UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.

Guia No4BAIN 017 Algebra para Ingeniera

Mayo 2011

1. Determine, si existen, supremo, nfimo, maximo, mnimo,cotas superiores y cotas inferiores

a) A = {x R/2x + 3 < 0}.b) B = {x R/5(x 4) 4x 7}.c) C = {x R/|2x + 3| < 0}.d) D = {x R/|1 + 3x| 1}.e) E = {x R/|x 3|+ 4 < x 15}.f ) F = {3,5, 54, 10, 9, 0,10}.

g) G = {x R/|5x 2| < 17} N.h) F = { 1n/n N}.i) G = {x R/x = 1n + (1)n, n N}.j ) H = {1 1n/n N} {2 1n/n N}.k) I = {5 3nn2+1/n N}]2, 9[.l) J = {1 1n/n N} {1, 2, 8,

57}.

2. Resuelva los siguientes P.P.L. usando el metodo grafico.

a) Minimizar Z = 15x1 + 20x2x1 + 2x2 10

2x1 3x2 6x1 + x2 6x1, x2 0

b) Minimizar Z = 3x1 + 2x2x1 + 2x2 12

2x1 + 3x2 = 62x1 + x2 8

x1, x2 0c) Maximizar Z = 3x1 + 5x2

x1 42x2 12

2x1 + 3x2 18x1, x2 0

d) Maximizar Z = 2x1 + 3x2x1 + 2x2 30x1 + x2 20

x1 0x2 0

e) Maximizar Z = 2x1 + x2x1 + x2 40

4x1 + x2 100x1 0x2 0

f ) Maximizar Z = 3x1 + 2x22x1 + x2 10

3x1 3x2 6x1 + x2 6x1, x2 0

g) Maximizar Z = 4x1 + 2x22x1 16

x1 + 3x2 17x2 5

x1, x2 0h) Minimizar Z = 3x1 + 5x2

x1 4x2 6

3x1 + 2x2 18x1, x2 0

i) Maximizar Z = 2x1 + x2x1 + x2 2x1 + x2 4

x1 0x2 0

j ) Maximizar Z = 5x1 + x23x1 + 5x2 155x1 + 2x2 10

x1 0x2 0

k) Maximizar Z = 3x1 + 7x24x2 3x1 12x1 + x2 5

x1 64x2 + x1 10

x1, x2 0l) Maximizar Z = 18,5x1 + 20x2

0,05x1 + 0,05x2 11000,05x1 + 0,10x2 18000,10x1 + 0,05x2 2000

x1, x2 0

3. Resuelva los siguientes problemas utilizando P.L.

a) Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena y de 180 refrescos de cola sin cafena. Los refrescos se venden anpaquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafena y tres sin cafena, y los detipo B contienen dos con cafena y cuatro sin cafena. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda detipo A y 5 euros por cada un o que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuantos paquetes de cada tipodebe vender para maximizar los beneficios y calcular este.

b) Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentacion dos clases de com-ponentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El medico le da dostipos de dieta en las que la concentracion de dichos componentes es:

Dieta D1 : 2 unidades de A y 3 unidades de BDieta D2 : 1 unidades de A y 2 unidades de B

Sabiendo que el costo de la dieta D1 es de 2.5 dolares y el de la dieta D2 es de 1.45 dolares. Cual es ladistribucion optima para el menor costo?.

c) Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofa, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 libras respec-tivamente. Para cada fnda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar unadel modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. Cuantas fundas de cada modelo hande fabricarse para obtener el maximo beneficio y cual seria este?.

d) Una escuela prepara una excursion para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 buses de 40 butacas y10 buses de 50 butacas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta $80.000 y elde uno pequeno, $60.000. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursion resulte lo maseconomica posible para la escuela.

e) Una compana posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas decalidad media y 5 toneladas de baja calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las trescalidades. La compana necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad mediay 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operacion es de 2000 dolares en cada mina Cuantosdas debe trabajar cada mina para que el costo sea mnimo?.

f ) Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debeingerir al menos 2400 mg. de vitamina B-1(tiamina)y 1500 mg. de vitamina B-2 (riboflavina) durante ciertoperodo de tiempo. Existen dos pldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada pldora de lamarca A contiene 40 mg. de hierro, 10 mg. de vitamina B-1, 5 mg. de vitamina B-2 y cuesta 6 yeng. Cada pldorade la marca B contiene 10 mg. de hierro, 15 mg. de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 yeng.Cualescombinaciones de pldoras debe comprar el paciente pata cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menorcosto?.

4. Plantee el siguiente problema, como un P.P.L, indicando claramente las variables a usar.

a) La empresa PROTAC, Inc. produce dos lineas de equipo pesado. Una de estas lineas de productos (llamada equipopara remocion de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de contruccion. La otra linea (llamadaequipos forestales) esta destinada a la industria maderera. El miembro mas grande de la linea de equipos pararemover escombro (el E-9) y el miembro mayor de la linea de equipos forestales (el F-9) se producen en elmismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones economicas para el proximo mes,el gerente de mercadotecnia de PROTAC juzga que durante ese periodo sera posible vender todos los E-9 yF-9 que la empresa pueda producir. La administracion debe ahora recomendar una meta de produccion para elproximo mes. Es decir cuantos E-9 y F-9 deben producir? En la toma de esta desicion, los principales factoresa considerar son los siguientes: PROTAC tendra una utilidad de $5000 por cada E-9 y de $4000 por cada F-9.Cada producto pasa por operaciones mecanicas tanto en el departamento A como en el B. Para la producciondel proximo mes, estos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas respectivamente. Cada E-9 consume 10horas de operacion mecanica en el departamento A y 20 en el departamento B, mientras que cada F-9 consume15 horas en el departamento A y 10 en el B. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el totalde horas de trabajo que se dedicaran a la verificacion de los productos terminados del proximo mes no puede sermenor en 10 % a una meta establecida de 150 horas. Esta verificacion se realiza en un tercer departamento queno tiene relacion con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 requiere 30 horas de verificacion ycada F-9, 10. Puesto que el 10 % de 150 es 15 , el total de horas de trabajo destinadas a la verificacion no puedeser menos de 135. Con el objeto de mantener su posicion actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado quepara la politica de operacion es necesario costruir al menos un F-9 por cada 3 E-9. Un consumidor ha ordenadoun total de por lo menos cinco aparatos para el proximo mes.