Guia Teorico Practica - 2009

7/25/2019 Guia Teorico Practica - 2009

1/536

GUA TERICO PRCTICA N 1

ARITMTICA

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTOS ARITMTICOS:

Leer total y cuidadosamente el problema. Hacer un listado de datos y cantidades desconocidas. Hacer un diagrama de la situacin planteada, si el caso lo requiere. Plantear y resolver las operaciones aritmticas involucradas en el problema. Releer la pregunta del problema.

OBSERVACIN: En los problemas de planteamientos aparecen expresiones tpicas que sedeben traducir a lenguaje matemtico. Dentro de las ms frecuentes setienen:

El doble de a: 2a El triple de a: 3a El cudruplo de a: 4a El exceso de a sobre b: a b

EJEMPLOS

1. El triple de 2 ms el doble de 3, disminuido en 2 es igual a

A) 15B) 12C) 10D) 8E) 3

2. Si Genaro se cas en 1960 cuando tena 25 aos, entonces cumplir 85 aos de edaden el ao

A) 2025B) 2020C) 2018D) 2012E) 2010

Curso:Matemtica

Material N 01


2/536

2

3. Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. Cuntos vasos de 125 cc senecesitarn para llenar dos jarros de igual capacidad al anterior?

A) 10B) 15

C)

20D) 25E) 30

4. Rodrigo tiene 48 aos, Luis tiene un tercio de la edad de Jos, y ste tiene 3 aos msque Rodrigo. Entonces, el exceso de la edad de Jos sobre el doble de la edad de Luises

A) 44 aos

B)

34 aosC) 21 aosD) 17 aosE) 14 aos

5. Una empresa de telefona celular cobra $ 90 el minuto por los primeros 5 minutoshablados, y por cada minuto adicional $ 45. Si una persona habla exactamente13 minutos por celular, cunto debe pagar por su llamada?

A) $ 1.170B) $ 1.035C) $ 810D) $ 585E) $ 450

6. Se paga $ 27.000, lo que corresponde a la tercera parte de una deuda. Si el resto sepaga en 6 cuotas iguales, cul es el valor de cada cuota?

A) $ 81.000B) $ 54.000C) $ 13.500D) $ 9.000E) $ 1.500


3/536

3

EJERCICIOS

1. A una piscina ingresaron a las 10 AM, 368 personas, al medioda ingres el doble deellas, y a las 4 PM se retiraron 504 personas. Cuntas personas quedaron en lapiscina?

A) 1.104B) 800C) 736D) 700E) 600

2. En una bodega hay 21.504 botellas, las que se deben embalar en jabas de 24 botellascada una. Cuntas jabas se requieren para embalar todas las botellas?

A) 364B) 448C) 896D) 1.792E) 2.688

3. Una persona sale de su casa con $ 18.500 y gasta en el supermercado $ 7.200, luegopasa por el banco y retira de su cuenta $ 6.000, enseguida pasa por la farmacia y gasta$ 12.300, con cunto dinero vuelve a casa?

A) $ 7.400B) $ 6.000C) $ 5.000D) $ 4.000E) $ 3.400

4. Un seor regala a su esposa y a sus tres hijos 11.500 U.F. El mayor recibe 2.300 U.F.,el segundo recibe 500 U.F. menos que el mayor, el tercero tanto como sus hermanosjuntos y la esposa recibe el resto. Cuntas U.F. recibe la esposa?

A) 8.200B) 5.600C) 4.100D) 3.300E) 1.300


4/536

4

5. Paco mide 35 cm menos que Luis y 25 cm menos que Hugo. Si Luis mide 175 cm,cunto mide Hugo?

A) 140 cmB) 150 cm

C)

155 cmD) 160 cmE) 165 cm

6. Pepe tiene 20 aos y Too 22. Si Pepe hubiese nacido 3 aos despus y Too 5 aosantes, sus edades actuales sumaran

A) 50 aos

B)

44 aosC) 42 aosD) 40 aosE) 34 aos

7. Se repartieron 36 decenas de duraznos entre 24 personas. Cuntos duraznos lecorrespondieron a cada persona?

A) 15B) 18C) 21D) 24E) Ninguna de las anteriores

8. Para comprar un artculo que vale $ 1.500 tengo 12 monedas de $ 100. Cuntasmonedas de $ 5 me faltan para comprarlo?

A) 45B) 60C) 75D) 80E) 95


5/536

5

9. Tengo 24 lbumes con 15 hojas cada uno y en cada hoja puedo colocar tres fotografas.Si he puesto 215 fotografas en los lbumes, cuntas fotografas ms puedo colocar?

A) 865B) 650

C)

565D) 415E) 72

10. Juan camina 8 km y Jos 5 km en cada hora, respectivamente. Si ambos parten delmismo punto simultneamente en igual direccin y sentido, en cuntos km Juanadelanta a Jos, al cabo de 5 horas?

A) 12

B)

13C) 14D) 15E) 16

11. Cuntos das se necesitarn para hacer 520 metros de un acueducto, si se trabaja 8horas al da y se realizan 5 metros en una hora?

A)

40B) 30C) 13D) 10E) 8

12. La platea de un teatro est distribuida en 3 columnas. Cada columna est compuestapor 12 filas de 9 asientos cada una. Si 312 asientos se encuentran vacos, cuntaspersonas estn sentadas en la platea?

A) 12B) 14C) 16D) 24E) 32


6/536

6

13. Mateo compr 3 berlines y cancel con una moneda de $ 500, recibiendo $ 20 devuelto. A Cristbal le rebajaron el precio de los dos berlines que compr, porque lefaltaban $ 60 para cancelarlos. Cunto pag Cristbal por cada berln?

A) $ 160

B)

$ 150C) $ 130D) $ 120E) $ 110

14. Ral naci en 1917, se cas a los 25 aos y dos aos despus nace su nico hijo.Cuando su hijo tena 38 aos, Ral viaj al extranjero. En qu ao viaj?

A) 1978

B)

1980C) 1981D) 1982E) 1983

15. Una persona, con su arma, dispara 15 balas en 20 segundos. Entonces, la cantidad debalas que disparar en dos minutos es

A)

45B) 90C) 120D) 150E) 180

16. Por la compra de un refrigerador se debe cancelar $ 480.000. Si se cancela $ 360.000al contado y el resto en 12 cuotas iguales y sin intereses, cul es el valor de cadacuota?

A) $ 10.000B) $ 12.000C) $ 30.000D) $ 40.000E) $ 42.000


7/536

7

17. Jos dice a Carlos: Mi edad equivale a la suma de los dgitos del nmero de mi casa,que es 1.973, ms el doble de 18, disminuido en uno. Entonces, la edad de Jos es

A) 20 aosB) 35 aos

C)

40 aosD) 50 aosE) 55 aos

18. Se debe transportar a 42 pasajeros, en dos vehculos con capacidad para 3 y 4pasajeros respectivamente. Si ambos vehculos deben realizar la misma cantidad deviajes, entonces el nmero de viajes que debe hacer cada vehculo es

A) 3

B)

6C) 7D) 12E) 14

19. Una secretaria escribe 8 pginas a mquina en una hora. Si escribe 7 horas al da,cuntos das demorar en escribir 1.120 pginas?

A)

12B) 14C) 16D) 18E) 20

20. En una parcela se plantaron 3 hileras con 18 nogales cada una, 5 hileras con 22 pinoscada una y 4 hileras de almendros, que hacen un total de 200 rboles entre nogales,pinos y almendros. Si hay igual cantidad de rboles en cada hilera de almendros,entonces la cantidad de almendros por hilera es

A) 36B) 12C) 9D) 5E) 4


8/536

8

21. La entrada al estadio por un adulto y un nio vale $ 3.500 y por cada nio adicional secancela $ 1.500. Cuntos nios ingresaron con un adulto que cancel $ 8.000 porconcepto de entradas?

A) 2

B)

3C) 4D) 5E) 6

22. La mam de Rodrigo tiene cinco aos ms que el pap, y la edad de Rodrigo es laquinta parte de la suma de las edades de sus padres. Cul es la edad de Rodrigo si supap tiene 45 aos?

A)

9 aosB) 10 aosC) 17 aosD) 18 aosE) 19 aos

23. Jos tiene el cudruplo de las fichas que tiene Rodrigo y ste la tercera parte de las quetiene Manuel. El que tiene menos fichas, posee 18 fichas. Entonces, la cantidad defichas que poseen entre Manuel y Jos es

A) 54B) 72C) 78D) 90E) 126

24. Una prueba tiene 60 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera:Cada 4 malas se descuenta 1 buena y 4 omitidas equivalen a 1 mala. Cul es el

puntaje corregido si un estudiante obtuvo 8 malas y 32 omitidas?

A) 18B) 16C) 10D) 4E) Ninguno de los valores anteriores


9/536

9

25. Pepe tiene 16 aos; a Carlos le faltan 8 aos para tener 10 aos ms que el doble de loque tiene Pepe, y Octavio excede en 9 aos a la mitad de la suma de las edades deCarlos y Pepe. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Carlos y Octavio tienen la misma edad.

II) Octavio tiene el doble de la edad de Pepe.III) Actualmente la suma de las edades de esas tres personas es 84 aos.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIIE) Slo II y III

26. Un saco lleno de porotos vale $ 12.000. Se puede determinar los kilogramos de porotosque contiene el saco si :

(1)Con 6 kilogramos menos vale $ 10.000.

(2)Tres sacos de porotos valen $ 36.000.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

27. Alberto compr un par de zapatos en una tienda. Se puede determinar el valor del parde zapatos si :

(1)Los zapatos le costaron cuatro veces el valor de una camisa de $ 5.250.

(2)Cancel con $ 30.000 y recibi de vuelto, la dcima parte del triple de la cantidadde dinero con la cual cancel.

A)

(1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional


10/536

10

28. En una bolsa hay slo monedas de $ 50 y $ 10. Se puede determinar el dinero que hayen la bolsa si :

(1)Hay $ 300 entre todas las monedas de $ 50.

(2)Hay 10 monedas de $ 10 ms que las de $ 50.

A)

(1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

29. Una persona ha ahorrado en un ao $ C. Se puede determinar el valor de C si :

(1)Mensualmente gana $ 600.000 y ahorra la tercera parte.

(2)

En tres meses ahorra lo mismo que gana en un mes.


30. Una granja tiene ovejas, vacas y caballos. Se puede determinar el nmero de ovejas

que hay en la granja si :(1)Los caballos son el triple de las vacas, las cuales son seis.

(2)Las ovejas son el triple de la suma entre las vacas y los caballos.


DMNMA01

Puedes complementar los contenidos de esta gua visitando nuestra webhttp://pedrodevaldivia.cl/


11/536


UNIDAD: NMEROS Y PROPORCIONALIDADNMEROS ENTEROS

NMEROS NATURALES ()

Los elementos del conjunto = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} se denominan nmeros

naturales

NMEROS ENTEROS ()

Los elementos del conjunto = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, } se denominan nmeros

enteros.

OPERATORIA EN

ADICIN

Al sumar nmeros de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando elsigno comn.

Al sumar dos nmeros de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el demenor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.

OBSERVACIN: El valor absoluto de un nmero es el valor numrico cuando se omite elsigno. El valor absoluto de +5 de -5 es 5.

MULTIPLICACIN

Si se multiplican dos nmeros de igual signo el resultado es siempre positivo.

Si se multiplican dos nmeros de distinto signo el resultado es siempre negativo.

OBSERVACIN: La divisin cumple con las reglas de signos de la multiplicacin.

EJEMPLOS

1. -2 + (-107) =

A) -109B) -105C) 105D) 109E) 214

Curso:Matemtica

Material N 02


12/536

2

2. (-3) 3 (-3) (-3) 3 =

A) -243B) -81C) -3

D) 81E) 243

3. -600 : 30 =

A) 200B) -200C) 20D) -20E) -2

4. Dados los nmeros a = -3 + 3, b = 1 3 y c = -4 : -2. Entonces, cul(es) de lassiguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) a y b son nmeros naturales.II) b noes nmero natural.III) (c b) es un nmero natural.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IIID) Slo II y III

E)

I, II y III

5. 90.606 19.878 =

A) 60.728B) 60.738C) 70.728D) 70.736E) 71.628

6. 79.395 : 79 =

A) 1055B) 1005C) 155D) 105E) 15


13/536

3

DEFINICIONES: Sea nun nmero entero, entonces:

El sucesor de n es (n + 1).

El antecesor de n es (n 1).

El entero 2n es siempre par.

El entero (2n 1) es siempre impar.

El entero (2n + 1) es siempre impar.

Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

El cuadrado perfecto de n es n2.

OBSERVACIN:

Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,196, 225, 256,

EJEMPLOS

1. Si al triple del sucesor de -3 se le resta el antecesor de -2, se obtiene

A) -11B) -9C) -7D) -4E) -3

2. Si la suma de tres nmeros impares consecutivos es 1.527, entonces el sucesor delnmero central es

A) 506B) 507C) 508D) 509E) 510


14/536

4

3. Al dividir el doble del sucesor de (-10) por el triple del antecesor de (-2) se obtiene

A) 6B) 3C) 2

D) un nmero negativoE) un nmero no entero

4. Si a y b son nmeros naturales tales que (a + b) es impar, entonces a b essiempre un nmero

A) cuadrado perfectoB) neutro aditivo

C) parD) imparE) neutro multiplicativo

5. La diferencia negativa de dos nmeros pares consecutivos, menos la unidad es igual a

A) -3

B)

-2C) -1D) 2E) 3

6. Si el sucesor del sucesor de 4n + 1 es 27, entonces el valor de nes

A) 7B) 6C) 5D) 4E) 3


15/536

5

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

Resolver los parntesis.

Realizar las potencias.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

Realizar adiciones y/o sustracciones.

EJEMPLOS

1. -8 + 4 3 + 12 : -6 =

A) 2B) 0C) -12D) -14E) -18

2. 42 25: 2 5 =

A) -38B) -1C) 1D) 25E) 38

3. 3 {2 [1 (12 : 4 3)] 32} =

A) -16B) 2C) 4D) 10E) 18


16/536

6

4. -1 1 + 1 1 : 1 + 1 =

A) 4B) 3C) 2

D) 1E) 0

5. -10 + 2{-7 4[11 (-20) 18]} + 3 =

A) -72B) -13C) -3

D) -125E) 1147

6. 9{5 [6 (-1)]} : 3[1 (-3 + 7)] =

A) -18

B)

-2C) 0D) 2E) 18

7. Si x = 2 2(3 5), y= -6[-5 (-3)] y z= -3{5 2[2 (-6)]}, entonces losvalores de y, z y x, respectivamente, son

A) 6 -12 72B) 12 33 6C) 12 -72 0D) 48 -72 2E) 12 33 0


17/536

7

MLTIPLO Y DIVISOR

En la expresin a = b cen que a, b y cson nmeros enteros, aes mltiplode b yde c o bien by cson divisoreso factoresde a.

ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero entero es divisible:

Por Cuando2 Termina en cifra par.3 La suma de sus cifras es mltiplo de tres.4 Las dos ltimas cifras sean ceros o mltiplo de 4.6 Es divisible por dos y por tres a la vez.8 Las tres ltimas cifras sean ceros o mltiplo de 8.9 La suma de sus cifras es mltiplo de nueve.

EJEMPLOS

1. El nmero 2.856 es el producto de tres factores. Si dos de los factores son 12 y 14,cul es el otro factor?

A) 17B) 16C) 15D) 13E) Ninguna de las anteriores

2. De cules de los siguientes nmeros, 105 es mltiplo?I) 15II) 21III) 35

A) De slo I y IIB) De slo I y IIIC) De slo II y IIID) De todos ellosE) De ninguno de ellos

3. Cul de los siguientes pares de dgitos deben ponerse en los rectngulos vacos, para

que el nmero de 6 cifras, 6412 sea divisible por 3?

A) 0 y 0B) 1 y 2C) 2 y 2D) 3 y 4E) 3 y 8


18/536

8

4. Qu valor debe tomar x en el nmero x75 para que sea un nmero mltiplo de 9 y 5?

A) 0B) 3C) 5

D) 6E) 9

5. Sean a, b, c y dnmeros consecutivos mltiplo de 5, tal que a < b < c < d, entoncesel valor de (d a) (c a) : (b a) es

A) 750B) 150

C) 125D) 30E) 15

6. Si xes divisor de 8 y xno es divisor de 4, entonces xes

A) 0

B)

1C) 2D) 4E) 8

7. Se sabe que x es mltiplo de y, entonces cul de las siguientes alternativas esincorrecta?

A) xy es mltiplo de xB) x : y es un nmero enteroC) y es divisor de xD) y : x es un nmero enteroE) x es divisor de xy


19/536

9

NMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIN EN FACTORES

Nmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen slo dos divisores distintos.Los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

Nmeros compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no sonprimos. Los primeros nmeros compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,21, 22,

TEOREMA FUNDAMENTAL

Todo nmero compuesto se puede expresar de manera nica como el producto de factoresde nmeros primos.

EJEMPLOS

1. Cul(es) de los siguientes nmeros es (son) primo(s)?

I) 51II) 91III) 141

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos

2. Al expresar los nmeros 60 y 90 en factores primos se obtiene, respectivamente,

A) 22325 y 2 325B) 223 5 y 2 325C) 2 325 y 2 325D) 223 5 y 223 5E) 233 5 y 2 325


20/536

10

3. Cuntos nmeros primos hay entre 30 y 40?

A) 0B) 1C) 2

D) 3E) 4

4. Si a = 1, cul de las siguientes expresiones noes un nmero primo?

A) a2+ a3B) a(a + 12)C) a2+ 2a

D) (2 a)2E) (a + 1)(2 a)

5. Cul es la diferencia entre los dos nmeros primos ms cercanos a 48?

A) 2B) 4

C)

6D) 8E) 12

6. Si a = -1, entonces el resultado de -4a + 5a : a 2a 3 + 7a, es un nmero

A) primoB) compuesto

C) imparD) antecesor de aE) sucesor de a


21/536

11

VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un nmero y el 0.

n, si n 0DEFINICIN: n =

-n, si n 0

EJEMPLOS

1. Si a = -5, entonces a + a -a=

A) 10B) 5C) -5D) -10E) -15

2. -3 2 4 -2=

A) -8B) -4C) 0D) 4E) 8

3. Si a >b, entonces b a=

A) 0B) b aC) a bD) -a bE) a + b

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3= 3 , -3= 3


22/536

12

4. Dados los nmeros enteros a = -8, b = --3, c = 0 y d = -(--2), el ordencreciente de ellos es

A) a , b , d , cB) a , d , c , b

C) b , c , d , aD) d , c , b , aE) b , c , a , d

5. El valor de -7 -7 es

A) -14B) 0

C) 7D) 14E) 49

6. 4 6 4 -6=

A)

0B) 4C) 8D) 12E) 20

7. Si p = -2 y q = 3, entonces el valor de la expresin q p p q p qes

A) 4B) 0C) -2D) -6E) -10


23/536

13

EJERCICIOS

1. 2 2 (6 3 2) =

A) -14B) -10C) 0D) 2E) 10

2. Con respecto a -5, cul es la relacin correcta?

A) -5= --5B) -5< 5C) -5> 5D) -5< -5E) -5= -(-5)

3. [-5 + (-3) 7] : (-2) =

A) 28B) 13C) -28D) -24E) -13

4. -2 1 2 -3=

A) -9B) -5C) -1D) 1E) 5


24/536

14

5. -2[3 {5 2 (7 15)}] =

A) -54B) -36C) -20

D) 54E) 36

6. En la siguiente secuencia numrica 1 2, 2 + 3, 3 4, 4 + 5, , el octavo trminoes

A) 15

B) 17C) 56D) 72E) 90

7. Si al cuadrado de -3 se le resta el cudruplo de -2 y al resultado se le agrega el triplede 3, se obtiene

A) 26B) 20C) 11D) 10E) 8

8. Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a


25/536

15

9. Si t + 3es el sucesor del nmero 10, entonces el sucesor de tes

A) 7B) 8C) 9

D) 11E) 12

10. Si a y b son nmeros enteros y el antecesor de aes by el sucesor de aes -9,entonces a+ b=

A) -21B) -20

C) -19D) -17E) -15

11. Si a es un nmero par y b es un nmero impar, entonces cul de las siguientesexpresiones representa un nmero par?

A)

a + bB) 2a bC) 3a + 3bD) 5a + 4bE) a + b 2

12. Si x e y son dos nmeros enteros cuyas ubicaciones en la recta numrica

es , entonces se cumple que

A) xy 0C) x + y > 0D) x y > 0E) y x > 0

x y 0


26/536

16

13. La descomposicin del nmero 1.080 en sus factores primos es

A) 23 32 5B) 22 32 52C) 23 33 5

D) 22

32

5E) 23 33 52

14. Si a es primo, entonces a2 es siempreun nmero

A) parB) imparC) primo

D) compuestoE) par y compuesto

15. Si a < 0 y a > -b, entonces cul de las siguientes opciones es verdadera?

A) a > bB) -b > -a

C)

-a > bD) b < 0E) b > a

16. Si se ubican los nmeros 4, 6 y 8 en el cuadrado de la figura 1, de modo que lassumas de cada fila, cada columna y cada diagonal sea 18, con y


27/536

17

17. Si p es un nmero entero, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) (p2 1) es el entero antecesor del cuadrado de p.II) -(p 1) es el entero antecesor de p.III) (p + 1)2es el cuadrado del entero sucesor de p.

A) Slo IB) Slo IIIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) I, II y III

18. Cul de los siguientes pares de dgitos deben ponerse en los rectngulos vacos, para

que el nmero de 5 cifras, 412 sea divisible por 6?

A) 0 y 0B) 0 y 1C) 1 y 1D) 1 y 2E) 2 y 2

19. La suma de tres pares consecutivos es siempredivisible por:

I) 4II) 6III) 12

Es (son) verdadera(s)

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

20. Si n es un nmero natural par, entonces el sucesor par del sucesor de n + 1 estrepresentado por

A) n + 4B) n + 3C) n + 2D) 2n + 2E) 2n + 4


28/536

18

21. Si pes un nmero entero par y qes un nmero entero impar, entonces cul(es) delas siguientes aseveraciones es (son) siempreverdadera(s)?

I) p2 un nmero positivo.II) -q2es un nmero positivo.

III) (p q)

2

es un nmero impar positivo.

A) Slo IB) Slo IIIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) Ninguna de ellas

22. La siguiente secuencia de diagramas muestra el nmero de celdas negras (n) yblancas (b). Cul es la frmula que relacionancon b?

A) b = 5nB) b = 2n + 3C) b = n + 4

D) b = n 4E) b = 2n + 1

23. En la siguiente secuencia numrica 3, 7, 15, 31, , la suma del quinto con el sextotrmino es

A) 63B) 94C) 127D) 190E) 318


29/536

19

24. Con los nmeros 2, 3, 4, 5 y 6, se debe completar el cuadrado de la figura 2,procurando que la suma de los nmeros ubicados en filas, columnas y diagonalesmayores sea siempre la misma y que estos nmeros aparezcan slo una vez tanto enfilas como en columnas. Cul(es) de las siguientes igualdades es (son) falsa(s)?

I) s = 3II) q r = 1III) p + s = 9

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Ninguna de ellas

25. Los cuadrados de la figura 3, estn formados por palos de fsforos tal como se indicaen los diagramas. Cuntos palos de fsforos se necesitan para formar el diagramanmero 100?

A) 296B) 297C) 299 1 2 3D) 300E) 301

26. Sean a, b y c nmeros enteros. Se puede determinar el menor de estos nmeros si:

(1)

a b


30/536

20

28. Sea nun nmero entero. Se puede determinar que n + 1 es un nmero impar si :

(1)2n es un nmero par.

(2)3n es un nmero par.


29. Sea n un nmero entero. La expresin 3(1 + n) representa un mltiplo de 6 si :

(1)n es un nmero impar.

(2)n + 1 es un nmero par.


30. Sean s y t nmeros enteros positivos. Se puede determinar el valor numrico de(s + t) (s t) si :

(1)s = t

(2)s = 10


DMNMA02



31/536

Curso:Matemtica

Material N 03


UNIDAD: NMEROS Y PROPORCIONALIDADNMEROS RACIONALES

NMEROS RACIONALES

Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la forma ab

con a y b nmeros

enteros y bdistinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales se representa por laletra .

IGUALDAD ENTRE NMEROS RACIONALES

EJEMPLOS

1. Cul(es) de las siguientes expresiones representa(n) un nmero racional?

I)3

- 4

II) 0

III) 80

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) Todas ellas

2. Con respecto a la igualdada 2

=b 3 , es siempreverdadero que

A) a = 3 y b = 2B) a = 2 y b = 3C) a = 4 y b = 6D) 3a = 2bE) 2a = 3b

= {ab

/ a, b y b 0}

Seanab

,cd

. Entonces:ab

=cd

a d = b c


32/536

2

3. Cul de las siguientes fracciones es propia y adems irreductible?

A)58

B) 125

25

C)721

D)123

E)515

4. Si el producto de dos nmeros es 1, entonces se afirma correctamente que puedatratarse del producto de

I) dos nmeros enteros.II) dos nmeros racionales.III) un nmero entero y otro racional.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) I, II y III

5. Si el numerador y el denominador de una fraccin propia aumentan en la mismacantidad, entonces es verdadero que la fraccin resultante

A) tiene el mismo valor que la fraccin original.B) es siempre mayor que la fraccin original.

C) es siempre menor que la fraccin original.D) es mayor o igual que la fraccin original.E) es menor o igual que la fraccin original.


33/536

3

ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS RACIONALES

Siab

,cd

, entonces:

OBSERVACIONES

El inverso aditivo (u opuesto) deab

es -ab

, el cual se puede escribir tambin como-ab

o

a-b

.

El nmero mixto Abc

se transforma a fraccin con la siguiente frmula:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS RACIONALES

Siab

,cd

, entonces:

MULTIPLICACIN:

DIVISIN :

OBSERVACIN

El inverso multiplicativo (o recproco) de ab

es -1ab

= ba

, con a 0

EJEMPLOS

1. 2 +56

+ 3 =

A) 556

B)10

6

C)306

D) 116

E)256

ab

cd

=ad bc

bd

Abc

= A c + b

c , con A 0

ab

cd

=acbd

ab

:cd

=ab

dc

=adbc

, c 0


34/536

4

2. Si T = -212

y S = -434

, entonces S T =

A) -714

B) -2 1

4

C) -114

D) 214

E) 714

3.1 1

2 3

:

1 4 1

4 3 2

=

A) -1B) -

45

C) -136

D) 45

E) 1

4. El inverso multiplicativo de 1 3 5 :2 4 6

es

A) -103

B) -52

C) -310

D)310

E) 25

5. El triple de 5 4 2 :9 5 9

es igual al doble de

A) 1B) 2C) 3D) 12E) 18


35/536

5

RELACIN DE ORDEN EN

OBSERVACIONES

Para comparar nmeros racionales, tambin se pueden utilizar los siguientesprocedimientos:

igualar numeradores. igualar denominadores. convertir a nmero decimal.

Entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros racionales.

EJEMPLOS

1. El orden creciente de los nmeros: a =125

, b =129

, c =127

es

A) a, b, cB) b, c, aC) c, b, aD) a, c, bE) c, a, b

2. El orden decreciente de los nmeros w =123

, x =53

, z =73

es

A) w, x, zB) x, z, wC) w, z, xD) x, w, zE) z, w, x

3. El orden creciente de los nmeros a = 78

, b = 1112

, c = 910

es

A) a, b, cB) b, a, cC) c, a, bD) a, c, bE) b, c, a

Seanab

,cd

y b , d +. Entonces :ab

cd

ad bc


36/536

6

4. Si xes un nmero natural mayor que 1, cul es la relacin de orden correcta entre las

fracciones a =5x

, b =5

x 1 y c =

5x + 1

?

A) a < b < c

B) c < b < aC) c < a < bD) a < c < bE) b < a < c

5. El orden de las fracciones a = 523

, b = 5 56

y c = 5 78

, de menor a mayor es

A) a, b, cB) a, c, bC) b, a, cD) c, a, bE) c, b, a

6. Sean las fracciones x =35

, y =74

y z =23

. Entonces, se cumple que

A) x > y > zB) y > x > z

C) z > y > xD) x > z > yE) y > z > x

7. Cul de los siguientes nmeros racionales es el menor?

A)11119

B) 1

10

C)221

D)439

E)769


37/536

7

NMEROS DECIMALES

Al efectuar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, se obtieneun desarrollo decimal, el cul puede ser finito, infinito peridico o infinito semiperidico.

OPERATORIA CON NMEROS DECIMALES

Adicin o sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o restar nmerosdecimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas,la parte decimal bajo la decimal y a continuacin se realiza la operatoria respectiva.

Multiplicacin de nmeros decimales: Para multiplicar dos o ms nmerosdecimales, se multiplican como si fueran nmeros enteros, ubicando la coma en elresultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tenganlos nmeros en conjunto.

Divisin de nmeros decimales: Para dividir nmeros decimales, se puedetransformar el dividendo y el divisor en nmeros enteros amplificando por una potenciaen base 10.

TRANSFORMACIN DE DECIMAL FINITO A FRACCIN

Se escribe en el numerador todos los dgitos que forman el nmero decimal y en eldenominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dichonmero.

EJEMPLOS

1. El desarrollo decimal de la fraccin580

es

A) 6,25B) 1,6C) 0,625D) 0,0625E) 0,06

2. (0,75 0,3) 5 =

A) 0,25B) 0,45C) 2,25D) 3,60E) 5,25


38/536

8

3. 0,06 0,5 0,1 =

A) 0,0030B) 0,0003C) 0,00003

D) 0,0000003E) 0,00012

4. El valor de 3 0,30,03

es

A) 30B) 3C) 0,3D) 0,03E) 0,003

5. Si x = 0,01; y = 0,00001; z = 0,0001; entonces x zy

=

A) 0,0001B) 0,001C) 0,01D) 0,1E) 1

6. Si a = 0,06, b = 0,009 y c = 0,068, cul de las siguientes alternativas indica unorden creciente?

A) b, c, aB) b, a, cC) a, c, bD) c, a, bE) c, b, a


39/536

9

EJERCICIOS

1. 1 1 1+16 8 4

=

A) - 18

B) - 116

C) 120

D) 116

E) 18

2.2 5 3 -1

3 6 5 5

=

A) - 215

B) - 115

C)

-

1

30 D) 1

3

E) 0

3.5

71

32

=

A) 6B) 5C) 2

D)45

E) -112


40/536

10

4. El inverso aditivo de -4 , menos el inverso multiplicativo de16

es

A) -10

B) -236

C) - 256

D) -2

E)236

5. Si al doble de 2,4 se le resta el triple de 3,2 , entonces resulta

A) 4,8B) 5,2C) 14,4D) -5,2

E) -4,8

6.

2 1

3 53 2

- +5 10

=

A) -143

B) -96

C) -7

6

D)4

15

E)712

7.1

11

11

15

=

A)

-4

B)34

C)45

D)54

E)43


41/536

11

8. Cunto es la cuarta parte de los45

de 0,5?

A) 10B) 1

C) 0,25D) 0,01E) 0,1

9. 800 menos los15100

de la mitad de 800 es

A) 740B) 680C) 340D) 120

E) 60

10. Mario debe recorrer 15,4 kilmetros y ha caminado 8.750 metros. Cunto le falta porrecorrer?

A) 6,29 kilmetrosB) 6,65 kilmetrosC) 6,75 kilmetrosD) 7,65 kilmetrosE) 7,75 kilmetros

11. Si los 70100

de una cantidad corresponden a 35.000, cul es la cantidad?

A) 24.500B) 40.000C) 45.500D) 50.000E) 50.500

12. Si el precio de un artculo que es $ 800.000 se aumenta en su cuarta parte, y el nuevoprecio se disminuye en su cuarta parte, el precio final es

A) $ 450.000B) $ 600.000C) $ 750.000D) $ 800.000E) $ 1.000.000


42/536

12

13. Dados los racionales a=3911

, b=72

y c=7922

, entonces se cumple que

A) a < c < bB) a < b < c

C) b < a < cD) c < a < bE) b < c < a

14. Tres amigos compraron pescado; Alicia compr los 79

de un kilo, Carlos los 45

de un

kilo y Mario los911

de un kilo. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

falsa(s)?

I) Alicia compr ms pescado que Carlos.II) Mario compr ms pescado que Carlos.III) Alicia compr menos pescado que Mario.


15. 0,1 [0,1 0,1 (0,1 + 0,1)] =

A) 0B) 0,1C) 0,080D) 0,012E) 0,008

16.

0,02 + 0,1 + 0,001

0,1 + 0,01 =

A) 0,002B) 0,02C) 0,11D) 1,1E) 11


43/536

13

17. En una carrera, Andrea, Karina y Lorena demoraron 10,4 segundos, 10,03 segundos y10,3 segundos en llegar a la meta, respectivamente. Cul(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Andrea lleg despus de Lorena.

II) Lorena lleg 27 centsimas despus de Karina.III) Karina lleg primera.

A) Slo IB) Slo IIIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) I, II y III

18. Cunto se obtiene si el producto 0,5 0,05 se divide por el producto 2,5 0,025?

A) 0,04B) 0,4C) 2,5D) 4E) 25

19. Se debe repartir en partes iguales 67,20 kg de harina entre 12 personas. Cuntoskg de harina recibirn 7 de estas personas?

A) 3,92B) 5,60C) 9,60D) 39,20E) 392

20. Un tambor contiene 40 litros que equivalen a 14

de su capacidad. Entonces, para llegar

a los310

de su capacidad hay que agregar

A) 6 litrosB) 8 litrosC) 48 litrosD) 120 litrosE) 160 litros


44/536

14

21. Se dispone de un terreno, el cual se cubrir completamente con pasto, primero se

siembra13

del terreno y luego los34

restantes, cunto del terreno original queda an

por sembrar?

A) 56

B)23

C)12

D)16

E)112

22. Si en la formacin de un negocio, Alejandra y Mara aportan 3 1 y4 5

del capital inicial,

respectivamente, y Jos el resto, cul es el decimal que representa la fraccin queaport Jos?

A) 0,05B) 0,20C) 0,75D) 0,85

E) 0,95

23. Un club deportivo desea empastar su cancha de ftbol que tiene 101 metros de largopor 49 metros de ancho. Si el metro cuadrado de pasto cuesta $ 3.100 y por plantar unmetro cuadrado el contratista cobra $ 960, cul sera, estimativamente, el costototal de este proyecto?

A)

$ 20.000.000B) $ 15.000.000C) $ 5.000.000D) $ 2.000.000E) $ 600.000


45/536

15

24. En una clnica trabajan mdicos, enfermeras y auxiliares. Si los35

son mdicos, los

auxiliares son 15 y stos representan a un tercio de las enfermeras, cuntostrabajadores hay en total en la clnica?

A) 160B) 150C) 130D) 90E) 60

25. La capacidad de un tambor es de 80 litros. El tambor est vaco; se echan en l16,25 litros y se saca la quinta parte, luego se echan 47 litros y se saca la mitad de loque queda. Cuntos litros faltan exactamente para llenar el tambor?

A) 25B) 30C) 40D) 50E) 55

26. La expresinp q

r, con p,q y rnmeros enteros, r 0, es negativa si:

(1)pr

< 0 y q > 0

(2)

q r < 0 y p > 0A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

27. Se puede determinar el numerador de cierta fraccin si :

(1)El valor de la fraccin es 0,25.

(2)El denominador de la fraccin es 8.



46/536

16

28. Los alumnos de un curso debieron elegir entre las asignaturas de Educacin Musical y

Artes Visuales. Si920

del curso eligi Educacin Musical, se puede determinar el

nmero de alumnos que eligieron Artes Visuales si se sabe que :

(1)El curso tiene 40 alumnos.

(2)1120

del curso eligi Artes Visuales.


29. Se puede determinar la cantidad de litros de aceite que hay en un tambor si:

(1)Los dos tercios de los tres cuartos del tambor tiene aceite.

(2)El aceite que hay, puede ser envasado en 20 bidones de 122

litros cada uno.


30. Se puede determinar el valor de xy si :

(1)y es la cuarta parte de x.

(2)y = 0,25


DMNMA03



47/536

Curso:Matemtica

Material N 04


UNIDAD: NMEROS Y PROPORCIONALIDADNMEROS REALES

POTENCIAS EN

DEFINICIONES

OBSERVACIONES

0n= 0, si n > 0 1n= 1 00no est definido.

Positivo, si a 0 y n es par.SIGNOS DE UNA POTENCIA: an =

Negativo, si a < 0 y n es impar.

EJEMPLOS

1. -20 32=

A) 10B) 8C) -8D)

-9E) -10

2. (-3)(-2)2+ (-3)3: 9 =

A)

-15B) - 9C) 1D) 7E) 33

3. -2-4

=

A)4

1

2

B) 8C) 24D) -42

E) -4

1

2

a0= 1 , a 0

a-n=n

1

a, a {0} y n +

a a a a a a a a = an, con a {0} y n

n factores


48/536

2

4.-23

5

=

A) -9

5

B) -925

C)253

D)259

E) 925

5.

0-2 22 3 9

+3 2 2

=

A) 0

B) 29

C)92

D) 1E) no est definido

6. (32)3: 34 (32 1)0=

A) 1B) 5C) 8D) 9E) 10

7. Si n , entonces el valor de la expresin (-1)n+ (-1)n + 1es

A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2


49/536

3

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE POTENCIAS

Sean a y b {0}, m y n

Multiplicacin de potencias de igual base

Divisin de potencias de igual base

Multiplicacin de potencias de distintabase e igual exponente

Divisin de potencias de distinta base eigual exponente

Potencia de una potencia

EJEMPLOS

1. 232 =

A) 44B) 43C) 42D) 23

E) 82

2. -3832=

A) -316B) -310C) -36D) 310E) (-9)16

3. 58: (-5)2=

A) -510B) -56C) 54D) 56E) 510

an am= an + m

an: am= an - m

an bn= (ab)n

an: bn= (a : b)n

(an

)m

= an m


50/536

4

4.2 24 2:

3 3

=

A) 16B) 4

C) 6481

D)8164

E) -4

5. (35 85)2=

A) 245B) 247C) 2410D) 2420E) 2450

6. (0,4)6: (0,2)6=

A)

(0,02)

6

B) (0,2)6C) 20D) 26E) 212

7. [(0,2)5: (0,2)3]3=

A) (0,2)45

B) (0,2)24C) (0,4)3D) (0,04)3E) (0,02)6


51/536

5

NOTACIN CIENTFICA Y ABREVIADA

Un nmero est escrito en notacin cientfica si se escribe de la forma k 10n,en que 1 k 10 y n.

Un nmero est escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 10n, en quep es el menor entero y n.

EJEMPLOS

1. 150.000.000 expresado en notacin cientfica es

A) 1,5 10-8

B) 15 107C) 1,5 107D) 0,15 109E) 1,5 108

2. La notacin cientfica de 0,00627 es

A) 627 10-5B) 62,7 10-4C) 6,27 10-3D) 0,627 10-2E) 6,27 103

3. El nmero 0,000180 escrito en forma abreviada es

A) 180 10-6B) 18 10-5C) 1,8 10-4D) 0,18 10-3E) 18 105


52/536

6

4. El nmero 1.200 escrito en forma abreviada es

A) 12 103B) 12 102C) 1,2 10-4

D) 0,12 10-3

E) 12 10

5. Si 0,0000034 = 3,4 10p, entonces p2=

A) -36B) -25C) 5D) 25

E) 36

6.-30,00035

0,0007

=

A) 2 10B) 0,8 10C) 4 102D) 5 10-3E) 8 10-3

7. Cul(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 620.000?

I) 62 105II) 0,62 106III) 6,2 105

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) I, II y III


53/536

7

NMEROS IRRACIONALES (I, ')

Son aquellos nmeros decimales infinitos noperidicos.

Los nmeros = 3,141592 , 2 = 1,414213 son ejemplos de nmeros irracionales.

OBSERVACIN: La definicin y algunas propiedades de las races cuadradas, para ay bnmeros racionales no negativos, son:

DEFINICIN:

PROPIEDADES

a b = ab ab

=ab

a b = 2a b

NMEROS REALES (lR)

La unin del conjunto de los racionales ()y los irracionales ()genera el conjunto de los

nmeros reales el cual se expresa como lR

Es decir

OPERATORIA EN lR

El resultado de una operacin entre racionales es SIEMPRE otro nmero racional(excluyendo la divisin por cero).

La operacin entre nmeros irracionales NO SIEMPREes un nmero irracional.

Por otra parte, la operacin entre un nmero racional ()y un irracional ()da como

resultado un irracional, EXCEPTUNDOSEla multiplicacin y la divisin por cero.

OBSERVACIN

No son nmeros reales las expresiones de la forma n a , con a < 0 y n par.

EJEMPLOS

1. Cul de los siguientes nmeros es irracional?

A) 4 B) 9 C) 16 D) 27 E) 0,25

a = b b2= a

lR =


54/536

8

2. Si a = 2 y b = 8, entonces cul(es) de las siguientes proposiciones es (son)nmero(s) irracional(es)?

I) ab

II) 2ab

III) a b

A) Slo IB) Slo IIIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) Ninguna de las anteriores

3. Al ordenar en forma creciente los nmeros a = 4 2 , b = 3 3 y c = 2 7 , se obtiene

A) a, b, c

B) a, c, bC) b, c, aD) c, a, bE) b, a, c

4. La expresin 5 x es un nmero real para:

I) Cualquier valor de x.II) x = 5III) x < 5

Es (son) verdadera(s)

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) Ninguna de ellas

5. Si q = 12

y q = 2 , cul(es) de las siguientes expresiones es (son) nmero(s)

irracional(es)?

I) q2 qII) q2 qIII) q : q

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III


55/536

9

EJERCICIOS

1. (-1)0+ (-2)1+ (-1)2+ (-2)3=

A) -5B) -8C) -9D) -10E) 8

2. 5 {-22 [16 : (52 33)]} =

A) -7B) -3C) -1D) 1E) 17

3.9 -18

-3 -6

7 11

7 11

=

A) 1B) 9C) 76 11-12D) 712 11-24E) 712 11-12

4. 56 86 2-7 20-7=

A) 40-1B) 40-2C) 40-42D) 401E) 4013


56/536

10

5. 34 92 274=

A) 39B) 315C) 320

D) 336

E) 2710

6. Cul es la tercera parte de 36?

A) 16B) 32C) 35

D) 37E) 318

7. 55+ 55+ 55+ 55+ 55=

A) 55B) 56

C)

5

25

D) 255E) 2525

8. Cul(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) 114 115= 119II) 411+ 45= 416

III) 411 511= 2011

A) Slo IB) Slo I y IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III


57/536

11

9.9 3

3

3 3

3

=

A) 0

B)

3

3

C) 39 1D) 39E) 36 1

10. En la serie:-2 -1 0 1

-2 -1 0 1

3 -3 3 -3; ; ; ;

4 4 4 4... , el valor del sexto trmino es

A) -2716

B) - 2764

C) -9

16

D) -912

E)2764

11. La luz recorre aproximadamente 300.000 kilmetros en un segundo. Cmo se expresaesta distancia en notacin cientfica?

A) 300 103kmB) 30 104kmC) 0,3 106kmD) 3 105kmE) 3 106km

12. 4-2+ 2-3 2-4=

A) 18

B)16

C)14

D) -6E) -8


58/536

12

13. (0,4)-2: (0,2)-2=

A) 25B) 4C) 1

D) 125

E) 14

14.-2 -2

-3

3 + 3

3=

A) 6-1B) 2-1

C) 6D) 17

27

E)289

15. (0,2-1 0,1-1)-1=

A)110

B) 15

C) 5

D) -15

E) -5

16. 1 -1

-1

1

1 2

=

A) 3B) 2

C)43

D)12

E) -1


59/536

13

17. La masa de un electrn, que es aproximadamente 0,000091083 10-23gramos,expresada en notacin cientfica corresponde a

A) 9,1083 10-29gramosB) 0,91083 10-27gramos

C) 9,1083 10-27

gramosD) 91083 10-32gramosE) 9,1083 10-28gramos

18. 5 10-3 2 10-4=

A) 48 10-3B) 48 10-4

C) 4,8 10-4D) 3 10-7E) 3 10-1

19. El valor de (103)-3 (10-3 0,5)-2=

A) 2 10-3

B)

4

-1

10

-3

C) 4 10-3D) 4 10-12E) 4 10-15

20.5 -2

4 5

(0,1) (0,01)

100 (0,001)

=

A) 10-8B) 10-6C) 10-2D) 100E) 106


60/536

14

21. La expresin0,08 160000000,0004 0,064

escrita en notacin cientfica es

A) 5 1010B) 5 1012

C) 5 1011D) 0,5 1011E) 2 1011

22. Cul de los siguientes nmeros es racional?

A) 5 B) 5 5 C) 25 5

D) 525

E) 0 5

23. Cul(es) de los siguientes nmeros es (son) irracional(es)?

I) 3 12 II) 2 + 2 2

III)

5

125

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIIE) Slo II y III

24. Al ordenar en forma decreciente los nmeros a = 3 5 , b = 4 3 y c = 5 2 , seobtiene

A) c, b, aB) a, b, cC) b, a, cD) c, a, bE) b, c, a


61/536

15

25. Cul(es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempreverdadera(s)?

I) Al dividir dos nmeros irracionales el cuociente es irracional.II) Al multiplicar un nmero real con un nmero racional, el producto es

racional.

III) Al sumar dos nmeros irracionales, la suma es un nmero real.

A) Slo IIB) Slo IIIC) Slo I y IIID) Todas ellasE) Ninguna de ellas

26. Se puede determinar el valor de (-1)nsi :

(1)n es par.

(2)n + 1 es impar.


27. a2= (2a)0si :

(1)a = 1

(2)a = -1

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional


62/536

16

28. Se puede afirmar que 2,37


63/536


UNIDAD:NMEROS Y PROPORCIONALIDAD

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZN

Es una comparacin entre dos cantidades mediante una divisin o formando el cuociente

entre ellas. Se escribe a : b o ab

, se lee aes a b; donde ase denomina antecedente y b

consecuente.

El valor de la razn es el cuociente entre las cantidades:a

b

= k Valor de la razn

EJEMPLOS

1. Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razn entre largo y ancho es

A) 3 : 1.000B) 3 : 100C) 3 : 1D) 1 : 3

E) 0,6 : 2

2. Una encuesta realizada a un grupo de 30 estudiantes sobre la prctica de deportes,arroj los siguientes resultados: 12 practican ftbol, 10 tenis y el resto bsquetbol.Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La razn entre los que practican tenis y ftbol, respectivamente, es 6 esa 5.

II) La razn entre los que practican bsquetbol y tenis, respectivamente, es4 es a 5.

III) La relacin entre los que practican ftbol y el total del grupo es,

respectivamente, 2 : 5.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Slo II y III

C u r s o :Matemtica

Material N 06


64/536

2

3. En un curso, el valor de la razn entre mujeres y hombres es 2,1. Si el nmero dehombres es 10, entonces el nmero de mujeres es

A) 31B) 21C) 20

D) 12E) 11

4. Las edades de un padre y su hijo son 27 y 6 aos. Respecto de la razn entre ambasedades, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La razn entre la edad del hijo y el padre es92

.

II) El valor de la razn entre la edad del padre y su hijo es 4,5.III) En 5 aos ms la razn ser la misma que hoy.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) I, II y III

5. Si densidad poblacional es la cantidad de individuos existentes en una poblacin enrelacin con la superficie en que habitan, y sabiendo que en una localidad de 40.000km2 habitan 600.000 personas, cul es el grado de concentracin (densidad) deindividuos en el territorio?

A)1

15

B)23

C) 15D) 18E) 30

6. Si 18 es a 24, entonces la razn equivalente a sta de consecuente 12 es

A)1216

B) 912

C) 1236

D)612

E)128


65/536

3

PROPORCIN

Es una igualdad formada por dos razones:a c

=b d

o a : b = c : d y se lee

aes a bcomo ces a d, donde ay dson los extremos; by cson los medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL: En toda proporcin el producto de los extremos es igual alproducto de los medios.

OBSERVACIN: Dada la proporcin a c=b d

,existe una constante k, denominada constante de

proporcionalidad, tal que

EJEMPLOS

1. Cul(es) de las siguientes parejas de razones conforman una proporcin?

I)12 4

y27 9

II) 15 10 y18 14

III)20 6

y

30 18


2. El trazo AB de la figura 1, mide 60 cm y est dividido interiormente en la razn 5 : 7.Cunto mide el segmento mayor?

A) 12 cmB) 25 cmC) 35 cmD) 50 cmE) 70 cm

a c= a d = b cb d

a = c k, b = d k, k 0

A BPfig. 1


66/536

4

3. El valor de xen la proporcin12 20

=27 x

es

A) 9B) 15C) 35D) 45E) 60

4. En una fiesta se sabe que la cantidad de hombres y mujeres estn, respectivamente,en la razn 3 : 2. Cuntas mujeres hay si el total de personas es 60?

A) 12B) 24C) 30D) 36E) 40

5. Los pesos de dos personas estn en la razn 5 : 8. Si el ms pesado registr en labalanza 72 kilos, cuntos kilos pesarn juntos?

A) 9B) 45C) 117D) 350E) 576

6. Si x : y = 1 : 3, cul(es) de la siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) xes la tercera parte de y.II) Si x = 3, entonces y = 6.III) y = x + x + x


7. Si u : v = 3 : 10 y u : w = 1 : 2, entonces cul de las siguientes alternativas es

falsa, sabiendo que v = 30?

A) u2= 81B) w v = -12C) w : 2 = 9D) 2w = 36E) u v = 21


67/536

5

SERIE DE RAZONES

Es la igualdad de ms de dos razones. La serie de razonesx y z

= =a b c

, tambin se escribe

como x : y : z = a : b : c

PROPIEDAD BSICA

Para la serie de razones:a c e a + c + e

= = =b d f b + d + f

EJEMPLOS

1. Si a : b = 3 : 5 y b : c = 5 : 9, entonces a : b : c =

A) 3 : 9 : 10B) 3 : 5 : 9C) 5 : 9 : 3D) 3 : 9 : 5E) 6 : 18 : 5

2. Las edades de tres hermanos: Francisca, Carmen y Luca, son entre s como 2 : 5 : 3,respectivamente. Si sus edades suman 30 aos, entonces la edad de Luca es

A) 15 aosB) 9 aosC) 6 aosD) 3 aosE) 1 ao

3. Si a b c= =1 2 3

y a + b + c = 36, entonces c b es

A) 1B) 3C) 6D) 9E) 12

4. Si x y z= =a b c = 6, entonces x + y + za + b + c =

A) 2B) 3C) 6D) 9E) 12


68/536

6

5. En la figura 2, : : = 5 : 9 : 4, entonces 2- + 3=

A) 130B) 180C) 234

D)

300E) 310

6. Alejandra, Marcos y Roberto son hermanos, siendo estos dos ltimos mellizos. Quedad tiene Marcos si la suma de sus edades es 56 aos y la razn entre las edades deAlejandra y Roberto es, respectivamente, 10 : 9?

A) 15 aosB) 16 aos

C) 17 aosD) 18 aosE) 20 aos

7. Las edades de Valentina, Fernanda y Manuel estn, respectivamente, en la razn5 : 3 : 6. Qu edad tiene Manuel si la suma de las edades de Valentina y Fernanda es56 aos?

A) 48 aosB) 42 aos

C)

36 aosD) 35 aosE) 21 aos

8. Para pintar el exterior de una casa han colaborado tres maestros que han invertido8, 5 y 11 horas, respectivamente, y el valor de este trabajo asciende a $ 64.800, queser repartido en razn a las horas trabajadas. El pintor que menos trabaj proponeque, como cada uno ha invertido una hora en el transporte, se repartan el dinero enrazn a 8 + 1, 5 + 1 y 11 + 1. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdaderas?

I) Lo que recibe el que trabaja 8 horas en ambos casos es lo mismo.

II) El que menos recibe saldr ganando con la nueva modalidad.III) El que ms cantidad de horas trabaj con esta nueva reparticin recibemenos.


A BO

CD

fig. 2


69/536

7

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables xe yson directamente proporcionalessi el cuocienteentre sus valorescorrespondientes es constante

1 2 3 n1 2 3 n

x x x x= = = ... = = ky y y y (k constante)

As por ejemplo, la tabla muestra la elaboracin de jugo de manzana, de cada 15 kg demanzana se obtiene 9 litros de jugo.

Podemos observar quexy

= 53

EJEMPLOS

1. A y B son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla

los valores de xe yson, respectivamente,

A) 7 y 90B) 7 y 60C) 6 y 72D) 8 y 90E) 9 y 54

En una proporcin directa, si unamagnitud aumenta (disminuye) nveces,la otra aumenta (disminuye) el mismonmero de veces

Dos magnitudes son directamenteproporcionales si al representar los paresde valores, los puntos se sitan en unarecta que pasa por el origen (fig. 3)

Peso (kg) 5 10 15 x

Volumen (Lt) 3 6 9 y

A 5 x 15

B 30 42 y

5 10 15 kg. demanzanas

Litros de jugo

0

3

6

9

Aumenta

Aumenta

fig. 3


70/536

8

2. Se sabe que m y 3n representan nmeros directamente proporcionales, m = 18cuando n = 5, entonces cul es el valor de 3ncuando m = 12?

A) 53

B) 103

C) 10D) 40E) 60

3. Segn el grfico de la figura , x e y son magnitudes directamente proporcionales.Entonces, cul es el valor de a?

A) 1

3

B) 3C) 6D) 9E) 12

4. Un vaso de bebida light (200 cc.) aporta 0,4 caloras. Cuntas caloras aporta unabebida de 2,5 litros, similar a la anterior?

A) 5B) 10C) 20D) 25E) 50

5. Si 2xvara directamente con y e y = 4 cuando x = 3, entonces cul es el valor de2xcuando y = 16?

A) 112

B) 13

C) 3D) 12E) 48

fig. 46

x

y

2 3

a


71/536

9

PROPORCIONALIDAD INVERSA Y COMPUESTA

Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre lascantidades correspondientes se mantiene constante.

x1 y1= x2 y2= x3 y3= = xn yn= k (k constante)

As por ejemplo, la tabla de la figura 5 muestra las medidas posibles de los lados de unrectngulo de rea 24 cm2.

Podemos observar que x y = 24

El grfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hiprbola equiltera. (fig. 5)

La proporcionalidad compuesta es la combinacin de proporcionalidades directas,inversas o ambas

EJEMPLOS

1. Las cantidades ubicadas en las columnas A y B en la tabla de la figura 6, soninversamente proporcionales. Cul es el valor de M + N?

A) 4,5B) 5,0C) 5,5D) 36,0E) 38,0

2. Las variables x e y son inversamente proporcionales. Cuando x vale 60, y vale 90.Cunto vale x, cuando yvale 120?

A) 30B) 40C) 45D) 60E) 90

fig. 6

A B

6 3

4 M

N 18

Largo 2 3 4 6 x

Ancho 12 8 6 4 y fig. 5

Largo

1

1 3 4 6 82

234

5

67

89

101112

Ancho

Aumenta

Disminuye


72/536

10

3. De acuerdo a la informacin entregada en el grfico de la figura 7, el cual representauna hiprbola, cul es el valor de C D?

A) -8

B) -4C) 4D) 8E) 12

4. Ocho empleados hacen un trabajo en 20 das. Para hacer el mismo trabajo en 5 das,cuntos empleados ms se necesitarn?

A) 2B) 12C) 16D) 24E) 32

5. Nueve obreros construyen una casa en 10 meses, trabajando 8 horas diarias. Cuntosobreros, en las mismas condiciones de trabajo, se necesitan para construir la mismacasa en 5 meses, trabajando 6 horas diarias?

A) 6B) 8C) 12D) 18E) 24

6. Si 10 vacunos se comen 20 fardos de pasto en 2 das, cuntos fardos se comen dosvacunos, con caractersticas similares a los anteriores, en un da?

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

fig. 7

2 C 8 x

4

2

D

y


73/536

11

EJERCICIOS

1. Cul(es) de las siguientes parejas de razones noconforman una proporcin?

I) 24 : 18 y 20 : 15

II) 14 : 24 y 16 : 26III) 10 : 6 y 15 : 9

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

2. Si A : B = 5 : 2 y A B = 6, entonces A B es igual a

A) 10B) 14C) 22D) 28E) 40

3. Cul es el valor de x si 5x + 5 5=6x + 4 7

?

A) -3

B) - 13

C) 13

D) 3E) 11

4. La razn de los kilos de comida y la cantidad de perros que se puede alimentar en unda es 3 : 7. Si hay que alimentar a 147 perros, cuntos kilos de comida senecesitarn?

A) 21B) 49C) 63D) 189E) 343


74/536

12

5. Si 3 x=4 12

e y 12=5 10

, entonces cul(es) de las afirmaciones siguientes es (son)

verdadera(s)?

I) x = 2y 3II) y x = -3

III) x 2=y 3


6. Si a : b = 1 : 2 y b : c = 3 : 2, entonces cuando a = 3 el valor de ces

A) 3B) 4C) 6D) 8E) 9

7. Si2

a 1=

4b y b = 20, entonces a =

A) 20B) 25C) 100D) 200E) 400

8. Sean M y N enteros positivos. Si M : N = 2 : 3, entonces es (son) siempreverdadera(s)?

I) M + N = 5II) 6M = 4N

III) N M = 1

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) I, II y III


75/536

13

9. Si x : y : z = 4 : 3 : 2 y 2x + 4y 3z = 28, entonces el valor de yes

A) 2B) 3C) 4

D) 6E) 8

10. Si p, qy r son enteros positivos tales que p : q = 2 : 1 y q : r = 2 : 1, entoncescul(es) de las aseveraciones siguientes es (son) verdadera(s)?

I) p > rII) q < rIII) q > p


11. Si a b c= =3 5 2

y a + b + c = 40, entonces 3a b + 2c =

A) 0B) 16C) 22D) 32E) 40

12. En la tabla de la figura 1, A y B son magnitudes directamente proporcionales. Culesson respectivamente los valores de x e y?

A) 8 y 72B) 8 y 60C) 7 y 72D) 8 y 2E) 6 y 72

fig.1A 7 x 12

B 42 48 y


76/536

14

13. En el grfico de la figura 2, x e y son cantidades directamente proporcionales.Entonces, el valor de (a 1) es

A) 1,5B) 2,5

C) 3,5D) 4,0E) 5,0

14. Cul(es) de las siguientes tablas corresponde(n) a dos variables inversamenteproporcionales?

I) II) III)

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo I y III

E) Slo II y III

15. Si bkilos de clavos valen $ a, entonces 12

kilo valdr

A) $ 2ab

B) $ a2

C) $ b2a

D) $ 2ba

E) $ a2b

fig.2

a a + 1 x

y

5

7

x y

3 15

4 20

7 35

9 45

x y

2 18

3 12

4 9

6 6

x y

3 16

4 12

6 8

8 6


77/536

15

16. Las variables x e yde la figura 3, son inversamente proporcionales, entonces m + 2nes

A) 10,5B) 14,0

C) 17,5D) 42,0E) 84,0

17. Las cantidades a2 y b son inversamente proporcionales. Si para a = 2, se obtiene

b = 3, entonces cul sera el valor de aasociado a b = 43

?

A)12

B) 23

C) 34

D)32

E) 3

18. En un colegio de 1.400 alumnos, por cada cinco alumnos de enseanza media hay dosen enseanza bsica. Si en la enseanza media la relacin entre hombres y mujeres es3 : 2, respectivamente, cuntos alumnos hombres hay en enseanza media?

A) 1.000B) 600C) 400D) 300E) 200

19. Los trazos py qde la figura 4 estn, respectivamente, en la razn

A) 2 : 4,0B) 2 : 3,5C) 1 : 7,0D) 1 : 3,5E) 2 : 8,0

r r

p

fig. 4

p p p r

q

fig. 3

2 m 8 x

n

4

14

y


78/536

16

20. Carlitos en su cumpleaos, por cada 7 caramelos que recoge al romper la piata, Anitarecoge 5. Si Carlitos recogi 70 dulces ms que Anita, cunto caramelos recogiCarlitos?

A) 245

B) 175C) 120D) 98E) 50

21. La razn entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2 : 3. Si para llenarlo senecesitan 15 litros, cul es la capacidad del estanque?

A) 15 litrosB) 20 litrosC) 25 litros

D) 30 litrosE) 45 litros

22. Hernn, Miguel y Osvaldo compraron un nmero de rifa y cuyos aportes fueron:Hernn $ 800, Miguel $ 500 y Osvaldo $ 700. Si obtuvieron un premio de $ 280.000,cunto le correspondi del premio a Miguel al realizarse el reparto en formaproporcional a lo aportado?

A) $ 50.000B) $ 60.000

C)

$ 70.000D) $ 80.000E) $ 98.000

23. El grfico de la figura 5, muestra la hiprbola que result del estudio que se hizo enuna campaa militar, en que se determin la cantidad de das que dura cierta cantidadde alimentos, de acuerdo al nmero de soldados que los consumen. En base a lainformacin proporcionada por este grfico, se puede deducir que

A) p + q = 54B) t = 72

C) t > qD) t < pE) t = 4p

2 12 q Cantidad desoldados

2

6

t

Cantidadded

as

4

p

fig. 5


79/536

17

24. En una guarnicin hay 4.800 soldados con alimentos para 48 das. Si la dotacindisminuyera a 3.200 hombres, para cuantos das alcanzaran los alimentos?

A) 80B) 72

C) 64D) 60E) 32

25. Si 10 obreros construyen una casa en 6 meses, cunto tiempo se demoraran 12obreros en construir una casa similar, trabajando el mismo nmero de horas al da?

A) 7,2 mesesB) 6,2 meses

C) 5,0 mesesD) 4,8 mesesE) 4,4 meses

26. En una fabrica, 8 operarios producen 2.400 piezas en 10 das, cuntas piezasproducen 6 operarios en las mismas condiciones de trabajo en 4 das?

A) 120

B)

720C) 820D) 1.000E) 1.200

27. 20 obreros realizan la construccin de un puente en 5 meses, trabajando 8 horasdiarias. Cuntos obreros en las mismas condiciones de trabajo, se necesitarn paraconstruir el mismo puente en 4 meses trabajando 5 horas diarias?

A) 10B) 30C) 36D) 40E) 46


80/536

18

28. Si a y b son nmeros positivos, se puede determinar en que razn estn lascantidades a y bsi :

(1)a2= 18b y b = 8

(2)2a 3b = 0


29. Se puede determinar el valor numrico de 2 x + yx

si :

(1)2x + y = 44

(2)x : y = 3 : 5


30. En un curso la relacin de nias a nios es de 8 : 7, respectivamente. Se puededeterminar el nmero de nias si :

(1)La razn de los que estudian y no estudian es 4 : 1.

(2)Las nias que no estudian son 6, y todos los nios estudian.


DMNMA06



81/536

Curso:Matemtica

Material N 07


UNIDAD: NMEROS Y PROPORCIONALIDADPORCENTAJE

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de lostrminos de la proporcin es 100:

EJEMPLOS

1. El 30% de 15 es

A) 50B) 45C) 4,5D) 2

E)12

2. El23

% de32

es

A) 0,01B) 0,1C) 0, 4 D) 1E) 2,5

3. Qu tanto por ciento del cuadrado de la figura 1 es la parte oscura?

A) 9%B) 22%C) 25%D) 33,3%E) 75%

QC

= P100

Q = P100

C

Q = P% C

fig. 1


82/536

2

4. Qu porcentaje es 2 de 5?

A) 20%B) 25%C) 30%

D) 40%E) 45%

5. Si 6 es el 30% de a, cul es el valor de a?

A) 1,8B) 18C) 20

D) 36E) 60

6. Si el 200% de un nmero es 2h2, cul es el 300% del nmero?

A) h2B) 3h2

C)

6h

2

D) 6h6E) 12h2

7. El 3,5% de 700 es

A) 2,45B) 5,0C) 24,5D) 50E) 245


83/536

3

TANTOS POR CIENTOS NOTABLES EXPRESADOS EN FRACCIN Y EN NMERO DECIMAL

TANTO POR CIENTO FRACCIN DECIMAL

1% de C

100

1C 0,01 C

10% de C101

C 0,1 C

12,5% de C81

C 0, 125 C

20% de C51

C 0,2 C

25% de C41

C 0,25 C

3331

% de C31

C 0,3 C

50% de C12

C 0,5 C

6632 % de C

32 C 0,6 C

75% de C43

C 0,75 C

120% de C65

C 1,2 C

EJEMPLOS

1. Cul es el 33 13

% de 27?

A) 9B) 81C) 90D) 297E) 900

2. Qu tanto por ciento es 6 de 8?

A) 0,75%B) 48%C) 75%D) 80%E) 133,3%


84/536

4

3. Si el 12,5% de un nmero es 80, cul es el nmero?

A) 10B) 320C) 480

D) 640E) 720

4. Si en la figura 2, todos los sectores circulares son iguales, entonces qu porcentaje esla regin achurada de la regin blanca?

A) 25%B) 33,3%C) 40%D) 50%E) 66,6 %

5. El 75% de 403

es

A) 0,1

B)

9

16 C) 1

D)169

E) 10

6. En una jaula hay 48 aves entre canarios y catitas. Si 12 son catitas, qu porcentaje delas aves son canarios?

A) 15%B) 20%C) 33,3%D) 66,6 %E) 75%

fig. 2


85/536

5

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS

Dos o ms tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantospor cientos

EJEMPLOS

1. El 20% de ams el 35% de aes

A)3a20

B)7a

100

C)1120

a

D) 7aE) 55a

2. El 15% de 7 menos el 5% de 7 es

A) 0,7B) 1,4C) 7D) 14E) 70

3. El 20% de un curso de 40 alumnos elige seguir msica, el 25% elige artes y el restoelige deporte. Cuntos eligieron deporte?

A) 9B) 10C) 11D) 19E) 22

a% de C b% de C = (a b)% de C

El a% del b% de C =a

100

b100

C


86/536

6

4. En la carrera de Ingeniera se retira el 20% de los alumnos por rendimiento y el 10%por no gustarle la carrera. Si al inicio haba 600 alumnos, entonces cuntos alumnosquedan?

A) 180

B) 420C) 432D) 480E) 540

5. El 75% del 6623

% de A es lo mismo que

A) 0,5% de A

B) 41 23

% de A

C) 50% de AD) 80% de AE) 200% de A

6. El 20% de 33,3% de 1,5 es

A) 0,01B) 0,03C) 0,1D) 0,3E) 1

7. A 50 personas se las encuest por sus preferencias de postres, el 30% prefiri helado yde estos el 20% prefiri helado de chocolate. Cuntos prefirieron helado de chocolate?

A) 3B) 5C) 6D) 10E) 25


87/536

7

VARIACIN PORCENTUAL

AUMENTO : Al aumentar una cantidad Cen su Ppor ciento se obtiene:

DISMINUCIN : Al disminuir una cantidad C en su P por ciento se obtiene lacantidad:

EJEMPLOS

1. Se desea vender un televisor con un 20% de ganancia. Cunto ser el precio deventa, si el costo fue de $ 187.520?

A) $ 225.024

B) $ 212.500C) $ 202.500D) $ 192.500E) $190.000

2. Cul es el precio oferta de una camisa, si su precio sin rebaja es $ 5.670 y se hizo un40% de descuento?

A) $ 1.134B) $ 3.402C) $ 4.536D) $ 4.725E) $ 6.804

C = C +P

100 C

C = C -P

100 C


88/536

8

3. Un IPOD se compra a $ 80.000 y se vende a $ 100.000. En qu porcentaje seincrement su valor de compra?

A) 8%B) 10%

C) 12,5%D) 20%E) 25%

4. El nmero de personas que iban a un paseo disminuy de 50 a 45. Qu porcentaje dedisminucin hubo?

A) 1%B) 5%

C) 9%D) 10%E) 11,1%

5. En una liquidacin se rebajan todos los precios un 30%, por lo que se debe multiplicarcada precio antiguo por

A) 0,03B) 0,3C) 0,7D) 1,3E) 1,7

6. El precio de la libra de cobre disminuy de US$ 4.0 a US$ 1.2. Cul fue el tanto porciento de disminucin?

A) 28%B) 30%C) 70%D) 80%E) 300%


89/536

9

INTERS SIMPLE

Una cantidadC crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un perodo de nunidades,en un rgimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo.La cantidad final CF despus de cumplido el perodo n est dada por:

EJEMPLOS

1. Un capital de $ 300.000 se deposita en un banco que ofrece un 5% de inters mensual.Al cabo de 3 meses, en un rgimen de inters simple, cunto es el nuevo capital?

A) $ 301.500B) $ 304.523C) $ 345.000D) $ 450.000E) $ 750.000

2. Pedro deposita $ 1.800.000 en el banco UUVA a un inters simple mensual de un0,7%. Qu ganancia obtendr en un perodo de 5 meses?

A) $ 1.863.000B) $ 186.300C) $ 126.000D) $ 630.000E) $ 63.000

3. Qu capital debe invertirse en un negocio que rinde el 6% anual de inters simple,para obtener $ 6.000.000 de utilidad en 2 aos?

A) $ 10.000.000B) $ 36.000.000C) $ 50.000.000D) $ 60.000.000E) $ 72.000.000

CF= C +ni

100 C

Ganancia =n i C100


90/536

10

4. Qu inters simple anual se aplic a un capital de $ 1.000.000 depositado durante5 aos, si dio una ganancia de $ 50.000?

A) 0,01%B) 0,1%

C) 0,5%D) 1%E) 5%

5. Si se depositan $ 40.000.000 a un inters simple mensual del 0,01% durante 5 aos, elcapital acumulado es

A) $ 40.240.000B) $ 40.400.000

C) $ 42.000.000D) $ 42.400.000E) $ 46.400.000

6. Durante cunto tiempo se debe depositar un capital de $ 2.000.000 a un rgimen deinters simple de 0,5% anual, para obtener una ganancia de $ 20.000?

A) 10 meses

B)

14 mesesC) 18 mesesD) 20 mesesE) 24 meses

7. Se presta un cuarto de milln de pesos a un rgimen de inters simple del 10% anual.Si se devuelve el prstamo al cabo de 9 meses, qu cantidad habr que pagar enconcepto de intereses?

A) $ 1.875B) $ 18.750C) $ 22.500D) $ 187.500E) $ 225.000


91/536

11

INTERS COMPUESTO

Una cantidadC crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un perodo de nunidades,en un rgimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo seagrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.

La frmula para calcular la cantidad final CFdespus de cumplido el perodo n es:

EJEMPLOS

1. Mario invierte $ 1.000.000 a un inters compuesto anual del 10%. Cunto es el capitalfinal de Mario, luego de 3 aos?

A) $ 331.000B) $ 1.030.301C) $ 1.100.000D) $ 1.300.000E) $ 1.331.000

2. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un inters compuestosemestral del 2,5%. Qu expresin representa la cantidad de dinero acumulado por

Paulina, al cabo de 24 meses?

A) $ 5.000.000 (1,025)4B) $ 5.000.000 (1,25)4C) $ 5.000.000 (0,025)4D) $ 5.000.000 (1,025)24E) $ 5.000.000 (1,25)24

3. Segn el censo del ao 1992 la ciudad de Quillota tena aproximadamente 200.000habitantes. Si en los siguientes 10 aos creci a una tasa del 2% anual, para el censo

del ao 2002, los habitantes de Quillota debieron ser, aproximadamente,

A) 200.000 (1,2)10 habitantesB) 200.000 (0,2)10 habitantesC) 200.000 (1,02)10habitantesD) 200.000 (0,02)10habitantesE) 200.000 10 1,02 habitantes

n

F

iC = C 1 +

100

Ganancia= CF C


92/536

12

4. Un banco ofrece el 5% de inters compuesto mensual por depsitos recibidos. Si sedepositan $ 6.000.000, el capital total acumulado al cabo de 6 meses es

A) $ 6.000.000 (1,05)2B) $ 6.000.000 (1,05)6

C) $ 6.000.000 (1,05)12

D) $ 6.000.000 (1,5 )2E) $ 6.000.000 (1,5 )6

5. El capital acumulado por un depsito de $ 10.000.000 a un rgimen de interscompuesto anual durante 24 meses, en una entidad financiera que da un 2% semestrales

A) $ 10.000.000 (1,02)24

B) $ 10.000.000 (1,02)12C) $ 10.000.000 (1,02)8D) $ 10.000.000 (1,02)6E) $ 10.000.000 (1,02)4

6. Cul es la ganancia obtenida al depositar $ 5.000.000 durante 2 aos a un rgimen deinters compuesto en un banco que da un 5% anual?

A)

$ 500.000B) $ 501.250C) $ 512.500D) $ 550.000E) $ 551.250

7. Una persona impone $ 300.000 durante 10 aos a un inters compuesto del 3%. Culser su capital final al cabo de ese perodo si los intereses se acumulan a su capitalcada 4 meses?

A) $ 300.000(1,3)30B) $ 300.000(1,3)32C) $ 300.000(1,03)32D) $ 300.000(1,03)30E) $ 300.000(1,03)8


93/536

13

EJERCICIOS

1. El 5% de15

es

A) 5B) 1

C) 15

D) 100

E)1

100

2. 16 es el 80% de

A) 8B) 12C) 16D) 20E) 24

3. La fraccin54

es equivalente a

A) 1,25%B) 5,4%C) 12,5%D) 75%E) 125%

4. El a%de best expresado por

A) 100b

B) ab100

C) ab

D)100a

b

E) 100ba


94/536

14

5. El 200% de 0,5 ms el 50% de 0,5 es

A) 1B) 0,5C) 1,5

D) 1,25E) 0,75

6. El 15% del 25% de 160 es

A) 1,6B) 2,5C) 4D) 6

E) 8

7. Al calcular el a% del b% de c resulta

A) a b c 10-4B) a b c 104

C)4

a b

c 10

D)-4a b 10

c

E)-4

a b

c 10

8. Las edades de Pablo y Marcelo estn en la razn 2 : 5. Qu porcentaje es la edad dePablo respecto de la de Marcelo?

A) 4%B) 20%C) 24%D) 40%E) 250%


95/536

15

9. Si mes el resultado de la suma de 4 y el 25% de 35, entonces el 200% de mes

A) 12,58B) 14,50C) 25,5

D) 50E) 1.258

10. Si el 5% de tes 4 y el 25% de ses 16, entonces el 50% de (t + s)es igual a

A) 22B) 33C) 42

D) 72E) 210

11. En el mes de Septiembre la relacin entre das hbiles y no hbiles es 5 : 1. Quporcentaje del mes son das inhbiles?

A) 16,6 %B) 20%C) 60%D) 80%E) 83,3%

12. La siguiente tabla nos muestra la estadstica de lo que estn realizando los 40 alumnosde un curso. Qu tanto por ciento de los alumnos est conversando?

A) 0,05%B) 0,5%C) 5%

D) 0,52%E) 5,2%

N Alumnos

Alumnos calculando 15Alumnos leyendo 23Alumnos conversando 2


96/536

16

13. El kilo de frutilla sube de $ 400 a $ 500. En qu porcentaje aument?

A)54

%

B) 20%

C) 25%D) 80%E) 125%

14. La entrada a un cine baja de $ 2.500 a $ 2.000. Con respecto al precio original, cules el porcentaje de rebaja?

A) 1,25%B) 20%C) 25%D) 80%E) 125%

15. Valentina prest $ 1.200 quedndose con $ 4.800. Qu porcentaje de su dineroprest?

A) 20%

B) 25%C) 30%

D) 3313

%

E) 66 23

%

16. El Sr. Gonzlez deba 8.000 Unidades de Fomento al Banco estatal hace tres meses.Dos meses atrs pag un 25% de la deuda y el mes pasado pag el 25% de la deudarestante. Si este mes desea terminar con la deuda, entonces tendr que pagar

A) 1.500 U.F.B) 2.000 U.F.C) 3.500 U.F.D) 4.000 U.F.E) 4.500 U.F.


97/536

17

17. Un canal de T.V. transmite un programa de 40 minutos de duracin de los cuales el25% son destinados a comerciales. Si del resto del tiempo, un 60% es ocupado en unforo poltico, cuntos minutos dura la transmisin del foro?

A) 18

B) 16C) 14D) 12E) 10

18. Las acciones de la compaa FEMAR se cotizaron en $ 35 en el 2005. En el 2006 secotizaron en $ 28. En qu porcentaje decrecieron?

A) 25%

B) 20%C) 14%D) 7%E) 5%

19. Cul es la ganancia obtenida de la venta de una mercadera, si se vendi en $ 1.800con un 20% de ganancia?

A)

$ 90B) $ 180C) $ 300D) $ 360E) $ 600

20. Una torta se divide en 4 partes iguales y cada parte, a su vez, en 5 partes iguales.Qu porcentaje de la torta representan 5 de los trozos obtenidos?

A) 120

%

B)15

%

C) 5%D) 20%E) 25%


98/536

18

21. Si el valor de la cuota del Mes de Marzo del Centro General de Padres del ColegioRodo es $ 2.000 y se reajusta mensualmente segn el IPC, cul ser el valor de lacuota del mes de Abril, sabiendo que el IPC del mes de Marzo fue igual a 0,8%?

A) $ 2.016

B) $ 2.014C) $ 2.018D) $ 2.120E) $ 2.160

22. Durante 2007, el agua cada en Santiago lleg a p mm y en el 2008 aument a(p + q)mm. Cul es la expresin apropiada para representar el tanto por ciento deaumento?

A)

100q

p %B) 100(p q)%

C)100(p q)

p

%

D)100p

q%

E)pq

100%

23. Se depositan en un banco $ 2.000.000 a un inters simple mensual de un 0,8%. Alcabo de 6 meses, cunto es el capital final?

A) $ 96.000B) $ 2.016.000C) $ 2.048.000D) $ 2.096.000E) $ 11.600.000

24. El capital final que se obtiene al cabo de 10 meses, al depositar 4 millones de pesos a

un inters compuesto mensual del 3% es

A) $ 4.000.000 (1,03)10B) $ 4.000.000 (0,03)10C) $ 4.000.000 (10,3)10D) $ 4.000.000 (1,3)10E) $ 4.000.000 (0,3)10


99/536

19

25. Un comerciante aumenta el precio de un metro de gnero en un 20% y posteriormentelo rebaja en un 30% resultando as $ 6.300. Cul era el precio primitivo?

A) $ 9.000B) $ 7.500

C) $ 7.000D) $ 5.292E) $ 5.250

26. Se puede determinar qu porcentaje es xde y si :

(1)x =34

y

(2)5x = 10


27. Al repartir un capital el 75% le corresponde a Laura y el resto a Mara. Se puededeterminar el monto del capital si :

(1)Laura recibe el triple de lo de Mara.

(2)Mara recibe $ 150.000 menos que Laura.


28. Se puede saber el valor de xe y, respectivamente, si :

(1)x y = 8

(2)x : y = 3 : 2



100/536

20

29. Se puede determinar el valor de c si :

(1)Al aumentar c en un 18% resulta $ 3.540.

(2)Al disminuir c en un 15% resulta $ 2.550.

A) (1) por s sola

B) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

30. Se puede determinar el precio original de un artculo si :

(1)Se cancel con un descuento de $ 3.200.

(2)El artculo tuvo un descuento del 8%.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional.

DMNMA07



101/536

Curso:Matemtica

Material N 08


UNIDAD: LGEBRA Y FUNCIONESECUACIN DE PRIMER GRADO

CONCEPTOS

ECUACIN es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementosdesconocidos llamados incgnitas.

RAZ O SOLUCIN de una ecuacin es (son) el(los) valor(es) de la(s) incgnita(s) quesatisface(n) la igualdad.

CONJUNTO SOLUCIN es el conjunto cuyos elementos son las races o soluciones de laecuacin.

RESOLVER UNA ECUACIN es encontrar valores que reemplazados en la ecuacin en lugar de laincgnita, hace que la igualdad sea verdadera. Para ello se debe despejar o aislar laincgnita.

ECUACIONES EQUIVALENTES son aquellas que tienen el mismo conjunto solucin.

EJEMPLOS

1. Cul de las siguientes opciones representa una ecuacin con una sola solucin?

A) 3 + 7 = 7 + 3B) 2x + 5 2x = 6

C)

3y + 6 x = 3 xD) x = 8 : (1 30)E) Todas ellas

2. En la figura 1 se muestra una balanza en perfecto equilibrio. Cul es la ecuacin querepresenta la situacin ilustrada?

A) 12x = 18B) 12 x = 18C) 12 + x = 18D) x + 18 = 12E) -18 x = 12

3. La raz o solucin de la ecuacin 4 2x = -6 es

A) -5B) -1C) 1D) 5E) 7

fig. 1

12 kg 18 kg


102/536

2

4. Si 3 2(2x + 4) = 24, entoncesxes igual a

A) -4B) 0C) 3D) 4E) 36

5. Si 6 2x = 14, entonces x x2es igual a

A) -20B) -12C) -10D) 10E) 20

6. La frmula de Einstein E = m c2relaciona energa (E) y masa (m) de un objeto, donde cesla velocidad de la luz. Entonces, la ecuacin que determina la masa mes

A) m = E c2B) m = E c

C) m =2

E

c

D) m =Ec

E) m =2cE

7. En la ecuacin (3 3k) x 6k + 9 = 0, cul debe ser el valor de k para que la solucinsea x = -1?

A) -4B) -2

C) -23

D) 2E) 4

8. Cul de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuacin 0,02x = 4,6?

A) 21.000

x = 4,6

B) 20100

x = 460

C) 0,2x = 460D) 2 10-3x = 46 10-2E) 0,2 10-2x = 0,46 10-1


103/536

3

ECUACIN DE PRIMER GRADO

Una ecuacin se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incgnita es 1.Toda ecuacin de primer grado en una variable puede expresarse en la forma:

ax + b = 0

donde ay bson nmeros reales y x la incgnita que hay que determinar.ECUACIN CON COEFICIENTES LITERALES

Es una ecuacin que adems de la incgnita tiene otras letras que representan cantidadesconocidas.

EJEMPLOS

1. En la ecuacin, 30t 42 = 0, si trepresenta el tiempo en horas, entonces t=

A) 1 hora con 40 minutosB) 1 hora con 24 minutosC) 1 hora con 12 minutosD) 1 hora con 6 minutosE) 1 hora con 4 minutos

2. Encuentre el valor de xen la ecuacin ax + 2 = a

A) -2B) 2

C) 1 2a

D) 1 + 2a

E)1a

3. Si bx 5 = -bx, entonces el valor de xes

A) -5B) 0C) 5

D) -52b

E) 52b


104/536

4

4. Si ax 2 = bx 4, entonces a b =

A) - 2x

B) - 6x

C) - 6a b

D) 2a b

E) 6x

5. Si 6(x 6) = m(x m) y m = -1, entonces x es igual a

A) -1B) -5

C)57

D) 1

E) 5

6. Si a = 2 en la ecuacin a2 x 2 = a 4x, entonces el valor de xes

A) 0

B)18

C)14

D)12

E)4

6

7. En la ecuacin mx + 9 = m2 3x, el valor de xes

A) m 3B) m + 3C) -3D) 3E) -3 y 3

8. Si a(x b) = x + b, entonces x =

A) 2ba B) a + b

C)b a

a

D)b(a + 1)

a 1

E)b(a 1)

a + 1


105/536

5

ECUACIONES FRACCIONARIAS

Una ecuacin es fraccionaria cuando alguno de sus trminos o todos tienen denominadores.Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente mtodo:

Multiplicar los miembros de la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores

que aparecen. Efectuar las operaciones indicadas en los parntesis. Agregar y reducir trminos en los miembros de la igualdad. Colocar los trminos en x en un miembro y los numricos en otro. Resolver la ecuacin equivalente de primer grado obtenida. Comprobar el resultado con la ecuacin dada.

EJEMPLOS

1. Cul es el valor de xen la ecuacin x + 23

= -1?

A) -9B) -5C) -1

D) 13

E) 1

2. Si x3

+ 2x = 7, entonces x=

A) 7

B) 73

C) 3

D) 43

E) 1

3. En la ecuacin 3 x2

1 x3

= 7 x + x2

, el valor de xes

A) -36B) -30C) -15D) -12,5

E) - 317


106/536

6

4. Si 1 3x

= 9, entonces x=

A) -92

B) -29

C)

9

2

D)83

E) -38

5. Cul es el valor de x en la ecuacin1 x 2

=15 5

?

A) -5B) 5C) -25D) 25

E)

-35

6. En la ecuacin 2 x 1

40

=2x 1

4

4x 5

8

, el valor de x es

A) 66B) 64C) 46D) 44E) 38

7. En la ecuacinx

x + 2+

23

=4

x + 2, el valor de x es

A)1

2

B) -75

C)

75

D) -85

E)85

8. Al sumarxt

con mse obtienex

t + 2. Entonces, m=

A) 0B)

2xt(t + 2)

C) - 2xt(t + 2)

D) - xt + 2

E) - 2

t(t + 2)


107/536

7

EJERCICIOS

1. Cul(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado?

I) x2+ 6x + 5 = x2 1

II) 2 x x = 3 5III) x +

35

Guia Teorico Practica - 2009

Documents

Transcript of Guia Teorico Practica - 2009