Guia Practica No. 4 Algoritmo Simplex

7/26/2019 Guia Practica No. 4 Algoritmo Simplex

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INVESTIGACION DE

OPERACIONES

EL ALGORITMO DEL

SIMPLEX

Gua de Prctica No.4

Mg Gregorio Cisneros Santos

Profesor Asociado de la EAP de Ingeniera Agroindustrial

Universidad Nacional Hermilio Valdizn - Hunuco

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN

FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

EAP DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL


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La modelizacin es una de las reas ms atractivas de la ingeniera y las ciencias

aplicadas. De hecho, los ingenieros necesitan construir modelos para resolver problemas

de la vida real.

El objetivo de un modelo consiste en reproducir la realidad de la forma ms fiel posible,

tratando de entender cmo se comporta el mundo real y obteniendo las respuestas que

pueden esperarse de determinadas acciones. En la prctica se utilizan muchos tipos de

modelos, tales como modelos de ecuaciones diferenciales, modelos de ecuaciones

funcionales, modelos en diferencias y de elementos finitos, y modelos de programacin

matemtica.

La seleccin del modelo adecuado para reproducir la realidad es una etapa crucial para

obtener una solucin satisfactoria a un problema real. Las estructuras matemticas

asociadas no son arbitrarias, sino una consecuencia de la realidad misma. En el cursoInvestigacin de Operaciones, se hace un esfuerzo importante por conectar las realidades

fsica y matemtica. Se muestra al estudiante el razonamiento que conduce al anlisis de

las diferentes estructuras, modelos y conceptos. Esto se pone de manifiesto en los

ejemplos ilustrativos, que muestran la conexin entre modelo y realidad.

En este curso se tratan los modelos de programacin matemtica, incluyendo los de

programacin lineal y no lineal.

Los problemas de programacin matemtica son problemas particulares a los que uno se

enfrenta con cierta frecuencia. Uno est preparado para resolverlos usando muchas de

las herramientas disponibles, procedimientos o paquetes de software. De hecho, estos

problemas se estudian en detalle en los estudios de grado y postgrado. Sin embargo, uno

puede no estar preparado para resolver otros problemas muy frecuentes como:

1. Problemas de programacin lineal con muchas variables y/o restricciones.2. Problemas de programacin no lineal.3. Tcnicas de descomposicin para problemas a resolver con herramientas de

programacin matemtica.4. Reglas para transformar otros problemas en problemas de programacin

matemtica.

En este curso se dan mtodos que permiten resolver una amplia coleccin de problemas

prcticos interesantes.

Cuando se analiza y discute la programacin matemtica, una posibilidad es la de dar un

profundo anlisis terico del problema y una discusin de los diferentes problemas y

mtodos. Esta opcin tiene algunos riesgos. Aunque a veces, inicialmente, el tratamiento

parece ser ms riguroso y profundo, el lector es conducido a ser demasiado curioso y

cuidadoso con los detalles matemticos pero sin preocuparse ni entender a dnde

conducen estos o de dnde proceden.

Presentacin


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Por ejemplo, no es infrecuente dar a una persona que ha estudiado durante aos

programacin lineal, un dibujo bidimensional sencillo en el que aparece el conjunto

factible, y preguntarle que marque la secuencia de puntos extremos asociada al mtodo

simplex, sin obtener una respuesta correcta. Ntese que esto significa que no se

comprende la esencia misma del mtodo simplex y de las ideas en que ste se basa.

Alternativamente, uno puede tratar este tema con la ayuda de ejemplos ilustrativos, y

tratar de transmitir al lector la profundidad y el ingenio que hay detrs de estos mtodos,

con lo que se hace el tema ms legible y atractivo.

No tratamos con mtodos o soluciones estndar. El lector que busque mtodos estndar

o referencias de trabajos con esta orientacin debera consultar uno de los muchos libros

sobre este tema que se encuentran en el mercado. Por el contrario, en este libro se

discuten los problemas antes mencionados desde otro punto de vista.

Adems de obtener soluciones, matemticos e ingenieros estn interesados en analizar

las condiciones que conducen a problemas bien definidos. En este contexto, los

problemas de compatibilidad y unicidad de solucin juegan un papel central. De hecho,

conducen a conclusiones fsicas e ingenieriles muy interesantes, que relacionan las

condiciones fsicas, obtenidas de la realidad, con las correspondientes condiciones que

hay tras los modelos matemticos. Los mtodos a desarrollar en este curso tambin

permiten concluir si el conjunto de restricciones conducen a la existencia de al menos una

solucin.

Mg. Gregorio Cisneros Santos


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Actividad Inicial:

Toda actividad propuesta se inicia con la formacin de grupos: El trabajo grupal siempre ser una

forma de potencial el aprendizaje; debern formar grupos que permanecern durante el desarrollo

de todo el curso, con la finalidad de poder compartir experiencias, tomar decisiones y sacar

conclusiones sobre los diferentes temas que se vayan abordando en el curso.

Objetivo:

Al culminar la presente prctica los alumnos habrn obtenido los conceptos bsicos de la

programacin lineal en el Algoritmo del Simplex y estarn en condiciones de poder resolver

problemas de optimizacin aplicando el algoritmo del Simplex. De igual manera los alumnos se

conocern e intercambiarn ideas de cmo aprender mejor los temas.

Recomendaciones:

Recuerden que es importante conocernos para poder trabajar en grupos o en equipos. Es

necesario para nosotros los docentes y tambin para los alumnos. Para hacer posible este

acercamiento es necesario contar con un espacio de integracin y tiempo suficiente.

Cada grupo se organizar internamente y establecer su cdigo de tica. Este ser de

cumplimiento obligatorio de cada integrante. Se trata de formar una sociedad de trabajo, por lo

tanto, todos deben tener claras las reglas y posibles sanciones que hay en ellas. El docente

brindar las pautas para el desarrollo de sta importante actividad previa al aprendizaje.

Actividad Principal:

En cada prctica se tocar un tema del contenido del curso, para complementar los conocimientos

tericos de las clases dictadas previamente y se presentan los ejercicios y casos resueltos y casos

propuestos, que debern ser tratados por el grupo.

Tema 4:

PROGRAMACION LINEAL: ALGORITMO DEL SIMPLEX


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Tema 4:

PROGRAMACION LINEAL: ALGORITMO DEL SIMPLEX

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

PROBLEMA RESUELTO:

CASO AGROINDUSTRIAS SAC.

Agroindustrias SAC produce dos tipos de productos (A y B) para ello utiliza dostipos de materias prima (MP1 y MP2), cuya disponibilidad es restringida. Los datosbsicos se proporcionan a continuacin:

Una encuesta de mercado indica que la demanda semanal del producto B no puedesuperar en una tonelada ms que el producto A. Tambin que la demanda mximasemanal del producto B es de 2 toneladas.

La empresa desea determinar la mezcla ptima (la mejor) de productos para quemaximice la utilidad semanal total.

El MODELO DE PROGRAMACION LINEAL, como en cualquier modelo deinvestigacin de operaciones tiene tres componentes:

1. Las VARIABLES de decisin que se trata de determinar.

2. El OBJETIVO (la meta) que se trata de optimizar.

3. Las RESTRICCIONES que se deben satisfacer.

El problema planteado se expresa en forma de inecuaciones como sigue:

Maximizar Z = 5X1+ 4X2

Sujeta a:

6X1 + 4X2 24

X1 + 2X2 6

-X1 + X2 1

X2 2

X1, X2 O (Condicin de no negatividad)

Disponibilidad semanal mxima (TM).Producto BProducto A

6

1

5

4

2

4

24

6

Materia Prima MP1 en TM

Materia Prima MP2 en TM

Utilidad por TM (miles de $)


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6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

A B

C

DE

F

6

5

4

3

2

1

Restricciones:

6X1 + 4X2 24

X1 + 2X2 6

-X1 + X2 1

X2 2

X1 0

X2 0

1

2

3

4

5

6

X2

X1

4

3

3

2

2

1

1

A B

C

DE

F

X2

X1

(Maximizar Z = 5X1 + 4X2)

Optimo: X1 = 3 Ton.

X2 = 1.5 Ton.

Z = $ 21,000

X1 + 2X2 6

6X1 + 4X2 24


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METODO SIMPLEX

Es una tcnica algebraica general, que utiliza la programacin lineal como columnavertebral de su algoritmo para encontrar la solucin ptima.

El mtodo grfico nos indica que la solucin ptima de un programa lineal siempre

est asociada con un punto esquina del espacio de soluciones. Este resultado es laclave del mtodo simplex algebraico y general para resolver cualquier modelo deprogramacin lineal. El mtodo simplex implica un procedimiento que determina enforma algebraica los puntos esquina; esto se logra convirtiendo primero a todas lasrestricciones de desigualdad en ecuaciones, para despus manipular esasecuaciones en una forma sistemtica (iteraciones). Cada iteracin desplaza lasolucin a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de lafuncin objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejoras(solucin ptima).

Espacio de soluciones en forma de ecuacin.

Para estandarizar, la representacin algebraica del espacio de soluciones deprogramacin lineal se forma bajo dos condiciones:

1. Todas las restricciones (excepto las de no negatividad) son ecuaciones conlado derecho no negativo.

2. Todas las variables son no negativas.

Transicin de solucin grfica a solucin algebraica.

El procedimiento contenido en la solucin grfica de un modelo de programacin

lineal son la base para desarrollar el mtodo algebraico simplex, a continuacin semuestra el paralelismo entre ambos mtodos.


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ALGORITMO DEL SIMPLEX

Utilizaremos el Caso Agroindustrias SAC para explicar los detalles de clculo deuna iteracin simplex, que incluyen las reglas para determinar las variables deentrada y de salida, as como para detener los clculos cuando se ha llegado a lasolucin ptima.

El problema planteado se expresa en forma de ecuaciones como sigue:

Maximizar Z = 5X1+ 4X2+ OX3+ OX4+ OX5+ OX6

Sujeta a:

6X1 + 4X2 + X3 = 24

X1 + 2X2 + X4 = 6

-X1 + X2 + X5 = 1

X2 + X6 = 2

X1, X2, X3, X4, X5, X6 O

Ojo: Las variables X3, X4, X5 y X6 son las holguras asociadas a las restriccionesrespectivas.

De tal manera la tabla inicial simplex (ITERACIN 1) se representa as:

Variables bsicas: (X3, X4, X5, X6)

Variables no bsicas (cero): (X1, X2)

Solucin inicial: Z = O; donde X3=24; X4=6; X5=1; X6=2

Cj 5 4 0 0 0 0

Xb Xi X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6

0 X 3 24 6 4 1 0 0 0

0 X 4 6 1 2 0 1 0 0

0 X 5 1 -1 1 0 0 1 0

0 X 6 2 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

5 4 0 0 0 0

Zj

Cj - Zj

fila pivoteColumna pivoteelemento pivote

24/6 = 4

6/1 = 6

1/-1 = -1

2/0 =


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Normalmente, para los casos de maximizacin, el mtodo simplex comienza en el

origen (O, O) donde X1 = X2 = O. En ste punto de inicio, el valor de la funcinobjetivo Z es cero. Ser posible mejorar Z con un aumento en X1y/o en X2?

Si elegimos aumentar X1 o X2, cualquier seleccin dara como resultado un valorobjetivo mejor. Sin embargo, el mtodo simplex proporciona una regla definida queestablece que se debe elegir la variable no bsica que tenga el coeficiente positivoms grande. Si hay empate se elige en forma arbitraria. En ste caso se elige X1cuyo coeficiente es 5 y se le denominar la VARIABLE DE ENTRADA. Luego debedeterminarse la VARIABLE DE SALIDA, que debe ser una de las variables bsicas,para ello se calculan las intersecciones, o coordenadas (X1) al origen, de todas lasrestricciones con la direccin no negativa del eje X1(variable de entrada), se debe

elegir la variable bsica con el valor positivo mnimo.

La variable bsica X3 es la VARIABLE DE SALIDA, y se convierte en variable nobsica, quedando de la siguiente manera:




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Luego se contina con la construccin de la Tabla 2 (ITERACION 2)

OPERACIONES DE RENGLON DE GAUSS JORDAN

1. RENGLON PIVOTE.

Nuevo rengln pivote = Rengln pivote actual / Elemento pivote

1. TODOS LOS DEMAS RENGLONES, INCLUYENDO Z.

Nuevo rengln = (Rengln actual) (Su coeficiente en la columna pivote) x (Nuevorengln pivote)

Estos clculos se aplican a la tabla anterior en la siguiente forma:

1. Nuevo rengln pivote X1 = Rengln pivote X3actual / 6

2. Nuevo rengln Z = Rengln Z actual(-5) x Nuevo rengln pivote

3. Nuevo rengln X4 = Rengln X4actual(1) x Nuevo rengln pivote

4. Nuevo rengln X5 = Rengln X5actual(-1) x Nuevo rengln pivote

5. Nuevo rengln X6= Rengln X6actual(0) x Nuevo rengln pivote

La tabla nueva (ITERACIN 2) que corresponde a la nueva solucin bsica (X1, X4,

X5, X6) es la siguiente:



Nueva Solucin: Z = 20; donde X1=4; X4=2; X5=5; X6=2

Cj 5 4 0 0 0 0

Xb Xi X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6

5 X 1 4 1 0 0 0

0 X 4 2 0 1 0 0

0 X 5 5 0 0 1 0

0 X 6 2 0 1 0 0 0 1

20 0 0 0 0

0 0 0 0

Zj

Cj - Zj

4/ = 6

2/ =1.5

5/ = 3

2/1 = 2


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Luego de aplicar las operaciones rengln de Gauss-Jordan, la ltima tablaidentifica a X2 y X4 como las variables de entrada y de salida, debido a que nohemos llegado a la solucin ptima, ya que X2presenta CjZj positivo, enseguidase identifica a X4como la variable de salida de acuerdo a los clculos de razones.

La tabla nueva (ITERACIN 3) que se muestra, luego de realizar lasoperaciones Gauss-Jordan, corresponde a la nueva solucin bsica (X1, X4, X5, X6):

Variables bsicas: (X1, X2, X5, X6)Variables no bsicas (cero): (X3, X4)

Cj 5 4 0 0 0 0

Xb Xi X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6

5 X 1 3 1 0 0 0

4 X 2 0 1 0 0

0 X 5 0 0 1 0

0 X 6 0 0 0 1

21 0 0 0 0

0 0 0 0

Zj

Cj - Zj


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Como ninguno de los coeficiente del rengln CjZj asociados con las variables nobsicas X3y X4son positivos, sta ltima tabla es la ptima, por lo tanto estamosante la solucin ptima.

Variable de decisin Valor ptimo Recomendacin

X1 3 Producir 3 Ton/semanal del Producto A.

X2 1.5 Producir 1.5 Ton/semanal del Producto B.

Z 21 La utilidad semanal es $ 21,000

La tabla simplex, adems, nos muestra el estado de los recursos, los cuales

pueden ser escasos o abundantes.

Un recurso es escaso, si las variables del modelo lo utilizan por completo; casocontrario, es abundante. Esta informacin se obtiene en la tabla ptima revisandoel valor de la variable de holgura asociada con la restriccin que representa elrecurso. Si la variable de holgura es cero, el recurso se usa por completo y elrecurso es escaso. En caso contrario, una holgura positiva indica que el recurso esabundante.


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PROBLEMAS PROPUESTOS PARA EL ALGORITMO DEL SIMPLEX:

1. La Ca. Fruitcola SAC produce y vende dos tipos de gaseosas: la Fruitcola 1

(sabor naranja) y la Fruitcola 2 (sabor maracuy) que es menos costosa. Elmargen de utilidad aproximado del sabor naranja es 5 centavos (US$) por lata ydel sabor maracuy 7 centavos (US$) por lata. En promedio, la empresa no vendems de 500 latas diarias. Aunque Fruitcola 1 es una marca reconocida, los clientestienden a comprar ms del sabor maracuy, porque es ms barata. Se estima quese venden cuando menos 100 latas diarias del sabor naranja, y que Fruitcola 2 sevende ms que el sabor naranja por un margen mnimo de 2:1.

Cuntas latas diarias de cada tipo se deben vender para maximizar lautilidad)

2. Se contrata con MAGGI SA para que reciba 60,000 kg de tomates maduros a siete

centavos (US$) por kilo, con los cuales se produce jugo de tomate y pasta detomate, ambos enlatados. Se empacan en cajas de 24 latas. En una lata de jugose usa 1 kg de tomates frescos, y en una de pasta slo 1/3 de kg. La demanda delos productos en el mercado se limita a 2,000 cajas de jugo y 6,000 cajas de pasta.Los precios al mayor por caja de jugo y de pasta son $18 y $9, respectivamente.

Prepare un programa ptimo de produccin para MAGGI SA.


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3. Consorcio Agroindustrial SAC exporta dos tipos de esprragos en cajas, las detipo comercial, en envase tradicional; y, las de tipo jumbo especial, con untratamiento adicional en el envasado. El envasado de ambos productos se hacenen un mismo departamento de envasado. El departamento de seleccin puedeproducir un mximo de 200 cajas comerciales y 150 especiales por turno. Para eltratamiento adicional se necesita el doble de tiempo que para envasar una caja

comercial. Si el departamento de envasado slo se dedicara al tipo especial,podra terminar 180 por turno. La empresa estima que las utilidades unitarias son$10 y $14 por caja comercial y especial, respectivamente.

Formule el problema como programa lineal y determine el programaptimo de produccin por turno, utilizando el algoritmo del simplex.

Cada grupo deber presentar la solucin de la prctica en un informe fsico o virtual, de

acuerdo a las instrucciones del docente.

Mg. Gregorio Cisneros SantosDocente del Curso

Email: [email protected]

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