TECNICO LABORAL EN SISTEMASASIGNATURA DE MATEMATICASGUIA DE CLASE No 1

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:FECHA: DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR M

UNIDAD: CONJUNTOS TIEMPO: 4 HorasACTIVIDADES: OPERACIONES BÁSICAS CON LOS CONJUNTOS PRINCIPIO DE CONTEO EN CONJUNTOS FINITOS

OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendrá la habilidad de analizar y resolver operaciones con los conjuntos y sus problemas de aplicación.

1. CONJUNTOS

Un conjunto puede ser considerado como una colección de objetos, los elementos o miembros del conjunto. Normalmente a los conjuntos los denotaremos con letras mayúsculas, A, B, C,…, y letras minúsculas, números u objetos para denotar a los elementos de los conjuntos. Hay dos maneras de especificar un conjunto en particular. El primero, por extensión que es hacer una lista de sus elementos. Por ejemplo:

A = {a, e, i, o, u}

La segunda manera, por comprensión que es enunciar la propiedad que caracteriza los elementos del conjunto. Por ejemplo: A = {x / x es una vocal}

1.1. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1.1.1. UNIÓN La unión de dos conjuntos A y B, denotados AUB, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B. Se representa gráficamente por medio de un diagrama de Venn:

Ej. Sea A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = { 5, 6 , 8}. Entonces, AUC:

AUC = {0, 1, 2, 3, 4, 5} U {5, 6, 8} AUC = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

1.1.2. INTERSECCIÓNLa intersección de dos conjuntos A y B, denotada A∩B, es el conjunto de elementos que pertenece tanto a A como a B. Se representa gráficamente por medio de un diagrama de Venn:

Ej. Sea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 5, 7} Entonces, A∩B: A∩B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {3, 5, 7} A∩B = {3, 5}

1.1.3. DIFERENCIALa diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, es el conjunto de elementos que únicamente le pertenece al conjunto A. Se representa gráficamente por medio de un diagrama de Venn:

Ej. Sea A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g} Entonces, A – C: A – C = {a, b, c, d, e} - {d, f, g} A – C = {a, b, c, e}

1.1.4. COMPLEMENTOS _El complemento de un conjunto A, denotado Ac o por A, es el conjunto de elementos que le pertenece a U (conjunto universal), pero que no pertenece a A. Se representa gráficamente por medio de un diagrama de Venn:

Ej. Sean U = {m, a, r, t, e} A = {t, e} Entonce, Ac : Ac = {t, e}c

Ac = { m, a, r}

Ac

Ejercicios

Considere los siguientes conjuntos:U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {4, 5, 6, 7}C = {5, 6, 7, 8, 9}D = {1, 3, 5, 7, 9}E = {2, 4, 6, 8}F = {1, 5, 9} Encuentre:

(a) AUF (b) B∩E (c) C – D (d) Fc

(e) AUCUD (f) B∩C∩D (g) (E - F) c (h) (B∩E) c

1.2. PRINCIPIO DE CONTEO EN CONJUNTOS FINITOS

Se dice que un conjunto es finito si se tiene exactamente m elementos diferentes. Si A es un conjunto finito, entonces n(A) denotará el número de elementos que contiene el conjunto A. Por ejemplo: Si, A = {a, b, c, d, e}, entonces n(A) = 5

Si A y B son conjuntos finitos disyuntos, entonces AUB es finito y

n(AUB) = n(A) + n(B)

Ej. Si, A = {a, b, c, d} y B = {e, f, g}, entonces n(AUB) = n(A) + n(B) n(AUB) = 4 + 3 n(AUB) = 7

Si A y B son conjuntos finitos, entonces AUB y A∩B son finitos y

n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

Ej. Si, A = {a, b, c, d} y B = {d, e, f}, entonces n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B) n(AUB) = 4 + 3 – 2 n(AUB) = 5

Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces también lo es AUBUC, y

n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C).

Ej. Supongamos que 100 de los 120 estudiantes de matemáticas de una facultad toman por lo menos un idioma entre francés, alemán y ruso. Suponga también que: 65 estudian francés 45 estudian alemán 42 estudian ruso 20 estudian francés y alemán 25 estudian francés y ruso 15 estudian alemán y rusoDetermine: (a) El número de estudiantes que estudian los tres idiomas.(b) Haga un diagrama de Venn completo.(c) El número de estudiantes que estudian exactamente un solo idioma.

Sean F, A y R los conjuntos de estudiantes que estudian francés, alemán y ruso, respectivamente. Queremos encontrar el número de estudiantes que estudian los tres idiomas. Para esto vamos a utilizar la fórmula anterior, entonces:

(a) n(FUAUR) = n(F) + n(A) + n(R) – n(F∩A) - n(F∩R) - n(A∩R) + n(F∩A∩R) 100 = 65 + 45 + 42 – 20 – 25 – 15 + n(F∩A∩R)

100 = 92 + n(F∩A∩R) 100 – 92 = n(F∩A∩R) n(F∩A∩R) = 8 estudiantes que estudian los tres idiomas

U

(b) F A

1228 18

817 7

1020

R

(c) Tenemos que: 28 + 18 + 10 = 56 estudiantes estudian exactamente un solo idioma.

Ejercicios

1. En una encuesta de 60 personas, se encontró que 25 leen El Tiempo, 26 leen La Prensa y 26 leen El mundo. También 9 leen tanto El Tiempo como El mundo, 11 leen tanto El Tiempo como La Prensa, 8 leen tanto La Prensa como El Mundo, y 8 no leen ninguno de los tres periódicos.(a) Encuentre el número de personas que leen los tres periódicos.(b) Complete el diagrama de Venn.(c) Determine el número de personas que leen exactamente un periódico.

2. Una encuesta de 100 estudiantes produjo las siguientes estadísticas:32 estudian matemáticas, 20 estudian física, 45 estudian biología, 15 estudian matemáticas y biología, 7 estudian matemáticas y física, 10 estudian física y biología, 30 no estudian ninguna de las tres.(a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres disciplinas.(b) Complete el diagrama de Venn.(c) Determine el número de estudiantes que toman exactamente una de las tres disciplinas.

3. De un grupo de 150 estudiantes de un colegio, se conoce que el número de estudiantes que practican el fútbol es 85, el básquetbol 70, la natación 55. También que los que practican fútbol y básquetbol es 35, fútbol y natación 25, básquetbol y natación 30 y 10 no practican ninguno de los tres deportes. (a) Encuentre el número de estudiantes que practican los tres deportes.(b) Complete el diagrama de Venn.(c) Determine el número de estudiantes que toman exactamente uno de los tres deportes.4. Ejercicios taller No. 1 Lógica y teoría de conjuntos

TECNICO LABORAL EN SISTEMASASIGNATURA DE MATEMATICASGUIA DE CLASE No 2

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:FECHA:DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO

UNIDAD: TABLAS DE LA VERDAD Y REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA TIEMPO: 4 HorasACTIVIDADES: IDENTIFICAR LAS DIFERENTES TABLAS DE LA VERDAD CONSTRUCCIÓN DE LAS COMBINACIONES DE UNA TABLA DE LA VERDAD OPERACIONES CON TABLAS DE LA VERDAD USO DE RELGAS DE INFERENCIA LÓGICA.

OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendrá la habilidad de resolver operaciones relacionados con las tablas de la verdad, y llegar a conclusiones válidas a partir del uso de reglas de inferencia lógica.

2. TABLAS DE LA VERDAD

Un computador puede ser programado para tomar decisiones basadas en ciertos enunciados, ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”, son verdaderos o falsos. A la verdad o falsedad de un enunciado se le llama valor de verdad; un enunciado es verdadero o falso, pero no ambas cosas. Algunos enunciados son enunciados compuestos, es decir, están integrados por subenunciados y varios conectivos. El ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules” es, implícitamente un enunciado compuesto por los subenunciados “Las rosas son rojas” y “Las violetas son azules”, y unido por un conectivo “y”.

La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de sus subenunciados junto con la manera como están conectados para formar el enunciado compuesto. Comenzaremos con un estudio de algunos de estos conectivos. En esta guía usaremos generalmente las letras p, q, r, s, t,…, para denotar a los subenunciados, y los conectivos →, ↔, ~, que une a los subenunciados y le da un sentido completo al enunciado compuesto.

En las tablas de la verdad, según el número de letras (también llamadas proposiciones) se tiene una combinación de verdad, que está dada por la siguiente fórmula:

2n = # combinaciones de la verdaddonde,n: Número de letras (proposiciones)2: Verdades (V, F)

Ej. 1. Para: p 1 (V)

21 = 2

1 (F)

Ej. 2. Para: p, q

1 (V) 2 (V) 1 (F)

22 = 4 1 (V) 2 (F) 1 (F) Vemos que en los anteriores diagramas de árbol, el total de combinaciones se dividen en la mitad para cada una de sus ramificaciones.

A continuación vamos a construir las tablas de la verdad por medio de un ejemplo que nos ilustre el por qué de los resultados de las tablas.

2.1. CONJUNCIÓN

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la letra “y” para formar un enunciado compuesto llamado conjunción de los enunciados originales. Simbólicamente: p q, que denota la conjunción de los enunciados p y q, que se lee “p y q”.

Ej. “Las rosas son rojas y las violetas son azules” donde, p: “Las rosas son rojas” y q: “Las violetas son azules”

“Las rosas son rojas y las violetas son azules”“Las rosas son rojas y las violetas son negras”“Las rosas son verdes y las violetas son azules”“Las rosas son verdes y las violetas son negras”

2.2. DISYUNCIÓN

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la letra “o” para formar un enunciado compuesto llamado disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente: p q, que denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee “p o q”.

pVF

p qV VV FF VF F

p q p qV V VV F FF V FF F F

Ej. “París está en Francia o 2 + 2 = 4”. donde, p: “París está en Francia” y q: “2 + 2 = 4”.

“París está en Francia o 2 + 2 = 4” “París está en Francia o 2 + 2 = 5” “París está en Colombia o 2 + 2 = 4” “París está en Colombia o 2 + 2 = 5”

2.3. CONDICIONAL

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra “entonces” o “implica” para formar un enunciado compuesto llamado condicional de los enunciados originales. Simbólicamente: p → q, que denota la condición de los enunciados p y q, que se lee “p entonces q”, o, “p implica q”.

Ej. “Si está lloviendo, entonces está nublado”. donde, p: “Si está lloviendo” y q: “Está nublado”.

“Si está lloviendo, entonces está nublado” “Si está lloviendo, entonces está despejado” “Si no está lloviendo, entonces está nublado” “Si no está lloviendo, entonces está despejado”

2.4. BICONDICIONAL

En esta tabla de la verdad encontramos dos condiciones “p → q” y “q → p” y donde dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la frase “si, y sólo si” para formar un enunciado compuesto llamado bicondicional de los enunciados originales. Simbólicamente: p ↔ q, que denota la bicondición de los enunciados p y q, que se lee “p si, y sólo si q”.

Ej. “Si amanece si, y sólo si sale el sol”. donde, p: “Si amanece” y q: “Sale el sol”.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.5. NEGACIÓN

Dado cualquier enunciado p, se puede formar otro enunciado, llamado la negación de p, escribiendo “Es falso que…” antes de p, o insertando en p la palabra “no”. Simbólicamente: ~ p, que denota la negación de p, y que se lee “no p”.

p q p qV V VV F VF V VF F F

p q p →qV V VV F FF V VF F V

p q p ↔qV VV FF VF F

La tabla de verdad de ~ p está dada por la siguiente tabla:

p ~ pV FF V

Ej. Construya la tabla de la verdad de: p ~ (p q)Para desarrollar las tablas de la verdad, vamos a ilustrar dos maneras diferentes que son las siguientes:

La primera forma es descomponiendo cada una de las partes de la tabla.

p q p q ~ (p q) p ~ (p q)V V V F VV F F V VF V F V VF F F V V

Notemos que el resultado (última columna) de esta tabla de la verdad, todos los valores son verdaderos (V), a estas tablas se les llaman Tautología. Análogamente, si el resultado (última columna) de esta tabla de la verdad, todos los valores son falsos (F), entonces a estas tablas se les llaman Contradicciones.

La segunda forma es trabajando directamente en la tabla.

p ~ (p q)V V F V V VV V V V F FF V V F F VF V V F F F

Solución de la tabla

REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA

MODUS PONENDO PONENS (PP)             p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”        (premisa)            p                   “Llueve”                                                    (premisa)_______________________________________________________________           q                      “Luego, las calles se mojan”                         (conclusión) El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q). 

MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de

los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.                            p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”                 ¬q                  Las calles no se mojan”                                               _________________________________________________             ¬p                      “Luego, no llueve”  Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente. 

DOBLE NEGACIÓN (DN)             ¬¬p ↔ p  El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:              ¬¬p                “No ocurre que Ana no es una estudiante”_____________________________________________________                  p                 “Ana es una estudiante” La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado. 

ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción).

            p          “Juan es cocinero” q          “Pedro es policía” ________________________________________________ p Λ q   “Juan es cocinero y Pedro es policía” 

SIMPLIFICACIÓN (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado. 

p Λ q               “Tengo una manzana y tengo una pera” ____________________________________________  p                      “Tengo una manzana” q                      “Tengo una pera”

MODUS TOLLENDO PONENS (TP)La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos. A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.                p V q                         “He ido al cine o me he ido de compras”             ¬q                               “No he ido de compras”__________________________________________________________               p                               “Por tanto, he ido al cine” 

LEY DE LA ADICIÓN (LA) Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción)  acompañado por cualquier otro enunciado.              a                                  “He comprado manzanas”______________________________________________________________             a V b                           “He comprado manzanas o he comprado peras”   SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.  Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:              p → q              “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”             q → r              “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”_______________________________________________________________           p → r              “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve” 

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.               p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”              r →  s             “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”              p V  r              “Llueve o la tierra tiembla”____________________________________________________             q V  s              “Las calles se mojan o los edificios se caen”   SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD) Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.             p V q               “Helado de fresa o helado de vainilla”            p → r              “Si tomas helado de fresa, entonces repites”           q → r              “Si tomas helado de vainilla, entonces repites”   _________________________________________________________             r                      Luego, repites  LEY CONMUTATIVAEsta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,              p Λ q ↔ q Λ p            “«p y q» equivale a «q y p»”            p V q ↔ q V p             “«p ó q» equivale a «q ó p» LEYES DE MORGAN (DM) Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí: 

      p Λ q                                p V q___________                 ____________         ¬(¬p V ¬q)                        ¬(¬p Λ ¬q)

Ejercicios

1. Ejercicios taller No. 1 Lógica y teoría de conjuntos

TECNICO LABORAL EN SISTEMASASIGNATURA DE MATEMATICASGUIA DE CLASE No 3

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:FECHA:DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO

UNIDADES: REGLA DE TRES SIMPLE TIEMPO: 2 Horas UNIDADES DE MEDIDA TIEMPO: 4 HorasACTIVIDADES: OPERACIONES CON PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJES OPERACIONES CON UNIDADES DE MEDIDA

OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendrá la habilidad de resolver problemas de regla de tres simple directa e inversa y realizar todo tipo de conversiones de las unidades de medida.

3.1. REGLA DE TRES SIMPLE

En la vida diaria se presentan situaciones en las que se relacionan dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. Estos problemas se conocen como problemas de regla de tres simple directa o inversa porque en ellos aparecen tres datos conocidos y uno que no se conoce. Este cuarto dato que debe calcularse se representa con una letra, generalmente la letra X, a la que llamamos incógnita.

3.1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Sean a, b y c números cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incógnita, entonces,

I II I II a b a b ,o, c X c X

si las dos magnitudes aumentan o las dos magnitudes disminuyen, entonces la regla de tres simple es directa y se relacionan en diagonales (como se muestra en la ilustración anterior), y la incógnita se calcula:

X=b×c

a,

donde, el número que está relacionado con la incógnita (X) va en el denominador y los otros dos números se multiplican en el numerador.

Ej. Un técnico recibe $ 198000 por reparar 4 computadores. ¿Cuánto ganará el técnico si repara 6 computadores?

Computadores Valor ($) 4 198000 6 X

entonces,

X=6×1980004

=297000

R/. El técnico recibe $ 297000 por reparar los 6 computadores.

3.1.2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Sean a, b y c números cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incógnita , entonces,

I II I II a b a b ,o, c X c X

si la primera magnitud aumenta y la segunda magnitud disminuye o la primera magnitud disminuye y la segunda magnitud aumenta, entonces la regla de tres simple es inversa y se relacionan en línea (como se muestra en la ilustración anterior), y la incógnita se calcula:

X=a×b

c,

donde, el número que está relacionado con la incógnita (X) va en el denominador y los otros dos números se multiplican en el numerador.

Ej. 20 obreros tardan 6 días en realizar un trabajo. ¿ Cuánto tiempo tardará 8 obreros igualmente hábiles?

Obreros Tiempo (días) 20 6

8 X

entonces,

X=20×68

=15

R/. 8 obreros tardan en realizar el trabajo en 15 días.

Ejercicios

1. Por 5 turnos nocturnos un empleado recibió $ 112500. ¿Cuánto dinero recibirá por trabajar 9 turnos nocturnos?

2. Juan dispone de dinero para comprar 4 repuestos electrónicos que cuesta $ 3600 cada uno. Pero al llegar al almacén los encuentra en promoción cada repuesto a $ 2400. ¿Cuántos repuestos puede comprar Juan con el mismo dinero?

3. ¿Cuánto dinero recibirá Inés por 15 días de trabajo si gana $ 300000 por 9 días?

4. A una velocidad promedio de 80 Km/h, Pedro gastó 3horas en hacer un viaje. ¿Cuánto tiempo empleará si la velocidad es de 60 Km/h en promedio?

5. Si para empacar 360 frascos de aceite se necesitan 15 cajas de cartón. ¿Cuántas cajas se necesitan para empacar 480 frascos iguales?

6. Por un lote avaluado en $ 2500000 se pagan $ 150000 de impuesto predial. ¿Cuál será el impuesto que deba pagar un lote avaluado en $ 30000000 situado en el mismo sector urbano?

7. Los alumnos de un curso han recolectado dinero para realizar una excursión de 8 días y con la suma recolectada pueden viajar 20 estudiantes. Si la excursión disminuye a sólo 5 días, ¿cuántos estudiantes pueden ir con el mismo dinero?

8. Carlos demora 45 minutos para ir hasta la escuela más cercana a la casa, viajando en la bicicleta a 28 Km/h. ¿Cuánto tiempo demorará si viaja en el bus que viaja a 60 Km/h en promedio?

9. Un camión transporta 12 toneladas de cemento en 5 viajes. ¿Cuántos viajes deberá realizar para transportar 60 toneladas?

10. Para confeccionar un vestido de 2 piezas, se necesita 2.20 metros de paño de 1.50 de ancho. ¿Cuántos metros deberá comprar si el paño que encontró solo tiene 1.10 metros de ancho?

3.1.3. PORCENTAJE

El resultado de calcular un tanto por ciento de un número se llama porcentaje.Por ejemplo el 35 por ciento se representa de la siguiente manera: 35%. Además se puede representar como:

35 %=35100

=0 .35

Una forma de calcular un porcentaje es por medio de una regla de tres simple directa.

Ej. Hallar el 35 % de $ 250000.

Capital Porcentaje (%) $ 250000 100 X 35

entonces,

X=250000×35100

=87500

R/. El 35% de $ 250000 es $ 87500.

Otra forma de calcular el ejemplo anterior es utilizando la equivalencia decimal del porcentaje, entonces

$ 250000 0.35 = $ 87500

Sabiendo que un tanto por ciento se puede calcular por medio de una regla de tres simple directa, entonces en un problema también se puede encontrar el porcentaje.

Ej. En una empresa hay 880 empleados de los cuales sólo 44 son mujeres.¿Qué tanto por ciento de los empleados representa las mujeres?

Empleados Porcentaje (%) 880 100 44 X

entonces,

X=44×100880

=5

R/. El 5 % de los empleados son mujeres.

Y por último se puede calcular el número del cual se conoce el porcentaje.

Ej. Por la compra de un electrodoméstico, Carmen recibió una rebaja de $ 6240 que corresponde al 12% del precio inicial del electrodoméstico. ¿Cuál era el precio inicial?

Capital Porcentaje (%) X 100 6240 12

entonces,

X=6240×10012

=52000

R/. El precio inicial del electrodoméstico era de $ 52000.

Ejercicios

1. Un vendedor recibe una comisión del 5% sobre las ventas que realiza. ¿Cuánto dinero recibirá después de vender $ 8500000?

2. ¿Qué tanto por ciento de rebaja recibió Mario si por comprar drogas facturadas en $ 14200 pagó $ 13845?

3. Jorge gana mensualmente un sueldo de $ 385000. Además recibe el 5% de su sueldo básico como subsidio de transporte y 8% por antigüedad. ¿A cuánto asciende su sueldo mensual?

4. Suponiendo que la población de Bogotá es de 6000000 de habitantes aproximadamente y solo 1800000 tiene casa propia. a. ¿Qué tanto por ciento de los habitantes tienen casa propia? b. ¿Qué tanto por ciento no tiene casa propia?

5. En una carpintería se fabrica asientos a un costo de $ 21800. Si le gana el 30% sobre el costo al venderlos. a. ¿Cuánto gana por cada asiento? b. ¿Cuál es el precio de venta de cada asiento?

6. En la sección A de una fábrica salieron 7 empleados de vacaciones que representan el 10% del total, y en la sección B salió un 7% que corresponden a 14 empleados. ¿Cuántos empleados hay en cada sección?¿Cuántos empleados hay en las dos secciones?

3.2. UNIDADES DE MEDIDA

Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Cada unidad tiene un símbolo asociado a ella, el cual se ubica a la derecha de un factor que expresa cuántas veces dicha cantidad se encuentra representada. Es común referirse a un múltiplo o submúltiplo de una unidad, los cuales se indican ubicando un sufijo delante del símbolo que la identifica.

En esta unidad es motivo de estudio las unidades de medida de tensión, corriente y resistencia y es necesario tener en cuenta que:

La tensión es la fuerza que impulsa a la corriente.La corriente es lo que se mueve o desplaza.La resistencia es lo que se opone o limita el paso de la corriente.

En la siguiente tabla se resume cada magnitud con su respectivo símbolo, unidad e instrumento.

Magnitud Símbolo Unidad Símbolo Instrumento Símbolo

Tensión E Voltio V Voltímetro

Corriente I Amperio A Amperímetro

Resistencia R Ohmio Ω Ohmetro

Tabla de los múltiplos y submúltiplos de las unidades.Múltiplos Submúltiplos

Símbolo Nombre Símbolo NombreD Deca d deciH Hecto c centiK Kilo m miliM Mega µ microG Giga n nanoT Tera p picoP Peta f femtoE Exa a attoZ Zetta z zeptoY Yotta y yocto

Notemos que cada múltiplo se escribe con letra mayúscula y cada submúltiplo con letra minúscula.

En la siguiente tabla esta cada uno de los múltiplos y submúltiplos con sus respectivas equivalencias.

Múltiplos 10-24 Y 1024

10-21 Z 1021

10-18 E 1018

10-15 P 1015

10-12 T 1012

10-9 G 109

10-6 M 106

10-3 K 103

10-2 H 102 10-1 D 10

V, A,Ω

10-1 d 10 10-2 c 102

10-3 m 103

10-6 µ 106

10-9 n 109

10-12 p 1012

10-15 f 1015

10-18 a 1018

10-21 z 1021

10-24 y 1024

Submúltiplos

Con los valores anteriores se puede realizar las conversiones que se requieran.

Ej. Convertir 9 GV a fV.

Para realizar esta conversión se puede hacer de las siguientes formas:

1ª forma: Con una regla tres simple directa. 1º Paso GV V 1 109

9 X

entonces,

X = 9 10 9 1 X = 9 109 V

2º Paso V fV 1 1015

9 109 X

entonces,

X = 9 10 9 10 15 1 X = 9 1024 fV

2ª forma: Por medio de la notación científica.

9 GV 10 9 V 10 15 fV 9 1024 fV 1 GV 1 V

Ejercicios

Realizar las siguientes conversiones:

1. 15 µA a TA

2. 0.42 GΩ a zΩ

3. 100 TV a PV

4. 18.5 aA a zA

5. √25 HΩ a Ω

6. 80000 pV a V

7. 62.3 YA a yA

8. 0.02 ZΩ a zΩ

9. 105 cV a DV

10. 10-10 EA a nA

TECNICO LABORAL EN SISTEMAS

ASIGNATURA DE MATEMATICASGUIA DE CLASE No 4

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:FECHA:DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO

UNIDAD: EXPRESIONES ALGEBRAICAS TIEMPO: 8 HorasACTIVIDADES: OPERACIONES CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA PROBLEMAS DE APLICACIÓN OPERACIONES CON INECUACIONES

OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendrá la habilidad de analizar y resolver ecuaciones e inecuaciones y sus problemas de aplicación.

4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El algebra es un conjunto de procedimientos que permiten resolver problemas fáciles y complicados con el menor esfuerzo y el máximo rendimiento. Con el algebra apareció la notación literal, es decir la representación de las magnitudes y sus cálculos con letras a las que se les puede atribuir cualquier valor.

4.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan generalmente por las últimas letras del alfabeto: x, y, z. Así, 3X + 2 = 14es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita (X) y esta igualdad sólo se verifica, o sea que sólo es verdadera, para el valor X = 4. En efecto, si sustituimos la X por 4, tenemos: 3(4) + 2 = 14 12 + 2 = 14 14 = 14Si a X le damos un valor diferente de 4, entonces la igualdad no se cumple.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, hay que seguir las siguientes reglas:1. Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.2. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y al otro lado de la igualdad todas las cantidades conocidas.3. Se reducen términos semejantes a ambos lados de la igualdad.4. Se despeja la incógnita.

Ej. Resolver la ecuación 9X 5 = X + 9 + 2

9X 5 = X + 11 ; por regla (1) 9X X = 11 + 5 ; por regla (2) 8X = 16 ; por regla (3) X = 16 ; por regla (4) 8 X= 2 Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 5X = 8X 15

2. 4X + 1 = 2

3. Y 5 = 3Y 25

4.

6 X−42

=7

5.

9 X+25

=4

6.

5 X−43

=3 X+68

7. 9 +

7X=30

8. 15 =

3X−6

9. 14 12X + 39X 18X = 256 60X 657X

10. X (2X + 1) = 8 (3X +3)

4.2. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

El enunciado de un problema puede ser traducido a un lenguaje matemático dando en lugar a una ecuación de primer grado con una variable. Para resolver un problema de aplicación hay que plantearlo de la siguiente manera:1. Nombrar con la variable (X), alguno de los elementos que intervienen en el problema o al eje de toda la condición. 2. Hacer cumplir la condición o condiciones de los demás elementos del problema, teniendo en cuenta a quien nombramos con la variable(X).3. Plantear y resolver la ecuación. Ej.1. Una camisa y un saco cuestan $60,000. El saco cuesta cuatro veces el valor de la

camisa. ¿Cuánto cuesta cada artículo?

X: Precio de la camisa 4X: Precio del saco X + 4X = $60,000 5X = 60,000 X = 60,000 5 X = $12,000

Como, a la camisa la nombramos X, entonces cuesta $12,000. Y el saco es 4X, entonces el saco cuesta 4($12,000) = $48,000.

Comprobación: Precio de la camisa: $12,000 Precio del saco: $48,000 $60,000

Ej.2. Carlos y Andrés tienen 180 estampillas de colección. Andrés tiene 20 estampillas más que Carlos. ¿Cuántas estampillas tienen cada uno?

X: Número de estampillas de CarlosX + 20: Número de estampillas de Andrés

X + X + 20 = 180 2X + 20 =180 2X = 180 20 2X = 160 X = 160 2 X = 80

Como, a Carlos lo nombramos X, entonces tiene 80 estampillas y Andrés tiene X + 20, entonces 80 + 20 = 100 estampillas.

Comprobación: Número de estampillas de Carlos: 80 Número de estampillas de Andrés: 100 180 estampillas.

Ej.3. En unas elecciones participan tres candidatos. El primero obtiene 30,000 votos más que el segundo y 40,000 menos que el tercero; si el total de votos fue de 130,000. ¿Cuántos votos obtuvo cada uno?

X: Número de votos del primer candidato X 30,000: Número de votos del segundo candidato X + 40,000: Número de votos del tercer candidato

X + X 30,000 + X + 40,000 = 130,000 3X + 10,000 = 130,000

3X = 130,000 10,000 3X = 120,000 X = 120,000 3 X = 40,000 Como al primer candidato lo nombramos X, entonces tiene 40,000 votos, el segundo candidato 10,000 votos y el tercero 80,000 votos.

Comprobación: Número de votos del primer candidato: 40,000 Número de votos del segundo candidato: 10,000 Número de votos del tercer candidato: 80,000 130,000 votos.

Ejercicios

Resolver los siguientes problemas:

1. La suma de las edades de dos hermanos es de 84 años. Si el menor tiene 8 años menos que el mayor. ¿Cuál es la edad de cada uno?

2. Pagué $87,000 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5,000 más que el libro y $20,000 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada cosa?

3. La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.

4. A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años.¿Qué edad tiene cada uno?

5. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.

6. Tres canastos contienen 575 manzanas. El primer canasto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero.¿Cuántas manzanas hay en cada canasto?

7. La suma de las edades de tres hermanos es de 45 años, si se llevan entre sí de a cinco años. ¿Cuáles son sus edades?

8. En una fábrica el número de hombres es el triple del número de mujeres. ¿Cuántas mujeres hay si laboran 27 hombres?

9. Un tercio de los alumnos de una clase son hombres y las mujeres son 24. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

10. El ancho de un lote tiene tres metros menos que lo que tiene de largo. Calcular las dimensiones del lote si se sabe que su perímetro es igual a 42 metros y tiene forma rectangular.

11. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?

12. Repartir 140 dólares entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C.

13. La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.

14. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda.

15. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Álvaro el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

4.3. INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se llaman también desigualdades de condición.

Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Los signos de desigualdad son: (se lee menor que), (se lee mayor que), (se lee menor o igual que), (se lee mayor o igual que) y (se lee diferente que). Así, por ejemplo: 43 (se lee 4 es mayor que 3).

Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las desigualdades, junto a las reglas de las ecuaciones.

4.3.1. INECUACIONES CON UNA CONDICIÓN

Ej. Resolver la inecuación 2X 3 X + 5 ; X IR 2X X 5 + 3 X 8

8 es el límite inferior de X, es decir que la desigualdad dada sólo se verifica para valores de X mayores que 8, entonces el conjunto solución (Cs) es Cs = (8,).

Ejercicios

Resolver las siguientes inecuaciones para X IR:

1. X 5 52. 5X 12 3X 43. X 6 21 8X4. 3X 14 7X 24.3.2. INECUACIONES CON DOS CONDICIONES

Las inecuaciones con dos condiciones o inecuaciones simultáneas son inecuaciones que tienen soluciones comunes. Si las inecuaciones están unidas por la conjunción “o” que

se representa por el signo ¿ (significa unión) y cuya solución deben satisfacer una o

otra o ambas inecuaciones, y si la conjunción es “y” que se representa por el signo ¿(significa intersección) y cuya solución deben satisfacer al mismo tiempo las dos inecuaciones.

Ej. Hallar los valores que satisfacen a X de las inecuaciones: 2X 4 6 , y , 3X + 5 14 ; X IR 2X 6 + 4 3X 14 5 2X 10 3X 9 X 10 X 9 2 3 X 5 X 3

Para la inecuación 2X 4 6, el conjunto solución es Cs = (-,5] y de la inecuación 3X + 5 14, el conjunto solución es Cs = (3,), como la conjunción que las une a las

inecuaciones es “y”, entonces Cs = (-,5] ¿ (3,), al intersecar las dos soluciones finalmente queda el conjunto solución Cs = (3,5].

Ej. Hallar los valores que satisfacen a X de las inecuaciones: X + 2 10 , ó , 7X 3 4 ; X IR X 10 2 7X 4 +3 X 8 7X 7 X 7 7 X 1

Para la inecuación X + 2 10, el conjunto solución es Cs = (-,8) y de la inecuación 7X 3 4, el conjunto solución es Cs = (1,), como la conjunción que las une a las

inecuaciones es “o”, entonces Cs = (-,8) ¿ (1,), al unir las dos soluciones finalmente queda el conjunto solución Cs = (-,).

Ejercicios

Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones simultáneas:

1. X 3 5 y 2X + 5 17 ; X IN2. 5 X 6 y 2X 9 3X ; X IR

3. 3X + 1 4 o X 2 3 ; X Ζ4. 9X + 8 26 o 7X + 6 20 ; X IR

5. 4X + 9 13 y 6X 3 27 ; X Ζ