Guias 3er Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año

Trigonometría 1


Trigonometría 2

-3

C B 0 A

-2 -1 0 1 3 2 3...

+-H ac ia el H ac ia el

...


TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

DE CUALQUIER MAGNITUD

Conceptos Previos

Recta Numérica

Es una recta dirigida en la cual se han señalado dos sentidos; uno positivo

y otro negativo. En donde además a cada punto de esta se le a asignado

tan sólo un número real. Veamos un gráfico :

Al punto “0” se le asigna el valor 0 (se le denomina ORIGEN)

Al punto “A” se le asigna el valor

Al punto “B” se le asigna el valor -1.

Al punto “C” se le asigna el valor -.

Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de 2

rectas numéricas perpendiculares entre sí en sus orígenes.

Trigonometría 3

P rim er C u adran te

(IC )

C u arto C u adran te

(IV C )

SegundoCuadrante

(IIC )

TercerCuadrante

(IIIC )

Y

X(Hacia e l + )

(Hacia e l + )

(Hacia e l - )

(Hacia e l - )

(E je de A bscisas)

(E je de O rdenadas)

0


Nota: A la intersección de rectas se le denomina “origen” de coordenadas.

Coordenada de un punto: A cada uno de los puntos del plano

cartesiano se le asocia un par ordenado. El cual se representará de la

siguiente manera:

P (a;b) en donde:

a Abscisa del punto “P”

b Ordenada del punto “P”

Trigonometría 4

P(a;b)

a

b

Y

X

1

3 4-1-1

-3

2

-2

-2

P(3;2)

S(4;-2)

R (-1;-3)

Q (-2;1)


Observemos gráficamente:

Así se representa el punto P(a,b) en el plano cartesiano.

Veamos un ejemplo de Aplicación:

Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano.

a) P (3;2) b) Q (-2;1)

c) R (-1;3) d) S (4;2)

Resolución:

Trigonometría 5

0

Y

X

b

a

r

P(a;b)

0

Y

X

b

a

r

P(a;b)


Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera

del plano cartesiano se representa de la siguiente manera:

Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.:

Así se representa el radio vector (r) del punto P (a,b).

Calculemos su valor:

Trigonometría 6

0

Y

X

r

r

P

R

P(-4;3)

R(1;-3)

3

1

-3

-4


Por el teorema de Pitágoras calculemos “r”.

Veamos un ejemplo de aplicación

Calcular el radio vector de los puntos P (-4; 3) y R (1; -3).

Resolución:

- Ubicamos los puntos P (-4; 3) y R ( 1; -3) en el plano:

Calculamos rp:

Trigonometría 7

Y

X

O

II IC

IIC IC

IV C

Lado F ina l de

Lado F ina l de

Eje positivo de las abscisas (lado inicialde todo ángulo enposición norm al)


Calculamos rR:

Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el

plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades:

Su vértice es el origen de coordenadas.

Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas.

Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a

que cuadrante pertenece dicho ángulo.

Analicemos Gráficamente

Trigonometría 8


Trigonometría 9

Y

X

O

qn

p

m


Ya que el lado final de se encuentra en el IIC, entonces pertenece al

IIC.

Ya que el lado final de se encuentra en el IIIC, entonces pertenece al

IIIC.

Nota Importante:

¿Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal?

Rpta.: “R y p no son ángulos en posición normal” porque su lado inicial no

es el semieje positivo de las abscisas mientras que m y q “si son ángulos

en posición normal”.

Ejemplo de Aplicación:

Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P

(3; -4).

Trigonometría 10

Y

X

-4 P(3;-4)

3


Resolución:

De inmediato se nos viene a la mente 2 posibilidades:

y son ángulos en posición normal para el punto P (3; -4). Pero …¿son

los únicos? … La respuesta es NO, cada uno de los puntos del plano

cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar.

A continuación explicaremos el porque de esto cuando conozcamos los

ángulos coterminales.

Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con y por ser de

menor magnitud.

Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en POSICIÓN NORMAL se

denominan COTERMINALE, cuando sus lados finales coincide. Además la

Trigonometría 11

Y

X

Y

X


diferencia de los ángulos debe dar como resultado un número entero de

vueltas o revoluciones.

Veámoslo gráficamente:

Para ángulos coterminales.

En la figura se observa: y poseen el mismo lado terminal.

Además:

= + 1 vuelta

- = 1 vuelta

Entonces y son COTERMINALES.

En General: Si X e Y son COTER-MINALES entonces X – Y = R (vueltas) = R

(2rad) = n (360 º).

También son coterminales:

Trigonometría 12


Trigonometría 13

Y

X

mn

-

Y Y

X X

O O


Ambos con orientación negativa.

Uno con orientación positiva y otro con orientación negativa.

“Para todos los casos se cumple la misma regla”

Nota: Si 2 ángulos son coterminales entonces tendrán los mismo valores

para sus razones trigonométricas. Es decir si y son coterminales:

Sen + Sen Sec = Sec

Cos = cos Ctg = Ctg

Tg = Tg Csc = Csc

Nota Importante:

Cambio de la orientación de un ángulo

Sea el ángulo trigonométrico “”.

Trigonometría 14

(- )

Y Y

X X

O O


Observamos que para modificar la orientación de un ángulo lo que se hace

es anteponerle un signo (-) y se le cambia el sentido a la “flecha” que

representa la orientación del ángulo.

De igual manera se realiza el cambio de orientación para un ángulo

negativo ().

Ángulos Cuadrantales: Un ángulo en posición normal es cuadrantal,

cuando su lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano.

Nota: “Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante”

- Éstos ángulos son de la forma:

n x 90º ó R x

Ejm.:

Trigonometría 15


n (# Entero)

Valores de las Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales

0 90 180 270 360

Sen

Cos

0

1

1

0

0

-1

-1

0

0

1

Trigonometría 16

Y

XO

r

a

bP(a;b)


Tg

Ctg

Sec

Csc

0

ND

1

ND

ND

0

ND

1

0

ND

-1

ND

ND

0

ND

-1

0

ND

1

ND

ND: No definido

Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal:

Sea “” un ángulo en posición normal y P (a,b) un punto que pertenece a

su lado final.

Definimos las razones trigonométricas de “” de la siguiente manera:

Donde

Trigonometría 17

Y

X

O

r

-2

4P ( - 2 ;4 )


Ejm. de Aplicación:

Siendo P (-2; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición

normal . Calcular:

Resolución:

Trigonometría 18

Y

X

Seny

CscLas demásR.T. Son (-)

Tgy

CtgLas demásR.T. Son (-)

Cosy

SecLas demásR.T. Son (-)

Todas las R.T.Son positivas

(+)

(+) (+)


Calculamos:

Calculamos Sen y Cos

Reemplazamos

A = 9 Rpta.

Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.)Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro:

Trigonometría 19


Para recordar:

Primer Cuadrante P Positivos todas R.T.

Segundo Cuadrante S Seno y su Co-Razón (Csc) son (+)

Tercer Cuadrante T Tangente y su Co – Razón (Ctg) son (+)Cuarto Cuadrante C Coseno y su Co-Razón (Sec) son (+)

Trigonometría 20

Y

X

0

(-3;-2 )

Y

X

O

(-1 ;-2 )

(-2 ;1 )

Y

X

0

P (-3 ;-2)

Q (2 ;-5 )


PROBLEMAS PARA LA CLASE

01. Si el punto P (-12;5)

pertenece al lado final del

ángulo en posición normal

“”. Hallar Sen.

Rpta.:

02. Siendo P (-5;6) un punto

perteneciente al lado final de

un ángulo en posición normal

. Calcular:

Rpta.:

03. Si Cot = -6/8; y sabiendo

que IVC. Hallar:

R = Sen - Cos

Rpta.:

04. De la figura calcular el valor de:

Rpta.:

05. Hallar el signo de cada producto:

I. Sen190º: Cos(190º)

II. Tg160º: Sec(200º)

III. Cos120º: Sec (200º)

Rpta.:

06. Calcular: Cos.Cos.

Rpta.:

07. Del gráfico, Hallar:

Rpta.:

Trigonometría 21

Y

X

0

(X -1 ; 4 x-1 )

Y

X

O

B

A

Y

X

O

P (-1 ;m )


08. Si Sen = -1/3, además:

Cos > 0. Hallar el valor de

Rpta.:

09. Si Tg = 3. Calcular x

Rpta.:

10. Si el punto P (-2,3) pertenece

al lado final del ángulo “”

(en posición normal tal que

(90º < < 180º). Calcular el

valor de:

Rpta.:

11. Del gráfico calcular “Tg”. Si:

OABC es un cuadrado:

Rpta.:

12. En la figura mostrada; Hallar

el valor de:

Trigonometría 22

Y

X

OO

O

0B

(4;-2)

CD


Rpta.:

13. Si se cumple:

Csc2 - 9 = 0

Además: Cos < 0 y

Sen > 0. Determinar el valor

Rpta.:

14. Si

Determine el signo de

Rpta.:

15. Del gráfico calcular:

Tg + Tg

Siendo 0BCD un cuadrado

Trigonometría 23

Y

X

0

P(2a ; -b )

(-a;0)

Y

X

(-5 ; -3 )

Y

X

0Q

P

(-a ;2a )

( 3a ;-a )


Rpta.:

16. De la figura calcular

Rpta.:

17. Si

Hallar M = Tg - Sec

Además ( IV C)

Rpta.:

18. Hallar Tg

Rpta.:

19. Del gráfico calcular:

3sec2 - Tg

Rpta.:

Trigonometría 24

Y

X

O

(-2;1 )


20. Si: 712tgx + 5 = 1; (x II C)

Calcular A = Senx – Cosx

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01. A que cuadrante pertenece el

ángulo si:

Cos < 0 Tg > 0

a) I C b) 2 C c) III C

d) IV C e) V C

02. De la figura, calcular el valor

de:

a) 1 b) 9 c) 3

d) 7 e) 5

03. Si el punto P (-1; -7)

pertenece al lado final del

ángulo en posición normal

“”, calcular:

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

04. Si y φ son dos ángulos

coterminales. Además Tg.

Calcular P = Csc + Cosφ

Trigonometría 25

Y

X

P ( 1 ; 2 )

X

Y

X

3 7

0


a) b)

c) d)

e)

05. Si sen2a= y Cosa < Cos90

Calcular el menor valor de:

a) -7 b) -1 c) 1

d) 2 e) 3

06. Del gráfico mostrado calcular:

a) b) c)

d) e)

07. Siendo y Ángulos

trigonométricos calcular:

a) 0 b) -1 c) 2

d) e)

08. Si IV C además:

Calcular: Sec - Tg

a) 1/3 b) 2 c) -3

d)-2 e) 0

09. Del gráfico calcular “Tg φ”

Trigonometría 26

Y

X0

1-2a

(2a;1+a)


a) -4/7 b) -3/7 c) -7/4

d) 7/3 e) -7/3

10. De la figura calcular el valor de:

Ctg - Csc

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

11. Sabiendo que: ( II C)

4Sen2 - 13sen + 3 = 0.

Calcular el valor de: M =

ctg . cos

a) -1/2 b) -1/3 c) -1/4

d) -1/5 e) -1/6

12. Si (Sen)Sen =

Además 90º < < 180º

Indicar un valor de la Ctg.

a) b) c)

d) e) -1

13. Si II C y Cos = -0,8

Hallar: D = Sec + Tg

a) -3 b) 1 c) -2

d) 4 e) 2

Trigonometría 27

Y

X0

1-2a

(2a;1+a)


14. Calcular

M = Ctg + Csc2 - 3Tg

a) 9 b) 8 c) 10

d) 12 e) 11

15. Simplificar

N = (a2+b2) sec + (a-b)2 sen3 2 2

.

(a2+b2) sec + (a-b)2 cos

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) 4

Trigonometría 28


TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

La conservación de una razón

trigonométrica (r.t) de un ángulo

cualquiera en otra razón

equivalente de un ángulo del

primer cuadrante se llama:

”reducción al primer cuadrante”

También reducir al primer

cuadrante un ángulo significa

encontrar los valores de las RT

de cualquier ángulo en forma

directa mediante reglas practicas

las cuales mencionaremos a

continuación recordando antes

que:

- Para el Seno: Su Co-Razón es

el Coseno.

- Para la Tangente: Su Co-

Razón es la Cotangente.

- Para la secante: Su Co-Razón

es la Cosecante.

I Regla: “Para ángulos positivos

menores a una vuelta.

¡Importante!

- El signo + ó – del segundo

miembro depende del

cuadrante al cual pertenece el

“ángulo a reducir”.

- se considera un ángulo agudo.

Ejemplos de Aplicación:

1. Reducir al primer cuadrante:

a) Cos 150º b) Tg 200º

c) Sen 320º d) Sec 115º

e) Csc 240º f) Ctg 345º

Resolución:

1a.

Trigonometría 29


Cos 150º = Cos (180º - 30º) =

-Cos 30º

“El signo (-) se debe a que el

ángulo a reducir (150º) pertenece

al II C, en el cual el coseno es

negativo”

1b.

Tg 200º = Tg (180º + 120º) =

+ Tg 20º.

“El signo (+) se debe a que el

ángulo a reducir (200) pertenece

al III C, en el cual la tangente es

positiva”.

1c.

Sen 320º = Sen (270º + 50º) =

-Cos 50º

“El signo (-) se debe a que el

ángulo a reducir (320º) pertenece

al IV C, en donde e seno es

negativo y se cambia a coseno

(Co-razón del seno porque se

trabajo con 270º”.

1d.

Sec 115º = Sec (90º + 25º) =

- Csc (25º)

Ojo: También se pudo haber

resuelto de la siguiente manera:

Sec 115º = Sec(180º - 65º) =

- Sec (25º)

“Ambas respuestas son

correctas, por ser éstas

equivalentes”

- Csc 25º = - Sec 65º

Csc 25º = Sec 65º

Ya que:

Donde:

y suman 90º

Nota: A éste par de ángulos se les

denomina “Ángulo Complementarios”.

e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) =

- Csc (60º) ó

Trigonometría 30


Csc 240º = Csc (270º - 30º) =

- Sec (30º)

f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) =

- Tg (75º) ó

Ct 345º = Ctg (360º - 15º) =

- Ctg 15º

II Regla: “Para ángulos positivos

mayores de una vuelta.

Nota: Se eliminan los múltiplos

de 360º.

Ejemplos de Aplicación


a) Sen (548º) b) Cos (987º)

c) Tg (1240º

Resolución

2a) Sen548° = sen(1 × 360° +

188°) = sen188°

Luego:

Sen548° = sen188 =

sen(180° + 8°) = -sen8°

ó

sen548° = sen188° =

sen(270 - 72°) = -cos72°

Trigonometría 31


2b) Cos987° = cos(2 × 360° +

267) = cos267°

Luego:

Cos987° = cos267° =

cos(180° + 87°) = -cos87°

ó

cos987° = cos267° =

cos(270° - 3) = -sen3°

2c) Tg1240 =Tg(3 × 360° +

160°) = Tg160°

Luego:

Tg1240° = Tg160°.Tg(90°

+ 70°) = -ctg70°

ó

Tg1240° = Tg160° =

Tg(180° - 20°) = -Tg20°

III Regla: para ángulos

negativos:

Para todo ángulo , se cumple:

Nota:

Observamos que para el coseno

y secante el signo “desaparece”

es decir, solo trabajamos con el

valor positivo. Veamos ejemplos:

Ejemplo de Aplicación


A) cos(-130°) B) sec(-274°)

C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)

Resolución:

3a) cos(-30°) = cos(30°)

3b) Sec(-274°) = sec(274°) =

Sec(270° + 4°) = Csc4°

ó

Trigonometría 32


Sec(274°) = sec(360°-86°) =

sec86°

3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) =

-Ctg(3×360° + 40°)

Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)

3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) =

-Csc(5×306° + 340°)

Csc(-2140°) = -Csc(340°) =

-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º]

= Sec 70º

- Csc(340º) = - Csc (360º -

20º) = -[-Csc(20º)]

= Csc 20º

Nota Importante: Todo el

capítulo “Reducción al 1er

Cuadrante” se desarrolló

trabajando netamente en el

sistema sexagesimal la cual

también se pudo haber

trabajando en el Sistema Radian

incluyendo todos los casos

reglas y aplicaciones propuestas.


Trigonometría 33


01. Hallar la siguiente expresión:

Rpta.:

02. Hallar el valor de P:

Rpta.:

03. Al simplificar la expresión se

obtiene

Rpta.:

04. Simplificar

Rpta.:

05. Hallar el valor de Q:

Rpta.:

06. Hallar X en la siguiente

expresión:

Rpta.:

07. Marcar V o F en cada

proposición:

I : sen110° = sen70°

II : cos200° = cos20

III: Tg300° = -ctg30°

IV: sen618° = sen 78°

V : sec(-310°) = -Csc40°

Rpta.:

Trigonometría 34


08. Reducir la expresión

Rpta.:

09. Hallar E:

Rpta.:

10. Simplificar

Rpta.:

11. Hallar el valor de M

Rpta.:

12. Relacionar según

corresponda.

I. a. Sen x

II. b. – Tg x

III. c. Sen (-x)

A) I-a; II-b; III-c

B) I-b; II-a; III-c

C) I-c; II-a; III-b

D) I-c; II-b; III-a

E) I-a; II-c; III-b

13. Calcular Sen(5x). Si:

Rpta.:

14. Calcular A:

Trigonometría 35


Rpta.: 15. Calcular P

P = sen140° + cos20° + sen220°

+ Cos160° + sen150°

Rpta.:

16. Reducir

Rpta.:

17. Si x + y = 180. Calcular

Rpta.:

18. Calcular

C = 5Tg1485 + 4Cos2100

Trigonometría 36


Cos120

Rpta.:

19. Dado un triángulo ABC,

calcular:

A= Sen (A+B) - Tg(B+C)

Sen C TgA

Rpta.:

20. Calcular

Si x + y = 2

Rpta.:PROBLEMAS PARA LA CASA

01. Reducir y calcular E.

E = Sen150º.Cos120º

+ Sec150º.Csc120º

a) 19/12 b) -19/12

c) 4/3 d) -3/4

e) – 3/2

02. Hallar el valor de:

Trigonometría 37


a) 1 b) – 1 c) 2

d) -2 e) 0

03. Calcular:

a) -2 b) 1 c) 0

d) -1 e) 2

04. Simplificar:

a) -3 b) -1 c) 0

d) 1 e) 3

05. Cuántas de las siguientes

preposiciones son verdaderas.

a) Ninguna b) 1 c) 2

d) 3 e) Todas

06. Sabiendo que:

Determine:

Tgx + Ctgx

Trigonometría 38


a) b) c)

d) e)

07. Reducir la expresión:

a) 1 b) -1 c) -2

d) 2 e) 0

08. Hallar 2senx Si:

a) 1 b)

c) -2

d) -1 e)

09. Calcular el valor de:

a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10. Calcular del valor de

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

11. Afirmar si es (V) o (F)

I. senx + sen(-x) = 0

II. cosx + cos(-x) = 0

III. Tgx + tg(-x) = 0

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FFV e) FFF

12. Dado un triángulo ABC

Simplificar:

a) -1 b) 2 c) 1

d) -2 e) 5

Trigonometría 39


13. Resolver

a) 1 b) -1 c) a

d) b e) a/b

14. Simplificar

a) 2senx b) 2cosx

c) -2senx d) -2cosx e) 0

15. Calcular

a) 13 b) 12 c) 9

d) 11 e) 10

Trigonometría 40

Y

P

P

2

1

C(-1;0)

0 ra d

ra d

B (0 ;1 ) M ed ida de l A rco P ositivo

Medida del Arco Positivo


TEMA: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Definición:

La circunferencia trigonométrica

es una circunferencia inscrita en

un sistema de coordenadas

rectangulares a la cual hemos

denominado plano cartesiano.

Tiene como características

principales:

- El valor de su radio es la

unidad (R = 1)

- Su centro coincide4 con el

origen de coordenadas del

plano cartesiano.

Veamosla gráficamente

Nota: Todos y cada uno de los

puntos que pertenecen a la

circunferencia trigonométrica

(C.T.) cumplen la ecuación

siguiente:

x2 + y2 = 1

Donde:

X Abscisa del Punto

Y Ordenada del Punto

Para un mejor entendimiento de

las definiciones posteriores se

enuncian las siguientes

denominaciones a los puntos:

A (1;0) Origen de Arcos

B (0;1) Origen de

Complementos

C (-1;0) Origen de

Suplementos

P1 y P2 Extremos de

Suplementos

Trigonometría 41


Arco en Posición Normal:

Es aquel arco cuyo extremo

inicial es el origen de arcos de la

C.T. y su extremo final cualquier

punto sobre la C.T. (es aquel que

indica el cuadrante al cual

pertenece dicho arco.

Observación: El ángulo central

correspondiente a un arco en

Posición normal o estándar, tiene

igual medida en radianes que la

medida del arco.

Veamos Ejms.:

P

0

C A

B

rad

rad

Y

X

T

Trigonometría 42


Se observa que:

Además:

“” y “” son arcos en posición

normal o estándar tales que:

es (+) y al I C

es (-) y al III C

Nota: Importante:

Del gráfico: Éstos extremos

servirán como referencia para

ubicar aproximadamente otros

arcos en la C.T.

Ejemplos de Aplicación:

Ubique gráficamente en la

circunferencia trigonométrica los

extremos de los arcos (en

posición standar):

Resolución

- Para que los arcos se

encuentren en posición

estándar en la C.T. éstos

tendrán su posición inicial en

el punto A(1,0).

M: Extremo del arco

Trigonometría 43

0C A

B

0

Y

X3,14 =

2 = 6,28

3 = 4,71 2

= 1,572

C

A

BY

X

-1rad

M

5 /6

0

5 rad 6

N4 -1Q

AT

AP

Y

P(X ;Y )0 0

1

X

R ad


N : Extremo del arco 4

Q: Extremo del arco -1

Razones Trigonométricas de

Arco en Posición Normal o

Standar:

Son numéricamente iguales a las

razones trigonométricas de su

respectivo ángulo central en la

C.T. Es decir:

R.T. (arco) = R.T. (ángulo central)

Luego entonces:

Sea P(xo, yo) (P I C) que

pertenece a la C.T. y también al

lado final del ángulo en posición

normal o standar .

Calculemos las R.T. del ángulo .

Observación

Vemos que:

Yo = Sen Xo = Cos

Por lo tanto

Trigonometría 44

C.T.

Y

X

P’ (-cos ; -sen

BP(Cos ;Sen )

)


El punto P también se representa

de la siguiente manera:

P (xo, yo) = P (cos; sen)

De la observación

Coordenadas del extremo de arco:

Nota Importante:

- Ya que P y Q a la C.T.

entonces cumplen la ecuación

X2 + y2 = 1

* Para P: Cos2 + Sen2 = 1

Para Q : Cos2 + Sen2 = 1

Se concluye que “para todo arco

la suma de los cuadrados de su

seno y coseno dará la unidad”

Algunos alcances importantes:

Para hallar coordenadas

opuestas:

P’ (-cos ; -sen )

0

Y

X

C.T.

P’ (cos ; sen )

Para hallar coordenadas simétricas

Trigonometría 45

Y

X0

P (-Sen ;Cos )P(Cos ;Sen )

C.T.


Para hallar Coordenadas Ortogonales: Líneas Trigonométricas

Son segmentos de recta

dirigidos, los cuales nos

representan en la circunferencia

trigonométrica, el valor numérico

de una razón trigonométrica de

un ángulo o número.

Las principales Líneas

Trigonométricas son:

- Línea SENO

- Línea COSENO

- Línea TANGENTE

- Línea COTANGENTE

- Línea COSECANTE

- Línea SECANTE

Las líneas trigonométricas

auxiliares son:

- Línea COVERSO.

- Línea VERSO.

- Línea EX-SECANTE

Trigonometría 46

Y

X

C .T.

0

PR

ra d

Y

X

C .T.

0

1

Q A

P

ra d


Nota Importante:

- Si el segmento de Recta está

dirigido hacia la derecha ó

hacia arriba entonces el valor

numérico de la línea

trigonométrica correspondiente

será positivo.

- Si el segmento de recta está

dirigido hacia la izquierda o

hacia abajo entonces el valor

numérico de la línea trigonométrica

correspondiente será negativo.

Veamos y analicemos sus

representaciones:

Línea Seno:

Se representa mediante la

perpendicular trazada desde el

extremo del arco, hacia el

diámetro horizontal (Eje X)

(apuntando hacia el extremo del

arco).

En el gráfico:

Se observa que representa

al coseno del Arco

Trigonométrico .

Nota:

Como en el Ejm. el segmento

está dirigido hacia la derecha

entonces el coseno es positivo.

Línea Coseno:

Se representa por la


extremo del arco, hacia el

diámetro vertical (Eje Y)

apuntando hacia el extremo del

arco.

Trigonometría 47

Y

X

C .T.

0

A(1,0 )

P

Q

ra d

C .T.

P

0

T

ra d

Ta ng e n te G e o m é tr ic a


En el gráfico:

Se observa que RP representa al

coseno del Arco Trigonométrico .

Nota:

Como en el Ejm. El segmento RP

esta dirigido hacia la derecha

entonces el coseno es positivo.

Línea Tangente

Es una parte de la tangente

geométrica trazada por el origen

de arcos A(1;0). Se mide desde

el origen e arcos y termina en la

intersección de la tangente

geométrica con el radio

prolongado de la C.T. que pasa

por el extremo del arco. Apunta

hacia la intersección.

En el gráfico:


a la tangente del Arco

Trigonométrico .

Nota:

Como en el ejemplo el segmento

está dirigido, hacia abajo

entonces la tangente es negativa.

Línea Cotangente

Es una porción de la tangente

geométrica que pasa por el

origen de complementos B(0;1),

se empieza a medir desde el

origen de complemento y termina

en la intersección de la tangente

mencionada con el radio

prolongado de la C.T. que pasa

Trigonometría 48

tan gen te geom étrica

C.T.

P

0rad

A

Y


por el extremo del arco, Apunta

hacia dicha intersección.

En el gráfico:


a la cotangente del arco

trigonométrico .

Nota: Como en el ejemplo, el

segmento está dirigido hacia

la izquierda entonces la

cotangente es negativa.

Línea Secante:

Es una porción del diámetro

prolongado que pasa por el

origen de arcos A(1;0) y que se

mide desde el centro de la C.T.

hasta la intersección del diámetro

prolongado con la tangente

geométrica trazada por el

extremo del arco. Apunta hacia la

intersección.

En el gráfico:


a la secante del arco

trigonométrico .


segmento está dirigido

hacia la derecha entonces la

secante es positiva.

Línea Cosecante:

Es una parte del diámetro

prolongado que pasa por el

origen del complemento B(0; 1),

Trigonometría 49

tan ge n te g eo m é tr ica

C .T.P

M

0rad

B(0;1)Y

C .T.

P

0

ra d

Y


y que se mide desde el centro de

la C.T. hasta la intersección del

diámetro prolongado mencionado

con la tangente geométrica

trazada por el extremo del arco

apunta hacia la intersección.

En el gráfico:


a la cosecante del arco

trigonométrico .


segmento está dirigido

hacia abajo entonces la

cosecante es negativa.

Línea Auxiliar verso o seno verso:

«Es lo que le falta al coseno de

un arco para valer la unidad» se

mide a partir de origen de arcos

A(1; 0), hasta el pie de la


extremo del arco, al diámetro

horizontal del (Eje X) . apunta

hacia el origen de arcos es decir

« el verso jamás es negativo».

Trigonometría 50


En el gráfico:

Se observa que , representa al

verso del arco trigonométrico .

Cumple la fórmula

Verso() = 1 - Cos

Línea Auxiliar Coverso o

Coseno Verso:

«Es lo que le falta al seno para

valer la unidad» el coverso se

mide a partir de origen de

complementos B(0; 1), hasta el

pie de la perpendicular trazada

desde el extremo del arco a

diámetro vertical de la C.T. (Eje

Y). Apunta hacia el origen de

complementos « el coverso

jamás es negativo»

Trigonometría 51


En el gráfico:


al arco trigonométrico .

Cumple la Fórmula:

Coverso() = 1 - Seno

Línea Auxiliar Ex-Secante

“«Es el exceso del al; secante a

partir de la unidad ». Se mide a

partir del origen de arcos A(1; 0),

hasta el punto donde termina la

secante de ese arco. apunta

hacia el punto donde termina la

secante.

Trigonometría 52


En el gráfico:

Se observa que representa a

la Ex-Secante del arco

trigonométrico .

Cumple la Fórmula:

ExSec() = Sec - 1


01. Indicar verdadero (V) o (F)

I. sen230° > sen310°

II. cos65° < cos 290°

III. cos15° > sen15°

Rpta.:

02. En la C.T. se tiene que:

90º < X1 < X2 < 135º, cual de

las siguientes proposiciones

es falsa.

Rpta.:

03. Calcular en la C.T.:

Rpta.:

Trigonometría 53


04. En el gráfico calcular :

Rpta.:

5. Determinar las coordenadas

de P:

Rpta.:

06. Indicar si es V o F.

Rpta.:

07. De la figura:

Calcular

Rpta.:

08. Al ordenar en forma

descendente los siguientes

valores Tg50º; Tg100º,

Tg180º, Tg200º, Tg290º. El

cuarto término es:

Trigonometría 54


Rpta.: 09. En la figura hallar: PQ

Rpta.:

10. En la C.T. hallar el valor de

la región sombreada.

Rpta.:

Trigonometría 55


11. En la circunferencia

trigonométrica mostrada.

y OM = MB.

Calcular el área de la región

triangular OMP.

Rpta.:

12. En la C.T. mostrada calcular

Tg + Tg + Sex

Rpta.:

Trigonometría 56


13. Hallar el área de la región

sombreada:

Rpta.:

14. En el gráfico. Calcular RQ:

Rpta.:

Trigonometría 57


15. Indicar en la circunferencia

trigonométrica, la expresión falsa.

a)

b)

c)

d)

e)

Rpta.:

16.

Hallar el área de la región

triangular PBQ

Rpta.:

17. Calcular el área de la Región

sombreada

Rpta.:

18. Si II < < < II

Señale las proposiciones

verdaderas.

I. Tg < Tg

II. Tg . Ctg < 0

III. Ctg < Ctg

Rpta.:

Trigonometría 58


19. En la C.T. mostrada. Hallar el

área de la región sombreada.

Rpta.:

20. Indicar los signos de cada

expresión:

A : Tg1.Tg2

B: Ctg2.Ctg3

C: Ctg1:Tg3

Rpta.:

Trigonometría 59



01. Indicar verdadero (V) o Falso

(F) lo incorrecto.

I. Sen50º - Cos70º > 0

II. Tg50º - Tg200º > 0

III. Ctg89º + Ctg350º > 0

02. Si .

Indicar si es (V) o (F) si es

falso.

a) VFV b) VFF c) VVF

d) FVF e) VVV

03. Hallar las coordenadas de P

Trigonometría 60


a) (1; Tg) b) (1; -Tg)

c) (-1; Tg) d) (1; Ctg)

e) (1; -Ctg)

04. En la C.T. hallar:

a) csc.ctg b) cos.tg

c) sen.ctg d) cos.csc

e) sec.tg

05. Calcular el área de la región

sombreada.

a) Sen b) cos c) 2sen

d) 2cos e) sen

06. De la C.T. que se muestra

calcular :

a) b) c)

d) e)


triangular ABC

Trigonometría 61

B C

AO

E

F

D


a) b) c)

d) e)

08. En la circunferencia trigonométrica

halle Tg + Ctg. Si CP = 2x

+ 1 y = 4x + 1

a) 4/3 b) 13/12 c)25/2

d) 12/13 e) 25/3

09. Halla el área de la región

sombreada.

a) 3Cos b) Cos c)

d) 2cos e)

10. En la figura se muestra la

cuarta parte de la C.T. a que

es igual

a) Sen - Cos b) Cos-

Sen

c) Tg d) Cos

e) Sen

11. Hallar el área de la región

sombreada de la C.T. mostrada.

Trigonometría 62

P


a) Cos b)

c) d) sen

e)

12. I. Si: < Tg < Tg

II. Si: > Tg > Tg

III. Si: < Ctg < Tg

Indique V o F

a) VFF b) VVV c) VFV

d) FFV e) FFF


sombreada.

a) sec b) Tg c) Tg2

d) Csc2 e) Sen2

14. Sabiendo que: 90º < X

135º, indicar el valor de

verdad de cada una de

las siguientes

proposiciones:

I. Senx > Tg x

II. Cosx < Tg x

III. Senx + Cosx > Tgx

a) VVV b) VFV c) VFF

d) VVF e) FVV

Trigonometría 63


15.En la C.T. mostrada

90º < < 135º. Si a, b y c

son líneas geométricas

indicar respectivamente los

signos de a + b, a + c, b + c.

a) (-) (-) (+) b) (-) (+) (-)

c) (-) (-) (-) d) (+) (+) (+)

e) (+) (+) (-)TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Este capitulo es muy extenso y

muy importante a su vez por que

va a servir como base para

capítulos posteriores, esta

considerado como clave dentro

de la trigonometría, y

definitivamente tendremos que

demostrar las razones por las

cuales se les considera de gran

importancia en el desarrollo de la

asignatura.

Obs:

- La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0;

Es cierto si solamente si;

cuando x = 2 ó x = -2

Trigonometría 64


A este tipo de igualdad se le

denomina “Ecuación Condi-

cional”

- En cambio la igualdad (x – 2)

(x + 2) x² -9, cumple para todo

valor de “x”

A este tipo de igualdad se le

denomina “Identidad”

- Recordar que no existe la

división entre cero

- Para indicar una identidad, se

utiliza el símbolo ““ que se lee:

“Idéntico a”

Definición:

Una Identidad Trigonométrica es

una igualdad que contienen

expresiones trigonométricas que

se cumplen para todo valor

admisible del ángulo:

Por Ejemplo: La Identidad

‘sen² + cos² = 1",

Comprobemos la valides de la

Identidad:

Para = 37° Sen²37+ cos²37 = 1

Identidades Fundamentales:

Las identidades trigonométricas

fundamentales, sirven de base

par la demostración de otras

identidades mas complejas

se clasifican en:

1.- Por cociente

2.- Reciprocas

3.- PiTgóricas

Para obtener dichas identidades,

hacemos uso de la circunferencia

trigonométrica.

Trigonometría 65

Y

X

C .T.

0

1

T


1. Identidades por Cociente:

Sabemos que PT = | Sen|

OT = |Cos| , (en el ejemplo

ambos (+) ya que I C. y en el

triángulo Rec. POT: Tg =

Tg =

Tg = Demostrado

De la misma manera se

demuestra: Cot =

En Resumen: Las identidades

por cociente son:

Se observa que:

Tg =

Trigonometría 66

Y

P

X

C .T.

0

1

T Y

PB

X

C .T.

0

1

T A


A continuación veremos las

identidades recíprocas

2. Identidades Recíprocas:

Sabemos que PT = | Sen| y

también OT = |Cos|

Luego: En el triangulo POT, se

observa:

Csc =

y

Sec =

(sen y cos (+) ya que

Ic)

Por lo tanto:

y

En resumen:

Las identidades recíprocas son:

3. Identidades Pitagóricas:

Recordemos que: P = P (cos;

sen) es decir: PT = |Cos| y

también: OT = |sen| y en el

triángulo rec. POT: por el

teorema de Pitágoras.

(OP)2 = (OT)2 + (PT)2

12 = (|Sen|)2 + (|Cos|)2

1 = Sen2 + Cos2 … (I)

Trigonometría 67


Demostrado

Con la identidad (I),

demostramos también:

1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2

= Csc2

De la siguiente manera

Sen2 + Cos2 =1

Dividimos ambos miembros entre

(Sen2):

Finalmente:

De las identidades por división:

Y de la identidad por cociente:

Reemplazamos:

(1)2 + (Ctg)2 = (Csc)2

∴ 1 + Ctg2 = Csc2

De similar manera se demuestra:

1 + Tg2 = Sec2

De similar manera se demuestra:

1 + Tg2 = Sec2

En resumen las identidades

pitagóricas son:

- Sen2 + Cos2 = 1

- 1 + Tg2 = Sec2

- 1 + Ctg2 = Csc2

Algunas Identidades Auxiliares

Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen2

Cos2

Tg + Ctg = Sec.Csc

Sen6 + Cos6 = 1

– 3Sen2.Cos2

Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2

Los ejercicios sobre

identidades son de 4 tipos:

a) Demostraciones:

Trigonometría 68

2

Sen12

SenSen2

SenSen


Para demostrar una identidad,

implica que el primer miembro o

viceversa ó que cada miembro

por separado se pueda reducir a

una misma forma.

Ejm:

- Demostrar que : Csc - Ctg .

Cos = Sen

Resolución:

Csc - Ctg . cos = sen

Sen = Sen. Demostrado

b)Demostrar que:

Resolución

Utilizamos artificios:

Luego se tendría

. (Demostrado)

c) Simplificaciones:

Lo que se busca es una

expresión reducida de la

planteada con ayuda de las

identidades fundamentales y/o

auxiliares. Utilizar transforma-

ciones algebraicas.

Ejms.

1) Simplificar:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2

Resolución:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2

(2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 +

4sen² Cos²

Trigonometría 69


4cos²cos² - 4cos² + 1 +

4sen²cos²

4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1

4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1

4cos² [1 - 1] + 1

4cos²(0) + 1 = 1

2) Simplificar:

(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

Resolución:

(1-Cosx)

(1-Cosx)

d) Condicionales:

Si la condición es complicada

debemos simplificarla y así

llegar a una expresión que

pueda ser la pedida o que nos

permita hallar lo que nos

piden. Si la condición es

sencilla se procede a

encontrar la expresión pedida.

Ejms.

a) Si Sen + Csc = a.

Calcular el valor de

E = Sen2 + Csc2

Resolución

Si: sen + Csc = a (Elevemos

al cuadrado)

(Sen + Csc = a²

Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc²

= a²

Sen² + 2 + Csc² = a²

Sen² + Csc² = a² - 2

E = a² - 2

b) Si: senx - cosx = m .

Hallar el valor de:

D = 1 -2senxcosx

Resolución

senx - cosx = m (elevemos al

cuadrado)

(Senx cosx)² = m²

sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²

Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²

1 - 2senxcosx = m²

Trigonometría 70

SenxSenx

xxSen

Senx

x2Cos1


D = m²

e) Eliminación del Ángulo:

Estos ejercicios consisten en que

a partir de ciertas relaciones

trigonométricas debemos hallar

relaciones algebraicas en la cual

no aparezca el ángulo. Nos

ayudaremos de identidades

como por Ejem.

Tgx.Ctgx = 1

Senx.Cscx = 1

Cosx.secx = 1

Sen²x + cos²x = 1

Sec²x - Tg²x = 1

Csc²x - Ctg²x = 1

Ejm.:

1. Eliminar “” de:

Csc = m + n …(1)

Ctg = m – n …(2)

Resolución:

Csc = n + n

Ctg = m – n

Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)

Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2

1 = 4mn

2. Eliminar “” de:

Resolución:

De la expresión 1

(xSen)

aSenCos - bSen2 = 1 …(3)

De la expresión 2

(XCos)

Trigonometría 71

(Elevamos ambas expresiones al

cuadrado)

)2n2mn-2(m - 2n2mn2m 2Ctg-2Csc

)Cos(Cos

k)bSenaSen(Cos


aSenCos - bCos2 = K …(4)

Restamos (4) menos (3)

b = x - 1

K = b + 1

Recomendación:

Cuando en un problema de

identidades trigonométricas estés

frente a esta expresión:

E = (senx ± cosx) y se te pide

“senx.cosx”, se recomienda que

eleves al cuadrado ambos

miembros para obtener:

E² = (senx ± cosx)² = sen² ±

2senxcosx - cos²x

E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx

E² = 1 ± 2 SenxCosx

Lo que se pide

Identidad Importante:

(1 ± sen ± cos)² =

2 (1± sen)(1± cos)

Demostración: Recordemos

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 +

2(ab+bc+ac)

Trigonometría 72

12bSenCosaSen)(k2bCosCosaSen


(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² +

(±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+

(±sen)(±cos)]

= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) +

1(±cos) + (±sen)(±cos)

Agrupamos nuevamente

2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) +

(±sen)(±cos)]

= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)

(±cos)]

= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 +

(±sen))]

= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]

(1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)

(1 ± cos) ………...(Demostrado)PROBLEMAS PARA LA CLASE

01. Demostrar las siguientes

identidades:

a) (Csc + Ctg)² =

b)

c)

02. Simplificar las siguientes

expresiones:

a)

Trigonometría 73


b)

c)

03. Eliminar el ángulo en las

siguientes expresiones:

a) x = 3sen ....(1)

y = 2cos.......(2)

b) x = cos...................(1)

y = cos² - sen²......(2)

c) 1 + Ctg = n.............(1)

sen = …........(2)

04. Si: Secx - Tgx = 0,75

Entonces el valor de:

Secx + Tgx , es:

Rpta.:

05. Si cos + sec = 3

Calcular el valor de:

sec² - sen²

Rpta.:

06. Si Sen - Cos = Tg30°

Calcular el valor de:

Sen4 + Cos4

Rpta.:

07. Si 1 + Tgx = asecx y

1 - Tgx = bsecx

calcular a² + b²

Rpta.:

08. Simplificar:

Tal que (0 < x < /2)

Rpta.:

09. Reducir:

Trigonometría 74


10. Simplificar la expresión:

Rpta.

11. Dado:

Hallar:

Rpta.:

12. Simplificar la expresión

Rpta.:

13. Simplificar la siguiente

expresión:

Rpta.:

14. Si a = senx; b = tg,

encontrar el valor de:

R =(1 - a²)(1 + b²)

Rpta.:

15. Eliminar a partir de:

Sen + cos = .... (I)

Tg + Ctg = ..............(II)

Rpta.:

16. Señale cuales son identidades:

I.

II.

III.

Rpta.:

17. Simplificar la expresión:

Rpta.:

Trigonometría 75


18. Reducir la expresión:

Rpta.:

19. Calcular “cosx”, si se tienen

la siguiente expresión

Secx + Tgx = a

Rpta.:

20. Hallar “m”para que la

siguiente igualdad sea una

identidad:

Rpta.:


01. Demostrar ;las siguientes

identidades:a) (Ctg + Csc)2

b) (cosx - Ctgx)² + (senx - 1)²

Trigonometría 76


(1- Cscx)²

c) (1 - Cos²) (1+ Tg2)

Tg²

02. Simplificar las siguientes

expresiones:

a) Tgx(1-Ctg²x) + Ctgx(1 - Tg²x)

b)

c)

A) 1, 0, Tg4x

B) 0, 1, Tg6x

C) -1, 0, Tg6x

D) 0, -1, Tg6x

E) 0, -1, Tg6x

03. Eliminar el ángulo en las

siguientes expresiones:

a) asenx - cosx = 1........(I)

bsenx + cosx = 1........(II)

b) m = sen + cos..........(I)

n = sen - cos ..........(II)

c) Psec²x + Tg²x = 1

Csc²x + qCtg²x = q

A) ab = 1; m² + n² = 1;

pq = 0

B) ab = -1; m² + n² = 4; pq = 1

C) ab = 0; m² + n² = 1; pq = 1

D) ab = 1; m² + n² = 1; pq = -1

E) ab = -1; m² + n² = 0; pq = 1

04. Simplificar:

a) 2 b) Tg² c) sec²

d) Csc² e) Ctg²

05. Si X I C, simplificar:

A) 2senx + cosx

B) 2senx – cosx

c) 2cosx + senx

D) 2cosx - senx

E) cosx

Trigonometría 77


06. Simplifique la siguiente

expresión:

A) 0 B) 1 C) -1

D) 2 E) -2

07. Si Tgx + Ctgx = .

Calcule el valor de:

a) 6 b) 9 c) 12

d) 18 e) 36

08. Simplificar la siguiente expresión:

a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3

d) 2/5 e) 1/5

09. Si se cumple la siguiente

identidad:

calcular el valor de:

A) Tg120° B) Tg240°

C) Tg360° D) Tg60°

E) Tg30°

10. Encontrar el valor de “n”de

tal manera que se cumpla:

(Senx + cosx)(Tgx + Ctgx)

= n + Cscx

a) Secx b) Ssenx c) Cosx

Trigonometría 78


d) Cscx e) Tgx

11. Simplificar:

a) 4 b) 2 c) 1

d) 1/4 e) 1/2

12. Si: asenx = bcosx

Halle el valor de:

a) a b) b c) ab

d) a/b e) b/a

13. Si senx + cosx = , calcular

el valor de la siguiente

expresión:

P = secx + Cscx

a) 1/4 b) -1/4 c) 3/4

d) -3/4 e) 5/4

Trigonometría 79


14. En la siguiente identidad

Halle el valor de “n”

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

15. Reducir la siguiente

expresión:

tal que X I C

a) Senx b) Cosx

c) Tgx d) Senx

e) Cosx

TEMA: SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS

En el presente capítulo

realizaremos el estudio de las

razones trigonométricas de

aquellos ángulos que a su vez

están constituidas por la suma o

resta de otros 2 ángulos.

Iniciaremos el estudio del presente

capitulo con la demostración de las

Trigonometría 80

1 S R

P Q A X

Y

MB


principales Identidades para

ángulos compuestos que son:

* Sen( + ) = SenCos +

CosSen

* Cos( + ) = CosCos-

SenSen

Demostración:

A partir del grafico:

Se observa:

Sen ( + ) = MP = PS + SM =

QR + SM; (PS = QR)

En el OQR QR = ORSen

= Sen.Cos; (OR = Cos); (OR

= Cos)

En el MSR SM = RMCos =

Cos.Sen; (RM = Sen)

Reemplazando

Sen (+) = Sen Cos

+ Cos.Sen …….. Demostrado

También observamos:

Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ

- SR; (PQ = SR)

En el OQR OQ = ORCos =

Cos.Cos; (OR = Cos)

En el MSR SR = MRSen

= Sen.Sen; (MR = Sen)

Reemplazamos:

Cos(+) = CosOC.Cos -

Sen.Sen .......

(Demostrado)

Procedemos ahora a obtener la

Tg(+) de la siguiente manera:

Trigonometría 81


Sabemos que:

Tg(+) =

Dividimos a la expresión por

(Cos.Cos)

Tg(+) =

Simplificando obtendremos:

Tg(+) =

Tg(+) =

(Demostrado)

Tomaremos en cuenta para las

demás razones trigonométricas

que:

Identidades Trigonométricas

para la Diferencia de Ángulos:

Usando las Identidades para la

suma de ángulos (ya

demostrados), deducimos las

identidades para la diferencia de

ángulos, utilizando el siguiente

artificio.

* Sen(+) = sen(+(-))

Sen(+(-)) =

Demostrado

Trigonometría 82


* Cos(-) = Cos(+())

Cos(+(-)) = Cos . Cos(-

)

Cos

- SenSen(-)

- Sen

(Demostrado)

* Tg(-) =Tg(+(-))

Tg( +(-)) =

Tg(-) =

(Demostrado)

De igual manera tomar en cuenta

que:

Algunas Propiedades de

Importancia

* Sen(-).Sen(-) =

Sen² - Sen²

* Tg + Tg +

Tg(+).Tg.Tg =

Tg(+)

* Si: + + = 180° ⇒ Tg

+ Tg + Tg = Tg . Tg .

Tg

* Si: + + = 90° ⇒ Tg .

Tg + Tg . Tg + Tg.

Tg = 1

Demostremos las propiedades

Trigonometría 83


a) “sen(+). sen(-) =

Sen² - sen²”

Sabemos que:

Sen(+) = Sencos +

cossen ..(I)

Sen(-) = sencos -

cossen ..(II)

Multiplicamos Miembro a miembro:

sen( + ).sen( - ) = sen² -

cos² - cos² - sen²

Reemplazamos:

Cos² = 1 - sen

Cos² = 1 - sen²

sen( + ) sen(-) = sen²(1 -

sen²) - (1 - sen²)sen²

= sen² - sen².sen² - [sen² -

sen².sen²]

= sen² - sen².sen² - sen² +

sen².sen²

sen(+).sen(-) = sen² -

sen²......................(Demostrado)

b) “Tg + Tg + Tg(+). TgTg

= Tg(+)”

Sabemos que:

Tg(+) =

Multiplicamos (1-Tg.Tg) a

ambos miembros:

(1 - Tg.Tg)Tg(+) = (1

- Tg.Tg)

Tg(+) -TgTg.Tg(+) =

Tg + Tg

Ordenamos convenientemente:

Tg + Tg + Tg( + ).TgTg

= Tg( + )

Demostrado

Trigonometría 84


c) Si: “ + + = 180° Tg + Tg

+ Tg = Tg Tg Tg”

Sabemos que:

+ + = 180° + = 180° -

Tomamos tangente a ambos

miembros:

Tg( + ) = Tg(180° - )

= -Tg

Tg + Tg = -Tg (1 - TgTg)

Tg + Tg = -Tg +

Tg.Tg.Tg


Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg

(Demostrado)

d) Si: “ + + = 90° Tg. Tg +

Tg. Tg + Tg. Tg = 1"

Sabemos que:

+ + = 90° + = 90° -

Tomamos tangente a ambos

miembros:

Tg( + ) = Tg(90° - )

Tg (Tg + Tg) = 1 - Tg.Tg

Tg .Tg + Tg.Tg = 1 - Tg.Tg


Tg.Tg+Tg.Tg+Tg.Tg =1

(Demostrado)

Trigonometría 85

5 3 ºA

B C

D

3 0 ºB

2 x

32 3




expresión

Rpta.:

2. Si Sen(x+y) = 0,8 Cosy +

0,6Seny

Calcular Tgx:

Rpta.:

3. Calcular el valor de:

Rpta.:


expresión:

Rpta.:

5. Calcular “Tg” ABCD:

(Cuadrado)

Rpta.:

6. Calcular el valor “” si se

cumple que:

Además ( IC)

Rpta.:

7. En la figura adjunta determinar

el valor de “x”.

Trigonometría 86

A

B C

D


Rpta.:

8. En un triángulo ABC las

tangentes de los ángulos A y

B valen 2 y 3, Calcular el

ángulo “C”:

Rpta.:

9. Determinar el valor de la

siguiente expresión trígono-

métrica.

R = Ctg ( - + ). Si

Rpta.:

10. Calcular el valor de la

siguiente expresión:

Rpta.:

11. Si las raíces de la ecuación

X2 + Px + 9 = 0 son Tg y

Tg. Calcular el valor de:

Rpta.:

12. Calcular Tg (ABCD:

Cuadrado).

Rpta.:

13. Si sabemos que:

Trigonometría 87

5

1 2

1 4


Tg(3a - 3b) = 3 Tg (3a + 3b)

= 5

Determinar el valor de: Tg6.

Rpta.:

14. Si sabemos que:

K(Sen100+Sen10) =

(Sen65+ Sen25)

Determinar el valor de K.

Rpta.:

15. De la figura determinar el

valor de Sen

Rpta.:

16. Calcular el valor de la

expresión siguiente:

M = Cos345º + Cos15º - Tg165º

Rpta.:

Trigonometría 88

M

QP

T

B

D

A3 0

C


17. Si CtgCtg = 1 y además

= Csc"Cs$, calcular el

valor de [Sec($-") .

Rpta.:

18. En la figura adjunta, PM es

mediana y "+ $ = /6.

Calcular Tg$:

Rpta.:


expresión:

Rpta.:

20. En la figura que se muestra,

los triángulos ABC y AOB

son rectos en B y D

respectivamente. Si AB = 4 y

BD = DC. Encontrar el valor

de la Tg".

Rpta.:

Trigonometría 89

5

4

8

2



1. Determinare el valor de la

siguiente expresión:

a) 1 b) 2

c) 3 d)

e)


expresión

a) 2 b)

c) 1 d)

e)

3. En el gráfico adjunto

determinar Ctg:

a) b)

c) d)

e)

4. Determinar el valor de:

F = Tg66.Ctg57-Ctg24Ctg33

a) 2 b)

c) 1 d) -1

e) -2

5. Si sabemos que:

Tg2" – Tg2$ + 2Tg2" Tg2$ = 2

y además Tg(" -$ ) = 3.

Determinar el valor de Tg

("+$).

a) 6 b)

c) d)

Trigonometría 90

P V T S

Q R


e)

6. En la figura PQRS es un

trapecio isósceles, QRTV es

un cuadrado y además PR = PS

Hallar Tg .

a) b)

c) d)

e)

7. Calcular el valor de M:

a) 3 b)

c) 2| d)

e) 1

9. Reducir la siguiente expresión:

a) 1 b) 2

c) Senx d) Cosx

e) Tgx


expresión trigonométrica:

a) Sen70º b) Cos70º

c) 2Sen70º d) 2Cos70º

e) 2Sen50º

11. Determinar el valor de:

J = Tg35º+Cot80º+Cto55º.Tg10º

a) 3 b) 2

c) 1 d) 0

e) – 1

Trigonometría 91


12. Hallar el valor de la siguiente

expresión:

a) 1 b) ½

c) ¼ d) 1/8

e) 1/16

13. Si Tg("+$) = 33. Calcular el

valor de Tg2$. Si Tg" = 3.

a) 62/91 b) 60/91

c) 61/91 d) 63/91

d) 64/91

14. Si a – b = calcular el

valor de:

a) 3 b) 1

c) d)

e) -3

Trigonometría 92

A

2

4

6


15. Calcular el valor de la Tg$ en el gráfico siguiente:

a) 1 b) ½

c) 2 d) 1/3

e) 3

Trigonometría 93


Trigonometría 94

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