Microeconoma II. Ctedra: S. AugusteGua No 0: Repaso de Matemtica y

Microeconoma 1

0.1 Repaso Matemtico

1. Para qu valores de los parmetros y es la siguiente funcin de utilidadCobb-Douglas cncava?

u(x; y) = xy

2. Pruebe que las siguientes funciones del tipo CES y Cobb-Douglas:

CES : f(x; y) =x1=a + y1=a

a; a > 0

CobbDouglas : u(x; y) = xy , ; > 0son cuasicncavas (ayuda, analice las TMS, pruebe para el caso de 2 bienes)

3. Probar que si las funciones u : Rn ! R son cncavas entonces:

W =nXi=1

iui(x)

donde i 0 _i tambin lo es.

4. Probar que si la funcin u : X ! < (donde X es un conjunto convexo)es una funcin cncava y diferenciable, y f : X < ! < es C1 y estrica-mente creciente (i.e. f 0 > 0), entonces la funcin v(x) = f u es cuasicncava(Moraleja: toda transformacin montona de una funcin cncava es cuasicn-cava, lo que no implica que toda funcin cuasicncava puede ser obtenida comouna transformacin montona de una funcin cncava, como Arrow y Enthovenmuestran).

5. Sea U() una funcin cncava y g() una funcin montona no-decrecientey cncava. Probar que f(x) = g U es tambin cncava (asuma que tal com-posicin es posible). Ayuda: utilice la denicin de concavidad basada en com-binaciones convexas.

6. Sea f : < ! < y g : A! < funciones C0 y sea A un conjunto compactoen

Ayuda: Utilice el Teorema de Weierstrass

7. Considere el siguiente problema de maximizacin:maxx;y

x2 xy y2 s:a x2y12x+y2

(a) Es la funcin objetivo continua? determina las restricciones un con-junto presupuestario compacto?(b) De acuerdo a lo contestado en (a) y al Teorema de Weirestrass, puede

garantizar que existe un mximo en este problema de optimizacin?(c) Son las condiciones de Kuhn-Tucker necesarias para la solucin de este

problema?Son las condiciones de Kuhn-Tucker sucientes para la solucin deeste problema?(d) Si es posible, utilice las condiciones de Kuhn-Tucker para encontrar la

solucin de este problema

8. Resuelva los siguientes problemas de optimizacin

a. min pxx+ pyy s:a: u0 = xy

b. min pxx+ pyy s:a: u0 x2 + y2

c. max (x + y)1= s:a: pxx+ pyy = I

9. Diferenciar las siguientes funciones y decidir si son C1:

a. f(x; y) = xy2 + x1=2

b. f(x; y) = xyp(x2+y2)

c. f(x; y) = ln(x+ y)

10. Decidir cules de las siguientes funciones son homogneas y su grado:

a. f(x; y) = 3x+ 4y

b. f(x; y; z) =px+

py+pz

x+y+z

c. f(x; y) = lnx+ lny

d. f(x; y) = xy + y2 y

e. f(x; y) =pxyln[(x2+y2)

xy

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11. Determinar si las siguientes funciones son cncavas o convexas

a. f(x; y) = alnx+ blny

b. f(x; y; z) =pxy + lnx+ ln z

c. f(x) = x2 + 2x+ 3

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0.2 Repaso de Microeconoma I

1. El Dilema del Buen Sanmaritano. Juan tiene dos hijos, Romario yArgento. Ambos son jugadores de ftbol, y consumen botines (b) y camisetas(c). Romario es un tipo celoso, se ja todo el tiempo que es lo que tiene Argento,en particular se ja mucho en los botines. Juan es un padre ejemplar y sepreocupa por el bienestar de sus hijos sin hacer diferencia. Suponga que lafuncin de bienestar familiar igualitaria que Juan utiliza para decidir cuantocomprar de cada bien viene dada por: W = UR + UA, donde W :

(d) Caracterice la solucin.

3. Un padre elige el gasto en alimentos (x) y el gasto en educacin (y) de suhijo. Sus preferencias estn representadas por la siguiente funcin de utilidad:

u(x; y) = ax+ by

con 0 < < 1; y a; b > 0:(a) Encuentre las funciones de demanda de alimentos y educacin para

un ingreso dado I0.(b) Calcule el efecto ingreso para cada uno de los dos bienes (variando

I0) y compute la curva de Engel.(c) Explique por qu uno de los dos bienes (cul?) no tiene efecto

ingreso (Ayuda: Note que es una funcin cuasilineal, por lo que puede habersoluciones de esquina).

4. Juancho tiene preferencias extrictamente convexas por la pizza (x1) yla cebolla (x2) (convnzase que comprende que implica esto: "Juancho preereestrictamente una combinacin convexa a los extremos, es decir no quiere slopizza o slo cebolla, sino que preere pizza con cebolla). Suponga que los preciosy el nivel de ingreso de Juancho estn dados por:

p1 = 20; p2 = 10;m = 100

y que las preferencias extrictamente convexas pueden ser representadas por:

u(x1; x2) = x21x2

(a) Si el precio de la pizza se incrementa a $15, cmo cambia el consumode cada bien?

(b) Encuentre los efectos total, ingreso y sustitucin Explique cadaefecto. Graque.

(c) Si la funcin de utilidad fuera

v(x1; x2) = 2 ln(3x1) + ln(2x2) ln(10)se alteran sus resultados? por que?

5. Un consumidor con preferencias poco comunes tiene la siguiente funcinde utilidad respecto al cafe (c) con leche (l):

u(c; l) = minfc; lg+maxfc; lgdonde ; ; ; > 1. Encuentre las funciones de demanda.

6. Considere el siguiente problema del consumidor:

maxx;yxay1a ; 0 < a < 1

s:a: pxx+ pyy Ix; y 0

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(a) Utilice el Teorema de Weirestrass para ver si puede garantizar laexistencia de solucin

(b) Es la funcin de utilidad cncava? Qu implica esto econmica-mente? Qu implica esto respecto a las curvas de indiferencia?

(c) Es la funcin montona creciente? Qu implica esto respecto a larestriccin presupuestaria?

(d) La no-negatividad en x e y, se satisface siempre? es esta restriccinredundante en este caso?

(e) Resuelva el problema del consumidor y derive las demandas mar-shallianas de ambos bienes

(f) Cul es el grado de homogeneidad de la funcin de utilidad? Quimplica esto sobre el grado de homogeneidad de las demandas? Son las deman-das marshallianas homogneas en precios e ingreso, de que grado?

(g) Encuentre la funcin de utilidad indirecta del consumidor: .(h) Vea que se cumplen las cuatro propiedades de las funciones indirectas

de utilidad (i.e. homogeneidad de grado 0, estrictamente creciente en m, y nodecreciente en p, cuasi-convexidad, y continuidad).

(i) Compruebe que se cumple la identidad de Roy.

7. Para las siguientes funciones de utilidad,

u(x1; x2) = ax1 + bx2

u(x1; x2) = min fax1; bx2gu(x1; x2) = x

1x

2

u(x1; x2) = x1 x2(a) Clasique cada funcin de acuerdo al tipo de preferencia (cuasilineal,

lineal o sustitutos perfectos, complementos perfectos, etc.)(b) Obtenga las demandas Walrasianas y Hicksianas para cada bien.(c) A partir de la funcin de utilidad indirecta, encuentre la variacin

de la demanda compensada de cada bien ante variaciones de su propio precio ydel precio del otro bien.

8. Para la siguiente funcin de utilidad cuasilineal:

u(x; y) = v(x) + y

(a) qu condiciones debe cumplir v() para que u() sea cncava (y porende las preferencias convexas)?

(b) el problema del consumidor ser siempre una solucin interior?(c) asuma que v(x) = lnx: Obtenga las demandas marshallianas y las

compensadas. Qu se puede decir de ellas?

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9. Dada la siguiente funcin de utilidad indirecta:

v(p;m) = ln[1

2(w2

p1p2)1=2]

(a) Obtenga la demanda Walrasiana de los dos bienes.(b) Encuentre la variacin de las demandas Hicksianas ante variaciones

de sus propios precios y de los precios de los otros bienes, a partir de la funcinde utilidad indirecta.

(c) Obtenga la funcin de gasto mnimo a partir de v(p;m). Justiquelos pasos tericos que utiliza.

10. Para los niveles de precios px y py, hallar la funcin de expansin delingreso (Engel) para las siguientes funciones de utilidades y gracarlas:

(a) u(x; y) = x+ ln(y)(b) u(x; y) = xy

(c) u(x; y) = ax+ by(d) u(x; y) = minfax; byg

11. (Crdito en una economa de 2 sectores). Considere un consumidorque elige hoy cuanto consumir hoy y maana (primer y segundo perodo). Sinprdida de generalidad puede asumir que el consumidor, terminado el perodo2 se muere. Este consumidor tendr ingresos I1 en el primer perodo e I2 enel segundo. En cada perodo puede elegir entre dos bienes, x e y, que tienenprecios p y q. Su funcin de utilidad es:

u = 1 ln(x1) + 1 ln(y1) + 2 ln(x2) + 2 ln(y2)

y tendr dos restricciones presupuestarias para cada perodo.(a) Resuelva este problema y encuentra los multiplicadores 1 y 2 aso-

ciados con las dos restricciones. Examine cmo estos multiplicadores dependendel ingreso y de los otros parmetros del modelo.

(b) Cunto ingreso adicional necesita en el perodo 2 este consumidorpara estar dispuesto a perder dI1 en el primer perodo? En otras palabras,encuentre la tasa de retorno necesaria para que el consumidor ahorre en elperodo 1, dada por dI2=dI1 1: Esperara que en una economa como estasurjan instituciones de crdito?, quines seran los prestamistas y quienes losque toman crditos?,de qu depende?

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