de noche de la sede de la ECI, a todas aquellas personas que

nos esperaban hasta tarde en casa, sólo nos resta decirles: MUCHAS GRACIAS.

Guiomar Mora de Reyes

Margarita Mónica Rey Perdomo

Bibiana Cristina Robles Rodríguez

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CCCOOONNNVVVEEENNNCCCIIIOOONNNEEESSS

Durante el estudio del Precálculo con este texto, el lector se encontrará con una serie de figuras y dibujos, que para que logren su objetivo, es necesario que entienda:

i Antes de iniciar el estudio de un tema se requiere conocer el nivel de conocimientos, habilidades y destrezas de los estudiantes, para que tanto profesores como estudiantes, seamos conscientes de los puntos en los que se necesita un mayor énfasis.

j RECUERDE QUE… Antes de iniciar la sección, es importante revisar “la agenda” y recordar lo visto anteriormente, bien sea en capítulos anteriores o en el Colegio.

ALTO!!! No debe seguir la lectura sin antes asimilar una idea que si bien ya fue expuesta, es necesario reforzar. Es frecuente encontrar en este tipo de avisos, señales de aceptación o de rechazo:

Lo que se cataloga como incorrecto se resalta con una “equis”: El procedimiento o la interpretación correcta se confirma con un:

Aparece cuando se hace una pregunta cuya respuesta no es inmediata. Generalmente luego de trabajar ejemplos con algunas características particulares, se plantea un ejercicio que aparenta ser de mayor nivel y merece un tiempo para solucionarlo. Después se comprueba que no es tan complicado como parecía.

)

E

xi

Siempre está apuntando a un detalle en especial.

o Los anteojos reclaman especial atención hacia el detalle al que se está apuntando.

Ejemplo 1 Cuando se plantea un ejercicio como ejemplo, debe culminar con una solución. Para expresar que hemos llegado a “la meta”, se dibuja una bandera, así:

Con este símbolo hacemos referencia al ahorro de espacio que pretendemos hacer en el libro, como contribución a la conservación del medio ambiente. Esto, debido a que en ocasiones es preferible evitar el uso de papel escribiendo procedimientos que el estudiante puede desarrollar permitiendo con ellos que ejercite sus habilidades operativas. &

Ejercicios 1.1

En una sección de ejercicios se encuentran varias convenciones:

Significa que los ejercicios que se encuentran a continuación, consisten en expresiones verbales. Más que un simple trabajo operativo, exige redactar ideas ya sea para explicar una situación o para expresar con palabras lo que se presenta en forma gráfica o algebraica.

La sección de ejercicios que inicia con este icono, requiere una mayor habilidad operativa.

Los ejercicios de esta sección son de mayor nivel que los anteriores, pero las probabilidades de éxito están al alcance de la mayoría.

Estos ejercicios requieren una mayor asimilación de los conocimientos y la habilidad adquirida por los ejercicios iniciales. La sección de ejercicios que inicia con este icono, generalmente se ubica en la parte final de una sección.

V Un ejercicio que esté antecedido por este símbolo, se deberá resolver con la ayuda de la calculadora.

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ÍNDICE GENERAL CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.1 Introducción 21.2 Actividad de Diagnóstico Números Naturales 31.3 Conjunto de los Números Naturales 31.4 Sistema Numérico de los Naturales 51.5 Subconjuntos Especiales en los Naturales 61.6 Orden de las Operaciones 81.7 Conjunto de los Números Enteros 101.8 Sistema Numérico de los Enteros 121.9 Conjunto de los Números Racionales 201.10 Sistema Numérico de los Racionales. 241.11 Números Decimales 261.12 Razones y Proporciones 321.13 Regla de Tres 321.14 Porcentaje 361.15 Conjunto de los Números Irracionales 381.16 Conjunto de los Números Reales 401.17 Sistema Numérico de los Números Reales 401.18 Recta Numérica 421.19 Relaciones de Orden en los Reales 431.20 Notación de Intervalos 451.21 Otros Conjuntos Numéricos 47Ejercicios de Recapitulación 47

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

2.1 Actividad de Diagnóstico 542.2 Conceptos Básicos 552.3 Valor Numérico de una Expresión Algebraica 562.4 Simplificación de Expresiones Algebraicas 572.5 Productos Notables 602.6 Relaciones entre Expresiones Algebraicas. 642.7 Lenguaje Algebraico 66Ejercicios de Recapitulación 69

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON

POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

3.1 Actividad Diagnóstica 743.2 Ecuaciones de Primer Grado en una Variable 743.3 Cómo Resolver una Ecuación. 75

3.4 Aplicaciones de Ecuaciones de Primer Grado 803.5 Ecuaciones Lineales en Dos Variables 853.6 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones

Lineales en Dos Variables por Sustitución 86

3.7 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables por Igualación

86

3.8 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables por Reducción

87

3.9 Inecuaciones de Primer Grado en Una Variable 90Ejercicios de Recapitulación 100

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

GRÁFICA

4.1 Introducción 1064.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas 1084.3 Simetrías en el Plano Cartesiano 1094.4. Representación en el Plano Cartesiano de Puntos a

partir de las Características de sus Coordenadas 112

4.5. Representación Gráfica de Expresiones Algebraicas en el Plano Cartesiano

113

Ejercicios de Recapitulación 115 CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.1 Introducción 1205.2 Ecuaciones de las Forma y = mx 1215.3 Ecuaciones de las Forma y = mx + b 1305.4 Rectas Verticales 1365.5 Función Lineal 1375.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables:

Solución por el Método Gráfico 144

5.7 Aplicaciones 1455.8 Solución de Inecuaciones Lineales por el Método

Gráfico 148

Ejercicios de Recapitulación 150 CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE

PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

6.1 Actividad Diagnóstica 1566.2 Valor Absoluto a partir de la Interpretación

Geométrica 156

6.3 Ecuaciones Lineales con Valor Absoluto 1636.4 Inecuaciones Lineales con Valor Absoluto 1716.5 Función Valor Absoluto 176Ejercicios de Recapitulación 182

CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN

7.1 Introducción 1887.2 Factorización 1897.3 Estrategias para Factorizar 189Ejercicios de Recapitulación 194

CAPÍTULO VIII RELACIÓN DE IGUALDAD ENTRE

POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

8.1 Introducción. 1988.2 Definición de Ecuación Cuadrática 1988.3 Solución de Ecuaciones Cuadráticas por

Factorización 199

8.4 Solución de Ecuaciones Cuadráticas Completando el Cuadrado

203

8.5 Solución de Ecuaciones Cuadráticas por las Fórmula Cuadrática

206

8.6 Tipos de Solución de una Ecuación Cuadrática 2088.7 ¿Cómo Expresar una Ecuación Cuadrática como

Producto de Factores Lineales? 209

8.8 Proceso de Reversibilidad 209Ejercicios de Recapitulación 212

CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN

UNA VARIABLE

9.1 Introducción 2169.2 Solución Algebraica 2169.3 Inecuaciones con Valor Absoluto 219Ejercicios de Recapitulación 220

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

10.1 Introducción 22210.2 Ecuaciones de las Forma y= x2 22210.3 Ecuaciones de las Forma y= ax2 22310.4 Ecuaciones de las Forma y = x2 + k 22410.5 Ecuaciones de las Forma y = (x – h) 2 22610.6 Ecuaciones de las Forma y = a(x – h) 2+ k 227Ejercicios de Recapitulación 228

CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO

LINEALES CON DOS VARIABLES

11.1 Introducción 23611.2 Solución Algebraica 23611.3 Interpretación Gráfica 238Ejercicios de Recapitulación 240

CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS

12.1 Introducción 24212.2 Simplificación de Fracciones Algebraicas 24212.3 Operaciones entre Fracciones Algebraicas 24412.4 División de Polinomios 246Ejercicios de Recapitulación 248

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES

ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

13.1 Introducción 25213.2 Solución Algebraica de Ecuaciones 25213.3 Solución Algebraica de Inecuaciones 25513.4 Tablas de Signos 25713.5 Inecuaciones con Fracciones y Valor Absoluto 25913.6 Solución de Sistemas de Ecuaciones 260Ejercicios de Recapitulación 262

CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES

14.1 Introducción 26614.2 Exponentes Racionales 26714.3 Ecuaciones Irracionales en una Variable 269Ejercicios de Recapitulación 271

CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

15.1 Introducción 27415.2 Ecuaciones Exponenciales 27415.3 Logaritmos 27615.4 Ecuaciones con Logaritmos 277Ejercicios de Recapitulación 279

� CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

16.1 Introducción 28216.2 Distancia entre dos Puntos en Plano Cartesiano 28316.3 Circunferencia Unitaria 28316.4 Longitudes de Arco 28416.5 Función Coordenada 28516.6 Función Coordenada par Arcos Especiales 28816.7 Función Coordenada para Múltiplos de Arcos

Especiales 291

16.8 Arcos de Referencia 295Ejercicios de Recapitulación 296

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

17.1 Introducción 30017.2 Función y = sen ( s ) 30317.3 Función y = Asen ( x ) 30717.4 Función y = sen ( x ) + D 31117.5 Función y = sen ( x + C ) 31417.6 Función y = sen ( Bx ) 31717.7 Función y = Asen ( Bx + C ) + D 31917.8 Función y = cos ( x ) 32417.9 Función y = tan ( x ) 32917.10 Función y = cot ( x ) 33117.11 Función y = csc ( x ) 33117.12 Función y = sec ( x ) 333Ejercicios de Recapitulación 334

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON

FUNCIONES CIRCULARES

18.1 Introducción 33818.2 Relaciones de Igualdad en una Variable 33818.3 Relaciones de Igualdad en dos Variables 34118.4 Funciones Circulares para Arcos Dobles y Arcos

Medios 344

18.5 Ecuaciones Trigonométricas. 345Ejercicios de Recapitulación 347

CAPÍTULO XIX RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

19.1 Introducción 35019.2 Definición de las razones Trigonométricas 35119.3 Razones Trigonométricas en el Contexto de un

Sistema de Coordenadas 354

19.4 Aplicaciones en Triángulos Rectángulos 35719.5 Ley de Senos y Ley de Cosenos 36019.6 Problemas de Navegación 365Ejercicios de Recapitulación 367

CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS

TRIGONOMÉTRICAS

20.1 Introducción 37420.2 Funciones Inversas: Definición 374Ejercicios de Recapitulación 377

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 379

Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN

“Uno debe aprender haciendo las cosas: Puesto que aunque uno cree que las sabe hacer, no está seguro hasta que trata” Sófocles

CAPÍTULO I

SISTEMAS NUMÉRICOS

1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO NÚMEROS

NATURALES 1.3 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES 1.4 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NATURALES 1.5 SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN LOS

NATURALES 1.6 ORDEN DE LAS OPERACIONES 1.7 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 1.8 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS ENTEROS 1.9 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 1.10 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS RACIONALES 1.11 NÚMEROS DECIMALES 1.12 RAZONES Y PROPORCIONES 1.13 REGLA DE TRES 1.14 PORCENTAJE 1.15 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES 1.16 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 1.17 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NÚMEROS REALES 1.18 RECTA NUMÉRICA 1.19 RELACIONES DE ORDEN EN LOS REALES 1.20 NOTACIÓN DE INTERVALOS 1.21 OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

CAPÍTULO I

SISTEMAS NUMÉRICOS

1.1 INTRODUCCIÓN Para iniciar el curso de precálculo es necesario aclarar la diferencia entre conjuntos numéricos, sistemas numéricos y sistemas de numeración.1 Los conjuntos numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números con características comunes que los definen como una clase. Entre los más comunes, están los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Los sistemas numéricos son conjuntos de números con unas operaciones y unas relaciones definidas sobre ellos. El sistema más conocido es el formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones de orden entre sus elementos.

Por su parte, los sistemas de numeración son listas de instrucciones o algoritmos para simbolizar los elementos de un conjunto numérico. Es la forma como se simboliza o como se escribe el conjunto numérico dependiendo de la cultura. Ejemplo de estos sistemas es el conjunto de números naturales, que toma diferente forma de acuerdo con la cultura: En la cultura Árabe, se simboliza como 1, 2, 3, 4… que conforma el llamado sistema de numeración decimal. En la cultura romana, se simboliza como I, II, III, IV… y conforma el sistema de numeración romana.

Y Un buen desempeño en precálculo depende en gran parte del correcto uso de los sistemas numéricos, del vocabulario asociado a ellos, de sus operaciones y aplicaciones. Por esta razón, se iniciará este curso con una revisión de los sistemas numéricos.

1 GALLEGO GIRÓN, Gustavo. “Conjuntos numéricos y dificultades de aprendizaje en las matemáticas”.

2 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES


1.2 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO NÚMEROS NATURALES

i Completar las siguientes proposiciones: 1. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, son llamados _________________ 2. Los números 3,6,9,12,… son _________________ de 3. 3. Los números 1,2,3,4,6,12 son _________________ de 12. 4. Los números 2,3,5,7,11,… son llamados números _________________ 5. Los números 2,4,6,8,10,… son números _________________ 6. Nuestro sistema de numeración es el _________________ 7. Los números 1,3,5,7,9,11,… son números _________________ 8. En 532, el dígito 5 se encuentra en la posición de las _________________ 9. 169 es el _________________ de 13. 10. 27 es el _________________ de 9 11. 64 es el _________________ de 4 12. El más pequeño de los números naturales es el _________________

Encontrar los números naturales que cumplen las siguientes condiciones: 13. Son divisores de 96. 14. Son múltiplos de 7, menores que 100 y

mayores que 65. 15. Los divisores comunes de 24, 36 y 18. 16. Cuatro múltiplos comunes de 9,18 y 36. 17. La suma de los divisores de 36. 18. Son factores primos del número 12.168. 19. El número de divisores de 68. 20. La diferencia entre $5 millones y $350.482. 21. Son números primos entre 100 y 120.

Encontrar: 22. Mínimo común múltiplo de 38, 120 y 45. 23. Máximo común divisor de 18, 48 y 72.

Efectuar las siguientes operaciones: 24. 24634 ÷−×+ 25. ( ){ } ( ) 36183235 ×÷−−+× 26. ( )64325 ×++ 27. )([ ] 13628 −×+÷

i

1.3 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES La historia de la humanidad muestra que las diferentes culturas han buscado relacionar su entorno a partir de símbolos que con el tiempo han dado lugar al conjunto de los números naturales. En el sistema decimal se simboliza:

j i

{ },...,,,, 54321=N

Se puede observar cómo en este conjunto no existe el cero (0), pues este elemento no es tan viejo como se cree, e incluso no es aceptado por algunas escuelas de matemáticos como

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 3


elemento de los números naturales y desde el punto de vista físico no existe, pues sería aceptar la existencia del vacío absoluto. Se dice que nuestro sistema es “decimal”, palabra que se deriva del latín décima, que significa diez o diezmo. En este sistema, el cero (0) sí existe no como elemento de los números naturales, sino como símbolo, por lo cual se recurre a él para representar por ejemplo el número diez (10). Los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, son llamados dígitos. La combinación de éstos permite representar cualquier elemento de los diferentes conjuntos numéricos en el sistema decimal. El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. En estricto orden, de derecha a izquierda, las posiciones se denominan: Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil… Además, 10 unidades conforman 1 decena, 10 decenas forman una centena, y así sucesivamente. Ejemplo 1 El dígito 3 en el número 13, indica que se tienen 3 unidades y 1 decena.

El número 236 indica que se tienen 6 unidades, 3 decenas y 2 centenas.

2.379 = 9107100310002 +×+×+× ó

2.379 = 9107103102 23 +×+×+×

2.379 = 9732 ×××

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características:

A excepción del 1, todos tienen antecesor y sucesor.

No existe un último número natural. Esta última característica implica que para todo número natural, siempre será posible encontrar un número mayor. Jamás se encontrará “el mayor de todos los números naturales”. Un conjunto del cual no se conoce el número exacto de elementos por no conocer dónde comienza o cuál es su fin, se dice que es “infinito”. Para simbolizar esta característica se utiliza el símbolo . ∞

El conjunto de los números naturales

tiene INFINITOS ( )∞ elementos.

INFINITO ( )∞ es el último elemento del conjunto de los números

naturales.



1.4 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NATURALES En el conjunto de los números naturales están definidas las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.

SUMA: Se simboliza como ba + . Los términos a y b que intervienen en esta operación, son llamados sumandos, y el resultado que se obtiene, ba + , es llamado total, suma o resultado.

RESTA: Se simboliza como ba − . El término a es llamado minuendo, y el término b, sustraendo. En los números naturales no siempre es posible realizar esta operación, ya que se requiere que el minuendo sea mayor que el sustraendo.

El resultado de no existe en los naturales, porque no hay un número natural c tal que c + 9 sea igual a 5.

95 −

MULTIPLICACIÓN: Se simboliza como ba × , que es equivalente a decir:

veces abbbbb +++++ ...

Como se puede observar la multiplicación es una suma abreviada en donde a y b cumplen el papel de factores, y ba × es el producto.

DIVISIÓN Se simboliza como ba ÷ , donde a es el dividendo, b es el divisor y ba ÷ es

el cociente. La división de dos números naturales “a entre b” equivale a encontrar un número tal que Nc ∈ abc =× .

La división no siempre da como resultado un número natural. Así, no existe en los naturales, porque no existe un número natural c tal que

49 ÷94 =×c .

POTENCIACION Se simboliza como , y es equivalente a: ba

veces baaaaa ××××× ...

y se lee “a elevado a la b”, en donde a es la base y b es el exponente.

RADICACIÓN: Se simboliza n a . Donde n es el índice y a es la cantidad subradical.

Esta es una de las operaciones inversas de la potenciación, ya que ésta permite determinar la base, conociendo el resultado y el exponente. Es decir, ban

= es equivalente a . abn =

La radicación es otra operación entre naturales cuyo resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 5 no está definida en los naturales porque no existe un número natural a tal que . 52 =a

LOGARITMACIÓN: Se simboliza como , donde a es la base y b es el argumento.

Esta es otra operación inversa de la potenciación. En este caso, se determina el exponente al que está elevado un número si ya se conoce el resultado. Es decir,

es equivalente a .

balog

cba =log bac =



1.5 SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN LOS NATURALES Dentro del conjunto de los números naturales es posible encontrar elementos que por sus características particulares conforman subconjuntos especiales, como son:

NÚMEROS PARES: Un número natural a es par si se cumple que c2a =÷ con Nc ∈

{ },...,,,, 108642=P .

NÚMEROS IMPARES: Un número natural es impar si tiene un antecesor par y un

sucesor par.

{ }...,,,, 97531=I

MÚLTIPLO: Dado , se dice que c es múltiplo de a y múltiplo de b. cba =×

DIVISOR: Dados , si , ,a b c N∈ cba =× , se dice que a es divisor de c y b es divisor de c. Puede decirse también que c es divisible por a y que c es divisible por b.

Cuando se presenta un caso como 49 ÷ , señalado anteriormente, en el que se decía que su resultado no correspondía a un número natural, puede definirse además del dividendo 9 y del divisor 4, un residuo igual a 1. La forma de definir este último término puede verse en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2 Determinar el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo de la siguiente división: 435 ÷ Es claro que el resultado o cociente de la división es un número que no pertenece al conjunto de números naturales, porque no existe un número Na ∈ tal que . Sin embargo, si se suma hasta encontrar el número que se acerque más 35, se llegaría a 32 luego de sumar 8 veces 4. Lo que falta para llegar a 35 es 3. Se dice entonces que 3 es el residuo de esta división. Esta operación se simboliza así.

354 =×a444 +++ ...

35 4 3 8

DIVIDENDO

COCIENTE DIVISOR

RESIDUO

NÚMERO PRIMO: Se dice que un número natural a es primo si y sólo si tiene únicamente dos divisores distintos: el mismo número y el uno.

Descomponer un número en sus factores primos es expresarlo en el mayor

número de factores primos entre sí. Para descomponer un número en factores primos, es aconsejable seguir un orden: divisiones sucesivas por números primos de menor a mayor, empezando por el 2.



Ejemplo 3 Descomponer 224 y 504 en factores primos.

224 112 56 28 14 7 1

2 2 2 2 2 7

504252126632171

2 2 2 3 3 7

72224 5 ×= 732504 23 ××=

El procedimiento utilizado para la descomposición en factores primos de un número natural, da lugar a dos conceptos cuya aplicación es de gran utilidad en los procesos de amplificación de expresiones aritméticas, y más adelante, de expresiones algebraicas.:

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos o más números naturales es el múltiplo más pequeño y común a los números dados. Se simboliza como m.c.m. Para encontrar este número, se debe:

Descomponer cada número en sus factores primos. Efectuar el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor

exponente. Ejemplo 4 Encontrar el m.c.m. de: 40, 15, 12, 4:

40 20 10 5 1

2 2 2 5

1551

3 5

12631

2 2 3

4 2 1

2 2

5240 3 ×= 5315 ×= 3212 2 ×= 224 =

m.c.m. es igual a 1205323 =××

MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos o más números naturales es el mayor divisor común a los números dados. Se simboliza como M.C.D. Para encontrar este número, se debe:

Descomponer cada número en sus factores primos. Efectuar el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 5 Encontrar el M.C.D. de: 24, 30, 18:

24 12 6 3 1

2 2 2 3

301551

2 3 5

18 9 3 1

2 3 3

3224 3 ×= 53230 ××= 23218 ×=

M.C.D. es igual a 632 =×



1.6 ORDEN DE LAS OPERACIONES Con cierta frecuencia se deben efectuar operaciones entre números con signos de agrupación tales como: paréntesis (…), […] , llaves o corchetes {…} ó barras de fracción –, los cuales pueden presentarse independientes o anidados, es decir, cuando se presentan un par de paréntesis dentro de otros. En este caso, se establece un orden y se deben trabajar desde el paréntesis interno hasta el externo, como se ve en los ejemplos siguientes: Si la expresión no tiene signos de agrupación la prioridad de las operaciones es la siguiente, empezando siempre de izquierda a derecha:

Exponentes y raíces

Multiplicaciones y divisiones.

Sumas y restas Ejemplo 6 Efectuar la siguiente operación: ( ) [ ]2 8 5 2 3 4 2+ − − −

El ejercicio presenta dos tipos de paréntesis pero no están anidados. La forma de resolver la expresión es encontrar el valor de las operaciones involucrada en cada paréntesis y luego realizar las operaciones de izquierda a derecha de acuerdo con la prioridad establecida, así:

( ) [ ]2 8 5 2 3 4 2+ − − − =

( ) [ ]2 3 2 3 2+ −

Ahora, dado que no hay exponentes ni raíces, se deben resolver los productos: = ( ) [ ]2 3 2 3 2+ −

= ( )2 6 6+ −

= 8 6−

= 2

Ejemplo 7 Efectuar la siguiente operación: ( )( )2 3 4 7 5 3+ − − + El ejercicio aquí propuesto sí presenta paréntesis anidados, por lo cual se procede resolviendo primero los más internos:

= ( )2 3 4 7 5 3⎛ ⎞⎜ ⎟+ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( )( )2 3 4 2 3+ − + = ( )2 3 5+ = 2 15+

= 17



Ejemplo 8 Efectuar la siguiente operación: 2318 ÷÷ Como la expresión dada no presenta signos de agrupación, se debe resolver en estricto orden de izquierda a derecha, así:

6318 =÷ Y este resultado, debe dividirse entre 2:

326 =÷

Ejemplo 9 Efectuar la siguiente operación: 3224315 +−×− Si se realiza la operación en orden de lectura occidental, el resultado es:

54224315 3 =+−×− Si se desarrolla la operación en orden de lectura oriental, el resultado es:

3224315 3 =+−×− Si se efectúa la operación teniendo en cuenta las prioridades establecidas, el nuevo resultado es:

9224315 3 =+−×−

Como se observa, se presentan diferencias significativas. De ahí la necesidad de establecer un orden de prioridades, ya que la introducción de los paréntesis no soluciona del todo el problema.

V

Si se desea hacer uso de una calculadora, es necesario ante todo, establecer el orden en que trabaja:

Orden de lectura occidental

Orden de prioridades llamado “orden algebraico” o “lógica algebraica”.

Ejercicios 1.1

Simplificar:

1. ( ) ( ) ( )[ ]231427250 −+−+−+ 2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }10123816+21346250 −−+−+−−+ 3. ( )[ ] ( ) 1578911 +−÷−+

Hallar el M.C.D. de: 4. 18,12, 6 5. 22, 33, 44 6. 30, 42, 54 7. 54, 76,114, 234 8. 425, 800, 950



Hallar el m.c.m. de: 9. 5, 10, 40, 80 10. 8, 10,15, 32 11. 16, 54, 114

Completar la siguiente tabla con expresiones equivalentes: 12. Potencia Radical Logaritmo

3225 = 51253 = 382 =log 62554 = 114 = 8192 = 864 = 3100010 =log

En la expresión 7 colocar paréntesis de manera que su resultado sea: 24102

175 15

0. 7352 ×× 21. 523 10271030 ×=×

÷−+×

13. 17 14. 10 15. 28 16. 22 17. 40

Decir si es verdadero o falso y justifique su respuesta:

es c . 18. uadrado perfecto es múltiplo de

289 19. y

El M.C.D. de es 125

35 ×2

1 .7 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números naturales no permitió representar todas las situaciones de la humanidad como las temperaturas “bajo cero”, profundidades bajo el nivel del mar, pérdidas de dinero, entre otras, y fue necesario ampliar la cantidad de símbolos para representar situaciones cotidianas. Por esta razón aparece históricamente el conjunto de los enteros, el cual está formado por los números naturales negativos (opuestos de los números naturales), el cero y los naturales.

{ },...,,,,,,..., 3210123 −−−=Ζ

Los elementos de un conjunto numérico pueden ser representados sobre una recta en la que cada elemento tiene asociado un punto, y se le llama recta numérica. En ésta recta se ubica arbitrariamente un punto que corresponda al cero (0) que toma el nombre de punto de origen, y otro cualquiera a la derecha para representar el uno . La longitud del segmento entre y es la que determina la escala unidad.

(1)0 1

wjx



La escala unidad puede interpretarse como la distancia que hay entre dos enteros consecutivos cualesquiera. Al repetir dicha escala hacia la derecha permite ubicar los puntos correspondientes a los enteros positivos, y, repitiéndola hacia la izquierda del 0 se localizan los puntos correspondientes a los enteros negativos.

adEscalaUnid

PositivosNegativos

0 1-1-2 2

El número entero 2, por ejemplo, se representa en la recta numérica a la derecha del cero exactamente a 2 unidades de distancia de él. El número entero –2, por ejemplo, se representa en la recta numérica a la izquierda del cero exactamente a 2 unidades de distancia de él.

En conclusión, un número entero positivo, se ubica en la recta numérica de los enteros desplazándose hacia la derecha a partir del cero tantas unidades como lo indique el número. De manera similar, un número entero negativo se ubica en la recta numérica de los enteros desplazándose hacia la izquierda a partir del cero tantas unidades como el número indique. Como para representar en la recta numérica el número 2 fue necesario avanzar 2 unidades a la derecha del cero y para llegar al –2 se retrocedieron 2 unidades desde el mismo punto, se dice que –2 es el opuesto de 2 y viceversa. Aquí cobra sentido lo dicho anteriormente acerca de incluir en los enteros: los naturales y sus opuestos. Lo que significa que el opuesto de un entero positivo es un entero negativo, y el opuesto de un entero negativo es un entero positivo.

Sin embargo, surge una inquietud: Si el cero es el número que se toma como referencia, pero el cero es un entero, cuál es el opuesto del cero?

nde

2 unidades a la derecha

adEscalaUnid

adEscalaUnid

0 1-1-2 2

adEscalaUnidadEscalaUnid

0 1-1-2 2

2 unidades a la izquierda

E

E
Dado que el cero es siempre el punto de partida para avanzar tantas unidades como sea necesario, si se parte de éste no es necesario desplazarse a la derecha para llegar a él. De la misma manera, no es
ecesario desplazarse hacia la izquierda para llegar al “opuesto”, puesto que jamás se hizo esplazamiento alguno para llegar a su correspondiente número positivo. Se puede stablecer entonces que el opuesto del cero es él mismo.

)

SCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 11


Ejemplo 10 El opuesto de 3 es 3−

El opuesto de -4 es 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

Antes de introducir el estudio del Sistema Numérico de los Enteros, vale la pena resumir las características de los enteros como conjunto numérico:

No existe un último elemento.

No existe un primer elemento.

Todos tienen un antecesor.

Todos tienen un sucesor.

Todos los elementos tienen un opuesto.

El opuesto del cero (0) es el mismo cero (0).

Así como se estableció que el conjunto de los números naturales tiene un número infinito de elementos se puede decir lo mismo del conjunto de los números enteros, puesto que no se puede conocer el número exacto de elementos que lo conforma. En el conjunto de los números enteros también es posible diferenciar subconjuntos formados por elementos que comparten características particulares. Pueden considerarse por ejemplo, los números pares, los impares, los múltiplos y los divisores conservando la definición presentada para ellos dentro de los naturales, pero ampliando su acción sobre todos los elementos del conjunto de los números enteros. Sólo hay un subconjunto con aplicación exclusiva dentro de los enteros positivos y es el de los números primos.

1.8 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS ENTEROS Las operaciones definidas para los números naturales son válidas en el conjunto de los enteros, pero se presentan situaciones adicionales al incluir el cero y los negativos.

La suma de dos números enteros está definida para cualquier par de elementos del conjunto y su resultado es un número entero.



Ejemplo 11 Sumar 2 y 3: Se sabe que . Para confirmar el resultado se puede usar la representación de la suma en la recta numérica así:

532 =+

Se toma el cero nuevamente como número referencia; como el primer termino de la suma es 2, se debe avanzar dos unidades a la derecha de él, y luego 3 unidades adicionales hacia la derecha, dado que el segundo término es 3 (positivo). unidades 3unidades 2

532 =+

-2 -1 0 1 2 4 5 6 73 8

El resultado 5 se puede ver en la recta numérica contando las unidades que hay entre el cero y el punto final después de los desplazamientos que representan la operación.

Ejemplo 12

Sumar 3 y –5: En este caso se suma un entero negativo a uno positivo, lo que en la recta numérica se representa desplazándose desde el cero 3 unidades hacia la derecha (avance) y luego desplazándose 5 unidades hacia la izquierda (retroceso) puesto que el segundo término, –5, es negativo.

( ) 253 −=−+

-4 -3 -2 -1 0 2 3 4 51

unidades 3

unidades 5

6

El punto final se ubica 2 unidades a la izquierda del punto cero (0), lo que indica que el resultado de sumar 3+(–5) es –2.

Ejemplo 13 Sumar –7 y 4

El punto final después de los desplazamientos es –3, por lo tanto –7+4= –3 347 −=+−

-8 -7 -6 -5 -4 -2 -1 0 1 2-3

unidades 4

unidades 7



La resta entre dos números enteros puede expresarse como la suma del primer entero con el opuesto del segundo. Su resultado es un número entero.

( )baba −+=−

En la expresión 8–2 el signo “–“ representa la operación resta entre 8 y 2.

En la expresión –5 el signo “–“ representa el opuesto de 5.

En la expresión –2+8 el signo “–“ representa el opuesto de 2. Por lo tanto la operación indica que al opuesto de 2 se le debe sumar 8.

Se debe tener especial cuidado con el uso de las calculadoras ya que hay

algunas que diferencian el “–“ de el opuesto de un número (número negativo) y el “–“ de la operación resta; y, hay otras que no lo hacen.

La multiplicación de dos enteros da como resultado otro número entero. En los

siguientes ejemplos se retomará la suma abreviada, establecida en los números naturales, para concluir qué ocurre en diferentes casos.

Ejemplo 14

Multiplicar 3 por 4 se puede escribir 43× lo que es igual a decir 3 veces 4, o sea 4+4+4. Se puede representar en la recta numérica así:

1244443 =++=×

-2 -1 13 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

Ejemplo 15

Ahora si se quiere multiplicar 3 por –4 es sumar 3 veces –4.

( ) ( ) ( ) ( ) 1244443 −=−+−+−=−×

-14 -13 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-12

Ejemplo 16

¿Qué pasa si lo que se quiere hacer es multiplicar 43×− ? No tiene sentido hablar de “sumar –3 veces 4”. En este caso, el signo “–“ significa el opuesto de . 43× Ya se vio en el ejemplo 10, 1243 =× , y como el opuesto de 12 es –12, el resultado de

es –12. 43×−



Ejemplo 17

Y ahora, qué resultado se obtendrá al multiplicar 43 −×− ?. Aplicando el mismo razonamiento del ejemplo 12 se tiene que 43 −×− es el opuesto de

. Como el resultado de 43 −× 43 −× es –12 y el opuesto de –12 es 12, entonces 1243 =−×− .

La multiplicación en los enteros da lugar a la definición de las siguientes propiedades:

El producto de dos números con signos iguales, es un número positivo. Ver ejemplos 10 y 13.

El producto de dos números con signos diferentes, es un número negativo. Ver

ejemplos 11 y 12.

Propiedad multiplicativa del cero (0): Para cualquier entero a, se tiene que al sumar a veces 0 el resultado es 0 . Por lo tanto:

00 =×a

La división entre dos números enteros ba ÷ equivale a encontrar un número c tal que

. abc =×

Para resolver , debe encontrarse un número entero que multiplicado por 2 de cómo resultado 6. Ese número es el 3.

26 ÷

Si se quiere dividir el cero (0) entre un número entero a, debería hacerse el mismo razonamiento: ¿cuál es el número que multiplicado por a da como resultado cero (0)? Por supuesto, el único que cumple con esta condición es el cero (0). Por lo tanto,

0 0a÷ =

Puede seguirse el mismo procedimiento para resolver por ejemplo ? … Claro: basta encontrar un número entero que al ser

multiplicado por cero (0) de 3, pero… cuál es ese número?. De acuerdo con la propiedad multiplicativa del cero, ese número no existe. Se dice entonces que la división por cero no está definida.

E

)

03 ÷

Ahora, existe un número entero que multiplicado por 0 de 0?. Sí: el 3, el 5, el –3, el 8.432, entre muchos otros. Como puede observarse, no es un único número el que cumple con la condición. Por lo tanto, la operación 00 ÷ no está determinada.

La potenciación, tal como se definió en los números naturales, ,

con el cero y los enteros negativos como nuevos elementos, puede presentar la siguientes situaciones, dependiendo de la posición que éstos ocupen:

ba = veces b

aaaaa ××××× ...

Un entero negativo elevado a una potencia par es positivo. Un entero negativo elevado a una potencia impar es negativo.



( )33 22 −=− = ( ) 82 3 −=− ( ) 1622 44 =−=−

Un entero elevado a un número negativo es el recíproco de éste número elevado a la

potencia dada positiva. Simbólicamente puede expresarse como: Si, ( )

333 110

aaaa =÷=≠ −,

Cabe anotar que este resultado no siempre pertenece al conjunto de los enteros. Ejemplo 18 Con base en la definición, escribir y 35 − 25 −

− sin exponentes negativos:

33

155

−=

22

155

−− = −

o El signo negativo no está elevado a la potencia –2.

Cero elevado a un número entero positivo da como resultado cero. +∈= Znn ,00

Un entero diferente de cero elevado a la cero es uno, lo que simbólicamente, puede

expresarse como: Si 0≠a , entonces, 10=a

Operaciones entre potencias: Algunas operaciones aplicadas a potencias tienen

formas equivalentes, pero antes de enunciarlas es necesario llamar la atención sobre las situaciones arriba mencionadas, ya que puede ocurrir que la potencia no esté definida en el conjunto de los enteros.

En el cuadro que se muestra a continuación se presentan las operaciones que se establecen para potencias, y las condiciones que deben cumplirse para que su forma equivalente esté definida en el conjunto de los enteros. Sean ,, Znmb,a, ∈

Operación Condiciones

mnmn aaa +=× Si y están definidos. na ma

( )nnn baba ×=× Si y están definidos. na ma

mnm

na

aa −= 0≠a

n

n

n

ba

ba ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= 0≠b

( ) nmmn aa ×= 0≠a



Cero elevado a la cero no está determinado.

10 1 1

10 00 0

00

−= = =

Como se vio, en la definición de la división, este cociente no está determinado.

Ejemplo 19 Encontrar el resultado de:

1. 2562222 85353 ===× + 2. 55555 123

2

3=== − 3. 933

33 246

4

6=== −

4. ( ) ( ) 144124343 2222 ==×=× 5. 27326

26 33

3

3==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= 6. ( ) 6422 623 ==

7. ( ) 51222 932

== 8. 3

31 10

00

−= = no está definido

9. no está determinado. 34 00 −×

124822 23 =+=+ 52323 2222 ==+ +

81

212 3

3 ==− 822 33 −=−=−

( ) 115213 00 ==+ ( ) 11213213 000 +=+=+

( ) ( ) 1132 22 =−=− ( ) 943232 222 −=−=− Ejemplo 20 Expresar en potencias de 2 y de 3 la siguiente expresión ( ) ( )34 246 ×

( ) ( ) ( ) ( )32434 23232246 ××××=×

( ) ( ) ( ) ( ) 34 33 46 24 2 3 2 3× = × × ×

( ) ( ) ( ) 713394433344 3232323232 ×=×××=×××=

En la radicación se pueden presentar las siguientes situaciones:

Si la cantidad subradical es cero y 1>∈ nNn , , el resultado es cero.

00 =n porque 00000

veces=××××

n...

Si la cantidad subradical es un entero negativo y el índice es impar, está definida la raíz, aunque su resultado no siempre está en el conjunto de los enteros.



Si la cantidad subradical es un entero negativo y el índice es par, no está definida la raíz.

n a con no está definida. −∈ Zn

2164 = porque 1624 =

4 16− no está definida porque no hay un entero que elevado a la 4 dé –16.

24 −=−

( ) 42 2 =− y 44 −≠

Operaciones entre radicales:

Operación Restricciones

nnn baba ×=×

n

nn

b

aba

= Siempre y cuando esté definida la

operación de raíz.

Ejemplo 21 Encontrar el resultado de:

1. 4168282 ==×=× 2. 243

12

3

12===

3. 22222 2222222423216 −××+×=−+

24

4244

2222222

2222222 22222

=

−+=

×−××+×=

−××+×=

38 −×− no está definida

( ) ( ) 243838 =−×−=−×− porque la raíz cuadrada de un número

negativo NO está definida.

743169169 =+=+=+ 525169 ==+

La logaritmación en los enteros se define de la misma forma como se presentó para el

conjunto de los números naturales, como propiedad inversa de la potenciación. Ejemplo 22 Encontrar el valor de: ? =82log

382 =log porque 823 =



En el ejemplo anterior no se presenta problema alguno porque si bien involucraba números enteros, tanto el 8 como el 2 son enteros positivos. Sin embargo, si se trata de un argumento entero negativo o cero, el logaritmo no está definido. Tampoco se definen los logaritmos para bases negativas. Ejemplo 23 Encontrar el valor de: 1. ? =−1255log

1255−log no está definido, porque no existe un entero n tal que 1255 −=n

2. ? =− 273log

273−log no está definido porque no existe un n tal que ( ) 273 =− n

Ejercicios 1.2

Simplificar:

( )( ) ( ) ( )( )57278461432 −−−+−+−− 2. ( ) ( )( ) ( )30253027 −−−−−−−− 1.

ncia: Escribir en forma de pote 3. ( )( )( )( )( )( )( )2222222 −−−−−−− 4. ( )( )( )( )( )24242 ×−×−−×−×−

42424 ×

5. ( )( )( )( )( )55533 −−− 6. ( )( )( )( )7777 −−−−

iciones e o úmeros es:

M ero. 9. Menor que cero.

s?

CuCuál e

Determinar si los siguientes números son positivos o negativos, sin efectuar cálculos:

( ) 2 ( ) 35− ( ) 4−−

Escribir los siguientes dos términos de cada una de las secuencias dadas: 18. − 5, − 11, − 17, − 23 19. 8, 5, 2, − 1 20. 1, − 3, 9, − 27 21. − 2, 8, − 32, 128

Bajo qué cond l pr ducto de dos n 7. ayor que cero. 8. Igual a c

Responder justificando la respuesta: 10. Cuál es el más pequeño de los enteros no negativo11. Cuál es el entero positivo más pequeño?

. Cuál es el entero positivo más grande? 1213. ál es el entero negativo más pequeño?

. s el entero negativo más grande? 14

15. 5− 16. − 17. 5



1.9 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Se presenta otro conjunto numérico que al igual que los dos primeros, los naturales y los enteros, surgen por la necesidad de representar situaciones cotidianas: “Yo no puedo comer una torta entera… me como una porción de ella”; “no me quedo en un parqueadero durante 2 horas exactas para poder justificar el pago … el cobro se hace por hora o fracción”; en el automovilismo, las carreras se ganan por diferencias de tiempo de fracciones de segundo…. Todas estas expresiones, porción, fracción, fracciones, hacen referencia a algo más pequeño que una unidad.

Algo más pequeño que una unidad? Acaso se está volviendo atrás?… Si

Ss

r

E

qL

PdccC Dq

Yp

P

m

2

E

)

ya se vio que se pueden representar muchos números sobre una “recta numérica”, por qué conformarse con uno sólo?… o peor aún… con menos de uno??????

í. Como se ve, es una necesidad humana y por lo tanto, requiere una representación imbólica, con base en los elementos de los conjuntos ya conocidos.

&

Para representar las porciones de torta, por ejemplo, debe tomarse como base el número de partes en que se divide y las que se consumen. De esta forma, si se tiene una torta que viene dividida en 10 porciones y sólo hay 7 personas que consumen una porción cada una, se construye una expresión como:

Partes que se consumen 107

Partes en que se divide

n general, una representación de la forma +∈ Zbaba ,, es llamada fracción. El número

ue representa a se conoce como numerador y el representado por b como denominador. a notación

ba es equivalente a . ba ÷

ero sólo funciona con una torta dividida en 10 porciones? Porque la misma torta puede venir ividida en 20 porciones, lo que significa que para que las 7 personas consuman la misma antidad y no se sientan “engañadas” deberían comerse cada una 2 porciones, onsumiéndose 14 porciones en total. Es válido? Cómo puede justificarse este cambio? ómo explicar que es correcto?

ado que las personas están consumiendo lo mismo cuando comen 7 porciones de las 10 en ue se divide la torta inicialmente y cuando consumen 14 si se divide en 20, se dice que

107 y

2014 son fracciones equivalentes

únicamente existen estas dos? Puedo construir otras a partir de la primera fracción? Y a artir de una fracción diferente a

107 también se pueden encontrar fracciones equivalentes?

rimero es interesante ver qué relación existe entre 107 y

2014 . Como se ve, 14 resulta de

ultiplicar 7 (el numerador) por 2, mientras que 20 es el resultado de multiplicar 10 (el



denominador) por 2. De la misma forma puede encontrarse fracciones equivalentes al multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Por ejemplo, si se multiplica 7 por 5 y 10 por 5 se encuentra otra fracción equivalente a la primera y estaría representando una situación eventual en la que la torta se divide en 50 partes de las cuales los 7 comensales consumen 35:

7 5 35 7 35es a 10 5 50 5 50

equivalente×= ⇒

×

Este proceso de multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural, se conoce con el nombre de amplificación de fracciones. Hasta ahora se ha trabajado con partes de una torta, pero no es posible hablar de partes de una hora, partes de una pulgada o simplemente partes de una unidad?. Sí. El siguiente ejemplo muestra el manejo de una fracción, cuando se quiere amplificar, independiente que se refiera a tortas o no. Ejemplo 24

Encontrar expresiones equivalentes a 53 por amplificación:

2012

4543

53 =

××=

3018

6563

53 =

××=

159

3533

53 =

××=

5030

105103

53 =

××=

5030

159

3018

2012 === , son expresiones equivalentes para

53 aunque no son las únicas, pues en la

medida en que se cambia el número por el que se multiplica se obtiene una nueva fracción equivalente.

Por otra parte, si no se multiplica sino que se divide tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural, se dice que se está simplificando la fracción. Una fracción está en su forma más simple cuando el único factor común del numerador y del denominador es el uno (1), lo que significa que son primos entre sí. A éstas fracciones se les conoce como irreducibles. En este libro siempre que se hable de simplificar, se buscará la fracción equivalente que sea irreducible. Ejemplo 25 Encontrar expresiones equivalentes a

3216 por simplificación:

168

232216

3216 =

÷÷= ó

84

432416

3216 =

÷÷=

42

832816

3216 =

÷÷= ó

21

16321616

3216 =

÷÷=

Como se observa se tienen varias expresiones para 21

42

84

3216 === . en donde

21 es

irreducible.



Amplificar genera infinitas fracciones equivalentes. Simplificar genera finitas fracciones equivalentes.

Ahora, así como se utilizó la recta numérica para representar los números enteros, pueden representarse las fracciones sobre ella? No es tan difícil como parece. Primero es necesario dividir la escala unidad en tantas partes como lo indique el denominador y avanzar tantas partes como diga el numerador. Para el caso de

107 , se divide la escala unidad en 10 partes y avanza desde el cero a la

derecha 7 partes. Finalmente se asocia la fracción con un punto sobre la recta numérica que se ubica a siete décimos de unidad desde el cero (0). El punto corresponde entonces al número

107 .

unidad la de

107

unidad Escala0-1 1 2

Casos como este en que se representan partes de la unidad, es decir donde el denominador es mayor que el numerador son conocidas como fracciones propias. Por ser equivalentes

107 y

2014 , puede decirse que ambas son fracciones propias?. En ese

caso cómo se visualiza su equivalencia? Efectivamente, son fracciones propias. Como se observa en el gráfico anterior, el punto asociado queda ubicado entre el 0 y el 1, y por ser equivalentes debe esperarse el mismo resultado para

2014 :

unidad la de 2014

unidad la de 107

0 1

Si se quiere representar una fracción cuyo numerador es mayor al denominador, por ejemplo,

38 , cómo utilizar la recta numérica?:

partes 8

1 2 30-1

o La escala unidad está dividida en tres partes.



Como se ve, al punto final se ha llegado luego de avanzar 2 unidades completas y 2 partes de la unidad (que ya se ha dividido en tres) a la derecha del cero (0). Los fracciones que representan más de la unidad, es decir donde el numerador es mayor que el denominador son conocidas como fracciones impropias Cómo simbolizar esta nueva situación? Las fracciones impropias se pueden representar también como números mixtos que para el caso de

38 corresponde a

322 :

322

38 =

432 =

432 +

432 =

432×

Quiere decir que una fracción con denominador 1 como es

15 , es una fracción impropia? Y si

equivale a decir , no se está hablando de un entero? 15 ÷ Correcto. Finalmente se trata de tomar un conjunto de unidades “divididas en una sola parte”. Por lo tanto, se entiende que todos los enteros están incluidos dentro del conjunto de las fracciones:

155 =

Retomando la definición de fracción, por qué se impone la condición de ser a y b enteros positivos? Puede ocurrir que uno de ellos sea negativo?… en ese caso, a qué corresponde? Qué representa? De la misma forma como en el conjunto numérico de los enteros se mostraba cada número negativo como el opuesto de un número positivo, y viceversa, puede encontrarse un opuesto sobre una recta numérica para cada fracción. El conjunto conformado por todas las fracciones y sus respectivos opuestos es llamado Conjunto de los números racionales. Ejemplo 26 Ubicar sobre la recta numérica el opuesto de

23−

El opuesto de 23− es

23

4-4 27−

25− -2

23− -1

21− 0

21 1

23 2

25 3

27-3

Un número racional es aquel que puede expresarse como el cociente entre dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero. Escrito en notación de conjuntos se puede expresar como:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∈∈= 0y bZbZa

baQ ,



Toda fracción lleva implícita una división, por lo tanto, de acuerdo con lo establecido en los enteros, es válido afirmar que:

03 NO está definido

00 NO está determinado 0

30 =

Para el conjunto de los racionales también se destacan características especiales, como son:

No existe un último elemento.

No existe un primer elemento.

Ninguno tiene un antecesor

Ninguno tiene un sucesor.

Entre dos racionales siempre existirá otro racional. Esta característica se conoce con el nombre de densidad.

1.10 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS RACIONALES

La suma y la resta se define para dos situaciones:

Para racionales con igual denominador, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

Para racionales con diferente denominador, se debe buscar un común denominador

(mínimo común múltiplo de los denominadores) y luego amplificar cada una de las fracciones y seguir el procedimiento seguido con racionales con igual denominador.

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=+

55

32

33

51

32

51

1513

1510

153

32

51 =+=+

83

32

51 =+

813

8103

32

51 =+=+

La multiplicación se define como el producto de los numeradores para el nuevo

numerador y el producto de los denominadores para el nuevo denominador.

La multiplicación de dos fracciones debe interpretarse como una fracción de fracción, así:

25

1251

15

215

21 =

××=×=×

Por lo cual en este caso podría decirse que “ cinco medios ” equivale a tener “la mitad de 5” .

De la misma manera, para encontrar los 32 de 12, debe multiplicarse 12

32 × :

818

324

112

3212

32 ===×=×

Fracción recíproca es la que se obtiene al transponer numerador y denominador. Así, la fracción recíproca de

32 es

23 .



La división es el producto de la fracción que se va a dividir (dividendo) por la recíproca de la fracción por la que se divide (divisor).

Debe resaltarse que en este sistema numérico, las operaciones ya mencionadas dan como resultado otro número racional.

La potenciación y la radicación conservan en los números racionales las propiedades definidas en el sistema numérico de los enteros.

Se define raíz n-ésima de un número “a” como: nn aa1

= , con n entero positivo mayor que 1. El conjunto de todos los números de la forma

n1 constituyen un subconjunto de

los racionales Q.

Aparece de esta forma una extensión de las potencias a exponentes racionales, donde las propiedades ya conocidas son válidas.

¿Tendrá sentido hablar en forma general de exponentes de la forma p , con p y q enteros, q ≠ 0?

A

Ejerc

1. (13. [

5. (

7. −

10. 1

ESCUE

E
q
La respuesta es afirmativa puesto que algebraicamente puede interpretarse como:

( ) ( )qqpqp

qp

aaaa ===× 11

p

demás: pq

pq

pqq

p

aaaa ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛===

× )( 11

)

o Siempre que

( )q pq aa y

exista.

Sean +∈ Zqp,

( ) q pqpqp

qp

aaaa −−×−−

===11

Sean +∈ Zqp,

q pqp

aa−−

= Es incorrecto porque no es > 1 qZq −⇒∉− +

icios 1.3

Resolver y simplificar:

) ( )( )54224 −÷× 2. ( ) ( )[ ] ( ) ( 218694210549 +÷×+÷−+÷− ) ( ) ( )] ( )132257263833 ÷÷÷÷÷ 4. ( ) ( ) ( )15827348536 ÷÷÷×÷

) ( ) ( )( ) 65954332 ÷+÷−÷×÷ ( ) 6. 61

21

32

25

23 −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+

151

53

31

311 8.

( )812

5146+−− 9. ( )1

4313

41 −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

248

1215

40 −− 11. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

14190

451

18011 12. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

13610

325

LA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 25


13. ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

8102 14. ( ) ( ) 52

10151 −××⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −×− 15.

156

25 ×

16. 303

204

125 ×× 17. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ÷÷⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

52

58

325 18.

158

54

21

23

21

÷

+

19.

41

31

21 +

20. 10

10001

1001

101 ++

21.

3221

31

31 21

−+

22. 154

32

53 534 +− 23.

2

538 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 24. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+×

−−

−

−×

−

34362

492

71

11

11

11

11

61

31

61

51

25.

411

4231

−+

+ 26.

6

21 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

27.

813

1251

++

+

28. 5461

11513

22

×−×

×+× 29. ( )( )( )( )33

22

256

459

−

− 30. ( )( ) ( )4253 777 −××−

1.11 NÚMEROS DECIMALES

J El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que

de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. En estricto orden, de derecha a izquierda, las posiciones se denominan: Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil…

10 unidades conforman 1 decena, 10 decenas forman una centena, y

así sucesivamente. Cuando se estudiaron los naturales se estableció un significado para cada uno de los dígitos que componen un número, dependiendo de la posición que ocupe en él. En un número como 425, puede decirse que hay 425 unidades, o puede decirse que hay 5 unidades y 42 decenas o puede decirse que se tienen 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas. Pero así como una decena está compuesta por 10 unidades, cómo expresar una unidad que se divide en 10 partes? Más aún, cómo expresar cada una de esas 10 partes de la unidad? Esta situación se asemeja a la presentada en la definición de fracción. Entonces no es más lógico utilizar esta simbología para representar las partes de la unidad? Sí. Esa simbología es aplicable, pero también es posible extender el concepto de posición para encontrar una forma equivalente a tales fracciones. Antes de continuar es importante presentar un concepto particular:

s

Fracción decimal es una fracción o un número racional cuyo denominador es una potencia de diez. Las siguientes son fracciones decimales:

.;;;10000

731000235

1001

100122;;

1045

104



Como se ve, 104 es una fracción propia, lo que significa que es menor que la unidad.

Entonces para hablar en términos de “posición”, con base en unidades o decenas, por ejemplo, se utiliza una coma (,)1 que indica que a la izquierda de ella se muestran las partes enteras, mientras que a la derecha está la parte decimal. De esta forma,

104 se escribe en notación decimal, como: 0,4; así mismo

1001 se escribe 0,01.

Se entiende entonces que no hay partes enteras, pero que se tienen 4 partes de una unidad entera en el primer caso y 1 centésima parte de una unidad en el segundo. Cuando se tomó como ejemplo el número 425, se estaba expresando un número con unidades enteras. Pero cuando se tienen además partes de unidad, dado que son más pequeñas que la unidad, es necesario separarlas de la parte entera con una coma (,). Para decir entonces que además de las 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas se tienen 7 décimas partes de la unidad se escribe: 425,7. Esto puede interpretarse como:

425 enteros y 107 de unidad

que recordando la notación de números mixtos se escribiría:

107425 .

Bueno, pero si se hace tanto énfasis en la posición, por qué se llaman números decimales? Tiene algo que ver con lo dicho acerca de los

Lnd

Ce

P

1

E

E
árabes en la sección 1.1.? Acaso no se parece más a lo dicho del diezmo o del diez del que se habló en 1.3? Por qué el 10 es tan importante si hasta el momento sólo aparece cuando se habla de algo más pequeño que la unidad?
)

a verdad es que el 10 resultó ser más importante de lo que se pensaba, porque todo úmero es susceptible de expresarse “en términos de 10”. Iniciando con las unidades, las ecenas y las centenas:

Unidades de mil 3101010101000 =××=

Centenas 2101010100 =×= Decenas 11010 = Unidades 0101 =

omo es de suponerse, las cifras decimales pueden expresarse mediante el uso de xponentes negativos, así:

Décimas 11010 −=, Centésimas 210010 −=, Milésimas 3100010 −=,

ero se justifica este uso de potencias? Es más: Puede soportarse de alguna forma?

La coma es utilizada para separar las cifras decimales en el sistema americano, que es el adoptado por los países latinos. En el sistema

inglés, se utiliza para ello el punto.



Por supuesto: Recordando las operaciones entre potencias se sabe que: mn

m

na

aa −=

Si se tiene a = 10, n=3 y m=5, entonces:

10011010

1010

1000001000 253

5

3==== −−

Hasta aquí, se han expresado unos pocos números. Cómo expresar entonces todos los números? Primero, sería interesante retomar el número 425 del que se decía representaba 425 unidades, ó 5 unidades y 42 decenas ó 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas. Con esta última interpretación podría decirse que una forma de expresar el número es la siguiente:

425520400 =++

que escrito de otra forma puede ser:

425151021004 =×+×+× .

Pero con la ayuda de las potencias de 10, esta última forma es equivalente a:

425105102104 012 =×+×+× .

Ejemplo 27 Expresar en potencias de 10: 328, 0,86 y 25,03

( ) ( ) ( )2 1328 3 10 2 10 8 10= × + × + × 0

2

2

,,

( ) ( ) ( )0 10 86 0 10 8 10 6 10, − −= × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( )1 0 125 03 2 10 5 10 0 10 3 10, − −= × + × + × + ×

Aunque los decimales no constituyen un Sistema Numérico como los naturales, los enteros o los racionales, sí conforman un subconjunto de estos últimos Las operaciones definidas para los racionales son válidas para los decimales, pero requieren un tratamiento cuidadoso: Suma: Al sumar, debe tenerse especial cuidado con la posición que ocupa cada dígito, de manera que se sumen enteros con enteros y decimales con decimales: Ejemplo 28 Sumar 3 65 y 23

⇔=+ 83865233 ,,, 83865233

,,,

+ o Se suman 3 centésimas con 0 centésimas, 2

décimas con 6 décimas y 3 enteros con 5.

Para la resta también se tiene en cuenta la posición de cada dígito y se manejan los signos como se estableció en los enteros.



Ejemplo 29 Restar y 15 de 2,091 ,638 de 12

⇔=− 912091215 ,, 9120912

15

,,−

⇔−=− 37312638 ,, 373

12638

,

,

−−

La multiplicación de decimales debe realizarse como si se tratara de enteros pero en el resultado se coloca la coma contando de derecha a izquierda tantos lugares como cifras decimales tengan el multiplicando y el multiplicador. En otras palabras, el número de cifras decimales del resultado o producto es igual a la suma de las cifras decimales de sus factores. El manejo de signos es igual que en los enteros. Ejemplo 30 Multiplicar 0,39 por ,051−

⇔=×− -0,40950,39- ,051

40950513

549390051

,

,,

−

×−

El procedimiento para dividir decimales debe iniciarse igualando la cantidad de cifras decimales con ceros. Una vez iguales el número de decimales, se eliminan las comas y se divide como si fueran enteros. Si el residuo no es cero se dice que la división no es exacta y si se continúa dividiendo, se obtienen cifras decimales colocando una coma en el cociente y agregando un cero al residuo. Se divide nuevamente y el número obtenido corresponderá al dígito de las décimas. Si se quiere obtener más números decimales, se coloca un cero a la derecha del nuevo residuo y se procede a la división hasta alcanzar el número de decimales deseado o hasta que el residuo sea cero. Ejemplo 31 Dividir 1,64 entre 0,5

5016450641 ÷⇔÷ ,,

164 50

0400400

100140

150

−

−

− 3,28

o El cero de la derecha de 140 se agrega para encontrar las décimas y el de 400 para encontrar las centésimas del resultado.

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de un número racional, se encuentra la expresión decimal del número dado, presentándose las siguientes situaciones:



División exacta, cuando el residuo es cero después de un número finito de pasos: ...,250

41 =

División no exacta con cifras repetitivas en el cociente. 8 11428571428577

, .= ..

El conjunto de cifras que se repiten se llama período y los decimales que tienen esta situación se llaman decimales periódicos. Para el caso del ejemplo anterior, el período se identifica con una barra horizontal, así:

1428571571428571428178 ,..., ==

Ejercicios 1.4

Resolver y simplificar: 1. ( ) ( 20300091583613618 ,,,, ÷−+ ) 2. ( ) ( )52348 ,, −×− 3.

80860,

,−

4. ( ) ( ) 957900103010401010

00103

0104

,,,,,

,,++

++ 5. ( )030050

52002500150,,

,,−×

××− , 6. ( )402011 ,, +

7. ( ) ( )384216183

010503250,,,

,,,−+×÷×

8.

Completar la siguiente tabla, dando la respuesta con aproximación a las milésimas:

a B a + b a − b a × b a ÷ b

3,42 8,95

0,63 9,08

20 3,18

78,01 2,94

10,43 7,5

3,14 9,03

66,5 31,02

30,01 49,3

Expresar en forma decimal e identificar el período:

43 10.

716 11.

99233 12.

33349 13.

610 14.

320 9.

Teniendo en cuenta que manejar muchas cifras decimales no es conveniente dependiendo del contexto en el que se esté trabajando, existen métodos para manejar cifras que permiten expresar un número haciendo uso únicamente de aquellas cifras que son representativas. A ichas cifras se les conoce con el nombre de cifras significativas. d



El primer método consiste en truncar las cifras hasta una determinada posición. En este caso, el número se escribe con las cifras decimales hasta la posición requerida. El segundo método es el de aproximación a determinada posición, caso en el cual la última cifra que se escribe no se encuentra de forma inmediata. Si se requiere expresar un número aproximándolo a una cierta posición, antes de escribirlo se debe analizar la cifra que le sigue a su derecha. Si este número es menor que 5, la última cifra es la que ocupa el lugar requerido, si la cifra siguiente es mayor o igual a 5, la última cifra del número será el dígito de la posición sumado en uno. Los computadores y demás herramientas tecnológicas utilizan siempre el método de aproximación. Ejemplo 32

Expresar el racional 37

de acuerdo con la condición dada:

1. Como un decimal: El resultado es un decimal periódico: 3 0 428571

7,=

2. Como un decimal truncando a las centésimas: Como la cifra de las centésimas es 2, el decimal truncado es: 3 0 42

7,=

3. Como un decimal con aproximación a las centésimas: Dado que 8, la cifra de la posición de las milésimas es un número mayor que 5, el resultado aproximado del cociente es: 3 0 43

7,= . Esto se entiende si se tiene en cuenta

que 10 milésimas forman 1 centésima. Por lo tanto, el 2 de la posición de las centésimas se aproxima a 3.

Otra forma de manejar un número con muchas cifras decimales, cuando por razones del contexto en que se encuentra todas ellas son significativas, es utilizando la notación científica. Con ella, un número se expresa a partir del número diferente de cero que se encuentra más a la izquierda, escribiéndolo como una unidad, convirtiendo todas las demás cifras en decimales. En realidad el procedimiento que se ha llevado a cabo es correr la coma unas posiciones. Para que el número no pierda su significado, este número resultante se debe multiplicar por una potencia de 10 elevado a un exponente igual al número de posiciones que se ha “corrido” la coma. Este exponente debe ser negativo porque el número original es menor que la unidad. Vale decir que este procedimiento también se puede aplicar a números enteros con muchas cifras significativas caso en el cual se sigue el mismo procedimiento descrito en el párrafo anterior, pero el exponente del 10 debe llevar signo positivo por tratarse de un número mayor que la unidad. Ejemplo 33

1. Un electrón posee una carga de 0,00000000048 unidades electrostáticas. La carga representada en notación científica es de: que es un número más fácil de manejar, ya que el manejo de los 9 ceros decimales puede generar errores operativos.

104 8 10, −×

2. La distancia del Sol a Plutón es de 5.895.000.000 Km. Esta distancia puede escribirse

como Km. 95 895 10, ×



1.12 RAZONES Y PROPORCIONES Razón es el cociente entre dos números que se comparan. El numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente. Se representa:

ba ó a : b y se lee: “a es a b”

Ejemplo 34 Si se dice que Ana María hace por semana 30 ejercicios de Precálculo y Clara Eugenia hace 45, la razón de problemas es de:

32

4530 =

Lo que significa que la razón de problemas es de 32

Proporción es la igualdad entre dos expresiones que tienen la misma razón. Se representa como:

dc

ba = y se lee: “a es a b como c es a d”

En esta proporción, a y d se denominan extremos, y b y c, medios.

1.13 REGLA DE TRES Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas aumenta la otra ó cuando al disminuir una, se disminuye la otra, manteniendo la misma razón. Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas disminuye la otra. La regla de tres es un método para encontrar una cantidad desconocida a partir de magnitudes proporcionales, es decir encontrar el cuarto término de una proporción si se conocen los otros tres. Se establecen dos tipos de regla de tres:

Regla de tres simple, cuando se busca una cantidad desconocida a partir de una proporción. Puede ser directa, si las magnitudes son directamente proporcionales o inversa, si las magnitudes son inversamente proporcionales.

Regla de tres compuesta cuando se busca una cantidad desconocida a partir de más de dos proporciones.

Ejemplo 35 Si Cristina gastó 2 horas resolviendo 10 problemas de precálculo, cuánto tiempo gastará en resolver 40 problemas que se encontró en un libro de la biblioteca?



Se establece lo siguiente:

Tiempo (horas) Cantidad de problemas resueltos

2 10 ? 40

Al comparar las magnitudes se encuentra que a más problemas, Cristina gastará más tiempo. Por lo tanto, las magnitudes son directamente proporcionales. El razonamiento es:

Si gasta dos horas en hacer 10 problemas, para hacer un problema gastará: horas

51102 =÷

Para hacer 40 problemas gastará: horas84051 =×

Lo anterior se puede resumir en: horas810

240 =×=?

Ejemplo 36

t Para arreglar un jardín, 2 personas gastan 10 días. Si hacemos el mismo trabajo con 6 personas, cuántos días gastarán?


Personas Tiempo (días)

2 10 6 ?

Al comparar las magnitudes se encuentra que a más personas trabajando, se requerirán menos días, por lo tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Se hace el siguiente razonamiento:

Si 2 personas hacen la obra en 10 días, una persona gastará dos veces más de tiempo: días20102 =×

Ahora seis personas gastarán 6 veces menos:

días31días

62días

620620 33 ===÷

Lo anterior se puede resumir en: días31días

310

6102 3==×=?

Ejemplo 37

Carlos Daniel ha programado sus vacaciones de 45 días en la finca y para ello ha comprado 21 litros de aceite para el consumo de 15 lámparas. Al cabo de 20 días se hace necesario aumentar el número de lámparas en 6.Cuántos litros adicionales de aceite deberá comprar para mantener todas las lámparas funcionando durante las vacaciones?


v

Lámparas Tiempo (días) Cantidad (litros)

15 45 21 6 45 – 20 =25 ?



Esta situación nos permite ver que hay más de una proporción por lo tanto se trata de una regla de tres compuesta, el análisis se efectúa descomponiendo en reglas de tres simples así:

Inicialmente se hará el análisis para dos magnitudes: las lámparas y el consumo de aceite, manteniendo constante el número de días.


15 45 21 6 45 ?

Más lámparas consumirán más cantidad, menos lámparas consumirán menos. Por lo tanto, es relación directa.

Cantidad de aceite para 6 lámparas542

15216 =×=

El siguiente análisis se hará para el número de días y la cantidad de aceite consumida por las 6 lámparas:


6 45 542

6 25 ?

En más días se requerirá más aceite, en menos días se requerirá menos aceite, por lo tanto es una relación directa.

Cantidad de aceite por día para 6 lámparas3

1445

54225

=×

=

Lo anterior se puede resumir en: litros3

144515

25216 =×××=?

Ejercicios 1.5

Resolver los siguientes problemas: 1. Industrias ACME tiene 120 empleados, incluyendo 15 supervisores. ¿Cuál es la razón

entre los supervisores y el resto de los empleados? 2. Leyendo 8 páginas diarias de un libro se gastan 60 días en leerlo

completamente. Si leemos 12 páginas diarias, ¿cuántos días necesitamos para leerlo?

3. En un dibujo, un insecto mide 1/2 pulgada de largo y una etiqueta dice “aumentado 12

veces". ¿Cuál es la longitud real del insecto?

4. Catorce camellos caminando catorce kilómetros diarios consumen ocho litros de agua. Cuánta agua consumirán veinte camellos caminando veintitrés kilómetros diarios?

5. Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 150 días.

¿Cuántos litros diarios podrá suministrar a 40 familias durante 200 días?



6. Con 15kg. de hierro se han hecho 420 puntillas de 4 pulgadas. ¿Cuántas puntillas de 3 pulgadas y del mismo diámetro se hubiesen podido hacer con la misma cantidad de hierro?

7. Dos recogedores de café se demoran 6 horas para recoger 5 cargas. Para recoger igual

cantidad y trabajando al mismo ritmo. ¿Cuánto se demoran 5 trabajadores?. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. Entre más trabajadores más tiempo. b. Entre menos trabajadores menos tiempo. c. Entre menos trabajadores igual tiempo. d. Entre más trabajadores menos tiempo.

8. En un salón de clases hay 36 estudiantes, de los cuales 20 son hombres y 6 son zurdos.

a. ¿Cuál es la razón entre hombres y mujeres? b. ¿Qué porcentaje de estudiantes son zurdos? c. ¿Cuántos hombres más que mujeres hay en el salón? d. ¿Cuál es la razón entre zurdos y derechos?

9. Con un grifo que tiene un caudal de 14 litros por minuto, se han empleado 48 horas en llenar

un depósito. ¿Cuánto tiempo se emplearía para llenar el mismo depósito sí su caudal fuera de 32 litros por minuto?

10. Ocho obreros han tardado 24 horas para realizar cierto trabajo. ¿Cuánto tiempo hubiesen

empleado para hacer el mismo trabajo 6 obreros? 11. Para empapelar 6 habitaciones se emplearon 96 rollos de 7m. de largo por 45cm de

ancho. ¿Cuántos rollos de papel de 8m. de largo y 50cm de ancho se necesitarán para empapelar 4 habitaciones de las mismas dimensiones que las anteriores?

12. Para vaciar un estanque se hacen 54 viajes, utilizando un balde de 10 litros. ¿Cuántos

viajes deberán hacerse utilizando dos baldes de 6 litros? 13. Para preparar 1 litro de un farmacéutico especifico se precisa mezclar 250cm3 de A, 470cm3

de B y 280cm3 de C. ¿Qué cantidad debe tomarse de cada disolución para obtener 200cm3 del farmacéutico específico considerado respectivamente?

14.

10 hombres se demoran 8 días para hacer 3/5 de un puente. Si se retiran 8 trabajadores. ¿Cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra? 4

15. Con el dinero de la venta de 300 metros de tela a $7.500 cada uno, se pagaron los jornales de 24 obreros que trabajaron 9 horas durante 45 días. ¿Qué cantidad de dinero se necesitará para pagar a 30 obreros que han trabajado durante 8 horas diarias un numero de días igual a los 7/9 de 45?



1.14 PORCENTAJE En la vida cotidiana, hablar de “porcentaje” o de “por ciento” hace parte del lenguaje común. En los almacenes, en los periódicos, en las noticias, es fácil encontrarse frases como las siguientes:

“Hoy, descuentos del 50% por liquidación total” “Por compras superiores a $50.000, reciba un 20% de

Lp

…p

P$dAs E S$ L Q Le

Cpr

3

%

descuento”. “A partir del 1º de enero, el salario mínimo subirá un 12%”.

)a palabra “porcentaje” significa “por ciento” y expresiones como las antes mencionadas ueden leerse e interpretarse como:

Ejemplo Lectura Interpretación Hoy descuentos del 50%

or liquidación total… Hoy, descuentos del cincuenta por ciento por liquidación total

…por estar en proceso de liquidación total en el almacén, por cada $100 que usted compre, paga únicamente $50

or compras superiores a 50.000, reciba un 20% de escuento.

Por compras superiores a 50.000 pesos, reciba un 20 por ciento de descuento.

Si usted hace compras por las cuales deba pagar más $50.000, por cada $100 que registre su cuenta, usted pagará $20 menos.

partir del 1º de enero, el alario mínimo subirá un 12%.

A partir del 1º de enero, el salario mínimo subirá un 12 por ciento.

Por cada $100 pagados en un salario mínimo, el año siguiente se pagarán $112.

jemplo 38

i mi salario mensual en el presente año es de $1.852.000 y me hacen un aumento de éste a 2.222.400, cuál fue el porcentaje de aumento?

a cantidad que me aumentaron fue de 40037000085214002222 .$..$..$ =−

ué porcentaje de mi antiguo salario es $370.400?

a idea es conocer “cuánto salario me aumentaron por cada $100 de mi antiguo salario”. De sta forma se establece una regla de tres como las vistas en la sección anterior.

Dinero Porcentaje

$1.852.000 100% $370.400 ?

omparando las magnitudes se debe entender que a más dinero, corresponderá más orcentaje. lo que significa que las magnitudes son directamente proporcionales. El azonamiento es:

Si mi salario anterior, $1.852.000, corresponde al 100%, a cuánto corresponderá un 1%

1520181000008521 .$..$ =÷

Ahora lo que se debe saber es cuántas veces está $18.520 en los $370.400:

%..$ 2052018400370 =÷

Estos procedimientos pueden desarrollarse en una forma directa así:

%..$

.$? 20

0008521100000370

=×

=



Ejemplo 39 Si pagué $5.000 por concepto de intereses sobre una deuda por la que se cobra el 2.5% de interés, cuál es el valor de la deuda? En este caso, se puede establecer una regla de tres de la siguiente forma:

Dinero Porcentaje

$5.000 2.5% ? 100%

El planteamiento se puede interpretar como: si $5.000 corresponde al 2.5%, a cuánto

corresponderá el 100%?. Si se resuelve en forma resumida, se encuentra que:

00020052

1000005 .$.

.$? =×=

Ejercicios 1.6

Realizar los siguientes ejercicios: 1. Tenía $60 y gasté $55,20. ¿Qué porcentaje he ahorrado? 2. Si me rebajan el sueldo en un 20%, quedo ganando $1.040.000 mensual. ¿Cuánto

ganaba? 3. Mi finca tiene 480 hectáreas. El 35% de la mitad de mi finca la tengo sembrada de caña y el

resto de la finca de frutas menores. ¿Cuántas hectáreas tengo sembradas con frutas menores?

4. Con los $80.000 que tenía compré un vestido de $40.000; zapatos por valor de $30.000 y

camisas con el resto. ¿Qué porcentaje de mi dinero gasté en cada cosa? 5. Completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que el gobierno autorizó un alza del

15% en los pasajes aéreos.

Ruta Precio Actual Aumento Nuevo Precio

Bogotá-Medellín-Bogotá $345.800 Bogotá-Sta. Marta-Bogotá $423.352

Cali-San Andrés-Cali $525.890 Cartagena-Montería-Cartagena $285.165

6. El mes pasado la administración de un almacén de ropa disminuyó los precios de sus

existencias en un 10%. Este mes aumentó los precios en un 10%. ¿Cuánto pagaríamos este mes por un abrigo que tenía un costo de $75.000 antes de la disminución de precios del mes pasado?

7. En examen de inglés tiene 120 preguntas. Se necesita una calificación del 70% para aprobar. ¿Si Diana obtuvo 80 puntos, aprobó el examen?



8. Un vendedor de lotes recibe el 6% de comisión sobre los precios de venta. Si un lote es vendido en $ 38 millones, ¿cuál es la comisión?

9. Si una jarra tiene 100 ml. de agua y se encuentra al 20% de su capacidad, ¿Cuánta agua

habrá en la jarra cuando esté con el 80% de su capacidad?

hhh10. Un ganadero vendió el 36% de sus reses y le

quedaron 160. ¿Cuantas tenía? 11. Es correcto decir que:

%%%

yx

yx =

1.15 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Hasta el momento, todos los conjuntos numéricos estudiados han seguido una secuencia lógica: Los naturales hacen parte de los números enteros y constituyeron la base para su definición. De la misma manera, los números racionales se definieron con base en los números enteros y por supuesto, éstos últimos están contenidos en los primeros.

Sin embargo, el estudio de la geometría permitió encontrar situaciones en las que los números ya conocidos no permitían representar medidas reales. Tal es el caso de la medida de la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1 ó el perímetro de una circunferencia, entre otras. Dado que era evidente su existencia, era necesario definir un nuevo conjunto de números que abarcara todos aquellos elementos cuyas características no permitían incluirlos en los conjuntos anteriores.

G Así como fue posible expresar todo racional como decimal periódico, como por ejemplo,

1428571571428571428178 ,..., == , no podía negarse la existencia de que por la

simple variación de uno de los dígitos, se trataba de un número diferente al ya encontrado. Por su parte, dentro de los números negativos, era posible ubicar cualquier decimal no periódico como . De esta forma se entendió que si hasta el momento se podía asociar un punto sobre la recta numérica a los ya conocidos, había muchos puntos sobre la recta a los cuales aún no se les asociaba número alguno.

..., 57114385714281

235642588997842,−

Todos estos nuevos elementos fueron agrupados en un gran conjunto de números llamados números irracionales que puede entenderse como el conjunto de todos aquellos números que no son racionales, es decir, los decimales no periódicos. Con estas condiciones, se logró encontrar valores aproximados para algunos números irracionales. Los números irracionales más conocidos son:

23731...1,414213562 = ..., 897932384614159265353=π

…= 8459052.71828182e

Otros ejemplos de números irracionales son:

3753 3 π

−− ,,,



Sin embargo, lograr la ubicación precisa de estos números no es tan sencilla. En algunos casos, con ayuda de herramientas geométricas, es posible encontrar el punto sobre la recta numérica asociado a un racional. Este es el caso de 2 .

J El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo con la de su hipotenusa, así:

1

12

Ejemplo 40 Ubicar 2 en la recta numérica. Dado que al formar un triángulo rectángulo con catetos unitarios, el segmento que une los extremos de los catetos, corresponde a su hipotenusa, cuya longitud es igual a 2 . Con esta referencia, se ubica una unidad sobre la recta numérica, luego se levanta una perpendicular de longitud una unidad. Finalmente con un compás se toma la medida de la hipotenusa y se genera un segmento de circunferencia haciendo centro en O. En el punto donde el segmento de circunferencia corta la recta numérica, se encuentra 2 .

1 2

1

0 2

Aunque muchos números irracionales resultan de operaciones con radicales de números enteros, no todas las raíces de estos números son irracionales. Por ejemplo, 39 = ó 39 −= Como se puede ver, tanto 3 como -3 son números enteros y por lo tanto, son números racionales.

Ejercicios 1.7

Ubicar en la recta numérica: 1. 3=M 2. 5=N 3. 24 − 4. 53−



1.16 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Una vez estudiados los números racionales y los números irracionales, estableciendo que un racional no puede ser irracional y viceversa, puede introducirse un nuevo conjunto numérico que contiene tanto a los racionales como a los irracionales, que se conoce con el nombre de Conjunto de los Números Reales y que se representa como ℜ .

1.17 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NÚMEROS REALES Las operaciones de suma y multiplicación definidas para todos los conjuntos ya estudiados, cumplen en los Reales con las siguientes propiedades o axiomas. Para todo real a, b, c, se tiene:

Propiedad Suma Multiplicación

Clausurativa ℜ∈+ ba ℜ∈× ba Conmutativa abba +=+ abba ×=× Asociativa ( ) ( )cbacba ++=++ ( ) ( )cbacba ××=×× Identidad aaa =+=+ 00 aaa =×=× 11

Inverso ( ) ( ) 0=+−=−+ aaaa 111 =×=× aaa

a

Distributiva ( ) acabcba +=+

La propiedad conmutativa cambia el orden de los elementos. La propiedad asociativa cambia la forma de agrupación. Las propiedades asociativa y distributiva requieren de tres elementos

para su aplicación

El elemento identidad es único en el conjunto de los Reales. Existe un inverso aditivo y un inverso multiplicativo para cada elemento

del conjunto de los Reales.

El único real que no tiene inverso multiplicativo es el cero ( 0 ). El inverso multiplicativo se conoce con el nombre de recíproco.

Toda esta teoría acerca de las propiedades que se cumplen en el Sistema de Números Reales, adquieren sentido más adelante, en el estudio del Álgebra, cuya estructura se establecerá con base en ellas. Ejercicios 1.8

Completar la siguiente tabla:

1. Número Inverso Aditivo Inverso Multiplicativo

0

1

− 4,3

22

53−



Determinar, justifique su respuesta:

2. Cuál es el inverso multiplicativo de 32− ? 3. A qué sistema (s) numérico(s) pertenece el número 240 ? 4. 887065 ,, es un número racional? 5. Cuál es el recíproco de 40%? 6. Cuál es el inverso aditivo de π ? 7. Es

722−π positivo, negativo o cero?

8. El número cuantas veces es el número 502 ,− 502 ,− ?

Marque con una X los conjuntos a los que pertenecen cada uno de los números dados:

9. Número ℕ ℤ ℚ I ℝ

1,25

– 21

2−

54

73

4−

π

3 8−

53 +

Para cada una de las siguientes afirmaciones, diga si es falsa o verdadera, y justifique su respuesta:

10. Algunos racionales son decimales infinitos no periódicos. 11. El cociente entre dos números reales es un número racional. 12. Existen algunos números que no son ni enteros ni racionales. 13. Si a, b y c son reales, entonces:

ca

ba

cba +=+

2

14. 0,025 y − 40 son recíprocos. 15. Los números irracionales negativos no son números reales. 16. El 0 es un número racional. 17. ( )( )2223 es un racional. 18.

5642 está entre

76 y

87

19. 3 y 33 son recíprocos.

20. Todo entero es número racional.



1.18 RECTA NUMÉRICA La recta numérica mencionada como ayuda para representar los elementos de los conjuntos de números trabajados anteriormente, puede ser utilizada de la misma forma para representar los números reales. Si bien hasta ahora se asociaba a cada elemento de dichos conjuntos un punto sobre la recta, a partir de las características de los números reales, es posible asociar a cada punto sobre la recta un número real. Ejemplo 41 La siguiente ilustración muestra la representación gráfica en una recta numérica del siguiente conjunto: { }10

21

34 ,,,−π−

34−

21

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

10−π

0

Ejemplo 42 Ubicar sobre la recta numérica el opuesto de cada uno de los elementos del conjunto del ejemplo anterior: El conjunto de los opuestos de los elementos del conjunto dado, expresado en el mismo orden en que se ha presentado el conjunto anterior, es:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−π 10

21

34 ,,,

34

21−

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

10− π

0

Ejercicios 1.9

Localizar en una recta numérica los siguientes números:

1. 27=A ;

511=B ;

43−=C ;

35−=D ;

613−=E

2. %35=F3π−=G

312=H 82,=I 333,−=J

Analizar y resolver el siguiente problema:

3. Un saltamontes brinca a lo largo de una recta numérica como sigue: comienza en 0, salta hacia la derecha una unidad, luego hacia la izquierda dos unidades, luego hacia la derecha tres unidades, luego hacia la izquierda cuatro unidades, derecha cinco unidades y así sucesivamente. Dónde se encontrará después de:

a. 15 saltos? b. 2.000 saltos? c. 2.001 saltos? e. En cuál salto tocará el número +100?

d. n saltos? f. Tocará alguna vez el saltamontes

todos los enteros?



1.19 RELACIONES DE ORDEN EN LOS REALES Vista la representación gráfica de los números reales en la recta numérica, y distinguiendo en ella dos grandes intervalos separados por el cero (0), en adelante será utilizada constantemente para representar situaciones en las que se involucran relaciones de orden entre expresiones. Conocidas las propiedades de la multiplicación y de la suma en el conjunto de los números enteros y racionales, es posible generalizarlos al conjunto de los reales, a saber:

si ó si −+ ℜ∈⇒ℜ∈ -a a +− ℜ∈−⇒ℜ∈ a a

si ( ) ℜ∈×ℜ∈+⇒ℜ∈ℜ∈ +++ bababa y y

Para dos números reales a y b cualesquiera, se cumple una y sólo una de las siguientes situaciones. Esta característica se conoce como el Principio de la tricotomía:

“a es igual a b”, “a es menor que b” ó “a es mayor que b” Cada una de estas situaciones puede interpretarse a partir de su ubicación en la recta numérica de la siguiente manera: Para dos números reales diferentes a, b, ubicados en la recta, se cumple que:

ó a está a la izquierda de b, lo que significa que “a es menor que b”.

a b

ó a está a la derecha de b, lo que significa que “a es mayor que b”. b a

En el conjunto de los números reales, se dice que “a es menor que b” si y sólo si b – a es positivo y se simboliza ( ) 0 a >−⇔<ℜ∈∀ abbba ,, ó si existe un real 0≠c tal que bca =+ Dado que en los reales puede identificarse un orden, se establecen las siguientes propiedades: Propiedad transitiva: Para todo a, b, c, que pertenece a los reales, con a < b y b < c, se cumple a < c.

a<b

a cb

b<c

a<c

Propiedad de orden en la adición: Para todo real a, b, c,

Si a < b, entonces, a + c < b + c. c

a a+cb

c

b+c

43 ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA


Propiedad de orden en la multiplicación: Para todo real a, b, c,

Si a < b, y c > 0, entonces, ac < bc.

c veces a

a axcb

c veces b

bxc

Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc.

Si a < b, y b < c entonces a < b< c, es decir b está entre a y c.

2 < 5 –3 < 0

(2)(– 3) > (5)(–3)

2 < 5 –3 < 0

(2)(–3) < (5)(–3)

Existen otras propiedades a las que no se les da un nombre especial, pero se usan frecuentemente y se cumplen si cambiamos el sentido de las desigualdades.

Si a < b, y c < d, entonces, a + c < b + d.

Si 0 < a < b, y 0 < c < d, entonces ac < bd.

Si a < b, y ab > 0, entonces ba11 > .

A manera de ejercicio, se recomienda realizar la interpretación geométrica de las propiedades. Ejemplo 43

2 < 5 (2)(5) > 0 .

21 > 5

1

2 < 5 (2)(5) > 0 .

21 < 5

1

Si 0 , entonces ba <≤ 22 ba <

Ejemplo 44

0 ≤ 4 < 7

22 74 <

16 < 49

047 ≤−<−

( ) ( ) 22 47 −<−

49 < 16

, >Si a y a entonces 0 0 >> b b ba < .



Ejercicios 1.10

Utilizar los símbolos ”<,>,=” según convenga: 1.

3 5

– 1 5

– 1 – 5

21− – 1

38 3

1

2448 3

2

18− 410

– 10,5 – 3,02

132 + 15

25

76

54 + 70

117

48

51252 +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

234

10135×

−+×

1.20 NOTACIÓN DE INTERVALOS Así como se establece una relación de orden entre dos puntos, es posible definir un conjunto de puntos que por sus características conforman un segmento de recta sobre la recta numérica. Estas características pueden ser descritas en forma verbal, numérica, algebraica ó ráfica.1 g

La forma verbal consiste en una frase que describe las características de todos los puntos en cuestión, haciendo uso del lenguaje común. La forma numérica se relaciona con la llamada notación de intervalos. La forma algebraica se estudiará cuidadosamente en el siguiente capítulo y desde allí se construirán los conceptos del álgebra y de la trigonometría que nos

cuparán más adelante. o

jemplo 45 E En la siguiente tabla se presentan conjuntos de puntos, en notación de intervalos a partir de

ón verbal. una expresiExpresión Verbal Notación de In rvalos te

Números reales entre y –2 3 ( )32;− Números reales entre –2 y 3, inclusive [ ]32;− Números reales entre y inclusive –2 3 ( ]32;− Números reales entre –2 inclusive y 3 [ )32;−

1 STEWART, James. Cálculo, Conceptos y Contextos. “En época más reciente, se ha ampliado la regla de tres (interpretación numérica, geométrica y algebraica) para convertirse en la regla de cuatro al hacer hincapié también en el punto de vista verbal o descriptivo”.



Por convención, los paréntesis redondos ( ), indican que los puntos extremos no hacen parte del conjunto. Los paréntesis cuadrados [ ] indican que los extremos sí hacen parte del conjunto. Es importante recalcar que en la notación de un intervalo puede usarse combinación de paréntesis.

Cuando uno de los extremos de los intervalos es ó −∞ ∞ , se utiliza paréntesis redondo, ya que éste no es un número específico.

( ]3−−∞; [ ]3−−∞;

En notación de intervalos el número menor se escribe siempre a la izquierda. [ ]51;− [ 15 −; ]

Ejemplo 46 Para ilustrar segmentos en la recta numérica existen las siguientes convenciones:

Intervalo Representación Gráfica Notación Tipo

( )21;− Abierto

( )∞− ;3 Abierto

( )2:−∞ Abierto

[ ]13 −− ; Cerrado

[ )41 : Semiabierto

⎥⎦⎤⎜

⎝⎛

49

21 ; Semiabierto

( )01;− ∪ ( ]20; Unión de Intervalos

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 1 2 3 40

0

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40

-4 -3 -2 2 3 4

Ejercicios 1.11

Representar sobre una recta numérica los siguientes intervalos: 1. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

43

41 ; 2. [ ] 52 ;− 3. ( ]13 :−

4. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −∞−

25; 5. [ ]33 ;

0 -1 1

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40



Encontrar el intervalo que está representado en cada una de las siguientes rectas numéricas:

10. 11.

6.

10

7.

10

8.

10

9.

10

Representar sobre una recta numérica los siguientes conjuntos:

[ ] ( ]5;23;1 ∪ [ ] ( ]5;23;1 ∩ 12. ( ] ( ]311 ;; ∪∞−

[ ] [ )8323 ;; ∩− 14. ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 1

43

43

32 ;; ∪ 15. [ ] { }1223 =− xx∩; 13.

1.21 OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS Existen otros conjuntos numéricos que por el alcance que se ha definido para este libro de precálculo, no serán estudiados. Sin embargo se hace necesaria su mención, dado que

ueden tener aplicación más adelante. p Los conjuntos numéricos a los cuales se hace referencia se generan para dar solución a un número real que elevado al cuadrado sea igual a –1. y para resaltar su carácter de “no real” se conocen con el nombre de los números imaginarios. Estos, junto con los números

ales dan lugar a los llamados números complejos, re

CAPITULACIÓN EJERCICIOS DE RE

464, 812, 870 2. 98, 284, 392, 1176 3. 36; 84; 120

12, 24, 60 5. 96, 102, 192, 306

egundo.

e los tres números.

Hallar el M.C.D. de: 1.

Hallar el m.c.m. de:

4.

Con los números 38, 108 y 120 encontrar: 6. ro y un múltiplo del sUn divisor del primer núme7. El máximo común divisor d



8. El mínimo común múltiplo 9. Tres divisores comunes de los tres números. 0. Dos múltiplos comunes de los números.

s verdadero o falso y justifique su respuesta:

3. Al descomp 54 en factores primos, se obtienen 2 factores. 14. 200 tiene divisores.

1

Decir si e 11. 555 23 =− 12. 5.000 se puede expresa

oner el número r como 34 25 x

112

Simplificar: 15. ( ) ( ) ( )( ) ( )212601307154 ÷−÷+÷÷÷ 5 16. ( ) ( ) ( ) ( )( )97363512 ÷−÷÷−÷

17.

72423 ÷

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛ −+

910

2768141032 18.

⎝⎠⎝ 9327 306

285

43 ++

19. ( )3212 ×⎟⎞⎜⎛ −×− 20.

6 ⎠⎝

31

51

76

53

11

42

−

+

21. ⎟⎠

⎜⎝

×÷53

3 ⎞⎛

−+

65

28

4121

41

22.

41

2

21

−+

125 +

23. ⎭⎬⎫⎧

⎥⎦⎤⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −÷⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +÷÷

31

32

31

21

41

21 23+ ⎩

⎨ ⎢⎣ 24. +22 21

25. ( ) ( )14965 15 33333 ×÷×× 26. ( )446 − 27. ( )340 × 28. ( ) 423 125 + 2529. ( ) 32 − 30. ( ) 1739 32 +÷ 31. ( )( )[ ] ( )( )[ ]2332 4825 +−−÷+−− 32. ( ) ( ) ) ( ) 240 22222 −− −−+−−−−

33.

( ) (3 −− 1

50020125 −+ 34. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )253 23

2612

×

×× 523

35. 422010

36. 2 37. ( )( ) ( )92 −− ( )

[ ]43

1

02727 34

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 38. 222 43 ⎥⎦⎢⎣ +

( )2

9. ( )

72 +

31

21

32636

−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛÷ 40. 33 2

831024

87 ÷ 41.

( )

1

1

112

11 5353

531

−

−

−−−

−− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

42.

Simplificar y dar el resultado expresado en potencias:

( ) ( ) ( )( )[ ]35 2 +−

43. 458 233 ÷−−

⎟⎞⎜⎛−÷⎤⎡

+−⎟⎞⎜⎛−⎟⎞⎜⎛− 41718

52144.

⎠⎝⎥⎦

⎢⎣ ⎠⎝⎠⎝ 348343 ( )( )6234

45. 3002

532

32

32

32

32

32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛÷⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

46. 7654

326

322

324

32 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

8


Edición Preliminar PRECÁLCULO
Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Simplificar:

( ) ( ) ( )3

33333

333 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 47.

Realizar los siguientes eje ios: rcic 48. Encontrar el recíproco de 322 + 49. ¿Es posible que un número sea io recíproco? Por qué?

Cusu prop

50. ál es el decimal que representa 91

71 + ?

Decir a que es cada una de la guientes expresiones, a∈ℜ

.

igual s si 51

00 52.

a0 53.

0a 54. 0a 55. a0

o o falso espuesta:

r

Decir si es verdade y justifique su r

56. 16 23=×

33 2525 +=+ 9169 +=+ 57. ×( ) 22 434 58. 3( )

( ) ( ) 34123412 +×+× 60.

=59. 5

4

3333

3333 =++

61. 30 03 =

6 42− 64. ( ) 15 0 −=− .

62.842 66 =+ 63. ( )42 =−

65 34

3 14 −=−

.

Resolver los siguientes problemas:

66 Cuál es el 45% de los 12

240?

Con los números forme dos fracciones diferentes de tal forma que cada una de ellas sea menor qu

7 de

67. 2, 4, 5, 8 e la unidad y la diferencia entre ellas sea máxima.

68. e

70. 200ses. Vendieron 75 el primer mes, 130 el

1. 21 0,18 metros s la altura de la escalera en centímetros?

Un almacén tiene el 20% de descuento en todas sus existencias. ¿Quéconveniente para un cliente, que se aplique 15% por IVA antes o ddescuento?

es lo más spués del

69. En una calle de Bogotá, el periódico El Espectador descubrió un hueco de

forma cúbica. El lado del cubo mide dos (2) metros. Si un centímetro cúbico de tierra pesa (2) gramos, ¿Cuánto pesa la tierra que hay en el hueco?

Los empleados de una tienda de bicicletas establecieron como meta de ventas bicicletas nuevas en un período de tres me

segundo mes, y 125 el tercer mes. ¿Qué porcentaje de su meta alcanzaron?

Una escalera tiene escalones, cada escalón tiene de altura. ¿Cuál e7


CAPÍTULO I
SISTEMAS NUMÉRICOS
39 4

¿Cuántas pueden

3. 50 excursionistas llevan provisiones para 20 días a razón de 3

p?

4. Una seño enía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó

72. Si 5 personas pueden sostenerse durante 28 días con $1.540.000. sostenerse en las mismas condiciones con $1.320.000 durante 60 días?

7

=

raciones diarias. Si las raciones se disminuyen a la tercera arte y se aumentan 10 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres

7 ra t3

2 para 2

un pastel y 413 tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de leche quedaron?

En una casa el techo es de dos aguas. Si la inclinación de 5. (2) un lado es de 60 grados y la

76.

pasado: El 25% de las mujeres de la ciudad se casaron con hombres de la ciudad, cuales correspondían al de los 1250 hombres que habitaban en la ciudad.

Asumiendo que no

77.

staurante a razón de $1.800 la libra. Si se desperdició

8. Si al pagar una cuota de $15.000 se rebaja el 5% de su valor, cuánto se deberá pagar?

9. Qué es mayor el 40% de 120 o el 30% de 150.

80. 1. Una población de 1.500 habitantes ve aumentado su censo de población durante dos

2. Un comerciante compró 15 libros a $35.000 cada uno. Habiéndose deteriorado 9 de

stos el 10% salió defectuoso. En total que porcentaje salió defectuoso?

5. Para construir 180 m de un canal para aguas lluvias, 15 obreros han trabajado durante

6. Qué es más rentable: invertir $4'800.000 al 7,5% anual o comprar con el mismo dinero una casa de recreo que se puede alquilar por $20.000 mensuales?

7otra es de 70 grados y un gallo que se encuentra en la unión de las dos aguas del tejado pone un huevo, hacia qué lado del tejado caerá el huevo?

En una pequeña ciudad, con el "boom" del petróleo se presentó la siguiente situación al añolos 2,4%

hubo bigamia, cuántas mujeres vivían en la ciudad?

Un pescador recogió 72 libras de pescado en 6 horas. Decidió cortar el pescado en filetes y venderlo a un

reun sexto del total del pescado y el pescador demoró 2 horas en cortarlo. ¿Cuánto dinero ganó por hora?

7 7

Dos descuentos sucesivos del 10% y del 20% equivalen a una solo de cuánto?

8años consecutivos en un 8% y 4,94% respectivamente. Cuántos habitantes tiene al cabo de los dos años? Cuál es el porcentaje de aumento acumulado?

8ellos, tuvo que venderlos a $24.200 cada uno. A cómo tiene que vender los restantes para no perder?

83. En un despacho de 120 repuestos el 5% salieron defectuosos, en el segundo despacho

de 80 repue 84. Tengo 2 tíos paternos y tres tías paternas. ¿Cuántos hijos tuvieron mis abuelos

paternos?

812 días a razón de 10 horas por día; para construir 600m del mismo canal trabajando 8 horas diarias 32 obreros cuántos días se requerirán?

8


87.

de Enero, Cuáles serán las dos fechas más próximas en que

. Un árbol en un año pasa de x cm de altura a y cm de altura. Cuál es el porcentaje de

. Una torre de 25,05m de longitud da una sombra de 33,40m. Cuál será la longitud de la

90.

% del tercer tercio (40%), cuanto debe obtener en el próximo examen que vale el 20% para obtener en definitiva del semestre 3,3. Dar la respuesta

91. 0 viviendas. Se llama a un fabricante de números para que ponga

número a todas las viviendas (del 1 al 100). ¿Cuántos números 9 deberá fabricar para

. Se desea dividir tres varillas de 36, 72, 96 cm en pedazos iguales y de la mayor

93.

3 aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 días, el segundo cada 10 días y el tercero cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 ¿volverán a salir juntos? (El año no es bisiesto).

88

kl m

crecimiento en centímetros?

89sombra a la misma hora. de una persona cuya estatura es de 1,80m?

Si la nota de Precálculo en el primer tercio (30%) es 3,5 y en el segundo tercio (30%) es de 4,0 y lleva 2,5 en el 80

con tres cifras decimales).

En una calle hay 10

realizar su trabajo?

92longitud posible. ¿De qué longitud debe ser cada pedazo?

Treinta hom es se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días solo

han hecho

br

11ían

d 94.

os, ¿cuántos tienen 4 caras pintadas?, ¿cuántos 3?, ¿cuántos 2?, ¿cuántos 1?,

95.

3 de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres, podr

terminar la obra en el tiempo fijado? Si no es posible cuántos

Un cubo de madera se pinta y luego se divide en 27 cubos iguales. De estos nuevos cub

ías más necesitarán?

¿Cuántos quedan sin pintar?

Un auto recorre un día los 85 de la distancia entre dos ciudades y al día siguiente los

3de lo que le falta por llegar. Si aún está a 160 km. de su destino, ¿cuál es la distancia

. ¿Cuántos animales tengo, si se sabe que todos menos dos son perros, todos menos

. Se podrían dividir 3 varillas de 20, 24, 30 m en pedazos de 4 metros de longitud sin que

98.

que le queda al 1,5% y el resto al 10%. ¿Cuánto recibe al cabo de 2 años 5 meses por

2

entre las dos ciudades? ¿Cuántos kilómetros recorrió cada día?

96dos son gatos y todos menos dos son loros?

97sobre ni falte nada de cada varilla.

Ernesto recibe una herencia de $60.000. Invierte la mitad al 8%, la tercera parte de lo

concepto de intereses? ( las tasas de intereses son mensuales y el interés es simple ).



99. Para comprar un número exacto de docenas de pelotas de $80 la docena, o un número na ¿Cuál es la menor suma de dinero

100. pciones:

18 meses con cuotas de $15.200 cada una 2 años con cuotas de $14.850 mensuales.

c. uotas trimestrales de . C p

01.

02.

entándolos en un 20%. ¿Qué descuento hace, en realidad, sobre los precios originales?

103. La tabla de multiplica proporciona un interesante estudio de patrones, para ello

observémosla:

5 × 9 = 45

105. Un proyecto tiene una duración de tres años. El primer año da una pérdida de $80.000, el segundo año la pérdida disminuyó en $50.000 y el tercer año da una utilidad de $120.000. Determine si el proyecto da pérdida o ganancia y de cuánto.

exacto de docenas de lápices de $60 la docenecesaria? Para cancelar un crédito nos presentan tres o

a. b.

1 año con con cuál opción

$48.200agamos menos dinero?

1

Alvaro el negociante, vende en $68’500.000 una casa que le había costado $57'100.000 ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia?

1 Un comerciante con el fin de atraer clientela, anuncia conceder en sus ventas un 20% de descuento; pero, poco escrupuloso, modifica previamente los precios en ellos marcados, aum

ción del 9

1 × 9 = 9 2 × 9 = 18 3 × 9 = 27 4 × 9 = 36

6 × 9 = 54 7 × 9 = 63 8 × 9 = 72 9 × 9 = 81

a. Qué patrones puede encontrar? b. Qué sucederá si se continúa la tabla en dos líneas más? Se encuentran nuevos

patrones? Cuáles? Pruebe todos los anteriores patrones 104. Tres cajas contienen 160 libras, 200 libras y 64 libras de jabón en bloques,

respectivamente. Cada bloque de jabón tiene el mismo peso y el mayor posible. Cuánto pesa cada bloque?. Cuántos bloques hay en cada caja?



“Todo debe simplificarse hasta donde sea posible, pero nada más” Albert Einstein

CAPÍTULO II

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

2.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO 2.2 CONCEPTOS BÁSICOS 2.3 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN

ALGEBRAICA 2.4 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS 2.5 PRODUCTOS NOTABLES 2.6 RELACIONES ENTRE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS. 2.7 LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN


CAPÍTULO II

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

2.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO

i En la siguiente tabla, marcar con una X en la(s) casilla(s) correspondiente(s) el tipo de expresión al que pertenece:

Expresión Aritmética Algebraica Polinomial

4123 ÷+ 622 −+ xx

yy π−3 25 ww −+

( ) 53231 ×+−

233

216

61 zz −

xx 2−

( ) ( )82 loglog + 35 22 ×

xx 21 33 ×+ yyyz 22 −+

424 3223 +−+ yxyx ( ) 323 xx +

232 6523 xxxxx −+−+− ¿Cuáles fueron los criterios tenidos en cuenta para la clasificación de las expresiones? Aritméticas Algebraicas Polinomiales

¿Por qué una expresión puede clasificarse en más de un tipo?



Para las expresiones identificadas como polinomiales en la tabla, determinar:

Expresión Polinomial Número de Términos

Grado del Polinomio

Conjunto al que pertenecen los Coeficientes

Cantidad de Términos

Semejantes

2.2 CONCEPTOS BÁSICOS EXPRESIÓN ARITMÉTICA. Cualquier combinación de números y signos de agrupación u operación. VARIABLE. Símbolo, usualmente una letra, que representa cualquier elemento de un conjunto de referencia dado. En este texto, mientras no se especifique lo contrario, se asume que el conjunto de referencia es el de los números ℜ. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Cualquier combinación de números reales y letras unidos por operadores aritméticos. Las expresiones separadas por los signos de suma o resta son llamadas términos. Cada término está conformado por un número real llamado coeficiente, y una parte literal, formada por una o más variables. La parte variable puede tener exponentes reales.

En el término , el coeficiente es 1. 23 xy

El exponente de la variable en el término es 1. x2

El término 6 tiene como parte variable . 0x

TÉRMINOS SEMEJANTES. Son aquellos que tienen la misma parte literal con igual exponente. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ESPECIALES: POLINOMIO. Combinación de números, variables con exponentes enteros no negativos

y signos de agrupación u operación. El grado del polinomio está determinado por el mayor exponente de la variable en que está dado. La forma general para un polinomio de grado n en una variable es:

01

12

21

1 axaxaxaxa nn

nn

nn +++++ −

−−

− ... , donde los coeficientes an son números reales,

y an≠0, con . { }0∪+∈ Zn

A a0 se le da el nombre de término independiente.



Según el número de términos, un polinomio recibe nombres especiales, así: Monomio. Es aquel que tiene un solo término.

Binomio. Es aquel que tiene dos términos no semejantes.

Trinomio. Es aquel que tiene tres términos no semejantes.

FRACCIÓN ALGEBRAICA. Cociente o razón entre dos polinomios, donde el polinomio

del denominador es de grado > 0.También se conoce como expresión racional. El capítulo XIV cubre este tema con detalle.

Ejercicios 2.1

En los ejercicios 1 a 10, decir si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justificar la respuesta.

1. Los términos y son semejantes. _________________ 32xyab xaby 23

2. Las expresiones x1 y x son términos semejantes. _________________

3. 353 12 ++ −ww es una expresión algebraica. _________________

4. Toda expresión algebraica es un polinomio. _________________ 5. es un trinomio. _________________ 132 ++ yy6. La expresión es un monomio. _________________ ( 13 +xx )

7. 2

3+x

es un polinomio de grado 1. _________________

8. 5

3237 23 +−+ xxx es una fracción algebraica. _________________

9. Un polinomio de grado 3 tiene cuatro términos. _________________ 10. 3z + π es un polinomio. _________________ 11. y son términos semejantes. _________________ 543 ba 453 ba

2.3 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

j

7 por 5 puede escribirse:

57 × 57 ⋅

( )57 ( ) 57 ( )( )57

7 por x puede escribirse:

x7 x⋅7

( )x7 ( )x7 ( )( )x7

y por x puede escribirse:

yx

xy ⋅ ( )xy

( ) xy ( )( )xy

El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma la expresión cuando se le asignan valores numéricos a las variables.



Ejemplo 1

( ) xxxx 233 100 +++ − cuando 21=x

Reemplazando x por el valor dado, se tiene:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−

212

21

213

213

100

Efectuando las operaciones indicadas, se tiene:

( ) 712113 =+++

Ejemplo 2 23323 ++− yyxyx cuando 3

31 −=−= yx ;

Reemplazando x y y por los valores dados, se tiene:

( ) ( ) ( ) 2333313

31 3

23+−+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

Efectuando las operaciones indicadas, se tiene: ( ) ( ) ( ) 23327

913

271 +−+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛− = 293

91 +−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

= 491 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =

9361− =

935−

Ejercicios 2.2

Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: 1. , cuando y ba −2 3=a 2−=b . 2. , cuando ( 22 2 +−+ xxx ) 3−=x

3. 1

234

−+−

xxxx cuando 1−=x 4. si 23 24 ++ xx 2=x

5. si 23 24 ++ xx 2−=x

Resolver los siguientes ejercicios:

a e conclusión? 6. ¿Qué se puede concluir de los ejercicios 4 y 5?. ¿Por qué se llega sa Si y son enteros y es entero impar, qué se puede decir de ? 7. x y

2xy ( )2xy

2.4 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Simplificar una expresión algebraica es convertirla en la expresión equivalente más simple. A partir de este punto y hasta el capítulo XIII, las expresiones algebraicas que se estudiarán erán polinomios. s

Al simplificar una expresión algebraica pueden presentarse situaciones que llevan a aplicar

l menos uno de los siguientes procesos: a



Agrupar términos semejantes.

jemplo 3

implificar 74396 −−+− xxx

−+−−= xxx : 73 −+ Propiedad Distributiva

4136 2 −−= xx Propiedad Clausurativa

de paréntesis entre otro, se

debe aplicar la propiedad distributiva de adentro hacia fuera.

jemplo 4

implificar 1−−−− mmmm

1−−−− mmm

E

2S

74396 2 −−+− xxx Propiedad Conmutativa73496 2

( )496 2 +−= xx

propiedad distributiva en caso de encontrar signos de agrupación tales como

( ) [ ] { },, ó ⎯. En caso de tener paréntesis anidados, un par Aplicar la

E

( )[ ]{ }S

( )[ ]{ }m ][{ }+−−−= mmmm[ ] }1−−= mm

la adición y Distributiva m

1= Inverso Aditivo.

1 P. Distributiva. + Inverso Aditivo. { 0

P. Modulativa de{ }1−−= mm

1+− m P. Distributiva. =

Ejercicios 2.3

Simplificar las siguientes expresiones dando el resultando en forma de polinomio 1. ( )( )( )( )[ ]32683232 +−−−+−−+−− xxxxxx 2. ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )6−+−−+−++−− xxyzx 53832 +

3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xyxz 2352 +−+−−−+−−−−− . y5 4 ( ) ( )153524 2323 +−−++−+ xxxxxx . ( ) ( )265765 2323 +++−−+− yyyyyy

Encontrar el polinomio que resulta de:

3

5

6. Sumar los siguientes polinomios: b a 32 c −− ; a 2c b5 −+ y c b 423 +− a7. Restar el segundo polinomio del primero: dba 245 −− ; cba 242 −− 8.

y + ; 3x 2 yxy −− ; 22 23 yxyx −+ . Restar 253 3 +− xx de cero.

Restar la suma de los dos últimos polinomios, de la suma de los dos primeros: 22 42 xx − 2yy − ; xy 22

9

En la multiplicación de expresiones algebraicas pueden presentarse dos tipossituaciones: la primera, en donde todos los factores son monomios, y la segunda cuan

enos uno de los factores es un polinomio. m

58 G. MORA – M. M. REY – B. C. RO

:

de do al

BLES


Para el primer caso, el resultado de la multiplicación se encuentra aplicando las propiedades de la multiplicación y las de la potenciación en números reales. Ejemplo 5 Simplificar ( )5333 3 xyyx −−

( )5333 3 xyyx −− ( )( ) ( )53333 yyxx−−= P. Asociativa y Conmutativa

( ) ( )53333 yyxx= P. Opuesto Aditivo

( ) ( )531333 ++= yx P. Potencias

8427 yx=

Cuando se presenta el segundo caso, es decir, cuando al menos uno de los factores es un polinomio, debe multiplicarse aplicando sucesivamente la propiedad distributiva de los reales, como se ve en los ejemplos siguientes: Ejemplo 6 Simplificar: ( )xyy 242 +

( ) ( ) ( )xyyyxyy 2242242 +=+ P.Distributiva

P. de las Potencias yxy 48 2 +=

Ejemplo 7

Simplificar: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ aaa 3

419

43

161 2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ aaa 3

419

43

161 2 ( )aaaaa 39

43

161

419

43

161 22 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= P.Distributiva

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= aaaaaaa 393

433

161

419

41

43

41

161 22 P.Distributiva

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= 3

22 27

49

163

49

163

641 aaaaa Operaciones

32

2 274

9163

49

163

641 aaaaa −−−++= P.Distributiva

327641 a−= Agrupación de términos semejantes



Ejercicios 2.4

Simplificar las siguientes expresiones: 1. ( ) ( )yzyxxy 453 23 −− 2. ( )( )3223 532 baba − 3. ( ) 322 2xx−

4. ( ) ( ) ( )cabcab 23322 2 5. ( ) ( )422332 cbab 6. ( ) ( ) ( )322632 yxyx −−−

7. ( ) ( )43532 324 −+++− aaaaa 8. ( )( ) ( )42213 22 ++−+ xxxx 9. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +− 534342 2

41

53

32 zxyyxxyyx

10. ( ) ( )( )baabaa 24333 −+ 11. ( )( )4532 45 yxyx 12. ( )( )725 43

61 aaa −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

13. ( )( )22 232 nmnmnm +−+ 14. ( )( )yxyxyyx +++ 22 6

2.5 PRODUCTOS NOTABLES Existen productos de binomios de uso tan frecuente, que se han creado esquemas de solución de fácil nemotecnia. Tales métodos de solución establecen una relación de igualdad tal que su aplicación es válida tanto para encontrar el resultado del producto, como para realizar el proceso inverso de encontrar los factores que dan lugar a una expresión polinomial. A este tipo de productos se les conoce con el nombre de productos notables. Cuadrado de un binomio: se presentan dos situaciones

El cuadrado de una suma: expresado ( ) 222 2 bababa ++=+

( )2ba + ( )( ) ( ) ( )babbaababa +++=++=

2222 2 bababbaaba ++=+++= El cuadrado de una diferencia: expresado como ( ) 222 2 bababa +−=−

( )2ba − ( )( ) ( ) ( )babbaababa −−−=−−= 2222 2 bababbaaba +−=+−−=

La suma por la diferencia de términos iguales: se representa como ( )( ) 22 bababa −=−+

( )( ) ( ) ( ) 2222 babbaabababbaababa −=−+−=−+−=−+

Si y representan las áreas de dos cuadrados de lado a y b respectivamente

que representa?

2a 2b22 ba −



Para interpretar la situación, se utiliza la siguiente gráfica:

a - b

a

ba

b

a - b

B

A

Como puede verse, representa el área no sombreada, y corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos A y B:

22 ba −

( ) ( ) ( )( babababababa +−=−+−=− 22 ) Cubo de un binomio: se presentan dos situaciones

El cubo de una suma: se expresa ( ) 32233 33 babbaaba +++=+

( )3ba + ( )( ) ( )( )222 2 bababababa +++=++=

( ) ( )2222 22 bababbabaa +++++= 322223 22 babbaabbaa +++++=

3223 33 babbaa +++= El cubo de una diferencia: expresado ( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

( )3ba − ( )( ) ( )( )222 2 bababababa +−−=−−=

( ) ( )2222 22 bababbabaa +−−+−= 322223 22 babbaabbaa −+−+−=

3223 33 babbaa −+−=

La suma de cubos: expresado ( )( ) 3322 babababa +=+−+

( )( )22 bababa +−+ ( ) ( )2222 bababbabaa +−++−= 33322223 bababbaabbaa +=+−++−=



La diferencia de cubos: expresado ( )( ) 3322 babababa −=++−

( )( )22 bababa ++− ( ) ( )2222 bababbabaa ++−++= 33322223 bababbaabbaa −=−−−++=

Ejemplo 8 Encontrar el polinomio equivalente a ( )232 −a

( ) ( ) ( )( ) ( )9124

33222322

222

+−=

+−=−

aa

aaa

Ejemplo 9

Desarrollar el producto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− yxyx

23

23

( )

22

22

49

23

23

23

yx

yxyxyx

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Ejemplo 10 Simplificar la expresión ( ) ( )( )232312 2 −+−− xxx

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

545

49144

49144

2311222232312

2

22

22

22222

+−−=

+−+−=

−−+−=

−−+−=−+−−

xx

xxx

xxx

xxxxxx

( ) 222 2 bababa +±=± ( ) 222 baba ±=±

(a ) 32233 33 babbaab ±+±=± ( ) 333 baba ±=±

( )( ) 3322 babababa ±=+± ∓ 2 ) 332 babab ±=+ ( )( ∓2aba ± Los productos notables no solamente facilitan las operaciones algebraicas sino que además son útiles para operaciones aritméticas. Para ilustrarlo se presentan los siguientes ejemplos.



Ejemplo 11 Encontrar el valor de

228 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

( ) ( )

8412

4848

2282828 222

−=

+−=

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

Ejemplo 12 Encontrar el valor de ( )2325

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

6251056250001500090

25253002300

2530032522

22

...

=++=

++=

+=

Ejercicios 2.5

Expresar en forma de polinomio: )

1. ( )( 1212 +− xx 2. ( )[ ]224 xy −+ 3. ( )[ ] ( )[ ]22 +−++ baba

4. ( )[ ]232 −− yx 5. ( )33−x 6. ( )[ ]312 +−x

yx , si

Encontrar el valor de: 7. 22 − m y y x , m

myx =+≠=− 01

Mostrar que:

8. ( )( )1++ x

413

21 23422 ++=

+−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ xxxxxxx

9. 123 +++⎞⎜⎛ ++ xxxxxxx

)( ) ( )2yxxyy −−=− 4

512

4222 +=−⎟⎠⎝

10. (x −

11. Si 100 ≠≠≠= bcbcb

ba ,,, ,entonces : 11 +=− bac

1−b

12. ( )( )2233 babababa ++−=− Ayuda: Interpretarlo geométricamente



2.6 RELACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Dos expresiones alg aicas edebr pu en relacion sím os:

cuación. Cuando la relación de igualdad entre dos

capítulo no es encontrar la solución de una ecuación; tan sólo

e hacen verdadera la ecuación se denominan solución de la ecuación o to de estos valores, se denomina conjunto solución.

arse por medio de los bol

IGUAL = DIFERENTE ≠ MENOR < MAYOR > MAYOR O IGUAL ≥ MENOR O IGUAL ≤

Una igualdad entre dos expresiones que es válida para algunos valores de las variables en l conjunto de referencia, se denomina ee

expresiones es válida para todos los valores de las variables en el conjunto de referencia, la ecuación toma el nombre de identidad. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen verdadera la gualdad. El objetivo de esteise pretende verificar si un valor asignado a las variables permite que se cumpla la relación de igualdad numérica o no. Los valores qu raíces. El conjun Ejemplo 13 = 2 es una solución de la ecuación 512 =−x ? x

Para saberlo, se reemplaza el va lalor de variable en la expresión dada:

( ) 5122 =− 514 =− 53 = lo cual es falso

Como se llega a una proposdada.

ición falsa, se concluye que 2 no es solución para la ecuación

2 =

Ahora, qué sucede si x = 3?

( )3 − 51 516 =− 55 = lo cual es verdadero

Así se llega a u an proposición verdadera, por lo tanto 3 si es solución de la ecuación.

x =2 es una solución de xx 7344 +−−=+

())( 2332422 2 −−+

412 +−

variable puede tomar valores que hacen que la relación de igualdad sea hacen verdadera.

Ejemplo 14

( ) xxxx 3 22

( ) )()( 2724 2 += ( ) 161662 −=

1212 = lo cual es verdadero

Por lo tanto 2 es solución de la ecuación. Se observa que lafalsa y otros que la



Ejercicios 2.6

Para cada una de las siguientes ecuaciones verifique si los valores que toma la

;

variable son solución de la ecuación. 1. x1235 =−x ; 2= 3=x 2. xx −=+ 38 ; 2=x 2=x

. ( ) ( )xx 213127 −−=− ; 1−=x ;

; −

32 4. xx 816 =+ ; 21=x 2 =x ; 4−=x ; =x

022 =−+ xx ; 0=x

4

. ; 1=x ; 25 −=x 6. 21

15 =

+−

xx ; 0=x ; 11=x

Explicar qué ocurre cuando x toma el valor de –1 en la ecuación del ejercicio 6. ¿Qué se

7. puede concluir?

Al considerar los signos de orden <, >, ≤, ≥ entre dos expresiones algebraicas, puede definirse una inecuación como una relación válida para algunos valores de las variables en el conjunto de referencia. Como en el caso de la relación de igualdad, el objetivo en este momento es saber si un valor

variables permite cumplir con la relación de orden o no. No se buscará aún ecuación.

jemplo 15 Ver

asignado a las solución para la in E

ificar si 21=x es solución de ( )321<−x −x

em lazan x po el valo R p do r r dado ⎟

⎠⎞<− 3

2121 ⎜

⎝⎛ −

21

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−<−

252

21

521 −<− lo cual es falso

Por lo tanto, puede decirse que para la inecuación, 21 no es solución.

hora s x = 6 t emos

A i en :

( )36216 −<− 65 < lo cual es verdadero. Lo anterior nos lleva a precisar que la expresión ( )321 −<− xx es una inecuación ya que hay

na desigualdad es una relación válida para todos los valores de las variables en el onjunto de referencia.

valores que hacen verdadera la relación de orden y otros que la hacen falsa. Uc



Ejercicios 2.7

Para cada una de las siguientes inecuaciones verificar si los valores de la variable dados hacen verdadera o falsa la inecuación:

1. ( ) 11512 −==+<+ xxxx ;; 2. ( )

321213 =−=+>+− xxxx ;;

( ) 2000502350 ,;;,, −==≤−+ xxxxx 4.

21

3. 230333 −==−−>+− xx

xx

xx ;;

. ( ) 020305 22 ,;,; −==+−<− xxxxx 5

2.7 LENGUAJE ALGEBRAICO Antes de pretender encontrar la solución de problemas, es necesario identificar los elementos que intervienen en ellos y el papel que juegan en el problema. En términos generales, un lenguaje es un conjunto de símbolos que, organizados de acuerdo con unas reglas previamente establecidas, permite la comunicación entre dos partes. El lenguaje algebraico es una de las herramientas que permite representar matemáticamente

je eficaz que se utiliza para describir metría, física, ciencias y en general el

un

na

esquema la situación planteada.

la situación planteada qué es conocido y qué es desconocido, para así lograr una asignación adecuada de las incognitas.

E 16

un problema planteado. El álgebra es un lenguasituaciones que se presentan en la aritmética, geom do a nuestro alrededor. U simbolización algebraica correcta depende de:

Un buen conocimiento del idioma en que está escrito el texto.

La comprensión del entorno en que tiene lugar la situación planteada.

Dar un uso adecuado a la aritmética.

De ser posible representar con un dibujo, gráfica o Identificar en

jemplo Enunciado Expresión algebraica

8 más un número ó Sea x un número:

Un número sumado a 8 x+8

Un número más 8 ó

n úmero incrementado en 8 ó

8 sumado a un número 8

U n+x



Ejemplo 17

Enunciado Expresión al ebraicg a

8 veces un número Sea x un número: x8

Ejemplo 18

Enunciado Expresión algebraica

3 veces un número menos 2 ó

Restar del triple de un número ó 2

El triple de un número, menos 2 ó

un

Sea x un número:

23 −x La diferencia entre el triple de número y 2.

El triple de: un número menos 2 ó

Tres veces la diferencia entre un

número y 2. ( )3 2−x

El cubo de un número menos 2. 23 −x

Ejemplo 19

Situación Planteada Expresión Al ebrag ica

Un número par. Sea x un número entero: x2

Un número impar. Sea x un número entero: 12 +x

Ejemplo 20

Situación Planteada Expresión Algebraica

Un número non aumentado en 15 ( ) 1512 ++x

donde x es un número entero. Ejemplo 21


De las utilidades que produce un pozo petrolero

el 15% por regalías

x total utilidades Un pueblo recibe

x10015



Ejemplo 22


A un número de dos cifras

nm +10 donde (m = decenas; n = unidades)

m y n son dígitos:

Se le invierten las cifras mn +10 En los ejemplos anteriores se describieron situaciones mediante textos. Sin embargo, es

rarse con situaciones descritas en forma gráfica. Para ilustrar algunas de el ejemplo 37 de la sección 1.19.

Para ilustrar segmentos en la recta numérica existen las siguientes convenciones:

posible encontellas, se retomará Ejemplo 23

Representación Gráfica Expresión Algebraica

21 <<− x

3−>x

2<x

13 −≤≤− x

41 <≤ x

4

921 ≤< x

01 <<− x

-4 -3 -2 1 2 3 40

ó 20 ≤< x

Ejercicios 2.8

Expresar algebraicamente, utilizando x para las cantidades desconocidas:

6. La diferencia entre el cuadrado de un número y el doble del mismo.

1. disminuido en un número. 45

2. 55 restado de un número.

3. El doble de un número más nueve.

4. El cuadrado de la suma de un número más 10 veces el mismo número.

5. El producto de un número por el mismo número disminuido en tres.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40

-4 -3 -2 -1 1

2 3 40

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40

-4 -3 -2 -1 1 2 3 40



7. El producto entre 3 menos que el doble de un número y 3 más que el doble del mismo número.

8. El producto de un número por 3 veces el mismo número.

9. La suma del menor y el mayor de tres impares consecutivos.

10. La suma de los cuadrados de dos números enteros pares consecutivos.

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

)

1. (n

pp −1 si y 20,=p 100=n 2. yxyx 335

32 3 +− si

23=x y 2=y

3. si ( ) 22 232 yyxyx −−− 51,−=x y 30,=y 4. si 32nmmn + 2−=m y 3−=n

Si m es entero impar y n es entero par, a qué subconjunto de los enteros pertenece: 5.

a. nm + b. nm − c. mmm +×

Simplificar las siguientes expresiones: 6. ( ) ( ) 54 322 yxxyx −−− 7. ( ) 5222 ab−− 8. ( ) ( )42342 32 baab

9. ( ) ( ) ( )423322 32 bcabccab − 10. ( ) ( ) ( )222232 2 acbcaab 11. ( ) ( )(3222 32 ) 432cbaab −−

12. ( ) ( )2323 ba −− 13.

a

( )( )32222 ba +−− ( ) ( ) ( )22 14. 3243 65 xyyx −−−− ( ) ( )423 9

614 bbb −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4

2

23

2

254

bba

baba 16. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +− aaa 3

419

43

161 2 15.

Simplificar las siguientes expresiones

( ) ( )4832965 2324 +−+−+− xxxxxx 17. ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]xxzzxxz 2522431 +−−−++−−−−− 18.

19. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]wyyzy −+−−−−++−−−− 253 20. ( ) ( )[ ] ( )[ ] zzywwzw 2322532 −+−−−−−−−−−−

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )3411523 −−−−−+−−+−− zwzwz

ignos de interrogación escribir expresiones algebraicas que mantengan

21.

En lugar de sla igualdad:

22. ( ) ( )?xxxxx +−=−+− 332233 22 23. ( ) ( )?xxxxx +−=+−− 12382123 22

. ( ) ( )?xxxxx −+=−−+ 10653106 22 24



Enco io quntrar el polinom e resulta de:

5. 2 Sumar 2

92

65y con 2 53 xyx +−

41

31

23 2 +− yxy y restarla de la suma de xyyx 122 22 +−

939 con

21

23

9227 2 −−+ yxy

451

ocidas:

28.

nos el

ero.

Tres veces la diferencia entre 30 y un número.

Dos tercios de la suma de un número y tres séptimos de otro.

los siguientes enunciados, escriba una expresión

5. que el numerador.

La ivos pares,

es 6, el número mayor es x. ¿Cuál es el número

ivo par?

ero x.

enos que la mitad del número a?

3. El triple de

Expresar algebraicamente, considerando x y y como las cantidades descon 26. El producto de 9 por el doble de un número.

27. La diferencia entre el cuadrado de un número y el cuadrado de otro número.

Un tercio de la cuarta parte de un número.

29. La suma de los cuadrados de dos impares consecutivos, mecuadrado del entero que está entre ellos.

30. Un número disminuido en la mitad del cuadrado del mismo núm

31.

32.

Para cada uno deusando p para designar un número.

33. 30 superior al número.

34. Un número multiplicado por si mismo.

El denominador de una fracción es 3 unidades mayor3

36. suma de los cuadrados de dos números enteros consecutcuadrado de la suma de los 2 enteros consecutivos.

Represente los números requeridos en términos de variables: 37. La diferencia de dos números

38. Si a es un número entero par, ¿cuál es el siguiente entero consecut

39. El recíproco de un núm

40. ¿Qué número es dos unidades m

41. 5 veces un número x.

42. El doble de a, aumentado en 5.

4 a aumentado en 3

El 6% de

2 .

44. impuesto sobre x dólares.

70 G. MORA – M. M. REY – B.

5973

algebraica

menos el

menor?

C. ROBLES

Traducir los siguientes enunciados a expresiones algebraicas:

El núme45. ro de grados de una temperatura que es 50 grados más elevada que otra de t grados.

46. metros de una longitud que es 120 metros más corta que otra de d metros

t

lenta que otra de r m/s.

49. El número de metros de una distancia que está 10 decámetros más distante que

alto que otro de z pisos.

52. La diferencia cuando t se resta de 8.

53. 5 y a se divide por b.

alo de tiempo que es 1 minuto más corto que t segundos.

55. El número de metros cuadrados de una área que es 30 metros cuadrados mayor cuadrados.

l

multiplica este producto por 2 y se obtiene 30.

. Se suma 7 a un número, después se resta 4 de la suma y se obtiene 5.

El .

El número de .

ra de p 47. El número de metros de una longitud que es 50 metros más pequeña que ometros.

48. El número de metros por segundo (m/s) de una velocidad que es 20 m/s más

otra de d metros.

50. El número de pisos de un edificio que es 8 pisos más

51. Un precio en dólares que es 5 dólares más caro que la mitad de otro de p dólares.

El cociente cuando la suma de

54. El número de segundos de un interv

que otra de a metros

56. E número a supera en 6 al número b.

57. El número a es 10 unidades menor que el numero b

58. x es la mitad de y.

Si n, m, r y s representan un número, expresar algebraicamente:

59. Se multiplica un número por 3, se suma 8 al producto y se obtiene 23.

60. Se multiplica un número por 9 y se obtiene 45.

61. Se multiplica un número por 3, después se

62

ghjk

63. producto de m y n dividido entre 3 veces su diferencia

64. El cociente de 3 veces la diferencia de r y s entre el duplo de su suma.



¿Qué expresión representa la siguiente situación? :

s 12 unidades menos que la tercera parte del producto de los números.

66. umentado en 2, es lo mismo que el número aumentado en 8.

68. La suma de un número y 3 al multiplicarla por 2 nos da 14.

9. El producto de dos números pares consecutivos es 24 unidades menor que 12 veces el siguiente número par.

70. Si al doble de un número se le agrega 7 el resultado se resta de 60, al resultado le faltan 7 para ser igual a 10 veces el número.

65. El doble de la suma de dos enteros pares consecutivos e

El triple de un número a

67. Cuando un número se suma a sí mismo el resultado es igual a cuando el número se multiplica por sí mismo.

6

, y



“Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida”

Pitágoras

CAPÍTULO III

ECUACIONES E INECUACIONES CON

POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA

VARIABLE 3.3 CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN. 3.4 APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER

GRADO 3.5 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES 3.6 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR SUSTITUCIÓN

3.7 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR IGUALACIÓN

3.8 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR REDUCCIÓN

3.9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE.


CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

CAPÍTULO III

ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

En este capítulo se estudiará el procedimiento para resolver relaciones de igualdad y de orden de polinomios de primer grado en una variable. Teniendo como conjunto de referencia los reales.

3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

i Cómo estamos de conceptos? 1. Dar tres ejemplos de ecuaciones de primer grado en una variable. 2. Qué es resolver una ecuación? 3. Qué diferencia existe entre ecuación e identidad? 4. Qué significa conjunto solución?

3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Una expresión de la forma con a y b ∈ ℜ y ba +x 0a ≠ es un polinomio de primer grado en una variable . ( )x Una relación de igualdad de la forma 0ba =+x es una ecuación de primer grado en una variable ó también conocida como ecuación lineal. Esta forma es conocida como la forma estándar.

( ) 75234 −−−+ xxx

Es una expresión algebraica ó un polinomio de primer grado

( ) 075234 =−−−+ xxx

Es una relación de igualdad ó una ecuación de primer grado

Resolver una ecuación es encontrar los valores del conjunto de referencia que puede tomar la variable para que sea verdadera la relación de igualdad. Los valores que cumplen la relación de igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación y el conjunto formado por éstas soluciones o raíces se llama conjunto solución.



3.3 CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN. Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las propiedades de los reales y las propiedades de las igualdades, que se enuncian a continuación: Propiedad de la suma: Si ℜ∈cb,a, y ba = , entonces, cbca +=+ Propiedad de la multiplicación: Si ℜ∈cb,a, y ba = , entonces, cbca ×=× Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 042 =+x

42 +x = 0 Ecuación dada.

( )442 −++x = ( )40 −+ Propiedad de la suma en igualdades

02 +x = 4− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.x2 = 4− Propiedad de la identidad de la suma.

( )x221 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ = ( )4

21 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Propiedad de la multiplicación en igualdades.

x1 = 24− Propiedad del inverso multiplicativo.

x = 2− Propiedad del elemento identidad en la multiplicación y simplificación de fracciones

Como es posible cometer errores aritméticos o algebraicos al encontrar el valor de x, siempre se debe verificar la validez del valor encontrado por lo tanto:

( ) 422 +− = 0 44 +− = 0 0 = 0

Como x = − 2 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz única de

la ecuación y { }2− es el conjunto solución el cual se puede escribir { }2C.S. −= .

Toda ecuación de la forma 0a0ba ≠=+x tiene una y sólo una solución

ab−=x

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 084 =+x

84 +x = 0 Ecuación dada.

( )884 −++x = ( )80 −+ Propiedad de la suma en igualdades

04 +x = 8− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.



( )x441 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ = ( )8

41 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Propiedad de la multiplicación en igualdades.

x1 = 48− Propiedad del inverso multiplicativo.

x = 2− Propiedad del elemento identidad en la multiplicación y simplificación de fracciones

Verificando la validez del valor encontrado se tiene:

( ) 824 +− = 0 88 +− = 0 0 = 0

x = − 2 hace verdadera la relación de igualdad dada, lo que significa que es la solución o raíz

única de la ecuación . Por lo tanto, { }2C.S. −= . En los dos ejemplos anteriores se ha llegado a una misma respuesta por lo que se dice que

y son ecuaciones equivalentes. En general, se tiene que dos o más ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

042 =+x 084 =+x

Continuando con la solución de ecuaciones, vale llamar la atención con respecto a las situaciones presentadas hasta el momento. En la vida cotidiana, no siempre se presentan ecuaciones de la forma . Puede ocurrir que la relación se establece entre dos expresiones de grado 1, como se muestra en los siguientes ejemplos.

0ba =+x

Ejemplo 3

Encontrar el conjunto solución de 1243 −=+ xx 43 +x = 12 −x Ecuación dada.

( )443 −++x = ( )412 −+−x Propiedad de la suma en igualdades

03 +x = 52 −x Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

x3 = 52 −x Propiedad de la identidad de la suma.

( )xx 23 −+ = ( ) 522 −−+ xx Propiedad de la suma en igualdades

x = 5− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

Encontrado un valor real para la variable, debe verificarse que hace verdadera la relación dada:

43 +x = 12 −x Ecuación dada.

( ) 453 +− = ( ) 152 −− Se reemplaza x por el valor encontrado.

415 +− = 110 −−

11− = 11−

Al comprobar que x = -5 hace verdadera la relación de igualdad inicialmente dada, puede aceptarse que éste valor es la solución o raíz de la ecuación. Es decir que . { }5C.S −=.



Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de ( ) ( )6523 −=+ xx

( )23 +x = ( )65 −x Ecuación dada.

63 +x = 305 −x Propiedad distributiva.


03 +x = 365 −x Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

x3 = 365 −x Propiedad de la identidad de la suma.

( ) xx 35 +− = ( ) 3655 −+− xx Propiedad de la suma en igualdades

x2− = 36− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

( x221 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − ) = ( )36

21 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − Propiedad de la multiplicación en igualdades

x1 = 236 Propiedad de la multiplicación en igualdades

x = 18 Propiedad del elemento identidad en la multiplicación. Se debe verificar que el valor encontrado hace verdadera la relación dada:


( )( )2183 + = ( )( )6185 − Se reemplaza x por el valor encontrado.

( )203 = ( )125

60 = 60 Como x = 18 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz de la ecuación y { }18 es el conjunto solución. Para resolver una ecuación, no es indispensable realizar todos los pasos que se han seguido en este ejemplo, pero por ahora sí aclaran el porqué de lo que se hace mecánicamente. Algunos pueden suprimirse ya que es posible hacerlos mentalmente.


63 +x = 305 −x Propiedad distributiva.


x3 = 365 −x Propiedad de la suma en igualdades, inverso aditivo, agrupación de términos semejantes e identidad de la suma.

x = 18 Propiedad de la multiplicación en igualdades, inverso multiplicativo elemento identidad en la multiplicación.



Hasta el momento, los casos presentados han permitido llegar a un valor para la variable. Sin embargo, es posible encontrar otras situaciones cuyo resultado antes de causar sorpresa, debe llevar a un cuidadoso análisis para interpretarlas correctamente, como se verá en los siguientes ejemplos. Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de ( ) xxx 21422 −+=+

( )22 +x = xx 214 −+ Ecuación dada ( )22 +x = 12 +x Agrupación de términos semejantes.

42 +x = 12 +x Propiedad distributiva. ( )442 −++x = ( )412 −++x Propiedad de la suma en igualdades.

02 +x = 32 −x Propiedad inverso aditivo y agrupación de términos semejantes. x2 = 32 −x Propiedad del elemento identidad de la adición.

( )xx 22 −+ = ( )xx 232 −+− Propiedad de la suma en igualdades. 0 = 30 − Propiedad del inverso aditivo. 0 = 3−

Como se ha llegado a una expresión diferente de x = d que era lo que se buscaba, no es de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación, la cual es: Como se partió de que hay solución es decir que existe un valor para x y se llegó a una contradicción, lo que sucede es que el supuesto de que existe solución es falso, por lo tanto no hay solución y el conjunto solución es ∅ .

Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de ( ) 12315639 +−+−=+− yyy

( )39 +−y = 123156 +−+− yy Ecuación dada ( )39 +−y = 279 +− y Agrupación de términos semejantes.

279 +− y = 279 +− y Propiedad distributiva. ( )yy 9279 ++− = ( )yy 9279 ++− Propiedad de la suma en igualdades.

27 = 27 Propiedad del inverso y elemento identidad de la suma. Se ha llegado a una expresión diferente de y = d que era lo que se buscaba. No es tampoco de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación: Puede observarse que las expresiones a cada lado de la igualdad son iguales, lo que nos lleva a decir que cualquier valor que tome y en el conjunto de referencia hará verdadera la

igualdad, por lo tanto hay infinitas soluciones y el conjunto solución es ℜ .



Cuando el conjunto solución es igual al conjunto de referencia, se dice que la relación de igualdad es una identidad. Siendo el conjunto de referencia los reales, se obtendrán infinitas soluciones. Ejemplo 7

EE

E

E

) Encontrar el conjunto solución de xx 100828 ,, −=

Método de Solución 1 Método de Solución 2

828, = xx 100,−

828, = xx 100,− 1002880 = xx

10010−

828, = x900, ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛100288100 = ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − xx

10010100

900828

,, = x 2880 = xx 10100 −

32 = x 2880 = x90 288 = x9 32 = x

{ }32C.S. =

jemplo 8 ncontrar el conjunto solución de

25

3123 xx −=−−

Método de Solución 1 Método de Solución 2

3123 −− x = 2

5 x− 3

123 −− x = 25 x−

31

323 +− x = 22

5 x− ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

31236 x = ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

256 x

232 xx +− = 3

1025 − 2418 +− x = x315 −

63

64 xx +− = 6

206

15 − x420 − = x315 −

6x− = 6

5− 1520 − = xx 43 +−

x = 5 5 = x

{ }5C.S. =



Una expresión de la forma ba +x toma un valor numérico diferente

dependiendo del valor que se le dé a la variable.

Una expresión de la forma 0ba =+x se hace verdadera para un único valor de la variable. Para cualquier otro valor de x, la expresión se hace falsa.

Ejercicios 3.1

Encontrar el conjunto solución: 1. 58612 −=− xx 2. tt 5115 −=−

3. 32176 −=+ aa 4. 887424280 ,,, += bb

5. ( ) ( 632135 +−−=+− yy ) 6. ( ) aaa 21803152 +=++

7. 3

2475

dd −=+ 8. 4

53653

82 −−=+− xx

9. ( ) ( )8623

272312

31 −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−− yyy 10. ( ) ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=−+− ccc 10

21

52454810

11. 64

34 +=+ xx 12. ( ) xxx 103169862143 ,,,,,, +−=−−

13. ( ) ( ) xxx 32316 +−−=− 14. ( ) ( )[ ]xxx 686324 −−−=−

3.4 APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Todo lo anterior cobra sentido si se aplica a situaciones cotidianas o reales, ya que resolver una ecuación puede prestarse para mecanizar su manejo matemático y algebraico, lo cual no es el objetivo de este curso. Conocer métodos de solución no es suficiente si no se tiene n correcto planteamiento de la situación. u

Pero… Cómo lograr un correcto planteamiento de la situación? Existen muchos modelos, pero el más aceptado es el propuesto en 1945 por George Polya y presentado en su libro How to solve it”, el cual ha sido traducido a quince idiomas. “

A continuación, se presenta el modelo general. Es necesario tener en cuenta que no siempre un problema genera el planteamiento de una ecuación. En ocasiones, puede llegarse a una inecuación, o a un sistema de ecuaciones, entre otros, temas concernientes a secciones

osteriores. p Aplicando nuevamente una analogía con el idioma español, las ecuaciones resultan de

raciones con el verbo ser. Antes de continuar, es importante recordar la sección 3.6. o



George Polya (1888 – 1985)

MÉTODO DE POLYA PARA RESOLVER PROBLEMAS1

1. COMPRENDER EL PROBLEMA

Cuál es la incógnita? Cuáles son los datos? Cuál es la condición? Es la condición suficiente para determinar la incógnita? Es suficiente? Redundante? Contradictoria?

2. CONCEBIR UN PLAN

Se conoce un problema semejante? Se ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? Se conoce un problema relacionado con éste? Se conoce algún teorema que pueda ser útil? Mirar atentamente la incógnita y tratar de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. Encontrado un problema relacionado al que se presenta, puede utilizarse? Podría utilizarse su resultado? Podría emplearse su método? Haría falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo? Podría enunciarse el problema de otra forma? Podría plantearse en forma diferente nuevamente? Referirse a las definiciones. Si no se puede resolver el problema propuesto, tratar de resolver primero algún problema similar. Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? Un problema más general? Un problema más particular? Un problema análogo? Puede resolverse una parte del problema? Considerar sólo una parte de la condición; descartar la otra parte; en qué medida la incógnita queda ahora determinada? En qué forma puede variar? Puede deducirse algún elemento útil de los datos? Puede pensarse en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? Puede cambiarse la incógnita? Puede cambiarse la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí? Se han empleado todos los datos? Se han empleado todas las condiciones? Se han considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

3. EJECUCIÓN DEL PLAN

Al ejecutar el plan de la solución, comprobar cada uno de los pasos. Puede verse claramente que el paso es correcto? Puede demostrarse?

4. VISIÓN RETROSPECTIVA Puede verificarse el resultado? Puede verificarse el razonamiento? Puede obtenerse el resultado en forma diferente? Puede verse de golpe? Puede emplearse el resultado o el método en algún otro problema?

1 POLYA, George. “How to solve it“.



Ejemplo 9

En el puente pasado, los 18

de los alumnos de primer semestre

trabajaron en el proyecto de análisis geométrico, los

5

139

6

del resto

estudiaron para el examen de Precálculo y 56 se fueron de rumba. ¿Cuántos alumnos son de primer semestre y cuántos se dedicaron a cada actividad?

Alumnos de primer semestre : x Alumnos que trabajaron en el proyecto de A.G. : x

185

Alumnos que quedaron : xx185−

Alumnos que estudiaron Precálculo : ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − xx

185

139

Alumnos que se fueron de rumba : 56

Total alumnos Sem = Trabajan en el proyecto + Estudian Precálculo + Se van de rumba

x = x185 + ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − xx

185

139 + 56

x = 56265

139

185 +−+ xxx

x23452 = 56

x = 252 Como x representa el total de alumnos, se tiene ya la respuesta a la primera pregunta: el total de alumnos del primer semestre es de 252 Los alumnos que trabajaron en el proyecto de geométrico x

185 = ( ) 70252

185

=

Los alumnos que estudiaron Precálculo ( ) 126252185252

139 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

Alumnos que se fueron de rumba 56 Ejemplo 10

Cecilia recibió $435.0000 por trabajar 52 horas en una sala de prematuros. Si después de 40 horas su tarifa es de 1,5 veces cada hora, ¿Cuál es el valor de una hora no extra?

Horas trabajadas 52Total horas extras 124052 =− Valor hora normal (no extra) x Valor hora extra x51,

Dinero recibido = Dinero por trabajo de 40 horas + Dinero por 12 horas extras. Dinero recibido = Número de horas × Valor hora + Número de horas × Valor hora 435.000 = 40 x + ( )x5112 ,



Por lo tanto ( )

x

x

xx

xx

=

=

+=

+=

5007

58000435

1840000435

511240000435

.

.

.

,. Siendo x el valor de la hora no extra, se tendrá que Cecilia gana por hora normal $7.500 Verificación del resultado: Valor hora extra de Cecilia: 25011

250075007 ... =+

Cecilia trabaja 40 horas cada una a $7.500, entonces recibe 000300$5007$40 .. =× 12 horas extras cada una a $11.250 recibe 000135$25011$12 .. =× Total recibido 000435$ .

Ejemplo 11

Fernando va a un restaurante en el cual se debe pagar de impuesto el 16% de lo que se consuma y la propina que se incluye en la cuenta es del 10%. Si él tiene $315.000 de cupo disponible en su tarjeta, cuánto puede ser el valor del consumo? o

Valor del consumo: x Pago por impuesto x

10016

Pago por propina x10010

Dinero disponible = Valor consumo + Pago por impuesto + Pago por propina.

x

x

x

xxx

=

=

=

++=

000250$126

00050031$

12600050031$10010

10016000315$

.

.`

.`

.

El valor del consumo de Fernando en el restaurante puede ser de $250.000. Ejercicios 3.2

Encontrar la ecuación que representa las siguientes situaciones: 1.

2.

3. 14

4.

5. 6 8%5%

La suma de dos números enteros consecutivos es . –17

La suma de tres números enteros consecutivos es 75.

El mayor de dos números enteros consecutivos impares es igual a menos un tercio del menor de ellos.

La suma de tres números enteros pares consecutivos es mas el mayor de ellos. –98

Cuántos litros de agua deben agregarse a litros de una solución de sal al y agua para producir una solución al de sal?




6. En una Feria del Libro se vendieron 600 libros, algunos en ediciones de bolsillo a $3,50 cada uno y el resto empastados a $5,00 cada uno. El ingreso total fue equivalente al del año anterior cuando se vendió el mismo número de libros a un precio promedio de $4,00 por libro. ¿Cuántos libros se vendieron de cada precio?

7. 43 de un número menos

52 de ese mismo número es igual a 7. ¿Cuál es el número?

8. Dividir $4.725 en tres partes, de tal manera que la segunda sea $150 más que la primera y la tercera $525 menos que la segunda.

9. El 30% de un fondo se invierte al 5% anual. El resto se invierte al 4% anual. ¿Cuánto está invertido en cada caso si el interés total es $860?

10. La diferencia entre el 60% y el 40% de un número es 126. Hallar el número.

11. Para el examen de historia, Pancho estudió dos horas mas que Luis. Juntos estudiaron una hora menos que cuatro veces las horas que estudió Luis. ¿Cuántas horas estudió cada uno?

12. En el momento de escribir este problema, mi edad más el triple de la edad que tenía hace 14 años es igual al triple de mi edad menos tres. ¿Sabes cuántos años tengo?.

13. Un tercio de la suma de tres números enteros múltiplos de 5 consecutivos es 90. Encuentre estos números.

14.

Juan compró un sombrero que le costó $40.000, el mismo día gastó 2/7 de lo que tenía inicialmente. Al otro día gastó 2/3 de lo que le quedaba. Si al final

uedó con $125.000, ¿Cuánto tenía inicialmente? q

15. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 650 millas por hora va a alcanzar a otro que va adelante 4 horas y está volando a una velocidad de 400 millas. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?

16. La cantidad que un trabajador lleva a su casa es $492, después de haber deducido un total de 40% del pago bruto. ¿Cuál es su sueldo bruto?

17. El costo de instalar material aislante en una casa es de $1080. Los costos actuales de calefacción son en promedio $60 mensuales. Se espera que el material aislante reduzca ese costo en un 10%. ¿Cuántos meses necesita para recuperar el costo de material?

18. Un trasatlántico que tiene 800m de longitud excede en 744 a los 8/9 del ancho. ¿Cuánto mide el ancho?

20.

del punto de apoyo y la menor a 8 pies del mismo. Encuentre los valores de las cargas.

Resolver los siguientes problemas: 19. Cuál fracción representa a 3, 4545...?

Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio, cuando una carga de 400 lb se sitúa a 9 pies de un lado del punto de apoyo y dos cargas que difieren entre sí en 150 lb se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que la carga mayor está a 12 pies

T



3.5 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES Hasta el momento se han estudiado ecuaciones en una variable cuyo conjunto solución si existe, corresponde a un único valor. Sin embargo, es posible establecer ecuaciones en dos variables, cuya forma general es:

0cba =++ yx , con 0 y ≠ℜ∈ acba ,,., Una ecuación de esta forma tiene infinitas soluciones, dependiendo del valor real que tome una de las variables, la otra tomará un valor real que permita cumplir con la ecuación. Ejemplo 12 Encontrar soluciones para la ecuación 0123 =−− yx Como puede verse, es necesario encontrar valores para x y para y para que se cumpla la ecuación. La manera más fácil de encontrar estas parejas de valores es dar un valor para cualquiera de las variables y encontrar el valor de la otra variable. Por ejemplo, si 0=x , se tiene que ( ) 01203 =−− y . Esto significa que y debe tomara el valor de 2

1− .

Ahora, si , si , se tiene que 0=y ( ) 01023 =−−x . Por lo que x debe tomara el valor de 3

1 .

Repitiendo el proceso para diferentes valores de x ó de y, se encontrarán parejas como las que se muestran en la siguiente tabla:

X y

0 21−

1 1

2 25

-1 -2

31− 1

31 0

Podría encontrarse infinitas parejas de valores reales para las variables x ó y, de tal forma que el conjunto solución de la ecuación corresponde a las parejas de la forma ( ){ }0123 =−+ yxyx , . Por lo tanto:

C.S.= ( ){ }0123 =−+ yxyx ,

Cuando se tiene un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables es llamado sistema de ecuaciones y su forma general es:

ℜ∈⎩⎨⎧

=++=++

fe,d, c, b, a,0fed0cba

yxyx

El conjunto solución para un sistema de estas características estará formado por aquellos valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones, por lo tanto serán parejas de elementos de la forma ( ) . yx ,

En este capítulo se ilustrarán los métodos de solución algebraica de dos ecuaciones lineales en dos variables. Existen tres métodos de solución algebraica conocidos con los nombres de sustitución, igualación y reducción o de suma y resta.



3.6 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR SUSTITUCIÓN

Este método como su nombre lo sugiere consiste en reemplazar el valor de una variable en una de las ecuaciones por el valor que la variable tiene en la otra ecuación. Este método es eficiente cuando en una de las ecuaciones dadas una de las variables tiene como coeficiente la unidad. El siguiente ejemplo ilustra este método: Ejemplo 13

Encontrar el conjunto solución de ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

1

635

yx

yx

En la segunda ecuación la variable x tiene coeficiente 1, lo cual fácilmente permite establecer:

yxyx +−=⇔−=− 11 sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se tiene:

( ) 6315635 =++−⇒=+ yyyx La situación ahora es una ecuación lineal en una sola variable que puede resolverse así:

( )81111863556315 =⇒=⇒=++−⇒=++− yyyyyy

Teniendo el valor de y, puede encontrarse el valor de x tomando cualquiera de las ecuaciones y sustituyendo y por su valor

831

8111

8111 =⇒−=⇒−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⇒−=− xxxyx

Por último, se verifica que realmente estos valores son solución del sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

1

635

yx

yx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

⇔1

811

83

68113

835

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=+⇔

1811

83

6833

815

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=⇔

188

6848

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=⇔

11

66

Como se observa, los valores encontrados hacen verdadera cada una de las ecuaciones,

por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

811

83 ,

3.7 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar de cada ecuación la misma variable y utilizar el principio de transitividad: si y ba = c ac b =⇒= Nuevamente se ilustra el método con un ejemplo:



Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+

74

73

yx

yx

Se procede de la siguiente forma:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+

74

73

yx

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

−=⇔

yx

yx

47

37

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−=⇔

yx

yx

47

37

Por el principio de transitividad, se tiene que:

yy 4737 +−=−

Esto lleva a resolver una ecuación lineal en una variable:

yyyy =⇔=⇔+−=− 27144737 Conociendo el valor de y se encuentra el valor de x sustituyendo y en cualquiera de las ecuaciones:

( ) 18772474 =⇔−=−⇔=+−⇔=+− xxxyx Ahora se verifica la validez de los valores de x y y encontrados

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+

74

73

yx

yx ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+⇔

7241

7231

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+⇔

781

761

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

77

77

Los valores de las variables hacen verdadera cada una de las ecuaciones por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es ( ){ }21,

3.8 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR REDUCCIÓN

Este método se basa en la siguiente propiedad:

Toda ecuación se puede sumar con otra ecuación sin modificar el conjunto solución. El método se estudiará con el siguiente ejemplo: Ejemplo 15 Encontrar el conjunto solución de

⎪

⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

162

14

yx

yx

En el sistema planteado, al multiplicar la primera ecuación por 2 y aplicar la mencionada propiedad, se elimina la variable y y el problema se convierte en una ecuación lineal en una variable.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

162

14

yx

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+⇔

162

228

yx

yx



Ahora:

2

189162

228

=

=⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

x

xyx

yx

Teniendo ya el valor de x, se utiliza cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de y:

( ) 71421622162 −=⇔=−⇔=−⇔=− yyyyx Finalmente, se verifica que los valores de x y y satisfagan las dos ecuaciones

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

162

14

yx

yx ( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−

=−+⇔

16722

1724

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−⇔

16142

178

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

1616

11

Los valores encontrados satisfacen las dos ecuaciones. Por lo tanto el conjunto solución es . ( ){ }72 −,

En la ilustración de los tres métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables siempre se encontró que el conjunto solución tenía como único elemento una pareja del plano cartesiano. Esta situación lleva a plantear la siguiente pregunta: ¿Pueden presentarse las mismas alternativas que cuando se resolvieron sistemas lineales en una variable?. Es decir, ¿puede suceder que no exista solución o que haya infinitas soluciones? La respuesta es afirmativa para ambos interrogantes. Un ejemplo presentará cada una de las situaciones. Es importante resaltar que no importa el método escogido para resolver el sistema, la situación algebraica que nos lleva a establecer la cantidad de soluciones es la misma. Ejemplo 16 Encontrar el conjunto solución de

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=−

562

13

yx

yx

Utilizando el método de reducción o de suma y resta, se multiplica la primera ecuación por 2:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=−

562

13

yx

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=−⇔

562

262

yx

yx

70

700562

262

=

=+=+−

=−

yxyx

yx

Como es falso que 0 = 7, se concluye como en el caso de las ecuaciones lineales que no hay solución. Por lo tanto el conjunto solución es ∅

Un sistema de ecuaciones que no tiene solución se dice que es un sistema inconsistente.




⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

yx

yx

3

622

Utilizando el método de sustitución, se obtiene:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=⇔=−

=−

33

622

yxyx

yx ( ) 0062626232 =⇒=−+⇒=−+⇒ yyyy

0 = 0 es verdadero. Se concluye entonces que existen infinitas soluciones .

Decir “infinitas soluciones” puede interpretarse como que cualquier pareja ( x, y) puede ser solución para el sistema. Pero la verdad es que sólo puede serlo mientras cumpla con la condición exigida por las ecuaciones dadas.

Si se toma la primera ecuación 3622622 −=⇒−=⇒=− xyxyyx se entiende que las parejas son de la forma . La condición de x como número real hace que infinitas parejas constituyan la solución final.

( 3−xx , )

C.S. = ( ){ }3−= xyyx , , ó

C.S. = ( ){ }3−xx ,

Un sistema como este, con infinitas soluciones se dice que es un sistema dependiente. Ejercicios 3.3

Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos: Igualación, Sustitución, Reducción.

1. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

207

14910

y x

yx2.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

303

2024

yx

yx3.

46

98

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−=−

yx

yx4.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−=+−

1985

381610

zw

zw

5. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−=+

846

347

ba

ba6.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

1224

32

yx

yx7.

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−=

642

12

xy

xy8.

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=−

642

42

xy

yx

9. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−

42

221

xy

yx 10.

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

=+

1264

632

yx

yx11.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=+

052

32

yx

yx12.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=

+

=+

−+

321

2

43

42

2

yxyx

yx



s Determinar i emas ca, ninguna solución o infinitas solucione

⎪⎨⎧

33128

2

yx

x

los sts:

siguientes si tienen solución úni

13. =− 83y

14. ⎪⎩ =+− ⎪⎩

⎪⎨⎧ =− 3124 yx

15. =+ 3

31 yx ⎪⎩

−−= 1025 yx

Si los siguientes sistemas tienen infinitas soluciones, encuentre 3 de ellas:

⎧ =− 1539 yx ⎧ =+ 132 yx

0. La edad de un padre con la de su hijo suma 90 años. Si el hijo nació cuando el padre ten

⎪⎨⎧ −=+ 2052 yx

16. ⎪⎩

⎪⎨

=− 1026

yx 17.

⎪⎩

⎪⎨

=+ 264 yx


18. El triple de la suma de dos números es 1.350 y el doble de su diferencia es 700. Hallar los números.

19. La suma de dos núme excede en 3 unidades a 97 y su diferencia excede en 7 a 53. Hallar los números.

ros

2ía 36 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

21. Dos números suman 4

245 . Si restamos 81 al mayor y sumamos

81 al menor, obtenemos

dos cantidades iguales. ¿Cuáles son dichos números?

22.

La edad de Pedro y la de Juan suma 9 años; la de Juan y la de Enrique, 13 años, y la de Pedro y la de Enrique 12 años. Hallar las tres edades.

La suma de tres números es igual a ; dos veces la suma del menor y el mediano es o

sobrepasa en 4 unidades al duplo del mayor. ¿Cuáles son esos números?

Analizar y resolver los siguientes problemas:

Un saco y un pantalón valen $75; el pantalón y su chaleco $51; y el saco y el chaleco, $66. ¿Cuánto vale cada pieza?

23.

24. 33inferior en 9 unidades al triple del número mayor; y el triple del menor, mas el median

3.9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE. En esta sección estudiaremos las ex resp iones que llevadas a su forma más simple se

resentan como: 0ba ≥+x , 0ba ≤+x , 0bap <+x ó 0ba >+x , y que se conocen con el nombre de inecuaciones lineales en una variable. Tal como se estableció en el capítulo 2, el conjunto de referencia es el conjunto de los números reales. De esta forma, el conjunto solución de una inecuación es un conjunto de puntos que conforman un intervalo en ℜ .



j

Para todo ℜ∈ℜ∈ ba , se tiene: “a es menor que b “ si y solo si b – a es positivo.

Dado que en los reales se puede identificar un orden, pueden establecerse las siguientes propiedades:

Propiedad de la tricotomía Propiedad de orden de la adición. Propiedad de orden de la multiplicación

Aquellos puntos sobre la recta numérica que se encuentran a la derecha de cero (0), son positivos y los que se encuentran a su izquierda son negativos.

Una inecuación es una relación de orden válida para algunos valores de la variables en el conjunto de referencia.

De la misma manera como el cero (0) divide la recta numérica en dos grandes subconjuntos, los números positivos y los negativos, cualquier otro número real define dos intervalos de puntos, pero los elementos de estos dos intervalos no son todos positivos o todos negativos. Por ejemplo: Si tomamos , encontramos que se definen dos conjuntos de puntos: 5−=x Las expresiones y 5−<x 5−>x son inecuaciones lineales en una variable.

…5−>x5−<x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10

o El intervalo ( ) ∞− ;5contiene elementos tanto positivos como negativos.

…

Todos los puntos a la izquierda de –5, conforman el intervalo ( )5−−∞; y por las propiedades de orden definidas para los reales, se cumple que 055 <+⇔−< xx . Por su parte, todos los puntos a la derecha de –5, conforman el intervalo ( )∞− ;5 y por las propiedades de orden definidas para los reales, se cumple que 055 >+⇔−> xx . La expresión final corresponde a una inecuación de la forma 0ba >+x , en donde 1a = y

. Como se vio, el punto que definió los dos intervalos en la recta numérica fue 5b = 5−=x .

E

)

¿Por qué justamente 5−=x y no cualquier otro real?

Se toma porque es en este punto en donde 5−=x 05 =+x y a la derecha de 5−=x siempre se cumple que , mientras que a la izquierda de este punto siempre 05 >+x 05 <+x El método de analizar los intervalos sobre la recta numérica determinados por los puntos donde la inecuación se hace cero es conocido con el nombre de puntos divisorios. Para solucionar una inecuación lineal podemos realizar entonces un análisis sobre la recta numérica, o un desarrollo algebraico.



Ejemplo 18 Encontrar el conjunto solución para 04 >+x . Método 1: Haciendo un análisis sobre la recta numérica: Para dar solución a esta inecuación se debe encontrar el punto donde 4+x es igual a cero, que es en . Como la condición es que 4−=x 4+x debe ser estrictamente mayor que cero, éste punto no debe incluirse en la solución. El punto que se acaba de encontrar define dos conjuntos de puntos: el intervalo ( )4−−∞; y el intervalo . ( )∞− ;4

Cualquier punto sobre la recta numérica a la izquierda de 4− es decir los ( )4−−∞∈ ,x

cumple con la condición de ser menor que 4− , lo cual significa que si ( ) 0444 <+⇔−<⇒−−∞∈ xxx , . Dado que se busca los valores de x que hagan

cierta la inecuación , se concluye que ninguno de estos valores satisface la inecuación dada.

04 >+x

Los puntos a la derecha de 4− , es decir, los correspondientes al intervalo ( ) ,

cumplen con la condición ∞− ;4

044 >+⇔−> xx , por lo tanto el conjunto de puntos de este intervalo corresponde a la solución de la inecuación que se quería resolver.

La conclusión final es que el conjunto solución para la inecuación es el intervalo . ( )∞− ;4

Método 2: Mediante análisis algebraico: Si queremos encontrar la solución de manera algebraicamente, tendremos que transformar la inecuación dada en expresiones equivalentes mediante la utilización de las propiedades de orden de los reales:

4+x > 0 Inecuación dada ( )44 −++x > ( )40 −+ Propiedad de orden de la suma

0+x > 4− Propiedad del inverso aditivo x > 4− Propiedad del elemento identidad de la suma

De esta forma, se ha llegado a la misma solución encontrada mediante el análisis gráfico. Para representar el conjunto solución puede utilizarse una de las siguientes notaciones: Notación de conjunto: { }4−>ℜ∈ xxx , Notación de intervalo: ( )∞− ,4

Representación gráfica:

-4 -3 -2 -1 1 2 30 Por último, debe comprobarse la solución de la inecuación. Como no es posible tomar todos y cada uno de los puntos del intervalo, puesto que se tendría que hacer infinidad de verificaciones, bastará tomar algunos puntos que no pertenezcan al intervalo solución, buscando llegar a una contradicción. Para este caso, podemos tomar

29105 −==−= xxx ,, :



Si ( ) ( ) 01045455 >−⇒>+−⇒∞−∉−⇒−= ;x , lo cual es falso. Por lo tanto, −5 no es solución para la inecuación dada. Si ( ) ( ) 06041041010 >−⇒>+−⇒∞−∉−⇒−= ;x , lo cual es falso. Por lo tanto, −10 no es solución para la inecuación dada. Si ( ) 0

2104

294

29

29 >−⇒>+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⇒∞−∉−⇒−= ;x , lo cual también es falso. Por lo tanto,

29− no es solución para la inecuación dada.

Seguramente, si se reemplaza el valor de x por cualquier otro valor perteneciente a ( )4−−∞; , llegamos a otra contradicción. De aquí se puede concluir que efectivamente este intervalo no es solución para la inecuación. Puede comprobarse también para uno o para varios puntos del intervalo del conjunto solución con lo que debe llegarse a una afirmación verdadera. Por ejemplo, : 0=x Si , resultado que sí es verdadero. Esto lleva a concluir que el intervalo ( sí es la solución buscada.

( ) ( ) 04040400 >⇒>+⇒∞−∈⇒= ;x)∞− ,4

Ejemplo 19 Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 03 ≥− x : Método 1: Análisis sobre la recta numérica: De acuerdo con lo visto en el ejemplo anterior, si queremos recurrir al análisis gráfico, primero debemos hallar el punto en donde 03 =− x que es en 3=x :

… …1 2 3 4 5 60

3<x 3>x Como buscamos los puntos que cumplen con ser 03 >− x ó que cumplen con ser 03 =− x , el punto divisorio debemos incluirla en la solución. 3=x Los puntos a la izquierda de 3=x forman el intervalo ( )3,−∞ y cumplen con la condición

que es equivalente a decir , lo que a su vez es equivalente a decir . Por lo tanto, este intervalo es la solución que buscamos.

3<x x>3 03 >− x

Aunque podemos hacer un análisis similar para los puntos que se ubican a la derecha de

, ya no es necesario, porque llegaremos a que estos puntos cumplen con 3=x 03 <− x que no es lo que nos piden. Finalmente, la solución estará dada por:

C.S. ( ]3;−∞



Método 2: Análisis algebraico:

x−3 ≤ 0 Inecuación dada ( ) x−−+ 33 ≤ ( )30 −+ Propiedad de orden de la suma

x−0 ≤ 3− Propiedad del inverso aditivo e identidad de la suma x− ≤ 3− Propiedad del elemento identidad de la suma x ≥ 3 Propiedad de orden de la multiplicación

Escribiendo este resultado en notación de intervalo se tiene [ )∞⇔≥ ;33x Hemos llegado así a la misma solución encontrada mediante el análisis gráfico. Gráficamente la solución podemos representarla como sigue:

1 2 3 4 5 60

Ejemplo 20 Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 023 ≤− x , Método 1: Análisis gráfico: El análisis sobre la recta numérica requiere inicialmente ubicar el punto en donde . A partir de dicho punto, puede hacerse un procedimiento similar al desarrollado en los ejemplos anteriores:

023 =− x

23

−2 −1 1 2 3 4 50

23>x2

3<x

…… Si ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∈ ;23x entonces x puede ser igual a 2, verifiquemos en la inecuación dada : 023 ≤− x

( ) 583423 −=−=− y como , podemos afirmar que este punto forma parte del conjunto solución.

05 ≤−

Si ⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ∞−∈

23;x entonces x puede ser igual a 0, verifiquemos en la inecuación dada 023 ≤− x

( ) 303023 =−=− y como no es cierto, podemos afirmar que este punto no forma parte del conjunto solución

03 ≤

De lo anterior podemos concluir que: C.S. ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞;23 .

Este procedimiento, aunque parte del análisis del punto divisorio, no implica un desarrollo algebraico para llegar a la solución, sino la verificación de la validez de la inecuación para puntos tomados de manera arbitraria de cualquiera de los intervalos candidatos a ser solución. De esta forma, si llegamos a una contradicción, se rechaza el intervalo evaluado, o por el contrario, si tomamos un elemento llegando a una afirmación válida, aceptamos el intervalo involucrado.



La exactitud en el resultado depende en gran parte de la solución de la ecuación y del buen manejo en el cálculo del valor numérico de la inecuación en los puntos que se toman de prueba para la confirmación del intervalo solución.

Método 2: Análisis algebraico: Si resolvemos la inecuación algebraicamente se tiene:

x23 − ≤ 0 Inecuación dada ( ) x233 −−+ ≤ ( )30 −+ Propiedad de orden de la suma

x20 − ≤ 3− Propiedad del inverso aditivo e identidad de la suma x2− ≤ 3− Propiedad del elemento identidad de la suma

( )x221 −− ≥ ( )3

21 −− Propiedad de orden de la multiplicación

x ≥ 23 Propiedad del inverso multiplicativo

C.S. en notación de intervalo ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞;23

La representación gráfica de la solución será:

23

-2 -1 1 2 3 40

Ejemplo 21 Encontrar el conjunto solución de 32 ≤+x analizando la recta numérica. Como la inecuación dada no está en la forma 0ba ≥+x , 0ba ≤+x , ó 0ba <+x 0ba >+x , debemos primero hacer la transformación a una de estas formas:

0103232 ≤−⇔≤−+⇔≤+ xxx Ahora sí podemos hacer el análisis sobre la recta numérica. El punto donde se hace cero la expresión lineal es en 1=x Por lo tanto se tiene gráficamente:

-2 -1 1 2 3 40 … …

1<x 1=x 1>x 01<−x 1=x 01>−x

C.S. ( ]1;−∞



Ejemplo 22 Encontrar algebraicamente el conjunto solución para 7487 −<− xx

87 −x < 74 −x Inecuación dada ( )xx 487 −− < ( )xx 474 −− Propiedad de orden de la suma

83 −x < 70 − Propiedad del inverso aditivo 883 +−x < 870 +− Propiedad de orden de la suma 03 +x < 1 Propiedad del inverso aditivo x3 < 1 Propiedad del elemento identidad de la suma

x331 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ < 1

31 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Propiedad de orden de la multiplicación

x < 31 Propiedad del inverso multiplicativo y elemento

identidad de la multiplicación El conjunto solución puede ser expresado utilizando las diferentes notaciones:

Notación de conjunto: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <ℜ∈

31xxx ,

Notación de intervalo: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−

31,

Se puede representar también gráficamente:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Para comprobar la solución de la inecuación tomaremos un punto que no pertenezcan al intervalo solución para llegar a una contradicción. Para este caso, puede tomarse:

( ) ( ) 317148171Si311 −<−⇒−<−⇒=⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−∉ x;

lo cual es falso. Por lo tanto, 1 no es solución para la inecuación, y ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∈ ;311 .

Podemos comprobar también para un punto del conjunto solución con lo que debemos llegar a una afirmación verdadera:

( ) ( ) 787048070Si310 −<−⇒−<−⇒=⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−∈ x;

De esta forma, podemos aceptar el conjunto solución encontrado. Ejemplo 23 Hallar algebraicamente el conjunto solución de: ( )343 −>− mm

m−3 > ( )34 −m Inecuación dada m−3 > 124 −m Propiedad distributiva mm +−3 > mm +− 124 Propiedad de orden de la suma 3 > 125 −m Agrupación de términos semejantes y elemento identidad de la

suma 123 + > 12125 +−m Propiedad de orden de la suma 15 > m5 Propiedad del inverso aditivo



1551 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ > m5

51 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Propiedad de orden de la multiplicación

3 > m Propiedad del inverso multiplicativo m < 3

El conjunto solución es: { }3<ℜ∈ mmm , Gráficamente el conjunto solución es:

-1 0 1 2 3 4 5 6 La verificación del conjunto solución se deja como ejercicio al estudiante.

j La solución de una inecuación lineal es un conjunto de puntos de la recta

numérica que corresponde a un intervalo.

De la teoría de conjuntos, se sabe que si A y B son conjuntos cualesquiera, se definen las siguientes operaciones:

{ }BxAxxBA ∈∈= ó∪ { }BxAxxBA ∈∈= y∩

Las inecuaciones compuestas son aquellas formadas por la combinación de dos inecuaciones mediante los conectores y ú o. Si dos inecuaciones están unidas con el conector o, el conjunto solución será la unión de las respectivas soluciones. Si las inecuaciones están unidas con el conector y, el conjunto solución será la intersección de los dos conjuntos soluciones. Ejemplo 24 Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 03 <+−x ó 352 ≥−x

3+−x < 0 Ó 52 −x ≥ 3 x− < 3− Ó x2 ≥ 8 x > 3 Ó x ≥ 4

( )∞,3 ∪ [ )∞,4

∪

C.S. = ( )∞,3

-1 0 -2 1 2 3 4 5 6

0-2 -1 1 2 3 4 5 6

-1 0-2 1 2 3 4 5 6



Ejemplo 25

Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 554 ≥+x y 243 ≤−x

54 +x ≥ 5 y 43 −x ≤ 2 x4 ≥ 0 y x3 ≤ 6 x ≥ 0 y x ≤ 2

[ )∞,0 ∩ ( ] 2,−∞

∩

C.S. = [ ]20,

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

0-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

En algunos casos, una inecuación compuesta conectada con la palabra y puede ser resuelta de una forma más corta: Ejemplo 26

Cuál es el conjunto solución de 654 +<− t y 2165 ≤+t ?

Las dos inecuaciones que se presentan pueden resumirse en una sola así: 21654 ≤+<− t . La solución obviamente es equivalente.

4− < 65 +t ≤ 21 Inecuación dada ( )64 −+− < ( )665 −++t ≤ ( )621 −+ Propiedad de orden en la suma

10− < t5 ≤ 15 Agrupación de términos semejantes ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

5110 < ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛515t ≤ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛5115 Propiedad de orden en la multiplicación

2− < t ≤ 3 Propiedad del inverso multiplicativo

La solución expresada en notación de intervalo es: ( ]32,−

Ejemplo 27 Encontrar la solución para la siguiente inecuación: 7273 ≤−<− x

3− < x27 − ≤ 7 Inecuación dada ( )73 −+− < ( )727 −+− x ≤ ( )77 −+ Propiedad de orden de la suma

10− < x2− ≤ 0 Agrupación de términos semejantes ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

2110

> ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

212x ≥ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

210 Propiedad de orden de la multiplicación

5 > x ≥ 0 Propiedad del inverso multiplicativo

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 60

o El sentido de las desigualdades cambia.



Para representar gráficamente la solución 05 ≥> x Decir representa Decir 0≥x representa x>5

Por lo tanto

0 -2 -1 1 2 3 4 5 6

0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

El intervalo [ )50, es la solución de la inecuación 7273 ≤−<− x La validez de la solución debe ser verificada. Para ello, puede tomarse un punto dentro del intervalo solución para llegar a una expresión verdadera, o un punto por fuera de este intervalo que lleve a una contradicción.

[ ) ( ) 75371273501 ≤<−⇔≤−<−⇒∈ ; Para establecer la contradicción, se recomienda tomar un punto a la izquierda y otro a la derecha del mismo intervalo: [ ) ( ) 79371273501 ≤<−⇒≤−−<−⇒∉− ;

[ ) ( ) 73375273505 ≤−<−⇒≤−<−⇒∉ ; o Se presentan

contradicciones.

Con puntos a la derecha y a la izquierda del intervalo solución, se llega a contradicciones, lo cual permite aceptar el conjunto encontrado.

Ejercicios 3.4

1. x

2. y

3. q π

4. d

5.

6. z

7. 7

w 9

Expresar el enunciado en forma de desigualdad:

es negativo.

es no negativo.

es menor ó igual que .

está entre 4 y 2.

t no es menor que 5.

El negativo de no es mayor que 3.

y o, . El cociente de p q es, cuando much

El recíproco de es, cuando menos . 8.



Encontrar el conjunto solución de las siguiente s:

8<+ xx

s inecuacione 9. +532 10.

31

4353 xxx −+<−

11. 232 ≥−− x 12. ( ) ( )53334 −−<− xx ó 6

35

23 ⎜⎝4

7 <⎟⎠⎞⎛ −− xx

13. ( ) ( )236532 −−>+−− xxx y ( ) ( )43 xx +<− 2

212 14. ( )[

362

43 xx +<− ] ( )23 −−≥ xx ó 2534 +−−− x

613

482 +≤ x,

, 15. ( ) ( )xx 25231376120 ,,,, −≤−− y 4, 16. 10324 ≤−< x

17. 53213 >−≥ x 18. 1534 −>+≥ x

19. 2317

41 −≤+ xx 20. 7

5323 <−≤ x


Encontrar el conjunto solución de las siguien e

tes cuaciones:

1. 524

106 ww −=− 2. 9

265

−−=−

yy

3. 5

20685

14 −=+− aa 4. 30

8− 1015

635

76 =−−+ xxx

5. ( ) ( ) ( )734321 −−=++ ccc . 27506 − 6. ( ) 31

32 4445 −=−+ ww

7. 34

321

5 −=+ xx 8. ( ) y17461737651,834 ,,, −=−− y 4,

9. ( ) ( ) ab1b2 −=−−− x , con a, b, constanta x es. 10. 3

2265

24 −=−+ xx

6:00 a.m, una barredora de nieve sale de un pueblo, viajando a velocidad constante.

las 8:00 a.m, un automóvil comienza a viajar a una velocidad de 30 km/h y alcanza a la ba to

12.

n grupo de 14 amigos decidieron ir a un concierto. Dos de ellos no agar el costo del boleto, así que los otros pagaron cada uno,


11. A lasA

s después. Calcular la velocidad de la barredora. rredora 30 minu

U

3

podían psu boleto y 4 pesos más. ¿Cuánto costaba cada boleto?

13. La edad de David es 4 años menos que el triple de la de su hermanita Consuelo. La mitad de la edad de Consuelo es 3 años menos que el doble de la de David. Si ambos nacieron bajo el mismo signo zodiacal, se diría entonces que son gemelos?.

14. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.



15. Una mujer de negocios desea invertir $30.000 en dos fondos diferentes que producen ganancias anuales del 13% y 15 1/2%, respectivamente. ¿Cuánto debe invertir en cada fondo para obtener una ganancia de $4.350 después de un año?

Se desea construir un silo grande para grano

R en agua tranqu luego rema corrie

encontrar:

16. que tenga la forma de un cilindro circular

17. ranjero desea cercar un terreno rectangular y planea usar 180 pies de material y e los lados del rectángulo.

itud del lado paralelo a la orilla del río

El doble de la longitud de uno de los lados adyacentes. lan

18.

o puede remar en un bote a una velocidad de 5 millas/hora ila. Si rema contra la corriente durante 15 minutos y

nte abajo y regresa al punto de partida en 12 minutos,

19. uánto los peces?

ué edad tiene Matilde, que nació cuando Rosa tenía

21.

go $232.

23. ace 15 años la edad de Ricardo e su hijo.

24.

25. I asistieron 600 personas.

premier?

26.

27. rtida de la siguiente manera: el menor recibe ierta cantidad, el segundo recibe $6.746 más que el primero, el mayor recibe $5.200 más

q Si el monto total de la herencia fue de $431.000 y se entregaron $123.000 a to recibe el hijo menor?

con una semiesfera unida a la parte superior. El diámetro del silo debe ser de 30 pies, pero la altura no se ha determinado aún. Encontrar la altura total que debe tener el silo para que su capacidad sea de 11.250π pies3.

Un gparte de la orilla de un río en vez de cercar en uno dEncontrar el área del rectángulo formado si la longes:

a. b. La mitad de c. La misma lo

longitud de un lado adyacente. gitud de un lado adyacente.

Un muchach

a. La velocidad de la corriente.

b. La distancia total que recorrió.

Una pecera con sus peces vale $260 y la pecera $20 más que los peces. ¿Cuánto vale la pecera y c

20. Cuando Rosa nació, María tenía 30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Elsa, que tiene 50 años. Q11 años?

Si a un número le añado 2, le resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 132. ¿Cuál es el número?

22. Tenía cierta cantidad de dinero. Pagué una deuda de $86; entonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté $20 a un amigo. Si ahora ten¿Cuánto tenía al principio?

La edad actual de Ricardo es el doble de la de su hijo. Hera el triple de la del hijo. Encuentre la edad actual de Ricardo y la d

El largo de un rectángulo es tres veces su ancho. El perímetro tieque el largo. Encontrar las dimensiones del rectángulo.

A la presentación de la película Bichos I

ne 68 centímetros más

El costo de las boletas para adulto era de $5.000 mientras que los niños pagaron solo $2.000 Si la taquilla de cine recibió $2.400.000, ¿Cuántos niños asistieron a la

El mayor de dos números es 6 veces el menor, la resta del mayor menos el menor es 312,5. Encontrar los números.

Tres hermanos reciben una herencia repa

eqcue el segundo. un asilo, ¿cuán


CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES
CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
28.

Pensando en viajar en un año, queremos invertir un capital de $240.000 en un certificado de ahorro que produce el 9% anual y el resto en unos bonos que producen el 12% anual. ¿Cuánto debe invertirse en

29. nes por un total de $10.000. En una obtuvo una

30. resto en un fondo de inversión que produce el 8%

31. ellos es 6 unidades mayor que el otro. Si la s caras de cada cubo es igual a 432, ¿cuál es la bos?

gulo tien yx 52

cada uno, para obtener una ganancia del 100% sobre todo el capital durante un año?

Un corredor de bolsa realizó dos inversio

Putilidad del 10%, pero en la otro tuvo una pérdida del 12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?

Una persona desea invertir $20.000. Piensa depositar una parte en una cuenta de ahorros que produce 5% de interés simple y elde interés simple ¿De qué cantidad debe ser cada inversión para obtener una ganancia de 7% después de un año?

Dos cubos son tales que el lado de uno dediferencia de las áreas de una de ladiferencia de los volúmenes de los cu

Solucionar los siguientes problemas:

32. choSi un rectán e de an − unidades y tiene un área de 22 10116 yxyx −− unidade adrad Cuál es el perímetro del rectángulo?

22 2

34.

s. El $80.000 más que el coche, y sus arreos $25.000 coche. ¿Cuánto pagué por cada uno?

conjunto solu

35. 3− 36.

s cu as, ¿

33. ba + , si 2=ab y ( ) ba 10=+

Pagué $325.000 por un caballo, un coche y sus arreo caballo costómenos que el

Encontrar el ción de:

422 ≤+ dd 232 ≥−− x 37. 23

38.

952 −<− xx

7332 ≤+x 39. 12 ≤π+x 40. ( ) 3322 >−− xx

41.

−

zf

2+ ( ) 213 <+− xx 42. 223 ≤−x ó 953

>+− x 43. 153 >+x y 52 ≤+ x

44. 07 ≤+x y 53−

212 <−x

Pepe tiene en total 11 sobrinos, jugando con el número de niños y niñas, puede escribir una ecuación: Tres veces el número de niños, menos la


45.

diferencia del número de niñas menos el de niños más el doble del número de niños es igual a 3. ¿Cuántas sobrinas y sobrinos tiene Pepe?



46. Una biblioteca alquila libros que tienen un cargo fijo para los primeros tres días y un cargo adicional por cada día extra. Tomas pagó 27 centavos por un libro que usó durante 7 días mientras que Rosa pagó 21 centavos por otro que uso 5 días. Hallar el cargo fijo y el

47. ecenas se aumentan en 4 y las

48. tubos, de los cuales unos tienen 3,6m. de

49. s fue de $256. Encontrar los gastos de

50. le costaron y las ovejas ganando el 30%, si recibió $875 por todos los animales,

cuánto pagó inicialmente por cada una de ellas?

Un un médico que va a caballo 6Km. adelante. El primero recorre 13,5Km/h y el segundo 9Km/h. Al cabo de cuánto tiempo alcanzará aquél a

52.

53. r B es

54. 33m

56. ma de sus cifras es 6 y que leído al

cargo por cada día extra

Un número consta de dos cifras cuya suma es 14. Si las dunidades se disminuyen en 4, se obtiene el mismo número con las cifras en orden inverso. Hallar el número.

Una tubería de 50,4m. de largo se compone de 19largo y los otros 1,8m. Cuántos tubos hay de cada clase?

Los gastos de reparación de un taller fueron en un mes 3/16 de los gastos totales y éste fue 3/4 de los ingresos. La ganancia neta del mereparación, el gasto total y los ingresos totales.

Un campesino compró 10 vacas y 50 ovejas por $750. Vendió las vacas ganando 10% de lo que

51. hombre parte en una bicicleta tras

éste?


Tres pescadores, preguntados qué han cogido, responden: "cogimos 19 pescados y uno a ″de nosotros cogió 4 más que cad uno de sus dos compañeros . Cuántos cogió cada

uno?

Tres aldeas A, B, C, están situadas formando un triángulo. La distancia de A a B pasando por C es 114Km., la de A a C pasando po 118,5Km. y la de B a C pasando por A es 121,5Km.. Encontrar las distancias en línea recta de A a B, de B a C y de C a A.

ulo es El perímetro de un triáng .. El lado mayor es 5/6 de la suma de los otros dos y a la diferencia de estos le falta 1m para ser 1/5 del menor. Encontrar la medida de los tres lados.

55. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma del mayor y el mediano es 135°, y la suma del mediano y el menor es 110°. Hallar los ángulos.

Hallar un número entre 300 y 400 sabiendo que la surevés es

10741 del número primitivo.

La suma de las tres cifras de un número es 6. Si el número se divide por la suma de la cifra de las centenas y

57. la cifra de las decenas, el cociente es 41, y si al número se le

añade 198, las cifras se invierten. Hallar el número.

. Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes. Cuando tú tengas la que yo tengo, nuestras edades sumarán 81 años. ¿Cuántos años tenemos actualmente?

58



“Uno encuentra a veces, lo que no está buscando” Alexander Fleming

CAPÍTULO IV

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

4.1 INTRODUCCIÓN 4.2 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 4.3 SIMETRÍAS EN EL PLANO CARTESIANO 4.4 REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO

DE PUNTOS A PARTIR DE LAS CARACTERÍSTICAS DE SUS COORDENADAS

4.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO CARTESIANO


CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

CAPÍTULO IV

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

4.1 INTRODUCCIÓN Las situaciones reales no siempre traen consigo la información necesaria para ser traducidas a una expresión algebraica que permita encontrar su solución. Con mucha frecuencia lo que se tiene son datos que representados gráficamente de manera conveniente llevan a establecer posibles formas de solución no necesariamente mediante expresiones algebraicas. Ejemplo 1 La empresa Espectáculos y Cía S. en C. está programando su próximo concierto. Con el fin de escoger el lugar de presentación, el Departamento de Logística recogió la siguiente información acerca de la asistencia a los conciertos más recientes dirigidos a la población juvenil:

Concierto No. Artista Asistencia (No. personas) 1 Gloria Steffan 60.000 2 Ricky Martín 35.000 3 Gilberto Santarosa 45.000 4 Andrés Cepeda 20.000 5 Megadeth 50.000 6 Shakira 80.000

Para el análisis de los datos, cada uno de los miembros de departamento realizó una representación diferente, las cuales permitirían tomar decisiones en la junta.

010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.000

Glo

riaSt

effa

n

Ric

kyM

artin

Gilb

erto

San

taro

sa

And

rés

Cep

eda

Meg

adet

h

Sha

kira

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 106


12%

16%7%17%

27%21%

Gloria Steffan Ricky Martin Gilberto SantarosaAndrés Cepeda Megadeth Shakira

010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.00090.000

0 1 2 3 4 5 6 7

Ejemplo 2 Carlos Andrés y Daniel Felipe, estudian en la universidad y trabajan de martes a sábado en un bar en la Zona Rosa. A su trabajo deben llegar por tarde a las 8:00 p.m. El siguiente gráfico ilustra las horas de llegada de cada uno de ellos:

07:26

07:40

07:55

08:09

08:24

0 1 2 3 4 5

Día laboral

6

Carlos Andrés Daniel Felipe

Observando la gráfica responder las siguientes preguntas:

¿Alguno ha llegado tarde al trabajo? Si así ha sido, ¿quién?

¿Han llegado a la misma hora algún día? ¿En caso afirmativo, cuándo?

Quién ha sido el que más temprano ha llegado? ¿Qué día? ¿A qué hora? Existen muchos sistemas de referencia en el área de las matemáticas y de la ingeniería, como son: sistema de coordenada cartesianas o rectangulares, sistema de información geográfica, sistema de coordenadas polares, sistema de aeronavegación, entre otros. Para esta primera parte del curso, se estudiará el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.



4.2

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Un par de rectas numéricas que se cortan perpendicularmente, como se muestran a continuación, forman un sistema de coordenadas cartesianas1. Cada una de estas rectas se representa como una flecha que apunta hacia el sentido positivo de los reales. Se dice además que es éste el sentido del eje. Ejemplos de sistemas de coordenadas cartesianas son: Por convención, éste último es el que se utiliza para representaciones matemáticas, llamando al eje horizontal “eje x”, al eje vertical, “eje y”, al punto de corte de las dos rectas, “origen” y a cada una de las áreas delimitadas por dichos ejes, “cuadrantes”. El sentido del eje horizontal es hacia la derecha y el del eje vertical es hacia arriba. Por estándar, cada cuadrante tiene asignado un orden específico, así:

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Cuadrante I Cuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

La forma geométrica más simple que es posible representar en un plano cartesiano es un punto. Sin embargo, de acuerdo con el grosor del lápiz con que se dibuje o de acuerdo con la agudeza visual que se disponga, un punto puede convertirse a su vez en un conjunto de puntos. Para evitar confusiones, es necesario precisar su ubicación. En un plano cartesiano, un punto puede ser referenciado mediante una pareja o par ordenado, el cual a su vez tiene un orden: la primera componente corresponde a su relación con el eje horizontal y se conoce como abscisa, y la segunda componente a su relación con el eje vertical y se conoce como ordenada.

1 En honor a René Descartes, filósofo y matemático francés. (1.565 – 1.650)



Para encontrar las coordenadas de un punto cualquiera en el plano, se trazan líneas paralelas a los ejes x e y que pasen por el punto en cuestión. El punto por el cual la línea vertical corta al eje horizontal, corresponderá a su abscisa x. El punto de corte del eje y con la línea horizontal, corresponderá el valor de la ordenada y. Su notación es: ( x, y ). Ejemplo 3 Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano

, ( )02 ,=A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

21

,B , ( )13 −,−=C , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

413

27

,D

4.3

,

, F ( )30 −= ,E ( )31 −= ,

FE

C

A

BD

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

SIMETRÍAS EN EL PLANO CARTESIANO Cuando en un plano cartesiano se presentan varios puntos o conjuntos de puntos, puede establecerse entre ellos cierto tipo de relaciones: Una de estas relaciones y quizá por naturaleza la más fácil de establecer es la simetría. De manera intuitiva, cada persona tiene un sentido de la simetría por cuanto puede decirse que por el centro de nuestro cuerpo pasa un “eje imaginario” y que el hombro izquierdo está a la misma distancia del eje que el hombro derecho. Si se estiran los dos brazos a los lados, la uña del dedo medio del brazo derecho quedaría a una distancia de ese eje imaginario igual a la distancia que habría entre la uña del dedo medio izquierdo y el mismo eje. A menos que se descubriera una diferencia de longitud de los brazos, esta situación debe ser normal para todos. En términos formales, se diría entonces el hombro derecho es simétrico al hombro izquierdo con respecto al eje imaginario que pasa por el centro del cuerpo2. De la misma en un plano cartesiano pueden establecerse diferentes clases de simetrías con respecto a diferentes ejes o a diferentes puntos. Las que más se reconocen son entre otras:

Simetría axial respecto al eje y. Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al eje y es de la forma (– a,b).

2 La imagen fue tomada de www.geocities.com/gabilago/99/



Simetría axial respecto al eje x. Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al eje x es de la forma (a,– b).

Simetría central. Respecto al punto (0,0): Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al origen es de la forma (– a,– b).

Simetría axial. Respecto a la recta y = x: Para un punto de coordenadas ( a, b ) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto a la recta y = x es de la forma ( b, a ).

En general, es posible establecer simetrías teniendo como referencia cualquier punto o cualquier eje sobre ele plano cartesiano. Ejemplo 4

Determinar los tipos de simetría para el punto A que se presentan en la siguiente gráfica

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

E

DC

B A

y

x

Como se observa el punto B es el simétrico de A respecto al eje y Como se observa el punto C es el simétrico de A respecto al origen Como se observa el punto D es el simétrico de A respecto al eje x

Como se observa el punto E es el simétrico de A respecto a la recta y = x

Ejemplo 5

En cuáles de las siguientes gráficas puede establecerse simetría axial o central? Definir el eje o el punto de simetría. 1.

2. 3. 4. y

x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

Las gráficas 1 y 3 presentan una simetría axial con respecto al eje y y al eje x respectivamente. Por su parte, la gráfica 2 presenta una simetría central con respecto al origen. La gráfica 4 muestra una simetría con respecto a la recta L.

y

x-1 1 2 3 4

-2

-1

1

2 L

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4



Ejercicios 4.1 1. Si el eje y es eje de simetría, cuáles son:

a. Las coordenadas del punto simétrico a ? ( )73,

b. Las coordenadas del punto simétrico al punto ? ( )ba,

c. Las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo si se tiene el siguiente gráfico?

2. Si el eje x es el eje de simetría encontrar

gráficamente la figura simétrica a la dada en el siguiente sistema de coordenadas.

3. Si se sabe que la siguiente representación gráfica

tiene una simetría central respecto del punto ( )00, , completar la gráfica.

4. Responder las siguientes preguntas:

a. Determinar las coordenadas del punto que resulta de aplicar a una reflexión respecto a la recta

( 32,− )xy = .

b. Determine las coordenadas del punto que resulta de aplicar a ( )11,− una simetría respecto al punto ( )00,

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4-3-2-1

1234

A

B

C

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6-5-4-3-2-1

12345

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3-2

-1

1

2

34



4.4 REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO DE PUNTOS A PARTIR DE LAS CARACTERÍSTICAS DE SUS COORDENADAS

En general, en el plano cartesiano se representan gráficamente puntos que cumplen con ciertas condiciones dadas. Así como se ha trabajado con anterioridad con la regla de cuatro, tales condiciones pueden ser expresadas además en forma verbal, numérica, o algebraica. El ejemplo siguiente permitirá ver la correspondencia entre estas cuatro formas:

Forma Verbal Forma Numérica Forma Algebraica Forma Gráfica

Un punto ( )yx , cuya abscisa sea igual a 3 su ordenada tenga el mismo valor.

( )33 ,A = 3 con == xxy ,

El punto cuya

ordenada valga

( yx , )

25− y

sea la mitad de la abscisa.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

25

5 ,B 5 con 21 == xxy ,

Un punto cuya abscisa sea igual a 2 y cuya ordenada sea el doble del valor de la abscisa más cinco unidades.

( yx , )

( )92 ,=C 2 con 52 =+= xxy ,

El punto que cumpla con que su ordenada es igual a -8 y su abscisa es la raíz cúbica de la ordenada.

( yx , )

( )82 −−= ,D 8 con 3 −== yyx ,

El punto cuya abscisa tenga como valor el doble producto de la ordenada menos 2 unidades, y su ordenada sea 4.

( yx , )

( )46 ,=E 4 con 22 ==− yxy ,

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

A

B

C

D

E

Ejercicios 4.2

Resolver los siguientes ejercicios: 1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:

a. ( )03;−=A b. ( )117 −= ;B c. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

34

43 ;C d. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= 3

25 ;D

e. ( )820 +−= ;E f. ( )2−π= ;F g. ( )24 ;−=G h. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −π−= 2

2;H



2. Localizar en el plano cartesiano los puntos:

a. Con abscisa 4 y ordenada 2.

b. Con abscisa −2 y ordenada 0.

c. Con abscisa 5 y la misma ordenada del punto (3;−4).

d. Con la misma abscisa que el punto (–4;0) y ordenada –5.

e. Los puntos donde el valor absoluto de la componente x y de la componente y son iguales.

f. La coordenada x y la coordenada y, son el inverso aditivo uno del otro.

g. La abscisa es el cuadrado de la ordenada.

h. La diferencia entre la abscisa y la ordenada es 1.

i. ( ){ }1y2 =≤ yxyx /, 3. Con los siguientes puntos representados en el sistema de coordenadas elabore la tabla

de valores y encuentre la ecuación que los genera

x y

-4 -2 2 4 6 8

-4-2

2468

101214161820

4.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO CARTESIANO

En la sección anterior se expresaron en diferentes formas las condiciones que permitían representar un punto específico. Sin embargo, en algunas ocasiones se pueden representar varios puntos a partir de la relación que se pueda establecer entre sus coordenadas. Estas relaciones pueden ser de orden o de igualdad. Finalmente, todos los puntos cuyas coordenadas cumplan con la relación darán origen a una gráfica con características especiales, deducibles generalmente a partir de la expresión algebraica de la relación. Dada una relación algebraica entre dos variables, deberá entenderse que las variables corresponden a las coordenadas de los puntos, por lo que para representar dichos puntos basta con darle valores arbitrarios a una de las variables y encontrar el valor de la otra. De esta forma se hallarán algunos puntos que permitirán fácilmente deducir todos los demás puntos de coordenadas reales que cumplen con la relación dada.



Ejemplo 6 y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4Representar en el plano cartesiano los puntos cuyas coordenadas cumplen con: 01 =−+− yx Los puntos que cumplen con esta relación satisfacen una relación equivalente como:

101 +=⇔=−+− xyyx Esta nueva expresión permite encontrar las coordenadas de los puntos que conforman su representación, dando a x cualquier valor real y hallando el correspondiente valor para y, así: Sea

211

23

21 −=⇒+−=⇒= yyx

La gráfica muestra algunos puntos que cumplen con la relación. Ejemplo 7 Representar en el plano cartesiano todos los puntos cuyas coordenadas cumplen con:

22 += xy La expresión algebraica dice que el valor de y se encontrará dando valores reales a x multiplicándolos por 2 y al resultado sumarle 2 unidades. Dado que es imposible hacer el ejercicio para todos los reales, bastará con encontrar algunos valores. Por ejemplo:

Cuando x tiene un valor de 2, y valdrá 6. Si x toma el valor de 3, y tomará el valor de 8.

De esta forma, se puede realizar una tabla de valores que correspondería a la forma numérica de 22 += xy

x y 0 2 2 6 -2 -2 -4 -6 -3 -4

Al graficar los puntos y unirlos mediante una línea recta pueden encontrarse todos los puntos que cumplen con la relación inicialmente mostrada mediante la expresión algebraica . 22 += xy

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8y

x

Como se pudo observar, tanto en el ejemplo 6 como en el 7, expresiones de la forma

con y 0 ,=++ CByAx 0≠ℜ∈ BCBA ,,, baxy += ,con ℜ∈ba , , dan lugar a líneas rectas en el plano cartesiano. La primera forma es conocida como forma general, forma estándar ó forma canónica.



Ejemplo 8 Representar en el plano cartesiano los puntos tales que 12 +≥+ yyx Para representar gráficamente la inecuación dada, primero se localizan los puntos que cumplen con la igualdad

12 +=+ yyx .

x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4-3-2

1234 y

-1

Estos puntos dividen el plano en dos semiplanos. Luego, se remplazan las coordenadas de un punto cualquiera en la expresión original, y si se encuentra una desigualdad en el mismo sentido, significa que todos los puntos del semiplano al que pertenece el punto de prueba satisfacen con la inecuación. Si la prueba arroja una contradicción, ningún punto de dicho semiplano hará verdadera la inecuación. EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN 1. Representar en un plano cartesiano la información contenida en la siguiente tabla.

x y 5 2 8 5 9 6 11 8 15 12

2. Representar en un sistema de coordenadas los puntos ( )yx , que cumplen con que la

ordenada es el triple de la abscisa aumentada en una unidad.

3. Si se tiene que complete la siguiente tabla de valores: 32 −= xy

x y 2 3 4 5 6 7

4. Representar gráficamente el conjunto de parejas cuyas componentes son enteros

positivos menores de once y mayores que cero y cuya diferencia entre abscisa y ordenada es un número par.



5. Encontrar las coordenadas del punto simétrico respecto al eje y, eje x y origen para cada uno de los siguientes puntos:

a. ( )12 −− ; b. ( )11 −; c. ( )03; d. ( )00; e. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

350;

6. Si el punto ( está en el tercer cuadrante, indique en que cuadrante se encuentran

los siguientes puntos: )ba ;

a. ( )ba −; b. ( )ba −− ; c. ( )ba ;−

d. ( )ab ; e. ( )ab- ; f. ( )aa ;−

7. Suponga que cada punto del plano se desplaza 3 unidades a la derecha y 2 unidades

hacia arriba determine:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

A

B

C

a. Donde queda ahora el punto ( )35. ? b. Si se tiene el triángulo ABC que se observa en

el siguiente sistema de coordenadas donde queda el nuevo triángulo?

8. Representar en el plano cartesiano el siguiente conjunto “los puntos cuya abscisa es un

número real entre –2 y 4 y la ordenada es la abscisa disminuida en 1” 9. Determine que tipo de movimientos realizó y en que cantidad de unidades para obtener:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6-5-4-3-2-1

123456 f

g

h

a. La gráfica g a partir de la f.

b. La gráfica h a partir de la g



10. En el siguiente gráfico

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4a. Relacionar tres puntos que pertenecen a la gráfica b. De las coordenadas de dos puntos que se encuentren en el interior de la gráfica

c. De las coordenadas de dos puntos que se encuentren en el exterior de la gráfica.

11. Determine las características de la abscisa y la

ordenada de la parte sombreada en el siguiente sistema de coordenadas

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

12. En el pasado festival de cometas, un grupo de estudiantes preparó como posible diseño de un afiche el esquema básico representado en un plano cartesiano como se ilustra. Deseando darle movilidad estudiaron dos tipos de simetría, realice el diseño si:

a. Se usa una simetría respecto al eje y b. Se usa una simetría respecto al

origen

5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4



Llenar los espacios en blanco justificando su respuesta.

13. Si ( )ba; es un punto en el segundo cuadrante, entonces ( )ba −; es un punto del _______________________ . cuadrante.

14. Si la gráfica de una ecuación contiene el punto ( )32; y es simétrica con respecto al eje

x, la gráfica también contiene el punto _______________________ . 15. Si el punto ( )24; pertenece a una gráfica que es simétrica respecto al origen (impar), el

punto _______________________ . también lo está. 16. Si xy > 0 , el (los) punto(s) ( )yx ; está(n) en el cuadrante _____________________. 17. Qué diferencia hay entre ( )ba; y { }ba; _______________________ .



“A partir de los griegos, quien habla de matemáticas habla de demostración” N. Bourbaki

CAPÍTULO V

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.1 INTRODUCCIÓN 5.2 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx 5.3 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx + b 5.4 RECTAS VERTICALES 5.5 FUNCIÓN LINEAL 5.6 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EN DOS

VARIABLES: SOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO 5.7 APLICACIONES 5.8 SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES POR EL

MÉTODO GRÁFICO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

CAPÍTULO V

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.1 INTRODUCCIÓN

j

La representación gráfica más simple en el plano cartesiano es la de un punto.

Un punto en el plano se simboliza mediante sus coordenadas: ( ) . yx ,

Dos puntos en un mismo plano determinan una recta.

Para representar expresiones algebraicas en el plano cartesiano, basta

con darle valores arbitrarios a la variable x y así encontrar el valor de y. Este método es conocido como tabulación.

En relaciones de igualdad entre expresiones algebraicas en dos

variables, x y y, la variable independiente es x y la variable dependiente es y.

Tres puntos sobre una misma recta, se dice que son colineales.

Una recta en el plano cartesiano puede presentar cualquiera de las siguientes formas:

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4 y



x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 y

A partir de lo estudiando en el capítulo anterior, puede decirse que éstas corresponden a representaciones gráficas de expresiones algebraicas, cuyas características aún no se conocen. Cabe la pregunta: ¿Tienen algo en común tales expresiones? ¿Qué las diferencia? Para dar respuesta a estas inquietudes, se debe estudiar con detenimiento cada una de las secciones que se presentan a continuación.

5.2 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx Las ecuaciones de la forma xy m= , ℜ∈m son expresiones algebraicas de primer grado o lineales, llamadas así porque en el plano cartesiano representan una línea recta. El análisis para este tipo de ecuaciones comienza con la forma más simple, haciendo 1m = , con la cual se obtiene xy = , cuya gráfica se presenta a continuación:

y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 x y

0 0 2 2 -1 -1 -4 -4 3 3

En forma numérica, la tabla de valores correspondiente permite ver que todos estos puntos sobre la recta son de la forma ( ) . xx ,

Como puede verse, la expresión da lugar a puntos en el plano cartesiano con igual valor para la abscisa y para la ordenada, y la unión de todos los puntos que presentan esta característica forman una línea recta como la que se muestra en la gráfica.

Si ahora se analiza la recta, qué conclusiones pueden sacarse?

A todo valor de , le corresponde uno y sólo un valor de y. ℜ∈x

Siempre que aumenta el valor de la abscisa, el valor de la ordenada aumenta.

La recta bisecta el primero y el tercer cuadrante.

Se presenta una simetría central respecto del origen.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

121


Continuando el análisis, se estudia ahora el comportamiento de las rectas cuando m toma valores positivos mayores a la unidad. Para ello se observan las gráficas de y

de

xyxy 3 2 == ,

xy23

= . .

x

y

y=x

y=3/2x Tomando como referencia la recta correspondiente a xy = , se observa que: y=3x

Todas las líneas tienen en común el

punto . ( )00,

Cada recta tiene una inclinación

diferente.

A mayor valor de m, la recta se acerca más al eje y.

y=2x

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

El paso siguiente es analizar las gráficas cuando m varía entre 0 y 1. Las gráficas de xy32= y

de xy31= permiten ver que:

xy=1/3x

y y=x y=2/3x

Cada recta tiene una inclinación diferente.

A menor valor de m, la recta se acerca

más el eje x.

Todas las líneas tienen en común el punto ( )00, .

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

En todas estas situaciones se encuentra que la gran diferencia radica en la inclinación de cada una de las rectas, concepto que se asocia con la palabra “pendiente”. Para hablar en términos cotidianos, la pendiente puede relacionarse con la inclinación de un puente, de una vía, de una montaña o de una rampa. En todos estos casos, se están



uniendo dos puntos separados por una distancia horizontal y por una altura. Se dice que una montaña por ejemplo es más pendiente con respecto a otra, si a partir de una misma distancia horizontal, los puntos que une están separados por una altura mayor. La primera montaña es más inclinada y por lo tanto, su pendiente es mayor1. Al ver la situación sobre el plano cartesiano, puede interpretarse como la cantidad de unidades desplazadas en sentido vertical a partir de una misma distancia horizontal.

1 2 3 4 5 6

1.3u

-1

1

2

3

45

6

7

8

9

1.0u

-1 1 2 3 4-1

1

2

3

45

6

7

8

9

3u

1u

De manera general, la pendiente entre dos puntos cualesquiera sobre una recta puede determinarse por la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal. A partir de la gráfica de y tomando cuatro puntos sobre ella, puede comprobarse que: xy 2=

1 Fotos extraídas de www.deporteweb.com/xtremos/alta.html.


123


Para cualquier par de puntos sobre la recta, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal es siempre 2:1.

Pto. 1

Pto.2 D.V. D.H. D.V.

D.H.

C D 2 und. arrb 1 und.der. 212 =

C A 4 und. abj 2 und. izq. 224 =

A D 6 und. arrb 3 und.der. 236 =

C B 2 und. abj 1 und. izq. 212 =

B

y = 2xy

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4 D

C

A

Los desplazamientos del punto 1 al punto 2 se hacen Ó ambos en el mismo sentido de los ejes así :

Vertical (D.V) arriba (arrb) Horizontal (D.H) derecha (der)

Ó los desplazamientos se hacen ambos en sentido contrario a los ejes, así:

Vertical (D.V) abajo (abj) Horizontal (D.H) izquierda(izq)

Comparada la razón con el coeficiente de x de la recta dibujada se encuentra que es

exactamente el mismo valor. Por lo tanto, la pendiente de la recta xy 2= es 2.

¿A qué conclusiones se llegará al comparar la recta xy = con la recta xy −= ? Con base en la gráfica de las rectas, puede decirse que:

La recta xy −= bisecta los cuadrantes II y IV.

La recta xy −= es la simétrica con respecto al eje x de la recta xy =

La recta xy −= es también simétrica con respecto al eje y a la recta xy =

Únicamente tienen en común el punto (0,0).

Las rectas tienen diferente inclinación. En la recta xy −= , se tiene que a mayor

valor de x, menor valor de y.

-4

x

y y=x

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

y= –x



¿Qué se puede decir si se consideran diferentes rectas con ? 0m <

x

y

y= –1/3x

y= –x

Todas las rectas tienen inclinación diferente.

y= –2/3x

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y= –2x

A menor valor de m se acercan más al eje y.

Todas tienen un punto común que es

el (0,0).

Los puntos de todas las gráficas se ubican en los cuadrantes II y en el IV.

Ahora, si se analiza el concepto de pendiente dado anteriormente en una recta con estas características, qué se puede generalizar? Es posible analizar estas rectas a partir de desplazamientos? Que diferencia hay? En la siguiente gráfica se estudiará la situación. y

x

A

y= –x

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

E

D

B

C


125


Pto.

1 Pto.

2 D.V. D.H. D.V. D.H.

A B 1und abj. 1und. der

111 =

B D 3und abj. 3und. der

133 =

E D 2und arrb. 2und. izq 122 =

D C 2und arrb. 2und. izq 122 =

Para cualquier par de puntos sobre la recta, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal es siempre la misma: 1:1. Para desplazarse del punto 1 al punto 2 debe hacerse uno de los movimientos en el sentido del eje y el otro en sentido contrario, así:

Horizontal (D.H) derecha (der) Vertical (D.V) abajo (abj)

Horizontal (D.H) izquierda (izq) Vertical (D.V) arriba (arr)

Cuando los desplazamientos son en sentido contrario uno del otro, se dice que la pendiente es negativa. Se observa ahora que si se toma el opuesto aditivo de la razón este valor coincide con el valor de m.

En términos generales puede decirse que las representaciones gráficas de expresiones de la forma xy m= son líneas rectas con pendiente igual al valor de m con las siguientes características:

Todas son rectas que pasan por el origen ( )00,

El valor de m corresponde al valor de la pendiente

Si su pendiente es positiva y a mayor valor de m la recta se encuentra más cerca del eje y.

1m >

Si , la pendiente es positiva y a menor valor de m, la recta se acerca más al eje x. 1m0 <<

Si , la pendiente es negativa y al aumentar el valor de la pendiente y acercarse a 0, la recta se acerca al eje x.

0m1 <<−

Si su pendiente es negativa y a menor valor de m la recta se encuentra más cerca del eje y.

1m −<

Ejemplo 1 Dibujar la recta correspondiente a xy 4−= . Antes de pretender hacer cualquier esbozo, debe hacerse el análisis de las características de la expresión:

Cumple con la forma xy m= , por lo tanto es una recta.

Debe pasar por el punto ( ) . 00 ,

El valor de . Su pendiente por lo tanto es negativa, por lo cual debe estar más cerca del eje y que la recta

4m −=xy −=



La recta necesita dos puntos para ser representada gráficamente. El primer punto A es el conocido . Para encontrar el segundo punto B que permita trazar la recta, debe hacerse dos desplazamientos: uno en sentido vertical y otro en sentido horizontal, uno de ellos en el sentido del eje y otro en sentido contrario, determinados a partir de la siguiente proporción:

( 00 , )

14

4horizontal entodesplazami de unidades cantidad

vertical entodesplazami de unidades cantidad−=−=

Por tratarse de proporciones, podría aceptarse igualmente: =−=−624

28

La gráfica es entonces:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

Hasta el momento, el trabajo se ha limitado a valores de m enteros. Pero, de qué manera pueden variar las generalizaciones ya aceptadas si m toma un valor racional? Ejemplo 2 Esbozar la gráfica de xy

43=

La recta es de la forma xy m= , por lo tanto la recta que pasa por ( )00 ,

La pendiente es positiva.

Ambos desplazamientos deben ir en sentido de los ejes o ambos en sentido contrario a los ejes.

3 unidades de desplazamiento vertical. 4 unidades de desplazamiento horizontal.

-3

-2

-1

1

2

3

4

y=– 4x

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

6

y=3/4x

x

y


127


Ejemplo 3 Es posible encontrar la ecuación de una recta de la forma xy m= que pase por los puntos A y B mostrados en el siguiente gráfico?

Conocidos dos puntos de la recta, se pueden establecer los desplazamientos vertical y horizontal que se deben realizar para ir de un punto a otro, y por supuesto, determinar la razón entre estos desplazamientos. De esta forma, puede afirmarse que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es:

23−==

..

..HDVDm

)

x

y

B

A

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1-1

1

2

3

4

5

6

7

E

)

Vale decir que el signo negativo se debe a que uno de los desplazamientos debe hacerse en el sentido del eje y el otro en el sentido opuesto. La siguiente condición que debe cumplirse para que la recta sea de la forma y = mx es que pase por origen, entonces ahora se pregunta: ¿Pasa esta recta por el origen? Si es así, cómo comprobarlo?

Si la recta pasa por el origen, la razón de los desplazamientos vertical y horizontal desde A o desde B hasta el punto debe ser la misma: ( 00 ,

23−=m

Tomando el punto A como punto de partida, se debe hacer dos desplazamientos para llegar al origen: 4 unidades a la derecha (sentido de los ejes) y 6 unidades hacia abajo (sentido contrario al eje). Por lo tanto:

23

46 −=−=m

Esto significa que efectivamente la pendiente es de la forma xy m= , y su pendiente es:

23−=m . Por lo tanto su forma algebraica es:

y = 23− x

Ejemplo 4 Qué características tendrá una recta de la forma xy m= cuando m ? 0=

Ya que es de la forma xy m= , debe ser una recta que pasa por el punto (0,0).

¿Qué significa la pendiente ? 0m =

De acuerdo con la definición de pendiente:



ℜ∈=== cc ,00horizontal entodesplazami de unidades cantidadvertical entodesplazami de unidades cantidadm

Lo que significa que no importa cuántas unidades se desplace en dirección horizontal, ni el sentido de dicho desplazamiento, pues no habrá desplazamiento vertical. Entonces la recta coincidirá con el eje de las x.

En general, dados dos puntos cualesquiera ( )11 yxA ,= y ( )22 yxB ,= , la pendiente de la recta que pasa por ellos estará dada por la razón entre el número de unidades de desplazamiento vertical y de desplazamiento horizontal que se requiere para ir de uno de ellos al otro. Cómo establecer dichos desplazamientos?

x

y B=(x2,y2)

y2-y1

x2-x1

A=(x1,y1)

Del gráfico se puede observar que verticalmente, para ir de A a B se debe realizar un desplazamiento de unidades hacia arriba, mientras que el desplazamiento horizontal debe ser de

( )12 yy −

( )12 xx − unidades hacia la derecha. En forma algebraica, la pendiente se expresa como:

12

12

xxyy

m−

−=

La razón por la cual se relaciona la pendiente con la letra m, es por la palabra francesa “monter” que significa inclinación.

Ejercicios 5.1

Encontrar la ecuación para cada caso:

1. Las cuatro rectas que pasan por el origen y por los puntos ( ) ( ) ( )31211121

1 ,,,,,,, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ráfica.

De ene pendiente negativa.

.

5. a recta que se encuentre en la región del ejercicio anterior y a partir de ella

. Señalar la región que contiene rectas cuya pendiente es mayor a 3 y pasan por el

origen.

Describir el proceso que se debe seguir para: 2. Determinar la pendiente de una recta a partir de su g 3. terminar que una recta ti

En el plano cartesiano:

4 Señalar la región que contiene rectas que pasan por el origen y cuya pendiente es menor que 1.

Escoger unencontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es la mitad de la pendiente de la recta escogida.

6


129


5.3 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx + b Las expresiones de la forma bm += xy con ℜ∈bm, deben guardar similitud con las ecuaciones de la forma xy m= estudiadas en la sección anterior. Cabe preguntar: ¿Qué incidencia tiene el real ? b Con la ayuda visual que proporciona la representación gráfica, se iniciará el estudio con las ecuaciones de rectas que presentan la forma b+= xy .

y=x

y=x+5/2

y=x –7/2

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5

0.51.01.52.02.53.0

y=x –2

y=x+1

Todas tienen pendiente positiva.

La razón de los desplazamientos entre dos puntos que pertenecen a una misma recta es la misma para todas las rectas, lo que indica que tienen la misma pendiente y por lo tanto se dice que son paralelas.

Sólo xy = pasa por el origen.

Las rectas con cortan al eje x y al eje y en puntos distintos. 0b ≠

El corte con el eje y coincide con el valor de b.

Las rectas con , cortan al eje y en su parte positiva. Cada recta es una traslación de b unidades hacia arriba de la recta

0b >

xy = .

Las rectas con , cortan al eje y en su parte negativa. Cada recta es una traslación de b unidades hacia abajo de la recta

0b <

xy = .

De la misma forma, estudiando las ecuaciones de la forma b+−= xy puede extraerse la siguiente información:

Todas tienen pendiente negativa.

La razón de los desplazamientos entre dos puntos que pertenecen a una misma recta es la misma para todas las rectas, lo que indica que tienen la misma pendiente y por lo tanto se dice que son paralelas.



y= –x –2

y= –x – 7/2

y= –x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5

0.51.01.52.02.53.0

x

Sólo xy −= pasa por el origen.

Las rectas con cortan al eje x y al eje y en puntos distintos.

0b ≠ y= –x+5/2

El corte con el eje y coincide con el valor de b.

Las rectas con , cortan al eje y en su parte positiva. Cada recta es una traslación de b unidades hacia arriba de la recta

0b >

xy −= . y = –x+1

Las rectas con , cortan al eje y en su parte negativa. Cada recta es una traslación de b unidades hacia abajo de la recta

0b <

xy −= .

En ambos casos, con y con 1m = 1m −= , b indica el punto de corte de la recta con el eje y. Esta característica le da a b el nombre de intercepto-y u ordenada al origen, ya que la coordenada del punto es de la forma ( )b0 , .

En cada uno de los grupos, las rectas tienen la misma pendiente, lo cual indica que son paralelas.

Lo anterior se generaliza en el siguiente teorema: Teorema 1: Dos o más rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

En cuanto al corte con el eje x, vale decir que tiene un nombre generalizado: intercepto-x o abscisa al origen ya que su coordenada es de la forma ( )0,x

Los siguientes ejemplos, permitirá entender de qué manera se pueden generalizar los conceptos vistos hasta el momento en esta sección: Ejemplo 5

Dadas las siguientes rectas, decir cuáles de ellas son paralelas.

Si se observa cada una de las rectas, se han establecido desplazamientos entre cualesquier par de puntos sobre ellas.

L

J

N

De esta forma, se encuentra que para las rectas H,L, y J, la razón entre los desplazamientos verticales y horizontales es de 2:1, y mientras uno de los desplazamientos se hace en sentido de los ejes, el otro se hace en sentido opuesto. Por lo tanto, estas tres rectas son paralelas.

M

2

1

1

2

2 3

23

4

6

9

4

H

Por su parte, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal entre dos puntos cualesquiera sobre las rectas M, y N, es de 3:1, ambos en el sentido de los ejes, por lo cual se puede afirmar que estas dos últimas rectas también son paralelas entre sí.


131


Ejemplo 6 Graficar y encontrar las coordenadas del punto de corte con el eje x.

12 += xy

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4 Qué se sabe?

=

La pendiente es m . 2

El intercepto y es en 1. Como la pendiente es positiva, ambos desplazamientos son en el mismo sentido. El valor de 2 indica que la razón entre los desplazamientos es entonces de 2 a 1. El intercepto y en 1 hace que la recta pase por el punto . ( )10 ,

Si se quiere determinar las coordenadas del punto de corte con el eje x, puede seguirse dos métodos:

1. Por desplazamientos: Si se tiene en cuenta que la razón de los desplazamientos entre dos puntos cualesquiera es de 2 a 1, y se sabe que la recta pasa por el punto , puede hacerse un desplazamiento de una unidad hacia abajo hasta encontrar el eje x, y de media unidad a la izquierda para encontrar el punto que coincide con el punto de corte, cuyas coordenadas son:

( )10 ,

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 0

21 , .

2. Algebraicamente: En el punto de corte con el eje x, el valor de la ordenada es 0. La situación se reduce a resolver una ecuación lineal en una variable, así:

21120 −=⇔+= xx

Ejemplo 7

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de coordenadas ( )12 , y . ( )30 ,

Ya se conoce el valor de b de la ecuación.

Para calcular la pendiente m, se recurrirá a los desplazamientos desde un punto hasta el otro:

o Intercepto y

122 ==

..

..HDVD

x

y

2und 2und

-1 1 2 3 -1

1

2

3

4 Sólo uno de los desplazamientos se realiza en el sentido del eje, por lo tanto, la pendiente será negativa.

La ecuación de la recta es de la forma bm += xy

Si m = −1 y b = 3, se tiene:

y = –1x+3 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 132


Ejemplo 8

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: ( )11, y . ( )23 ,−

x

y

1 und.

4 und.

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3 Pendiente m =

41=

..

..HDVD negativa.

La ecuación debe ser de la forma: b

41 +−= xy

)

Intercepto y:

E

)

Es claro que el método de los desplazamientos aunque es bastante práctico en muchas ocasiones, no siempre permiten llegar fácilmente a la solución. En ocasiones es necesario recurrir al uso de herramientas geométricas o al método algebraico para resolver este tipo de situaciones: Cómo proceder? Mediante el uso de herramientas de la Geometría, es muy útil establecer semejanza de triángulos, y hacer uso de las proporciones así: Si para llegar del punto : al punto ( 23 ,− ( ) se realiza un desplazamiento de 4 unidades hacia la derecha, para llegar del mismo punto

11,

( )23 ,− hasta el eje y se deben avanzar 3 unidades en el mismo sentido. Para conservar la misma proporción, cuántas unidades es necesario desplazar hacia abajo?

341 ?−=−=m

Efectivamente: es necesario bajar

43 de unidad, lo que significa que se cruza el eje y por el

punto 45 ya que

45

43

2 =− .

-4 -2 2 4

1

2

x

y

43

45

Conocido el valor del intercepto y la ecuación de la recta es 45

4+−=

xy


133


El intercepto y también se puede obtener algebraicamente dado que se conocen dos puntos de la recta. Ambos deben cumplir con la ecuación, por lo cual cualquiera de ellos puede reemplazarse en la expresión:

b41 +−= xy

( ) b1411 +−=

b45 =

Ahora sí, puede concluirse que la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( y es:

)11, ( )23 ,−

45

41 +−= xy

Ejemplo 9 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )4

)3 , y

por . ( 11, y

2 und.

3 und.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

Pendiente: m =23=

..

..HDVD positiva.

Conocida la pendiente, se establece la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal desde un punto conocido hasta el punto que coincida con el eje y:

123 2

3

=

)

.

Esto significa que al desplazarse una unidad a la izquierda desde el punto , se debe desplazar ( 11,

23 de

unidad para llegar al intercepto y. De esta forma, la

ecuación determinada es: 21

23 −= xy

Ejemplo 10 Qué características tendrá una recta de la forma bm += xy , con y ? 0m = 0b ≠

En el ejemplo 4, se analizó la recta xy m= , con m , y se encontró que correspondía a una recta sobre el eje de las x. Si b hace que la recta se traslade verticalmente, para este caso, la recta horizontal, se trasladará b unidades hacia arriba si b es positivo, o b unidades hacia abajo, si b es negativo.

0=

Por lo tanto se puede concluir que la recta es paralela al eje x y con intercepto y en b. La expresión algebraica de la recta es b=y



Ejemplo 11 Dada la representación gráfica del siguiente conjunto de rectas, encontrar la ecuación de cada una de ellas y resaltar sus características comunes: y

x

y4

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2 y3

y2

y1

Para la recta y1: 3

13m ===

..

..HDVD y 232b 1 −=⇒−= xy

Para la recta y2:

31m −==

..

..HDVD y 2

31

2b 2 −−=⇒−= xy

Para la recta y3: 5

15m −=−==

..

..HDVD y 252b 3 −−=⇒−= xy

Para la recta y4:

21m ==

..

..HDVD y 2

21

2b 4 −=⇒−= xy

Si bien las rectas tienen diferentes pendientes, todas tienen el mismo intercepto y. Es decir, el punto (0,–2) es común para las cuatro rectas.

Hasta el momento se han estudiado rectas que comparten las mismas características como la de tener la misma pendiente o el mismo intercepto y. En general cualquier conjunto de rectas que tengan una característica en común se conoce con el nombre de familia de rectas. Ejercicios 5.2

Sea D la recta con ecuación 53 +−= xy . Encontrar la ecuación de las siguientes rectas y graficarlas en un plano cartesiano.

1. La recta paralela a D que pasa por el punto ( )02, .

2. La traslación 2 unidades arriba de la recta D.

3. La traslación 3 unidades a la izquierda de la recta D.

Encontrar la ecuación de l s rectas para cada e los siguientes ejercicios:

4.

a uno d

La recta pasa por el punto ( )21 , y tiene pendiente 43− . Cuáles son las coordenadas del

5.

corte con el eje x? Cuáles s s coordenadas del punto de corte con el eje y?

La recta pasa por el punto

on la

( )42,− y por el punto al que se llega al desplazarse 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia abajo.


135


6. La recta corta al eje x en –2 y al eje y en 3.

7. La recta tiene pendiente 72 y que cruza al eje x en –5.

3 −,P8. La recta une los puntos ) 5 y ( ( )74,Q

9. cta que pasa por ( )23 −,P y es paralela a la recta 532La re =+ yx .

Encontrar la pendiente de las rectas que cumplan con las condiciones dadas:

10. La recta que s sigui

a. ( ) (

pasa por lo entes puntos:

( )32 ,,− c. 451 ,, b.

( ) (362 ,,

d. ( )54 ,,−

11. :

a.

La ecuación de la recta es la siguiente

0734 =+− yx b. 1−−= xy

Realizar los siguientes ejercicios:

12. e la recta 0123 =+− yx 13. c

Encontrar las coordenadas de tres puntos que se encuentre sobr

En ontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )33,− y que sea:

a. Paralela a la recta con ecuación 52 += xy

b. Paralela a la recta que pasa por los puntos ( )21,− y ( )13 −,

5.4 RECTAS VERTICALES En la sección 6.1. se presentaron los entes tipos de recta que se pueden encontrar. Los dos primeros orresponden a expresiones de la forma m

difer y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

c b+= xy . La tercera, es una recta de la forma b=y . La cuarta recta, qué expresión algebraica la representará? Si se pretende desplazarse desde un punto sobre la recta a otro a recta, se tend

cualquiera ubicado a d unidades sobre lrá:

0HD=

.., razón no definida. (Ver sección 1.8) dVD ..

P rse entonces que la pendiente no está

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

uede deci definida para este tipo de rectas.



La pendiente de una recta vertical es indefinida ó no esta definida

Hay muchos otros autores que dicen que la pendiente de una recta vertical es indeterminada, por lo tanto se puede utilizar este término.

a son

untos cuya abscisa siempre es 2. Es deci ordenadas son de la forma (2,y). Esto nos todo valo y, que escrito en términos de ecuación,

2

Sin embargo, la característica general de todos los puntos que se ubican sobre la rectp r, sus coper afirmar que x es igual a 2 para s:

mite r dee

=x

cta paralela al eje y que corta al eje x en un punto c, es de la forma c

En general, toda re

=x 0=Si c , la recta coincide con el eje y.

Ejercicios 5.3

Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )32 , y que:

Es paralela al eje de las y.

. La recta 5=x tiene un único corte con el eje y.

La ecuación 0=y es la ecuación para el eje y.

a 2

1. Es paralela al de las x. 2. eje

Decir si es falso o verdadero.:

3

4.

5. El punto ( )32, está sobre la rect =x .

El eje se encuentra incluido en la región que contiene las rectas cuya pendiente es 6. ymayor a 3.

5.5

En =y

Para todo valor de x existe uno y sólo un valor correspondiente en y. Se dice que una

l.

F en matemát cepto de lineal tiene un s cho más a ado en e urso pues será objeto de estudio en c p

a expres bm += xy , puede escribirse también de la forma ( ) bm += xxf , dada la

l valor de x.

FUNCIÓN LINEAL

las secciones 5.2 a 5.3 se estudiaron las características de las rectas que tienen la forma bm +x , y en todas ellas se observó que:

expresión que cumpl n esta característica, es una función y en e or tener como representación gráfica una recta, recibe el nombre de función linea

e co ste caso, p

ormalmentemplio, pero no será tratosteriores.

ión

icas, el con ignificado muste c ursos

Lcondición de función, en donde los valores de y dependen de


137



( ) =xf

se lee “f de x es igual a”

( ) =xf

se lee “f, factor de x, es igual a”

A este concepto se encuentran asociados os conceptos: otr

Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x para que la función esté definida.

Codominio: Conjunto de va ede tomar la variable dependiente y. Imagen: Es el valor que toma la función

lores que pu

( )xf para un valor x del dominio.

Rango: Es el conjunto de imágenes de la función. También es conocorrido.

cido como

En una funci f x el valor es dan origen a

Si x1, < x2,, y f (x1) < f (x2), se dice que la función es creciente.

Si x1, ≠ x2, y f (x1) = f (x2), se dice que la función es constante.

es uno a uno si a cada elemento del rango le corresponde uno y sólo un

Para cualquier par de puntos x1 y x2 que pertenecen al dominio de la función, si x1, ≠ x2, y f ó inyectiva.

jemplo 12

ea ( )

re

( ) e a mayor valor de ón de la forma bm += xx , puede suceder qude y aumente, disminuya o se mantenga constante. Estas situacionlos siguientes conceptos:

Para cualquier par de puntos x1 y x2 que pertenecen al dominio de la función:

Si x1, < x2, y f (x1) > f (x2), se dice que la función es decreciente.

Una función

e l dominio, lo qu or en e

lemento de e f malm te se scribe:

(x1) ≠ f (x

2), se dice que la función es uno a uno

E

52 −= xxf . Determinar: ( )3f , ⎟⎞⎜⎛⎠⎝

2f , S33

( )32,f − , ( )h+xf .

o que ( ) Dad ( ) 352532352 −=−=−=⇒−= )f(f xx

Para dar respuesta a

33

⎟⎞⎜⎛ 2f , ⎠⎝ 3 99333 ⎠⎝⎠⎝

41545222 −=−=−⎟⎞⎜⎛=⎟⎞⎜⎛f

Para, ( )32,f − , ( ) ( )3

6195364532

323 ,,,, −=−−=−−=− 2f

Por último ( ) ( ) 5h32

32

5h32

h −+=−+=+ xxxf


Ejem opl 13

ráfica representa una función. Los puntos l ienen coordenadas de la forma ))(,( xfx . A

ella, encontrar los valores de:

3)( xf

sca el

La gsiguiente de ta gráficapartir de 1. )(2f 2. )(0f 3. )( 2−f 4. 5−=)( xf . = 5

6. 0=)( xf

Para los numerales 1, 2 y 3, se bu punto sobre la recta dada cuyas abscisas coincidan con 2, 0 y –2 respectivamente, y a partir de ellos se lee el valor de su ordenada. Verbalmente equivale a preguntar: ¿Cuál es la imagen de la función en 2=x , 0=x ó 2−=x , respectivamente?

or lo tanto 42 −=)(f , 0P 20 −=)(f , 2 =− )(f

los numerales 4, 5 y 6 es equivalente a preguntar: ¿Cuáles son los valores e x es son respectivamente: -5, 3 ó 0 ?. Para ello se deben ubicar sobre la

s puntos de éstos se lee la abscisa correspondiente cada uno de ellos.

l enunciado de E

d , cuyas imágenrecta lo cuya ordenada sea -5, 3 ó 0 y desa

De donde se obtiene 53 −=)(f , 35 =− )(f , 02 =− )(f Ejemplo 14

a

( )Dad2

=xg , determinar si es función lineal.

) es función lineal, debe determinarse si cumple con ser de la forma

( )

3−x

ara saber si g ( xP

g ( x ) = mx + b:

( )22222

−=−=⇔= xxx gg

e esta form

33x

a, g( x ) es una función lineal con

13−x

D21m = y

2 Ejemplo 15

3b −=

eterminar dominio y rango para la funD ción ( ) 3−=xh .

Para determinar el dominio, es necesario encontrar los valores que puede tomar la

enido, mientras no se diga lo contrario, x es un número real. En este caso, as mencionadas en capítulo 1 para h (x).

conjunto de los números reales.

5+x

variable x. Como se ha convno se genera ningún tipo de indeterminació lPor consiguiente, el dominio lo constituye el

n como

Sabiendo que para cualquier valor de ( ) ℜ∈ℜ∈ xx h , , el rango es el conjunto de los reales.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6-5-4-3-2-1

123456

x

y


139



Determinar dominio y rango para la función

Ejemplo 16

( ) 6=xg .

nción es entonces el conjunto de los números reales.

l rango de la función correspon toma la variable y. En este caso, x, y siemp rá 6. Por lo

Ejemplo 17 Determinar si las funciones ( )

a variable no tiene restricción alguna, lo que significa que puede tomar cualquier valor real. L

El dominio de la fu E de a aquellos valores quepara cualquier valor que tome re se tanto, el rango de la función es: { }6

121 += xxg y ( ) 24 −−= xxh son crecientes, d s o

constantes.

im dada, ( )

ecreciente

Para la era f pr unción 1

21 += xxg ,

s ase pueden tomar dos punto rbitrarios sobre la recta, por ejemplo, ⎟

⎠2, , ⎞⎜

⎝⎛ −= 11M

y ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

49

25 ,A , y analizar:

Como

251 <− , es ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛<−

251 gg ?

ue efectivamente Viendo q49

21 < , puede

gurarse que la función es creciente. ase

ismo análisis para la segunda ( )

0 −= ,S

Dado que –1 < 0: Es ( )1−h menor, mayor o igual a ( )0h ? Como se puede ver, ( ) ( )01 hh >− , por lo cuafunción es decreciente.

x

y

-2.5

Se continúa el mfun 24 −−= xxh

ción:

Si los puntos ( )21,−=P )2 pertenecen a la recta, se pregunta:

y (

l, la

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

-0.75 -0.50 -0.25

0.25

0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y


141

Ejemplo 18

Sea la recta ( ) 131 += xxf :

2 ¿Para qué valores de x es f ( x ) > 0?

x ) > 1?

x.

e requiere

1. ¿Para qué valores de x es f ( x ) = 0?

.

3. ¿Para qu f ( é valores de x es

La primera pregunta lleva a encontrar el punto de corte con el eje

En la gráfica puede verse claramcorresponde al punto x = –3. Pero si se

ente qu

exactitud, se recurre al álgebra:

31310 −=⇔+= xx

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

La segunda pregunta, puede respond ermina para qué valores de x, la recta stá por encima del eje x.

erse si se dete Observando la representación gráfica, se encuentra que corresponde al intervalo ( )∞− ;3 . Existe un procedimiento algebraico que permita llegar a la misma respuesta? Efectivamente, como se vio en la sección 3.9, se establece una inecuación de primer grado en una variable:

301 −>⇔>+ xx

nte queda una pregunta por responder: ¿Para qué valores de x, f ( x ) > 1?. Para braico:

sí como para dar respuesta a la preg s valores de x, para los cuales la recta está por encima del eje x ue para cualquier punto e la re sob e su ordenada es mayor que 0, en este caso se deben buscar los valores de x, pa que se ene que la ordenada es mayor que 1.

l procedimiento algebraico que permite solucionar el problema es:

3

1

Finalmeresolverla, pude seguirse un procedimiento gráfico o un procedimiento alge A unta 2 se buscaron lo

, dado q d cta re este ejra los

ti A partir de la gráfica se puede co alores de x que satisfacen f ( x ) > 1 son

( )∞∈ ,0x .

ncluir que los v

E

003

113

>⇔>⇔>+ xxx

11

d rma Da a una función de la fo ( ) bmxxfy +== , cuya representación es una recta, en

rminos generales puede presentar cambios si alguno de los elementos que la determinan – modificado, como se muestra en el siguiente ejemplo:

tésu pendiente o su intercepto– es

3y

x



Ejemplo 19

. Se suma 2 a la función.

lgebraicamente, significa que:

32 +=xxf Gráficamente, se traduce en una trahacia arriba. Puede relacionarse el si2, con el sentido del eje. Si tuviera sitraslación sería en el sentido contrario el mismo.

. La función se multiplica por 2 De manera algebraica se expresa como:

Sea la función ( ) 12 += xxf . Determinar los cambios en el plano cartesiano que pueden ocurrir cuando: 1 A

( ) ( ) 2122 ++=+ x

slación vertical gno positivo del gno negativo, la d

2

( ) ( )2 +=+=xf

ca representa una traslación del 2 y una rotación de la recta debida iente.

. A la variable x se le suma Aunque gráficamente puede entenderse como unatraslación vertical de 4 unidades hacia arriba, espreciso notar que en realidad lo que ha ocurrido es un

zamiento horizontal de dos unidades hacia la ca el intercepto y, se aprecia

icho desplazamiento. El manejo ebraifica:

( ) 52 +=++= xxf

24122 xx lo que en la gráfiintercepto y hastaal cambio de pend

3 2 unidades.

desplaizquierda. Si se ubiinmediatamente dalg co permite encontrar la razón de esta nueva rá g

2 (2 x ) 12+

-1 1 2 3

-2-1

123456

7

x

y

f(x)=2x+1y1=f(x)+2

-1 1 2 3

-2-1

123456

7

x

y

f(x)=2x+1

y2=2f(x)

-3 -2 -1 1 2 3

-2-1

123456

7

x

y

f(x)=

y3=f(x+2)

2x+1



Ej 5.ercicios 4

e te pr n Cuáles d las siguien s ex esio es re

=y

pres ? entan una función lineal 1. 32 +− x 2. 4=y 3. 5=x 4.

2+= xy

22 −x 6.

1

5. =y 23−= xy 7.

52

−+

valor de cada función dado

3= , 2−=x 9.

=xxy

Encontrar el el valor de x:

8. x27 −= xy , 43 −−= xy ,54= ,x

32−=x

0. ( )4231 −= xxf , 2−=x , 0=x ,

21=x ,

32=x 11. ( ) 230 +−= xx ,g , 050,−=x , 030,=x

s funciones y determinar: dominio, rango, comportamiento (creciente o decreciente), puntos de corte con el eje x y con el eje y,

s

1

Hacer la gráfica de las siguiente

( )xf 0> y en dónde es ( ) 0<xf . y determinar para qué valores e 12. ( )

72

53 −−= xxh 13. ( )

32

14. ( )

11 +−= xxf

23−= xxg 15. 2

432 += yx 1

16. 1032 =+ yx 17. Halle la función lineal ( )xf tal que ( )1 −=f 4 y ( ) 20 =f

Utilizando la siguiente gráfica2:

18. Encontrar la gráfica de la función ( )

19. unción

xy f31 =

Dibujar la gráfica f de la

f(x)

y

x

( )xy f−=2

20. Si para ( )xf el punto de corte en es punto de corte en x es 5, dibujar la gr

y 2 y el áfica

de ( ) 23 += xy f

21. Determinar los puntos ( )yx , del plano que cumple ( ) 14 −= xy f

22. Determinar los puntos ( )yx , del plano que cumple ( )25 −= xy f

x 23. Determinar en la gráfica los valores de para los cuales ( ) 0<xf

24. Si 12 <<− x , qué valores toma ( )xf . Señalar los puntos sobre la gráfica.

2 Adaptado de GÓMEZ, Pedro, et, al. Situaciones problemáticas de precálculo. pag. 50


143


5.6 SISTEM S VARIABLES: RÁFICO

A DE ECUACIONES LINEALES EN DOSOLUCIÓN POR MÉTODO G Una ecuación lineal en dos variables

bm1

1

1

1bc

ba

0 +−=⇔ xy

,,,,,, ℜ∈cbacba

únicamente un punto en común.

Coincidentes: Todos su En el capítulo 3 se estudiar ra resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables si existía una solución única;

es.

ema⎪⎩

⎪⎨⎧

,,,, 1111111 bcbacba ≠ℜ∈=+ yx

representa en el sistema de coordenadas cartesianas una recta. Por consiguiente, un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables representa dos rectas en el plano

⎪⎧ =+ 111 cba yx

⎪⎩⎨

=+222111

222 cba yx

Dos rectas en el plano pueden ser:

Secantes: Si tienen

Paralelas: No tienen ningún punto en común.

s puntos son comunes.

on los métodos algebraicos pallegando por ellos a determinar

infinitas soluciones o ninguna solución. Si se recurre al análisis del tipo de recta que representa en el plano se puede llegar a las mismas conclusiones. Los métodos algebraicos son útiles para verificar la solución gráfica y determinar con exactitud el punto de corte de las rectas en el caso de ser secant

Ejemplo 20 Determinar el conjunto solución del sist

−=− 143xy

=− 62yx

( )⎧ 1

( )⎪

⎪⎨

−=

−=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=−

2143

132

143

62

xy

xy

xy

yx

Las rectas (1) y (2) tienen diferente pendiente, lo que significa que so es. Si tuvieran el mismo intercepto-y inmediatamente se conoce de intersección. Pero como éste no es el caso, es necesario utilizar uno métodos algebrai os que ya se conocen. La situación se puede visualizar en la representación gráfica.

uiere conocer las coordenadas

recurre a uno de los tres cos vistos en el capítulo 3.

ndo el método de igualación:

⎩n secant

ría su puntode los c

Si se reqp

del unto común, se

métodos algebrai

Utiliza

522=⇔ x 1433

21 −=− xx

54−=y 14

5223 ⇔−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=y

C.S.=⎭⎬⎩⎨ ⎠⎝ 55⎫⎧ ⎟⎞⎜⎛ − 422 ,

-1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2y

x

X–2y=6

Y–3x= –14



Ejemplo 21

sistema ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=−

31510

232

yx

yx

−Encontrar el conjunto del

⎪⎩⎪

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=⇔

⎪⎩⎨

−=−

−=−

51

32

32

32

31510

232

xy

xy

yx

yx

Ambas rectas tienen la misma pendiente, pero su intercepto-y es diferente. Por lo tanto, son paralelas no coincidentes. El conjunto solución es entonces:

Ejemplo 22

Resolver e

⎪⎧

C.S.=

∅

l sistema ⎪⎩

⎪⎨ −

=3

332 yx

⎧ =+ 32 yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−=⇔

⎪⎩⇔

⎪

⎪⎨

⎧

−=

=+

32

32

2

2

33

32

32

xy

xy

x

xyx

yx

Las dos ec presentan la m recta, por lo tanto, son cir, existen infinit solución que en nos de conjunto solución se exp

C.S. = ( )

⎪⎨⎧

−=

=+

3

3

y

y

⎩

uaciones re isma os puntos térmi

coincidentes. Es deresa:

{ } ( ){ }ℜ∈+−⇔ℜ∈+−= xxxxxyyx 3232 ,,,

on coincidentes, como en el caso su conjunto solución se expresa

.S. = ( )

Cuando dos rectas sdel ejemplo anterior,como:

C { }ℜ∈+−= xxyyx ,, 32

C.S.= ∞

C.S. = ( ){ }ℜ∈+− xxx 32, C.S.= ℜ

5.7 APLICACIONES

Se necesita alquilar un l. Mi carrito Ltda. cobra un cargo fijo de $10.000,oo más $800,oo por kilómetro recorrid in kilómetro recorrido. Cuántos

co q smo en ambas compañías?

En términos generales se define el co

Costo de alquiler = Cargo fijo + Costo variable

Una situación puede expresarse algebraicamente mediante un sistema de ecuaciones. Ejemplo 23

automóvio. Limous

kilómetros deben re rrerse para

as S.A. cobra $1.200,oo por ue el costo de alquiler se el mi

sto de alquiler como:


145


tidad de kilómeLos costos variables dependen de la can tros x rec

El plan de cobro de Mi carrito Ltda. es:

Para Limousinas S.A. se define el plan de cobro como:

E Costo alquiler = $1.200x

unidalas x representa kilómetros recorridos, el eje Apréciese que para elaborar la gráfica es c adecuada, que permita ubicar suficientes puntos.

ue la representación gráfica de las nciones a las que se dio origen es la ostrada en la gráfica, vale decir que para

de recorrer “kilómetros

ndo se presenta un caso como éste, las divisiones en cada eje pueden llevar una escala

a y no necesariamente igual a la del otro

Observando la gráfica, se encuentra que entre 20 y 30km. existe un kilometraje que hace

sea el mismo para ambas compañías.

ara encontrar el número exacto de kilómetros, la única opción es acudir al álgebra para

⎪⎨⎧ +=

⇔⎩ xy

xy

xAlquilerC

AlquC

2001

80000010

20012 .

.

..

.

El conjunto solución es x = 25km.

orridos por el cliente.

))) c

Costo alquiler = $10.000 + $800x

Es claro que no se trata de las mismas des en cada uno de los ejes. Mientras el eje de

y representa dinero en pesos ($).

onveniente trabajar con una escala

Aunq

10 20 30

fumefectos no se puede considerar la parte negativa del eje horizontal, puesto que se estaría hablandonegativos” lo cual no tiene sentido. Cua

propieje.

que el costo de alquiler Presolver el siguiente sistema:

+= xiler 800000101 .

⎪⎩ =⎪⎪⎨⎧

=

40-50

50100150200250300350400450500550600

Limousinas S.A.

Mi carrito Ltda.

y

x



Ejercicios 5.5

Rep el c

1. ⎨⎪⎨⎧ =+ 01218 xy

8. e gastos fijos anuales de $20 millones. El costo de

fabricación de una silla es de $20.000

a. as por

b. Si fabricara 10.000 sillas anuales. ¿Cuál es el costo por silla?

c. ¿Cuántas debe fabricar pa por silla?

John es dueño de un restaurante de comida rápida, llamado John’s. En su restaurante, él vende a sus clientes, por $1.200, un combo consistente en seis gaseosas y dos hamburguesas. En otro restaurante, Jairo’s, el dueño propone otro negocio similar: una gaseosa y una hamburguesa por $4003.

a. Explicar por qué la relación entre el precio posible de la gaseosa (llámelo x) y el precio posible de la hamburguesa (llámelo y) en el restaurante John’s es:

6003

resentar los siguientes sistemas gráficamente y encontrar algebraicamente onjunto solución:

⎪⎩ =+ 64x y2.

⎪⎩⎨

=− 30117 yx3.

⎪⎩⎨

=+ 5813 yx4.

⎪⎩ =+− 191614 xy⎪⎧ =− 123 xy

⎪⎧ =+ 31223 yx ⎪⎧ =+ 1549 yx

5. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

153

951419

yx

yx 6.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

−=+

1756

121232

xy

xy 7.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+−

245

21110

yx

yx

Una microempresa que fabrica sillas tien

Escribir la expresión para calcular el costo total p de manufactura de las sillaño.

ra reducir el costo total de producción a $18.000 9.

+−= xy

100 200 300 400 500 600

400

200

300

100

500

600

700 Y

X

3 Tomado de GÓMEZ, Pedro, et, al. Situaciones problemáticas de precálculo. pag.64.


147


b. Explicar por qué en el caso del restaurante Jairo’s la relación es: 400+−= xy

En la siguiente figura se encuentran las gráficas de la relación entre los precios de la gaseosa y de la hamburgu

c. esa tanto de John’s, como en Jairo’s. Identificar la gráfica

de cada restaurante y justifique su elección.

d. Explicar por qué en el restaurante John’s no es posible que la gaseosa valga $200 y la hamburguesa $300. Proponer un precio de gaseosa y hamburguesa que sea posible en John’s, de acuerdo,al negocio que éste restaurante propone. Haga lo

n ejemplo de un precio de gaseosa y de hamburguesa que no sea posible en John’s y una pareja de precios que no funcione con el negocio de Jairo’s. Explicar.

mismo con Jairo’s.

e. Dar u

f. Encontrar el único valor de la gaseosa y de la hamburguesa que son posibles al mismo tiempo en John’s y Jairo’s. Resolver esto (con las ecuaciones) y justificar la respuesta gráficamente.

5.8 SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO GRÁFICO En la sección 5.5 se estudiaron casos particulares de funciones y se determinaro ellas

rísticas propias: su dominio y rango, el valor de la imagen para un valor específico x del dominio, si eran crecientes o decrecientes, y se insistió en el análisis gráfico de cada una de las situaciones.

n en caracte

En el ejemplo 18, dada ( ) 13

+= xxf se preguntaba cuándo es 1 ( ) 0>xf y cuándo es ( ) 1>xf .

de otra forma, puede considerarse una función ( ) 0=xg y una función tar: ¿Cuándo es

Visto este caso ( ) 1=x , y pregunh ( ) ( )xgxf > ó ( ) ( )xhxf > ?. La pregunta así formulada es

ciones en allí su análisis. Esto ervirá de base para resolver inecuaciones lineales mediante su representación gráfica.

1−x , encontrar los valores de para los cuales se cumple que ( )xgxf >)( El primer paso para resolver una inecuación, es encontrar el punto en el cual se cumple que el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho, es decir, encontrar el punto para el cual las dos funciones 2 +−= xxf )( y 1

equivale sentada e jemplo mencionado y por lo tanto llevará a la misma respuesta.

nte a la pre n el e

Ahora, qué pasa si se quiere comparar dos funciones lineales de la forma bxy += m con

0bm, ≠ ? En el capítulo 3 se describieron tres métodos algebraicos para encontrar respuesta a un sistema de ecuaci s en dos variables. En la anterior sección 5.6 se amplió el

ma visualizando las fun el plan siano e iniciandoones lineale

tes

o carte

Ejemplo 24 Dadas 32 +−= xxf )( y =xg )( x

3 −= xxg )( , son iguales:



Los métodos algebraicos permiten encontrar que

( ) ( )34

132 =⇔−=+−⇔= xxxxgxf

En la grá serva que efectivamente en el punto de coordfica se ob enada

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

s ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 33

, ocurre el

se ava

x

⎞⎛ 14

corte de las dos rectas. Ahora se debe establecer: si nza hacia la derecha sobre el eje

luego del punto 3

x), ya que mientras más se avanza hacia la derecha, para un mismo valor la imagen g(x), es mayor que el valor de la imagen f(x). o en forma

4 , cuál de las dos rectas está “po encima” de la otra?. Se ve entoncesr

que es la recta g(de x, el valor dealgebraica: ( )xfxg >)( . Como lo que se pregunta es cuándo ( ) , es nexgxf >)( cesario mirar

n el intervalo e ⎟⎠

⎜⎝

∞−3

;

intervalo el valor de la imagen f(x), es mayor que el va gen g(x). lo que equivale a escribir: ( )xgxf >)( . Por lo tanto, el conjunto solución buscado es:

⎟⎜ . Así se puede observar que para cualquier valor de x en este

⎞⎛ 4

lor de la ima

C.S. = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞−

34

;

cuales se cumple que 2 x

Ejemplo 25 Encontrar los valores de x para los 233 −−≤+ x . Al ver la expresión escrita en esta forma algebraica, puede establec funcio ciendo por ejemplo

erse una comparación denes ha : ( ) 32 += xxj y ( ) 23 −−= xxl , con

e se hizo en el ejemplo ior: lo cual se puede

desarrollar un análisis similar al qu Observando la gráfica, inmediatamente se encuentra el punto de corte de las dos rectas:

anter

( )11,− . A la izquierdapunto –1 sobre el eje x, se tiene que los valores de l(x) son mayores que los valores de j(x), mientras que a la derecha

(x) son mayores que los valores de l(x), e:

del

de –1, los valores de jlo que significa qu

( ) ( ) 1−<⇔< xxlxj De esta forma, el conjunto solución es:

C.S.= ( )1−−∞ ;

-5-4-3-2-1

123456

x

y

f(x)g(x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6-5-4-3-2-1

123456 y

j(x)

l(x)

x


149


Ejercicios 5.6

Encontrar gráficamente el conjunto solución de: 1. 122 −>+ xx 2. 313 −<− xx 5

3.

21

43 x

x ≤− 4. 35 +−≥− xx

2


s:

. ( )12, y ( )3 pasa por

Clasificar los siguientes pares de rectas en paralelas u oblicua 1 ( )25 −,Re pasa p rcta L1 que o 3, q, recta L2 ue y ( )27,

2. ( )72, y or Recta D1 que pasa por ( )15, , recta D2 que pasa p ( )34, ( )50, y

3. Recta E1 que pasa por ( )64, y ( )46, , recta E2 que pasa por ( )13,− y ( )83,

. Recta F1 que pasa por ( )72, y ( )15, , 4 recta F2 que pasa por ( )74, y ( )50,

Encontrar la información requerida:

. e pasa por

5 La ecuación de la recta qu ( )32 −, y es paralela a la recta que une ( )14, y ( )22,− .

6. de recta que une los puntos A y B

( )43,− ( )11−= ,B b.

La pendiente del segmento

a. =A ( )31,−=A ( )00,=B c. ( )53,=A ( )21,=B d. ( )32,=A ( )52,=B e. ( )62,=A ( )63,=B

. El valor de x, si la pendiente de la recta que une a 7 ( ) 12, con ( )7,x es 3

. La ecuación de las rectas mo grá

8

stradas en la siguientefica:

1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

2

3

4

j(x)

h(x)g(x)

f(x)

y

x



Analizar y encontrar: 9. Si ( )ba, es un punto que está sobre una recta con pendiente

43 entonces,

( )3 está sobre la misma recta?

ción de la recta que tiene pendiente

el punto

b4a ++ ,

10. La ecua21 y corte con el eje y en –5

p, si se sabe que la pendiente de una recta es 11. El valor de 56− y pasa por ( )p,6 y ( )3,p

De a 12. Hallar las

13. Decir si son fa

cuerdo con la gráfica:

coordenadas del punto A.

lsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:

0 1 2 53 4

y =3x /2

A

y =x /2

P

A

y=x/2

y=x/4

4


151


a. La ordenada de A es 3.

.

diente de la t r que

b. El punto ( )3010, está en el segmento OA

c. La pen rec a OP es meno2

d. recta OA es menor que la de OP.

specto del eje x diente

1 .

La pendiente de la

e. La ordenada de P es mayor que 2.

f. ecta simétrica de OA reLa r tiene pen23−

4.

Hallar el valor de 1 k, para que la recta ( ) sea paralela a la recta 0181kk =−−+ yx

a. b. 23

0734 =++ yx . 15. Encontrar los cortes con los ejes x y y de:

4=y −= xy c. xy 32 −= d. 062 =+− yx

pendiente de la recta que pasa por el origen y P(x,y) es 2 y la recta que pasa por ( )10,

s de m la recta es:

aralela al eje y. c. Pasa por el origen.

18. El punto ada está sobre la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el )2 . Calcula o P.

Analizar y resolver: 16. La

y P(x,y) es 1. Encontrar x y y. 17. Dada la ecuación ( ) ( ) 5m1m21m −=−+− yx , encontrar para qué valore

a. Paral je x. b. Pela al e

de ordenP 10punto (7 −, r la abscisa del punt

19. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )12,A = y ( )43, . Después

a dicha recta.

ificar la respuesta:

20. Si pendiente es negativa.

21. La recta xy 3−= pasa por el origen.

22. La recta ( ) 8−=xf es paralela al eje y.

23. La recta ( ) 4+−= xxg tiene pendiente –1.

24. Todas las funciones cuya gráfica es una recta son funciones lineales.

25. Para trazar una recta no es suficiente ubicar dos puntos.

26. Las rectas tienen longitud infinita.

27. La recta que pasa por los puntos

=Bhallar x, para que el punto ( )8−= x,P también pertenezca

Decir si las siguientes afirmacio son f as o verdaderas. Justnes als

una recta está inclinada a la derecha, su

( )14, y ( )83, − tiene pendiente – 1.



De acue si las siguientes afirma

28. ( )1xf es la longitud

rdo con la gráfica presentada a continuación, decirciones son verdaderas o falsas:

A

G

B

H C

D

f(x2)

F x1 x2

1

x3

E

de AD . 29. ( )3xf es la longitud de EF .

12 ng d de AB . itud de 30. ( ) ( )xx ff − es la lo itu GH . 31. La pendiente es la long

32. La pendiente es lACBC . 33. La pendiente es ( )

2

2xxf .

34. La pendiente es ( ) ( )12

12

xxxx

−− ff

Una tienda de video ofrece dos planes de alquiler de película

. s. Si la persona paga $9.000

$1.300

ega por primera vez a la tienda

c.

d. uiladas para el cual en los dos , ¿cuál es ese valor y cuánto hay

que pagar?

e. Hacer un comentario sobre cuál plan es mejor?

35de afiliación al club de video, el alquiler por película le cuesta $800. Si la persona no quiere afiliarse al club, alquilar la película le cuesta .

a. Representar gráficamente la variación de costos de los dos planes con respecto al número de películas.

b. Cuántas películas puede alquilar una persona que llcon $15.000?. ¿Cuántas, otra que llega con $25.000?

¿Cuánto cuesta alquilar 10 películas en cada plan?

¿Es posible que haya un número de películas alqplanes se pague lo mismo?. ¿Por qué? Si lo hay


153


“El que pregunta es ignorante por unos minutos; el que no lo hace lo será toda la vida” Proverbio Japonés

CAPÍTULO VI

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON

VALOR ABSOLUTO

6.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO 6.2 VALOR ABSOLUTO A PARTIR DE LA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 6.3 ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO 6.4 INECUACIONES LINEALES CON VALOR

ABSOLUTO. 6.5 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

CAPÍTULO VI

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

6.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO

i Represente gráficamente: 1. Los puntos sobre la recta numérica que se ubican a más de 3 unidades del punto –1.

2. Los puntos sobre la recta numérica ubicados a menos de 35 de unidad del punto

31 .

3. Los puntos que se encuentren a una distancia de –3 unidades del punto –2. 4. Los puntos cuya distancia a –4 sea un número no negativo 5. Los puntos cuya distancia al origen sea mayor que cero.

Resolver:

. Determine la distancia entre – 1,5 y – 4,5 6

7. Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en 38 .?

6.2 VALOR ABSOLUTO A PARTIR DE LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Este es un concepto al que se recurre con mucha frecuencia en la vida diaria en una forma muy intuitiva. Para formalizarlo, se analizará una situación real, a la que se le han adicionado ciertos rasgos onvenientes: c

15


En la ciudad de Bogotá hay un sistema de nomenclatura para calles y carreras. Existe una calle cero (0), a partir de la cual se enumeran todas las calles y se asume que las calles de la derecha son “las del norte”, y las de la izquierda, “las del sur” y que la numeración avanza de 1 en 1 (no existe por ejemplo la calle 68B). Alberto, Mauricio y Augusto son tres estudiantes de la Escuela Colombiana de Ingeniería que viven en la ciudad de Bogotá en la calle cero (0), en la Av. Caracas con calle 72 y en la Av. Caracas con calle 35 sur respectivamente. Surgen las siguientes preguntas: ¿Cuántas calles debe desplazarse cada uno de los estudiantes para llegar a la sede de su universidad ubicada en la calle 205 sobre la Autopista Norte? ¿Cuántas calles debe recorrer cada uno de ellos para regresar a su casa saliendo de la ECI? Cuál es la similitud entre la distancia recorrida desde la casa y la ECI, y la recorrida desde la ECI a la casa? Cuál es la diferencia? Cómo responder a la primera pregunta? Debe analizarse cada caso aisladamente: Teniendo en cuenta que la Caracas se convierte más adelante en la Autopista Norte, Alberto debe desplazarse hacia la derecha un total de 205 calles, que en este momento se convierten en “unidades de desplazamiento” para ir hasta la sede de su universidad. Mauricio seguramente no debe “regresar” hasta la calle cero (0) contando 72 calles en sentido Norte-Sur, para a partir de allí comenzar a contar 205 unidades de desplazamiento en sentido Sur-Norte. Mauricio hace el siguiente cálculo: 205 – 72 = 133, y concluye que debe recorrer 133 calles. Finalmente, Augusto dice: “Recorro 35 calles hacia el norte para llegar a la calle cero (0), y luego las 205 calles que faltan para llegar a la Escuela”, con los cual se desplazaría 35 + 205 =240 calles. Para responder las siguientes preguntas, Alberto, Mauricio y Augusto dan una única respuesta: “La distancia recorrida será la misma pero en sentido contrario” Con esta idea en mente, puede analizarse una situación similar a partir de una recta numérica ( Av. Caracas – Autopista ), y de unos puntos xi (calles), cuyos valores negativos representan las calles al sur, mientras que los valores positivos representan las calles al norte. La primera situación en la cual se daba el desplazamiento desde la calle cero (0) hasta la 205 puede asimilarse a la medida de la distancia entre el punto y el punto . 2051 =x 02 =x Gráficamente, puede entenderse como:

205

0 205

Cómo puede representarse gráficamente la distancia desde el punto hasta el punto .?

351 −=x02 =x

35

−35 0

Si Alberto decide invitar a sus compañeros a estudiar en su casa en la calle 72, cuál debe ser el desplazamiento que deben realizar Mauricio y Augusto desde sus respectivas casas?



Podría decirse que el punto de referencia calle cero (0), es reemplazado por otro punto . Qué representaría en términos de distancia? Cómo puede representarse

gráficamente la distancia desde cualquier punto x0722 ≠=x

1 hasta el punto ? 722 =x Cómo cambia la situación cuando y el punto de referencia es cualquier punto x721 =x 2? La inquietud final debe ser: “Existe un concepto matemático que permita representar todas estas situaciones analizadas?” La respuesta es afirmativa. Dicho concepto es el valor absoluto. Sin embargo, para definirlo, primero debe recordarse que:

J Todo número real tiene un opuesto aditivo que se encuentra ubicado a

la misma distancia del real cero ( 0 ), el cual corresponde a su simétrico.

La distancia entre dos puntos es una longitud y por lo tanto es siempre positiva.

La distancia entre los puntos A y B denotada ( )BAd , , es la misma que

hay entre B y A la cual se expresa ( )ABd , .

Ejemplo 1 ( )52,d

( ) 32552 =−=,d

325 =−

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

Ejemplo 2

( ) 341 =−−−

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

( )14 −− ,d

( ) ( ) 34114 =−−−=−− ,d Ejemplo 3 ( )23,−d

( ) ( ) 53223 =−−=− ,d

( ) 532

=−−

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

( ) 743 =−−

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

Ejemplo 4 ( )43 −,d

( ) ( ) 74343 =−−=−,d



Es importante anotar que para encontrar la distancia entre dos puntos sobre la recta numérica se debe tomar el mayor valor y restar el menor para así garantizar que la operación dé como resultado un número positivo. Ahora sí, se define VALOR ABSOLUTO de un número real x como la distancia que hay en la recta numérica entre el punto x y el cero ( 0 ). Se representa x ó abs ( x ), ésta última notación utilizada en calculadoras o computadores.

A partir de esta definición surgen varias inquietudes:

Es posible definir la distancia desde un punto x1 a otro punto x2, con ? 02 ≠x

Puede recurrirse al Valor Absoluto para lograr esa definición?

Qué pasa si x1 ó x2 son números negativos? El valor absoluto de un número puede asimilarse a la situación del estudiante que vive en la calle 0, quien debe desplazarse 205 unidades hasta la ECI. Si quisiera desplazarse hasta la calle 205 sur, el desplazamiento sería idéntico en magnitud, pero en sentido contrario. En general, la distancia desde un punto cualquiera x1 hasta un punto de referencia x2 se representa como:

21 xx − Por lo tanto, cuando x2 = 0, se tiene que: 11 0 xx =− Para Augusto, quien vive en la calle 35 sur, y se desplaza hasta la 205, la distancia que recorre es:

( ) 24035205 =−− De forma general, la distancia desde cualquier punto x hasta el punto 72 se denota: 72−x , mientras que la distancia hasta el punto –35 desde cualquier otro punto, se representaría como ( ) 3535 +=−− xx . Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las posibles situaciones que se pueden presentar al trabajar con el valor absoluto. Ejemplo 5 Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia de 4 unidades del origen. El punto de referencia es el punto 0: unidades 4unidades 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

Por lo cual al hacer el análisis se encuentran dos puntos sobre la recta que cumplen con la condición requerida: −4 y 4.



El ejemplo anterior, como se presenta, es la interpretación gráfica de una expresión verbal. Como ya se ha visto en secciones anteriores, debería existir una expresión algebraica correspondiente. Por tratarse de una distancia, la expresión algebraica incluirá el simbolo valor absoluto. Dicha expresión es: 40 =−x la cual es equivalente a 4=x . Dado que corresponde a una ecuación, puede concluirse que el conjunto solución de 4=x es { }44,−

Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de 5≤x . Como se vio en el ejemplo anterior, la inecuación es equivalente a 50 ≤−x , es decir, nuevamente el punto de referencia es el cero (0), y se puede expresar verbalmente como “El conjunto de todos los reales cuya distancia a cero es igual o menor que 5 unidades” . Siguiendo la misma metodología, para encontrar gráficamente la situación, se ubican los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a cero es igual a 5 unidades, y luego se ubican los puntos que están a menos de 5 unidades del cero. unidades 5unidades 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

De la representación gráfica se puede concluir que los valores que satisfacen la situación son aquellos que cumplan simultáneamente con las inecuaciones 5y5 <−> xx . Vale decir que tanto 5≤x , como 5y5 <−> xx son expresiones algebraicas equivalentes cuya representación gráfica es la mostrada. Por lo tanto el conjunto solución de la inecuación 5≤x es [ ) ( ] [ ]5555 ,,, −=−∞∞− ∩ . También puede afirmarse que el conjunto solución de 5y5 <−> xx es [ ) ( ] [ ]5555 ,,, −=−∞∞− ∩

Ejemplo 7 Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que estén a más de 4 unidades de 3. El punto de referencia en este caso es el 3 y desde él se contarán 4 unidades a la derecha y a la izquierda para encontrar los puntos cuya distancia a 3 es exactamente igual a 4 unidades, luego de lo cual será inmediato encontrar los puntos que se encuentran a más de 4 unidades de 3:

10 -4 -6 -5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 90

A más de 4 unidades … A más de 4 unidades…



Si se quiere escribir en términos de una expresión algebraica, se tiene: 43 >−x la cual es equivalente a 1ó743ó43 −<>⇔−<−>− xxxx , y cuyo conjunto solución es:

C.S. ( ) ( )∞−−∞ ;; 71 ∪

Ejemplo 8 Interpretar verbalmente la situación mostrada en la siguiente gráfica, y encontrar la expresión algebraica correspondiente.

2-6 -8 -7 -5 -4 -3 -2 -1 1 3 4 0

Por ser sólidos los puntos –6 y 2 en los extremos, se entiende que se trata de un intervalo cerrado. El punto de referencia no está establecido. Sin embargo, si se quiere encontrar un punto cuya distancia a los extremos sea la misma, debe determinarse el punto medio del intervalo. En este caso es fácil contar las unidades entre los extremos: 8 unidades. El punto medio quedará 4

28 = unidades a la derecha de –6 y 4 unidades a la izquierda de 2.

Implícitamente se están realizando las operaciones aritméticas de suma y de resta de la forma como fueron estudiadas en el capítulo 1. Si el punto medio es el correcto, al sumar 4 unidades a –6 y al restar 4 unidades de 2 debe llegarse al mismo resultado que corresponderá al punto de referencia:

246 −=+− y 242 −=−

Por lo tanto, volviendo a la gráfica sobre la recta numérica se tiene:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0

Si el punto de referencia es –2, la expresión verbal que representa la gráfica será: “Los puntos cuya distancia a –2 es menor o igual que 4 unidades”, lo que algebraicamente se representa como:

En términos de valor absoluto: ( ) 4242 ≤+⇔≤−− xx

En términos de inecuación: 262y 6 ≤≤−⇔≤−≥ xxx

Ejercicios 6.1

Resolver en estricto orden los siguientes ejercicios:

Sobre la recta numérica indicar todos los puntos que están a una distancia de unidades del origen.

1. 3

.

Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 2



3. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia al origen es menor que 3. 4. Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de:

a. Conjuntos b. Intervalos c. Inecuación d. Valor Absoluto 5. Indicar sobre la recta numérica todos los puntos que están a una distancia de 3

unidades del punto 5. 6. Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 7. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 3

unidades 8. Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de:

a. Conjuntos b. Intervalos c. Inecuación d. Valor Absoluto 9. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia a –2 sea mayor que 4. 10. Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 11. Marcar sobre la recta numérica todos los puntos cuya doble distancia a 5 es de 3

unidades. 12. Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 13. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya doble distancia al punto 5 es menor

que 3. 14. Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de:

a. Conjuntos b. Intervalos c. Inecuación d. Valor Absoluto

Expresar verbalmente en términos de distancia el significado de:

216. 13 >+x 215 <−x 17. 50 << x 15.

Encuentre la expresión c on valor absoluto que corresponda a las siguientes

8.

9.

20.

representaciones gráficas: 1

-1 1 0

0-1 5

1

-10 20



21.

22.

.

n cada caso cta numérica los pu e satisfacen las

23

Marcar e sobre una re ntos qusiguientes condiciones:

24. 4<x 3 − 25. 21 ≤<− x 26. 42 <x

. 27 {x la distancia de x a 1 es mayor o igual a }3 28. 312 >+x

. Qué significa

Expresar en palabras : 29 31 <+x

0. Cuál es el mínimo valor que puede tomar 3 1+x y por qué?

. Para qué valores de x, 31 31 <+x

6.3 ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO A partir de la in pre ón geométrica de la distancia entre dos puntos sobnumérica se pued ge ralizar la expresión algebraica del valor absoluto de acu

ter taci re la recta e ne erdo con el

ui

ara dos pun s:

>− x

En cuyo ca

sig ente análisis. P tos 1x y 2x sobre la recta numérica se presentan tres situacione

Caso 1. Que 2x esté a la derecha de 1x , es decir, 12 ⇔> xxx 012

so la distancia en términos de valor absoluto se expresa 1212 xxxx −=−

Caso 2. Que 2x esté a la izquierda de 1x , es decir, 0212 <−⇔< xxxx

1

En este caso distancia en términos de a la valor absoluto se expres 2x ,. 121 xxx −=−

Sabiendo que ( )1221 xxxx −−=− , se puede decir que ( )1221 xxxx −−=− .

-2 20

-2 4 0

-4 0 2

x1 x2

x2 x1



Caso 3. Que 2x sea igu 0212 =−⇔= xxxx debido a que la distancia entre los dos puntos es cero (0)

De lo anterior se puede concluir

al a 1x , es decir, 1

( )

⎧

<−=−>−−

0 Si 0 Si 00Si

1212

12

1212

xxxxxxxxx

njunto s

⎪⎩

⎪⎨

−−=− 12

xxx

Ejemplo 9 Ejemplo 9 Encontrar el co olución para Encontrar el co olución para njunto s 42+x

=

a expr

Método 1: L esión 42 =+x es equivalente a ( ) 42 =−−x , de donde se deduce que el punto de

ferencia es −2. plicando lo estudiado en la sección anterior se tiene que se desea encontrar todos los

reApuntos sobre la recta numérica cuya distancia a −2 es de 4 unidades. 44

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4A partir de la gráfica se obtiene que los valores de x que satisfacen la ecuación son

2ó6 =−= xx , por lo tanto el conjunto solución de 42 =+x es { }26 ,−

Método 2: Otro método que nos ayuda a simplificar ejercicios mas elaborados es el de la sustitución algebraica, el cual se utilizará a continuación:

La ecuación 42 =+x es equivalente a ( ) 402 =−+x por lo tanto si se sustituye 2+x por tra variable, la cual en este caso será o z , el nuevo punto de referencia será el origen y el roblema se reduce a encontrar los valores de p z que satisfacen la expresión, 40 =−z , es

ya distan

Los valores 4ó4−= zz son sol de

decir, encontrar lo valores re la recta numéri cia al origen es 4.

sob ca cu 4

4

− 5 − 4 − 3 − 0 1 2−2 1 3 4 5 6

= ución 4=z . En este punto se hace necesario reemplazar nuevamente z por x rdar que el objetivo es encontrar los valores de

2+ ya que debemos recox , no los de z , para lo cual se tiene:

Si 4−=z ó 4=z 2

⇒

4−=+x 4 ó 2 =+x 24 −−=x ó 24 −=x 6−=x ó 2=x

{ }6− ∪ { }2 C.S.= { }26 ,−



Ejemplo 10

ncontrar el conjunto solución para

E 1282 =−x La expresión 1282 =−x puede expresarse en forma verbal como: “Todos los nú ales

umeros re

cuyo doble valor dista 12 nidades del punto 8”

ero también 8− está a 12 nidades del origen”. De esta forma, puede tomarse un v, tal que 82

P puede leerse “El conjunto de números reales x para los cuales 2 xu −= xv en

121282 =⇒=− vx

Si 12−=v ó 12=v 82

⇒12−=−x 128ó 2 =−x

42 −=x 20ó 2 =x 2−=x ó 10=x

{ }2− ∪ { }10 C.S.= { }102 ,−


23 −=−x

a expresión L 23 −=−x se puede leer como “Todos los puntos sobre la recta numérica cuya que como se ha venido

trabajando desde el inicio del capítulo se sabe que la distancia na longitud, por lo tno puede ser negativa.

distancia a 3 es igual a 2− unidades”. Pero, ésto no tiene sentido ya es u anto

En conclusión el conjunto solución de la expresión 23 −=−x es ∅

En general, siempre que se busque la solución a una expresión de la forma cba =+x , puede

currir que:

lución debe encontrarse haciendo: ax + b = c ó ax + b = – c c < 0 ay solu ón en los Reales por tratarse de una distancia.

Ejemplo 12

o

Si c > 0, su so Si , no h ci

Encontrar el conjunto solución para 123 −=− xx En este caso, la relación de igualdad no se establece entre un valor absoluto y un número real. La expresión 2x – 1 puede tomar valores positivos o negativos dependiendo del valor de x, por lo cual no se

-12 -1 -8 -6 -4 -2 0 2 40 6 8 10 12

E

)



puede aplicar la metodol riores. Deben estudiarse las situaciones que establece

ogía utilizada en los ejemplos antela definición del valor absoluto:

( ) <− 03 Si x⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=−>−−

=−3

03 Si 00 3Si 3

3x

xxx

x

Caso 1

Si 03 ≥− x , entonces: 33−x −= x . Por lo tanto, debe resolverse: 23 1−=− xx 03 ≥, si − x

Si 3−x debe ser 3≥x . 0≥

Ahora, resolviendo: 23 1−=− xx 2−=x

PERO 2−=x no cumple con o igual a 3, por lo tanto, el conjser mayor unto solu ra este primer cío: ción pa caso, es va

C.S.∅

Caso 2

Si , entonces:03 <− x ( )33 −−=− xx . Por lo ,tanto el problema es resolver:

( ) 1−23 xx 03=−− , si <− x

Si 03 <− , entonces debe cumplirse que 3x <x

Ahora se resuelve: ( ) 13 −−− x 2= x

3 4=x

34=x cumple con ser menor que . Por lo tanto, el conjunto solución para el caso 3

2, es { }34

C.S. = { } { }34

34 =∅ ∪

Ejemplo 13 Encontrar el conjunto solución de 543 xx

n este caso, el valor absoluto es igual a x – 5 y ésta expresión no es mayor que cero para do valor de x. Entonces, es necesario usar la definición de valor absoluto para encontrar el

onjunto solución:

−=+ Etoc



Caso 1

Si , entonces:043 ≥+ x 4343 +=+ xx . Por lo tanto, el problema es resolver:

543 −=+ xx , si 043 ≥+x

La condición implica que 043 ≥+x34−≥x

Ahora sí se puede resolver 543 −=+ xx

29−=x

29−=x es solución siempre que cumpla con ser

34−≥x . PERO como no se

cumple esta condición, el conjunto solución para este primer caso, es vacío.

Caso 2

Si , entonces:043 <+ x ( )4343 +−=+ xx . Ahora el problema es resolver:

( ) 543 −=+− xx , si 043 <+x

Debe cumplirse que 043 <+x , por lo cual: 34−<x

Ahora sí se puede resolver ( ) 543 −=+− xx

41=x

41=x es solución siempre que cumpla con ser

34−<x . PERO para este segundo

caso, tampoco se cumple la condición, por lo que su solución es vacía.

C.S. = ∅=∅∅ ∪

Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de 72 −=+ xx Si en el ejemplo anterior la relación de igualdad se estableció entre un valor absoluto y una expresión de la forma ,en este caso, la relación se establece entre dos valores absolutos. Por un momento se tendría la tentación de suponer que por tratarse de un valor absoluto, se puede considerar como un real positivo. Sin embargo, la expresión

bax +

7−x no representa un único real positivo. Puede ser cualquiera, dependiendo del valor que tome la variable x. Por esta razón, el análisis debe hacerse teniendo en cuenta cada uno de los casos correspondientes a los dos valores absolutos: Retomando la interpretación geométrica que se realizó en el inicio del capítulo, esta expresión representa los puntos x que se encuentran a la misma distancia tanto del punto –2 como del punto 7, ó si se quiere, puede leerse como los puntos de la forma 2+x cuya distancia hasta el origen es exactamente igual a la distancia que hay entre los puntos de la forma y el punto cero (0). 7−x De acuerdo con esta última interpretación, se entiende que el punto x que hace que

es el punto –2 y que todos los puntos que se encuentren a su derecha, hacen de una expresión positiva. Por su parte, el punto x que hace que es el punto 7 y

02 =+x2+x 07 =−x



por supuesto, todos los puntos que se encuentren a la derecha de éste último, harán de una expresión positiva. 7−x

( )2202 +−=+⇒<+ xxx

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2202 +=+⇒>+ xxx

( )7707 −−=−⇒<− xxx … …

7707 −=−⇒>− xxx

… … Analizando cada uno de los intervalos generados en la recta numérica, se encuentran tres situaciones :

En , 2−<x ( ) ( )77y22 −−=−+−=+ xxxx por lo tanto, en este intervalo, la expresión original se convierte en: ( ) ( ) 7272 −=⇔−−=+− xx , que como es falso, se dice que en este intervalo la solución es vacía: C.S1 =∅

En ( ) 72 ,− ( )77y22 −−=−+=+ xxxx , entonces, la solución corresponderá a:

( )25

527−2 =⇔=⇔−=+ xxxx . Como 25 se encuentra en el intervalo que se está

analizando, se concluye que C.S2 = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

25

Para 7>x 77y22 −=−+=+ xxxx , por lo que se tiene que , que es una contradicción. El conjunto solución nuevamente es

vacío: C.S7272 −=⇔−=+ xx

3 =∅ El conjunto solución de 72 −=+ xx se obtiene uniendo las soluciones encontradas en cada uno de los intervalos estudiados.

C.S. = C.S1 C.S∪ 2 C.S∪ 3=∅ ∪ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

25

∪ ∅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

25

4,5 unid. de distancia4,5 unid. de distancia

1098-2 -1 1 2 3 4 5 6 70

25

-3 -4 -5 -6 11

Ejemplo 15 Encontrar el conjunto solución de 936 −= xx Método 1: Utilizando la definición de valor absoluto se tienen que estudiar cuatro casos: Caso 1 Si 936093 y 06 −=⇒≥−≥ xxxx Por lo tanto si ∴−=⇒≥ 33 xx El conjunto solución es ∅



Caso 2 Si ( ) 936936093 y 06 −=⇔−−=−⇒<−< xxxxxx Por lo tanto si ∴−=⇒< 30 xx El conjunto solución es { }3− Caso 3 Si ( )936093 y 06 −−=⇒<−≥ xxxx Por lo tanto si ∴=⇒<≤ 130 xx El conjunto solución es { }1 Caso 4 Si ( )936936093 y 06 −−=⇔−=−⇒≥−< xxxxxx Por lo tanto si 3 y 0 ≥< xx El conjunto solución es ∅ De donde se obtiene que el C.S. = { } { } { }1313 ,−=∅−∅ ∪∪∪ Método 2: Si se hiciera el análisis gráfico como se desarrolló el ejemplo anterior, se llegaría a tres situaciones. Cuál es la que se obvia en este caso? Por qué? La intersección entre el intervalo 0<x y el intervalo es vacía, porque los valores x que permiten cumplir con están a la izquierda del cero (0), mientras que los valores de x que hacen están a la derecha de 3. De esta forma, jamás habrá puntos en común.

3 ≥x06 <x

093 >−x

Además del uso de la definición y del análisis gráfico, existen teoremas que ayudan a agilizar el proceso de solución, pero mientras no se tenga una capacidad de análisis lógico como la que se logra con los métodos anteriores, puede llevar a una mecanización que no beneficia el desarrollo de las habilidades que en este momento se pretende desarrollar en el estudiante. A continuación se enumeran los teoremas mencionados, pero se omite su demostración por las razones expuestas. Para todo par de números reales a y b, se cumplen los siguientes teoremas: Teorema 1 baba ×=×

Teorema 2 0b si ba

ba

≠= ,

Teorema 3 b aba +≤+ . Esta propiedad se conoce con el nombre de

desigualdad del triángulo. Teorema 4 222 aaa == Teorema 5 ( )dcba ó dcbadc y b, a, dcba +−=++=+⇒ℜ∈+=+ xxxxxx , Ejemplo 16 Aplicando las propiedades del Valor Absoluto, encontrar el conjunto solución de 1084 =−x Por el Teorema 1 se tiene que: ( ) 2424241084 −=−=−=− xxxx



Continuando el procedimiento algebraico, se tiene:

25

21024 =−⇔=− xx

La solución de esta última expresión equivale a:

Si ⇒=−25

2x ó 21

25

2 −=⇔−

=− xx

ó 29

25

2 =⇔=− xx

C.S. = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

29

21

,

Ejemplo 17 Aplicando las propiedades del Valor Absoluto, encontrar el conjunto solución de:

123 −=− xx . Aplicando el Teorema 5, dado que en 123 −=− xx , los coeficientes de la variable y los términos independientes, 3,2,1, son números reales, entonces se puede establecer que:

Si ⇒−=− 123 xx ó 21

123 =⇔−=− xxx

ó ( )43

123 =⇔−−=− xxx

C.S. = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

43

21

,

Interpretando la solución de manera gráfica, se confirma la solución:

Ejercicios 6.2

3d2

3d1

2 1 1

43

32

d2

d1

Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1. 523 =+x 2. xx −= 47 3. 023 =+x

4. 3412 +=− xx 5. xx 3523 −=− 6. 1321

23 −=− xx

7. 2522515150 ,,,, +=− xx



Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 8. 53 =−− x 9. 2− 3

del valor absoluto, demo

0.

32 =−++ xx

Utilizando la

s propiedades strar:

1 xx =− 11. Si 50352155 ,, <−⇒<− xx 2. Para todo a y b1 baba −≤−ℜ∈ ,

6.4 INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO.

A partir de la interpretación del Valor Absoluto en términos de una distan

cia, la expresión dc <− re a cuya distancia a

es menor que d, y su representación en la recta numérica corresponde a:

l conjunto de puntos que satisfacen la inecuación, escrita en términos de intervalo, es:

l con ción de:

x presenta geométricamente los puntos x sobre la recta numéricc

E( )dcdc +− ; .

c-d c+d c

dd

Ejemplo 18 Encontrar e junto solu 32 <−x

ca, se serva que la solución corresponde a los puntos que se ubican a menos de 3 unidades del

ecir, los que se encuentran dentro del intervalo:

Método 1:

Habiendo estudiado este tipo de inecuaciones desde su interpretación geométriobpunto 2, es d ( ) ( )513232 ;; −=+− .

uto, debe llegarse a la m

aso 1: Si 2 ≥−x ó Si 02

Método 2: Por defini

ción de valor absol isma solución:

C20 ⇔≥ x

Caso 2: 2<⇔<− xx

2≥x

[ )∞,2 ∩

<x

y

32 <−x 5

( )5

ó

2<x

( )2,−∞ ∩

y

( ) 3< 3

2−− x2 <+−x1

<−x

1−>x (,−∞ )∞− ,1

C.S. Caso 1 = [ )52, C.S. Caso 2 =ó ( )21,−

C.S. = [ ) ( ) ( )512152 ,,, −=−∪



Para solucionar de forma algebraica un caso como el que aquí se presenta, se puede hacer

ado que el conj

uso de un teorema, que en realidad es la formalización de ocesos geométricos anteriores:

los pr

D unto de puntos que satisfacen la inecuación dc <−x , escrita en términos de intervalo, es: ( )dcdc +− ; , la inecuación que representa dicha solución es:

dcxddcxdc <−<−⇔+<<− , siempre que 0>d Esto permite presentar el siguiente teorema, que permitirá llegar a la solución de

m del buen manejo perativo.

i 0d , dc y >ℜ∈ , y ,

inecuaciones edia alge donde el ndente procesos braicos, éxito depeo Teorema 6 S dc <−x entonces, dcd <−<− x

jemplo 19

so del Teorema 6 ón de:

E

aciendo u , encontrar el conjunto soluci 32 <−x

ado que 3 > 0, puede aplicarse el anterior teorema:

H D

⇒< 3 − 3 < x

Inecuación dada

− 3 + 2 < x − 2 + 2 < 3 + 2 dad de orden de la suma −1 < x < 5

C.S. = ( −1, 5 )

jemplo 20

− 2x − 2 < 3

− 3 < x − 2 < 3

Propie

E

allar el conjunto solución para: H 652x

a 6:

<+− Puesto que 6 > 0, puede aplicarse el teorem

652 <+−< 6652 −⇒<+− xx

( ) )5 Propiedad de orden de la suma ( ) (655256 −+<−++−<−+− x1211 <−<− x ción de términos Agrupa

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −>−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

2112

21

2111 x ción

Propiedad de orden de la multiplica

22

−>> x

. =

111

o El sentido de las desigualdades cambia.

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

211

21 , C.S



Ejemplo 21 Cuál es el conjunto solución de 25 −<−x ?

252 −<−< x

−2 NO es mayor que cero, por lo cual el teorema NO se puede aplicar.

Al no tener en cuenta esta condición, se estaría aceptando que 2 < −2 lo cual es FALSO.

Teniendo en cuenta que el es una distancia, siempre es positivo, o cero. Por consigui lor real que se le asigne a la variable hace que

valor absoluto ente, ningún va

x 5x

C.S. = ∅

− sea negativo. Por lo tanto:

Otra opción para llegar a la s ción n de valor g l ndría

olu:.

, es utilizar la definicióabsoluto, se ún a cual se te

Caso 1:≥⇔≥− xx 5<

Si 505 Ó

Caso 2: Si 05 ⇔<− x x

5≥x Y 25 −<−x 5<x y ( ) 2−<−− x 5

5≥x Y 3<x 5<x y ( ) 2 5 >−x

5<x y 7>x [ )∞,5 ∩ ( )3,−∞ Ó

( )5,−∞ ∩ ( )∞,7 C.S. Caso 1 = ∅ ∪ C.S. Caso 2 = ∅

C. S. = ∅=∅∅ ∪

La otra forma de inecuación que aún no se ha analizado, es aquella de la forma dc >−x .

omo ya se vio en el inicio del capítulo, geométricamente corresponde a los puntos x cuya istancia a c es mayor a d. En la recta numérica, dicha situación puede visualizarse como:

El conjunto s intervalos

] [ )∞+−∞− , lo que en términos de inecuación es equivalente a:

c >

Cd

solución para este caso, son los puntos que se ubican en lo( ;; dcdc ∪

dcxdcddx xcx −−<−⇔+>< ó , siempre que 0>

sta solución la presenta el siguiente Teorema:

eorema 7 Si 0ddc >ℜ∈ ,, ,

− ó d La forma general de e T dc >−x , entonces: dcódc −<−>− xx

dd

c c-d c+d



Ejemplo 2 2 Encontrar el conjunto solución de 3

32 >+x :

Método 1: En términos de distancia, esta expresión corresponde a “los puntos x sobre la recta numérica

ue están a unidades del punto q más de 3 32

− ”. Su interpretación permite encontrar

eométricamente la solución

étodo 2: Como 3 > 0, puede aplicarse el Teorema

g : M

2, entonces: 332ó3

3−<+> x

2+x

323ó

32 −−<x

3 −>x

33−<> xx

C.S =

11ó7

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −∞−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞

311

37 ,, ∪

jemplo 23

Encontrar el conjunto solución de

E

65

3−>−x 11

615

31ó

615

31 <−−>− xx

61− NO es mayor que cero, por lo cual el teorema NO se puede aplicar.

Teniendo en soluto es una distancia, siempre es positivo, o cero. Por consig cualquier v lor real que se le asigne a la variable x hace que

cuenta que el valor abuiente, a

5− sea ositivo y 31 x todo número positivo es mayor

que

p

6

C

1− . Por lo tanto:

.S. =ℜ

-6 -5 -3 -2 -1 0 1 3 4 532

37

3 − 11



Otra r a la soluci n, es utilizar la valor absoluto, gún la cual se tendría:

opción para llega ó definición dese

Caso Si

1: 15≥⇔ x 05

31 ≥−x

ó Si Caso 2:

150531 <⇔<− xx

15≥x Y 63 15151 −>−x

65

31 −>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −− x 1<x Y

15≥x Y 63>x 291 15<x Y 6

11 − 53

>+− x

2

29>x Y 61 − 313

>− x

[ )∞,15 ∩ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞,

229

2−>− x 31

231<x

Ó

⎟⎜⎛ ∞− 31, ⎠⎝ 2⎞( )15,−∞ ∩

C.S. Caso 1 = [ )∞,15 ó C.S. Caso 2 = ( )15,−∞

C. S. = ( ) [ ) ℜ=∞−∞ ,, 1515 ∪

Ejemplo 24

Existe d conjunto solución de:

iferencia entre el 540 <+< x y el de 54 <+x

de las dos situaciones:

Para determinar si existe diferencia o no, se recurrirá a la interpretación geométrica

54 <+ enor a 5.

x representa todos los valores de x cuya distancia al punto – 4 es m

C.S. = ( –9, 1)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 0

54 <+< x representa los puntos sobre la recta real cuya distancia a – 4 es menor que 5 y

ayor que 0, por lo cual el punto x = – 4 no hace parte del conjunto solución.

-9 -8 -7 -6 -5

0

m

-4 -3 -2 -1 1 2 3 0

C.S. = ( ) ( )1449 ,, −−− ∪

Como se observa, efectivamente hay una diferencia entre las dos situaciones, ya quprimera incluye en su solución el punto – 4, mientras que en la segunda este punto no h

.

e la ace

parte de la solución



Ej 6.e 3 rcicios

Encontrar el con ción de las si uaciones:

1.

Encontrar el con to solución de las si s inecuaciones:

1.

junjunto solu guienteguientes inec

323 <−x 2. 285 <− x 3. 726 ≥− x 4. 2532 ≥− x

5. xx −<+ 423 6. 0≤−x 7. 1238

≥− x 8. xx 238 ≥−

6.5 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Hasta el momento, se ha estudiado el concepto de valor absoluto en una variable. Si una expresión con valor absoluto se i posible representar esta relación en un plano cartesiano. La forma más simple de esta expresión es:

guala a otra variable, esxy = , que de acuerdo

on las formas equivalentes ya conocidas, se tiene que es igual a: c

⎪⎩⎨

<−=

0 si xx , ⎪⎧ ≥

=0 si xx

xy,

n su representación gráfica, se encuentran dos ituaciones:

Es

0 si ≥= xxy , y 0 si <−= xxy , Se trata entonces de dos segmentos de recta: una ara los reales positivos y cero y otra para los ales negativos:

pre

Observando las gráficas, se aprecia que para los 0≥x , la representación gráfica es la misma de xy = . Para los 0<x , la gráfica de xy = es la

simétrica de xy = con respe e , que corresponde a la función

cto al ej xxy −= , y que resulta de

reflejar la parte de la gráfica de xy = que queda bajo del eje y. Elpor de punto 0 cide con el

tercepto x de las funciones ( )0, coin

in xy = y xy −= . Se observa que para cada valor de x en los reales, hay un único valor de y, lo que lleva a concluir que

x= es una función.

y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

y

-2

-1

1

2

3

4 – x x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y



Las definicio snes e tablecidas para la función lineal, también son aplicables a esta función

valor absoluto:

Dominio: Son todos los ℜ∈x .

Rango: [ )∞;0

No es una función uno a uno, puesto que, a excepción del cero (0), a un mismo elemento del rango le corresponden dos elementos diferentes del dominio.

Es creciente en el intervalo ( )∞;0 y decreciente en ( )0;−∞ .

Es simétrica respecto al eje y.

omo esta, en la que para diferentes intervalos del dominio, se define de anera diferente, es llamada función a trozos.

era puede obtenerse la gráfica de

Una función cm

bm += xy ? Por medio de un ejemplo Ahora, de qué manse entenderá: Ejemplo 25 Esbozar la gráfica de 12 += xy El valor absoluto se le aplica a la función 12 += xy , por lo cual debe ser ésta la base para la epresentacr

ión gráfica.

se dibuja la recta correspondiente a 12 += xy y en el exión de la parte de la recta cuyos valores de y son

bsérvese que en el punto

Para aplicar el procedimiento anterior,intercepto-x de la función se efectúa reflnegativos.

O ⎟⎞⎜

⎝⎛ − 01 , tiene lugar la

unión de las rectas 12⎠2

+= xy y ( )1212 +−=−−= xxy . efinirse como: Por lo tanto, la gráfica total puede d

( )⎪⎪⎩

⎧

−<+−

−≥+

21 xsi 12

21 xsi 12

,

,

x

x

⎪⎪⎨=+= 12xy

Algebraicamente el miento equivalente puede entenderse comoprocedi :

2Est punto na tres aciones:

1−=⇔=+ 01 xx

e

2

x

y

–2x–1

-3 -2 -1 1 2

1

2

3 2x+1

determi situ



En el intervalo ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞− ;

21 , 12 += xy toma valores positivos, es decir, 012 >+= xy .

Entre ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −∞−

21; , 12 += xy alores negativos, es decir, 12toma v 0<+= xy

En

.

2

ca que el 1−=x el valor de la función es exactamente igual a cero, lo que signifi

punto de reflexión es en ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 0

21 , p lores deara los va x en el intervalo ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −∞−

21; . Se genera

entonces una nueva recta correspondiente a la función ( )12 +−= xy .

eva a definir la función Este análisis ll 12 += xy como:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<++−

≥++⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<++−

=++

>++

=+=012 si 12

012 si 12

012 si 12

012 si 12

012 si 12

12xx

xx

xx

xx

xx

xy,

,

,

,

entre la función

Ejemplo 26

Existe diferencia 1+= xy y la función 1+= xy ?

l

tiva m = 1 tercepto-y en 1 e tercepto-x en –1. La función es positiva en el intervalo

¿ La primera función puede representarse gráficamente siguie do os pasos establecidos en el ejemplo anterior: La recta de 1+= xy es u recta con pendiente posi

n

na línea e inin ( )∞− ;1 . En ( )1−−∞; , la función es

rvalo donde se genera la simetría respecto al eje x, gr

negativa, por lo cual es en este intecambiando la función por 1−−= xy . La áfica resultante es:

Para establecer si existen realmente diferencias entre las dos funciones, se debe graficar 1+= xy y compararla con la primera: Se estudiará la función con detalle, pala incidencia de sumar una constaalor absoluto, para lo cual se recurrirá a la efinición:

ra observar nte a la función

vd

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

0 si

0 si

x

xx

,

Si se compara la nueva fu

−=

x

xy

,

nción con la definición dada para xy = ,

⎪⎩

⎪⎨⎧

<+−

≥+⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

<+−

==+=0 si 1

0 si 1

0 si 1

0 si 11xx

xx

xx

xxy,

,

⎧ + 0 si 1 xx ,

y=x+1 y= – x –1

y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

>



hacia arriba, dando lugar

una nueva recta con ecuación 1se encuentra que para los 0≥x , la recta y = x se trasladó 1 unidada += xy . Para los x negativos la función resultante es

a de la función y = –x trasladada 1 unidad hacia arriba.

e s

ida en el valor bsoluto hace que la función se traslade erticalmente, que para el caso que se estudia orresponde a 1 unidad hacia arriba, valor que oincide con el valor de la constante.

cartesiae representan

gráficas diferentes.

demás, se encuentra que el rango para

1+−= xy , que corresponde a la rect La gráfica que se establece es la qu e presenta a continuación:

n conclusión, la constante no inclu

179

Eavcc

Para dar respuesta a la pregunta, se dibu s funciones sobrepuestas en el mismo plano no,

esta forma pued u

jan las do

y de e asegurarse q

A 1+= xy es [ )∞, y para la función 0 1+= xy es [ )∞,1 .

7 acer un análisis detallado de la función

Ejemplo 2

H 3521 +−= xy , a partir de su representación gráfica.

n paso a paso, utilizando dos métodos:

aso 1:

raficar la función

Para comenzar se va a graficar la funció

Método 1:

P G 5

21 −= xy

y

x

y=x+1 y= – x +1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

y=|x|+1

y=|x+1|

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

y

x

-10 -5 5 10 15 20

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 y

x



G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

ar la función

180

Paso 2:

Grafic 521 xy

ca que la y no toma valores

−= . El valor

absoluto indinegativos, por lo tanto se toma la parte negativa de función 5

21 −= xy y se

refleja con respecto al eje x.

la función

-10 -5 5 10 15 20

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 y

x

5 10 15 20 -1

123456789

x

y Paso 3:

raficar 3521 +−= xy . Ahora se toma la

nción

G

fu 521 −= xy y se traslada 3 unidades hacia

rriba.

aso 1:

raficar la función

a Método 2:

P G xy

21=

Paso 2: Graficar la función xy 1=

2valor absoluto indica que

la y no toma valores negativos, por lo tanto se toma la parte negativa de función

. El

xy21= y se refleja con

respecto al eje x.

-10 -5 5 10

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 y

x

-10 -5 5 10

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 y

x


Paso 3:

5

5 10 15 20-1

123456789

x

y

Graficar la función 521 −= xy , para lo cual

es de gran utilidad expresarla de la forma ( )10

21 −= xy . Lo anterior indica que la

n funció xy21= se traslada hacia la derecha

aso 4:

raficar la

10 unidades.

-10 -5 5 10 15 20

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

y

P G función 35

21 +−= xy . Ahora se toma la

función 521 −= xy y se traslada 3 unidades hacia

rriba. a Los dos métodos llevan a la misma g ca, en el segundo se trabaja la traslación horizontal utilizando una trasformación algebraica de la ecu ón de la función. A partir de la gráfica se pue siguiente análisis detallado de la función

ráfiaci

de hacer el35

21 +−= xy :

Dominio ℜ

Rango [ )∞,3

La función es creciente en el intervalo ( )∞,10

La función es decreciente en el intervalo ( )10,−∞

ínimo de la función es 3 y lo toma x=10.

donde la función sea máxima.

El valor mcuando

No se puede determinar un punto de coordenadas

La función es positiva es decir 0>y para todo ℜ∈x

x

La función no toma valores negativos ni cero.

No es una función uno a uno porque para dos valores distintos de x la ordenada toma el mis

mo valor

5 10 15 20 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y



Ejercicios 6.4

Esbozar las siguientes gráficas:

Esbozar las siguientes gráficas:

1. 1. 12

+= xy 1 2. 12 −= xy

Comparar las gráficas y establecer semejanzas y diferencias con xy = :

3. x− y = 4. xy −=

Representar gráficamente:

5. 22 −−= xy 6. 24

+−= xy 3 7. 153 +−= xy , 8. 231 −−= xy

. 9 xy 52.−−=

a 211

Encontrar el valor de la función par =−== xxx ,, :

10. ( ) 23 −= xxf 11. ( ) xx −−= 4g

r el rango de las siguientes funcio

Determina nes:

12. 2+= xy 13. 2+−= xy

Para cada una de las siguientes funciones indicar intervalos donde la función es

creciente y donde es decreciente:

23 −= xy 14. 15. 3+−= xy

16.

Indicar los puntos donde cada una de la siguientes funciones es máxima y mínima:

23 +−= xy 17. xy52=

31 −−


y resolver:

G. Encontrar cada uno de las siguientes medidas, si

rAnaliza 1. Considerar los segmentos de línea determinados por los puntos A , D, E, F, , B, C

( )BCd = 21 , ( )DEd = ( )EFd =

43

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

A B C D E F G

0



a. (A )Bd b. ( )CEd c. ( )DBd

d. ( )GEd e. ( )GAd f. ( )CDd

n valor 2. trar uEncon para x tal que ( )AB d que d tenga igual longitu ( )BCd

a. A =

2 B = 2 C = b. A = 1 x

43 B = x C = 2 c. A = x B = 3 C = 5

Calcular:

23 − 4. 25 − 5. 47 −+ 6. 3.35

7. )

11 −

( 63 −× 8. 5− ( )26 −÷− 9. 47 +− 10. π−4

11 4−π 12. 25 −− 13. 76 − 14. . 371 −.

15. 41 ×− 16. 25

números mixtos:

Efectuar las operaciones, expresando la respuesta en

9325 32322838 −+− 18. 17. 1111 −−++ 19.

32

32

345 −++−

Decir cuáles enunciados son ertos para todos los números enteros a b y c, e

. abba + abba

2

ci , ilustrar los que son falsos con un ejemplo que pruebe la falsedad:

=+20 21. −=− 22. baba +=+

. ( ) ( )cbacba −−=−− 4. 2 bab −= 23 a −

Resolver cada uno de s siguie :

. s sig

lo ntes ejercicios 25 Hallar la distancia recta e uientes puntos: sobre la ntre lo ( )ABd

A 3 0 4 5 −2 −B 7 4 5 − 1 8 −

26. Hallar el conjunto de todos los números reales, cuya distancia del número A es la que se

27.

indica:

A d (A,B)

-9 es igual a 2 -5 es mayor o igual a 3 2 es menor o igual a 1 5 es menor que 7

Si es cierto que 25=+ BA , 85=++ BCA , cuál será el valor de:

a. AB +

0 es mayor que 3

b. ( )CBA ++ c. ( ) CBA ++



Resolver: 28. Pedro se encuentra de visita en la ciudad de Medellín y se enferma. Como no conoce la

ad entra a un superme encontró en su ca un do por la droguería El empleado le respon uería está a

300m. a la derecha de aquí entre la peluque la droguería es de 200m. stancia que tie r Pedro para ir a la peluqu

, Teresa, Eliana y Natalia viven e Real. Teresa vive a una milla y media de donde vive Greg ve a milla y media de donde vive Teresa. Natalia

Natalia de Gregorio? (

e:

ciud rcado qumás

e se mino, y le pregunta a emplea cercana. de: “la peluq

, y la distancia ría yCuál es la di

ne q eue recorr ería?

29. Gregorio en la callorio; Eliana vi

vive a medio camino entre Eliana y Teresa. ¿Qué tan lejos viveHay dos posibles soluciones)

Encontrar el conjunto solución d 30. 512 =+x 31. 021 =−x

532. 123 −=− xx

33. 83 ≥+z 34. 13 ≤−x 35. 237 <−− xx

6. 17 ≤− x 37. 3

21 <−a 38. 22

3 5321 ≥+ x

9. 3 121 <−++ xx 40. 1032 <2 +− xx

Representar gráficamente sin tabular las siguiente función:

1.

4 23 −−−= xy

A partir de la siguiente gráfica:

2. Determinar las ecuaciones de las rectas 321 yyy ,, .

3. Determinar la función ( )xf que asocia las rectas 1y y 2y .

4. Encontrar los puntos de corte de

4

4 4 ( )xf con 3y .

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

Y2 x

Y3

Y1



Encontrar la expresión de las funciones s: 45. 46.

47.

Encontrar la expresión de las funciones tan las siguientes gráficas: 45. 46.

47.

que represenque representan las siguientes gráfica

48. 48.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

x

y

-1 1 2 3 4 -1

1

2

3

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1 y

x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-3 -2 -1

1 2 3 4 y

x



“Amas la vida? Entonces no malgastes el tiempo porque es el elemento del que esta hecha la vida” Benjamin Franklin

CAPÍTULO VII

FACTORIZACIÓN

7.1 INTRODUCCIÓN 7.2 FACTORIZACIÓN 7.3 ESTRATEGIAS PARA FACTORIZAR EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN


CAPÍTULO VII

FACTORIZACIÓN

7.1 INTRODUCCIÓN La multiplicación de expresiones algebraicas se presentó en el Capítulo II como una aplicación de la propiedad distributiva. Ejemplo 1

( ) xxxx 4222 2 −=− Propiedad distributiva Ejemplo 2 ( )( ) ( ) ( )52552 +−+=+− xxxxx Propiedad distributiva

10252 −−+= xxx Propiedad distributiva 1032 −+= xx Agrupación de términos

En el Capítulo II, se presentaron los productos notables como productos de ciertos binomios de uso tan frecuente en matemáticas que es útil recordar las relaciones de igualdad en ambos sentidos.

PRODUCTOS NOTABLES

j ( ) 222 bab2aba ++=+

( ) 222 bab2aba +−=−

( )( ) 22 bababa −=−+

( ) 32233 bab3ba3aba +++=+ ( ) 32233 bab3ba3aba −+−=− ( )( ) 3322 babababa +=+−+ ( )( ) 3322 babababa −=++−



7.2 FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir una expresión como un producto de otras, es decir, es el proceso contrario de la multiplicación. La factorización implica encontrar el máximo número de factores primos dentro del conjunto de los enteros. Ejemplo 3 Factorizar 24 El número 24 puede expresarse de diferentes formas:

3224642412224 3 ×=⇔×=⇔×=

Las dos primeras expresiones corresponden a una descomposición en factores. La tercera sí es una factorización, puesto que aquí 24 está representado en el producto de sus factores primos.

7.3 ESTRATEGIAS PARA FACTORIZAR El objetivo de esta sección es proponer estrategias para reforzar las habilidades en la técnica de factorización, herramienta de uso permanente en cualquier proceso matemático. Cuando se desea factorizar una expresión polinomial es recomendable seguir los siguientes pasos: Paso 1: Buscar el máximo factor común para todos los términos. Si lo hay, aplicar la

propiedad distributiva. Paso 2: Verificar si uno de los factores obtenidos en el paso anterior es:

Un binomio: Si cumple con las características para ser un producto notable, aplíquese la relación de igualdad. En ocasiones, este paso debe repetirse hasta que se llegue al máximo número de factores primos en los enteros.

Si no es un producto notable, el polinomio dado ya ha sido factorizado.

Un trinomio: Determinar si es de la forma: 22 2 baba +± Si cumple, aplíquese el producto notable correspondiente.

Un trinomio que cumple con esta característica se le da el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

cba 2 ++ xx . Aplíquese la técnica según sea a = 1 o a ≠1.

Si no cumple con ninguna de las dos formas, el polinomio ya ha quedado factorizado.

De más de tres términos: Agruparlos convenientemente y analizar la

posibilidad de repetir el proceso para cada uno de las nuevas agrupaciones.



Una expresión de la forma es factorizable en los enteros si existe d y e enteros que multiplicados den c y sumados den b. Si existen,

cb2 ++ xx

( )( edcb2 ++=++ xxxx )

j Una expresión de la forma , se transforma en una expresión de la forma anterior multiplicando y dividiendo por a.

cba 2 ++ xx

( ) ( )( ) ( )( )

agafa

acaabacba

22 ++

=++

=++xxxxxx

Para este caso, el producto de f y g es ca y su suma es b.

Ejemplo 4 Factorizar. 2515 x−

Paso 1: Existe un factor común: 5.

( )22 35515 xx −=− Paso 2: El segundo factor es un binomio pero no corresponde a ningún producto notable.

Luego, la factorización en los enteros ha terminado.

Ejemplo 5 Factorizar: 21625 y−

Paso 1: No existe un factor común para los dos términos. Paso 2: Se trata de un binomio. Debe determinarse si es una diferencia de cuadrados o

de cubos.

En este caso se tiene una diferencia de cuadrados, por lo tanto:

( ) ( )( )yyyy 4545451625 222 +−=−=−

Ninguno de los binomos resultantes es factorizable en los enteros, lo cual permite asegurar que el binomio presentado ha quedado completamente factorizado.



Ejemplo 6

Factorizar la siguiente expresión: 44 644 yx − Paso 1: 4 es factor común de los dos términos. Entonces:

( )4444 164644 yxyx −=−

Paso 2: El binomio de esta primera factorización es una diferencia de cuadrados. Se tiene:

( ) ( ) ( ) [ ] [ ]2222222244 44444164 yxyxyxyx −+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

El tercer factor es nuevamente una diferencia de cuadrados factorizable en los enteros. Por lo tanto,

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] yxyxyxyxyx 2244444 222222 −++=−+

Ninguno de los factores de este último paso es factorizable en los enteros, por lo que se puede decir que el polinomio ha sido factorizado en su totalidad.

Ejemplo 7

Factorizar 66 72964 yx − Paso 1: Los términos no tienen un factor común. Paso 2: Asociando la expresión con los productos notables se tienen dos opciones:

Opción 1: Diferencia de cuadrados:

( ) ( ) ( )( )3333232366 27827827872964 yxyxyxyx −+=−=−

Ambos factores son productos notables, una suma de cubos y una diferencia de cubos. Entonces:

( )( )( )( )2222 9643296432 yxyxyxyxyxyx ++−+−+=

Aquí termina la factorización.

Opción 2: Al trabajar el binomio como una diferencia de cubos, se tiene:

( ) ( ) ( )( )4224223232 8136169494 yyxxyxyx ++−=− ( )( )( )4224 8136163232 yyxxyxyx +++−=

Como puede verse, las dos opciones son alternativas de solución, pero en el rigor de la definición, la opción correcta es la primera porque da un mayor número de factores.



Ejemplo 8 Factorizar: 25102 −−− xx ( )25102510 22 ++−=−−− xxxx El polinomio entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto. Entonces puede factorizarse totalmente como:

( ) ( 22 52510 +−=++− xxx ) Ejemplo 9 Factorizar: xxx 882 23 ++

Paso 1: El mayor factor común del trinomio es 2x. Entonces:

( )442882 223 ++=++ xxxxxx

Paso 2: El segundo factor es un trinomio cuadrado perfecto. Su factorización final será:

( )223 22882 +=++ xxxxx Ejemplo 10 Factorizar: 1522 −− xx Este es un trinomio de la forma y no es cuadrado perfecto. Por lo tanto, su factorización es:

cb2 ++ xx

( )( 351522 +−=−− xxxx ) Ejemplo 11 Factorizar completamente: 4129 2 ++ aa Este trinomio no tiene factor común. Es de la forma . cba 2 ++ xx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22

2 2323239

69699

3691294129 +=++=++

=++

=++ aaaaaaaaa



Ejemplo 12 Factorizar: baab 815206 +−− Agrupando convenientemente, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5243524523208156815206 −+=−+−=−+−=+−− babbabaabbaab . Ejemplo 13

Factorizar la siguiente expresión: 11025 2 ++ xx Luego de una rápida inspección, puede rescribirse la ecuación de manera que se llegue a una forma ya conocida, así:

( ) ( ) 1525 2 ++ xx

Ahora puede hacerse uso de una variable auxiliar: Sea , con la cual, la ecuación será equivalente a: xu 5=

( )22 112 +=++ uuu

Recuperando el valor inicial:

( ) ( )22 151 +=+ xu

Queda factorizado completamente Ejemplo 14

Factorizar la siguiente expresión: 94129 22 −+− nmnm Si se agrupan los términos:

( ) ( ) ( )( ) (( )32332392394129 222 −−+−=−−=−+− nmnmnmnmnm )

Queda totalmente factorizado. Ejemplo 15 Factorizar la expresión 12 ++ xx Este trinomio no tiene factor común. Es de la forma ., en donde y cb2 ++ xx 1b = 1c = Por lo tanto se deben encontrar dos números que multiplicados den 1 y sumados den 1. Estas condiciones no se cumplen con dos números enteros. En conclusión, la expresión no es factorizable en los enteros.




Qué polinomio genera la siguiente factorización? )

Factorizar en los enteros:

2.

1. ( )( 134 −+ xx

a3a2 +x 3. m4m −x

4. 2 5.

8

24. ( ) ( )252 ++ x 25.

2 69 uvvu + 1824 +x

6. 2100 x− 7. 499 2 −x

8. 2516 2 −x 9. 22 254 yx −

10. 1449 2 −x 11. 41610 2 ++ x x

12. 40142 ++ xx 13. 24112 +− xx

14. 48142 +− xx 15. 63162 +− xx

16. xx −− 562 17. 3616 22 yxyx −+

18. 22 406 yxyx −− 19. 481622 +− xyyx

20. 321422 −− xyyx 21. 20155 2 −+ xx

22. 40162 2 −+ xx 23. yxyyx 72182 +− 3 +xx ( ) ( )x y yxx +−+

22mmm −

( )2b− 2xx +−

34. 3b− 35.

36. 37.

y

26. 13 −x 27. 6 −34 8

28. 728 64 yxyx − 29. 610001 x+

30. 281415 xx −+ 31. +216 a

32. x34 201515 33. 55 nm + 322 aba +− 3242 −+ xx

1272 ++ rr 255816 2 yxyx ++

2

434 baa ++

cdan 222 −− 244 bab ++

2aba +− 2254910116 maxxma −−+−−

yxax 22 32 −− ) ( )24 yxxyxyx ++−+−

( ) ( )142 2 +x

)22y −−−+− ( )( )25353 yxyxyxyx +−−+−

6+

58. 96 22 +−+ yxx 59.

38. 9b224 39. bnbmnama 155124 22 −−+

40. 66 64729 nm − 41. cnda 222 −+−

42. 222 69 mnnma −−− 43. 20317 2 −+ xx

44. b2 92416 45. 27135225125 23 −+− xxx 46. yxyx −+− 33 47. 222

48. xyayaxyx 223 3223 −++ 49. 8442 1691261 baba +− 50. xyyxx 3092549 224 +−− 51. y+( ) ( )(2 129

52. ( )( ) 5214252 2 −−+− xxxx 53. bbxaxax 22 23 −++−

54. y( ) (2 551716 55. 4( )( )4

56. 2023 22+− yxxy 57. 82742 22 ++ baabb9a6a3

21

161 zyx +



60. 835 2 −− xx 61. 2422 −+ xx

62. 652 −− xx 63. 102 2 −+ xx

64. 968 2 −+ xx 65. 273310 xx −+

66. 363 yxa + 67. 44 273 ya −

68. 242 cba − 69. 222 9zyx −

70. 8444 dcba − 71. 36 12854 yx −

72. ( ) 18 3 −abc 73. 3410 8 zyy −

74. 42 −x 75. 36122 ++ xx

76. 242312 2 −+ xx 77. aaxax 1408530 2 −+

78. ( ) ( ) 122 −+−+ yxyx 79. ( ) ( )222 1311110 −+−− xx 80. xzxyx ++4 81. ( ) 22 bay −+

82. 222 2 baabxx +− 83. ( ) ( )22 222 +−+ yyx

84. 2bdabdbcdabc +++ 85. 682 2 ++ xx

86. ( ) ( )1122 ++++ xxxa 87. ( ) ( )bacba +++ 14

88. 223 18248 xyyxx +− 89. cxcxcx ++ 23 1025

90. tabbtata 235 2 ++ 91. aaxax 442 ++

92. ( ) ( )224 +++ xax 93. 583 2 ++ xx

94. 94

4

2−x 95.

251

25100

2++ xx

96. 010060090 2 ,,, +− xx 97. 29262 2 +− xx

98. 33 64125 sr − 99. 262 +− xx

100. 8126 23 −+− xxx 101. 1222 −++ xyyx

102. 4224 25yyxx ++ 103. 422 −− xx

104. 2222 4444 dcdcbaba −−−++ 105. 94261449 22 +++++ yxxyyx

106. 64223 6128 yxyyxx −+− 107. 64240300125 23 −+− yyy

108. zzzz 27279 234 +++ 109. ( ) ( ) 1121 22 ++++ xaxa

Factorizar en los reales: 110. 3322 +− yy 1

11. 142 −x

112. 808 2 −x

Factorizar las siguie iones:

13. bbb nn 656 112 −+ ++ 114.

ntes expres

8149

210 xn ba − 115. 55 33 ++++ xxx nn 1



“Aquel que ama la práctica sin la teoría es como el marinero que aborda un barco sin un timón y una brújula, y nunca sabe donde puede naufragar” Leonardo Da Vinci

CAPÍTULO VIII

RELACION DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE

SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

8.1 INTRODUCCIÓN 8.2 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA 8.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR

FACTORIZACIÓN 8.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

COMPLETANDO EL CUADRADO 8.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR

LA FÓRMULA CUADRÁTICA 8.6 TIPOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

CUADRÁTICA 8.7 ¿CÓMO EXPRESAR UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

COMO PRODUCTO DE FACTORES LINEALES? 8.8 PROCESO DE REVERSIBILIDAD EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

CAPÍTULO VIII

RELACION DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

8.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se trabajará con expresiones de la forma con y llamadas polinomios de grado dos o polinomios cuadráticos.

cba 2 ++ xx ℜ∈c b, a, 0a ≠

Tal como en el caso lineal, con expresiones de estas características puede establecerse relaciones de igualdad (ecuaciones) ó de orden (inecuaciones). Éstas últimas se estudiarán en capítulos posteriores. Antes de iniciar el estudio detallado de solución para estas situaciones debe recordarse:

j

Factorizar una expresión es descomponerla en factores. En el capítulo anterior, se trabajaron los diferentes métodos para factorizar expresiones de la forma con cba 2 ++ xx ℜ∈c b, a, y . 0a ≠

Resolver una ecuación ó una inecuación es encontrar los valores que la variable puede tomar en el conjunto de referencia para hacer verdadera la relación dada.

Las soluciones de una ecuación reciben el nombre de raíces, y el conjunto de ellas, conjunto solución.

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución

8.2 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas. Si se tiene en su forma más simple una expresión de la forma con cba 2 ++ xx ℜ∈c b, a, y , se habla de una ecuación cuadrática.

0a ≠



Ejemplo 1 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas? ¿Por qué?

a. 05 3 2 =+π+ xx

Es una ecuación cuadrática ya que es de la forma con 0cba 2 =++ xx ℜ∈c b, a, y 0a ≠

b. ( ) 0

235 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −− xx

Es una ecuación cuadrática ya que tiene dos factores lineales y el producto de ellas es un polinomio de grado 2

( ) 0

215

2130

2155

230

235

230

235 22 =+−⇔=+−−⇔=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⇔=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −− xxxxxxxxxx

c. ( )( )( ) 01231 =−++ xxx

No es ecuación cuadrática ya que es el producto de tres factores lineales por lo tanto al efectuar el producto se obtiene un polinomio de grado tres.

d. xx 321 2 −=

Es ecuación cuadrática ya que es equivalente a 03

21 2 =+ xx y tiene como mayor

exponente de la variable dos. El hecho de no tener término independiente no es razón para dejar de ser cuadrática.

e. 052 =−x

No es ecuación cuadrática ya que no tiene término de la forma con 2ax 0a ≠

f. ( ) 325

21 =−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − xx

Sí es ecuación cuadrática, ya que es el producto de dos factores lineales.

8.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN

Para resolver ecuaciones cuadráticas es decir, ecuaciones de la forma , existen varios métodos, uno de los cuales es la factorización, cuando la expresión cuadrática es factorizable en los enteros.

0cba 2 =++ xx



En el capítulo anterior se presentó la factorización como una herramienta para expresar polinomios equivalentes en el conjunto de los enteros cuyo resultado se presentaba como el producto de dos factores lineales. Para resolver la ecuación por este método, se hace uso de la siguiente propiedad: Propiedad del cero en los reales: Para todo 0b a ba, =×ℜ∈ , , sí y sólo si ó 0a = 0b =

Para ilustrar el método de la factorización para solución de ecuaciones cuadráticas, se recurrirá a un ejemplo: Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 042 =−x Existen dos métodos para resolver este tipo de ecuaciones: Método 1 Usando la factorización:

( )( ) 022042 =+−⇔=− xxx Por la propiedad del cero en los reales, se tiene que:

( )( ) ( ) ( ) -2 xó202 ó02022 ==⇔=+=−⇒=+− xxxxx Verificando la validez de las soluciones:

( ) 000422 2 =⇔=−⇒=x ( ) 000422 2 =⇔=−−⇒−=x

Se concluye que el conjunto solución es: { }22,−

Método 2 Por propiedad de la suma en igualdades:

42 =⇔ x042 =−x

2x

) De esta forma obtenemos el valor para . Pero el objetivo del ejemplo es encontrar los valores de x en los reales que satisfacen la ecuación cuadrática.

La situacióresultado 4

200

E

n en este momento es: ¿qué números reales elevados al cuadrado dan como ?



La respuesta es: “existen dos números: 2 y –2”. Por consiguiente:

242 ±=⇒= xx

El conjunto solución por este método es el mismo que arrojó el método 1.

El razonamiento del método 2 permite generalizar: Una expresión de la forma y .a=2x aa ±=⇒≥ x0 y por las propiedades de la potenciación definidas en el Capítulo I, se puede afirmar que si a < 0 no hay solución. Las dos posibles respuestas para x permiten asociar la expresión a±=x con un concepto ya estudiado en el capítulo 2: el valor absoluto. Efectivamente:

aa =⇔±= xx Ejemplo 3 Encontrar el conjunto solución de: . 01682 =+− xx

( ) 040168 22 =−⇔=+− xxx La factorización está completa en los enteros, pero aún no se conocen los valores de x que dan solución a la ecuación. Cómo encontrarlos?

Ahora la situación consiste en encontrar los números reales que al ser elevados al cuadrado den como resultado cero “0”. E

)

De el Capítulo I, se recuerda que por las propiedades de la potenciación, cero “0” elevado a cualquier entero positivo, es cero “0”. Por consiguiente, ( ) . ( ) 40404 2 =⇒=−⇒=− xxx .

Entonces, el conjunto solución es:

C.S. = { }4

Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de 0122 =−+ xx

( )( ) 0340122 =−+⇔=−+ xxxx Factorización 03ó04 =−=+ xx Propiedad del cero en los reales 3ó4 =−= xx



Verificar si son o no soluciones Para , 4−=x 0122 =−+ xx ( ) ( ) 01244 2 =−−+−⇒

00012416 =⇔=−−⇒

Para , 3=x 0122 =−+ xx ( ) ( ) 01233 2 =−+⇒

0001239 =⇔=−+⇒

La ecuación se cumple para los dos valores de la variable, por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es { }34,−

Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución para: ( )( ) 423 −=+− xx

( )( ) ( ) ( ) 42ó43423 −=+−=−⇔−=+− xxxx

E

Nl producto debe ser igual 0 para aplicar la propiedad del cero en los reales:. o existe la propiedad del –4. ( )( ) 0246423 22 =−−⇔−=−−⇔−=+− xxxxxx

( )( ) 01ó02012 =+=−⇔=+−⇔ xxxx

C.S. = { }21,− Ejercicios 8.1

Encontrar por factorización el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

or factorización el conjunto soluci ntes ecuaciones:

. 08116 4 =−x 6. 045 24 =+− xx

. ¿Qué se puede concluir respecto al grado del polinomio en los ejercicios anteriores?

1. 0962 =++ xx 2. 062 2 =−+ yy

3. 01692 =−w 4. 03072 =−+ xx

Encontrar p ón de las siguie 5 7



8.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETANDO EL CUADRADO Completar el cuadrado es un método algebraico que permite convertir un trinomio en una expresión que contiene dentro de sus términos un trinomio cuadrado perfecto. Este proceso se lleva a cabo sobre trinomios de grado 2, es decir, sobre polinomios de la forma . Pueden presentarse dos situaciones: cba 2 ++ xx Caso 1: Cuando a = 1. Ejemplo 6 Completar cuadrados en la siguiente expresión: 1362 ++ xx Puede apreciarse que la expresión no es un trinomio cuadrado perfecto, puesto que el coeficiente del segundo término, 6, no corresponde al doble de la raíz cuadrada del término independiente, 13. Recordando la propiedad del inverso aditivo definida en el Capítulo I, se puede sumar y restar un mismo término a una expresión algebraica sin alterarla. En particular, puede sumarse y restarse un término igual a la mitad del coeficiente de x, así:

0

2222

26

26136136

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+++⇔++ xxxx

Reordenando los términos de la nueva expresión, se tiene:

( ) 432613

266 2

2

perfecto cuadrado trinomio

22 ++⇔⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛++ xxx

Se dice que se ha completado el cuadrado ya que la expresión equivalente se compone de dos términos, uno de los cuales es trinomio cuadrado perfecto. Caso 2: Cuando a ≠ 1. Ejemplo 7 Completar cuadrados en la siguiente expresión: 342 2 −+ xx Como no es un trinomio cuadrado perfecto, el procedimiento más conveniente es agrupar los términos en x, para conformar con ellos el trinomio cuadrado perfecto. Para mayor facilidad, se factoriza el coeficiente del término de esta forma: 2x



( ) 322342 22 −+⇔−+ xxxx

Ahora sí se procede a completar el cuadrado:

( ) ( ) ( )123122322 22 −−++⇔−+ xxxx

o El 1 que se sumó para completar el cuadrado, está afectado por el factor 2.

El término que debe sumarse y restarse al trinomio de la forma para completar el cuadrado, resulta de encontrar el término independiente que junto con conforme el trinomio cuadrado perfecto que sea equivalente a .

cb2 ++ xx

xx b2 +

( )222 d1db +=++ xxx Sabiendo que , entonces, ( )( )d12b =

2bd = .

Ya conocida la forma de completar cuadrados en un trinomio, de qué manera puede utilizarse esta herramienta para resolver una ecuación cuadrática? Ejemplo 8 Encontrar el conjunto solución de: 0522 =−− xx Para encontrar las soluciones, dado que la expresión no es un trinomio cuadrado perfecto, se procede a completar el cuadrado:

( ) ( ) 052052052 222 =−−⇔=−−⇔=−− xxxxxx

( ) ( ) ( ) 6106101512 222 =−⇔=−−⇔=−−+−⇔ xxxx Teniendo en cuenta lo estudiado en la sección 8.3,

( ) 616161 2 ±=−⇔=−⇔=− xxx 61ó61 −=+=⇒ xx

Finalmente, se verifican las soluciones: Para 61+=x :

( ) ( ) 0561261612

=−+−+⇒+=x 00056226621 =⇔=−−−++⇒



Para la segunda solución, 61−=x :

( ) ( ) 0561261612

=−−−−⇒−=x

00056226621 =⇔=−+−+−⇒ Como los dos valores de x hacen válida la ecuación, el conjunto solución es: { }6161 −+ , .

Ejemplo 9 Completando el cuadrado, encontrar el conjunto solución de: 123 2 =+ xx Nótese que el coeficiente de es diferente de 1, por lo tanto: 2x

31

321

323123 222 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⇔=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⇔=+ xxxxxx

94

31

91

31

91

32 22 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⇔+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⇔ xxx

32

31

32

31

94

31 ±−=⇔±=+⇔=+⇔ xxx

1ó

31 −== xx

C.S. = { }

311,−

La verificación de las soluciones se deja como ejercicio para el lector.

Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución completando el cuadrado: 964 2 =+− xx De la misma forma como se procedió en el ejemplo anterior:

49

239

234964 222 −=−⇔=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⇔=+− xxxxxx

1627

43

169

49

169

23 22 −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⇔+−=+−⇔ xxx

E

)

Dado que cualquier real elevado al cuadrado es un número positivo, no es posible encontrar valores de x en los reales que satisfagan la ecuación cuadrática dada. Luego, el conjunto solución es:

C.S. = ∅



Ejercicios 8.2

Completando cuadrados, encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1. 0582 =+− xx 2. 023 2 =−+ xx 3. 01062 2 =++− xx

4. 05231 2 =−+ xx 5. 0654 2 =+− xx

8.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA Si bien la factorización y el método de completar cuadrados permite encontrar soluciones para ecuaciones cuadráticas, existe un tercer método que no requiere procedimientos algebraicos, puesto que se reduce a la aplicación de una fórmula general deducida luego de ompletar cuadrados en la forma canónica, , llegando a lo siguiente: 0cba 2 =++ xxc

a2ac4bb 2 −±−=x

o 2a divide a los dos términos del numerador.

jemplo 11 E

Cuál es el conjunto solución de ? Utilizar la fórmula cuadrática. 0684 2 =+− xx¿ Para utilizar correctamente la fórmula cuadrática, es recomendable identificar los valores de ada constante: c

6c8b4a =−== ;;

D

e donde:

( ) ( ) ( )( )( ) 8

3288

9664842

64488 2−±=⇔−±=⇔

−−±−−= xxx

La raíz cuadrada de un número negativo no está definida en los reales, como se vio en el

apítulo I. Por lo tanto, se concluye que en los reales, el conjunto solución es: C

C.S. = ∅



Ejemplo 12

Utilizando la fórmula cuadrática, encontrar el conjunto solución de: 0643 2 =−+ xx Se identifican las constantes:

6c4b3a −=== ;; Aplicando la fórmula cuadrática:

( ) ( ) ( )( )( ) 6

8846

7216432

63444 2±−=⇔+±−=⇔

−−±−= xxx

3222

62224 ±−=⇔±−= xx

Si se verifican las soluciones se encontrará que efectivamente el conjunto solución es

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−−−

3222

3222

, .

A partir de este ejemplo, las soluciones deben ser verificadas por el estudiante, con el fin de reforzar sus habilidades aritméticas.

&

El ahorro de espacio en la edición de este libro es una contribución a la conservación del medio ambiente.

Ejemplo 13

Hallar el conjunto solución de utilizando para ello la fórmula cuadratica. 0962 =++ xx Valor de las constantes:

9c6b1a === ;;

( ) ( ) ( )( )( ) 2

062

3636612

91466 2±−=⇔−±−=⇔

−±−= xxx

3−=x

El conjunto solución es: { }3− Ejercicios 8.3

Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula cuadrática:

1. 3279 2 =− aa 2. 0161088 2 =−+ xx 3. 082010 2 =+− xx

4. 0203

21

43 2 =−− xx 5. ( )( ) ( )( )

45511235 −=+−+−+ mmmm 6. ( )( ) 204362 −=+− ww



8.6 TIPOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Al resolver ecuaciones cuadráticas se puede llegar a tener como conjunto solución, conjuntos con 2 elementos, con un único elemento o con ningún elemento. Los tres ejemplos de la sección anterior mostraron cómo la expresión subradical de la fórmula cuadrática, , es la que determina la cantidad de soluciones. De este hecho, deriva su nombre: discriminante, cuyo símbolo es ∆ (letra griega delta)

ac4b2 −

En general:

Si , se tienen dos soluciones reales distintas. 0ac4b2 >−

Si , no hay solución en los reales. 0ac4b2 <−

Si , existen dos soluciones iguales. Se dice que la ecuación tiene una única solución real de multiplicidad 2.

0ac4b2 =−

Ejemplo 14 Sin resolver la ecuación determinar cuántas soluciones tiene la ecuación: 231 pp −=

Para determinar la cantidad de soluciones en los reales se analizará el discriminante, para facilidad reescribamos la ecuación en su forma canónica.

01331 22 =−+⇔−= pppp ( ) ( )( ) 131211341ac4b 22 =+=−−=−

Como 13>0 se puede concluir que la ecuación tiene 2 raíces reales diferentes . Ejemplo 15 Determinar si , tiene solución en los reales. 0342 2 =+− xx Para dar solución basta con analizar el discriminante:

( ) ( )( ) 0824163244 2 <−=−=−− Siendo negativo el discriminante, puede afirmarse que la ecuación dada no tiene solución en los reales.



8.7 ¿CÓMO EXPRESAR UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA COMO PRODUCTO DE FACTORES LINEALES?

Si bien puede solucionarse una ecuación por fórmula cuadrática o completando cuadrados, la utilidad de estos métodos va mucho más allá, puesto que ambos permiten expresar una ecuación cuadrática como un producto de factores lineales (factorización). Para visualizarlo, se presenta el siguiente ejemplo. Ejemplo 16 Expresar como un producto de factores lineales: 0262 =−+ xx Puede seguirse cualquiera de los dos caminos: En este ejemplo se trabajará completando cuadrados:

( ) 9296026 22 =−++⇔=−+ xxxx

( ) 113113113 2 ±=+⇔=+⇔=+⇔ xxx Esta última expresión genera las siguientes situaciones:

113113 +−=⇔=+ xx

0113 =−+⇔ x ó

113113 −−=⇔−=+ xx

0113 =++⇔ x

La propiedad del cero ha sido trabajada hasta el momento en un solo sentido es decir:

0b a ba, =×ℜ∈∀ , , 0b ó 0a ==⇒ Pero el recíproco de este teorema también es válido. Luego:

0b ó 0a si ba, ==ℜ∈∀ , 0b a =×⇒

Retomando el ejemplo puede concluirse que: Como 0113 =−+x ó 0113 =++x , por la propiedad anterior, se tiene que:

( )( ) 0113113 =++−+ xx

8.8 PROCESO DE REVERSIBILIDAD Hasta el momento, el proceso algebraico ha sido estudiado partiendo de una ecuación dada hasta llegar a una solución. ¿Existirán métodos para encontrar la ecuación, conociendo las soluciones?. La respuesta es sí. El ejemplo siguiente mostrará uno ellos.



Ejemplo 17 Encontrar la ecuación cuadrática cuyas raíces son 6 y – 4. Haciendo r1 = 6 y r2 = – 4, la ecuación cuadrática buscada debe ser equivalente a:

( ) ( )( ) 046a =−−− xx

Desarrollando el producto:

( ) ( )( ) ( ) 0242a046a 2 =−−⇔=−−− xxxx Por definición, . Por lo tanto, el coeficiente del término podría tener infinidad de valores posibles, lo que llevaría a concluir que existe un número infinito de ecuaciones cuadráticas con las mismas raíces o soluciones.

0aya ≠ℜ∈ 2x

De acuerdo con lo visto en la secciones 10.3 y 10.4, una ecuación de la forma siempre puede expresarse como:

0cba 2 =++ xx

( )( ) 0rra0

ac

aba0cba 21

22 =−−⇔=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⇔=++ xxxxxx

( ) ( )( ) 0rrrr0rrrra 2121

22112

2 =++−⇔=+−−⇔ xxaxxx donde r1 y r2 son las raíces o soluciones. Al comparar el coeficiente del término en x y el término independiente se tiene:

abrr y

acrr 2121 −=+=× .

Ejemplo 18 Para ilustrar este método se utilizará la misma ecuación del ejemplo 17. Aplicando las conclusiones del nuevo método, se tiene:

( )( ) ( )1ac24

ac46

acrr 21 =−⇔=−⇔=×

y ( ) ( )2

ab2

ab46rr 21 −=⇔−=−+=+

Cómo interpretar los resultados de ( ) ( )2y1 ? Así: debe entenderse como la razón que hay entre el término independiente de la cuadrática y el coeficiente del término en , lo que significa según el concepto de razones y proporciones que

( )12x

318

5120

248

124

ac −=−=−=−= . Es importante resaltar que éstas no son las

únicas equivalencias.



Por su parte, , es la razón entre el opuesto del coeficiente en x y el coeficiente del término

en , lo que permite establecer entre otras proporciones:

( )2

2x3132

510

24

12

ab ====− .

Como se desea encontrar la ecuación en la forma canónica , se debe escoger: 0cba 2 =++ xx

02422421

12

aby

124

ac 2 =−−⇒−=−==⇒=−−= xxcba

048424842

24

aby

248

ac 2 =−−⇒−=−==⇒=−−= xxcba

0832

318

32

31

aby8

ac 2

3132

31

=−−⇒−=−==⇒=−−= xxcba

Por éste método se llega a la misma conclusión del ejemplo 17: Existen infinitas ecuaciones que cumplen con las condiciones dadas, lo que confirma la definición de ecuaciones equivalentes propuesta en el Capítulo 3.

Ejercicios 8.4

Determinar la cantidad de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones sin resolverlas:

Expresar como el producto de factores lineale

4. 02 = 5.

1. 0223 2 =−− xx 2. xx 62152 −=+

3. 025102 =+− xx

s:

142 +− dd 223

2 xx =+

053 2 =−x

rar una ecuación cuadrática que soluciones:

.

6.

Encont tenga como

31

y27

− 8. 2

51±− 7


CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS
DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Resolver los siguientes ejercicios: 1. Completando cuadrados, encontrar el conjunto solución de: 01032 =−− xx 2. Determinar todos los valores de d de modo que las ecuaciones tengan dos raíces

iguales:

a. ( ) 0862 =+++ dxdx b. ( ) 07620 2 =++− ddxx 3. Determinar la otra raíz de: ( ) ( ) 0393 2 =−++− kxxk , si se conoce que una de sus

soluciones es 2.

. cuadrado de un número y el triple del mismo número es 10. Hallar el

. eros consecutivos, enteros, positivos, sabiendo que la suma de sus drados es 85.

7.

5cm y su área superficial es de

n número positivo tal que su cuadrado menos cinco veces el número, sea

. ulo, sabiendo que las longitudes de sus lados

en 2 unidades, la superficie se multiplica por 4.

1. uadrados es

s 9,800mP

2, y el largo excede en 70m el ancho.

3. cho, y la diagonal mide 13cm. Encontrar

de un triángulo rectángulo, sabiendo que difieren entre sí en 7m y que el área es 30m2.

Resolver los siguientes problemas: 4. Encontrar dos números enteros consecutivos cuyo producto es 156.

La suma del 5número.

Encontrar dos núm6cua

La tapa de una caja es un rectángulo con dimensiones en centímetros de x y x + 2, si la altura de la caja es de236cm cuadrados, calcule el valor de x.

Encontrar u8.

=

igual a 14.

Hallar los lados de un triángulo rectáng9son tres números pares consecutivos.

Si cada lado de un cuadrado se incrementa10. Encontrar la longitud original de los lados.

Hallar dos números enteros pares consecutivos tales que la suma de sus c1123 unidades más grande que el cuadrado del entero que está entre ellos.

La superficie de un terreno rectangular e12. Encontrar las dimensiones del terreno.

El largo de un rectángulo es 7cm mayor que el an1las dimensiones del rectángulo.

Encontrar los catetos14.


15. El volumen comprendido entre dos esferas concéntricas es igual a 3cm3

224π . ¿Cuál es

el volumen de la esfera más pequeña si se sabe que su radio es 2cm. menor que el radio de la grande?

16. Las dimensiones de un cuadro son 1411× cm. El área del marco es 31 del área del

cuadro. ¿Cuál es el ancho del marco? 17. Un grupo de 180 hombres, está colocado en filas. Si el número de hombres en cada fila es

de 8 más que el número de filas. Cuántas filas hay? Cuántos hombres por fila? 18.

Un jardín rectangular de 40 metros por 30 metros tiene dos caminos que se cruzan entre sí ( ver gráfico)

Si el ancho de cada camino es x metros y el área cubierta por los dos caminos es de 325 metros cuadrados, calcular el ancho de cada camino.

19. Una caña de bambú tiene una altura de 10 pies. Se rompe y el extremo caído toca el

suelo a 3 pies de la base del bambú. Qué altura tiene la parte del bambú que queda en pie?

20. Un tronco recto sobresale 10cm de la superficie de un estanque. Si se inclina a la

derecha desaparece a 21cm del punto en donde emergía. Calcular la profundidad del agua.

21. Normalmente, el tamaño de la pantalla de un televisor corresponde a la longitud de su

diagonal. Si la pantalla de un televisor tiene 3,4 pulgadas más de largo que de ancho, y el tamaño de la pantalla es de 19 pulgadas, ¿cuáles son las dimensiones de la pantalla?

22.

Un reloj tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo encima. Hallar las dimensiones del rectángulo si el perímetro y el área del reloj

son7

142cm y

7184

cm2 respectivamente. Usar π como 722 .

3


Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 NA NUEVA VISIÓN

“La intuición de un instante vale a veces por la experiencia de toda una vida” Oliver Wendell Holmes

CAPÍTULO IX

INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE

9.1 INTRODUCCIÓN 9.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA 9.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE

CAPÍTULO IX

INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE

9.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se trabajará con expresiones de la forma , llamadas inecuaciones, es importante recordar que expresiones relacionadas con los símbolos se manejan igual.

0a y cb,a,cba 2 ≠ℜ∈<+ xx

≤≥>< ,,,

j

El producto de dos números reales con signos iguales es positivo El producto de dos números reales con signos diferentes es negativo Relaciones de orden en los reales Capítulo I Resolver una inecuación es encontrar los valores de la variable que hacen verdadera la relación de orden dada. Las diferentes formas de escribir intervalos Capítulo I. Teoremas Capítulo VI

9.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA Resolver inecuaciones de grado dos involucra la factorización como aspecto fundamental. No siempre las inecuaciones de grado dos vienen expresadas en su forma más simple, por lo tanto para resolverlas primero se deben simplificar



Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 0882 2 >++ xx

( ) 04420882 22 >++⇔>++ xxxx Factorización Producto notable ( ) 022 2 >+⇔ x Propiedad orden en la multiplicación ( ) 02 2 >+⇔ x Teniendo en cuenta que todo real elevado al cuadrado es positivo, pero que la inecuación no incluye la posibilidad del cero, se puede concluir que el conjunto solución corresponde a:

C.S. = ( ) ( ) { }222 −−ℜ∞−−−∞ ó;; ∪

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 01072 <++ xx

( )( ) 02501072 <++⇔<++ xxxx Factorización Por propiedades de los reales, el producto de dos reales con signos diferentes es negativo , porlo tanto se presentan las siguientes dos situaciones:

Caso 1 Caso 2

El primer factor positivo y el segundo negativo

El primer factor negativo y el segundo positivo

05 >+x 5−>x ( )∞− ,5

y y ∩

02 <+x 2−<x

( )2−−∞,

05 <+x 5−<x ( )5−−∞,

y y ∩

02 >+x 2−>x

( )∞− ,2

C.S. Caso 1 = ( ) 25 −− ,

C.S Caso 2.= ∅

C.S.= ( )25 −− , = ∪ ∅ ( )25 −− , Ejemplo 3 Encontrar el conjunto solución de ( ) 53 2 −<+x Antes de iniciar cualquier proceso algebraico, nótese que el miembro de la izquierda para cualquier valor de x será siempre positivo ó cero. Por lo tanto, jamás será menor de –5. El conjunto solución para esta inecuación es entonces: ∅



Ejemplo 4 Cuál es el conjunto solución de ( )( ) 343 >+− xx Si bien se plantea una inecuación, nótese que el miembro de la derecha es diferente de cero.

( )( )( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<+<−

>+>−⇒>+−

3433

3433343

xx

xxxx

La propiedad del producto se define con respecto a cero.

( )( ) 015312343 22 >−+⇔>−+⇔>+− xxxxxx

02

6112

611 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−⇔ xx

Una vez se tiene el miembro de la derecha igual a cero, se puede aplicar la

mencionada propiedad del producto.

⇒>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−− 02

611x2

611+−>x y 02

611 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−x2

611−−>x Caso 1

C.S. = ⎟⎟⎠

⎞

⎝∞+− ;

2611

⎜⎜⎛

⇒<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−− 02

611x2

611+−<x y ⇒<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−− 02

611x2

611−−<x Caso 2

C.S. = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∞−2

611;

C.S. = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∞− ;;2

6112

611 ∪

Ejercicios 9.1

Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

1. 0442 >++ xx 2. 0322 <−− xx 3. 32 2 <xx − 4. 1072 −> xx

5. x 0925 2 <− 6. 92 <x 7. 092 >−− x 8. 0832 <++ xx

9. 096 10. 1062 ≤++ xx 2 >+− xx 11. ( )( ) 335 <+− xx 12. 0372 2 <++ xx

conjunto solución de:

124 22 −>+ xxx

Encontrar el 13.



9.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO La solución de

este tipo de inecuaciones se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución 4122 ≤++ xx

El primer paso es aplicar la definición de va luto, que da lugar a dos situaciones:

lor abso

Caso1 Si 0122 ≥++ xx , entonces ++ xx 4≤122

y 4122 ≤++ xx 02 −xx 3 ≤2 +

( )( )1 03 ≤−x+x

y ( ) 03 ≤+x 3−≤x y ( ) 01 ≥−x

1≥x ó ( ) 03 ≥+x 3−≥x

1 ≤−x 1

y ( ) 0

≤x ( ]3−−∞; ∩ [ )∞;1 ∪ [ )∞− ;3 ∩ ( ]1;−∞ ∅ ∪ [ ]13;−

0122 ≥++ xx

1 ≥+x

ℜ ∩

( ) 02

ℜ∈x

[ ]13;−

C.S. Caso 1= [ ]13− ;

Caso2

Si 0122 <++ xx , entonces: ( ) 412 ≤++ x 2− x

01 <+ xx ( ) 01 2 <+x

∅ y uación, ya que

sulte, al ser interceptada con evamente ∅ .

22 + 4122 −≥++ xx es necesario resolver esta inecNo

cualquier soluci que re∅ da como resultado nu

ón

C.S. Caso 2 = ∅

La solución final corresponde a la unió os solucio

C.S. =

n de las d nes:

[ ] [ ]1313 ;; −=∅− ∪

Ejercicios 9.2

o ón :

e Encontrar l c injunto soluc de

1. 032 <−+ xx 2. 122 <+ xx 3. 312 ≤−x 4. 152 ≥−− xx 5. 442 −≥− xx



CIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULA

Hallar el conjunto sol

0+ xx 3. 0 4. 42 ≥x

. 162 ≤x 6. ( ) 042 2 ≤−− x 7.

ución de: 1. ≤xx 82 ≤ 2. 52 232 <+− xx

5 55

22−> xx

. ( ) ( )8 4842262 −−<+−− yyyy

1m3m 2 +−−= xxxf ra los cuales ( )xf corte en untos distintos el eje x y ca corte al semieje

negativ e 10. Sea ( mxf

a. La parábola no corte el eje x y abra hacia abajo.

l eje x y abra hacia arriba.

222

Realizar los siguientes ejercicios: 9. Se de m .Hallar los valores de m pa

dos p tal que el eje de simetría de la gráfifine ( ) ( )

o d las x.

) ( ) ( )2m2m2 ++++= xx Hallar el valor de m tal que:

b. La parábola sea tangente a

c. La parábola corte al eje x en dos os. punt 11. Par valores de x es xx <2 ? a qué 12. Si 42 ≥x es necesariamente verdadero que 2≥x ? 13. Si 12 ≤x es necesariamente verdadero que 1≤x ? 14. De un ejemplo de una inecuación cuyo conjunto solución sea ( ) ( )∞−∞ ;; 52 ∪

15. Encontrar el valor de b para que la función 12b2 2 ++= xxy . tenga 2 cortes con el eje x.


PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“No existe en el mundo nada más poderoso que una idea a la que le ha llegado su tiempo” Victor Hugo

CAPÍTULO X

FUNCIÓN CUADRÁTICA

10.1 INTRODUCCIÓN 10.2 ECUACIONES DE LA FORMA y= x2 10.3 ECUACIONES DE LA FORMA y= ax2 10.4 ECUACIONES DE LA FORMA y = ax2 + k 10.5 ECUACIONES DE LA FORMA y = (x – h)2 10.6 ECUACIONES DE LA FORMA y = a(x – h)2+k EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN


CAPÍTULO X

FUNCIÓN CUADRÁTICA

10.1 INTRODUCCIÓN Una expresión de la forma es una relación de igualdad entre expresiones en dos variables. En el presente capítulo, se llevará a cabo un análisis similar al desarrollado en el Capítulo V para expresiones de la forma

cba 2 ++= xxy

bm += xy .

10.2 ECUACIONES DE LA FORMA y= x2 La gráfica representa la expresión . 2xy =

Un análisis detallado permite concluir:

)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3 -2 -1

1 2 3 4 5

x

y y=x2

Es una línea curva.

Se presenta una simetría axial con respecto al eje y. A cada valor de y, corresponden dos valores de x, por lo que se puede decir que no es uno a uno.

La curva es tangente al eje x.

Para cada valor de x, existe uno y sólo un valor de y, por lo tanto puede afirmarse que se trata de una función, cuyo dominio y rango son, respectivamente, los reales y los reales positivos y el cero.

Para los valores de x > 0, la función es creciente. Para los valores de x < 0, la función es decreciente. Cuando x = 0, y = 0.

La función tiene en x = 0 un valor mínimo y = 0. El punto de la gráfica correspondiente a estos valores , se le conoce con el nombre de vértice. ( 00 ,

La curva abre hacia arriba, por lo que se dice que es cóncava hacia arriba.

El eje de simetría pasa por el vértice de la gráfica, y tiene como ecuación x = 0. A una función que presenta estas características se le da el nombre de parábola.



10.3 ECUACIONES DE LA FORMA y= ax2

El coeficiente de debe ser un real diferente de cero para que tenga las características de una función cuadrática. Nótese que si a = 0, se obtiene la función constante y = 0.

2x

Para analizar la incidencia que tiene sobre la gráfica el cambio de este coeficiente, se hará una comparación de las nuevas parábolas con la función inicial . 2xy =

Cuando el coeficiente de toma un valor mayor a 1, todas las características descritas para

se conservan en cada una de las parábolas dibujadas.

2x

2xy =

2ax=

Al aumentar el valor de la constante a, los brazos de la parábola se acercan más al eje de las y. A este cambio se le llama dilatación y para los casos analizados se dice que la dilatación disminuye.

-2 -1 1 2

1

2

3

y=3x2

y=2x2

x

y

y=x2

-2 -1 1 2

1

2

3

Si se comparan ahora la representación gráfica de y las gráficas de con

2xy =

y( )10a ;∈ , puede concluirse que: y=x2

y=1/3x2

y=1/2x2

x

y

La dilatación aumenta en la medida en que disminuye el valor de la constante a.

Todas las demás características mencionadas hasta el momento, se mantienen.

Para corroborar lo dicho, se presenta la gráfica correspondiente:



Qué sucederá cuando el coeficiente a toma valores negativos?

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

y= –2x2y= – x2

y= –1/3x2

x

y

Para este conjunto de parábolas, el vértice corresponde al punto máximo de la función. El rango por lo tanto es el intervalo . Se dice entonces que son cóncavas hacia abajo. ( ]0,−∞

Como puede observarse, para cualquier valor de a, se encuentra que la gráfica de es la simétrica de con respecto al eje x.

2axy −=2axy =

10.4 ECUACIONES DE LA FORMA y = ax2 + k

Las funciones de la forma , pueden presentar dos situaciones: ka 2 += xy

Si la ecuación de la función queda de la forma 1a = k2 += xy

Para estudiar este caso se usará como referencia la gráfica de la función 2xy =

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

y

y=x2+1/2

y=x2+2

y=x2-1/3

y=x2

y=x2-1

x



Comparando las gráficas se observa que:

Si k > 0, la parábola tiene una traslación de k unidades hacia arriba,

alejándose del eje x, lo que significa que la nueva curva no tiene corte con el eje x.

2xy =

Si k < 0, se traslada hacia abajo k unidades del eje x haciendo que la nueva

parábola corte al eje x en dos puntos diferentes.

2xy =

Por consiguiente, las características generales de la función son las mismas de , pero cambia el rango y las coordenadas del vértice, así:

k2 += xy2xy =

Rango: [ )∞;k

Coordenadas del vértice: ( )k0 ,

Si la ecuación de la función queda de la forma y su

comportamiento se estudiará con el siguiente ejemplo: 0a y 1a ≠≠ ka 2 += xy

Ejemplo 1

Representar gráficamente la función 321 2 −= xy

Se procede a analizar la ecuación que se pide graficar:

Por tratarse de una expresión en dos variables de grado 2, para x, su representación gráfica es una parábola.

El coeficiente del término en es positivo, por lo tanto es cóncava hacia arriba.

Además, por ser menor que uno, se dice que es más dilatada que la función . 2x

2xy =

El término independiente – 3 hace que la parábola 221

xy = se desplace hacia abajo 3

unidades.

Esta información es suficiente para esbozar la gráfica:

y

x

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4



Para una mejor aproximación de la gráfica, es aconsejable encontrar los cortes con el eje x, para lo cual se resuelve la ecuación siguiente:

6321

0 2 ±=⇒−= xx

Entonces, los puntos de corte con el eje x tienen coordenadas ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 06y06 ,, y por ello

son llamados ceros de la función, ya que para obtenerlos se hizo y = 0.

En conclusión para las funciones de la forma se tiene que varia la dilatación, el rango y las coordenadas del vértice con respecto a la función

ka 2 += xy2xy =

10.5 ECUACIONES DE LA FORMA y = (x – h)2 Al comparar las gráficas de esta forma con la original , se encuentra que: 2xy =

El conjunto de gráficas de la izquierda, son de la forma ( )2h−= xy con h, real negativo. Respecto de , las parábolas se han desplazado h unidades hacia la izquierda, cambiando su eje de simetría a la recta con ecuación x = h. Las coordenadas de su vértice son ahora

2xy =

( )0h , .

El conjunto de gráficas de la derecha, tienen la forma ( )2h−= xy con h, mayor que cero. Las parábolas se han desplazado h unidades hacia la derecha con respecto a Su eje de simetría es la recta con ecuación x = h y las coordenadas del vértice son .

2xy =

( )0h ,

-4 -3 -2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

y=(x+5/2)2

y=(x+1)2 y=x2

y

x

-1 1 2 3 4 -1

1

2

3

4

y=(x–7/2)2

y=(x–2)2 y=x2

y

x



10.6 ECUACIONES DE LA FORMA y = a(x – h)2+k Hasta el momento se ha estudiado la forma de graficar una función cuadrática a partir de las expresiones y ka 2 += xy ( )2h−= xy . Para el estudio de la representación gráfica de las parábolas de la forma se tienen los siguientes ejemplos. ( ) kha 2 +−= xy Ejemplo 2 Esbozar la gráfica de 242 2 −+= xxy Para poder graficar la parábola, debe transformase su ecuación a la forma teniendo en cuenta para ello lo visto en el Capítulo VIII.

( ) kha 2 +−= xy

( ) ( ) 22122222242 222 −−++=⇔−+=⇔−+= xxyxxyxxy

( )

k

2

ha

412 −+=⇔

−x

xy

Esta expresión que es equivalente a la que se debe graficar, da la información necesaria para elaborar la gráfica correspondiente:

a > 0, entonces es cóncava hacia arriba.

a = 2: más cerca al eje y que . 2xy =

h = –1, por lo tanto, la traslación horizontal de es de 1 unidad hacia la izquierda. 22 xy =

k = – 4, traslada hacia abajo 4 unidades a la función ( )212 += xy .

La gráfica será:

-3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

En forma general, una expresión de la forma , es equivalente a

. Esta forma es conveniente no sólo para definir las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría x = h, sino que permite también hacer un análisis del

comportamiento de la gráfica sin necesidad de esbozar la gráfica. El siguiente ejemplo muestra el proceso:

0a c,ba 2 ≠++= xxy

( ) kha 2 +−= xy( kh , )



Ejemplo 3

Dada la ecuación 31

45

22

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= xy , analizar:

Análisis de la función

Dominio ℜ Por definición, no tiene restricciones.

Concavidad Abajo Coeficiente del término en es menor que cero.

2x

Coordenadas del vértice ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

31

45

, Porque h =45

− y k =31

Rango ⎥⎦

⎤⎜⎜⎝

⎛∞−

31

; Por el tipo de concavidad, el vértice es el punto máximo de la función.

Ecuación eje de simetría 4

5−=x Determinado por el valor de la abscisa

del vértice. Intervalos donde es creciente ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∞−

45

; Por la concavidad, es de la abscisa del vértice hacia la izquierda.

Intervalos donde es decreciente ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞− ,

45

Por el tipo de concavidad, es desde la coordenada x del vértice hacia la derecha.

Corte con el eje y 2467

−=y Valor de la función cuando x = 0.

Corte(s) con el eje x 12

6215 ±−=x

Valores de x para los cuales la función es igual a cero.

Intervalos donde y > 0 ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +−−−

126215

126215

; Por ser cóncava hacia abajo y cortar el eje de las x.

Intervalos donde y < 0 ⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−∞− ;;

126215

126215

∪

Por ser cóncava hacia abajo y cortar el eje de las x.


Realizar los siguientes ejercicios:

1. Si , encuentre: 22 −= xxf )( ( ) ( ) ( ) ( )130 −− afafff . Graficar las siguientes funciones: 2

a. b.

( ) ( )( )22 −−= xxxf ( ) ( )1+= xxxf



3. Sea ( )xf una función cuadrática. Si se sabe que la suma de las raíces de la ecuación : es − 2 y el producto de las mismas es 5: ( ) 0=xf

a. Encontrar la ecuación de la parábola, si se sabe que la ordenada al origen es – 5.

b. Exprese ( )xf como producto de factores.

c. Hacer la gráfica. 4. Determinar la función cuadrática y dibuje la gráfica de:

a. La parábola que corta el eje de las x en los puntos x=1 y x = 4 y corta al eje y en y = 3.

b. Parábola con vértice en x = – 2 y corta al eje y en y = – 5.

c. Parábola con vértice en ( )32 , y corta al eje y en y = 7 5. Sea la función ( ) 42

31 2 +−= xxxf . Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones

es verdadera o falsa. Justifique su respuesta:

a. La función crece en el intervalo ( )∞,0 . b. La función decrece en el intervalo ( )3,−∞

c. La gráfica abre hacia arriba. d. El valor mínimo de ( )xf es 4.

e. No hay interseptos en el eje x f. La gráfica pasa por el punto ( )133,−

6. Una de las ecuaciones siguientes describe la gráfica. Cuál es? Por qué?

y

xa. 22 −−= xxy

b. 22 xxy −+=

c. 22 xxy −+−=

d. 2232 xxy −−=

7. Determinar el valor de las constantes a, b, c, k, h según el caso si:

a. La gráfica de pasa por el punto 2axy = ( )21−, .

b. La gráfica de tiene su vértice en ca 2 += xy ( )40, y pasa por el punto ( )53 −, .

c. La gráfica de pasa por el punto ( ) k2 2 +−= xy ( )125 −, .

d. La gráfica de pasa por el punto ( ) 5h 2 +−= xy ( )63, .

e. La gráfica de 25a8 2 +−= xxy , tiene el vértice en ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 2

41 , .

f. La función , tiene como ordenada al origen 2 y el eje x es tangente a la parábola.

( ) c2a 2 +−= xxxf



Encontrar la ecuación de las parábolas que se encuentran a continuación. 8. 9.

10. 11.

12. 13.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4 y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1

1

2

3

4y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4 y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 y

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1

1

2

3

4

5y

x



14. Para cada una de las anteriores gráficas, llene el siguiente cuadro.

Grá

fica

6

Grá

fica

5

Grá

fica

4

Grá

fica

3

Grá

fica

2

Grá

fica

1

Coo

rden

adas

del

vér

tice

Ecu

ació

n ej

e de

sim

etría

Coo

rden

adas

cor

te e

je x

Coo

rden

adas

cor

te e

je y

Coo

rden

adas

pun

to m

áxim

o

Coo

rden

adas

pun

to m

ínim

o

Dom

inio

Ran

go

Ecu

ació

n de

la fo

rma

2y=

de

y y

a (x

–h)

+k

Ecu

ació

n la

fo

rma

= a

x2 +bx+

c

Ecu

ació

n de

la fo

rma

= a

(x–r

1)(x

- r2)



15. La siguiente es la gráfica de una función ( )xy f= de grado 2. A partir de ella determinar y justificar:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2 y

x

a. ( )2−f

b. Los valores de x tal que ( ) 0=xf

c. ( )0f

d. El vértice de la parábola

e. Graficar ( ) ( ) 4+= xx fg

f. Encontrar la ecuación de g( x ) y las

g. coordenadas del vértice?

h. Graficar . ( ) ( )2−= xx fh

i. Encontrar la ecuación de h(x) y las coordenadas del vértice?

j. Graficar y encontrar la ecuación de ( ) ( ) 21 ++= xx fj . Cuál será el nuevo vértice?

16. Un crucero sale del puerto de Miami rumbo al este a una velocidad constante de 5

nudos. A las cinco de la tarde, el crucero se encuentra a 5 millas náuticas al sur de un yate que se mueve hacia el sur a una velocidad constante de 10 nudos. En qué momento están más cercanas las dos embarcaciones?

i 17. El departamento de ventas de una empresa ha determinado que en promedio se venden 600 raquetas de tenis mensualmente a un precio unitario de $350.000,oo. También ha determinado que por cada reducción de $5.000,oo en el precio se venden 50 raquetas más al mes. Con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo?

18. El Golden Gate enmarca la entrada de la bahía de San Francisco. Sus torres de 746

pies de altura. Están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro; el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Encontrar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.



19. Un industrial requiere tornillos para efectos de ensamblar un producto que está fabricando. Tiene dos opciones:

Mandarlos a hacer en la fábrica “ Su Repuesto S.A.”,que le cobrará $4 por el cuadrado

del número de piezas que encargue y le ofrece una rebaja de $100 por cada pieza.

Fabricarlos el mismo. En tal caso debe comprar la máquina de hacer tornillos la cual vale $1.000.000 y hacer la pieza. Esto requiere la contratación de personal y el pago de materiales de fabricación. Esto último implica que fabricar cada pieza le costará $30.

x xa. ¿Qué le aconseja usted al industrial que haga? ¿Por

qué?

b. Suponga que usted debe fijar los precios en “Su Repuesto S.A.“ ¿Cómo lo haría para que le compraran cantidades inferiores a 1.000 tornillos?

c. ¿Cuál debería ser el descuento por pieza en “Su Repuesto S.A.” y cual el costo por

pieza en la fábrica del interesado, para que fuera mejor ordenar a “Su Repuesto S.A” cantidades inferiores a 800 tornillos.?

d. ¿Cuál debería ser el costo por el cuadrado de piezas en “Su Repuesto S.A.” y cuál

el costo por pieza en la fábrica para que fuera mejor ordenar a “Su Repuesto S.A.”, cantidades inferiores a 800 tornillos?

e. Considere las dos nuevas fórmulas de precios de “Su Repuesto S.A.” obtenidas en c

y d. ¿Cuál es más conveniente para “Su Repuesto S.A:” 20. Juan quiere comprarle un lote a Pedro. Pedro le vende a Juan el lote y el alambre de

púas para cercarlo. El alambre de púas mide 20m.y, cualesquiera que sean las dimensiones del lote que Pedro escoja, el lote tiene que estar cercado por los 20m. de alambre. El lote tiene que tener una forma rectangular y Juan puede escoger las dimensiones del lote. A Juan le interesa que el lote tenga la mayor área posible y a Pedro la menor área. Suponer que un lado del lote se llama x, y el otro se llama y.

-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35

-10

10

20

30

40

y3 a. Cuál de las gráficas representa el

comportamiento del lado llamado y del lote con respecto al lado x? Justificar la respuesta y explicar por qué tiene ese comportamiento.

y2

y1

y

x



b. Cuál de las gráficas representa el

comportamiento del área del lote con respecto al lado x ?. Justificar la respuesta.

-5 5 10 15

-30

-20

-10

10

20

30y

y6

y4

c. Explicar por qué el área tiene ese comportamiento.

d. Cuáles son las dimensiones posibles del lote?. Por qué?

e. Cuáles son las áreas posibles del lote? Por qué?

f. Qué dimensiones le interesan a Juan? y5

x

g. Qué dimensiones le interesan a Pedro?

21.

Efectuar el siguiente análisis:

Cuál es la relación entre la gráfica de en un plano y la de en la recta real.

42 −= xy 042 >−x



“La cultura no consiste sólo en dictar las reglas, sino también en mejorar las costumbres” Johanng Herder

CAPÍTULO XI

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

CON DOS VARIABLES

11.1 INTRODUCCIÓN 11.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA 11.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES

)

CAPÍTULO XI

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

CON DOS VARIABLES

11.1 INTRODUCCIÓN Cuando se habla de un sistema de ecuaciones, se hace referencia a un conjunto de dos o más ecuaciones. En este capítulo se estudiarán sistemas de ecuaciones con dos variables en donde al menos una de ellas es de grado dos, así:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

yxx

yxx

222

2

112

1

cba

cba 0aaccbbaa 21112121 ≠ℜ∈ ,,,,,,,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=++

yx

yxx

22

112

1

ba

cba ℜ∈,, 22 ba

Aunque existen muchas ecuaciones de grado dos, no todas ellas son objeto de estudio para este curso, puesto que el enfoque que se maneja en este nivel es el del Álgebra de funciones.

11.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA En el Capítulo III se estudiaron tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción, método de sustitución, y método de igualación. De estos tres se aconseja utilizar cualquiera de los dos últimos para encontrar la solución de los sistemas de este capítulo. La solución para un sistema de ecuaciones en dos variables consiste en parejas que satisfacen las dos ecuaciones.

( yx ,



Ejemplo 1

Encontrar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones: ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+−−=

102

142

xy

xxy

Por el método de igualación: 102142 +=+−− xxx

09609610214 222 =++⇔=−−−⇔+=+−− xxxxxxx

( ) 303 2 −=⇒=+⇔ xx

Ya se sabe que la solución para el sistema tiene un valor para x. ¿Cuál será el valor correspondiente para y?

El valor de y puede encontrarse reemplazando el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones. Como se tiene en el sistema una ecuación lineal, es más práctico utilizarla:

( ) 410323 =⇒+−=⇒−= yyx Como siempre, el proceso debe terminar con la verificación de la solución en las dos ecuaciones:

C.S. = ( ){ }43,−

Ejemplo 2

Hallar el conjunto solución de: ⎪⎩

⎪⎨⎧

++−=

=+−

463

442

2

2

xxy

yxx

Por igualación: 463442 22 ++−=+− xxxx

( ) 0250105 2 =−⇔=− xxxx

( ) 02ó05 =−=⇒ xx

2ó0 ==⇒ xx

Si x = 0: . Lo que significa que la pareja es solución del sistema.

( ) ( ) yy =⇒=+−⇒ 440402 2 ( 40, )

Si x = 2: . Lo que implica que la pareja también es solución para el sistema.

( ) ( ) yy =⇒=+−⇒ 442422 2 ( )42,

C.S. = ( ) ( ){ }4240 ,,,



Ejercicios 11.1

Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas:

1. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

yxx

yxx

46

17

2

2

2. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+

=−−

yxx

yxx2

2

62

5233.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−

=+−

yxx

yxx

201

51

52

2

2

4. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

−=

273

3

2 xxy

xy5.

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−−

=+−

yx

yx

534

532

2

2

11.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA

n un sistema de la forma E

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

yxx

yxx

222

2

112

1

cba

cba 0aaccbbaa 21112121 ≠ℜ∈ ,,,,,,,

cada una de las ecuaciones representa una parábola en un sistema de coordenadas ectangulares o cartesianas. r

Qué situaciones pueden presentarse cuando se tienen dos parábolas en un mismo plano? ¿

as dos parábolas pueden ser: L

Tangentes, cuando tienen un solo punto en común.

Secantes: Las parábolas tienen dos puntos en común.

Coincidentes: Todos los puntos de las parábolas coinciden.

Disyuntas: No tienen puntos en común. La solución algebraica de un sistema de ecuaciones indica el número de intersecciones

ntre las dos gráficas. e

or otra parte, un sistema de la forma P

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=++

yx

yxx

22

112

1

ba

cba 0acy b,a,b,a 112211 ≠ℜ∈ ,

representa la intersección entre una parábola y una recta. ¿Qué situaciones pueden

ncontrarse? e A excepción de la total coincidencia de puntos, las tres opciones restantes sí pueden tener ugar en un mismo plano cartesiano. l



Ejemplo 3

¿Cuál es el conjunto solución para el siguiente sistema de ecuaciones? ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+−−=

1

3131 2

xy

xy

La primera es la ecuación de una parábola cóncava hacia abajo, con vértice en y con dilatación de

( )31,

31 . La segunda ecuación es una recta con pendiente positiva igual a 1 e

intercepto-y en –1. Por consiguiente, su representación gráfica es:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

Como puede observarse, las dos gráficas se cortan en dos puntos, por lo cual se dice que son secantes. Desafortunadamente, la representación no da con exactitud las coordenadas de los puntos. Pero, puede recurrirse al álgebra para encontrarlos. y= –1/3( x–1 )2+3

( ) ( ) 1231241231131

31 222 +−=+−⇔−=+−−⇔−=+−− xxxxxxxx

y=x–1y

x

2531ó

25310

25310112 −−=+−=⇔=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ±−−⇔=−+⇔ xxxxx

Si 2

531−−=x2

53312

531 −−=⇔−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⇒ yy

Si 2

531+−=x2

53312

531 +−=⇔−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=⇒ yy

C.S. =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−2

5332

531-2

5332

53-1- ,,,

Ejercicios 11.2

Para el siguiente sistema de ecuaciones algebraica y gráficamente:

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−=

−=

762

2

2

2

xxy

xy

1. Encontrar el conjunto solución 2. Hacer la Representación gráfica 3. Para qué valores de x es la primera función menor que la segunda? 4. Para qué valores de x es la segunda función mayor que 0?

Para qué valores de es la primera función menor que cero? 5. x




Encontrar las ecuaciones correspondientes a cada uno de los sistemas representados y determinar algebraicamente los puntos de corte:

. .

.

4.

5. πcm2. Hallar el radio de cada círculo si entre sus centros hay una separación de 8cm.

6. llar el número si la cifra de las unidades es dos unidades mayor que la de las decenas.

7.

radero, en línea recta, la distancia se acorta en 20 m. ¿Qué longitud tienen las aceras?

1

2

3

El área combinada de dos círculos tangentes exteriormente es 34

La suma de los cuadrados de las dos cifras de un número es 34. Ha

Dos aceras forman un ángulo recto en un punto R. En el extremo de una de las aceras, se ubica un puesto de flores y en el extremo de la otra el paradero. La longitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar directamente del puesto de flores al pa

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

f(x)

g(x)

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

l(x)

m(x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-5-4-3-2-1

1234567 y

j(x)l(x)

x

-2 -1 1 2 3 4 5 6 -1

123456789

1011

k(x)

h(x)

y

x



“Azar es una palabra vacía de sentido; nada puede existir sin causa” Voltaire

CAPÍTULO XII

FRACCIONES ALGEBRAICAS

12.1 INTRODUCCIÓN 12.2 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 12.3 OPERACIONES ENTRE FRACCIONES

ALGEBRAICAS 12.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN


CAPÍTULO XII

FRACCIONES ALGEBRAICAS

12.1 INTRODUCCIÓN

j

Una expresión de la forma ba donde a y b son polinomios y b ≠ 0, se llama

fracción algebraica o expresión racional en una variable. Como la variable representa números reales, en éstas expresiones las propiedades de los números racionales se deberán tener en cuenta para el trabajo que se realice con ellas.

Fracción Irreductible: si a y b son primos entre sí, es decir, no tienen factores comunes.

12.2 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificar una fracción es encontrar la expresión equivalente más simple. El camino que permite llegar a dicha expresión es la factorización. Ejemplo 1

Simplificar 2

234

618126

xxxx +−

Cuando el denominador de una fracción es una expresión no constante, es indispensable encontrar aquellos valores de la variable para los cuales la expresión es cero, para evitar que la fracción no esté definida. ¿Cuándo el denominador de la fracción dada es cero?

006 2 =⇔= xx



Para x ≠ 0, 2

234

618126

xxxx +− está definida.

Ahora, simplificando:

( )0si32

6

326

618126 2

2

22

2

234≠+−=

+−=+− xxx

x

xxx

xxxx

Ejemplo 2 Simplificar

bdbcadacbdadbcac

+++−−+

326362

Se analiza primero el denominador:

( ) ( ) ( )( )dcbadcbdcabdbcadac ++=+++=+++ 32332326 La fracción no está definida cuando:

3ó

203ó02 dcbadcba −=−=⇔=+=+

Ahora, se factoriza para simplificar:

( ) ( )( )( )dcba

badbacbdbcadacbdadbcac

+++−+

=+++

−−+32

232326

362

( )( )( )( ) 3

y2

si3

33223 dcba

dcdc

dcbabadc

−≠−≠+

−=+++−

= , Ejercicios 12.1

Simplificar:

1. yx

yxyx2

332

2

108 − 2. 2

32

5

1510

x

xyx

−

− 3. xy

xyyx7

2114 32

−−

4. 23

252423

yx

yxyxyx −+ 5. 22

3223

12

2436

yx

yxyx

−

−−

6. ¿Qué valores de a no son válidos para:

Analizar:

2−a

? 2142

++−

aaa



12.3 OPERACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS Con las fracciones algebraicas se puede efectuar las mismas operaciones que se desarrollaban con las fracciones aritméticas, cumpliendo con las mismas reglas. Para sumar o restar se debe trabajar con fracciones que tengan el mismo denominador.

De no ser así, se debe buscar el mínimo común denominador, producto de los factores comunes y no comunes tomados con su mayor exponente.

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores

entre sí. Para dividir, se puede multiplicar por la fracción recíproca del divisor o multiplicar en

cruz el dividendo y el divisor. Una fracción cuyo numerador o denominador son a su vez fracciones, se denominan fracciones complejas. Ejemplo 3

Simplificar 12

8512

63

++

+−

ww

ww

Antes de iniciar, se puede encontrar una fracción equivalente y analizar los valores para los cuales puede darse lugar a una expresión indefinida:

( )( )

( )( )12

8125126123

1285

1263

++++−+

⇔

++

+−

wwww

wwww

ww

ww

Cuando se tiene: ( ) 012 =+ww

( ) ( ) 0120012 =+=⇔=+ wówww Por lo tanto, la expresión puede simplificarse teniendo en cuenta que:

210 −≠≠ wyw

Retomando:

( )( )

( )( )

( )( ) 518

381256123

128125

126123

+=

++−+

=

++++−+

wwwww

wwww

wwww



Esta nueva fracción genera otra restricción para w:

1850518 −≠⇔≠+ ww

La expresión original, 185

210

5183

1285

1263

−−≠∀+

=

++

+−

,,ww

ww

ww .

Ejemplo 4

Simplificar: ( )392

23

2

2

2

2

+÷

−

−×−

−aba

aabab

bbaa

Por definición de división de fracciones vista en la sección 1.10,

( )( )

aab

aabab

bbaa

aba

aabab

bbaa 3

92

23

392

23

2

2

2

2

2

2

2

2 +×

−

−×−

−=+

÷−

−×−

−

Por factorización: ( ) ( )( )

( )( )( )

( )a

abaa

babbbaa

aab

aabab

bbaa 3

332

233

92

23

2

2

2

2 +×

+−−

×−−

=+

×−

−×−

−

Se establecen las restricciones:

0320 ≠±≠≠≠ aabb ;;; Simplificando: ( )

( )( )

( )( )( )

aab

aabab

bbaa 3

332

23 +

×+−

−×

−− abba =××=

11

11

La fracción más simple equivalente es: ab, con 0320 ≠±≠≠≠ aabb ;;; Ejercicios 12.2

Simplificar: 1. ( )142 234

−+− aaaa2 2a

2. ( 2323

63182

234−−−− aa

aaaa ) 3. ( )( 212

3

345+−−+− aa

aaaa )

4. zxyyzx 2114

yzxzxy3

22

30

23 189÷ 5.

baba

baba

633

622

−+×

+− 6. 62

492

−÷+− x

xx

7. 23

651562

2

2

2

−+

++×+−

xxxxx

23103 +− xxx 8. ( )( )

( )( )( ) 1

14332

1221

−+÷

−−−−

×+−−−

aa

aaaa

aaaa 9. ( ) xyyxyyx

yx3

13

19

3922

22

−−

+−

−

10. 1

2332

321

231

+−+

++

−

yxyx

yxyx



12.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS

j a es divisible por b si y sólo si existe un número 0≠c tal que c × b = a

Si a no es divisible por b, existe un número 0≠c y un número d tal que

bdc

ba +=

La división de polinomios

qp está definida cuando el grado del polinomio dividendo p es

mayor o igual al grado del polinomio divisor q. Si p es divisible por q, existe un polinomio s tal que sqp ×= . Si no lo es, entonces

rsqp +×= , donde r es el residuo de la división. La división puede presentarse en diferentes formas:

p q ⇔ q p ⇔

qp ⇔÷ qp

Para efectuar divisiones entre polinomios, los polinomios deben ordenarse de mayor a menor respecto de una variable. En el polinomio dividendo debe colocarse ceros en los términos que no aparezcan explícitos. El proceso de división termina cuando el residuo es de grado menor que el grado del divisor. Ejemplo 5

Encontrar una expresión equivalente 52

102 2

+−+

xxx por medio de la división:

Antes de comenzar, es necesario encontrar los valores de x para los cuales no es posible hacer la división. Se observa que la fracción no está definida para

25−=x

102 2 −+ xx 52 +x

( )( )

0104104

52 2

−−−−−

+−

xxxx 2−x

Por lo tanto, 252

102 2−=

+−+ x

xxx , para

25−≠x



Ejemplo 6 Efectuar:

4462 3

+−+

xxx

La división no es posible para 4−=x

4602 23 −++ xxx 4+x

15615238

438328

68

82

2

2

23

−−−

−+

+−

−−

x

xxx

xx

xx 3882 2 +− xx

Por lo tanto, 4

15638824

462 23

+−++−=

+−+

xxx

xxx , para 4−≠x

Si se calculara el valor numérico del polinomio del numerador para x = –4, qué se obtiene?

( ) ( ) 15642412844642462 33 −=−−−=−−+−⇒−+⇒ xx

El resultado coincide con el residuo de la división. Siempre ocurre lo mismo?

Tev E

1.

3.

5.

7.

8.

ES

E

)

Se podría verificar con otras divisiones cuyo divisor sea de la forma x – a, y siempre se obtendrá que el residuo es el valor numérico del polinomio evaluado en a. Este hecho se formaliza con el siguiente teorema:

eorema del Residuo: Si un polinomio se divide por x – a, el residuo es igual al polinomio aluado en a.

jercicios 12.3

Encontrar el cociente y el residuo que resulta de dividir:

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +÷+−+

32299 23 yyyy 2. ( ) ( )1354 224 +−÷−+− xxxxx

( ) ( )yxyxyyx +÷++ 22 6 4. ( ) ( )32876 23 +÷+++ xxxx

32 por 282 23 +−−− x xxx 6. 13 por 3753 223 +−−−− x x xxx

Responder:

Qué polinomio tiene como cociente , residuo , cuando se divide por

io se debe dividir el cociente de entre para

baba −+23 a

ba −2 ?

Por qué om

2

polin 1243 23 −−+ xxx 3+xobtener 2−x ?

CUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 247


9. Hallar el residuo de dividir 32 24 22 234 ++−− xxxx por 2−x

10. Encuentre una expresión equivalente para la fracción algebraica 32

16322

23

−+

+−+

xxxxx

13. 2 n

11. Sea P(x) = 25869 2345 ++−− xxxx encuentre P(3)

12. Demostra es divisible po ) cuando P(x) = 1075 24 −+− xxx y D(x) = 2−x .

Cuando

r que P(x) r D(x

25 −+ xx se divide por x + el residuo es – 8. Cuáles son los valores posibles

14. Si P(x) = 32 ++− xx Q(x) = 324 +− xx , hallar P (– x) y Q (–x).

de n?

EJERC RECAPITULACIÓN ICIOS DE

Simplificar:

1. 3

345

661812

xxxx

−

−+ 2. ( )( )31432

+−+ aa 2

2462−+

aaaa

3. xxx

xxx6254

81623

234

++

++ 4. 52

413

6+

−− r

rr

r

5. ( )213

913

2+

−+ xx

6. 4

2

3215

36

tt

tt

t−+++

7. ( )23

1−xxx

2 232

572 +−

++x

8. aaaa

242025

2

2

−

++÷

9.

aaa

164125

4

2

−

++

xxxxx 3

28

22

2+

+−

+ 10.

37

1

31

++

+

++

xxx

xx 25 + x

)11. ( ) (( )ax

axaax3

323 2

++−+ 2

12. ( ) ( )( )ax

axax2

22 23

++++

13. ( )5222

++− aaa

aa 45 14. ( )23 −aa

15.

432

34−−

aaa

189

24832

34

+−

−−+

pp

ppp 16. 23 −pba

ba

−+

+−

1

1b

aba −

17.

ba

ab11 +

ba −

18. 22

11xy

xy

−

22yx −



19. ( )x

x

x

−

−+1

51

1

20.

22 rs

22r srs

sr

−

+

21. ( )( )32643

345+−−+− aaaaa 22.

a( )babababa −−+−

2

32234 242

23. ( ) ( )( )

ba2

( )( )183324122

234+−−−+ aaaaa

2333 2

++−+

xaxaax 24.

4a

. 25 ( ) ( ) ( )( )( ) 33292 −

132332 +−−− ssss

26. ÷+−+

×−− ssssss

11

11

11

2

2

2

2

2 ++

−−−+−

−+++ xx

xxxxxx

xx

27.

a. x 10k +− sea divisible entre 3

4 +

Determinar el valor de k, tal que:

x x k 23 + +x . 32b. 3k4k x x −− sea divisible entre 1−x

.

. Encontrar una expresión equivalente para

Analizar:

28222 −x

4243 23

+

++−

xxxx

y Julio, e atemáticas Básicas de la E.C.I. deben simplificar la

29. Jairo, Javiersiguiente ex

studiantes de Mpresión:

xxx − 1xx −− 281 sabiend−2

o que 10 ≠≠ xx ,

Para realizar la operación sucedi :ó lo si

Jairo utilizó como denominador

guiente

( )( )xxx −− 11

como denominador Javier utilizó ( )1−xx

Julio utilizó como denominador ( )1−x

Sin efectuar la operación, decir si se obtiene el mismo resultado en los tres casos, justificar la respuesta.



“Nada tan peligroso como un un consejo seguido de un mal ejemplo” Antonio Machado

CAPÍTULO XIII

RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS

EN UNA VARIABLE

13.1 INTRODUCCIÓN 13.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES 13.3 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE INECUACIONES 13.4 TABLAS DE SIGNOS 13.5 INECUACIONES CON FRACCIONES Y VALOR

ABSOLUTO 13.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

CAPÍTULO XIII

RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS

EN UNA VARIABLE

13.1 INTRODUCCIÓN Así como se ha trabajado con las expresiones lineales y cuadráticas, puede también establecerse relaciones de orden y de igualdad con fracciones algebraicas. Todas las propiedades de la suma y de la multiplicación presentadas en el Capítulo III para ecuaciones e inecuaciones, tienen validez en la solución de fracciones algebraicas. La única novedad presentada en este caso, es la restricción en los denominadores, cuyo valor debe ser diferente de cero.

13.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de: 02105

2=+−

ww

Analizando los denominadores, puede verse que las fracciones son válidas cuando . 0≠w A continuación, se encuentra el mínimo común denominador de las fracciones, , y se convierten –o se amplifican– todas las fracciones al común denominador :

2w

0210502105021052

2

2

2

222=+−⇔=+−⇔=+−

www

ww

ww

www

0510202105 22

2=+−⇔=+−⇔ ww

www



Resolviendo la ecuación cuadrática con ayuda de los métodos estudiados en el capítulo 10, se tiene:

02

1552

15505102 2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⇔=+− wwww

Por la propiedad del cero en los reales, puede concluirse que:

2155ó

2155 −=+= ww

Como ninguno de los valores encontrados para w son restricciones para la fracción, el conjunto que forman estos dos valores es el conjunto solución.

Ejemplo 2 Hallar el conjunto solución de:

54

51

−=

−−

xxx .

Las fracciones están definidas para: 5≠x Ahora, se resuelve, teniendo en cuenta que dos fracciones son iguales, cuando tienen el mismo numerador y denominador:

5415

451 =⇔=−⇔

−=

−− xx

xxx

Pero ésta solución de la ecuación coincide con la restricción inicial, por lo cual el conjunto solución es vacío.

Ejemplo 3

Encontrar el conjunto solución de la siguiente ecuación:16102

68 2

2

+−=

−+

− xxx

xxx

Al factorizar el denominador de la derecha, pueden conocerse las restricciones para esta fracción:

( )( 2816102 −−=+− xxxx ) Las fracciones son indefinidas si: 8=x ó 2=x . Por lo tanto, puede decirse que la ecuación está definida para { }28,−ℜ .



Resolviendo la ecuación:

( ) ( )( )( ) ( )( )2828

862

161026

8

2

2

2

−−=

−−

−+−⇔

+−=

−+

− xxx

xx

xxx

xxx

xxx

( ) ( ) 04844862862 222 =−⇔=−+−⇔=−+− xxxxxxxxx

12=x

La solución no coincide con ninguna de las restricciones, por lo tanto, C.S. = { }12 Ejemplo 4 ¿Cuál es el conjunto solución de x

xx 2

12=

+

Para la fracción no existen restricciones porque no existe un real que al ser elevado al cuadrado sea un número negativo.

( ) xxxxxxxxxx

x +=⇔+=⇔+=⇔=+

3322

20221221

( )

21ó012020 223 −==⇒+=⇔+= xxxxxx

Como no existen reales tales que 212 −=x , y no hay restricciones, la solución es:

C.S. = { }0

Ejercicios 13.1

Encontrar el conjunto solución de:

1. 133

652

23

3−

=−

−+ xxx

2. 118

1212 =−

+ss

3. 2

52

44

72 −

=+

−− yyy

4. ( )

021

31

22

=−−

+− xx



13.3 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE INECUACIONES

ba puede expresarse como ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

ba 1 para todo 0≠b

El producto de dos números de igual signo es positivo. El producto de dos números de signos diferentes es negativo.

Se dice que una inecuación con fracciones algebraicas se encuentra en su forma estándar cuando está relacionada con cero:

0<qp , donde p y q son polinomios 0≠q .

Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de 0

31 <−x

Está en la forma estándar, por lo tanto, puede trabajarse inmediatamente:

Se analizan las restricciones:

31

303−

⇒=⇔=−x

xx está definida 3≠ℜ∈∀ xx ,

El numerador es positivo, lo que implica que 03 <−x para que la fracción sea negativa.

Su solución será: 3<x

Expresada en forma de conjunto: ( )3;−∞

Ejemplo 6 Hallar el conjunto solución de: 0

11

2<

+x

Restricciones: . Lo que significa que no hay restricciones. 101 22 −=⇔=+ xx

El numerador es un número positivo y el denominador es positivo para todo real x. Por consiguiente, la fracción nunca puede ser negativa. El conjunto solución será: . ∅



Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 0

13 >

−+

xx

Primero, se analizan las restricciones para que la fracción esté definida.

101 =⇔=− xx

Entonces, el conjunto solución no incluye el 1.

303013 −>⇔>+⇔>

−+ xx

xx

La primera relación de equivalencia es resultado de aplicar la propiedad de orden de la multiplicación con el término 1−x . Sin embargo, 1−x puede tomar valores positivos o negativos. Para 01>−x es válido, pero si , por una de las propiedades de las desigualdades, se presentaría

01<−x03 <+x .

013 >

−+

xx

El cociente de dos reales es positivo cuando las dos expresiones son positivas o cuando ambas son

negativas.

01>−x 1>x y 03 >+x

3−>x

( )∞;1 ∩ ( )∞− ;3 Caso 1

C.S. Caso 1 = ( )∞;1

01<−x 1<x y 03 <+x

3−<x

( )1;−∞ ∩ ( )3−−∞; Caso 2

C.S. Caso 2 = ( )3−−∞;

C.S. = ( ) ( )∞−−∞ ;; 13 ∪

Gráficamente la solución puede representarse como:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0



Ejemplo 8 Hallar el conjunto solución de 1

452≤

−−

pp

Restricciones: 404 =⇔=− pp

( )

04

4520

4452

01452

1452

≤−

+−−⇔≤

−−−−

⇔≤−−−

⇔≤−−

ppp

ppp

pp

pp

oPropiedad distributiva: el signo de 4 cambia.

041≤

−−

⇔pp

Esta última inecuación merece un análisis similar al desarrollado para el caso anterior Caso 1:

( ] ( ) ∅=∞−∞⇒>−≤− ;; 4104y01 ∩pp

Caso 2:

[ ) ( ) [ )414104y01 ;,; =−∞∞⇒<−≥− ∩pp

C.S. = [ ) [ )4141 ;; =∅ ∪

13.4 TABLAS DE SIGNOS Cuando se desea solucionar inecuaciones que involucran más de dos casos, puede recurrirse a la llamada tabla de signos, método abreviado del análisis. A continuación, se ilustrará el método mediante un ejemplo: Ejemplo 9

Encontrar el conjunto solución de: 04

62≥

−−+

xxx

La fracción está definida para 4≠x , por lo cual, desde ya se distinguen dos intervalos de estudio para la fracción: ( ) ( )∞∪−∞ ;; 44 . Para que la fracción sea mayor o igual a cero, debe cumplirse una de dos situaciones:

Que el numerador sea igual a cero o positivo y el denominador sea positivo ó

Que el numerador sea igual a cero o negativo y el denominador sea negativo



Caso 1: Cuando el numerador es igual a cero o positivo y el denominador es positivo:

04062 >−≥−+ xyxx La primera inecuación es equivalente a: ( )( ) 023 ≥−+ xx . Esto genera a su vez otras dos situaciones:

Que los dos factores sean positivos o alguno de los dos sea cero ó

Que los dos factores sean negativos o alguno de los dos sea cero

02y03ó02y03 ≤−≤+≥−≥+ xxxx Caso 2: Cuando el numerador es igual a cero o negativo y el denominador es negativo:

04062 <−≤−+ xyxx La primera inecuación es equivalente a ( )( ) 023 ≤−+ xx y genera nuevamente dos situaciones:

Que el primer factor sea positivo ó cero y el segundo factor sea negativo ó

Que el primer factor sea negativo ó cero el segundo factor sea positivo

02y03ó02y03 >−≤+<−≥+ xxxx Todo esto puede sintetizarse sobre la recta real en la siguiente forma:

– + + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0

+

( )4−x

( )3+x

( )2−x

( )( )4

23−

−+x

xx

–– – + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0

– – + + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0

+– – + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0

El resultado que muestra la última recta, debe interpretarse como que la fracción es mayor o igual a cero en los intervalos [ ] ( )∞− ;; 423 ∪



Ejercicios 13.2


1. 073 ≥−

x+x 2. 0

83 >

−+

xx 3. 2

810 <

x+x+ 4. 0

432

2

2≤

−

−+

xxx

5. ( )

02

12<

+x 6.

xxx 1

312 −≥

−− 7. 0

232

2

2≤

−+

−−

xxxx 8.

( )( )( ) 02

312≤

−

−+

xxx

13.5 INECUACIONES CON FRACCIONES Y VALOR ABSOLUTO

jemplo 10 E

Encontrar el conjunto solución de 352

<−

xx

Restricciones en la fracción: 0=x

Por la definición de valor absoluto se presentan dos casos:

aso 1: C Si 352052 <−⇒≥−

xx

xx

Con lo visto en secciones anteriores, puede encontrarse que: 052 ≥−

xx en ( ) ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∞− ;;250 ∪ y

que 352 <−x

x en ( ) ( )∞−−∞ ;; 05 ∪ .

C.S. Caso 1= ( ) ( ) ( ) ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞−∞−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞−∞−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∞− ;;;;;;

255

255

250 ∪∪∩∪

aso 2: C Cuando 352052 −>−⇒<−

xx

xx

Entonces: 052 <−

xx en: ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

250; y 352 −>−

xx en ( ) ( )∞−∞ ;; 10 ∪

C.S. Caso 2 = ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

251;



La solución final de la inecuación es:

C.S.= ( ) ⎟⎞⎜⎛⎟⎞

⎜⎛ ⎟⎞⎢

⎡ ∞−∞−= 5155 ;;; ∪∪ ⎠⎝⎠⎝ ⎠⎣ 22

C.S.= ( ) ( )∞−−∞ ;; 15 ∪

jemplo 11

ncontrar el conjunto solución de

E E

22 − x

Restricción para la fracción x = 2

12 ≥−x

( ) 222222 −−− xx

n verdadera, independiente del valor de la variable x se puede concluir que el C.S. =

11111212 ≥⇔≥−⇔≥−⇔≥− xx

Como se ha llegado a una ex ópresi

{ }2−ℜ

Ejercicios 13.3

Encontrar el conj e:

.

unto solución d

63 >−x

4. 1 03

>−x

1123

4 ≥+x

2. 213

3 ≥+

−x

3. 1

13.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables cuando por lo menos una de ellas es una fracción algebraica, consiste como en todos los casos anteriores, en encontrar los alores de las variables que hacen verdadera las dos ecuacionv es. Los métodos de solución on los mismos aprendidos para resolver sistemas lineales.

Ejemplo 12

Encontrar el conjunto solución para el sistema

s

⎪⎪⎩

−=− 532yx

Como en toda situación algebraica que involucra fracciones a

⎪⎪⎨

⎧ =+ 511yx

lgebraicas se debe analizar los valores para los cuales no están definidas las fracciones.



s dos ecuaciones se presentan las mismas restricciones 0y0 yx

étodo 1

Ahora se resuelve el sistema por el método de reducción

== Para la

M

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

−=−

−=−−

⇔

⎩⎪

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=+

532

1022

532

511

yx

yx

yx

yxyy

y=⇒=⇒−=−⇒

31

155155

⎪⎩

Para encontrar el valor de x, puede utilizarse cualquiera de las dos ecuaciones:

xxxxyx

=⇒=⇒=+⇒=+⇒=+2121531511511

1

3

De lo que se puede concluir que ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

31

21 , es la solución del sistema, ya que ninguno de estos

alores hace indeterminadas las fracciones.

étodo 2

dar solución al sistema de ecuaciones puede también utilizarse dos variables auxiliares, sí:

v M Paraa

yx, con lo cual se tendría el siguiente sistema equivalente: mz 11 == ,Sean:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+⇔

⎪⎩⎪

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=+

532

5

532

511

mz

mz

yx

yx

ado que el coeficiente de m es 1, fácilmente por sustitución se llega a la solución buscada: D

32

1132 ==⇔== yxmz ,;

ebe verificarse la solución antes de dar la respuesta. D Ejercicios 13.4

Encontrar el conjunto solución de los siguiente as:

1.

s sistem

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

−−

=+

+−

32

71

6

22

41

3

yx

yx 2.

⎪⎩=− 1

yx⎪

⎪⎪⎨

⎧ −=+

54

232yx





1. ( )

( ) 286 −x32

7231231

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−− xx

2. 1649

23

28

88

52 +=+−+

−+

−xxx

x

x

3.

2

( ) ⎟⎟⎞

⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−−−

232

23

12

13

10

132

32

2

2

xx

x

x

xxx 4.

⎠

( )babababa −++−b2baa −

++=−++ xxxx , a, b, constantes.

5. ( )cbaabc ++−= x , a, b, c, 6. ( )

1cabcab

−++ xxx

constantes. ( )nm2

p

nmnm312 +

=+−

+, m, n, p, constantes.

7. s paréntesis:

pp2 x

Resolver sin quitar lo

⎟⎞⎜⎛=+⎟⎞⎜⎛ 542 xx

8.

⎠⎝ −⎠⎝ − 11 xx43

541

1 2 −−=

−+−

+ xxxx

xx

9. 422 2 −−+ nnn

10. 412 =+−n 764978 222 −−−++ xxxxx

11.

2522 −−−=− xxx

12

2 = 1+

y

rar el conj e las siguiente s:

12.

Encont unto solución d s inecuacione

132 ≤+x 13. 052 <−x 14. 3x 02 23≤++ xxx 15.

1 2− x1−x12 <−x

16.

− x

023 ≥−x 17. 1−x

03 <− 18. 2 − x ( )

012< 19.

3+x c241−

≥

20.

c 373 −

09652<

+

−+−

xxxx 21.

124 2 +

( )( )0

21<

−+ xx 22. 3 − x

12

34 >− 23. 1 ++ xx

013 <+

4.

x

21

1 <−x

25. 01

2 >+

−x

26. 68 <−+x 27. 2

3x0

1≥

+x

r tabla de s ción de las sig nes:

(

1−x

o Encontrar p ignos el conjunto solu uientes inecuacio

28. )( ) 010

42>

++−

xx 29. x ( )( )

)( )( 022

≥−+ 30.

11

−+

xxxx ( ) 053

112 ≤+

++ x

xx



Resolver los siguientes problemas

La suma de un número y su inverso multiplicativo es . Hallar el número. 31. 5

ndrés y Carlos pueden hacer un trabajo juntos en 12 días. Cuánto requierel ce

33.

ara repartir la propaganda de su

34. 3 horas y mediando juntas?

32. A cada uno

s más que para hacer eCarlos?

trabajo separadamente sabiendo que Andrés necesita 1,5 ve

Paula necesita 45 minutos pnuevo supermercado. Sin embargo, si le ayuda su hermana Diana, sólo utilizarán 20 minutos. Cuánto tardaría Diana en entregar el pedido sola?

Una bomba puede vaciar una cisterna en . Otra la vacía encuánto tiempo v ciarán la cisterna trabajaa

35. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre

equivale a los 103 del número intermedio

36. La diferencia de dos números naturales es 8 y la de sus recíprocos es 772 .

los números?


#

4 horas . En

el menor

Cuáles son

$

263


“Los golpes de la adversidad son muy amargos pero nunca estériles” Joseph E. Renan

CAPÍTULO XIV

EXPONENTES RACIONALES

14.1 INTRODUCCIÓN 14.2 EXPONENTES RACIONALES 14.3 ECUACIONES IRRACIONALES EN UNA VARIABLE EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN


CAPÍTULO XIV

EXPONENTES RACIONALES

14.1 INTRODUCCIÓN En el Capítulo II, se estableció que la diferencia entre expresión algebraica y polinomio, está en el conjunto numérico al cual pertenecen los exponentes de la parte variable. A partir del Capítulo III hasta el XIII, se trabajó con álgebra en polinomios. En el presente capítulo se estudiará el álgebra en expresiones algebraicas.

Znmba ∈ℜ∈∀ ,, , se cumple que: nmnm bbb +=× ( ) nmmn bb =

( )nnn abba =× bb =2 Si : 0≠b

mnm

nb

bb −=

n

n

n

ba

ba

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

Si 0≠a :

nn

aa 1=−

10 =a

j Siempre que las raíces estén definidas, para a y b reales, n entero positivo, mayor que 1, se tiene que:

nnn abba =

nn

n

ba

b

a= , 0≠b

ZpyZqsiaa qp

q p ∈∈= +



14.2 EXPONENTES RACIONALES

La definición ZpyZq,asiaaq pq

p

∈∈ℜ∈= + es una herramienta importante que permite encontrar expresiones equivalentes que llevan a simplificar expresiones algebraicas. Ejemplo 1

Encontrar una expresión equivalente para 0236 472 ≥× yyxyx ,

yxyxyxyx 472472 236236 =× Propiedad de los radicales.

8672 yx= Propiedades de las potencias.

862332 yx= Descomposición en factores primos.

( ) 21

862332 yx= Definición de raíz.

28

26

22

23

32 yx= Propiedad de las potencias.

( ) ( ) 4323

32 yx= Simplificación de fracciones. ( )( ) 43322 yx= Definición de raíz. 4326 yx= Agrupación de términos. ¿Por qué y debe ser ≥ 0? En el Capítulo I se estableció que la raíz cuadrada está definida para números mayores o iguales a cero.

Ejemplo 2

Indicar las restricciones para x y y en 32

6

38⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−yx

Involucra una raíz cúbica, que está definida para todo real, por lo cual no hay restricción.

Hay una fracción cuyo denominador es una variable. Por lo tanto se requiere que , lo que implica que y = 0 es la restricción. 06 ≠−y



Para que esté definida la expresión dada, la única restricción es para y, que debe ser diferente de cero.

o Válida ya que x – 1≠ 0.

Ejemplo 3

¿En dónde está definida la expresión 112

−−

xx ?

Por definición de fracción, 101 ≠⇔≠− xx .

Por definición de raíz cuadrada:

( )( ) ( ) 1010

1110

112

−≥⇔≥+⇔≥−

+−⇔≥

−− xx

xxx

xx

La expresión está definida en [ ) ( )∞− 111 ∪; . Ejercicios 14.1

Indicar restricciones – si las hay – y simplificar:

1.

3

31

23

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−y

y 2. ( ) 222 −−− + yx

3. xxxxxx 333

279

107

41 ++ 4.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]231

2

32

231

2

4

2431331

+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

−

x

xxxx

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]2212

21

221

2

94

8942132294

+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−+

−

x

xxxx 6.

( )( ) 2

124

31

36

−

−

yx

yx

7. ( ) ( )( )54322341 −−−− − xxyxy 8. ( )( ) ( ) ( )( ) 5

38105

4132

43

1 −−−−−−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ xyxxy

9.

323

141

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

÷⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

zyx

z

xy 10. ( )yx

yx5

2323−

−−

11. ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )221

21

31

221

32

21

23

3232132

23

2323123

+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

−+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

−−

x

xx

x

xx



14.3 ECUACIONES IRRACIONALES EN UNA VARIABLE Una ecuación irracional es una ecuación cuya variable se encuentra dentro de un radical. En esta sección se trabajará únicamente con raíces con índice 2 o raíces cuadradas.

jaaa ∀=2

axaax ±=⇒≥= 02 , ℜ∉⇒<= xaax 02 , . Es decir, no hay solución en los reales.

o

x = 2 no es equivalente a 42 =x

Si se eleva al cuadrado a ambos lados de la igualdad, se tiene: 2ó242 −==⇒= xxx

Si bien se tiene que x = 2, aparece una nueva solución x = – 2, llamada “ solución extraña ”.

Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de: 1359 2 −=−− xx

La expresión involucra una raíz cuadrada, primero es necesario establecer las restricciones para la variable x.

35

95

95059 22 ≥⇔≥⇔≥⇔≥− xxxx

Entonces, la ecuación está definida para 35ó

35 −≤≥ xx .

Se procede ahora a resolver la ecuación:

xxxx 31591359 22 +−=−⇔−=−− Propiedad de la suma en igualdades.

( )22

2 3159 xx +−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒ Elevando al cuadrado.

16959 22 +−=−⇒ xxx Producto notable y propiedades de las

potencias.

x66 −=−⇒ Agrupación de términos.

x=⇒ 1 Propiedad de la multiplicación en igualdades



Por último, se verifica si la solución pertenece al conjunto en donde la ecuación está definida:

35ó

35 −≤≥ xx

Como351≥ , puede concluirse que:

C.S.= { }1 Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de 927114 −=− xx

Restricciones:

29092y

4110114 <⇒<−<⇒<− xxxx

Por lo tanto, ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−∉

29;x .

Solucionando algebraicamente:

( )

47215

43094

9249114

92711422

=

=

−=−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

x

x

xx

xx

⇒>29

47215 C.S. = { }

47215

Ejercicios 14.2


1. 1

214−

=−−+x

xx 2. 0122428-18 =+−−− xxx

3. 131

42

+

+=+

−

xx

xx 4.

3493462 −

=−−+x

xx

5. 02217 =+−−++ xxx 6. 232109 −=+−+ xxx



7. Considerar la ecuación . ¿Para qué valores de c las soluciones r082 =+− cxx 1 y r2 de la ecuación cumplen ? 343 21 =− rr

8. En un trapecio ABCD, las bases AB y CD son perpendiculares a AD; además DC es

8cm mayor que BC y 4cm menor que AB. Hallar las longitudes de los lados si el perímetro es 38cm.


Simplificar:

1. ( )ba

ba++ −1

2. ( ) 12222 −++ yxyx

3. 33

31

248 a

a 4.

4

315

221

221

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

aaxa

ax

xa

5. 54

3 3105 125 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ zyx 6. 4

8

4

x

xxx ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

rar el conjunto solución de:

7.

Encont

27

= 43 −x 8. 123 +−=+ aa

9. 34 −

=− ww

74 ++ ww 10. 56235 −=−+− zzz

11. xxx +=−− 532



“Satúrate completamente de la materia… y espera” Lloyd Morgan

CAPÍTULO XV

EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

15.1 INTRODUCCIÓN 15.2 ECUACIONES EXPONENCIALES 15.3 LOGARITMOS 15.4 ECUACIONES CON LOGARITMOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN


CAPÍTULO XV

EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

15.1 INTRODUCCIÓN Existe en matemáticas otro tipo de expresión relacionada con la potenciación pero no considerada algebraica porque la variable aparece en el exponente de la potencia. Su forma general es , siendo c una expresión algebraica en términos de la variable x con

ca

0≠ℜ∈ aa ,

Puesto que , una expresión algebraica en x representa un real, por lo tanto todas las propiedades de la potenciación son aplicables para este tipo de expresiones.

ℜ∈x

15.2 ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación donde las variables se encuentren en el exponente, es llamada ecuación exponencial.

j

010 ≠= aa ,

00 no está determinado

En este tipo de ecuaciones se establece una propiedad adicional para las potencias, siempre y cuando ellas estén definidas:

vuaa vu =⇔= . La solución de ecuaciones exponenciales se ilustrará con ayuda de un ejemplo:



Ejemplo 1 Hallar el conjunto solución de: 1255 =x

( ) 3551255 3 =⇔=⇔= xxx El conjunto solución para la ecuación será: { }3

En este punto, ya debe ser una costumbre verificar la solución de la ecuación antes de determinar el conjunto solución.

Se espera que el estudiante haya adquirido una gran habilidad operativa.

E

D

C

E

1

4

E

&
jemplo 2
eterminar el conjunto solución de: 82212

=−+x

xx

x

Como el exponente es una fracción, exige que el denominador no sea cero. Por lo tanto, la ecuación está definida para todo x ≠ 0.

Resolviendo:

31222822 31212

=−++⇔=⇔=−++−+

xxxx

xx

xx

xx

x

1312312 =⇔=+⇔=+⇔ xxx

xx

omo la solución x = 1 no es una restricción, el conjunto solución es: { }1

mnmn aaaa +=+ , si n ≠ m nmn aaa 2=+ , si n = m

a mnmn aa +=+

jercicios 15.1

Resolver las siguientes ecuaciones:

. xx 255 32

=− 2. ( ) ( ) 02521 =−+ −− xxx 3. 212 13 =−x

. 00805 13 ,=−x 5. 132508 −= xx ,



15.3 LOGARITMOS

j bacb =⇔=log 010 >

ca ≠> baa ,,

tmos cuyo argumento b es un entero negativo o cero, no está

Los logaritmos para bases negativas no están definidos.

Los logaridefinido.

Dado que la logaritmación es una de las operaciones inversas de la potenciación, sus

apropiedades se deducen partir de las definidas para los exponentes. Para todo 100 ≠>>ℜ∈ aanman ,;,,,, :

Propiedad del producto: ( ) nmmn logloglog += .

Propiedad del cociente:

m

aaa

nmnm

aaa logloglog −=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ .

Propiedad de la potencia: ( ) ( )mnm n loglog = .

on la definición, se establecen otras propiedades:

0>= xxa xa ,log

os

o de Bringgs. Se acostumbra denotarlos como: loglog = , sin hacer explícita la base.

o e ≈ 2.7183..., conocidos como logaritmos naturales. Se simboliza como: lnlog =e .

jemplo 3

s propiedades de los logaritmos, encontrar una expresión equivalente para:

⎠⎝

aa

C base en

( ) xa xa =log .

L logaritmos más utilizados son:

Logaritmos de base 10, conocidos como logari unes, decimales, vulgarestmos com10

Logaritmos en base e, número irracional de valor aproximad

E Utilizando la

⎟⎟⎠

Lo primero que se d

⎞⎜⎜⎝

⎛13

49 2x

e sentido la expresión. Por lo tanto:

log

ebe encontrar es el conjunto en el cual tien

00049049 22

2≠⇔>⇔>⇔> xxx

x 13



De lo anterior se concluye que la expresión ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13

49 2xlog tiene sentido 0≠ℜ∈∀ xx ,

A continuación se utilizan las propiedades de los logaritmos para encontrar un expresión

equivalente a la dada:

( ) ( ) 137213713

713

49 2222

loglogloglogloglog −=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xxxx

( ) 132721372 loglogloglogloglog −+=−+= xx

Ejemplo 4 Encontrar una expresión equivalente a ( )[ ]3exln

Restricciones:

( ) 000e0e 3333 >⇔>⇔>⇔> xxxx La expresión está definida para 0>x

( ) ( ) [ ] ( ) xxxxx lnlnlnlnlnln 3313e3e3e 3 +=+=+==

15.4 ECUACIONES CON LOGARITMOS La utilización de los logaritmos es una herramienta que ayuda a resolver ecuaciones con exponenciales y logaritmos, para cuya solución se hace uso de las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 5 Establecer el conjunto solución de: ( ) 31 3

4 =+xlog

Restricciones:

( ) 10101 3 −>⇔>+⇔>+ xxx La ecuación está definida para todo ( )∞−∈ ;1x .

Propiedad de las potencias en logaritmos. ( ) ( ) 31331 43

4 =+⇔=+ xx loglog

( ) 114 =+⇔ xlog Propiedad de la multiplicación en igualdades.



141 +=⇔ x Definición de logaritmo.

x=⇔ 3 Agrupación de términos.

3=x es solución de la ecuación ya que 3 ( )∞−∈ ;1 , por lo que se puede concluir: C.S.= { }3 .

Ejemplo 6

Encontrar el conjunto solución de 6423

77 loglog =x .

La ecuación está definida para todo x > 0

( ) 5126464646423 32

323

7777 =⇔=⇔=⇔=⇔= xxxxx loglogloglog Como 512 > 0, el conjunto solución es { }512

Ejemplo 7 Encontrar el conjunto solución para: . ( )( ) ( 32 xx loglog = )

La ecuación está definida para todo x > 0.

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 033 2232 =−⇔=⇔= xxxxxx loglogloglogloglog

( ) ( )( ) 3ó003 ==⇒=−⇔ xxxx loglogloglog

Si 1100 0 =⇔=⇔= xxxlog

Si 0001103 3 .log =⇔=⇔= xxx Las soluciones x = 1 y x = 1.000, son positivas, por lo cual el conjunto solución es:

C.S. = { }00011 .,

( nma +log ) no tiene expresión equivalente.

( ) nmnm aaa logloglog +=+

( )nma −log no tiene expresión equivalente.

( ) nmnm aaa logloglog −=−

yx

yx

a

a

a

aloglog

loglog

= yx

yx

a

a =loglog

( ) xx aa loglog 22 = ( ) ( )22 xx aa loglog =



Ejercicios 15.2

Simplificar las siguientes expresiones usando las propiedades de los logaritmos: 1. 324log 2. ( ) ( )xx ee 22 1 lnln −+

3. 10099

9998

43

32

21 logloglogloglog +++++ ... 4. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + b

ccbaa xx loglog

Teniendo pp , encontrar:

5. p 6.

862 173 2 .log.log == ByA

Blog ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ B

p

3log

⎠⎝ A

iones:

Resolver las siguientes ecuac

7. ( ) 2216 88 =−+ xloglog 8. ( ) ( ) 25735 =−+x lolog 5 −xg

9. ( ) ( ) 2163 22

2 =−−+− xxx loglog 10. ( )22 xx loglog =

11. ( ) ( ) 40112 logloglog =+++− xx 12. ( )( ) = 0248 xlogloglog

3. ( ) ( ) 053212 2 =−+−− xxx loglog 14. 344 xx loglog = 1


conjunto so

3+ ++ xx

Encontrar el lución de:

1. =22 222 2. 31−−

+x

x 2

12 2142 = 3. 2

533 =− −xx

4. xxx e3e =+ ln 5. =x 4e− x

7.

32 ee 6. 3310 10 =xlog

21134 =−x 8. 0224 −+x loglog =xln 9.

. ( ) xxx=−

ln52 11. xlnlnln

( ) xxx lnlnln =

=+ 327 12. ( )⎪

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=−

=−

14

243

12

5

23

zx

zy

yx

log

rar el conjunto solu s inecua

+− 14.

10⎪⎩− 5

Encont ción de las siguiente ciones:

( ) 25231 −<+xlog 15. 2433 >− xlog 13. 323 22 < xx



Demostrar:

16. xx bb loglog −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 1 17. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−−

−+ 121

1 2

2

2xx

xx

xx loglog

Analizar: 18. Encontrar el error en la siguiente dem

ostración:

3 > 2

212

213 1010 loglog >

2

221 ⎟

⎠⎞

⎝>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ loglog 10

310

1⎜⎛

2

2 ⎟⎠

⎜⎝⎛>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

3

211 ⎞

41

81 >



“La mayoría de las personas gastan más tiempo y energía en hablar de los problemas que en afrontarlos” Henry Ford

CAPÍTULO XVI

FUNCIÓN COORDENADA

16.1 INTRODUCCIÓN 16.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

CARTESIANO 16.3 CIRCUNFERENCIA UNITARIA 16.4 LONGITUDES DE ARCO 16.5 FUNCIÓN COORDENADA 16.6 FUNCIÓN COORDENADA PARA ARCOS

ESPECIALES 16.7 FUNCIÓN COORDENADA PARA MÚLTIPLOS DE

ARCOS ESPECIALES 16.8 ARCOS DE REFERENCIA EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

CAPÍTULO XVI

FUNCIÓN COORDENADA

16.1 INTRODUCCIÓN Antes de definir la función coordenada es preciso establecer las expresiones algebraicas correspondientes a dos conceptos geométricos:

La distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano La circunferencia unitaria.

j

Un punto en el plano cartesiano se representa como una pareja ordenada ( x, y ).

Dos puntos en un mismo plano determinan una recta.

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

longitud de la hipotenusa es igual la suma de los cuadrados de las magnitudes de los catetos.

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos

equidistantes de un punto fijo llamado centro.

El radio es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto sobre ella.

La cuerda es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera

sobre la circunferencia. Si la cuerda contiene el centro de la circunferencia, se llama diámetro.

Un arco es una parte continua de una circunferencia.

La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es una

constante llamada I∈π .La longitud de una circunferencia (perímetro) es igual a rπ2



16.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

A=( x1, y1 )

B=( x2, y2 )

⎥ y1 – y2⎪

⎥ x1 – x2⎪

d

x

y Dados dos puntos cualesquiera ( )11 yxA ,= y ( )22 yxB ,= , la distancia d entre ellos puede

deducirse a partir de un análisis gráfico: Si se traza una paralela al eje x que pase por el punto B, una paralela al eje y que pase por el punto A y si se unen los puntos A y B mediante un segmento de recta, se da lugar a un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa corresponde al segmento de magnitud d, y cuyos catetos son de magnitud 21 yy − y de 21 xx − .

Por el teorema de Pitágoras y por las propiedades del valor absoluto estudiadas en el capitulo 4, se concluye que:

( ) ( ) ( ) ( )221

221

221

221

2 xxyydxxyyd −+−±=⇔−+−=

Dado que d es una magnitud, se tiene que

( ) ( )2212

21 xxyyd −+−=

16.3 CIRCUNFERENCIA UNITARIA Considerando una circunferencia con centro en O = ( )00, y radio 1, un punto A = (

(-1,0) (1,0)

(0,–1)

(0,1)

y

x

A=( x, y )

O=(0,0)

d

)yx , del plano se encuentra sobre la circunferencia si d (O,A) = 1

( ) ( ) ( ) 2222 00 yxyxAOd +=−+−=,

22222 11 yxyx +=⇔+= Por lo tanto la ecuación de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen es . Esta circunferencia es llamada circunferencia unitaria

122 =+ yx



16.4 LONGITUDES DE ARCO

P

- s

s

y

x(1,0)(-1,0)

(0,-1)

(0,1)

Q

La longitud de un arco, por ser longitud, es una cantidad positiva. Sin embargo, el signo más ( + ) y el signo menos ( – ) se utilizan para identificar el sentido en que se mide: Signo ( + ): Cuando se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. La longitud del arco entre el punto ( )01, y el punto P es s. Signo ( – ): Cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj. La longitud del arco entre el punto ( )01, y el punto Q es –s.

Si un arco se genera a partir del punto ( )01, en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se dice que el arco está en su forma estándar. Si se recorre la circunferencia en el sentido contrario a las manecillas del reloj, partiendo del punto ( 1, 0 ), hasta completar una vuelta, la longitud del arco recorrido es π2 , ya que dicha magnitud corresponde al perímetro de la circunferencia de radio 1. Si se realiza el mismo recorrido pero en el sentido de las manecillas del reloj, la longitud del arco se representa como . π−2 Ejemplo 1 ¿Cuánto mide el arco del círculo unitario en un cuadrante? Si la longitud de arco al dar una vuelta completa es de π2 y se tienen 4 cuadrantes cada uno

de los arcos medirá 22

142 π=π=π

Puede existir un arco de longitud π3 ?

)

La respuesta es afirmativa, puesto que π+π=π 23 lo que significa que un arco de longitud π3 se obtiene al dar una vuelta completa ( y media vuelta más )π2 ( )π en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

Ejempl ¿En qué

Tomando

284

E

o 2

cuadrante se encuentra el punto terminal de un arco de longitud 4

1233π ?

el arco dado y expresándolo en términos de vueltas completas:

( )4

21544

3084

1233 π+π=π+π=π



Lo anterior indica que un arco de longitud 4

1233π corresponde a dar 154 vueltas completas

en sentido contrario a las manecillas del reloj y 4π de vuelta más, por lo tanto el punto final

del arco se encuentra en el primer cuadrante.

Ejemplo 3

¿En qué cuadrante se encuentra el punto terminal de un arco de longitud 5 ? E

)

Si una vuelta completa equivale a una longitud de arco de π2 y

se tiene: 14163,≈π

Una vuelta completa ( )π2 equivale a un arco de longitud aproximada de 6,2832

Tres cuartos de vuelta ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ equivale a una longitud de arco aproximada de 4,7124 π

23

Como se tiene que 4,7124 < 5 < 6,2832 se puede concluir que el arco de longitud 5 tiene punto terminal en el cuarto cuadrante.

Puede observarse entonces que no es necesario expresar todo arco en términos de π , para ubicarlos sobre el círculo unitario. De la misma forma, cualquier número real tiene asociada una longitud de arco.

16.5 FUNCIÓN COORDENADA Si a cada longitud de arco medido en su forma estándar sobre la circunferencia unitaria se le asigna el punto de coordenadas ( )yx , correspondiente al punto final del arco, se tiene una función que se conoce con el nombre de función coordenada y cuya representación simbólica es:

( ) ( )yxs ,coor =

De acuerdo con la conclusión de la sección anterior, a cualquier número real le corresponde una longitud de arco sobre la circunferencia unitaria, por lo tanto se puede establecer que el dominio de la función coordenada es el conjunto de los números reales . ℜ

Como la función coordenada se define sobre la circunferencia unitaria, los puntos

terminales del arco ( )yx , , deben cumplir con la condición . El rango de la función coordenada es por lo tanto,

122 =+ yx

( ){ }122 =+ yxyx ,



A un punto sobre la circunferencia unitaria en una vuelta le corresponden dos longitudes de arco.

s2

s1

y

x(1,0)(-1,0)

(0,-1)

(0,1)

PPor ejemplo, en la figura se observa que P es el punto terminal del arco s 1 medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj y del arco s 2 medido en el sentido de las manecillas. Dado que ( ) ( )21 ss coorcoor = y s 1 ≠ s 2, se dice que la función coordenada no es uno a uno.

En la gráfica que se muestra a continuación, puede verse que:

( ) ( ) ( )π+== 2121 sss coorcoorcoor , lo cual podría ser igual a:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )π+=π+=π+=π+ 236224 1111 ssss coorcoorcoorcoor

Cada una de estas expresiones involucra un número natural que multiplica a π2

s2

s1 P

y

x

Podría encontrarse un número entero negativo cumpliendo estas funciones? Si así fuera, cómo puede interpretarse?

s3

s1 P

y

x

Con lo visto anteriormente, puede suponerse que por llevar un signo negativo, debe tratarse de un arco medido en el sentido de las manecillas del reloj. El arco s 3 en la gráfica cumple que:

( ) ( )13 ss coorcoor = lo cual significa que en términos de s 1,

13 2 ss +π−= por lo tanto:

( ) ( )( ) ( )π−=−π−= 22 113 sss coorcoorcoor



Así mismo, cada vez que se aumente una vuelta en el sentido de las manecillas, se obtendrá un número entero negativo multiplicando a π2 . Este análisis permite generalizar para cualquier arco s, y cualquier entero k:

( ) ( )( )ss +π= 2kcoorcoor En general, cualquier función que cumple con que ( ) ( )tkff += xx , se dice que es una función periódica, y que tiene período t. La función coordenada tiene entonces un período de π2 . Ejemplo 4 Determinar ( ) ( ) ( )π⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π 2

23

20 coor,coor,coor,coor,coor .

a. ( ) ( )010 ,coor = b. ( )102

,coor =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π c. ( ) ( )01 ,coor −=π

d. ( )102

3 −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π ,coor e. ( ) ( )012 ,coor =π

Ejemplo 5 Encontrar el valor de ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

211coor

( )10

234

23

211 −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π ,coorcoorcoor

: Ejemplo 6 Hallar ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

251coor ?

Se observa que :

El arco dado es negativo lo que indica que éste se tomará a partir del punto ( )01 , en sentido de las manecillas del reloj.

El arco de ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π=π+π=π

23122

2324

251 , lo que significa que el arco

251π− se obtiene al dar

12 vueltas completas en el sentido de las manecillas del reloj más ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

23 , por lo tanto el

arco tiene su punto final sobre el eje y en su parte positiva, lo que lleva a establecer que

( 102

51 ,coor =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π− )



Ejercicios 16.1

Encontrar el valor de la longitud del arco sobre el círculo unitario para:

1. 214+π vueltas 2. 4

2+π vueltas

3. 32

3 +π vueltas en sentido contrario a las manecillas del reloj

Analizar:

Cuál es el dominio y el rango de la función coordenada? 4.

. coor(t) y coor(-t) si t ∈ R

6.

Qué relación hay entre ? 5

Hallar:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

25coor 7. 8. ( )π−5coor ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

21861coor

En qué cuadrante está la imagen de 9. ( )2coor 10. ( )73.coor − 11. ⎟

⎠⎜⎝

16coor ⎞⎛ −3

12. ⎟⎠⎞⎜

⎝ 3coor

3.

⎛14

1 ( )3−coor 14. ( )17,coor − 15. ( )4coor 16. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

29coor

16.6 FUNCIÓN COORDENADA PARA ARCOS ESPECIALES

j

En una circunferencia, cualquier diámetro es eje de simetría. de la circunferencia unitaria con r = 1 y centro en La ecuación ( )00, es

Un punto sobre la circunferencia tiene coord

122 =+ yx

enadas ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−1 xx ,

en el cuadrante I o en el cuadrante

⎞⎛ 2 si está

II, y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 21 xx , si está en el

tremos

Cuerdas que subtienden arcos congruentes son congruentes.

cuadrante III o en el cuadrante IV. Simetrías en el plano. Sección 5.3 Cuerda de una circunferencia es un segmento que tiene sus ex

en dos puntos de ella.

Encontrar las coordenadas de los arcos , ,ππ2

2y

2, fue fácil. Pero, cómo encontrar las

coordenadas de arcos de longitud diferente?

3ππ



Los arcos de longitud 6

ó34

πππ , se consideran arcos especiales gracias a que su ubicación

exacta en la circunferencia unitaria es relativamente fácil, ya que surgen cuando se inscribe un polígono de 4, 6 o 3 lados de forma conveniente, así:

x 4π

y 6

π

3π

y

x

6π

−

x

y

Cuál es el valor de ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

4coor ?

En primer lugar, a partir de lo visto en la sección 18.5, se sabe que la longitud de un arco que cubre un cuadrante es

2π . Un arco de longitud ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=π

221

4 por lo tanto el punto terminal P

del arco de longitud 4π se encuentra en el punto medio del arco que cubre el primer

cuadrante. Puede entonces establecerse que:

Por la simetría del círculo el punto P tiene como coordenadas ( ) ( )xxyx ,, = .

Como P se encuentra sobre el circulo unitario se tiene que : 122 =+ yx Lo anterior lleva a:

22

21

211211 222222 ±=⇒±=⇒=⇒=⇒=+⇒=+ xxxxxxyx

Como el punto P se encuentra en el primer cuadrante el valor de x es positivo lo que implica que de las soluciones obtenidas anteriormente, se descarta el

valor de 22−=x .

Luego, el valor de la abscisa del punto P es 22 .

Para encontrar el valor de la ordenada:

Como

21

142

122

1 222

22 ±=⇒=+⇒=+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇒=+ yyyyx

4π

4π

y= x

P x

y

Nuevamente por estar P en el primer cuadrante se descarta el valor negativo de y,.

obteniendo para la ordenada de P el valor de 22 , concluyendo que ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

22

22

4,coor



Ahora, cómo se podrá encontrar ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

3coor ?

Sea ( )01,=R ; ( )yxQ ,= , el punto terminal del arco

3π . P es

el punto terminal del arco 3

2π . Entonces, ( )yx ,coor −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

32

por la simetría del círculo respecto al eje y. El arco es igual al arco por lo cual sus cuerdas son iguales. Por la fórmula de la distancia entre dos puntos, se tiene que:

3π

3π

R

y

x

P Q

( ) ( )Q,PdR,Qd =

( ) ( ) ( )( ) ( 2222 01 yyxxyx −+−−=−+− )

( ) ( ) ( ) 022442101 22

1

222222 =−+⇔=++−⇔++=+− xxxyxxxxyx

( ) ( )( ) 1ó210121220122 2 −==⇒=+−⇔=−+⇔ xxxxxx

Como el punto ( yx ,coor =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

3) se encuentra ubicado en el primer cuadrante el valor de x debe

ser positivo, por lo tanto se descarta el valor negativo obtenido como solución de la ecuación. Ahora para encontrar el valor de y puede usarse el hecho de que el punto se encuentra sobre la circunferencia unitaria por lo cual.

411

2111 22222 −=⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=⇒−= yyxy

23

43

432 ±=⇒±=⇒=⇒ yyy

Nuevamente como ( yx ,coor =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

3) está en el primer cuadrante el valor de y debe ser positivo

por lo tanto se descarta la solución negativa.

Lo anterior lleva a concluir que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

23

21

3,coor .

QP RQ

o Porque se está trabajando en el círculo unidad.



Cómo encontrar ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

6coor con un procedimiento

similar al anterior?

3π

6π

S

R

Q

P

y

x

6π−

De acuerdo con la gráfica, se debe encontrar el valor de la abscisa y la ordenada del punto Q, que es el punto terminal del arco ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

6.

Sea ( )yxQ ,= y su simétrico con respecto al eje x, ( )yxR −= , . Como entonces es ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

3 y dado que es ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

3 puede

concluirse que ( ) ( )QPdRQd ,, = .

= + mQRmQR mQS mSR

mPQ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222222 21421210 yyxyyyxyyxyyxx +−+=⇔+−+−=⇔−+−=−−+−

( ) ( )( )21ó1012101220224124 22

1

222 =−=⇒=−+⇔=−+⇔=−+⇔+=−+⇔ yyyyyyyyyxyy

Como el punto Q se encuentra en el primer cuadrante, el valor de y es positivo. Por lo tanto, de las dos soluciones de la ecuación sólo es válido para la ordenada de Q el valor

21 .

Para encontrar el valor de la abscisa, se reemplaza en la ecuación de la circunferencia

unitaria el valor de y: 23

4111

21 222 ±=⇔−=⇔=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+ xxx . Nuevamente, como Q está en

el primer cuadrante el valor de x buscado es23 . Por lo tanto, podemos concluir que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

21

23

6,coor

16.7 FUNCIÓN COORDENADA PARA MÚLTIPLOS DE ARCOS ESPECIALES Una vez hallados los valores de la función coordenada para arcos especiales en el primer cuadrante, es fácil encontrar la función coordenada para los múltiplos de dichos arcos aplicando las simetrías de la circunferencia. Si se divide el arco correspondiente a media circunferencia, en cuatro partes iguales, cada arco medirá

4π . Para el primer arco, se hallaron las coordenadas en la sección anterior y se

encontró que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

22

22

4,coor . Con base en éste se determinarán las coordenadas de los

arcos múltiplos impares de 4π :



( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

22

22

43

11 ,,coor yx , puesto que el

punto ( )11 yx , es el simétrico del punto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

22 , respecto del eje y.

(x3,y3) (x2,y2)

y

x

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

22

22 ,

(x1,y1)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

22

22

45

22 ,,coor yx , ya que éste

es el punto simétrico de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

22 , con

respecto al punto ( )00, .

)Puesto que el punto es el simétrico

del punto

( 33 yx ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛ respecto del eje x, ⎝ 2

222 ,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

22

22

47

33 ,,coor yx .

Las coordenadas de los arcos múltiplos pares de

4π , coinciden con las coordenadas de

los cortes de la circunferencia con los ejes x e y. De esta forma, se tiene que:

( )1024

2 ,coorcoor =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π ; ( ) ( )01

44 ,coorcoor ; −=π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

( 10

23

46 −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π ,coorcoor ) ; ( ) ( )012

48 ,coorcoor =π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

Ejemplo 7 Encontrar ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

415coor .

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

415coor puede expresarse como ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

47

472

415 coorcoorcoor por la periodicidad de la

función coordenada. Por lo tanto, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

22

22

415 ,coor

. Ejemplo 8 Determinar ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

45coor :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

22

22

43

45 ,coorcoor



Los arcos múltiplos de 6π pueden determinarse con un procedimiento similar al desarrollado

para encontrar los arcos múltiplos de 4π . Gráficamente, se puede visualizar:

D

C

B

A

W

VU

T

S

R Q

P

y

x

6π

Al observar la gráfica anterior se tiene que la circunferencia unitaria se encuentra dividida en

12 arcos iguales por lo tanto la medida de cada arco tendrá una medida igual a 612

2 π=

π

Conocido el valor ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

21

23

6,coorPcoor , se analizan las simetrías sobre la

circunferencia y se tiene:

Simetría Longitud del arco

Punto de Referencia

Punto d e análisis Tipo Arco Longitud Valor de la Función

Coordenada

S Axial: Con respecto al eje y. AS 65π ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

21

23

65 ,coor

T Central: Con respecto al punto ( )00, . AT 6

7π ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

21

23

67 ,coor

W Axial: con respecto al eje x. AW 611π ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

21

23

611 ,coor

P

Q Axial: Con respecto a la recta xy = . AQ 36

2 π=π ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

23

21

3,coor

R Axial: Con respecto al eje y. AR 32

64 π=π ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

23

21

32 ,coor

U Central: Con respecto al punto ( )00, . AU 3

46

8 π=π ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π ,,coor

23

21

34 Q

V Axial: Con respecto al eje x. AV 35

610 π=π ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π ,,coor

23

21

35



Para los puntos que se encuentran sobre los ejes se tiene:

B: ( )1026

3 ,coorcoor =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π C: ( ) ( )01

66 ,coorcoor −=π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

D: ( )102

36

9 −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π ,coorcoor A: ( ) ( ) ( )0102

612 ,coorcoorcoor ==π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

Ejemplo 9

Calcular el valor de ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

367coor .

Dado que la función coordenada tiene período π2 , se establece:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

23

21

33211

322

367 ,coorcoorcoorcoor

Ejemplo 10 Encontrar ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

643coor .

Por la periodicidad de la función coordenada: ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

67

676

643 coorcoorcoor

El arco

67π tiene su punto terminal en el tercer cuadrante y es el simétrico de

6π con respecto

al punto ( )00, . En consecuencia, las coordenadas de 6

7π serán los opuestos aditivos de las

coordenadas del punto terminal del arco 6π , es decir ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

21

23

643 ,coor

Ejemplo 11 Determinar el arco de referencia para ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

435coor y para ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

639coor .

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

43

4324

435 coorcoorcoor . Pero el arco

43π no se ubica en el primer cuadrante.

Es el simétrico con respecto al eje y del arco 4π . Lo que significa que para determinar las

coordenadas del arco 4

35π se toma como referencia el arco 4π .

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

2213

639 coorcoorcoor . En este caso, no hay arco de referencia, puesto que

se trata de un arco con punto terminal sobre el eje y.



Ejemplo 12 Encontrar el valor de ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

31861coor

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−π−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

23

21

332310

31861 ,coorcoorcoor

Ejemplo 13 Determinar ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

89coor , si se sabe que ( )380920

8,;,coor =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

El punto terminal del arco ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

89 se encuentra en el segundo cuadrante y es el simétrico de

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

8. En consecuencia, ( )380920

89 ,;,coor −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π− .

16.8 ARCOS DE REFERENCIA Los arcos del primer cuadrante a los cuales se recurre para analizar los arcos de otros cuadrantes a partir de las simetrías, son llamados arcos de referencia. Para determinar el arco de referencia, se halla el arco en sentido positivo entre el punto terminal del arco y el punto más próximo de corte entre el círculo unitario y el eje horizontal. Los arcos de referencia se representarán como sr.

sr s s

sr

sr

s s

sr

Para arcos en el primer cuadrante, el arco de referencia es el mismo arco: .. ssr =

Para arcos en el segundo cuadrante, . ssr −π=

Para arcos en el tercer cuadrante, . π−= ssr

Para arcos en el cuarto cuadrante, . ssr −π= 2



Ejemplo 14 Determinar el arco de referencia de

67π .

El arco de

67π tiene su punto terminal en el tercer cuadrante, por lo cual el arco de referencia

será:

667 π=π−π=rs

Ejemplo 15

Cual es el arco de referencia de un arco de longitud 5?

Como se vio en el ejemplo 3 de la sección 18.4, un arco de longitud 5 termina en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, su arco de referencia se calcula como:

281528652 .. ≈−≈−π=sr

Ejercicios 16.2

En cada caso encuentre el par ordenado y represente el arco correspondiente en la circunferencia unitaria.

1. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

613coor 2. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

4coor 3. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

49coor 4. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

65coor

5. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

37coor 6. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

427coor 7. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

613coor 8. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

319coor

Sabiendo que ( ) ( )960; ,3105

2 ,π ≅coor , determinar s si: ( ) ( )960;310 ,, s −−≅coor9. ( ) ( )960;310 ,,s −≅ coor 10. 11. ( ) ( )960;310 ,, s −=coor


Analizar:

1. El punto ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

32

31 , pertenece al rango de la función coordenada? Justificar.

2. Cuál es el valor de α con 02 <α≤π− tal que ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π=α

67coorcoor .



Para qué valor de s con π≤≤ 20 les se cump : 3. ( ) ( )xxs ,r = 4. coo ( ) ( )x 5. ( ) ( )xxs ,coor −=

si es verdade 6.

xs −= ,coor

Diga ro o falso y por qué:

( ) ( )012 ;coor =π ( ) ( )yx −−=π+α ,coor 8. ( )xy ,coor =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ α−π

2 7.

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

665 coorcoor ( ) ( )yx ,r =π−α 200 10. 9. coo

11. Si ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−=π−α⎟⎠

α1313

, entonces 3

;coor,coor ⎞⎛⎞⎜⎝⎛−= 511

15

1311 ;

)

( Si ( ) ts coorcoor represe s puntosnta la distancia entre lo ( ) ( )ts coorcoor entrey , encu :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

313

427 coorcoor 12. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

6coor 13. ( )

35coor ( )π2coor 14. πcoor

( ) Si ⎟⎞⎠⎝

=1312

13,coor , deter in

.

⎜⎛− 5 ms ar:

15 ( ) s−πcoor 16. ( ) s+πcoor 17. ( ) s−coor 18. ( ) 2 s+πcoor 19. ( ) 2 s−πcoor

Encontrar el valor de a si:

.

20 ( ) ( )aas ,coor 2= y s está en el III cuadrante. 21. ( ) ⎟

⎠⎜⎝

=aa

s ,coor y s está en el I cuadrante. ⎞⎛ 43

Analiza 22. En una prueb ó determinar el cuadrante en que estaba ubicado un arco de

longitud scribió lo siguiente:

ea

r:

a se pidi5 y un estudiante e S

21,57

π aproximadamente

Ahora 5715,

es 3,18

Por lo tanto el arco de longitud 5 está en el tercer cuadrante.

Qué nota le pondría usted y por qué?



“Preciso es encontrar lo infinitamente grande en lo infinitamente pequeño, para sentir la presencia de Dios” Pitágoras

CAPÍTULO XVII

FUNCIÓN CIRCULAR

17.1 INTRODUCCIÓN 17.2 FUNCIÓN y=sen ( s ) 17.3 FUNCIÓN Y = Asen(x) 17.4 FUNCIÓN y=sen(x)+D 17.5 FUNCIÓN y=sen( x + C ) 17.6 FUNCIÓN y=sen ( Bx ) 17.7 FUNCIÓN y= Asen( Bx + C) + D 17.8 FUNCIÓN y = cos (x) 17.9 FUNCIÓN y = tan (x) 17.10 FUNCIÓN y = cot (x) 17.11 FUNCIÓN y = csc ( x ) 17.12 FUNCIÓN y = sec ( x ) EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN


CAPÍTULO XVII

FUNCIÓN CIRCULAR

17.1 INTRODUCCIÓN Una vez estudiada la función coordenada, es posible establecer relaciones entre un arco dado y una de las coordenadas de su punto terminal o entre el arco dado y relaciones aritméticas de dichas coordenadas. como se muestra a continuación:

Seno: Si se relaciona un arco s sobre la circunferencia unitaria con el valor de la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:

( ) bs =sen , si ( ) ( )bas ,coor =

Coseno: Cuando se relaciona un arco s sobre la circunferencia unitaria con el valor de

la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:

( ) as =cos , si ( ) ( )bas ,coor =

Tangente: Asociando al valor de un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la ordenada y la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:

( )

abs =tan , si ( ) ( ) 0con ≠= abas ,coor

Cosecante: Relación entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor recíproco

de la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:

( )b

s 1=csc , si ( ) ( ) 0con ≠= bbas ,coor

Secante: Correspondencia entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor

recíproco de la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:

( )a

s 1=sec , si ( ) ( ) 0con ≠= abas ,coor



Cotangente: Asocia a un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la abscisa y la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:

( )

bas =cot , si ( ) ( ) 0coor ≠= bbas ,

Tal como ocurrió en la Función Coordenada, donde a cada arco se le asocia una y sólo una pareja sobre la circunferencia unitaria, cada una de las seis relaciones anteriores, conserva la condición de un único valor asociado a un arco dado, lo cual permite concluir que todas ellas son funciones y que por estar definidas con relación a las longitudes de arco del círculo unitario – que son en realidad números reales –, son denominadas funciones circulares. Definidas estas funciones, puede decirse que un punto sobre la circunferencia unitaria, cuyas coordenadas son ( )yx , , es posible expresarlo como ( ) ( )( )ss sen,cos , y la correspondiente ecuación de la circunferencia se expresaría como:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 111 222222 =+⇔=+⇔=+ ssssyx sencossencos

o Es la función cos y la función sen las que están elevadas a la 2. No es el arco s.

La ecuación a la que se ha llegado, es conocida con el nombre de Identidad Pitagórica. Ejemplo 1 Encontrar el valor de ( )ssen , si ( ) ( ) 0y

54 <= ss sencos .

Sabiendo que s es un arco sobre la circunferencia unitaria, es posible establecer:

( ) ( ) ( ) ( ) ⇔−±=⇔=+ sssss 222 11 cosensencos

( ) ( )53

541

2±=⇔⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−±= ss sensen

Como ( ) ( )530 −=⇒< ss sensen

Ejemplo 2 Si ( ) ( ) 0y

54 <−= ss cossen Encontrar el valor de: las cinco relaciones ( )scos , ( )stan , ( )scot ,

( )ssec , ( )scsc

( ) ( ) ( ) ( )53

5411

22 ±=⇔⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−±=⇔−±= ssss coscossencos



Como ( ) ( )530 −=⇒< ss coscos ; ( )

34

5354

=−

−=stan ; ( )

43

5453

=−

−=scot ;

( )

351

53

−=−

=ssec ; ( )451

54

−=−

=scsc

Ejercicios 17.1

Encontrar el valor de:

1. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

43sen 2. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

37cos 3. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

65cot

4. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

35sec 5. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

67tan 6. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

413csc

Simplificar las siguientes expresiones:

7.

⎟⎞⎜⎛ π+⎟⎞⎜⎛ π csccot ⎠⎝⎠⎝ 46

8. ( ) ⎟⎠

⎜⎝

−4

302 cotsec ⎞⎛ π

9. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

6

642

tan

cotcsc 10.

⎟⎞⎜⎛ π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

432

2

22

sen

cossen

⎠⎝ 2

nte en el cual es ple con:

ra Determinar el cuad tá el punto terminal del arco que cum 11. ( ) ( ) 0y0 >< ss tan sen 12. ( ) ( ) 0y0 >< ss csccot

función: Encontrar el valor de la

13. Si ( ) ( ) 0y23 >= ss sencos , cuál es el valor de ( )stan ?

Si

14. ( )2

3y23 π<<π−= sssen , cuál es el valor de ( )ssec ?

Encontrar s cel valor de la seis rela iones entre las coordenadas del punto terminal del arco s

15. Se sabe que ( )

103=ssen y ( ) 0<scos .



17.2 FUNCIÓN y=sen ( s ) Un punto sobre la gráfica de la función ( )sy sen= tiene la forma: ( )( )ss sen, Da o que la función seno se define a partir de la función coordenada, las características de esta nueva función se establecen a partir de las características de la ya conocida.

d

er real puede representar una

Rango: De acuerdo con la

Dominio: Son todos los números reales, ya que cualqui

longitud de arco.

definición de la función seno,

( ) bs =sen , si ( ) ( )bas ,= coor

cuadrantes: Nuevamente, se analizará la función coordenada para deducir el comportamiento de la segunda componente, la orde

b debe tomar valores que cumplan con 122 =+ ba , de lo cual se deduce que [ ]11;−∈b .

Comportamiento de la función seno en cada uno de los

nada, en cada uno de los cuadrantes:

OLOMBIANA DE INGENIERÍA 303

Cuadrante Longitud de arco entre…

Signo de la ordenada

Intervalo al q rtenece la ue peordena T ipo de función

I ⎟⎞⎜⎛ π0,⎠⎝ 2 Positivo ( )10, Creciente

II ⎟⎞⎜⎛ ππ ,⎠⎝ 2 Positivo ( )10, Decreciente

III ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ

23, Negativo ( )01;− D ecreciente

IV ⎟⎞⎜⎛ ππ 23 , Negativo ⎠⎝ 2 ( )01;− Creciente

Va seno re l

lor de la función para arcos con punto terminal sob os ejes:

Longit arco Valor de la Fu oordenada ud de nción c Valor de la Función Seno

0 ( )01, 0

2π ( )10, 1

π ( )01,− 0

2 3π ( )10 −, −1

( )2π 01, 0 Para representar gráficamente en el plano cartesiano la información anterior, se debe considerar que sobre el eje horizontal se tomarán las longitudes de arco s y sobre el eje vertical se tomarán los valores de ( )ssen . Por lo tanto se debe escoger una escala en oncordancia con los datos que se tienen: para el eje horizontal en múltiplos y submúltiplos e π , y, para el eje vertical en unidades.

cd

ESCUELA C


−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

–2

–1

1

2

x

y

1 2 3 4 5 6 –2 –1–3 –4 –5 –6 –7 La información anterior es suficiente para esbozar la gráfica de la función seno en un

en qué intervalos es negativa, cuándo crece o decrece la función, pero no se sabe con exactitud cuál es la trayectoria de línea que une todos los puntos que pertenecen a la función.

s valores de la función coordenada para los arcos especiales, vistos en la ección 18.6, puede establecerse el valor de la función seno para los mismos, como se ve a

sistema de coordenadas cartesianas?. No. La información que se tiene no es suficiente para hacer una aproximación de la función seno, ya que se sabe en qué intervalos la función es positiva y yla

s

( )ssen

π/2 π 3π/2 2π

-1

1 Positiva y creciente

Positiva y decreciente

Negativa y decreciente

Negativa y creciente

Se puede recurrir a la información de las coordenadas de los arcos especiales, para solucionar esta situación? Recordando loscontinuación:

Longit arco Valor de la enada Valor de la ción Seno ud de Función coord Fun

6π ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

23 ,

21

4π ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

22 ,

22

3π ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23

21 ,

23



Si se adicionan estos puntos a la información ya conocida en el intervalo ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

20; , se tendría

una mejor aproximación al comportamiento real de la función, pero aún no es suficiente para esbozarla completamente.

La experiencia ha permitido establecer que una primera tendencia del estudiante es la de unir cada pareja de puntos conocidos mediante un segmento de recta, o con segmentos de recta, según el número de puntos con que se cuenta. Pero no es posible unirlos con una línea recta dado que la razón entre los desplazamientos verticales y los horizontales para tres puntos cualesquiera no es constante.

Si se prueba con una línea poligonal para unir los puntos conocidos, se estaría suponiendo que la función seno está definida con ecuaciones de rectas diferentes para cada subintervalo de su dominio, lo cual sería una función definida a trozos.

212 −

12π

⎛

π/6 π /4 π /3 π /2

23

1.0

22

y

x

21

La única posibilidad es unir los puntos mediante una línea curva suave como la que se muestra en la gráfica. Para representar la función en el intervalo ( )π20; puede hacerse uso de las simetrías en la circunferencia, dando origen a la siguiente representación.

π/2 π 3 π /2 2 π

-1

1

s

sen(s) Esta gráfica de la función seno en el intervalo [ ]π20; , que corresponde a un período de la función, representa su ciclo fundamental. Entre 0 y π la función es cóncava hacia abajo o cóncava, y entre y la función es cóncava hacia arriba o convexa. El punto donde cambia la concavidad, , se llama punto de inflexión.

π π2π



Sin embargo, como el dominio de la función son todos los reales y la función tiene período , su representación gráfica es: π2

Ciclo Fundamental

s

sen(s)

1

1

4π 6π 2π−2π −4π

A una función que presenta un comportamiento como el aquí mostrado, se conoce con el nombre de curva sinusoidal u onda sinusoidal dado que se asemeja a una onda. Con esta gráfica se confirma otras características de la función seno:

Periodicidad: Dado que la función seno es una de las componentes de una función periódica, se cumple que: ( ) ( )( ) Zkkss ∈π+= ,sensen 2 .

Amplitud: Si se analizan las dos regiones del plano a las que da lugar el eje x, es decir,

la región de los valores positivos y la de los valores negativos para la función, y se analizan de manera aislada, se encuentra que la máxima distancia posible entre el eje x y la función, es exactamente igual tanto en la región positiva como en la negativa. A esa máxima distancia se le conoce con el nombre de amplitud.

La función corta al eje horizontal en más de un punto es decir ( ) 0=ssen si y solo si

{ } { }Zkkxxxs ∈π=ℜ∈=π±π±π±π±π±π±∈ ,,...,,,,, y654320

La función corta el eje vertical en ( )00. .

La función no es uno a uno ya que para dos elementos diferentes del dominio existe un mismo valor de ( )ssen .Por ejemplo:

21

611

65

6=π−=π=π sensensen

La función es simétrica respecto al origen, lo cual se expresa matemáticamente como:

( ) ( ) ℜ∈−=− sss todo parasensen

Una función que presenta esta característica es llamada función impar.

La función tiene valores máximos en:

{ } { }Zkksss ∈π+π==πππ−π−∈ ,,...,,,... 222

522

32

7

La función tiene valores mínimos en:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈π+π==ππππ−π−∈ Zkksss ,,...,,,,... 2

23

211

27

23

225



17.3 FUNCIÓN Y = Asen(x)

j

En las funciones de la forma ba += xy , la constante a acerca o aleja la recta del eje y.

En las funciones de la forma , la constante a acerca o aleja

los brazos de la parábola del eje de simetría. cba 2 ++= xxy

En su forma general la función seno se presenta como ( ) DCBA ++= xy sen , donde A, B, C, D, son números reales y A, B ≠ 0. A continuación se efectuará un análisis del efecto de las constantes en la gráfica a partir de ( )xy sen= , tal como se trabajó con las funciones lineales y cuadráticas. Para comenzar al análisis, se estudiará la incidencia de la constante A en los siguientes casos:

Cuando 1>A

Si se grafican en un mismo plano cartesiano funciones de la forma ( )xy senA= con A>1, y se comparan con la representación de ( )xy sen= para el ciclo fundamental de la función, puede observarse que:

y=2sen x

π/2 π 3π/2 2π

–3

–2

–1

1

2

3

y=sen x

y

y=3sen x

x

Mantienen el mismo comportamiento de onda sinusoidal: crece y decrece en los mismos intervalos de xy sen= ,

Se conservan los cortes con el eje horizontal y vertical.

Para valores de x distintos a los de los cortes con el eje horizontal la ordenada cambia con respecto a la primera función, así: En la parte positiva, a mayor valor de A, mayor valor de y; mientras que en la parte negativa el valor de y disminuye a medida que aumenta el valor de A. Este cambio en el valor de las ordenadas genera en conjunto una dilatación vertical de la función.

La dilatación vertical a la que se ha dado lugar, produce un cambio en el rango y en la amplitud de las nuevas funciones, así:



Función Amplitud Rango xy sen= 1 [ ]11;−

xy sen2= 2 [ ]22;− xy sen3= 3 [ ]33;−

Cuando 0<A<1

Siguiendo la misma metodología, se compararán las funciones de la forma ( )xy senA= con la función ( )xy sen= para establecer sus semejanzas y diferencias:

y=¼ sen x

y=sen x

y=½ sen x

x π/2 π 3π/2 2π

–1

1

y

Mantienen el mismo comportamiento de onda sinusoidal creciendo y decreciendo en los mismos intervalos en que crece y decrece, respectivamente, xy sen=

Se conservan los cortes con el eje horizontal y vertical.

Para valores de x distintos a los de los cortes con el eje horizontal, la ordenada

cambia con respecto a la primera función, así: En la parte positiva, a mayor valor de A, el valor de y es menor que en xy sen= , mientras que en la parte negativa el valor de y es mayor que el valor de la función xy sen= cuando el valor de A es menor que 1. Este cambio en el valor de las ordenadas genera en conjunto una contracción vertical de . xy sen=

El cambio vertical al que se ha dado lugar, produce un cambio en el rango y en la amplitud de las nuevas funciones, así:

Función Amplitud Rango xy sen= 1 [ ] 11;−

xy sen21=

21 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

21

21 ;

xy sen41=

41 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

41

41 ;



Cuando A = –1

Si A= –1, se obtiene una gráfica simétrica, con respecto al eje de las x, a . Este cambio da lugar a que:

xy sen=

π/2 π 3π/2 2π

–1

1

x

y

y= – sen(x)

y=sen(x)

Los cortes con los ejes se mantienen.

El ciclo fundamental es igual.

La amplitud no cambia.

El rango de la función es el mismo.

En el valor de x para el cual se tenía un punto máximo en la primera función, se tiene ahora en la segunda, un punto mínimo, y viceversa.

Los intervalos en donde la función xy sen= crece, decrece la función , pero los intervalos de decrecimiento de la primera, coinciden con los intervalos de crecimiento de la segunda.

xy sen−=

Cuando A < 0

-

Y = – 1/2sen(x) π/2 π 3π/2 2π

−2

−1

1

2

x

y

y= – 2sen(x)

y= – sen(x)

La gráfica permite ver que en general, la función de la forma , con A < 0 cambia los intervalos de crecimiento y decrecimiento con respecto a la función

.

xy senA=

xy sen=



Las funciones con , la función se contrae verticalmente. 0A1 <<−

Las funciones con , la función se dilata verticalmente. 1A −<

Estudiados todos los posibles valores para la constante 0A ≠ , puede concluirse que:

Las funciones con 1A > presentan una dilatación con respecto a la función . xy sen=

Las funciones con 1A < presentan una contracción con respecto a la función original.

El rango de la función está definido en el intervalo [ ]AA ,− .

El valor máximo de la función es A .

El valor mínimo de la función es A− .

El ciclo fundamental es 2π.

Los cortes con el eje x están en 0, π y 2π, y corta al eje y en x = 0. Ejercicios 17.2

Hacer la gráfica de las siguientes funciones: 1. ( )xy sen

23= 2. ( )xy sen

32= 3. ( )xy sen

23−=

4. ( )xy sen2−= 5. ( )xy sen3=

Determinar rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente

, intervalos donde la

función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero para:

.

( )xy sen5−= ( )xy sen2= 7. 6

2

Para las siguientes gráficas encuentre l x esión algebraica:

.

9.

a e pr 8

xπ/2 π 3π/2 2π

-3 -2 -1

1 2 3 y

π/2 π 3π/2 2π

-3-2-1

123 y

x



17.4 FUNCIÓN y=sen(x)+D

j En las funciones de la forma b+= xy , y la constante b produce

una traslación vertical de la función así: b2 += xy

Hacia arriba si b > 0

Hacia abajo si b < 0

Hasta el momento se ha realizado un estudio de la función ( )xy sen= con la misma metodología con la que se analizaron las funciones lineal y cuadrática, y con la ayuda de su representación gráfica ha sido posible llegar a conclusiones generales similares. Es de esperarse entonces que tal como sucedió con las funciones anteriores, la función seno sufra una traslación vertical cuando a ella se suma una constante. El análisis gráfico permite establecer el comportamiento que presenta la función ante este nuevo cambio:

π/2 3π /2

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

y=sen(x)-1/2

y=sen(x)+1

y=sen(x)+2

y=sen(x)

y=sen(x)-2

y

x

π 2π

Efectivamente, la suma de una constante positiva, permite que la función original ( )xy sen= se traslade hacia arriba, mientras que una constante negativa sumada a la función hace que ella se traslade verticalmente hacia abajo. Esta traslación debe producir un cambio en las características de la función. En cuáles? De que forma? El análisis para el ciclo fundamental de la función arroja que:

Por tratarse de una traslación vertical de todos los puntos de ( )xy sen= , mantiene su comportamiento de onda sinusoidal.

La nueva función crece y decrece en los mismos intervalos en que lo hacía la primera función.

Los puntos de corte con el eje x necesariamente cambian por la traslación vertical a la que fueron sometidos. Igual sucede con el punto de corte con el eje y.

Respecto de la función ( )xy sen= , no se presenta ningún tipo de dilatación, lo que significa que la nueva función tiene la misma amplitud.



Los puntos máximos y mínimos de la nueva función están a D unidades de los máximos y mínimos de la función original.

El último cambio que se debe resaltar es el que se presenta en el conjunto de imágenes de la nueva función. El nuevo rango está entre [ ]DD ++− 11 ; .

Ejemplo 3 Determinar las características de la función ( )

21+= xy sen .

La constante

21=D hace que la función ( )xy sen= se traslade media unidad hacia arriba.

Los intervalos de crecimiento de la función están en ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π 2

23eny

20 ;; .

El intervalo de decrecimiento de la función está en ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ

23

2; .

Dado que no se presenta dilatación alguna, la amplitud es igual a 1.

Los puntos de corte con el eje x y con el eje y, así como los valores máximos y mínimos de la función merecen un cálculo más cuidadoso:

La función corta el eje x cuando su valor es igual a 0:

( ) ( ) ZkkxZkkxxx ∈π+π=∈π+π=⇔−=⇔+= ,,sensen 26

11ó26

721

210

Como se está trabajando en el intervalo [ ]π20; , los valores de x son

611ó

67 π=π= xx .

El corte con el eje y se tiene cuando x = 0:

( )21

210

210 =⇔+=⇔+= yyy sen .

El valor máximo de la función ( )21+= xy sen está en

2π=x , lo que significa que:

23

211

21

2=⇔+=⇔+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π= yyy sen .

El valor mínimo de la función ( )21+= xy sen está en

23π=x , lo cual implica que:

21

211

21

23 −=⇔+−=⇔+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π= yyy sen

Con los puntos máximos y mínimos es posible definir el rango de la función como

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

23

21 ; .

El resultado de este análisis se plasma en la siguiente gráfica:



π/6 π/2 π 7π /6 11π /6 2π

-1.

Ejemplo 4

Para qué valores de D la gráfica de la función no toca el eje x ?

( ) Dxy += sen

5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

y=sen(x)+1/2

y

x

E

)

Para que la función no toque el eje x, es necesario que se cumpla:

Si la traslación vertical es hacia arriba, el punto mínimo debe ser mayor que cero ( )0 Pero como se sabe que el punto mínimo debe estar en

23π=x , se tiene que:

1010

23 >⇔>+−⇔>+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π DDDsen

Si la traslación vertical es hacia abajo, el punto máximo debe ser menor que cero (0):

Sabiendo que el punto máximo debe estar en

2π=x , se tiene que:

1010

2−<⇔<+⇔<+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π DDD`sen

Ejercicios 17.3

Hacer la gráfica de las siguientes funciones:

1. ( ) 3−= xy sen 2. ( ) 2+= xy sen

3. ( ) 5223 ,sen −= xy 4. ( ) 251 +−= xy sen,



Dibujar la gráfica y determinar rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero para:

5. ( ) 3

23 +−= xy sen

Para la siguiente gráfica encuentre la expresión algebraica:

.

on

reciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero para dos ciclos de la función:

7.

6

π/2 π 3π/2 2π

x0.5

2.5y

Determinar algebraicamente los puntos de corte con el eje x y cel eje y, y establecer rango, amplitud, coordenadas de los puntosmáximos y mínimos, intervalos donde la función es c

( ) 5250 .sen. += xy

7.5 FUNCIÓN y=sen( x + C )

1

j

la gráfica de 2xy = : h unidades a la derecha, si h > 0 h unidades a la izquierda, si h < 0

La epresentación gráfica de una func r ión de la forma ( )2hxy −= resulta de una traslación horizontal de

Hasta el momento se ha presentado una similitud en el efecto geométrico que sobre la representación gráfica de una función lineal, cuadrática o seno causa la adición de una constante que se suma o se multiplica a la función base. El nuevo efecto que se estudiará es l que se presenta cuando una constante es sumada a la variable independiente, antes de

ara apreciar con detalle el efecto de tal constante, se presenta a continuación la presentación gráfica de funciones de la forma

eaplicar la función base. Pre ( )Cxy += sen , con C > 0.



En cada una de las funciones mostradas se muestra un corrimiento horizontal de la

rte con el eje x y la abscisa de los puntos máximos y mínimos de la función se encuentran ahora C unidades a la izquierda de los pun spondientes a

función ( )xy sen= de C unidades hacia la izquierda.

Los puntos de cotos corre

la función ( )xy sen= .

El corte con el eje y ocurre en el punto correspond alor de iente al v ( )Csen .

La amplitud, o y el período de la función el rang ( )xy sen= se conservan en las nuevas funciones ( )C+= xsen .

r hacia derecha, y que se mantengan todas las características de la función original excepto sus

utilizado sobre el eje horizontal una escala de

y

Cuando la constante C es negativa, se espera que el corrimiento horizontal tenga lugalapuntos de corte con los ejes x e y, y las abscisas de sus puntos máximos y mínimos.

uiente gráfica, en la cual se ha12π ,

res, este corrimiento horizontal es llamado desfase.

La sig

c onfirma las anteriores apreciaciones:

y=sen(x+π/3)y=sen(x+π/4)

y=sen(x+π/12)

y=sen(x)

y

x12π

y=sen(x–π/3)

y=sen(x–π/4)

y=sen(x)

y

x

y=sen(x–π/12)

En funciones circula



Ejemplo 5 Graficar la función ( ) 22 +π−= xy sen correspondiente al ciclo fundamental, determine con exactitud los cortes con el eje x La función dada está de la forma ( ) DCA +−= xy sen . Como se vio anteriormente, la constante A que multiplica la función seno produce una modificación de la amplitud de la curva, la constante D produce una traslación de 2 unidades hacia arriba y la constante C hace que se resente una traslación horizontal de p π unidades a la derecha. Por lo tanto la representación ráfica del ciclo fundamental es:

ara determinar con exactitud los puntos de corte con el eje x se debe recurrir al álgebra teniendo en cuenta qu

g

3π/2 2π 5π/2 3π

xπ/2 π

−1

1

2

3

4

y=sen(x)y=2sen(x- π)+2

Cortes con los ejes: P

e estos cortes tienen lugar cuando 0=y , por lo tanto:

( ) ( ) ( )π−=−⇔π−=−⇔+π− xxx sensensen 12222 =0

Los arco s el seno es igual a –1 son todos aquellos

La expresión algebraica a la que se llegó, debe interpretarse como: ¿Para qué arcos la función seno tiene como valor –1?

s para los cualeiguales a Zkk2

23 ∈π+π , , lo que puede escribirse como:

E

)

{ },...,....,.2

132

3SCk22

5k22

3 ππ−=⇒π+π=⇔π+π=π− xx

Pero como sólo se re

,,2

92

52

πππ

ren los valores de x en el intervalo quie [ ]π+ππ 2, el único valor para el corte con el eje x es

25π

.



Ejercicios 17.4

Hacer la gráfica del ciclo fundamental de ones:

.

las siguientes funci

⎟⎞⎜⎛ π−= xy sen 2. 1 1⎠⎝ 2 3 ⎠⎝

2 −⎟⎞⎜⎛ π+= xy sen

3. 5262

1 .sen +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−x 4. =y ( ) 250 −π+−= xy sen.

fica y determin ordenada mos y mínimos, i rvalos donde la función es cre nte y donde es decreciente, intervalos

para:

Hacer la gránte

ar rango, amplitud, co s de los puntos máxicie

donde la función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero

5. ( )( )xy = sen+32 6. ( )( )211 +−= xy sen 7.

21

23

43 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += xy sen

ara la siguiente gráfica encuentre la expresión algebraica:

8.

P

17.6 FUNCIÓN y=sen ( Bx ) Una última constante y su efecto sobre la función base ( )xy sen= es el objeto de estudio de

una nuevesta sección. La constante B afecta r que toma la variable, ge a función que depende del valor de B, así: Cuando 0 < B < 1,

el valo nerando

En general, respecto de la función ( )xy sen= , una función de la forma ( )Bxy sen= , con 1≠B , onserva su misma amplitud y su mismo rango, variando el período. Este cambio conlleva un ambio en las abscisas de sus puntos de corte con el eje x y de sus puntos máximos y ínimos. Por supuesto, cambia también su ciclo fundamental.

ccm

x

-2

-1

1

y

–π/6

2π 4π

-1

1

x

y=sen(1/2x)

y=sen(x)

y

2π 4π 6π

-1

1

x

y=sen(1/3x)

y=sen(x)

y

Ciclo fundamental Ciclo fundamental



Las gráficas permiten ver que sien B<1, el ciclo fundamen medida que disminuye el valor de , el ciclo fundamental se hace más largo.

Compara ción

do alarga, y a

tal se B

ndo la fun ⎟⎞⎜⎛= xy 1sen con la función origin⎠⎝ 2

al, ( )xsen se encuentra que la y =

nueva función hace 2

ciclo, e la función base hace su ciclo fu mental. La

función

1 s qu mientra todo nda

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= xy

21sen hace su ciclo comp en el intervalo leto [ )π40;

Por su parte la función ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= xy31sen recorre en el intervalo [ )π20; tan sólo

31 de su ciclo

ndamental, necesitando el intervalo fu [ )π60; para completar su ciclo.

n las gráficas se obse un valor de B > 1, la longitud del intervalo dond

Cuando B > 1 E rva, que para e lafunción hace su ciclo fundamental se acorta con respecto a la longitud del ciclo de ( )xy sen= , y a mayor valor de B, menor es la longitud del intervalo. Dicho de otra form intervalo [

a, en el )π20; las funciones de la forma ( )Bxy sen= hacen tantos ciclos como lo indique la constante B.

De lo anterior, puede d el valor de la constante B y la longitud del inte ntal de la función base

educirse que hay una rel rsa ervalo del ciclo fundame

ación inve ntre ( )xy sen= , lo que

se simb

E

matemáticamente oliza como:

l período de la función ( )Bxy sen= es 02 >BB

,

e valores no positivos?

Si B tomara el valor de ce

π

P urrir que B tom

ro, se obtendría la función ual coincidiría con el eje x y no correspondería a una función de

razón por la que en la sección 19.3 se restringe el estudio de ( )BxAy sen= para funciones con B ≠ 0.

situación diferente que conviene analizar a partir de un ejemplo:

uede oc

( ) 00 == seny , lactipo sinusoidal, sino a una función lineal constante. Es esta la

Si B < 0, se tiene una

π/2 π 3π/2 2π

-1

1

y=sen(2x)

y=sen(x)y

ππ/2 3π/2 2π

-1

1y=sen(3x)

y=sen(x)y

Ciclo fundamental Ciclo fundamental

E

)



Ejemplo 6

nalizar la función ( )−= . A xy sen

En este caso, B = –1. Como se sabe, la función seno es impar, se cumple que:

( ) ( )xx sensen −=− Por lo tanto, la gráfica de la función tendrá las características de las funciones ( )xAy sen= , con 0<A , que fueron estudiadas en la sección 19.3 y que para este caso particular dio como

gráfica simétrica respecto al eje x de la función ( )xy sen=

. resultado una

Ejemplo 7 Representar gráficamente la función ( ) xy 2−= sen

la función

Obsérvese que entre 0 y 2π

( )x2−= sen hace dos ciclos que orresponden a los ciclos que haría la

función

yc

( )xy 2sen= pero que se presentan reflejados con respecto al eje x.

π 2π

Ejercicios 17.5

Hacer la gráfica del ciclo fundamental de las siguientes funciones:

( )xy 3sen= 2. 1. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= xy

41sen

3. ( )xy π= sen 4. ( )xy 150,sen=

17.7 FUNCIÓN y= Asen( Bx + C) + D Para graficar una función de la forma ( ) DCBxAy ++= sen debe tenerse en cuenta que cada ufuncióna de las constantes estudiadas causaba un efecto geométrico sobre la gráfica de la

n ( )xy sen= . Pero cua ón la influencia de todas ellas, es necesario tran nte en la cual la incidencia

sea sobre la función sen ( x ). Con la ayuda del álgebra, la expresión debe e

ndo se presentan en una misma funcisformar la expresión inicial en una equivale

de cada constante ransformarse n:t

( ) DBCxBAy +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⇔++ sen

DCBxAy = sen

-1

1y=sen(-2x)

y=sen(x)

y

x



Ejemplo 8 Graficar en el intervalo [ )π20; : ( ) 13

21 +π−= xy sen

La expresión equivalente que permite graficar la función a partir de ( )xy sen= es:

( ) 1

33

2113 +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=⇔+π−= xyx sensen

Detalla entra q

21y

ndo la expresión, se encu ue:

La amplitud es igual a

21 .

El desfase es de 3π a la derecha.

Hay 3 ciclos en un intervalo 2π, lo que equivale a decir que el período es igual a 32π .

Tiene una traslación vertical de 1 unidad en el sentido del eje y.

π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π

0.5

1.0

1.5

2.0

y=1/2sen(3x–π)+1

y

x

Ciclo f l undamenta

Ejemplo 9

( )2+π= xy sen Hacer la gráfica de la función Al transfo uación a su forma equivalente, se obtiene: rmar la ec

( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

π+π⇔+π= 22 xyxy sensen

=

No hay que sorprenderse: las constantes B y C pueden tomar cualquier valor real, y tanto π como

π2 lo son. Para efectuar la representación

gráfica, es recomendable modificar la escala sobre el eje x.

E

)



-0.6 0.6 1.3 1.9 2.5 3.2

Ejemplo 10

Hacer la gráfica de 132

2 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +− xsen , y un análisis detallado en el ciclo π=y fundamental.

Para

on

hacer una aproximación de la gráfica de a función es necesario expresar la función en una forma equivalente que permita establecer la incidencia directa de cada una de las

stantes:

l

c

13

22121

322 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−=⇔−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−= xyxy sensen

Por ser una función seno presenta una forma sinusoidal y se encuentra definida para

iente A que multiplica la función seno produce una dilatación vertical en la

ime

cal de una unidad hacia abajo de la función.

te

todo número real.

El coeficfunción modifica o la amplitud a dos unidades, y el valor negativo de dica que se presenta una s tría de la función base respecto del eje x .

La constante D indica que hay una traslación v ti

nd A, in

er

La constan2

indica una variación en el período de la función 1=B ( )xy sen= co tente nsis

en efectuar 21 ciclo en un intervalo de longitud π2

La constante 32π=C indica que la función tiene un corrimiento horizontal de

32π a l

izquierda.

a

sta información ya es suficiente para realizar la siguiente gráfica:

E

Ciclo fundamental

–1

1 y

x

y=sen(πx+2)

-π -2π/3 π/3 π 5π/3 7π/3 3π 10π/3 4π

-1

-2

-3

1

x

yy= - 2sen(1/2x+π/3)-1



Una vez dibujada la función puede realizarse un análisis más detallado:

ngo de la función es [ ]13;−

El ciclo fund

El ra

amental se encuentra en el intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−

310

32 ; .

El corte con el eje y cam r exacto debe recurrirse al álgebra

así: bia. Para encontrar el valo

13

2132

02132

2 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=⇒−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−=⇒−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−= sensensen yyxy

131232 −−=⇒−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒ yy

Debido al corrimiento horizontal, los cortes con el eje x también n cambiado. Con haayuda del álgebra se encontrarán los valores exactos:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=−⇒−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−=

⎠⎝ 32211

3220

32xx sensen

Aquí debe preguntarse: ¿Para qué arcos e la función seno igual a

⇒−⎟⎞⎜⎛ π+−= 12 xy sen

s2

− ?

Lo aprendido ra arcos en el tercero y en e En el tercero

1

en el capítulo anterior, permite responder inmediatamente: pal cuarto cuadrante así:

será cuando el arco es igual a Z∈π+π kk26

7 por lo tanto se tiene:

6k125

262632π+π⇔π+π+ k1272k27 =⇔π+π+π−=π−=⇔π+π=π+ xxxx

2k2

67

3

{ },...,,,,...,, ππππ−π−∈⇒∈π+π=⇔329

317

35

37

319k

3k125 xZx

En el cuarto cuadrante el arco será Z∈π+π kk211 por lo tanto se tiene: 6

6k129

26k12112

2k2

611

32k2

611

32π+π=⇔π+π+π−=⇔π+π+π−=⇔π+π=π+ xxxx

{ },...,,,, ππππ−π∈ 11735x

i s s puntos de corte con el eje x, en el ciclo fundamental, se deben m d n el intervalo del

cicl

...,−⇒∈π+π=⇔ kk43 Zx

e quiere determinar loS

to ar e los dos conjuntos anteriores, aquellos valores que se encuentran eental, que para nuestro caso son: o fundam { }π3;

Las coordenadas de los puntos máximos y mínimos pueden determinarse algeb

e:

π5 . 3

raicamente así:

El valor máximo de la función es 1, por lo que se debe cumplir qu

Zxxx ∈π+π=π+⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=−⇒−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−= kk2

23

323211

3221 ,sensen



{ },...,,...,3

193

73

53

k127k22

332

πππ−∈⇒π+π=⇒π+π+π−=⇒ xxx . Lo que significa que en

el ciclo fundamental, el valor de x para el punto máximo es { }3

7π .

ínimo de la función, que como ya se sabe es –1, puede ubicarse El valor del pun men:

to

Z∈π+=+⇒⎟⎠

⎜⎝

+=⇒−⎟⎠

⎜⎝

+−=− kk223232

1132

23 ,sensen xxx ππ⎞⎛ π⎞⎛ π

{ },...,3

13π

Pero como se ne valor del punto mínimo en el ciclo fundamental, dicho r

,...,33

113

k12k2232

ππ−∈⇒π+π=⇒π+π+π−=⇒ xxx

cesita el valocorresponde a: { }

3π

ntal puede diferenciarse la concavidad en dos intervalos:

cóncava hacia arriba en el intervalo En el ciclo fundame

La gráfica es ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ππ−

34

32 ; .

En el intervalo ⎟⎞⎢⎡ ππ 104 ; la gráfica es cóncav

⎠⎣ 33a hacia abajo.

Ejercicios 17.6

Hacer la gráfi

ca de las siguientes funciones

1. ⎟⎠

⎜=y sen 2. ⎞⎛ π−x ⎝ 32

( ) 12 +π−= xy sen 3. ⎟⎠

⎜⎝ 222 xy sen ⎞⎛ π−=

4. ( )π−=y sen2 5. +x ⎟⎠

⎜⎝

+−=5

3xy sen 6. ⎞⎛ π ( )π+π= xy 22 sen

7. ⎟⎞⎜⎛ −π−= xy 1 sen

Escribir una ecuación de una función seno que tenga las siguientes características:

Período

⎠⎝ 32

8. Período π2 Amplitud 4 Desfase 0

32π Amplitud 7 Desfase 3

π a la izquierda.

Encontrar la ecuación que representa la siguiente gráfica

.

9.

10

–1

y xπ/12



Sea 36

32 +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−= xy sen : y 122 −⎟⎞⎜⎛ π−−= xy sen : para cada una

3 ⎠⎝ de ellas

fase, traslación vertical 11. Determinar amplitud, período, des 12. Hacer la gráfica para ⎥⎦⎢⎣ 66

3. Determinar el intervalo del ciclo fundamental

Encontrar algebraicamente

s

15. Las coordena ximos y mínimos 16. Los valores d

⎤⎡ ππ− 1311 ,

1

14. Los puntos de corte con los eje

das de los má

onde la función es mayor que cero

17.8 FUNCIÓ yN = cos (x)

⎟⎜=⎟⎜ ,coor ; ⎟⎟⎜⎝

=⎟⎠

⎜ 226,coor

j

⎟⎞

⎜⎛⎞⎛ π 22

⎠⎝⎠⎝ 224 ⎠

⎞⎜⎛⎞⎛ π 13

⎝

⎟⎟⎠

⎞23, ⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

21

3coor ( )10

2,coor =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π ( ) ( )010 ,coor =

Dominio de la función coordenada es ℜ El rango de la función coordenada es ( ){ }122 =+ yxyx ,

a presenta simetrías con respecto a los ejes x e La función coordenada xyy, al origen y a la rect =

e período 2π. La función coordenada tien En la sección 19.1, se definió coseno como: ( ) ( ) ( )basas ,coorcos == si . El conjunto de puntos tales que ( ) ( ){ }xyyx cos, = representa una función, ya que para cada arco x, existe no y sólo un valor de y.

onocidos los valores del coseno para

a ue se tiene lugar, es posible presentar algunos puntos en el plano

carte Tal como se trabaj función os estos p en unirse med a curva ave dando luga una c ma sinusoidal.

u Clos arcos especiales en el primer cuadrante, y con base en las simetrías qre

siano:

ó en la seno, todurva de for

untos deb iante una línesu r a

π/2 π 3π /2 2 π

-1

1cos(x)

x




Efectuando un detal estos p nan l es carac cas para la función co

análisis lado de seno.

untos, se determi as siguientterísti

Cuadrante Longitud de arco entre…

Signo de la abscisa

Intervalo al que pertenece la abscisa Tipo de función

I ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

20, Positivo ( )10, Decreciente

II ⎟⎠

⎜⎝⎛ π,

2 Negativo ⎞π ( )01,− Decreciente

III ⎟⎞⎜⎛ ππ 3, ⎠⎝ 2 Negativo ( )01;− Creciente

IV ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ 2

23 , Positivo ( )10; Creciente

Por tratarse de una función con período igual a 2π, puede extenderse su representación para ualquier valor de x en los reales.

cluirse lo siguiente:

ignifica que es esta

c -4π -2π 2π 4π 6π

1

-1

x

cos(x)

Ciclo fu damental n

Al observar la gráfica anterior puede con

La función coseno presenta una simetría respecto del eje y, lo suna función par, y se simboliza:

que

( ) ( )xx −= coscos

El rango es el mismo que la función seno es decir el intervalo

Tiene una amplitud igual a 1.

[ ]11,− .

Tiene período π2 .


Estas tres últimas características las presenta la función seno, por lo que podría preguntarse: qué ocurriría si se comparan las gráficas de las dos funciones?

¿

y=sen x

s(x)

( )

x

La gráfica permite apreciar que la nueva función ( )xy cos+ corresponde a una traslación horizontal o desfase de 2

π unidades a la izquierda de la función ( )xy sen= . Es decir, que

( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+==

2xxy sencos .

Se dice entonces que ⎟

⎠⎜⎝

+=2

xy sen es cofunción de ⎞⎛ π ( )xy cos= .

Ahora, con las similitudes que presentan ambas funciones, podría pen que una onstante que se multiplique o se adicione a la nueva función tendrá la misma incidencia en función base como ocurrió en la función

sarsecla ( )xy sen= ?

uego de haber est funciones de diversa índole, y haber encontrado efectos similares on la adición de con ntes, no habría razón para dudarlo. Sin embargo, un ejemplo ustrará la situación:

L udiado

stacil

y=co

y

−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

–1

1

π/2 π 3π/2 2π

-1

1y

1/2cos(x)

cos(x)

x

cos(x)+3/2

π/2 π 3π/2 2π-1

1

2

cos(x)

y

x

π/2 π 2π

-2

-1

1

2 y

2cos(x)

cos(x)

x

3π/2

π/2 π 2π

-1

1 – cos(x)

cos(x)

y

x

3π/2



-π/3 π 5π/3 2π

-1

1

x

ycos(x+π/3)

cos(x)

2π/3

x

cos(x–π/3)cos(x)

π/2 π 2π

-1

1

3π/2

y


Todas las representa geométrico de las constantes en la fun n seno que fueron

jemplo 11

razar la gráfica de

ciones anteriores permiten constatar que el efecto ción coseno es el mismo que se produce en la funció

estudiadas detalladamente en las secciones 19.3 a 19.6. E T 1215 +⎟⎞⎜⎛ π+= xy cos correspondiente al ciclo fundamental.

322 ⎠⎝

Una expresión equivalente para la función dada es:

132

1322 ⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

xyxy coscos

Esta nueva expresión permite desarrollar un análisis completo de la función que permita acer una primera aproximación a la gráfica:

415215 +⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ π+=⇔+⎞⎛ ⎞⎛ π+= 2

h La amplitud es de 2

de la función que corresponde a:

5

e presenta un corrimiento vertical de 1 unidad hacia arriba. S

a amplitud y el corrimiento vertical determinan el rangoL

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−

27

231

251

25 ;; .

l ciclo fundamental se inicia en E

34π− .

a longitud del intervalo para trazar el ciclo fundamental es de L π4 .

sta información es suficiente para esbozar la gráfica: E

y

x

π/2 π 3π/2 2ππ 2π 3π 4π

-1

1 cos(x)cos(1/2x)

-1

1

x

ycos(2x)

cos(x)



Ejemplo 12 Pareje

D

a la función del ejemplo anterior, determinar: dominio, coordenadas de los cortes con el x y con el eje y, intervalos donde la función es creciente y decreciente.

ominio: Por tratarse de la gráfica del ciclo fundamental, el dominio es: ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ππ−

38

34 ; .

Cortes con el s cuales y = 0: eje x: Para determinarlos, deben encontrarse los puntos en lo

52

32

21 −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+⇔=⎟

⎠⎞⎛ ⎟

⎠⎞π+⎞⎛ π xcos

Esto lleva a buscar los arcos para los cuales el coseno es igual a

121

251

32

21

250 −⎜

⎝⎜⎝⎛⇔+⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += xx coscos

32

52− . Sin embargo, no

r lo o, p ciones tri ricas o a calculador

: Para determinarlo, se busca el valor de la función para x = 0:

hay múltiplo de arcos especiales cuyo coseno se valor. Po tant ara encontrarel valor exacto se debe recurrir a tablas de fun gonomét as.

a este

Corte con el eje y

( )411

21

251

32

251

320

21

2−=+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=⇔+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⇔+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+= yyyy coscos

Intervalo donde la función es cre

5 ⎛

ciente: En ⎟

⎠⎞⎛ ππ

382 .

e la función es de

⎜⎝ 3

;

dIntervalo don creciente: En ⎟⎠⎞π−

334 ; . ⎜

⎝⎛ π2

Ejercicios 17.7

ráfica de las s cio s para Hacer g iguientes fun ne la [ ]ππ−∈ 2 ,x 2

1. ( ) 12 +xcos 2. =y ( ) 1

21 +−= xy cos 3. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=

23 xy cos

4. ( )xπ= 231 cos 5. y 1

3250 +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−−= xy cos,

-4π/3 -π/3 2π/3 5π/3 8π/3

-1.5

1.0

3.5

x

y


Escribir una ecuación de una función coseno que tenga las siguientes características:

Período

6.32π Amplitud 7 Desfase

3π−

gráfica:

Encontrar la e representa la siguiente ecuación qu

7.

Sea 122 −⎟⎞⎜⎛ π−−= xy cos : para cada una de ellas 3 ⎠⎝

Determinar amplitud, período, desfase, traslación vertical

. Determinar el intervalo del ciclo fundamental

1 de corte con los ejes

12.

. Los valores donde la función es mayor que cero en el ciclo fundamental.

8.

9. Hacer la gráfica para [ ]ππ− 2,

10

Encuentre algebraicamente

1. Los punto

Las coorde

s

nadas de los máximos y mínimos

13

17.9 FUNCIÓN y = tan (x)

jpara el mismo arco. Se simboliza:

( )

Tangente: Asocia al valor de un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la ordenada y la abscisa de la función coordenada

abs =tan , si ( ) ( ) 0≠= abas ,coor

Para representar g áficamente ésta relación se utilizará el mismo método de las relaciones anteriores, ubicando en un sistema de coordenadas cartesianas los valores orrespondientes al conjunto: ( )

r

c ( ){ }Zkk2

∈π+π≠xx . Es importante resaltar que

la restricción para x se debe a que la función para arcos sobre la circunferencia unitaria cuyo

=yyx tan,

π/12

−5

5 y

x



valor sea igual a π+π k2

con Z∈k , corresp n cociente con denominador igual a cero,

lo que significa que la tangente no está definida para esos valores de x.

onde a u

Efectuando un análisis de los valores de la función para arcos cercanos a 2π , pero menores

ue él, se tiene que el valor de b se acerca a 1 y el valor de a se acerca a cero, lo que implica ue el valor del cociente toma valores positivos cada ás grandes, sin que sea posible eterminar un valor máximo para la función. Por otro lado, el valor del cociente

qq vez md

ab para los

rcos mayores a 2π , pero cercanos a él, es cada vez menor y negativo, sin que se pueda

eterminar un valor mínimo para la función.

a representación gráfica de la función

a

d L ( )xy tan= puede iniciarse tomando el valor de los rcos especiales en el primer cuadrante, y sus simétricos. Para visualizar los arcos en los uales no está definida la función, se utiliza una línea discontinua paralela al eje y enominada asíntota.

b

El dominio de la función es

acd

1

2 Al unir mediante una curva suave los puntos, se o serva que:

La gráfica no es de tipo sinusoidal,

El período es π .

{ }Zxxx ∈π+π≠∧ℜ∈ kk2

,

El rango de la función son todos los reales.

La función siempre es creciente.

x se dan para valores de Zkk Los puntos de corte con el eje ∈π=x

La función no tiene máximos ni mínimos.

Presenta una simetría respecto al punto ( 0, 0 ), que como se dijo para la función seno, ue la tangente es una función impar, y se simboliza como: significa q ( ) ( )xx tantan −=− ,

e pertenece al dominio de la función. para todo x qu

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-3

-2

-1

3 y=tan(x)

y

x



17.10 FUNCIÓN y = cot (x)

Cotangente: Asocia a un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la abscisa y la ord

jenada de la función coordenada para

el mismo ar

co. Se simboliza:

( )bs =cot , si a ( ) ( ) 0≠bb, = ascoor

Para representar gráficamente ( )xy cot= pueden tomarse los valores de la función para los arcos especiales del primer cuadrante y sus simétricos.

s necesario además determinar los valores de os cuales la función cotangente no stá definida. Para ello, se busca b que cumpla con:

Zkk0

E x para le

∈π=⇔= xb

on lo que se determinarán las rectas asíntotas de la función.

a representación gráfica es:

c L

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-6-5-4-3-2-1

123456

x

y

y=cot(x)

17.11 FUNCIÓN y = csc ( x )

j Cosecante: Rela sobre la circunferencia unitaria y el

función coordenada para el mismo ción entre un arco s

valor recíproco de la ordenada de laarco. Se simboliza:

( ) bs 1=c , si cs ( ) ( )bas ,coor = con 0≠b

Para h función debe determinarse el comportamiento general de acer la gráfica de esta

( )xy c= y los arcos para los cuales no está definida la función: cs



Los arcos para los cuales b es cero dete inan las rectas asíntotas:

Zkk0

rm

∈π=⇔= ,sb

portamiento de la función en cad

Com a cuadrante: Primer cuadrante: ⎥⎦

⎜⎝

∈2

0,s : Para los valores de s en este intervalo, b toma un val

muy cercano a cero y aumenta hasta uno. Por lo tanto, para el cociente

⎤⎛ π or

b no hay un

valor máximo mientras que el mínimo valor es uno, lo que implica que todos los valores son positivos.

1

Segundo cuadrante: Cuando ⎟⎞⎜⎛ ππ∈ ,s ,: b toma un valor muy cercano a uno y

disminuye aproximándose a cero, por lo tanto el cociente⎠2⎝

b

ente.

1 toma valores cercanos a

uno y aumenta indefinidam

Tercer cuadrante: En este intervalo, ⎥⎦⎤⎜

⎝⎛ ππ∈

23,s , y b toma un valor muy cercano a

cero y disminuye hasta menos uno, por lo tanto para el cocienteb1 , los valores son

negativos y a mayor valor de s, la función cosecante aumenta hasta llegar a – 1.

Cuarto cuadrante: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ∈ 2

23 ,s y b toma un valor muy cercano a -1 aumentando hasta

cero, por lo tanto para el cocienteb1 , los valores son negativos y a mayor valor de s

la cosecante disminuye.

e acuerdo con la gráfica puede establecerse que el dominio de la función es:

1

2

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-4

-3

-2

-1

3

4

x

y

y=csc(x)

y=sen(x)

D

{ }Zxx ∈π=− kk , , y que el rango esℜ ( ] [ )∞−−∞ . A fun

;; 11 ∪

ción l igual que la ( )xy sen= para esta nueva función se cumple que ( ) ( )xx csccsc −=− , por es también una funcl ue ión impar.

o que se dice q



17.12 FUNCIÓN y = sec ( x )

j ( )

Secante: Co s sobre la circunferencia unitaria y el valor recí ón coordenada para el mismo arco. Se simboliza:

rrespondencia entre un arco proco de la abscisa de la funci

a , si s 1=sec ( ) ( )bas ,coor = con 0≠a

La gráfica de la función ( )xy sec= se obtiene haciendo uso del val

alesor de a en la función

oordenada, ubicando las asíntotas en los arcos para los cu a = 0:

c

Zkk2

0 ∈π+π=⇔= ,sa

ediante un procedimiento similar al que se ha llevado a cabo para graficar las funciones nteriores, se llega a la siguiente gráfica.

Ma

servarse que el dominio de la función es Puede ob { }π+π=−ℜ kxx2 , mientras que el rango es

( ] [ )∞−∞ ;; 11 ∪ . −

Si se analiza el comportamiento de l cia que para a función, se apre ( )xy sec= hay una imetría axial con respecto al eje y, lo que indica que esta función es par y cumple con:

s

( ) ( )xsec

al como sucedió con las funciones

xsec =−

T ( )xy sen= e ( )xy cos= , esta nueva función y la función

( )xy = cofunciones ya que la gráfica de la función secante es un corrimiento horizontal de csc

2π a la

(

izquierda de la función cosecante, lo que simboliza como:

) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

2xcsc πxsec

-2π -3π/2 -π -π/2

1

π/2 π 3π/2 2π

-4

-3

-2

-1

2

3

4

y=cos(x)

y=sec(x)y

x




Completar la ente tabla según la función sea creciente o decreciente, s intervalos da nar la variación del valor de la funció

1.

sigui en lodos y determi n:

Intervalo Función Compor miento ta Desde Hasta

θsen θcos θtan θsec θcsc

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

20,

θcot θsen θcos θtan θsec θcsc

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ ,

2


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ππ

23,


⎟⎠⎞ππ 2

2,⎜

⎝⎛ 3

θcot

etar la siguiente tabla según la función sea par o impar, y encontrar el rango

Complde la función y los valores máximos y mínimos para cada un

a de ellas.

2. Función Par / Impar Rango Período Valor máximo Valor mínimo

θsen θcos θtan θsec θcsc θcot

3. Encontrar el valor positivo más pequeño de s, que cumple con 23−=ssen .




4. ⎟⎠

⎜⎝

−−3

1 tan ⎞⎛ π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

341 tan

5. ⎟⎠⎞⎜⎛ π⎟⎞⎜⎛ ⎟⎞⎜⎛ π−⎟⎞⎜⎛ π

3ttancsc 6. ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝ 46

coπ

π+⎟⎠⎞π+π

222

7

cos

tancossen

⎜⎝⎛ −

7.3434

sencoscos 8. ππ−ππsen

2 3

41 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π− tan

ir

rt Dibujar a pa de c yos x ó de sen x determine el rango:

xy cos1−= 3

10. ⎟⎠⎞−=

421 3 xy cos ⎜

⎝⎛ π 11. ( ) 22 +π+x 9. 2 5=y cos

12. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

2 2 xcos 13. =y ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=

42

21 xy cos 14. xy cos−= 2

15. xy cos2−= 16. ⎟⎠2 ⎞⎜

⎝⎛ π−+= 22 xy sen

ud, períod se, y dibujar:

Indicar amplit o, desfa

17. ⎟⎞⎠

⎜⎝⎛ π−=

23 xy sen 18. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=

4 xy cos 19. ( )xy 3sen= 20. ( )π+−= xy 3 2 sen

21. ( )π+= 82 2 xy cos 22. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−=

53 xy sen 23. ( )xy π= 6 sen 24. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π= xy

2

41 cos

mplitud, el d ejes x y y de las siguientes funcione

s: Determinar el período, la a esfase, el punto de corte con los

25. ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝

=2

y ⎤⎡ ⎟⎞⎜⎛ − 12 xsen 26. ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ 44⎤⎡ ⎟⎞⎜⎛+= xy 1 41 cos 27. ( )⎤⎡ π−+= xy 1 2 cos 28. ⎥⎦⎢⎣2

(xy sen1= )2

29. 32

2 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= xy cos 30. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

223 xy sen = 31. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=

42 5 xy cos 32. ( )xy 32 sen=

. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

4 xsen 34. π=y ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

23 2 xy cos 35. π ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

33 xy sen 36π . ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=

232 xy sen

. 38.

33

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−=

321

21 xy cos 39. ( )π+= xy 3 cos 37 ( )

211 −⎤

⎢⎣⎡ π−= xy cos

Mostrar gráficamente

.

2 ⎥⎦

40 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+−π

2 xcos 41. =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

2xx cossen ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=⎟

⎠⎞π

2 xxx sensencos

icas:

42. Período = π ; Amplitud =

⎜⎝⎛ −−=

2

Escribir una ecuación de una sinusoide que tenga las siguientes característ

21 ; Desfase = π.

Encontrar todos los cortes con el eje x de las siguientes funciones: 43. ( )

21−= xxg sen 44. ( ) ( )2+= xxr sen



Encontrar el corte con el eje y de las s es funciones: iguient 45. ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=

43 xx senf 46. ( )

2)cos(g π−

=xx

pondiente a las siguientes gráficas:

Definir la función trigonométrica corres 47.

π/6 π/3 π/2 2π/3

-1

48.

x

1 y

x

-π/3 -π/6 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 -0.5

0.5y

49.

1

1 2

-1

x

y

50.

x -0.5

0.5

1 2

1.0 y

justificar cada respuesta:

2.

Analizar las siguientes preguntas y 51. Cuáles funciones trigonométrica s?s son cofuncione5 Para qu x en el ciclo fundamental, la función é valores de ( )

n ( )xy sen= ?

53. Cuál es el dominio y el período de la función tangente?

Realizar los siguientes ejercicios: 54. Esbozar la gráfica de la función

xy cos= es mayor que la funció

( )π+π−= 2 3 xy cos . 55. Sea ( ) xsenxxf cos= . Es ésta una función par, impar o ninguna de ellas?



“La experiencia del mundo no consiste en el número de cosas que se han visto, sino en el número de cosas sobre las que se ha reflexionado con fruto” Leibniz

CAPÍTULO XVIII

EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

18.1 INTRODUCCIÓN 18.2 RELACIONES DE IGUALDAD EN UNA VARIABLE 18.3 RELACIONES DE IGUALDAD EN DOS VARIABLES 18.4 FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS DOBLES

Y ARCOS MEDIOS 18.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

CAPÍTULO XVIII

EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

18.1 INTRODUCCIÓN El objetivo de este capítulo será el estudio de las relaciones de igualdad entre expresiones algebraicas que involucran funciones circulares en una y dos variables.

j

Ecuación: Una relación de igualdad entre dos expresiones que es válida para algunos valores de las variables en el conjunto de referencia.

Identidad: Cuando la relación de igualdad entre dos expresiones es válida para todos los valores de las variables en el conjunto de referencia.

Si ( ) ( ) ( ) ( ) bsasbas ==⇒= sencos,coor y

Identidad Pitagórica: 122 =+ xx sencos

18.2 RELACIONES DE IGUALDAD EN UNA VARIABLE En el Capítulo XVII, se definieron seis funciones circulares a partir de la abscisa y la ordenada de un punto sobre la circunferencia unitaria, siendo seno y coseno las funciones básicas, puesto que las otras cuatro pueden definirse a partir de ellas así:

( ) ( )( ) ( ) 0≠== xxx

abx cos,

cossentan

( ) ( )( ) ( ) 0≠== xxx

bax sen,

sencoscot

( ) ( ) ( ) 011 ≠== xxb

x sen,sen

csc

( ) ( ) ( ) 011 ≠== xxa

x cos,cos

sec



De la identidad pitagórica básica se deducen otras dos identidades haciendo uso de estas nuevas definiciones para las funciones circulares, como se muestra a continuación:

( )xxtanxxx

xxxxx 222

22

2

2

222 10si11 seccos

coscos

sen

cos

cossencos =+⇔≠=+⇔=+

( )xxxxx

xxxxx 222

22

2

2

222 10sen si11 csccot

sensen

sen

sen

cossencos =+⇔≠=+⇔=+

Con estas dos identidades, se completan las identidades trigonométricas básicas en una variable necesarias para la verificación de identidades, la solución de ecuaciones y la transformación a expresiones trigonométricas equivalentes útiles para el estudio de niveles de cálculo más avanzados. Ejemplo 1 Verificar la siguiente identidad: ( ) ( ) ( )

( )ααα

=αcsc

cottansen

Antes de pretender verificar una identidad, deben establecerse los valores para los

cuales no está definida. En este caso, la identidad no es válida para α si: ( ) ( ) π=α=α⇔=απ=απ=α⇔=α ó00

23ó

20 sencsc y

Por lo tanto, la identidad dada es válida para todo Z∈π≠α k2

k , .

Para comprobar la identidad, se parte de uno de sus dos lados, y utilizando las

identidades básicas y las herramientas del álgebra puede llegarse a expresiones equivalentes hasta encontrar la expresión que coincida con el lado no trabajado. Para este caso se tiene:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )α=

α

=

α

αα

=α

αα⇒

ααα sen

sensen

tantan

csccottan

csccottan

11

1

1

Ejemplo 2 Comprobar la siguiente identidad: ( )( ) ( )( ) xxx 211 sencoscos =+− ( )

Dado que tanto el seno como el coseno son funciones definidas para todos los reales, no hay ninguna restricción, lo que significa que la identidad es válida para todos los Reales.

Identificando el producto notable en el lado izquierdo de la identidad, se tiene:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )xxxx 22111 sencoscoscos =−=+−



Ejemplo 3

Para qué valores de x en el intervalo [ ]π20; se cumple que: ( ) ( )xx sencos =− 21

Para hallar la solución, primero es necesario estudiar las restricciones para los valores de x a que se tiene lugar por la presencia de la raíz cuadrada:

( ) ( )( ) ( )( ) 01101 2 ≥+−⇔≥− xxx coscoscos

( ) ( ) ( ) ( ) 01010101 ≤+≤−≥+≥−⇒ xyxóxyx coscoscoscos

( ) ( ) ℜ=∅∅ℜℜ⇒ ∩∪∩ Lo que lleva a concluir que por esta primera razón, no existe ningún tipo de restricción para x.

En cuanto a la verificación de la identidad:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥===−

0si

0si1 22

xx

xxxxx

sen,sen

sen,sensensencos

En consecuencia, ( ) [ ]π∈⇔≥ ;sen 00 xx .

De acuerdo con lo anterior, se tiene que en el intervalo [ ]π20; , ( ) ( )xx sencos =− 21 es una

identidad para [ π∈ ;0x ] Ejercicios 18.1

Demostrar las siguientes identidades:

1. 11

+−=

+−

AA

AAAA

tantan

cscseccscsec 2. xx

xxx cotsec

sencostan +=+ 3. 121 2

2

2−=+ x

xx csc

sencos

4. xxx 244 21 sensencos −=− 5. xx

xx

tantan

cotcot

+−=

+−

11

11 6. x

xxx csc

tansensec =+

+1

7. xxx 244 21 secsectan −=−8. sec

xxxx 2424 tantansec +=− 9. ( )

tttt

sensentansec

−+=+

112

10. ( ) 1322 =+ xx cossen 11. tt

tt

cotcsccos

sen+=

−1 12. x

xxx sec

coscotcsc =+

+1

Mostrar que l as siguientes ecuaciones no son identidades. Encontrar un

3. 12 22 =−+ xxx coscossen 14. 022 =− xx tantan 15.

contraejemplo. 1

BBBB cotcoscot − sen

BBBB coscotcotcos +=



18.3 RELACIONES DE IGUALDAD EN DOS VARIABLES En esta sección se trabajará con funciones circulares que involucran dos variables, entendiéndose por esto la suma o la diferencia de dos longitudes de arco. Se empezará este análisis con la función coseno para la suma de dos arcos. Con ayuda de una construcción geométrica, se visualizará la suma de dos arcos consecutivos s1 y s2 cuyos puntos terminales tienen como coordenadas respectivamente

y ( ) ( )( 111 ssP sen,cos= )( ) ( )( )21212 ssssP ++= sen,cos .

s3= - s2

s2

s1 x

y

P3

P2 P1

P0 Con un arco auxiliar s3 = –s2 con punto inicial en y punto terminal en ( )0,10 =P

( ) ( )( ) ( ) ( )( )22223 s,ss,sP sencossencos −=−−=

puede establecerse, por la fórmula de distancia, que:

( ) ( 1320 PPdPPd ,, = ) , lo que es equivalente a decir que:

( ) ( )( ) ( )( )2210221120 ssssPPd +−++−= sencos,

( ) ( ) ( ) ( )21212

22120 21 ssssssPPd +++++−= sencoscos,

)

( )

12

1222

12

1222 22 ssssssss sensensensencoscoscoscos ++++−=

o Identidad Pitagórica.

( ) ( 2120 22 ssPPd +−= cos,

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2122

1213 ssssPPd sensencoscos, −−+−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )121213 222 ssssPPd sensencoscos, +−= Por lo que:

( )2122 ss +− cos = ( ) ( ) ( ) ( )1212 222 ssss sensencoscos +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sensencoscoscos −=+ El valor de la función coseno para la diferencia de dos arcos, puede encontrarse reemplazando el valor de s1 por –s1en la expresión anterior, así:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )12121212 ssssssss −−=−+=− sensencoscoscoscos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sensencoscoscos +=−



Ejemplo 4 Encontrar una expresión para ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π s

2cos

( ) ( ) ( ) ( )sssss sensensensencoscoscos =+=π+π=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −π 0

222

Ejemplo 5 Encontrar una expresión equivalente para ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π s

2sen

Por el ejemplo anterior, ( )ss sencos =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π

2.

ssss coscoscossen =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +π−π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π−π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π

22222

Esta identidad es útil para encontrar el valor de la función seno para la suma de dos arcos:

12121212 22ssssssss sencoscossensensencoscos +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π

El seno de la diferencia de dos arcos puede encontrarse haciendo nuevamente

( )1212 ssss −−=+ :

( ) ( )( ) 12121212 ssssssss sencoscossensensen −=−−=+ Las seis identidades encontradas son utilizadas con mucha frecuencia para encontrar el valor de las funciones circulares para arcos que sin ser especiales pueden expresarse como la suma o la diferencia de otros arcos cuyo valor en la función sí es conocido. Ejemplo 6

Hallar 12πcos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−π=π

22

23

22

21

43434312sensencoscoscoscos

462

46

42

12+=+=πcos

( ) ( ) ( )1212 ssss coscoscos ±=±

( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sensencoscoscos ∓=±



Ejemplo 7 Hallar el valor de ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

1213sen

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−π=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

34

4434

434

1213 cossencossensensen

4

2642

46

21

22

22

23 +−=+−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

( ) ( ) ( )1212 ssss sensensen ±=±

( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sencoscossensen ±=±

Ejemplo 8 Encontrar una expresión equivalente para ( )21 ss +tan

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2121

1221

21

2121 ssss

ssssssssss

sensencoscoscossencossen

cossen

tan−+

=++

=+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )21

21

21

21

2

2

1

1

21

2121

21

1221

11

11

ssss

ssssss

ss

ssssss

ssssss

tantantantan

coscossensencossen

cossen

coscossensencoscos

coscoscossencossen

−+

=−

+=

−

+

=

Ejemplo 9 Encontrar una expresión equivalente para ( )21 ss −tan

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )21

21

21

212121 11 ss

ssss

sssssstantantantan

tantantantan

tantan+

−=

−−−+

=−+=−

o La tangente es una función impar .

Ejercicios 18.2

Probar las siguientes identidades:

1. BABA

BABABABA

tantantantan

sensencoscossencoscossen

−+=

−+

1 2. vx

vxvxxv

cotcotcotcot

tantantantan

+−=

+−

11

3. ( )xxx 488 cossensen =+ 1 42−



iones. Justificar la respuesta:

)

Decir si son falsas o s

verdaderas las siguientes expre

4. Si x – y = π, entonces: ( ( ) 42 =−+ yx sensen 2− yx coscos

. 5 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π+⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

+π

+ xxx3

22 222 coscoscos es independiente del valor de x.

rar el valor de

⎠⎝ 3

Encont

6. ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 12

7. ⎞⎛ π7

sen ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 12

tan ⎞⎛ π7

Encontrar el valor de las funciones seno, coseno y tangente, cuando el arco es:

. 1s−π 9. 12 s−π 10. 1s+π

8

18.4 FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS DOBLES Y ARCOS MEDIOS

En esta sección se estudiarán identidades en las que se presenta como única variable un

rco, para cuyo doble valor o para cuyo valor medio se hallarán las funciones circulares. Se e éstas son el resultado de aplicar las identidades estudiadas en la sección

nterior, en donde se involucraban dos variables.

xx cossen22 =+=+=

( ) ( ) ( )

aobservará qua

( )x2sen

( ) ( ) xxxxxxx sencoscossensensen( )x2cos

( )xxxxx 222 sencoscoscos −=+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) xxxxxxxx 22222 2112 sensensensencoscoscos −=−−=−=+=

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 12 −xs 21 222 =−−==+= xxxx cocoscoscoscos

( ) ( xx sensen 22 =

2 2− xxx sencos

) ( ) ( ) xxx += sensen 2

( ) ( )xx coscos 22 = ( ) ( )xxx += coscos 2

⎟⎟⎠

⎞x

( ) ( )xx 221 sen−=

⎜⎜⎝

⎛

21

sen

2cos

o x es la mitad de 2x.



La identidad podría expresarse como:

( ) ( ) ( )22222

2 22 sssss cossen

cossensen

−±=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

111scos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x

21

cos

( ) ( ) ( )2222

12

2 22 =⇔=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⇔−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=s coscoscos 11 ++⎞⎛⎞⎛ sssss coscoscos

( )( )

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

= ss 22

sensen

⎞⎛s 1sen ( )( ) sss

ss

scoscossen

sensensen

21

22==

Ejercicios 18.3

Encontrar una expresión equivalente pa

tan

ra:

1. ( )x2 2. ⎟⎜⎝ 2

verdaderas o fals siguien s: Justificar la respuesta.

3.

⎟⎞

⎜⎛

x1

tan ⎠

Decir si son as las tes expresione

aa cossenaa cossen 33

− es un número real a∀ . 4. ( ) xxx seccsccsc21

2 =

5. an xxx 43 ttantan =+ 6. AA

AA

cossen

cossen

=55

22α

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α sensen 8. x

x

xcos

sen

sen2

6

62

21

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π++

7.

18.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

l propósito de esta sección es encontrar los vE alores de la variable para los cuales se

nerales, para resolver una ecuación trigonométrica se utilizan las das en la sección anterior.

cumple una relación de igualdad que involucra funciones circulares. Es necesario tener en cuenta que la solución de una ecuación está sujeta al intervalo en el cual se presenta la

cuación, dada la periodicidad de las funciones. e En términos geherramientas del álgebra y las identidades trigo étrica

nom s estudia



l conjunto solución en el intervalo

Ejemplo 10 Encontrar e [ ]π20 ; de 012 =+xsen . Esta ecuación es e con el eje x de la función 12 += xy sen scan los valores de x tales que:

quivalente a decir: “encontrar los puntos de corte ”.De la misma forma como en el Capítulo 17,: se bu

⎭⎩

⎬⎫

⎨⎧ ππ

∈⇔−=⇔=+6

116

721

012 ,sensen xxx

Una fo nte que sirve para simbolizar los valores de x cu plen ccondición dada es:

rma equivale que m on la

⎟⎜⎛

−⎜⎜⎝

⎛−−= −

21 1 arcsensen xx ⎟

⎞⎟⎟⎞ 11

⎠⎝⎠ 22⎜=⇔=⇔ senx

xx

sen11 =−

xx arcsensen =−1

sen

( )xx

cscsen

=1

Ejemplo 11

n 2

estricciones para : puede tomar cualquier valor, ya que tanto el coseno y el seno

02320322032 222 =−−⇔=+−⇔=+ xxxxxx sensensensensencos

E contrar el conjunto solución de 032 =+ xx sencos .

R x xestán definidos para todos los reales.

( )( )

221

02

4212=−=⇔=

−+xóx

xxsensen

sensen

o la nueva notación, puede escribirse como: Usand

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈π+π

=π+π

=∈⇒⎟⎟⎠

⎞⎛Zkkxókxxx ,2

611

26

711

=xsen

El conjunto solución es entonces:

.S. =

⎜⎜⎝

−=⇔−= xx arcsensen22

∅=⇔ C.S.4

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈π+π

=π+π

=∈ Zkkxkxxx ,26

112

67

C ó



Ejercicios 18.4

Encontrar el conj e las siguientes ecuaciones:

0122 =−−+ xxx sensensen , para

unto solución d 1. 23 π<≤ 20 x

2.

α−=α sensen 12 2 , para π<α≤ 20 3. 242 −α=α−α⋅α sencsccscsen , para π<α≤ 20 4. 0222232223 2 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +αα⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +α sencossesen

Representar en el círculo trigonométrico las soluciones entre 0 y 2π

6. 033 =

2− αn

5. 032 =−− ttt cossencos +⋅ xxx sensencos

8. 12 =θ−θ cossen 12 2 =+ xx coscos 7.

CAPITULACIÓN EJERCICIOS DE RE

tidades:

1.

n Verificar las siguientes ide

xxxx tansensentan −

xxxx sentantansen += 2. 1

64=⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ xx cottan

3.

2332⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ xx cscsen

xxxx

cossencos − 33

4. x2cos

5.

xxsen

sencos+=

−1 xxx 266 31 sencossen −=+

xxx cossentan

xxx coscos−

=−

+2 1

6. sen 2

( ) ( ) 144 =+− xxxx cotcsccotcsc

7. ttt

csccossen

21

=+

+ tt sencos1 + 8. xx sencos

=+1

xx coscos −− 11

9.xx sensen ++ 11

xx cossen=

−1 10. xx

xx

xcsc

sencos

cossen

21

1=

++

+

. ( )xxx 4881 42 cossensen =+− 12. xxxx 22222 sencotsencos −⋅=

.

11

vxvx cotcottantan +=

+ 11 14.

vxxv cotcottantan −−

BABA

BABABAB

tantantantan

sensencoscossencos

−

+=

−

+

1

) 222 baxbx +=+ cossen

13A cossen

15. ( ) (2 axbxa +− sencos

16. ( )( ) ( )( ) α=−αα++α+α cotcossencoscoscsc 112- 224

αα cos



Simplificar:

17. 12 co 4

2 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πxs

Falso. Justifique

entonces: CBA tantantan

Diga si es Verdadero o su respuesta. 18. Si π=++ CBA , CBA tantantan=++ 19. Si yx coscos = , entonces, x = y. 20. c

1= 22.

122 =+ tt tanse

21. ( )2+ xx cossen 2=α+α cossen para cualquier ángulo α .

Resolver la ecuación:

2 − 24. ( )

23. xx 22 cossen = ( ) xxx 2421222 cossensen =+−+ .

5. 022 =−xx sencos 2 xx sencos 26. 0=+−−2 xx cot xx csctansec

x tantan 32 = 28. 27. x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+=⎟

⎠⎜⎜⎝

⎛ π−

2123 xx tantan ⎟

⎞

29. 1−=xn se


30. ( )

5225 x− si ux sen5= 31.

92 −x

x si ux sec3= 32. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

212n

sen si n ∈ Z

Encontrar los factores que se obtienen al resolver la ecuación: 33. 16 2 =θ−θ sensen .



“La deseperanza está fundada en lo que sabemos, que es nada, y la esperanza sobre lo que ignoramos, que es todo” Maeterinck

CAPÍTULO XIX

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

19.1 INTRODUCCIÓN 19.2 DEFINICIÓN DE LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS 19.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CONTEXTO

DE UN SISTEMA DE COORDENADAS 19.4 APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 19.5 LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS 19.6 PROBLEMAS DE NAVEGACIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO XIX

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

19.1 INTRODUCCIÓN

j

Ángulo es la región comprendida entre dos semirectas que tienen el mismo punto inicial llamado vértice.

Un ángulo se identifica:

Utilizando una letra del alfabeto griego. Mediante tres puntos.

Un ángulo es positivo si el giro se realiza en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Un ángulo es negativo si el giro se realiza en sentido de las manecillas

del reloj.

La unidad de medida de un ángulo puede expresarse en grados sexagesimales o en radianes.

• Un grado es la medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y cuyos lados determinan un arco de longitud

3601 de la circunferencia.

• Un radián es la medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y cuyos lados determinan un arco de circunferencia igual al radio de ella.

R

P

Q

α



En una circunferencia unitaria:

Si s = 2π y θ = 360o :

π=

θ

2360

so

j

rs

=θ , la medida en radianes de un ángulo θ es un número real que no

tiene unidades y resulta de la razón entre s y r, que debe estar en la misma unidad de medida.

θ1

Ps

19.2 DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Como se vio en los capítulos anteriores, las funciones circulares se definen a partir de las medidas de los arcos sobre la circunferencia unitaria. Las razones trigonométricas surgen por la relación entre las medidas de los lados y de los ángulos en un triángulo. rectángulo. En el presente capítulo se estudiarán las razones trigonométricas a partir de su relación con las funciones circulares y su aplicación en situaciones que involucran triángulos. Teniendo en cuenta que existe una relación entre la longitud del arco sobre la circunferencia unitaria y el ángulo central, y que a partir de ello se definieron relaciones entre las coordenadas de su punto terminal, es posible establecer una relación entre las funciones y las razones trigonométricas encontrando la semejanza que existe entre las funciones circulares y los lados de un triángulo, como se explica a continuación. Representando en un plano cartesiano una circunferencia de radio 1 y una de radio r, centradas en el origen, se establece que:

El punto B, que se ubica sobre la circunferencia unitaria, tiene coordenadas

y punto Q, ubicado sobre la circunferencia de radio r, tiene coordenadas

( ) ( ) ( )( )1111 ssensyxB ,cos, ==

( ) ( ) ( )( )2222 srsryxQ sen,cos, == .

x

O PA

θ

B

s1

s2

Q

y

1

r

El ángulo central θ para el arco con punto final B sobre la circunferencia unitaria es el mismo que para el arco con punto final Q sobre la circunferencia de radio r

Los triángulos OBA y OQP Por semejanza de triángulos se tiene:

rxx 21

1=

ryy 21

1=

2

2

1

1xy

xy

=



De acuerdo con las relaciones establecidas, pueden definirse las razones trigonométricas en circunferencias de radio r, teniendo como base la circunferencia unitaria y el valor del radio r. Vale decir que dado que r representa una distancia, su valor es positivo, por lo que la razón no sufre otra modificación diferente a la causada por el nuevo radio.

Circunferencia unitaria Circunferencia de radio r

( ) yy

==θ1

sen ( )ry

=θsen

( ) xx

==θ1

cos ( )rx

=θcos

( ) 0≠=θ xxy

,tan ( ) 0≠==θ xxy

rxry

tan

( ) 0≠=θ yyx

,cot ( ) 0≠==θ yyx

ryrx

cot

( ) 01

≠=θ xx

,sec ( ) 0≠=θ xxr

sec

( ) 01

≠=θ yy

,csc ( ) 0≠=θ yyr

csc

θ α

Para establecer las relaciones trigonométricas para ángulos mayores a 90 o puede recurrirse al ángulo de referencia de la misma forma

como se trabajaron los arcos mayores a 2π

=−

en la sección 18.8. El

ángulo de referencia para un ángulo θ > 90 o es el ángulo positivo α menor que 90 o formado por el lado final del ángulo y el eje x. El valor de las razones para θ está determinado por el valor de las razones del ángulo de referencia y por el cuadrante donde se ubica el lado terminal del ángulo, ya que de su posición dependerá el signo de la relación analizada. Ejemplo 1 Encontrar el valor del coseno para un ángulo de 120 o.

120 o>90 o

El ángulo de referencia es igual a: 180 ooo 60120

Dado que ( )21

60 =ocos , y que el lado final del ángulo de 120 o se ubica en el segundo

cuadrante, entonces ( )21

120 −=ocos .



Ejemplo 2 Encontrar las seis razones trigonométricas para el ángulo de 315o.

θ

α

Ángulo de referencia: ooo 45315360 =−

( ) ( )2

145315 == oo coscos

( ) ( )2

145315 −=−= oo sensen

( ) ( ) 145315 −=−= oo tantan

( ) ( ) ( ) 21

45

1

315

1315

2

1−=−

−==

ooo

sensencsc

( ) ( ) ( ) 21

45

1

315

1315

2

1====

ooo

coscossec

( ) ( ) ( ) 145

1

315

1315 −=

−==

ooo

tantancot

Ejemplo 3

θ

α

Encontrar el valor del coseno de ( )0240−=θ

Ángulo de referencia:

( ) ( )

21

60240

=

−=− coscos

Ejercicios 19.1

Relacionar con el ángulo de referencia: 1. ( )o144 cos 2. ( )o126 cos 3. ( )o210 sen 4. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π

811

sen 5. ( )o120 cos

6. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π

1012

sen 7. ( )o288 sen 8. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π

187

cos 9. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π

54

tan 10. ( )o126tan

Explicar: 11. Existe un número real tal que 7 9=tsen

tre las seis razones trigonométricas si se tiene que:

?

Encuen

12. 2

−=x 13. 31

cos =xcsc 41

=xtan 14.



da una de s:

15.

Completar ca las siguientes expresione

( )26

== cossen1π 16. ( )

22

4==

πsencos 17. ( ) ( )sensen =θ+π

18. 19. ( ) ( )coscos =θ− ( )cossen =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ θ+π

2 20. ( ) 0

43

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πcossen

1. ( ) 03

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+ coscos 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICA19.3 S EN EL CONTEXTO DE UN

ial con el eje x. Un ángulo así dispuesto, se ónica.

l segmento OQ y el segmento

el alor de las coordenadas del punto P.

la hipotenusa, la cual puede i te la aplicación del Teorema de Pitágoras.

razones par θ si un punto P, ubicado sobre su lado terminal tiene

SISTEMA DE COORDENADAS Cuando se busca representar un ángulo en un sistema cartesiano, se hace coincidir su értice con el origen del sistema y su lado inicv

dice que se encuentra en posición can

Si el ángulo θ está en su posición canónica, su lado nicial corresponde ai

OP es su lado final. Al descomponer el punto P en sus coordenadas, puede construirse un triángulo rectángulo de

ipotenusa r y cuyos catetos tienen como longitud hv

Esta situación permite definir las razones trigonométricas para un ángulo θ como la razón

ntre las longitudes de los lados adyacente y opuesto, yecalcularse med an Ejemplo 4 Encontrar las seis a coordenadas ( )32 ,

( )32 ⇒=P , 32 == yx

Por lo tanto: 139 = 4 +=r

( )13

=θsen3 ( )

3=θcsc 13

( )13

2=θcos ( )

213

=θsec

( )23

=θtan ( )32

=θcot

x Q O

θ r y

P=(x,y)

-1 1 2 3 -1

1 2 3 (2,3)

θ x

y



Ejemplo 5 Si el lado terminal del á

x4−= , encontrar las seisngulo θ se encuentra en el segundo cuadrante, sobre la recta

y razones t

θ está en el cuadrante II, la abscisa de P es egativa, y su ordenada debe satisfacer la condición:

rigonométricas para θ . Se ubica un punto P sobre el lado terminal de θ. Dado que n

xy 4−= . Sea x = –1:

( )17116 =+=⇒ r

.

4141Si =⇒−−=⇒−= yyx

El valor de las seis razones será:

( ) ( )17

4=α=θ sensen ( ) ( )

417

=α=θ csccsc

( ) ( )17

1−=α−=θ coscos ( ) ( ) 17sec −=α−=θ sec

) 4−=α ( ) ( )41

−=α−=θ cotcot ( ) (−=θ tantan

Ejemplo 6 Si

32=θcos , encontrar θsen y θtan .

que el lado terminal del ángulo está en el

cuad te I o en el IV. El coseno de θ es positivo, lo que indica

ran

2=x y 5233 222 ±=⇒+=⇒= yyr

Si el lado terminal cue n el

ntra e cuadrante I, el valor del seno del ángulo es de θ se en

positivo. Es decir, 35=θsen y

25=θtan .

Si el lado terminal de θ se encuentra en el cuadrante IV, el valor del seno del s

el seno y la tangente del ángulo serán respectivamente:

ángulo e

negativo, y35−= y θsen

25−=θtan .

ncontrar las seis razones trigonométricas de un ángulo

Ejemplo 7 E θ , si su lado terminal está en el uadrante III, y sobre una recta paralela a la recta 0272c =+− xy .

θ α

P



Si el lado terminal de θ está sobre una recta paralela a , un punto P sobre su lado terminal debe pertenecer a la recta que pasa por el origen y cuya pendiente es

0272 =+− xy

27 . Es decir, la ecuación

de la recta que contiene el lado terminal de θ es xy

27= .

xy27

=

α

θ

Por estar en el cuadrante III, la abscisa y la ordenada de P deben ser negativas. Cuando x = – 2 en xy

27= ,

el valor de la ordenada corresponde a 7−=y . Con estas coordenadas, el valor de r será: 53494 =+=r .

( ) ( )537−=α−=θ sensen ( ) ( )

753−=α=θ csccsc

( ) ( )532−=α−=θ coscos ( ) ( )

253−=α−=θ secsec

( ) ( )27=α=θ tantan ( ) ( )

72=α=θ cotcot

Ejercicios 19.2

Encontrar el cuadrante en que se encuentra el ángulo si se cumplen las condiciones dadas:

1. 0y0 >β<β costan 2. y 00 <β>β ta

4. nsec

0>

3. 0y0 >β<β secsen φsen 0 y <φcot

s trigonométricas si se sabe que el punto P esta sobre el lado terminal del áng

.

Encontrar las seis razoneulo.

( )23 −,P 6. ( )17,P 7. ( )33,−P 8. ( )815 −− ,P

Encontrar las seis razones trigonométricas si el lado terminal cumple con las

Esta so

5

condiciones dada

s:

9. bre la recta xy4

= 10. Es paralela a 3 la recta 152 =−− yx

rar el

e la siguiente expresión: Encont valor d 11.

αααα

cossencossen

+− sí

52=αtan y α esta en el tercer cuadrante.



19.4 APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

j

Hay dos tipos de triángulos rectángulos especiales: Isósceles: Tiene catetos de igual longitud y sus ángulos agudos

son de 45º.

Si la longitud de sus catetos es l, su hipotenusa es l

El triángulo rectángulo de ángulos 30º, 60º, 90º que resulta de dividir un triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales.

Si la longitud de la hipotenusa es l, la longitud del cateto opuesto

al ángulo de 60º es l23 , y la del cateto adyacente es

2l

Hasta el momento se ha construido la teoría de la trigonometría a partir de un sistema de coordenadas rectangulares. Sin embargo, una vez se establecen las razones trigonométricas para cualquier tipo de triángulo, es posible analizar situaciones cotidianas que involucran distancias y alturas desconocidas o ángulos entre las proyecciones de un punto sobre ejes imaginarios. Ejemplo 8 Una escalera de 3,5m.de largo está recostada contra un muro vertical, con su extremo superior en el muro a una distancia de 2,5m. del suelo. Una señora de 1,80m. de estatura, camina por la acera donde está la escalera, manteniendo una distancia de 1,5m. del muro. ¿Podrá pasar por debajo de la escalera sin golpearse con ésta?

3,5m.

α

1,5m.

1,8m

d

2,5m.

El ángulo α es fijo, por lo tanto:

75

5352 ==α,,sen

Como este valor no corresponde a uno conocido, se recurre a la calculadora para encontrar que el valor del ángulo α = 45.58o.

La distancia entre el muro y el pie de la escalera será:

.,,,

tan,,tan m452

021m52m52m52 ==

α=⇒=α d

d

La distancia del pie de a escalera al sitio por donde pasa la señora será:

95051m45251 ,,.,, =−=−d



El espacio entre la escalera y el piso por donde pasa la señora: ( )( ) .,,*,.tan

.tan m97095002151

51==−α=⇒

−=α dhd

h

Como la señora mide 1,80m., se concluye que no puede pasar por una altura de 0,97m.

Ejemplo 9 Para definir un partido de fútbol en la eliminatoria mundialista, se dio lugar al cobro de tiros desde el punto de pena máxima. En la quinta oportunidad para el equipo local, y estando la serie empatada, el cobrador disparó, enviando el balón justo al palo horizontal del arco. Cómo puede expresarse la dirección que llevaba el balón en el momento del disparo? Dado que el balón tomó una trayectoria desde el pie del jugador y hacia el arco que se encuentra al frente, y desde el piso tomando altura hasta el horizontal, la situación se traduce en una elevación del objeto, el cual puede esquematizarse como:

θ

Al ángulo θ se le conoce como ángulo de elevación. Si el locutor permanece en la cabina de transmisión atento a la jugada para narrar con emoción el resultado, debe fijar su mirada con un ángulo fijo. A éste ángulo α formado por la línea de la visual con respecto al horizontal, se le conoce con el nombre de ángulo de depresión.

α

Ejemplo 10 Desde la ventana de su apartamento, a 80m. de altura desde el piso, una madre observa a su hijo jugar en el parque. Unos minutos más tarde, se asoma y lo ve caminando hacia el edificio. En la primera ocasión, el ángulo de observación fue de 30º, y en la segunda, fue de 60º. Qué distancia ha recorrido el niño durante ese tiempo?



La primera vez que la mamá observa el niño, éste se encuentra a una distancia d del edificio y por ángulos alternos internos, se deduce que el ángulo que involucra la distancia d con el edificio es de 30º. Por lo tanto, se tiene:

x

d

60o

30o

AD d1

C

B

80m

.tan

tan m3808030

808030

31

=⇒=⇒=⇒= dddd o

o

La segunda vez que la mamá observa al niño, el ángulo es de 60º. Por lo tanto:

.tan

tan m3

3803

8060

808060 =⇒=⇒=⇒= xdxx o

o

La distancia recorrida es:

.m3

31603

380380 111 =⇒−=⇒−= ddxdd Ejemplo 11 Un hombre parado en la azotea de un edificio de 120m. de altura, observa el sol con un ángulo de 45º. Cuál será la sombra que proyecta el edificio?

El ángulo A es de 45º.

La longitud de la sombra x es:

1120

45

12012045 =⇒=⇒= xxx o

o

tantan

m120=x Ejercicios 19.3

1.

37°

2.

Resolver los siguientes problemas, aproximar las respuestas a las décimas:

Una escalera de 25 metros de largo está reclinada en un edificio. Si la escalera forma un ángulo de con el suelo, ¿A qué altura del edificio llega la escalera?

Desde lo alto de una montaña de 3.000 metros de altura se observan dos pueblos (A y B), situados en el llano, con ángulos de depresión de 60º y 45º respectivamente. A qué distancia está un pueblo de otro? (Los pueblos están alineados con el pie de la montaña).



3. Un globo de aire caliente se mantiene a una altura de 800 metros y pasa directamente por encima de un observador. Después de dos minutos, el observador ve el globo con un ángulo de elevación de 70°. Calcular la velocidad del globo en km/h, considerando despreciable la altura del observador.

4. Una rampa de 30 metros tiene que ser construida de tal manera que suba 5m sobre el nivel del suelo ¿Qué ángulo debe tener la rampa con el suelo?

5. Dos cables tensores que mantienen en equilibrio una estructura, parten del mismo punto de apoyo. El tensor que se encuentra a la izquierda del punto de apoyo mide 75 metros y forma un ángulo de 26° con el piso. El tensor de la derecha del punto de apoyo mide 60 metros y forma un ángulo de 20° con el piso. ¿Cuál es la distancia que hay entre los extremos superiores de los tensores?

6. Un salvavidas se encuentra en una torre que tiene 20m de altura, y desde allí observa con un ángulo de 35° a un turista que necesita ayuda. ¿Qué distancia tiene que recorrer desde la base de la torre para auxiliarlo?

7. Una fotógrafa desea tomarle una foto a una vasija que mide 4 pies de altura y que se encuentra en un pedestal de 3 pies de altura. Ella desea colocar la cámara en un punto sobre el piso, de manera que los ángulos subtendidos por la vasija y el pedestal sean idénticos. A qué distancia desde la base del pedestal se debe colocar la cámara?

8. Un topógrafo desea medir la altura de una torre de energía situada al otro lado de un río. Para ello, coloca su teodolito en un punto P, de manera que la horizontal coincide con el pie de la torre y el ángulo al extremo superior de la torre es de 20°. Camina 50m. en línea recta hacia el pie de la torre, desde donde mide un segundo ángulo de 28° hacia el mismo punto de observación. ¿Cuál es la distancia desde el primer punto de observación hasta el pie de la torre? ¿Cuál es la altura de la torre de energía?

9. Un hombre de pie, situado a 5 metros de la pared de un galería de arte, observa la parte superior de uno de los cuadros con un ángulo de elevación de 30° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 15°. ¿Cuáles son las dimensiones del cuadro si se sabe que el ancho del cuadro es la mitad de su longitud?

10. Dos hombres a una distancia de 600 metros observan un globo en el cielo, situado entre ambos, los respectivos ángulos de elevación del globo son 75° y 48° respectivamente. Encontrar la altura del globo, asumir que la altura de los observadores es despreciable.

19.5 LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS

j

Se sabe que dos triángulos son congruentes cuando tienen iguales:

Sus tres lados: LLL Dos lados y el ángulo entre ellos: LAL Dos ángulos y el lado entre ellos: ALA

Si sólo se conocen los tres ángulos de un triángulo, es imposible determinar las longitudes de los lados. Podría encontrarse un triángulo semejante, que tenga la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

En todo triángulo, el lado de mayor longitud se opone al ángulo de mayor medida.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.



En las situaciones analizadas en la sección anterior, se construyeron triángulos rectángulos cuya solución mediante el análisis de sus ángulos y sus catetos, llevaron a la definición total del problema. En casos en los cuales se involucran triángulos no rectángulos, es necesario apelar a procedimientos en los cuales se relacionen los lados y los ángulos de los triángulos, como lo hacen las llamadas ley de senos y ley de cosenos. La ley de senos permite afirmar que la razón entre el seno de cualquier ángulo y la longitud del lado opuesto es siempre constante.

Para el triángulo ABC:

Sea h su altura desde A. En el triángulo ACD puede observarse que:

γsen=⇒=γsen bhbh

En el triángulo ABD: β=⇒=β sensen ch

ch

Igualando las dos expresiones:

bc

cb β=

γ⇔β=γ

sensensensen

A

βD

α

γ

C Ba

bc

y

x

Para el ángulo α en el centro del sistema de coordenadas:

Aβα

γ

C

B

ab

c

y

x

Si se traza la altura h desde C y se hace el razonamiento anterior, se llega a que:

baβ

=α sensen

En general, puede afirmarse que:

cbaγ

=β

=α sensensen

Ejemplo 12 Un árbol tiene una inclinación de 25º y está siendo sujetado por un cable desde un punto a 12m. de la base del árbol a su parte más alta. Si el ángulo de elevación del cable es de 20º, ¿Cuál es el tamaño del árbol y cuál es la mínima distancia desde el piso hasta su punto más alto?

CA

B

C20º



Para calcular el tamaño del árbol CB:

En el triángulo ABC:

DCA

BEC: Posición original del árbol. BD: Perpendicular al piso.

E

20º

1152590 =+=

4520115180 =−−=

Ángulo C: C ooo

Ángulo B: B oooo

( )..

sen

sensensen m80545

201212

4520 =⇒=⇒= lll o

ooo

Para calcular la distancia mínima del piso hasta el punto más alto del árbol BD:

En el triángulo CBD 652590 =−=

Ángulo C: C ooo

.,sen.,.,

sen m25565m805m805

65 =⇒=⇒= BDBDBD oo La ley de cosenos es aplicable cuando:

Se conocen los tres lados del triángulo Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

La demostración se deja como ejercicio para el estudiante, recordando que se deben estudiar dos casos:

Si el triángulo tiene ángulo obtuso. Si el triángulo dado tiene sus 3 ángulos agudos:

D α

γ

m A

C

b

n

h a

β B

Algebraicamente, la ley de cosenos puede expresarse como:

α−+= coscbcba 2222

Ejemplo 13 Un investigador debe viajar a dos pueblos desde la ciudad en la que se encuentra. Al preguntar sobre la ruta que debe seguir, le dicen que puede dirigirse al pueblo A recorriendo 7km., y desde allí pasar al pueblo B, o recorrer 4km. hacia B y desde allí tomar la ruta que lo



lleva al pueblo A. Si las carreteras que llevan a A y a B forman entre sí un ángulo de 137º, a qué distancia en línea recta se encuentran los dos pueblos? Como se conoce la longitud de dos lados y el ángulo ente ellos, puede aplicarse la ley de cosenos:

Ciudad

?

4km.

7km.

A

B

γ−+= cosabbac 2222 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )oc 13747247 222 cos−+=

o El coseno del ángulo es negativo.

.km.2910≅c

Ejercicios 19.4

Encontrar las medidas de los ángulos y los lados desconocidos con aproximación a las centésimas:

=γ

635 ==

1. ocb 9161112917 ,;,;, =α== 2. ocb 993412714 ,;,;, =γ== 3. ;

6.

ooa 268354835 ,,;, =α= 4. oob 796339386 ,;,;, =γ=β= 5. 4345 ===α cbo ;; = cba ;;



Resolver los siguientes problemas aproximando las respuestas a las centésimas:

Un aeroplano vuela de la ciudad de Bogotá, a la ciudad de Medellín. Cuando el aeroplano llega al aeropuerto de Medellín, se desvía a causa de la espesa niebla hacia Cali. Determínese el áng α que el piloto tiene que

7.

ulo girar para seguir su curso desde m, y

. 300 pies n a lo lejos. Las

líneas de visión de los fotógrafos hacia el león y entre sí forman un triángulo. Calcular la distancia que hay entre el león y cada uno de los fotógraf

. s agudos de 34°

o

2. Se desea na C situada a 12km de A

3. Una valla forma un áng 15 metros

14.

18 pies de largo. El ángul resió desde la cabeza del hombre

Medellín. La distancia entre Bogotá y Medellín es 195km; entre Medellín y Cali es 112kentre Cali y Bogotá es 106km.

Dos fotógrafos que están a de distancia entre sí, ven un leó8

os.

Un paralelogramo tiene ángulo . La diagonal opuesta a esos ángulos 9

60o

León

75o

Fotógrafo 1 Fotógrafo 2

mide D pulgadas. Un lado del paralelogramo adyacente al ángulo de 34° mide 20 pulgadasy el otro lado adyacente mide 39 pulgadas. Hallar D, la diagonal del paralelogramo.

10. Un paralelogramo tiene ángulos agudos de 50°. Los lados que forman el ángulo agud

miden 30cm y 20cm. Calcular las longitudes de las diagonales del paralelogramo. 11. Los lados de un paralelogramo miden 5cm y 12cm y forman entre sí un ángulo de 36°.

Hallar la medida de las diagonales. 1 medir la distancia entre dos colinas A y B ; desde una tercera coli

, se pueden medir los ángulos A y C, que son 46° y 38°.

ulo de 80° con el piso y está sostenida por una viga de 1

B

A

C46o 38o

12 Km

de longitud. La viga va desde el borde de la valla hasta el piso formando un ángulo de 53° con éste. Calcular la distancia que hay entre la base de la valla y la base de la viga.

Un hombre de 5 pies y 9 pulgadas de alto, se para en un andén inclinado. Un poste de luz situado sobre el mismo andén más arriba que el hombre, hace que el hombre proyecte una sombra de o de dep nhasta la punta de su sombra es de 31°. Encontrar la pendiente del andén. (AYUDA: Una pulgada equivale a 2,54cm. y un pie equivale a 30,48cm.



15. e

alta que la primera es vista con un ángulo de depresión de 60° desde el helicóptero, y con un ángulo de elevación de 15° desde la cima de la primera montaña. Determinar la distancia entre las cimas de las montañas, y la altura de la segunda montaña.

Un helicóptero vuela a una altura de 1500m. sobre la cima de una montaña de 2800m. daltura. La cima de otra montaña cercana y más

19.6 PROBLEMAS DE NAVEGACIÓN Es común encontrar problemas de navegación aérea o marítima donde es muy útil el uso de

erramientas trigonométri el sistema de referencia no es el plano artesiano sino un sistema de coordenadas similares generado por la línea Norte.

En estas situaciones, la dirección de la nav mina azimut y se indica respecto de la irección norte o sur así:

que significa que su desplazamiento se realiza a lo largo de un rayo que forma un ángulo θ las manecillas del reloj, con respecto a la línea norte. Su representación

jemplo 14

Representa mente:

N 40o E, ο W,

h cas, pero en dondec N S

e se denod

N θο E, loen el sentido de ráfica será en este caso: g

E

r gráfica

S 60ο E, S 30

O E

40o

ESCUELA COLOMBIANA DE I

30o

S

60o

S

NGENIERÍA 3
65


Ejemplo 15 Un barco navega . entre las ciudades A y B con rumbo . Desde la ciudad B se

ntes de hacer cualquier aplicación de algún concepto trigonométrico, es necesario hacer rmita vi se

uiere encontrar:

ca, muestra un triángulo no rectángulo, del cual se conocen dos lados. Con la ión trar el valor del ángulo comprendido entre dichos

Por alternos internos.

s lados que lo comprenden, se procede a aplicar la s:

400km N 65º Odirige a otra ciudad C con rumbo N 30º E distante 250km. Calcular la distancia entre A y C, y el rumbo que debe tomar el barco si el regreso lo hace directo entre las dos ciudades. Auna abstracción de la situación, que pe sualizar la información conocida y la que q

La gráfiinformac dada es posible enconlados.

o65=β

?β

C

θ2 θ1

bN30o

ooo 3065180 −−=α o85=α

Con el valor de α, y conocidos los doley de coseno

( ) ( ) ( )( ) ( )ob 854002502400250 222 cos−+=

., km84452=

b

Para hallar el ángulo CBA puede aplicarse la ley de senos:

( ) 5499674085km250km82452km ,sensen, =α⇔=α⇔=o

o=α

8245285 ,sen

sensen α o250

33 El ángulo C puede expresarse como:

E

β

α

N65oO

C

γ

B

25 m.0k

400km.β

A



21 θ+θ=C y c oooo CC 628533180 =⇔−−=omo : Por alternos internos, 1 =θ

Por lo tanto, o32=θ y el

o30

2 ángulo de rumbo será: ooo 14832180 =−

El rumbo entonces será:

S 58o E

Ejercicios 19.5

Resolver los siguientes problemas aproximando a las unidades:

Un estudiante para ir a su casa que queda a 200km al este de la escuela tiene la oportunidad de escoger entre dos modos de viajar: Puede salir de inmediato en un bus que va a razón de 45km por hora y que pasa por un pueblo vecino, o puede esperar un

1.

a

te de un trasatlántico,

. s de radio cuyo alcance es de 322km. Uno de los barcos se

encuentra a 250km y N 42°40’ E de una estación costera, y el otro se encuentra a 265km y N 45°10’ W de la misma estación. ¿Pueden los dos barcos comunicarse entre sí

hora e ir directamente en automóvil a razón de 60km por hora. Si el pueblo vecino queda en la dirección N 55° E de la escuela y N 72° W de su casa, de qué modo gastará menos tiempo y cuál es la diferencia con el tiempo que hubiera necesitado del otro modo?

Un buque de la guardia costera se encuentra a 6 millas náuticas al es2.en el momento en que reciben una llamada de auxilio de un yate. Para socorrerlo, el buque navega con rumbo N 50° W a 10 nudos y el trasatlántico navega con dirección N 40°E a 7 nudos. Cuál de ellos llegará primero al yate y en qué tiempo?

Dos barcos tienen equipo3

directamente por radio?


Hallar el va d cot,sec,, , a iguientes g

0° 2. 45° 3. 90° 4. 150° 5. 225°

9. 315° 10. 360°

rigonométricas de θ si θ está en la

l de θ

lor e csc par los s án ulos: 1.

6. 240° 7. 270° 8. 300°

trar lo ones tEncon s valores de las seis razposición:

11. El punto P (4,−3) está en el lado terminal de θ

12. El punto P (−8, −15) está en el lado terminal de θ13. El punto P (−1,2) está en el lado terminal de θ 14. El punto P (2,3) está en el lado terminal de θ

El punto15. P (−4,5) está en el lado terminal de θ 16. El punto P (2, −1) está en el lado terminal de θ 17. El punto P (−2, −5) está en el lado termina



18. El lado terminal de θ está en el cuadrante II y es paralelo a la línea que pasa por los

19. te I y cae sobre una recta con pendiente puntos A(1,4) y B(3, −2) El lado terminal de n θ está en el cuadra

34

21. θ pasa por el punto (−3,5) 2. El lado final de θ está en el segundo cuadrante y pasa por el punto donde se intersectan

las23. El drante y pasa p c

20. El lado terminal biseca al III cuadrante. El lado terminal de

2

dos funciones 22 2 y 9 xyxy =−= lado final de θ está en el primer cua or la interse ción de

xyx

y 4y1 == .

or el punto ( )00 yx , donde 00x y y son reales Si el lado final de un ángulo α pasa ppositivos, es verdadero o falso

00 yx +25. 1=αtan

lo complementario de

0y−=αsen 24.

26. El lado final del ángu α pasa por ( )00 yx , . 27. ( )π−α= cot

29. sen 30. El valor de cos α si tan α = m, 1. Si

αcot

28. El á n el cuarto cuadrante.

Calcular:

ngulo α está e

α, si cos α = 1 –m2. ,

322 ba

b

+=ϑsen , con a2 + b2 ≠0, cuáles serán los valores de las otras razones

cas? Por q quiere que a +

calcula do ángul hallar: (L puede ser con decimal

2 cos

trigonométri ué se re 2 b2 ≠0?

Sin usar dora y utilies)

zan os cono scido a re spuesta no

3 . o75 33. ( )o15csc 34. ( )o135 35. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

45sen cos

36. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

1223sec 37. ( )o15cos 38. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

47cot 39. ( ) ( )oo60 225tan+tan

40. ( )o285 41. tan ( )o165cos 42. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π12

cos 43. ( )o120−sec

l ángulo de referencia:

4.

Expresar en términos de 4 ( )o35−tan 45. ( )o80−sec 46. ( )o45−tan 47. ( )o75−cot 48. ( )o50−csc 49. ( )o60−sec

50. 1=o

Expresar

51. cot x 52. La cot x en función del sen x

Demostrar sin usar calculadora:

77771313 ooo csctantancos

El cos x en función de la



Encontrar las otras razones trigonométrica

.

s si:

53 ( ) ( )( )22=ϑcos 54.

222 nmnm ++22

22

nmnm

+

−=θcos 2 nm +

55. ( ) ℜ∈

−=xg 17 x

x,

sen235.

a.

ar Encontr

⎟⎞⎜⎛ πg mayor valor y el menor valor b. Encontrar el

de ( )xg . ⎠⎝ 6

s ejercicios: Resolver los siguiente 56. Encontrar el rango de f (x) si ( ) ℜ∈= xxxf ,sen 2 .

57. La función ( )tttttf

csctancossen +=

2es par, impar o ninguna de las dos?.

58. Si 54=αsen , qué diferencia α2sen

s de β se c

hay ent nre α y 2 se

59. Para que valore umple β+=β 21 tansec

60. Si 53y

22 == xz sensen , encuentre el valor de ( )zx −cos

0ya=αsen61. Si 45≤α< , encuentre α2tan

V ciendo

62.

65. 66. 9560 ===α cb ;;

s

68.

61,7° 1,5 metros

69. 135 pies

la cúspide de la estructura es 50°20’. Calcule la altura de la torre.

70.

se tiempo.

Encontrar las medidas que faltan de los ángulos y de los lados del triángulo haaproximación a las décimas:

510120 ===α bao ;; 63. 58030 ==β=α aoo ;; 64. 66040 ==β=α boo ;;

4830 ===α bao ;; o

V Resolver los siguientes problemas. Dar la respuesta con aproximación a lacentésimas:

67. Un paralelogramo tiene ángulos agudos de 50°. Los lados que forman el ángulo agudo

miden 30cm y 20cm. Calcular las longitudes de las diagonales del paralelogramo.

Un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación al extremo superior del asta de una bandera es de . La observación se hace desde una altura sobre el nivel del piso y a una distancia de 10 metros del asta. En estas condiciones determínese la altura del asta.

Un punto en el suelo se encuentra a de la base de una torre. El ángulo de elevación de dicho punto a

Desde la azotea de un edificio que ve hacia el mar, una persona observa un bote que navega directamente hacia ella. Si la persona se encuentra a 100 pies sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión al bote cambia de 25° a 40° durante el período de observación, hallar la distancia aproximada que ha recorrido el bote durante e



ROBLES 370

una

72. stancia aproximada del pie de la

escalera al muro. Si la distancia del pie de la escalera a la pared aumenta 3 pies ¿Qué

73.

4. Desde un punto A, que está a 8,2 metros sobre el piso, el ángulo de elevación a la parte

5. Alberto, Bernardo y Carlos están considerando la compra de un equipo de

ue une la casa de Bernardo con la de Alberto es de 55°. Puede con el equipo cada uno de los

76. ción es de 20°,

los cables que la sostienen forman cada uno 40° con el mástil. Halle la longitud de los

77.

itar una barranca entre T y C, el mapa dice que hay que caminar 315,3 hacia el N 10° 24' W y después 260 metros hacia el lugar del tesoro. Si el descubridor

20° al este

79. ra de una colina que forma un

ángulo de 30° con la horizontal. Determinar la longitud mínima del cable de retensión oste

0. Calcular los lados de un paralelogramo, si se conoce que una diagonal mide 96cm y los

ángulos que forma con los lados so

1. Dos barcos que disponen de un radioteléfono con un alcance máximo de 194km, parten del mismo puerto; el primero en dirección 50° al oeste del norte con una velocidad de 140km/h y el segundo viaja en dirección N 18° E con una velocidad de 176km/h. ¿Podrán los barcos comunicarse directamente al cabo d hora?

71. Desde un punto P sobre un terreno horizontal, el ángulo de elevación a la punta de

torre es de 26°50’. Desde un punto ubicado 25 metros más cerca de la torre, en la misma línea que P y la base de la torre, el ángulo de elevación es 53°30’. Calcule la altura aproximada de la torre.

Una escalera de 20 pies de longitud está apoyada contra el muro de una construcción, yel ángulo que forma con el piso es de 22°. Calcule la di

altura aproximada baja el extremo superior de la escalera en el muro?

Cuando un globo aerostático sube verticalmente, su ángulo de elevación desde un punto P, sobre el terreno horizontal a 110km de distancia al punto Q, directamente abajo del globo, cambia de 19°20’ a 31°50’ ¿Qué ascenso aproximado alcanza el globo durante esas observaciones?.

7superior de un edificio es 31°20’, y el ángulo de depresión a la base de construcción es 12°50’. Calcule la altura aproximada del edificio.

7comunicaciones con un alcance de 200 metros. Bernardo vive al otro lado de la carrilera que pasa entre su casa y las de Alberto y Carlos. Los muchachos encuentran que la distancia entre la casa de Alberto y Carlos es de 175 metros; el ángulo opuesto a la línea que une la casa de Carlos y Bernardo es de 76° y el opuesto a la línea q

muchachos comunicarse con los otros dos?

Al instalar una antena de 155 metros sobre un terreno inclinado (la inclina

cables, teniendo en cuenta que la antena es vertical.

Un viejo mapa señala un tesoro enterrado en un punto C, ubicado al N 70° 18’ W, de cierto árbol T. Para evmetrosdel mapa ha estudiado trigonometría, iría a buscar el tesoro? Por qué?

78. Dos aviones parten desde el mismo punto, el uno hacia el oeste y el otro a del norte, el primero con una velocidad de 280 km/h y el segundo a 350 km/h. ¿A qué distancia se encuentran el uno del otro al cabo de dos horas de vuelo.

Un poste vertical de 10m. de altura se encuentra en la lade

necesario para unir la parte superior del poste con un punto situado 20m. abajo del psobre la colina.

8n: 40° y 35°.

8

e una

G. MORA – M. M. REY – B. C.


82. Cuando se ve la cima de una montaña desde un punto P en el suelo, el ángulo de

elevación es de α. Desde un punto Q que está d unidades más cerca de la montaña, el ángulo de elevación aumenta a β unidades. Muestre que la altura h de la montaña es:

( )

xyh

−βα

=sen

sensend

. Un lado de una casa de planta cuadrada mide 54,7m y su frente esta hacia el oriente.

a longitud de la tubería y al ángulo que forma con el lado oriental de la casa.

84. e tránsito aéreo, la avioneta recorrió una

distancia de 72km con un curso de 118°, después tomó un curso de 150° durante 58km, cuando perdió contacto con la torre de control del aeropuerto. En qué dirección y a qué distancia del aeropuerto debería iniciarse la búsqueda?

85. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del norte; el primero a una velocidad de 240 km/h. ¿A qué distancia se encuentran después de 2 horas de vuelo.

86. Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y

que al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son 380 km/h y 420 km/h, respectivamente.

83Una tubería de agua va por debajo de la casa desde un punto que esta a 13m al sur de la esquina noroccidental hasta un punto que está a 12m del norte de la esquina suroccidental. Hallar l

Una avioneta pequeña se ha extraviado después de abandonar el aeropuerto Bonilla Aragón. De acuerdo con los controles d

α β

h

T

P Qd

x y

h

R

a



“Para desembarcar en la isla de la sabiduría hay que navegar por un océano de aflicciones” Sócrates

CAPÍTULO XX

FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

20.1 INTRODUCCIÓN 20.2 FUNCIONES INVERSAS: DEFINICIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO XX

FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

20.1 INTRODUCCIÓN

j

Todas las funciones circulares son periódicas. Seno y Coseno tienen período 2π, para todo x real.

( ) ( ) Zxx ∈=π+ kk2 ,sensen ( ) ( ) Zxx ∈=π+ kk2 coscos

Las funciones Secante y Cosecante tienen período 2π. ( ) ( ) π+π≠∈=π+ k

2kk2 xZxx ,secsec

( ) ( ) π≠∈=π+ kkk2 xZxx ,csccsc Las funciones Tangente y Cotangente tienen período π.

( ) ( ) π+π≠∈=π+ k2

kk xZxx ,tantan

( ) ( ) π≠∈=π+ kkk xZxx ,cotcot

20.2 FUNCIONES INVERSAS: DEFINICIÓN

En los capítulos anteriores, los análisis llevaban casi siempre a encontrar el valor de una función, dado un arco o un ángulo conocido. En algunas ocasiones, en la solución de ecuaciones trigonométricas o el análisis gráfico de funciones, era necesario encontrar el valor del arco o del ángulo para el cual se conocía el valor de una función. El concepto que se maneja cuando se sigue este camino contrario, es el de la relación inversa o simplemente inversa. El que las funciones circulares sean periódicas, implica que ninguna de estas funciones sea 1 a 1. Por lo tanto, la inversa de ellas no es función. Por ejemplo si se sabe, que ( ) 1=θsen , el ángulo θ puede ser

,...,,,...,,,2

112

72

32

132

92

52

π−π−π−ππππ ó . Matemáticamente, como se vio en la sección 20.5, se

expresa así: ( ) Z∈π+π=θ⇒θ=⇔=θ kk2

211 arcsensen

Lo que significa que no hay un único valor de θ donde 1=θsen . Ahora, surge la pregunta: ¿existe algún procedimiento que permita establecer una “función inversa”? Si se restringe el dominio para el valor de los arcos o de los ángulos, de manera



que para dos valores del dominio no sea posible encontrar un mismo valor de la función, ¿se lograría la esperada función inversa, en donde el arco x esté en función del valor y? Para ello, es conveniente observar la gráfica de xy sen= .

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π /2

-1

1

x

y Si se observa la función seno en el intervalo

22π≤≤π− x , se aprecia que sí es 1 a

1, por lo que su inversa sería función, y aunque existen muchos otros intervalos en los cuales sucede lo mismo, por costumbre se ha determinado este intervalo para definir la función inversa del seno.

Dada la situación anterior, es conveniente establecer para el trabajo matemático una diferenciación estándar en la escritura con el fin de distinguir la inversa de la función inversa:

es la función inversa, lo que implica que debe trabajarse con dominio en el intervalo:

xy =Arcsen

22π≤≤π− x .

xy =arcsen es la relación inversa, cuyo dominio son todos los reales. Tal como se trabajó en la sección 20.5, otra forma de expresar la inversa es usar el superíndice –1 en la función, así:

Función inversa: . xy =−1Sen

Relación inversa: . xy =−1sen

Un análisis similar permite establecer las restricciones de dominio para las funciones inversas de las demás funciones circulares.

o El –1 no tiene el mismo sentido con que se venía trabajando desde álgebra. Es decir:

xx

SenSen 11 ≠−

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

-1

1

cos(x)Para el coseno: Se define:

xy =cosArc para π≤≤ x0

y

x

-π -π/2 π/2 π

-2

-1

1

2 tan(x) y

x

Para la tangente:

xy =tanArc se define para

22π≤≤π− x



Ejemplo 1

Encontrar ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22cosArc y ( )11 −−Tan

x=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22cosArc .

Como 4

0 π=⇒π≤≤ xx

. ( ) x=−− 11Tan

Como 422π−=⇒π<<π− xx

Ejemplo 2

Encontrar el valor de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23cosArcsen

62

3 π=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xxcosArc ya que π≤≤ x0

21

6=π⇒ sen

Ejemplo 3 Calcular ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

178

135 ArcsencosArcsen

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

178

135 ArcsencosArcsen presenta la forma de:

( ) βα−βα=β−α sencoscossensen en donde α=

135cosArc y β=

178senArc

Esta expresión puede desarrollarse de dos formas diferentes: Método 1: Por Pitágoras, se tiene que:

De α=135cosArc :

( ) ( ) 12144513 22 =⇒=⇒=− ccc

5

13

α c

Y, de β=178senArc :

( ) ( ) 15225817 22 =⇒=⇒−= bbb

b

17

β

8



Método 2: Dado que , entonces: 122 =+ xx sencos

122 =α+α sencos

1312

1691441

135 222

=α⇒=α⇒=α+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⇒ sensensen

Por otro lado, 11781 2222 =β+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⇒=β+β cossencos

1715

2892252 =β⇒=β⇒ coscos

Por último, se desarrolla el seno de la diferencia de los ángulos α y β:

βα−βα=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − sencoscossenArcsencosArcsen

178

135

221140

22140

221180

178

135

1715

1312

=−=

−= **


Determinar el valor exacto de las funciones, referidas a un ángulo en posición normal:

1. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

341Tancos 2. ( )31−Cotsen 3. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

321Sentan

4. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

7101Cotsec 5. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

351Tansen

s identidades:

( ) ( )xx 11 −− −=− TanTan 7. ( ) ( )xx 11 −− −=− SenSen

las ecuaciones dadas pueden ser identidades por sustitución de

Verificar las siguiente 6.

Deter siminar2

x 11 −− −=− SenSen

1=x

y de 90,=x

8. )x( ) ( 9. ( ) ( )xx 11

2−− −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π= SenCos

10. ( ) ( )xx −= −− 11 Cos 11. ( ) ( ) ( )xxx 111 22 −−− = CosSenSen Cos

presión da valores exacto le.

Evaluar la ex da. Obtener los s cuan bdo sea posi

12. ⎟⎠⎝ 2⎞⎜⎛ −− 1 1Cos 13. ( )1 1−Coscos 14. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−

351 cosCos

15. )2(Arctansen 16. ⎟⎠⎞⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

41 ⎜

⎝⎛ Arcsentan 17. ⎟

⎠⎞⎟

⎠⎞

13 1Coscos ⎜⎝⎛ ⎜

⎝⎛ −− 1



18. ⎟⎠⎞1Sen ⎜

⎝⎛ −−

21

19. ( )11−Sen 20. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

231Sen

21. ( )01−Sen 22. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

231Cos 23. ( )2 Arccotsen

24. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

31 1Coscos 25. ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

4231Sentan 26.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−

42

1

x

xSenSen

27. ( ) ⎟⎠⎞⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

542 11 SenTantan . ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

43

54 11 TanSencos 9. ⎜

⎝⎛ + − 28 2 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛53

21 ArccosArcsencos

30. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

3xArctan cos

1. Mostrar que

Realizar la siguiente demostración:

3 [ ]10 1 ,,CosSen ∈∀−= xxx

Resolver las siguientes ecuaciones 32.

211 −−

23 1 π=− xSen 33. ( )

212 2 ArcsenArcsen =− xx




RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO I – SISTEMAS NUMÉRICOS Actividad Diagnóstico

1. Dígitos 2. Múltiplos 3. Divisores 4. Primos 5. Pares 6. Decimal 7. Impares 8. Centenas 9. Cuadrado 10. Triple 11. Cubo 12. 1

13. { },32,48,968,12,16,241,2,3,4,6, 14. { }1,9870,77,84,9 15. { }1,2,3,6

16. { }14436,72,108, 17. 91 18. 2, 3 y 13

19. 6 20. 4´649.518 21. 101,103,107,109,113 22. 6.840 23. 6 24. 20 25. 5 26. 59 27. 2

Ejercicios 1.1

1. 259 2. 2.507 3. 4 4. 6 5. 11 6. 6 7. 2 8. 25 9. 80 10. 480 11. 8.208

12. 3225 = 2325 = 5322 =log

12553 = 51255 = 31255 =log

823 = 283 = 382 =log

62554 = 56254 = 46255 =log

8192 = 981 = 2819 =log

6482 = 864 = 2648 =log

1000103 = 1010003 = 3100010 =log

13. ( ) ( ) 241027 ÷−+× 14. ( )[ ] 241027 ÷−+× 15. ( )[ ] 241027 ÷−+×

16. ( ) ( )241027 ÷−+× 17. ( )[ ] 241027 ÷−+× 18. Verdadero

19. Falso 20. Verdadero 21. Verdadero

Ejercicios 1.2

1. – 87 2. – 52 3. 72− 4. 152− 5. 32 53 ×− 6. 47

7. 0>× ba si 0>a y 0>b , ó, 0<a y 0<b 8. 0=× ba si 0=a ó 0=b , ó, 0=a y 0=b 9. 0<× ba si 0>a y 0<b , ó, 0<a y 0>b

10. 0 11. 1 12. No existe 13. No existe 14. –1

15. Positivo. Todo número negativo elevado a una potencia par es positivo. 16. Positivo. Todo número negativo elevado a una potencia impar es negativo y el negativo de un número

negativo es positivo.



17. Negativo. Todo número negativo elevado a una potencia par es positivo, y el opuesto de un número positivo es negativo.

18. – 29, – 35 19. – 4, – 7 20. 81, – 243 21. – 512, 2048

Ejercicios 1.3

1. 5

62− 2.

10

57 3.

8

9 4. 1 5.

27

26 6. 0

7. 15

52− 8.

20

3− 9. 0 10.

12

11 11.

4

1 12.

39

2312−

13. 2

5 14. 4− 15. 1 16.

120

1 17.

12

25− 18.

9

20

19. 3

10 20.

10000

111 21.

12

29 22.

5

31 23.

25

1849 24.

343

5

25. 22

31 26.

64

1 27.

58

183 28.

98

13 29.

12

5 30. 217−

Ejercicios 1.4

1. 35763, 2. 20,85 3. –1,075 4. 341 5. 0,0625 6. 1,57351936 7. 10

8. A B a ++++ b a −−−− b a ×××× b a ÷÷÷÷ b

3,42 8,95 12,37 –5,53 30,609 0,382

0,63 9,08 9,71 –8,45 5,7204 0,06939

20 3,18 23,18 16,82 63,6 6,289308

78,01 2,94 80,95 75,07 229,3494 26,534014

10,43 7,5 17,93 2,93 78,225 1,390667

3,14 9,03 12,17 –5,89 28,3542 0,347730

66,5 31,02 97,52 35,48 2062,83 2,143778

30,01 49,3 79,31 –19,29 1479,493 0,608722

9. 0,75 10. 2857142, 11. 352, 12. 1470, 13. 61, 14. 66,

Ejercicios 1.5

1. 7

1 2. días 40 3. pulg

24

1 4. Lt

493818

5. Lt 855 6. puntillas560 7. horas

522 7.a. Falso

7.b. Falso 7.c. Falso 7.d. Verdadero 8.a. 4

5

8.b. %,616 8.c. 4 hombres 8.d. 5

1 9. horas 21

10. horas 32 11. Rollos 5250 12. viajes 45 13. 333 cm 56cm 94cm 50 ,,

14. días 3226 15. 44449441$ ,.'



1 20 5

2

Ejercicios 1.6

1. 8% 2. $1’300.000 3. 396 Ha. 4. 50%, 37,5%, 12,5% 5.

Ruta Precio Actual Aumento Nuevo Precio

Bogotá-Medellín-Bogotá $345.800 $51.870 $397.670

Bogotá-Sta.Marta-Bogotá $423.352 $63.503 $486.855

Cali-San Andrés-Cali $525.890 $78.884 $604,744

Cartagena-Montería-Cartagena $285.165 $42.775 $327.940

6. $74.250 7. Perdió 8. 0002802$ .' 9. ml 400 10. reses 250 11. No es correcto

Ejercicios 1.7

1.

2.

3. 4. Ejercicios 1.8

1. Número Inverso Aditivo Inverso Multiplicativo

0 No tiene No tiene 1 − 1 1 − 4,3 4,3 4310−

22 − 22 221

53− 53 35−

2. 2

3− 3. ℜ,, QZ 4. No 5. No tiene, ℜ∉% 6. π− 7. Negativo 8. 3 veces

1 2 3 40 24−

1

2

53− 52− 5−–6 0–1 1

555

0

3

1

32



9. Número ℕℕℕℕ ℤℤℤℤ ℚℚℚℚ IIII ℝℝℝℝ 1,25 X X

– 21 X X X

2− X X

54 X X X X

7

3 X X

4−

π X X

3 8− X X X

53 + X X

10. Falso 11. Falso 12. Verdadero 13. Falso 14. Falso 15. Falso 16. Verdadero 17. Verdadero 18. Falso 19. Verdadero 20. Verdadero

Ejercicios 1.9

1.

2.

3.a. 8 3.b. –1.000 3.c. 1001

3.d. Si n es par caerá en 2

n− , si n es impar caerá en 2

1+n 3.e. 199 3.f. No.

Ejercicios 1.10

1.

53 < 51 <− 51 −>− 12

1−>−

3

1

3

8> 3

24

48<

4

10

2

18<− 023510 ,, −<−

15

251

3

2=+

70

117

7

6

5

4<+

234

10135

4

8

5

1252×

−+×=+

−+

Ejercicios 1.11

1.

2.

3.

4.

5.

6. [ ) 2ó2 −≥∞− x; 7. [ ) ( ] 41 ó 25 ó4125 ≤<−−<≤−−−− xx;; U

-3 -2 -1 1 2 3 4

E D C B A

0

-4 -3 -2 -1 1 2 3

J G H I

0

-2 -1 1 2 0

-2 -1 1 2 3 4 5 0

-3 -2 -1 1 0

-4 -3 -2 -1 1 0

-3 -2 -1 1 2 3 0



8. ( ) ( ) 222 ≠∞−∞ x,;; U 9. ( ) 33 <−∞ x,;

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Ejercicios de Recapitulación

1. 58 2. 2 3. 12 4. 120 5. 9.792 6. 2 y 216 7. 2 8. 20.520 9. 1, 2 y – 2 10. 20.520 y 41.040 11. Falso 12. Verdadero

13. Verdadero 14. Falso 15. 7544 16.

24

49− 17.

9

38− 18.

70

79

19. 9

2 20. 4 21.

3

64 22.

9

59 23. 5 24. 14

25. 27 26. 16 27. 0 28. 501 29. – 288 30. 20

31. 49633− 32.

4

101 33. 53− 34. 72 35. 55 36. – 162

37. 8 38. 7411 + 39. 3

2 40.

3

56 41.

15

1 42.

75

23

11

×

43. 323 × 44. 32 27

× 45. 12

12

3

2 46.

4

7

3

2 47. 33 48.

322

1

+

49. Si es el 1 50. 0,253968

51. Indeterminado 52. 0 53. Indefinida

54. Si adoindetermin es0 0aa ⇒= , si 10 0 =⇒≠ aa

55. Si 000 =⇒> aa , si indefinido es 00 aa ⇒< , si adoindetermin es00 aa ⇒=

56. Falso 57. Verdadero 58. Falso 59. Falso 60. Falso 61. Falso

62. Falso 63. Falso 64. Falso 65. Falso 66. 63 67. 82y

54

68. El cliente finalmente paga lo mismo 69. Un hueco no contiene tierra 70. %165

71. 378 cm 72. 2 personas 73. 50 días

74. 1212 75. No hay huevo que caiga 76. 120 mujeres

77. $13.500/h 78. $14.250 79. Mayor el 40% de 120

80. 28% de descuento 81. 1.700 habitantes, %,313 82. $51.200

83. 7% 84. 6 hijos 85. 23 días 10,5 horas

86. Mejor invertir el dinero al 7,5% 87. El 11 de febrero y el 23 de marzo 88. ( )%100

−x

xy

89. 2,40 m 90. 3,125 91. 20 92. 12 cm 93. 4 días 94. No hay, 8, 12, 6, 1 95. 1.280 km 96. 3 animales 97. No 98. $131.950 99. $240 100. Opción C 101. 19,96% 102. 4% 103.a. A medida que aumenta en 1 el multiplicando, disminuye 1 unidad la cifra de las unidades en el resultado. La

cifra de las decenas es 1 unidad menor que el multiplicando. 103.b. La cifra de las decenas es siempre 9. No se mantiene. 104. 8 libras. 20, 25 y 8 bloques 105. Ganancia de $10.000

-1 1 2 3 4 5 0

-3 -2 -1 1 2 3 0

-1 1 2 3 0

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0

1 0 2/3 3/4

-3 -2 -1 1 2 0 1/2



CAPÍTULO II – INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

Actividad Diagnóstico

Expresión Aritmética Algebraica Polinomial

4123 ÷+ X

622 −+ xx X X

yy π−3 X X

25 ww −+ X

( ) 5323

1×+− X

23

3

2

16

6

1zz − X X

x

x 2− X

( ) ( )82 loglog + X

35 22 × X

xx 21 33 ×+ X

yyyz 22 −+ X X

424 3223 +−+ yxyx X X

( ) 323 xx + X X

232 6523 xxxxx −+−+− X X

�� Aritméticas: Que representen números, es decir cantidades especificas. �� Algebraicas: Que tengan variables. �� Polinomiales: Que tengan variables como base y el exponente sea un número entero positivo. Una expresión puede clasificarse en más de un tipo ya que todo polinomio es una expresión algebraica.

Expresión Polinomial Número de Términos

Grado del Polinomio

Conjunto al que pertenecen los

Coeficientes

Cantidad de Términos

Semejantes

622 −+ xx 3 2 ℜ,Z 0

yy π−3 2 3 ℜ 0

23

3

2

16

6

1zz − 2 3 ℜ 0

yyyz 22 −+ 3 2 ℜ,Z 0

424 3223 +−+ yxyx 4 Depende ℜ,Z 0

( ) 323 xx + 1 5 ℜ,, ZN 0

232 6523 xxxxx −+−+− 6 3 ℜ,Z 4

Ejercicios 2.1

1. Verdadera 2. Falsa 3. Verdadera 4. Falsa 5. Falsa 6. Verdadera 7. Falsa 8. Falsa 9. Verdadera 10. Verdadera 11. Falsa



Ejercicios 2.2

1. 11 2. 16 3. 2

3− 4. 30 5. 30

6. La respuesta es igual ya que los exponentes de las variables son pares 7. Es positivo Ejercicios 2.3

1. 32449 −− x 2. yzx ++−− 742 3. yxz 610 −++ 4. 665 23 +−− xxx

5. 912 2 −− y 6. ca −6 7. cda 223 +− 8. 232 yxy +−

9. 253 3 −+− xx Ejercicios 2.4

1. zyx 5360 2. 45150 ba−

3. 88 x− 4. 10748 cba

5. 48264 cba 6. 1212 yx

7. 543 4 +− aa 8. 8202296 2345 ++−+− xxxxx

9. 57356733

4

6

1

5

2zyxyxyx +− 10. ba 62

11. 7720 yx 12. 142a−

13. 3223236 nmnnmm +++ 14. 322223 76 yyxxyyxyx ++++

Ejercicios 2.5

1. 14 2 −x 2. 224161648 xxyxyy +−+−+ 3. 4422 −−− bba

4. 91264422 ++−+− yxyxyx 5. 27279 23 −+− xxx 6. 133 23 −+− xxx

7. 1 Ejercicios 2.6

1. No, Si 2. No, Si 3. No, Si 4. No, No, Si

5. No, Si, Si 6. No, Si, No 7. Se genera una indeterminación

Ejercicios 2.7 1. Si, Si 2. Si, No 3. No, No 4. No, Si 5. No, No

Ejercicios 2.8

1. x−45 2. 55−x 3. 92 +x 4. ( )210 xx +

5. ( )3−xx 6. xx 22 − 7. ( )( )3232 +− xx 8. ( )xx 3

9. ( ) ( )5212 +++ xx 10. ( ) ( )22 222 ++ xx



Ejercicios de Recapitulación 1. 040 , 2. 8 3. 873 , 4. 102−

5. Impar, Impar, Par 6. 3620 yx− 7. 105102 ba 8. 161146 32 ba

9. 151110648 cba− 10. 6884 cba 11. 1271212 cba 12. 6213 ba

13. 4661 yx− 14. 96b 15. 4

10

b

a 16.

64

11728 3 +a

17. 417925 234 −+−− xxxx 18. xz 51 ++− 19. wzy +−−

20. zyw 24 ++ 21. 185 +− z 22. 22 −x

23. 82 +− x 24. 53 +x 25. 18067

917

54111

4517 22 −+−− xyyx

26. x29 × 27. 22 yx − 28.

x

4

1

3

1

29. ( ) ( ) ( )222 223212 +−

+++ xxx 30. 2

2

1xx − 31. ( )x−303

32.

+ yx7

3

3

2 33. 30+p 34. pp ×

35. 3+p

p 36. ( ) ( )[ ] ( )[ ]222 222222 ++−++ xxxx

37. yyx ,6=− 38. 2+a 39. x1

40. 22

−a

41. x5 42. 52 +a

43. 3

23 +a 44. x

100

6 45. t+o50

46. 120−d 47. 50−p 48. 20−r

49. 100+d 50. 8+z 51. 52

+p

52. t−8 53. b

a+5 54. 60−t

55. 30+a 56. 6+= ba 57. 10−= ba

58. 2

yx = 59. 2383 =+m 60. 459 =m

61. ( ) 3023 =m 62. ( ) 547 =−+m 63. ( )nm

mn

−3

64. ( )( )sr

sr

+−

2

3 65. ( )( ) ( )( ) 12222

3

12222 −+=++ xxxx 66. 823 +=+ xx

67. xxxx =+ 68. ( ) 1423 =+x 69. ( ) ( ) 244212222 −+=+ xxx

70. ( ) 7107260 −=+− xx

CAPÍTULO III – ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINO MIOS DE PRIMER GRADO

Ejercicios 3.1

1.

1417

2.

51

3. { }5− 4. { }52− 5. { }41− 6. { }50 7.

−

1345



8.

1759

9.

718 10.

4029 11. ∅ 12. ∅ 13. ℜ 14. ℜ

Ejercicios 3.2

1. ( ) 171 −=++ xx 2. ( ) ( ) 7521 =++++ xxx

3. ( )123

11432 +−=+ xx 4. xx 29466 +−=+

5. ( ) ( )60506080 += x,, 6. empastados 200 bolsillo de ediciones 400

7. 20 8. 127518001650

9. 00014$0006$ .. 10. 630 11. 30m3h30mh1 12. 39 años 13. 959085 14. aprox000581$ .

15. minutos 24 horas 6 16. 820$ 17. meses180 18. m63

19. 11

38 20. libras24090 y

Ejercicios 3.3

1.

=−=

61

186

61

82yx ,

2. { }68 −== yx , 3.

−=−= 43

2

13yx ,

4. ( ){ }1985 +− zwzw , 5.

−==

26

37

13

5ba ,

6. ∅

7. ∅ 8. ∅ 9. ( ){ }42 −= xyyx ,

10. ( )

+−= 23

2xyyx ,

11. ∅ 12. { }18 −== yx ,

13. No hay solución. 14. Una única solución. 15. Infinitas soluciones. 16. Cualquier punto de la forma ( )53 −xx, .

17.

+−3

1

3

2 forma la de puntoCualquier xx ,

18. 50400 , 19. 2080 , 20. 27 Hijo. 63 :Padre

21. 2

61 menor y

4

123 Mayor

22. 23. $21 chaleco y $45 saco $30, Pantalon 24. 8 Enrique y 5 Juan 4, Pedro 25. 8 y 1015 , Ejercicios 3.4

1. 0<x 2. 0≥y 3. π≤q 4. 42 << d

5. 5≥t 6. 3≤−z 7. 7≤q

p 8. g

w<

1

9. ( )∞− ,3 10.

∞−3164

, 11.

−∞−3

4, 12.

∞−

1357,

13. ∅ 14. ℜ 15.

−−

5125 ;, 16.

−−32

38

,

17. ( ]84, 18.

−−31

2, 19. [ )∞,108 20. [ ]199,




1.

32 2.

−

712 3. { }3 4.

−

1031 5. { }2 6. { }9−

7. { }5 8. { }9 9.

≠ ba

b-a

a, 10. { }11 11. h

km6 12. $24

13. Si 14. 22 , 42, y 24 años 15. $12.000 y $18.000

16. 55 pies 17. 222p3600p2592p 4050 18. millas

9

10 millas/h,

9

5

19. peces $120 pecera $140 20. 13 años 21. 105 22. $212 23. 30 y 60 años 24. 13,6 cm y 40,8 cm 25. 200 niños 26. 62,5 y 375 27. $96.436

28. No es posible 29. $7.000 al 12% y $3.000 al 10% 30. $6.667 al 5% y $13.333 al 8%

31. 23.382 unidades cúbicas 32. yx

yxyx52

30622022

−−− 33. 6

34. $90.000 coche, $170.000 caballo y $65.000 los arreos 35.

∞,25 36.

−∞−3

4,

37.

∞,1315 38. ( ]6,−∞ 39.

−∞−2

1 π,

40.

∞−5

7, 41. ( )∞− ,1 42.

∞−34

,

43.

− 33

4, 44. ∅

45. sobrinas 9 sobrinos, 2 46. 030 : adicional 150 :fijo ,, 47. 59 48. 1,8m de 10 y m63 de tubos 9 , 49. 024ingresos$1 $768, totales gastos $144, reparacion Gastos 50. Vacas $50, Ovejas $5 51. minutos20hora1 52. 559 ,, pescados 53. 58,5km A a C de y 55,5km C a B de 63km, : B a A De

54. m 9 pequeno el y m5

59 mediano m,

5

61 Mayor 55. OOO 456570 ,,

56. 321 57. 123 58. 27 años y 36 años

CAPÍTULO IV – SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Ejercicios 4.1

1.a. ( )73 ,− 1.b. ( )ba ,− 1.c. ( ) ( )3316 ,, −−( )41 −− ,

2.

3.

4.a. ( )23 −− ,

4.b. ( )11 −,

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7

-6-5-4-3-2-1

12345



Ejercicios 4.2 1.

D

H F

G

E

C

B A

2.a.

y

x

2.b.

x

y

2.c.

y

x

2.d.

x

y

2.e.

x

y

2.f.

x

y

2.g.

x

y

2.h.

y

x

2.i.

x

y

3.

x y -1 3 0 5 1 7 3 11 5 15 7 19

Zxxy ∈+= ,52




1.

2.

3.

4.

2 4 6 8 10

2 4 6 8

10

x

y

5.a. ( ) ( ) ( )121212 ,,, −−

5.b. ( ) ( ) ( )111111 ,,, −−−

5.c. ( ) ( ) ( )030303 ,,, −−

5.d. ( ) ( ) ( )000000 ,,,

5.e.

−

−

3

50

3

50

3

50 ,,,

6.a. II cuadrante

6.b. I cuadrante

6.c. IV cuadrante

6.d. III cuadrante

6.e. IV cuadrante

6.f. IV cuadrante

7.a. ( )68 , 7.b.

8.

9.a. Traslación hacia abajo de 3 unidades y traslación de dos unidades a la izquierda

9.b. Reflexión sobre el eje x 10.a. Entre otros

( ) ( ) ( )311102 ,,, −−−

10.b. Entre otros ( ) ( )2211 ,, −−

10.c. Entre otros ( ) ( )1420 ,, −− 11. Para abscisa reales entre – 1 y

2 inclusive y para la ordenada reales entre – 3 y 1 inclusive

12.a.

12.b.

2 4 6 8 10 12 14 16

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3 x y 2 1 3 6 4 13 5 22 6 33 7 46

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3



13. Tercer

14. ( )32 −;

15. ( )24 −− ; 16. Primero y Tercero y

x

17. La primera es una pareja del plano si se esta en dos dimensiones ó un intervalo si se esta en una dimensión y

el segundo es un conjunto con dos elementos

CAPÍTULO V – REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ejercicios 5.1

1. xy2

1= , xy = , xy 2= xy 3=

2. Si la recta es de la forma xy a= , al moverse a partir de ( )00, a otro punto sobre la recta, se determinan las unidades de desplazamiento horizontal y las unidades de desplazamiento en sentido vertical, la pendiente se calcula hallando la razón entre el desplazamiento vertical y el movimiento horizontal. El signo de la pendiente es positivo si ambos movimientos se hacen en el sentido de los ejes, o ambos en sentido contrario; la pendiente es negativa si un movimiento es en el sentido del eje y el otro en sentido contrario.

3. La pendiente es negativa cuando el desplazamiento horizontal se hace en el sentido del eje y el

desplazamiento vertical en sentido contrario al eje, ó, viceversa. 4.

x

y=x y

5.

a<1

y=(a/2)x

x

y

6.

x

y

y=3x

Ejercicios 5.2

1.

y= – 3x+6

x

y

2.

y= – 3x+7

x

y

3.

x

y

y= –3x–4

b

-b

a

(a,-b)

(a,b) y

x



4. 4

11

4

3+−= xy

Corte eje x

0

311 ,

Corte eje y

4110,

5. 3

2

3

5+−= xy 6. 3

2

3+= xy 7.

7

10

7

2+= xy

8. 4112 −= xy 9. xy3

2−= 10.a.

3

8− 10.b. 2

10.c. 11− 10.d. Cero 11.a. 3

4 11.b. 1−

12. ( )21, ,

2

10, , ( )11 −− , 13.a. 92 += xy 13.b.

4

3

4

3+−= xy

Ejercicios 5.3

1. 3=y 2. 2=x 3. Falso. La recta 5=x no corta al eje y.

4. Falso. Es la ecuación del eje x. 5. Verdadero

6. Falso. No esta incluido porque el desplazamiento horizontal entre dos puntos cualesquiera de la recta es cero por lo tanto la pendiente no está definida.

Ejercicios 5.4

1. 2. 8. 16 y 19 − 9. 2 y

5

32 −− 10. 12

5-y

2

1

4

3

4

7−−− ,,

11. 9911 y 0152 ,,

3. 4.

12. 21

10e,decrecient −ℜℜ ,,

∞−

−∞−− ,,,,21

10

21

10

7

2

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

13. 32

e,decrecient,,ℜℜ

∞

∞− ,,,,3

2

3

2

3

1

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

14. 3creciente,,,ℜℜ

( ) ( )332

3,,,, ∞−∞−

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

x

y



15. 3creciente,,,ℜℜ ( ) ( )338 ,,,, −∞∞−

16. 5e,decrecient,,ℜℜ

( ) ( )∞∞− ,,,, 553

10

x

1 2 3 4 5 6 7 -1

1

2

3

4

5 y

17. 26 +−= xy

18.

19.

20.

21.

f(x)–1

f(x) x

y

22.

f(x-2) f(x) x

y

23.

f(x)

x

y

24.

x

f(x)

y

-1 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

2 y

x

3f(x) f(x)

x

y 3b

b

– f(x)

-b

f(x) x

y

b

x

y

f(x)+2

f(x)



Ejercicios 5.5

1.

7

8

14

17,

2.

187

127

17

91,

3.

−2

155 ,

4.

−

2

1

4

3,

5.

−61

570

61

115,

6. ( ){ }37 −,

7. ( ){ }22 ,

8.a xP 0002000000020 ... += 8.b 00022$ . 8.c formahay No

9.f ahamburgues la $300 y gaseosala 100 $

Ejercicios 5.6

1.

2.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3-2-1

1234567

-1 1 2 3 4 5

-2-1

1234567

Y=3X-1

Y=3X-5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x

y y

x

-1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

1 2 3 4 5 6

-10 -8 -6 -4 -2

2 4 y

x

-2 -1 1 2 3

-3

-2 -1

1 2

3

x

y

-4 -3 -2 -1 1 -2

2

4 6 8

10

x

y

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

y

-1 1 2 3 -1

1

2

3

x

y

-1 1 2 3 -1

1

2

3

x

y

-1 1 2 3 -1

1

2

3

x

y



3.

4.


1. Paralelas 2. Oblicuas 3. Oblicuas 4. Oblicuas 5. 3

8

6

1−−= xy

6.a. 4

5− 6.b. 3− 6.c.

2

3 6.d. No esta definida 6.e. 0

7. 4=x 8. ( ) 13

1+−= xxf , ( ) 1

2

3−= xxg , ( ) 3=xh , ( ) 2

5

2−= xxi 9. Si

10. 52

1−= xy 11. 21=p 12. ( )12 ,A = 13.a. Verdadero

13.b. Falso 13.c. Falso 13.d. Falso 13.e. Verdadero

13.f. Verdadero 14. 4=k 15.a. No hay corte con el eje x; ( )40, 15.b.

0

32

, ; ( )20 −,

15.c.

0

3

2, ; ( )20 , 15.d. ( )03 ,− ; ( )60 , 16. ( )21,=P 17.a. 1m =

17.b. 21

m = 17.c. 5m = 18. 11 19. 53 −= xy ; 1−=x

20. Falso 21. Verdadero 22. Falso 23. Verdadero

24. Verdadero 25. Falso 26. Verdadero 27. Verdadero

28. Verdadero 29. Falso 30. Falso 31. Falso

32. Verdadero 33. Falso 34. Verdadero

16.a

16.b 19 ó 20 $25.000, con y peliculas 11 ó 7 $15.000, Con

16.c $13.000 2, Plan 17.000 $, 1 Plan

16.d $23.400 valen que peliculas 18 Si

-1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2

3

4

5

Y=X/2

Y=3/4X-1

-1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

4 Y=5X-3

Y=-X+3

-5 5 10 15 20 25

5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

x

y



CAPÍTULO VI –ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GR ADO CON VALOR ABSOLUTO

Actividad Diagnóstica 1.

2.

3.

4.

5.

6. 3 unidades 7. No

Ejercicios 6.1

1.

2. 330 =⇔=− xx

3.

4.a. { }3y3 −>< xxx 4.b. ( )33;− 4.c. 33 <<− x 4.d. 3<X

5.

6. 35 =−x

7.

8.a. { }82 << xx 8.b. ( )82; 8.c. 82 << x 8.d. 35 <−X

9.

10. 42 >+x

11.

12. 352 =−x

13.

14.a.

><

2

7y

2

13xxx

14.b.

2

13

2

7;

14.c. 2

13

2

7<< x

14.d. 352 <−X

15. Los puntos cuya distancia a –3 es mayor a

2

1unidad.

16. Los puntos cuya quíntuple distancia a 1 es menor que 2 unidades.

17. Los puntos cuya distancia al origen es positiva y menor que 5.

18. 3=x 19. 32 ≤−x 20. 64 ≤+x

21. 2>x 22. 31 >−x 23. No hay expresión.

24.

25.

26.

27.

28.

29. Los puntos cuya distancia a 1− es menor que 3

30. El mínimo valor que puede tomar 1+x es

cero, porque es una distancia

31. Los puntos cuya distancia a 1− es menor que 3, por lo

tanto { }24 <<− xx ó ( )24;−

-3 -2 -1 1 2 3 0

-2 -1 0 1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3 0

-3 -2 -1 1 2 3 0

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 0

0 5 7/2 13/2

1 2 3 4 5 6 7 8 0

1 2 3 4 5 6 7 8 0

0 5 7/2 13/2

-1 1 2 3 4 5 6 7 0

-2 -1 1 2 3 0



Ejercicios 6.2

1.

−

3

71, 2.

−

2

1

3

2, 3. { }2− 4.

−−

312, 5.

5

82,

6.

13

120, 7.

−− 5

73 , 8. ∅ 9. ∅

Ejercicios 6.3

1.

−35

31

, 2.

87

83

, 3.

∞

−∞− ,,2

1321

U 4. [ )∞

−∞− ,, 43

8U

5.

−3

17, 6. { }0 7. [ ]22,− 8. [ )∞

∞− ,, 858

U

Ejercicios 6.4

. 1.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

1

2

3

x

y

2.

-2 -1 1 2 3

1 2

3 4 5

x

y

3. Es la misma

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1 2

3 4 5

x

y

4. xy −= es la simétrica con respecto al eje x de xy ==== . Tienen un punto en común ( )00 , y difieren en

el rango Gráfica Punto 4

x -4 -2 2 4

-4

-2

2

4 y

5.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

2 3 4 5 6 y

1 x

6.

2

8/3

x

y

7.

1

1

2

x

2/7

y

8.

2 4 6 8 10 12

-3

-2

-1

1 y

x

9.

-3 -2 -1 1 2 3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 x y



10. 451 ,, − 11. 635 ,, 12. [ )∞,2

13. ( ]0,−∞ 14.

∞−

∞3

2:decre

3

2:crec ,, 15. ( ) [ )∞∞ -3,:decre ,-3-:crec

16. 3

2 minimo tiene, no maximo 17. tiene no minimo

6

5 maximo


1.a. 2 1.b. 4

7 1.c.

2

3 1.d.

4

7

1.e. 6 1.f. 1 2.a. 2

7 2.b.

8

11

2.c. 1 3. 1 4. 3 5. 11

6. 15

2 7. –15 8. –3 9. 11

10. π−4 11. π−4 12. 3 13. 1

14. 713 ,− 15. 4 16. 2

5 17.

90

229

18. 3

5 19.

3

29− 20. Verdadero 21. Falso

22. Falso 23. Falso 24. Falso 25. 4, 6, 5, 12, 4

26. { }711 −− , , ( ] [ )∞−−−∞ ;; 28 U , [ ]31; , ( )122;− ,

( ) ( )∞−−∞ ;; 33 U 27.a. 25 27.b. 85

27.c. 85 28. 100m ó 500m 29. 2,25 millas ó 0,75 millas

30. { }32 −, 31. { }10 32.

−

34

2,

33. ( ] [ )∞−−∞ ,, 511 U 34. [ ]42, 35.

29

45

,

36. [ ]2418,

37.

−

316

54 ,

38. ∅

39. ( )53,−

40. ( ] [ )∞−−∞ ,, 78 U

41. 42. 41 += xy

22 +−= xy

13

13 −−= xy

43. ( )

−<+−≥+−

=1si4

1si2

xx

xxxf ó

( ) 31 ++−= xxf

44.

−4

1

4

15, y

−2

5

2

9,

45. 1−= xy

46. 2−= xy

47. 1+−= xy

48. 23 −+= xy

-2 2 4 6

-4 -3 -2

-1

1 x

y



CAPITULO VII – FACTORIZACIÓN


1. 34 2 −−−−−−−− xx 2. ( )32a +x 3. ( )4m −x 4. ( )vuuv 233 + 5. ( )346 +x 6. ( )( )xx −+ 1010 7. ( )( )7373 −+ xx 8. ( )( )5454 −+ xx 9. ( )( )yxyx 5252 −+ 10. ( )( )549 −+ xx 11. ( )24852 2 ++ xx 12. ( )( )410 ++ xx

13. ( )( )38 −− xx 14. ( )( )68 −− xx 15. ( )( )79 −− xx 16. ( )( )78 +− xx 17. ( )( )yxyx 218 −+ 18. ( )( )yxyx 410 +− 19. ( )( )412 −− xyxy 20. ( )( )216 +− xyxy 21. ( )( )145 −+ xx 22. ( )( )2102 −+ xx 23. ( )( )126 −− xxy 24. ( )( )532 ++ xx 25. ( )( )yxyx −+ 26. ( )( )11 2 ++− xxx 27. ( )1432 22 −− mmm

28. ( )( )( )( )22222 424222 yxyxyxyxyxyxyx +−++−+

29. ( )( )110100110 242 +−+ xxx 30. ( )( )xx 4325 +−

31. ( )( )baba −−++ 2424 32. ( )4335 22 +− xxx

33. ( )( )432234 nmnnmnmmnm +−+−+ 34. ( )( )22 babababa ++++− 35. ( )( )48 −+ xx 36. ( )( )43 ++ rr

37. 2

54

+

yx 38. ( )( )2222 332332 babababa +−++

39. ( )( )nmba 354 2 +−

40. ( )( )( )( )2222 4694692323 nmnmnmnmnmnm +−++−+ 41. ( )( )dcnadcna −−−++− 42. ( )( )nmbanmba 3232 −−++++ 43. ( )( )475 −+ xx 44. ( )234 ba −

45. ( )335 −x 46. ( )( )122 +++− yxyxyx 47. ( )( )15341534 ++−−−− mxamxa 48. ( )( )xaxxyy 3222 −−+ 49. No es factorizable en los enteros. 50. ( )( )yxxyxx 357357 22 +−−+

51. ( )25 yx − 52. ( )( )( )12214254 2 +−+− xxxx

53. ( )( )22 axbx −− 54. ( )( )( )yyy +−+ 2212

55. ( )( ) ( )( )252553 2 −++++− yxyxyxyx 56. ( )( )2534 −− xyxy

57. ( )( )2943 ++ abab 58. ( )( )33 +−++ yxyx

59.

+−

+ ba

baaaba

a

zyzyxx

zyx 64

32232

2422

1

60. ( )( )851 −+ xx 61. ( )( )46 −+ xx 62. ( )( )16 +− xx 63. ( )( )252 −+ xx 64. ( )( )3432 −+ xx 65. ( )( )xx −+ 527

66. ( )( )22422 yyaxxayax +−+ 67. ( )( )2222 333 yaya +−

68. ( )( )cabcab +− 22 69. ( )( )zxyzxy 33 +−

70. ( )( )( )422222 dcbacdabcdab ++− 71. ( )( )2242 16129432 yyxxyx ++−

72. ( )( )12412 222 ++− abccbaabc 73. ( )( )22424 422 zzyyzyy ++− 74. ( )( )22 +− xx

75. ( )26+x 76. ( )( )3483 −+ xx 77. ( )( )7645 −+ xxa



78. ( )( )43 −+++ yxyx 79. ( )( )833 22 −− xx 80. ( )zyx ++4

81. ( )( )baybay ++−+ 82. ( )2abx − 83. ( )( )( )1122 +−+ xxy 84. ( )( )dcdab ++ 85. ( )( )132 ++ xx 86. ( )( )11 +++ aaxx 87. ( )( )14++ cba 88. ( )2322 yxx + 89. ( )215 +xcx

90. ( )22 baat + 91. ( )22+xa 92. ( )( )ax ++ 42

93. ( )( )153 ++ xx 94.

+

−3

2

23

2

2

xx 95. ( ) 22100

1+x ó ( ) 22

25

1+x

96. ( )213100

1−x 97. ( )232 −x

98. ( )( )22 16202545 srsrsr ++− 99. No es factorizable en los enteros

100. ( )32−x 101. ( )( )11 ++−+ yxyx 102. No es factorizable en los enteros 103. No es factorizable en los enteros 104. ( )( )dcbadcba 2222 −−++++ 105. ( )237 ++ yx

106. ( ) 32 yx − 107. ( )345 −y

108. ( )33+zz 109. ( )21++ aax

110. 2

3

−y 111.

+

− 1414 xx

112.

+

− 10108 xx 113. ( )( )2332 −+ nn bbb

114.

−

+

97

97 55

xn

xn b

ab

a 115. ( )( )51 3 ++ xx n

CAPÍTULO VIII – RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLIN OMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Ejercicios 8.1

1. { }3− 2.

−

2

1

3

2, 3. { }1313 ,−

4. { }310 ,− 5.

−

2

3

2

3, 6. { }2112 ,,,−−

7. El grado define el máximo número de posibles raíces.

Ejercicios 8.2

1.

+− 114114 , 2.

−

3

21,

3.

+−2

293

2

293,

4.

+−−− 623623 ,

5. ∅



Ejercicios 8.3

1.

+−6

939

6

939, 2.

+−−−2

2310

2

2310,

3.

+−5

55

5

55, 4.

+−

15

70

3

1

15

70

3

1,

5.

−

2

1

2

3, 6.

− 2

3

1,

Ejercicios 8.4

1. Tiene 2 soluciones reales diferentes 2. Ninguna solución en los reales

3. Tiene una sola solución real

4. 02

22

2

22=

−−

+− dd

5. 02

102

2

102=

−−

+− xx 6. 0

3

5

3

5=

+

− xx

7. La ecuación cuadrática cuyas soluciones son 2

7=x y

3

1−=x es 07196 2 =−− xx

8. La ecuación cuadrática cuyas soluciones son 2

51+−=x y

2

51−=x es 012 =−+ xx

Ejercicios de Recapitulación 1. { }52 ,− 2.a. 18ó2 == dd

2.b. 9

85410ó

9

85410 −=

+= dd 3.

2

12 −=r

4. –13 y –12 ó 12 y 13 5. –5 y 2

6. 6 y 7 7. 6 cm

8. 7 9. 6, 8, 10

10. 2 u 11. –12 y –10 ó 10 y 12

12. 70m x 140m 13. 12cm x 5cm

14. 5m y 12m 15. 3und3

32 ππππ

16. 0,35cm 17. 10 filas, 18 hombres c/fila

18. 5 m 19. 20

91pies

20. 17,05cm 21. Largo:11,63 plg., Ancho: 15,03 plg.

22. 4cm x 5cm ó 7,36 cm x 0,68 cm



CAPÍTULO IX – INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARI ABLE

Ejercicios 9.1

1. ( ) ( )∞−−−∞ ,, 22 U 2. ( )31,− 3.

−2

31, 4. ( ) ( )∞−∞ ,, 52 U

5.

−5

3

5

3, 6. (((( ))))33 ,−−−− 7. ∅ 8. ∅

9. { }3− 10. ∅ 11.

+− 191191 , 12.

−−2

13 ,

13. ℜℜℜℜ Ejercicios 9.2

1. ∅∅∅∅ 2.

+−−

−−− 211121 ,, U

3. [ ]22 ,− 4. ( ] [ )∞

+−−∞− ,,, 3

2

171

2

1712 UU

5. ℜℜℜℜ Ejercicios 8.1 Ejercicios de Recapitulación

1. [ ]80 , 2. [ ]05 ,− 3. ( )21, 4. ( ] [ )∞−−∞ ,, 22 U

5. [ ]44 ,− 6. ℜℜℜℜ 7.

++− 255255 ,

8.

+20

5

21416, 9.

530 << m 10.a ( )0,−∞∈m 10.b

32=m

10.c ( )

∞−∞− ,,3

22 U 11. ( )10 ,

12. Falso. También puede ser 2−≤x 13. Falso. Es 11 ≤≤− x

14. 5153 ,, ≥−x 15.

∞

−∞− ,, 6464 U

CAPÍTULO X – FUNCIÓN CUADRÁTICA


1. 12272 22 −−−− aaa ,,, 2.a.

2.b.

3.a. ( ) 522 −−−= xxxf 3.b. No se puede. 3.c.

2 4

-6

-4

-2

2 x

y

-4 -2 2

2

4

6

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 y

x



4.a. ( ) 34

15

4

3 2 +−= xxxf

4.c. ( ) 32 2 +−= xy

5.a. Falso

5.b. Verdadero

5.c. Verdadero

5.d. Falso

5.e. Verdadero

5.f. Verdadero

6. La c

4.b. Hay infinidad de parábolas que cumplen con esta condición.

7.a. 22 xy −= 7.b. 42 +−= xy 7.c. ( ) 212 2 −−= xy 7.d. ( ) ( ) 5452 22 +−=+−= xyóxy 7.e. 4=a

7.f. 22

1 == ca 8. 12 −= xy

9. ( )21−= xy

10. 22 xy = 11. 12 2 +−= xy 12. ( ) 213

1 2 −−−= xy

13. ( ) 123 2 ++= xy

14.

Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

Coordenadas del vértice ( )10 −, ( )01, ( )00 ,

Ecuación eje de simetría 0=x 1=x 0=x

Coordenadas corte eje x ( ) ( )01y01 ,,− ( )01, ( )00 ,

Coordenadas corte eje y ( )10 −, ( )10 , ( )00 ,

Coordenadas punto máximo No aplica No aplica No aplica

Coordenadas punto mínimo ( )10 −, ( )01, ( )00 ,

Dominio ℜ ℜ ℜ

Rango [ )∞− ,1 [ )∞,0 [ )∞,0

Ecuación de la forma

( ) kha 2 +−= xy ( ) 10 2 −−= xy ( ) 01 2 +−= xy ( ) 002 2 +−= xy


cba 2 ++= xxy 12 −= xy 122 +−= xxy 22 xy =

Ecuación de la forma ( )( )21 rra −−= xxy ( )( )11 +−= xxy ( )( )11 −−= xxy ( )( )002 −−= xxy

Coordenadas del vértice ( )10 , ( )21 −, ( )12 ,−

Ecuación eje de simetría 0=x 1=x 2−=x

Coordenadas corte eje x

− 0

2

2y0

2

2,, No hay No hay

Coordenadas corte eje y ( )10 ,

−3

70 , ( )130 ,

Coordenadas punto máximo ( )10 , ( )21 −, No aplica

Coordenadas punto mínimo No aplica No aplica ( )12 ,−

Dominio ℜ ℜ ℜ

Rango ( ]1,−∞ ( ]2−−∞ , [ )∞,1

-2 -1 1 2 3 4 5 6 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-2 -1

1 2 3 4 5 6 y

x



Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 Ecuación de la forma

( ) kha 2 +−= xy ( ) 102 2 +−−= xy ( ) 21

3

1 2 −−−= xy ( ) 123 2 ++= xy


cba 2 ++= xxy 12 2 +−= xy 3

7

3

2

3

1 2 −−−= xxy 13123 2 ++= xxy

Ecuación de la forma ( )( )21 rra −−= xxy

+

−−=

2

2

2

22 xxy No aplica No aplica

15.a. 0 15.b. 22 ,− 15.c. 4− 15.d. ( )40 −,

15.e.

-3 -2 -1 1 2 3 -1

1

2

3

4

5 y

x

15.g.

-2 -1 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 y

x

15.f. ( ) 2xxg =

15.h. ( ) ( ) ( )4242 2 −−−= ,,xxh

16. 245 : 17. 000205.$ 18. pies3119 ,

20.a. 3y

20.b. 4y

20.f. 55 × 20.g. Hay muchas posibilidades

CAPÍTULO XI – SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES

Ejercicios 11.1

1. ( ){ }313 ,

2.

+−−

−−+6

29176

2916

29176

291 ,,,

3. ∅∅∅∅ 4.

−−−

+−+3

135

3

134

3

135

3

134,,,

5. ( ){ }53 ,

Ejercicios 11.2

1. ( ) ( ){ }7311 ,,,−− 2. 3. ( )31,−

4.

+−2

233

2

233,

5.

− 22 ,

X

Y

-2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

10




1. ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) 532523134 2 −+=+=−−− xxgxxf,,,

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1012239

82

3

123 22 +−−=+−=

xxkxxh,,,

3. ( ) ( ) 633333 2 +−==

−

xxmxl,,,

4. ( ) ( ) ( ) ( ) 533

13

3

4

3

11573 2 −−=+−=

−− xxlxxj,,,

5. cm 3 y cm 5 6. 35 7. m69679 y m3120 ,,

CAPÍTULO XII – FRACCIONES ALGEBRAICAS Ejercicios 12.1

1. 0 y 0 para 54 2 ≠≠≠≠≠≠≠≠−−−− yxxy 2. 0 para 23 ≠≠≠≠−−−− xyx

3. 0 y 0 para 23 2 ≠≠≠≠≠≠≠≠−−−− yxxy 4. 0 y 0 para 1 2 ≠≠≠≠≠≠≠≠−−−−++++ yxxx 5. 0 y 0 para 23 ≠≠≠≠≠≠≠≠++++ yxyx 6. 2 2 ,1 Para ≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠ aaa , Ejercicios 12.2

1. 0 para 23 ≠≠≠≠−−−− aaa 2. 0 para 23 ≠≠≠≠−−−− aa

3. 0 para 42 ≠≠≠≠++++−−−− aa 4. 0 para 4

32

4

≠zyxz

y,,

5. baba 2 y 3 para 61 ≠−≠ 6. (((( )))) 04 para

24

94811 2≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠

++++−−−−−−−−−−−−

xxxx

xx,

7. 2

1

3

123 para

3

3≠≠≠≠≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠≠≠≠≠

−−−−++++

xxxxx

x,,, 8.

( )( )( )( ) 41 para

14

32≠±≠

+−

−−aa

aa

aa,

9. ( )( )0ypara

333

96927

3

22223

≠±≠

+−−+−+

yyx

xyyxyxxyxyyxx

10. 2

3

53

2 para

32

1 yx

yx

yx

yx−−−−≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠≠≠≠≠

++++,,

Ejercicios 12.3

1. 4 :Residuo 339 :Cociente 2 −+ yy 2. 3682 :Residuo 31124 :Cociente2 −++ xxx

3. 232 5 :Residuo 6 :Cociente yyyyxy −+− 4. 2 :Residuo 23 :Cociente 2 +− xx

5. 1 :Residuo 12 :Cociente 2 −− xx 6. 72 :Residuo 43 :Cociente −+ xx

7. ababbabaa ++−−+ 22234 526

8. 2+x 9. 3 10. 32

13712

2 −+

++−

xx

xx

11. 1532 13. 2 y 3 14. 3 y 3 242 +−+−− xxxx




1. 1320 Para 2 +−−≠ xxx 2. aa 40 Para ≠

3. ( )

6

14

41 y 06 Para

++

−−≠x

xxx , 4. ( )( )5213

34

2

5- y

3

1 Para

+−≠

rrr

r

5. ( )213

76

3

1 Para

+

−−≠

x

xx 6.

4

23 1520 Para

t

tttt

++−≠

7. ( )22

23

32

63661018

2

3 y 0 Para

−

+−−≠

xx

xxxx 8.

255

2 4,-2,,0 Para

+±±≠

a

aa

9. x

xx

120 y 2 Para

−−≠ 10.

710

15723 - y 1 Para

2

2

++

++−≠

xx

xxx

11. 2a6a2a3-3a Para −−+≠ xxx 12. ( )( )1a2a2-2a Para +++≠ xxx

13. aaa 5 0 Para 3 +≠ 14. aa 2 0 Para −≠

15. 3

422 y 3 Para

2

−++

±≠p

ppp , 16.

( )a

baba

−−≠±≠ 0b y 0b Para ,

17. baa −≠≠ 0b y 0 Para 18. yx

yxyxyx

+++

≠≠22

0 y 0 Para

19. ( )

( ) ( )xx

xxx

−+

+−−≠

11

541 y 0 Para

2 20. ( )( )srsr

rssr

+−≠≠ 0 y 0 Para

21. 125 0 Para +−≠ aa 22. ( )( )10 y 0 Para −−−≠≠ bababa

23. ( )

23

33

3

2 - Para

++

≠x

xaxx 24. aa 6 0 Para ≠

25. 13 s y21 Para ±≠≠−≠ ss , 26. 1

16

24

3

++

−

xx

x

27.a 12

17 27.b 72 ±

28. ( )( )2223 2 +−+ xxx 29. Da la misma respuesta

CAPÍTULO XIII – RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRA ICAS EN UNA VARIABLE

Ejercicios 13.1

1. { }3

13 y

2

53 si3 ,−≠x 2. { } 18 y 0 si 636 ≠s,

3. 2 si 9

5±≠

y 4. 1 si 2

13 ≠

x,

Ejercicios 13.2

1. ( ) [ ) 7 si 37 −≠∞−−∞ x,, U 2. ( ) ( ) 8 si 83 ≠∞−−∞ x,, U

3. ( ) ( ) 8 si 68 −≠∞−−−∞ x,, U 4. [ ) [ ) 2 si 2123 ±≠−− x,, U



5. 2 si −≠∅ x 6. 3 y 0 si 32

3

2

3≠

−∞− x,, U

7. ( ] ( ] 1 y 2 si 3112 −≠−− x,, U 8. [ ) 2 si 322

1≠∞

− x,, U

Ejercicios 13.3

1. 32

32

322

−

−− ,, U 2.

61

31-

31

65

−− ,, U

3. 9100

31

− ,, U 4. { }3−ℜ

Ejercicios 13.4

1. 21 si 7

1

2

47 −≠≠

yx, 2. 00 si

5

11

7

22 ≠≠

−− yx,


1.

≠

3

4 si

7

18x, 2.

≠ 8 si

97

744x,

3.

≠≠

3

2 y 1 si 0 xx, 4. { }ba y ba si b3 −≠≠,

5. ( )

( )( )

≠

++++

0c y ba, si abc1cba

abcabc 2, 6.

≠≠≠

+-nm y 0p 0 si

r

nm,, x

7.

≠ 1 si

3

4x, 8. ∅

9. { }2n si 1 ±≠, 10. { }17 si 5 −±≠ ,, x

11. { }0y2 si 2 ≠−≠ yy ,, 12. [ ) 1 si 14 ≠− x,

13. 0 si 2

50 ≠

x, 14. ( ] ( ) 1 si 101 ±≠∞− x,, U

15. ( ) ( ) 0 si 10 ≠∞−∞ x,, U 16. ( ] 1 si 13

2≠∞

∞− x,, U

17. ( ) 2 si 2 ≠−∞ x, 18. 3 si ≠∅ x

19. 3

7y

2

3 si

4

7

14

31

2

3≠

∞

c,, U 20. ( ) 2 y 3

2

3 si 32 ,, −≠x

21. ( ) ( ) 2 y 13 si 321 −≠∞− ,,, xU 22. ( ) ( ) 2 y 1 si 1123 −−≠−−− x,, U

23. 3

1 y 0 si 0

3

1−≠

− x, 24. 1 si 2

3

2

1≠

∞

∞− x,, U

25. 1 si −≠∅ x 26. 3 si 5

26

7

10,- ≠

∞

∞ x,U

27. { }1−ℜ 28. ( ) ( ) 10 si 2410 −≠∞−− x,, U

29. ( ] [ ) 2 y 1 si 112 ≠−−−∞ x,, U 30. 1 si 2

1

3

5−≠

∞−

−∞− x,, U

31. 2

215 y

2

215 −+ 32. Carlos 20 días, Andrés 30 días

33. 36 minutos 34. 1 hora 52 minutos

35. { }

−−

3

1

3

2

3

5 ó 654 ,,,, 36. 22 y 24



CAPÍTULO XIV - EXPONENTES RACIONALES Ejercicios 14.1

1. 211

0 Si yy −> , 2. 22

220 y 0 Si

xy

yxyx

+≠≠ ,

3. 0 para 6077 2

7

≥xx 4. 34

32

31

4

2413

2

222

+

−

+

−

x

xxx

5.

( )23

94

1812

2 +

+−

x

x 6. 10 y 0 Si ,≠≠ yx

7. 1063

25

5

5

00 Sixy

yxyx

−≠> ,, 8.

+>> 54

29

2103

10 y 0 Si xyy

xyx ,

9. 10

30 y 00 Si

y

zxxyz ,, ≠≠> 10.

90 y 0 Si

5 xyyx ,≠≠

11. ( ) ( ) 3

2

32236

19623

32 Si

23

++

−−−≠−≥xx

xxx ,,

Ejercicios 14.2

1. { }1 si 5 ≥x 2. { }2 si 4 ≥x 3. { }0 si 25 ≥x 4.

≥

4

3 si 3 x

5. { }1 si 2 ≥x 6. { }2 si 6 ≥x 7. 15=c 8. 4

15

2

33

2

17

2

41 ó 313517 ,,,,,,

Ejercicios de Recapitulación .

1. ba

1 , -ba Si

+≠ 2. 1 , 0 y 0 Si ≠≠ yx 3. 1 , 0a Si ≠ 4.

4

34

x , 0 y 0a Sia

x >>

5. 5 4484 5 zyx 6. 820 Si ,≥x 7.

3

4 si

3

32≥

x 8. { } 2 si 6 ≥a

9. { } 0 si 64 ≥w 10. { } 5 si 9 ≥z 11. { } 3 si 4 ≥x



CAPÍTULO XV - EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS Ejercicios 15.1

1. { }13 −, 2. { }4 3. { }0 4.

−

3

2 5.

9

2

Ejercicios 15.2

1. 2

5 2. 1 3. 2− 4.

c

axlog 5. 431,

6. 7052 , 7. 6=x 8. 6=x 9. 2 ó 5 == xx 10. 100 ó 1 == xx

11. 3=x 12. 16=x 13. soluciónhay No 14. 4141 === xxx ,,

Ejercicios de Recapitulación.

1. { }1− 2.

2

1 3.

+

3

265

log

log 4. { }3

5. { }4 6. { }33 7. { }10 , 8. { }1

9. { }e 10.

+ 5e 11. { }63 12. { }432 −=== zyx ,,

13.

∞−2

5, 14. ( )∞,2 15. ( )∞

−∞− ,, 32

3U

18. El error está en la segunda línea ya que no se cambió el sentido de la desigualdad.

CAPÍTULO XVI - FUNCIÓN COORDENADA

Ejercicios 16.1

1. ππππ10

2. 2

17 ππππ 3.

2

15 ππππ

4. ( )

=+ℜ 1 :Rango : Dominio 22 yxyx ,

5. La abscisa es igual y la ordenada es el opuesto aditivo. 6. ( )10 , 7. ( )01 ,− 8. ( )10 ,

9. II cuadrante. 10. II cuadrante 11. I cuadrante

12. III cuadrante. 13. III cuadrante 14. IV cuadrante

15. III cuadrante 16. III cuadrante



Ejercicios 16.2

1.

2

1

2

3, 2.

−

2

2

2

2, 3.

2

2

2

2,

4.

−−

2

1

2

3, 5.

2

3

2

1, 6.

−

2

2

2

2,

7.

−

2

1

2

3, 8.

2

3

2

1, 9.

5

3 ππππ

10. 5

7 ππππ 11. 5

8 ππππ


1. No pertenece

2. 6

5 ππππ− 3. 4

5ó

4

ππππππππ

4. 4

7ó

4

3 ππππππππ 5.

4

7ó

4

3 ππππππππ

6. Verdadero

7. Verdadero 8. Verdadero 9. Verdadero 10. Falso 11. Verdadero, ya que a pesar de

que la hipótesis es falsa 12. 2

13. 2

14. 2

1324

++

15.

13

12

13

5,

16.

−13

12

13

5, 17.

−−13

12

13

5, 18.

−13

12

13

5,

19.

−−13

12

13

5, 20.

5

1− 21. 5

CAPÍTULO XVII - FUNCIÓN CIRCULAR Ejercicios 17.1

1. 2

2 2. 21 3. 3− 4. 2

5. 3

3− 6. 2 7. 23 +

8. 1−

9. 362 + 10. 2 11. III Cuadrante 12. II Cuadrante

13. 3

3 14. 2− 15.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )31

310

103

10

1

10

3

−==

−=−=

−==

ss

ss

ss

ctgcsc

sectan

cossen



Ejercicios 17.2

1. 2.

3. 4.

5. 6. xy sen2= , Rango: [ ]22 ;−

Amplitud: 2 ,Coord. Pto. Máximo:

π2

2,

Coord. Pto. Mínimo:

−π2

2

3,

Creciente:

ππ

π2

2

3

20 ,, U

Decreciente:

ππ2

3

2, , y > 0: ( )π,0

y < 0: ( )ππ 2, ,y = 0: ππ 20 ,,

7. xy sen2

5−= , Rango:

−2

5

2

5; , Amplitud:

2

5, Coord. Pto. Máximo:

π2

5

2

3,


−π2

5

2, , Creciente:

ππ2

3

2, , Decreciente:

ππ

π2

2

3

20 ,, U

y > 0: ( )ππ 2, , y < 0: ( )π,0 , y = 0: ππ 20 ,, 8. xy sen3= 9. xy sen2−=

ππππ/2 ππππ 3ππππ /2 2ππππ

-1.0

-0.5

0.5

1.0

ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5


-2.0-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.52.0


-2.0-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.52.0


-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0



Ejercicios 17.3

1. 2.

3.

4.

5. Rango: [ ]5451 .;. , Amplitud: 1.5

Coord. Pto. Máximo:

2

9

2

3,

ππππ


π

23

2,

Creciente:

2

3

2

ππππππππ,

Decreciente:

ππππππππππππ

22

3

20 ,

,, U

y > 0: ( )ππππ20 , , y < 0: Para ningún valor de x y = 0: Para ningún valor de x

6. ( ) 502 .+−= xseny 7. No hay cortes con el eje x, corta al eje y en 2.5, el rango es : [[[[ ]]]]32; Amplitud: 0.5

Coord. Pto. Máximo:

3

2,

ππππ, Coord. Pto. Mínimo:

2

2

3,

ππππ Creciente


22

3

20 ,

,, U

Decreciente: :

2

3

2

ππππππππ, , y > 0: (((( ))))π20, y < 0: Para ningún valor de x y = 0: Para ningún valor de x


-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0


-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5

0.51.0

ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ-1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ-1.0-0.5

0.51.01.52.02.53.03.54.0

ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ-1.0-0.5

0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0



Ejercicios 17.4

1. 2.

3.

4.

5. Coord. Pto. Máximo:

8

2,

ππππ


4

2

3,

ππππ

Decreciente:

2

3

2

ππππππππ, , Creciente:


22

3

20 ,

,, U

y > 0: ( )ππππ20 , , y < 0: Para ningún valor de x y = 0: Para ningún valor de x Rango: [ ]84 ; , Amplitud: 2


2

1

2,

ππππ


−2

3

2

3,

ππππ

Decreciente:

2

3

2

ππππππππ, , Creciente:


22

3

20 ,

,, U

y > 0:

6

5

6

ππππππππ, , y < 0:


26

5

60 ,, U

y = 0: 6

5

6

ππππππππ == xx

Rango:

−2

1

2

3; , Amplitud: 1

π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π 5π/25π/25π/25π/2

−π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2

−3.0−3.0−3.0−3.0

−2.0−2.0−2.0−2.0

−1.0−1.0−1.0−1.0

1.01.01.01.0

π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π−0.5−0.5−0.5−0.5

0.50.50.50.51.01.01.01.01.51.51.51.52.02.02.02.02.52.52.52.53.03.03.03.03.53.53.53.54.04.04.04.04.54.54.54.5

−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ

−3.5−3.5−3.5−3.5−3.0−3.0−3.0−3.0−2.5−2.5−2.5−2.5−2.0−2.0−2.0−2.0−1.5−1.5−1.5−1.5−1.0−1.0−1.0−1.0−0.5−0.5−0.5−0.5

0.50.50.50.5

π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π

1.01.01.01.02.02.02.02.03.03.03.03.04.04.04.04.05.05.05.05.06.06.06.06.07.07.07.07.08.08.08.08.0


−1.5−1.5−1.5−1.5

−1.0−1.0−1.0−1.0

−0.5−0.5−0.5−0.5

0.50.50.50.5

1.01.01.01.0

1.51.51.51.5




−4

1

2

3,

ππππ


−−4

5

2

33,

ππππ

Decreciente:

−−2

33

2

3 ππππππππ,

Creciente:

−π−π

−π

232

233

23

23 ,, U

y = 0: Los valores se obtienen usando calculadora

Rango:

−4

1

4

5; , Amplitud:

4

3

8.

−=6

2ππππ

xy sen

Ejercicios 17.5

1. 2.

3.

4.

5.

−2−2−2−2 −1−1−1−1 1111 2222 3333 4444 5555

−1.5−1.5−1.5−1.5

−1.0−1.0−1.0−1.0

−0.5−0.5−0.5−0.5

0.50.50.50.5

π/6π/6π/6π/6 π/3π/3π/3π/3 π/2π/2π/2π/2 2π/32π/32π/32π/3

−1−1−1−1

1111

ππππ 2π2π2π2π 3π3π3π3π 4π4π4π4π 5π5π5π5π 6π6π6π6π 7π7π7π7π 8π8π8π8π

−1−1−1−1

1111

ππππ

−1−1−1−1

1111

0.50.50.50.5 1.01.01.01.0 1.51.51.51.5 2.02.02.02.0

−1−1−1−1

1111

10π/310π/310π/310π/3 20π/320π/320π/320π/3 10π10π10π10π 40π/340π/340π/340π/3

−1−1−1−1

1111



Ejercicios 17.6

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8. ( )xsenyóxy 44 −== sen

9. ( ) ( )π+−=π+= xsenyóxy 3737 sen

10. 22

32 −

π+= xy sen

11. Para la función 36

32 +

π−= xy sen :Amplitud: 32 , Período : ππππ2 , Desfase: derecha la a 6

π,

Traslación vertical: x eje del arriba unidades 3

Para la función 13

22 −

π−−= xseny : Amplitud: 2 , Período : ππππ , Desfase: derecha la a 6

π

Traslación vertical: x eje del abajo unidad 1

2π/32π/32π/32π/3 4π/34π/34π/34π/3 2π2π2π2π 8π/38π/38π/38π/3 10π/310π/310π/310π/3 4π4π4π4π 14π/314π/314π/314π/3

−1−1−1−1

1111


−1−1−1−1

1111

2222

π/4π/4π/4π/4 π/2π/2π/2π/2 3π/43π/43π/43π/4 ππππ 5π/45π/45π/45π/4 3π/23π/23π/23π/2

−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222

−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π

−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222

−π/15−π/15−π/15−π/15 π/15π/15π/15π/152π/152π/152π/152π/15π/5π/5π/5π/54π/154π/154π/154π/15π/3π/3π/3π/3 2π/52π/52π/52π/57π/157π/157π/157π/158π/158π/158π/158π/153π/53π/53π/53π/52π/32π/32π/32π/3

−1−1−1−1

1111

−π/3−π/3−π/3−π/3 π/3π/3π/3π/3 2π/32π/32π/32π/3 ππππ 4π/34π/34π/34π/3 5π/35π/35π/35π/3 2π2π2π2π 7π/37π/37π/37π/3

−1−1−1−1

1111

−0.5−0.5−0.5−0.5 0.50.50.50.5

−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222



12.

13. menterespectiva6

7

66

13

6

ππ

ππ,,

14. Para la primera función :

Cortes en el eje x : Zxx ∈π+π=π+π= k conk26

11yk2

2

3, Corte con el eje y : 33 +−=y

Para la segunda función :

Cortes en el eje x : Zxx ∈π+π=π+π= k conk12

13yk

4

3, Corte con el eje y : 13 −=y

15. Para la primera función en el ciclo fundamental: Máximo

+π323

3

2, , Mínimo:

+−π332

3

5,

Para la segunda función en el ciclo fundamental Máximo

π1

12

11, , Mínimo

−π3

12

5,

16. Para la primera función en el ciclo fundamental

ππ

ππ6

13

6

11

2

3

6,, U

Para la segunda función en el ciclo fundamental

ππ12

13

4

3,

Ejercicios 17.7

1.

2.

3.

4.

5.

6. ( )π+= xy 37 cos

7.

π+=

435 xy cos

8. π== Período2Amplitud ;

abajo1 Vert.Trasl.6

Desfase =π= ;

−π−π−π−π ππππ 2π2π2π2π−1−1−1−1

1111222233334444

555566667777

−5π/3−5π/3−5π/3−5π/3−4π/3−4π/3−4π/3−4π/3−π−π−π−π−2π/3−2π/3−2π/3−2π/3−π/3−π/3−π/3−π/3 π/3π/3π/3π/32π/32π/32π/32π/3 ππππ 4π/34π/34π/34π/35π/35π/35π/35π/3 2π2π2π2π

−3−3−3−3

−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222

−π π 2π−1

1

2

3

x

y

−π π 2π

−1

1

2

x

y

−π π 2π

−4−3−2−1

123

x

y

−π π 2π

−0.8

−0.4

0.4x

y

−π π 2π

−1



9.

10.

ππ

67

6,

11. Cortes con el eje x:

Zkkx ∈π+π= ,2

Zkkx ∈π+π= ,6

5

Cortes con el eje y: 2−=y

12. Máximos: Zkkx ∈π+π= ,33

2

Mínimos: Zkkx ∈π+π= ,6

13.

ππ

65

2,


1. Intervalo Función Comportamiento Desde Hasta

ππππ2

0 ,

θθθθsen Creciente 0 1

θθθθcos Decreciente 1 0

θθθθtan Creciente 0 Indeterminado

θθθθsec Creciente 1 Indeterminado

θθθθcsc Decreciente Indeterminado 1

θθθθcot Decreciente Indeterminado 0

ππππππππ

,2

θθθθsen Decreciente 1 0

θθθθcos Decreciente 0 – 1

θθθθtan Creciente Indeterminado 0

θθθθsec Creciente Indeterminado – 1

θθθθcsc Creciente 1 Indeterminado

θθθθcot Decreciente 0 Indeterminado

ππππππππ2

3,

θθθθsen Decreciente 0 – 1

θθθθcos Creciente –1 0

θθθθtan Creciente 0 Indeterminado

θθθθsec Decreciente –1 Indeterminado

θθθθcsc Creciente Indeterminado –1

θθθθcot Decreciente Indeterminado 0

ππππππππ

22

3,

θθθθsen Creciente –1 0

θθθθcos Creciente 0 1

θθθθtan Creciente Indeterminado 0

θθθθsec Decreciente Indeterminado 1

θθθθcsc Decreciente –1 Indeterminado

θθθθcot Decreciente 0 Indeterminado

2. Función Par / Impar Rango Período Valor máximo Valor mínimo

θsen Impar [ ]11 ,− π2 1 –1

θcos Par [ ]11 ,− π2 1 –1

θtan Impar ℜ π No existe No existe

θsec Par ( ] [ )∞−−∞ ,, 11 U π2 No existe No existe

θcsc Impar ( ] [ )∞−−∞ ,, 11 U π2 No existe No existe

θcot Impar ℜ π No existe No existe

−π π 2π

−3

−2

−1

1x

y



3. 3

4π 4. 1

5. 33

6. –1 7.

462 − 8.

262 −

9.

Rango:

−

31

31 .

10.

Rango: [ ]33,−

11.

Rango: [ ]73,−

12.

Rango: [ ]22,− 13.

Rango:

−

21

21 ,

14. Rango: [ ]31,

15. 16. Rango : [ ]40,

Rango: [ ]22.−


−1−1−1−1

1111

π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π 5π/25π/25π/25π/2 3π3π3π3π 7π/27π/27π/27π/2 4π4π4π4π

−3−3−3−3

−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222

3333


−3−3−3−3−2−2−2−2−1−1−1−1

1111222233334444555566667777


−3−3−3−3

−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222

3333


−0.5−0.5−0.5−0.5

0.50.50.50.5

−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π−0.5−0.5−0.5−0.5

0.50.50.50.51.01.01.01.01.51.51.51.52.02.02.02.02.52.52.52.53.03.03.03.03.53.53.53.5


−1.5−1.5−1.5−1.5

−1.0−1.0−1.0−1.0

−0.5−0.5−0.5−0.5

0.50.50.50.5

1.01.01.01.0

1.51.51.51.5


1.01.01.01.0

2.02.02.02.0

3.03.03.03.0

4.04.04.04.0



17. Amplitud: 3 Período: π2 Desfase: 2

π

18. Amplitud: 1 Período: π2 Desfase: 4

π−

19. Amplitud: 1 Período: 3

2 π Desfase: tiene no


2 π Desfase:

3

π−

21. Amplitud: 2 Período: π Desfase: π−4


2 π Desfase:

15

π−

23. Amplitud: 6 Período: 2 Desfase: No tiene

24. Amplitud: 4

1 Período: 4 Desfase: No tiene


−3.0−3.0−3.0−3.0

−2.0−2.0−2.0−2.0

−1.0−1.0−1.0−1.0

1.01.01.01.0

2.02.02.02.0

3.03.03.03.0


−1.0−1.0−1.0−1.0

1.01.01.01.0

−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2

−1.0−1.0−1.0−1.0

1.01.01.01.0


−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222


−2−2−2−2

−1−1−1−1

1111

2222

−4π/5−4π/5−4π/5−4π/5 −2π/5−2π/5−2π/5−2π/5 2π/52π/52π/52π/5 4π/54π/54π/54π/5 6π/56π/56π/56π/5 8π/58π/58π/58π/5

−1−1−1−1

1111

−2−2−2−2 −1−1−1−1 1111 2222 3333 4444

−6−6−6−6−5−5−5−5−4−4−4−4−3−3−3−3−2−2−2−2−1−1−1−1

111122223333444455556666

−2−2−2−2 −1−1−1−1 1111 2222 3333 4444

−0.50−0.50−0.50−0.50

−0.25−0.25−0.25−0.25

0.250.250.250.25

0.500.500.500.50



25. Período: π , Amplitud: 1, Desfase:2

1

Corte con eje x:

∈+π

= Zxx k2

1k

Corte con eje y: ( )( )10 sen−,

26. Período: π8 ,Amplitud: 4

1, Desfase: No tiene

Corte con eje x: No tiene

Corte con eje y: 4

5

27. Período: π4 , Amplitud: 1, Desfase: π Corte con eje x: No hay Corte con eje y: 2

28. Período: π2 , Amplitud: 2

1, Desfase: No tiene

Corte con eje x: { }Zxx ∈π= kk

Corte con eje y: 0 29. Período: π4 , Amplitud: 2, Desfase: No tiene

Corte con eje x: No tiene Corte con eje y: 1−

30. Período: π , Amplitud: 3, Desfase: 4

π

Corte con eje x:

∈π

+π

= Zxx k2

k

4

Corte con eje y: 3−

31. Período: π Amplitud: 5 Desfase: 8

π−

Corte con eje x:

∈π+π

= Zxx kk8

U

∈π+π= Zxx kk

85

Corte con eje y: 2

25

32. Período: π3

2, Amplitud: 2, Desfase: No tiene

Corte con eje x:

∈π

= Zk3

kxx

Corte con eje y: 0

33. Período: π2 , Amplitud: 1, Desfase: 4

π−

Corte con eje x:

∈π

−π= Zxx k4

k

Corte con eje y: 2

2

34. Período: 3

2 π, Amplitud: 2, Desfase:

6

π

Corte con eje x:

∈π+π

= Zxx k3

k

Corte con eje y: 0

35. Período: π2 , Amplitud: 3, Desfase: 3

π izq

Corte con eje x:

∈π

−π= Zxx k3

k

Corte con eje y: 2

33

36. Período: 3

2 π, Amplitud: 2, Desfase:

6

π

Corte con eje x:

∈π+π

= Zxx k6

k3

Corte con eje y: 0

37. Período: π2 , Amplitud: 3, Desfase: π−

Corte con eje x:

∈π

−π= Zxx k2

k

Corte con eje y: 3−

38. Período: π4 , Amplitud: 2

1. Desfase:

3

2 π

Corte con eje x:

∈π

+π= Zxx k4

5k2

Corte con eje y: 4

1

39. Período: π4 , Amplitud: 1, Desfase: π

Corte con eje x:

∈π+π

=

∈π+π

= ZxxZxx kk43

13kk4

3

5U

Corte con eje y: 2

1−

42. ( )π−= 222

1xseny ó ( )π−−= 22

2

1xseny 43. Zkkx ∈−π= ,2



44. Zk2k ∈−π=x 45.

2

230 ,

46. ( )10 −, 47. ( )xy 3cos=

48.

π+−=

42

3

2

1 xseny 49.

π+π=

2xy cos

50. 2

1

22

1+

π+π= xy cos 51. El seno y el coseno, así como la secante y la

cosecante

52.

π

π

π2

4

5

40 ,, U

53. Dominio: ℜ Rango:

∈π+π

=−ℜ Zkkxx2

54.

CAPÍTULO XVIII - EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCI ONES CIRCULARES

Ejercicios 18.2

1. Verdadero 2. Verdadero 3. 4

62 + 4. 32 −−

5. ( ) ( ) ( )111 ssssen tancos −− 6. ( ) ( ) ( )111 ssssen tancos −− 7. ( ) ( ) ( )111 ssssen tancos−− Ejercicios 18.3

1. ( )

( )x

x

21

2

tan

tan

− 2.

( )( )x

x

sen

cos−1 3. Falso 4. Verdadero

5. Falso 6. Falso 7. Falso 8. Verdadero Ejercicios 18.4

1.

6

11

2

3

6

7 ππππππππππππππππ ,,, 2.

2

3

6

5

6

ππππππππππππ,, 3.

6

5

6

ππππππππ, 4.

4

7

4

5

3

2

3

ππππππππππππππππ,,,

π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2

−3−3−3−3

−2−2−2−2

−1−1−1−1



5.

6. . 7. 8.


17. ( ) ( )xx sencos2 18. 222

para Verdaderoππππππππππππ ≠≠≠ CBA

19. Falso 20. Falso 21. Falso 22. Falso

23. Zxxx ∈π=π+π=π+π= ncon , n ó n26

5ón26

24. Zx ∈++++= ncon , n24

3 ó n2

4ón2

6

7ón2

6

7ππππ

ππππππππππππππππ


25. Zx ∈++= ncon , nón2

ón4

ππππππππππππππππ

ππππ

26. Zx ∈+= ncon , n4

ππππππππ

27. Zx ∈++= ncon , nón6

5ón

6ππππππππ


CAPÍTULO XIX - FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejercicios 19.1

1.

− o36cos 2.

− o54cos 3.

− o30sen 4.

−8

3 ππππsen

5.

− o60cos 6.

−5

ππππsen 7.

− o72sen 8.

18

7 ππππcos

9.

−5

ππππtan 10.

− o54tan 11. ( ) 11 que yaNo, <<− xsen

12. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−=−==

−=−==

3

32

3

32

32

1

2

3

cuadrante segundo el En

xxx

xxx

ctgseccsc

tancossen ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=−=−=

=−=−=

3

32

3

32

32

1

2

3

cuadrante tercer el En

xxx

xxx

ctgseccsc

tancossen

13. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

===

===

84

233

88

322

31

cuadrante primer el En

xxx

xxx

ctgseccsc


( ) ( ) ( )

−==−=

−=−==

838

83

8

8

3

8

3

1

cuadrante segundo el En

xxx

xxx

ctgseccsc

tancossen

-1 1

-1

1

-1 1

-1

1

-1

1

-1

1



14. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

===

===

44

1717

4

1

17

174

17

17

cuadrante primer el En

xxx

xxx

ctgseccsc


( ) ( ) ( )

=−=−=

=−=−=

44

1717

4

1

17

174

17

17

cuadrante tercer el En

xxx

xxx

ctgseccsc

tancossen

15. Entre otros 3

ππππ 16. Entre otros 4

ππππ 17. θ− 18. θ

19. θ 20. Entre otros 4

3π 21. Entre otros 3

ππππ

Ejercicios 19.2

1. IV cuadrante. 2. IV cuadrante 3. IV cuadrante 4. II cuadrante

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23

313

213

32

13133

13132 −=α=α−=α−=α=α−=α ctgseccsctancossen

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 775025

71

1027

102 =α=α=α=α=α=α ctgseccsctancossen

7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12212

2

2

2−=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα ctgseccsctancossen

8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8

151517

817

158

1715

178 −=α−=α−=α=α−=α−=α ctgseccsctan,cos,sen

9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

4

4

5

3

5

4

3

5

4

5

3 ====== αααααααααααααααααααααααα ctgseccsctancossen

10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25

229

229

52

29295

29292 −=α−=α=α−=α−=α=α ctgseccsctancossen

11. 7

3−

Ejercicios 19.3

1. 15m 2. m310000003 −. 3. 9 km/h 4. '369 o

5. 123,8m 6. 28,6m 7. p73 8. 158,5m y 57,7m

9. 1,5m 10. 513,55m Ejercicios 19.4

1. oo 66511629 ,,, === γγγγββββa 2. triangulo de dposibilidahay No 3. 237940557 ,,, === bcoββββ

4. 6943313544 ,, === acoαααα 5. oo 88524982 ,,, === γγγγββββa 6. ooo 309060 === ββββλλλλαααα

7. o

16154, 8. p4367p8409 ,, 9. 26.05 pulgadas

10. 22.99 cm 45.51 cm 11. 8.48 cm 16.31 cm 12. km 437.=AB 13. m1411, 14.

o1115, 15. m963000 m46776 ,,

Ejercicios 19.5

1. En automovil,

0,6h 2. El buque. Llega

a 28 minutos 3. No se pueden

comunicar




1. definida No 1 definida, No , 2. 122 ,, 3. definida Nodefinida No1 ,,

4. 33

322 −− ,, 5. 122 ,, −− 6.

3

32

3

32,, −−

7. 0definida No1 ,,− 8. 3

32

3

32−− ,, 9. 122 −− ,,

10. definida No 1, definida, No

11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

4

4

5

3

5

4

3

5

4

5

3 −==−=−==−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15

8

8

17

15

17

8

15

17

8

17

15 =−=−==−=−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25

1

5

22

5

1

5

2 −=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα tancossentancossen

14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

2

2

13

3

13

2

3

13

132

13

133====== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

4

4

41

5

41

4

5

41

414

41

415−=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22

55

2

1

5

52

5

5−==−=−==−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

2

2

29

5

29

2

5

29

2

29


18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

110

3

103

10

1

10

3 =−===−== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

3

3

5

4

5

3

4

5

3

5

4 ====== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12212

1

2


21. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

3

3

34

5

34

3

5

34

3

34

5 −=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

22. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

313

6

3932

13

13

39

6 −=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα otseccsctancossen

23. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

117

4

174

17

1

17

4 ====== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen

24. Falso 25. Falso 26. Falso 27. Verdadero

28. Falso 29. 22 mm − 30.

1

1

2 +m

31.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=+

=+

=

=

+

=

+

=

ba

a

ba

b

ba

ab

ba

a

ba

b

ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ

cotseccsc

tancossen

2222

2222

32. 4

26 − 33. 26 + 34. 2

2− 35.

2

2−



36. 26 − 37. 4

26 + 38. 2− 39. 13 +

40. 32 −− 41. 4

26 +− 42.

4

62 + 43. 2−

44. o35tan− 45. o80sec 46. o45tan− 47. o75cot−

48. o50csc− 49. o60sec 50. 1 51. 52. 53.

54.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−=−

+=

+=

−=

+=

mn

nm

nm

nm

mn

nm

nm

mn

nm

mn

2

2

22

22

22

22

22

2222

θθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθ

cotsec

csctansen

55. a) 4 55. b)5

17 Menor

2

17Mayor 56. [ ]10 ,

57. Par 58. Diferentes 59. 22

ππππββββππππ <<−

60. 10

27 61. 2

2

21

12

a

aa

−

− 62. 86436623 ,,, === coo γγγγββββ

63. 498970 ,, === cboγγγγ 64. 864480 ,, ≅≅= caoγγγγ 65. 2115135514 ,,, === coo γγγγββββ

66. oo 903087 === γγγγββββ,a 67. cm5145cm9922 ,, 68. m0720 ,

69. p78162 , 70. p2895 , 71. m2120 , 72. piso al cae se p,5418 , 73. Km729 , 74. m1230 , 75. comunicar pueden se no Carlos y Bernardo 76. m155m30291, 77. irian No 78. Km251035 , 79. m4626 , 80. cm0157cm8863 ,,

81. pueden Si 83. o0353Km2636 ,, 84. Km77402 ,

85. o4924 ,

CAPÍTULO XX - FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS Ejercicios de Recapitulación

1. 5

3 2. 10

10 3. 5

52 4. 10

149 5. 34

345

8. Si Si 9. Si Si 10. No No 11. No No 12. 3

2 ππππ

13. 1 14. 3

ππππ 15. 5

52 16. 15

15 17. 13

1−

18. 6

ππππ− 19. 2ππππ 20.

3

ππππ− 21. 0 22. 6

5 ππππ

23. 5

5 24. 3

1 25. 32 −− 26.

42 +x

x 27. 2−

28. 0 29. 10

27 30.

12

31

2 +

−

x

x 32. 21 33.

222 ±

Guiomar Mora de Reyes Margarita Mónica Rey...

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