1 GUA PARA EL EXAMEN A TTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMTICAS IE, ICA, ISISA

I.ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN VARIABLES SEPARABLES Para esta seccin se proporciona la solucin completa de las ecuaciones para que puedas repasar las tcnicas de integracin, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las integrales que resultan: 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ECUACIONES HOMOGNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el mtodo de sustitucin: 1.0 ) ( = + xdy dx y xcx x x y + = ln2.0 ) 2 ( = + dy x y xdx) ( ln ) ( y x c x y x y x + = 3.dy y x ydx ) ( 2 + =cyx y=+22 4.0 ) ( = + + xdy dx y x( ) x cx y =121 5.0 ) (2 2= + dy x dx yx yc xxy+ =ln 6.0 ) (2 2= + + dy x dx yx y2) (2cxyy x=+ 7. x yx ydxdy+=cyxy x = + +1 2 2tan 2 ) ln(8.0 ) ( = + + dy xy x ydxcyxy + = 2 ln ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resulvala: 1.0 ) 7 3 ( ) 1 2 ( = + + dy y dx xc y y x x = + + 7232 2 2.0 ) 6 ( ) 2 ( = + + dy y x dx y xNo es exacta 3.0 ) 8 4 ( ) 4 5 (3= + + dy y x dx y xc y xy x = +4 22 425 4.0 ) cos (cos ) ( = + + dy y y x x dx ysenx senyc y x y xseny = +221cos5.0 ) 4 2 ( ) 3 2 (2 2= + + dy yx dx x yc y x y x = + 4 32 2 6.0 3 3 4 ) 3 cos12 (32= + + + x ysen xxydxdyxxyNo es exacta 7.0 ) 1 2 ( ) (2 2= + + + dy x xy dx y x , 1 ) 1 ( = y4 3 3 32 2 3= + + y xy y x x8.0 ) 2 ( ) ( = + + + + dy ye x dx y ey x.1 ) 0 ( = y2 2 = + + +y y xe ye y xy e13 ECUACIONES LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de factor integrante. x xc e x y3 29131 + + = x xce e x y2 2 331+ = x xce e x y + + = 1212 xce x x x sen y + + = 2 cos432231 x xce xe y + = 2 2 2 1cos + + = cx senx x x x y 2 22 x xce e x y + = 2 21) 1 (tanxc xy++= ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitucin apropiada: 1. 3 25 2 y xy y x = +522 cxxy+=2.x xy y y 6 2 3 2= +23 33xce y+ =3. 3 y y y + =122= xcexy4. 4 25 2 y xy y x = +7157cxxy+=5.0 2 3 3= + y xy y x0 > x55 25cxxy+ =6. 343 6 xy y xy = +3 2) (+ = cx x y MISCELNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el mtodo que le sea posible: c x x y + + = 22

2) ln(cx y =14 13 3 + = c x y 1 22+ = x y5.) 1 ( ) 1 (2+ = + y xdxdyx | | c x x y + + + = ) 1 ln( 1 tan6.) 50 ( = T KdtdT K Constante, T(0)=200 kte t T 150 50 ) ( + = II.ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el mtodo de coeficientes indeterminados. 1. 6 2 3 = + + y y y322 1+ + = x xe c e c y2.3 30 25 10 + = + x y y y53565251+ + + = x xe c e c yx x 3.x x y y y 2 412 = + +2742 2221+ + + = x x xe c e c yx x 4. xe x y y3 248 3 = + xe x x x sen c x c y3 22 1)344 4 ( 3 3 cos + + + =5. 2341 xe y y y + = + 2 / 2 2 /22 /12112x x xe x xe c e c y + + + =6.x sen y y 2 3 4 = +x x x sen c x c y 2 cos432 2 cos2 1+ + =7.x e y y yx2 cos 5 2 = + x sen xe x sen e c x e c yx x x2412 2 cos2 1+ + =8.x senx y y y 2 cos 3 2 + = + +x x sen x xe c e c yx x2 cos25922512cos212 1 + + = 15 VARIACIN DE PARMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de variacin de parmetros.1.x y y sec = +x x xsenx senx c x c y cos ln cos cos2 1+ + + = ;) 2 / , 2 / ( t t 2.x y y2cos = +x senx c x c y 2 cos6121cos2 1 + + =3. xey y y+= + +112 3 ) 1 ln( ) (2 22 1x x x x xe e e e c e c y + + + + = 4. xsene y y y = + + 2 3 x x x xsene e e c e c y2221 + =5. 21 2 xey y yx+= + x xe x e xe c e c yx x x x 1 22 1tan ) 1 ln(21+ + + =6.x e y y yxln 2 = + +x e x xe c e c yx x xln2122 1 + + =7.x e y y yx3 tan 30 6 3 = + x x x e x sen e c x e c yx x x3 tan 3 sec ln 3 cos2713 3 cos2 1+ + =8.x y y tan = +x x senx x senx c x c c y tan sec ln cos ln cos3 2 1+ + + = ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones no homogneas aplique variacin de parmetros. 1. 0 4 2= + + y xy y x ) ln 2 ( ) ln 2 cos(2 1x sen c x c y + = 2. 0 2 3 2= y xy y x 6 226 21+ + = x c x c y 3. 0 4 5 2= + + y xy y x x x c x c y ln2221 + = 4. 0 6 32= + + y xy y x (((

||.|

\|+||.|

\|=x sen c x c x y ln63ln63cos2 12 / 1 5. 0 6 3= y y x ) ln 2 ( ) ln 2 cos(3 231x sen c x c x c y + + = 6. 0 8 2 2 2 3= + y xy y x y x 432211x c x c x c y + + = 16 7.0 3 2= +xy y x , 0 ) 1 ( = y ,4 ) 1 ( = y22 2 = x y8.x y xy = + 4ln22 1xx c c y + + =9.x x y xy y x = + +2 2 5 2x x x c x c y611512 122 / 11 + + = III.TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: a)L| | f t ( ) para1) f (t) =0 0 24 2

}tt

sess F24) (=2) f (t) = 2 0 51 5t ttss>}

25252 2 9) (sesess Fs s+ = b) L| | e t e e tt t t + +4 2 23 2 sen4 ) 1 (6) 2 (241) (2 3+ +++++=s s ss Fc)L| | t e t tt 4 23 4 2 + cos senh481 ) 2 (3 24) (2 2 5++ + =s s ss Fd) L| |e tt sen2 ((

+ + ++=4 ) 1 (11121) (2ssss Fe) L| |t t2sen3 22) 1 (2 6) (+ + =sss Ff)L| | t u t22 ( ) ((

+ =s s se s Fs4 4 2) (2 32 g)L| | o( ) t 1se s F= ) ( 17 2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones: a) L-13 1282ss+

((t sen t t f 88128 cos 3 ) ( = b) L-1 12 5 s

((

te t f2521) (=c) L-12 11sss++

((( )

t te e t f + = 1 2 ) (d) L-1ss ( ) +

((15

t te t e t t f + =3 461241) (e) L-1ses sS + +

((223 2| | ) 2 ( 2 ) () 2 ( ) 2 ( 2 = t u e e t ft t f) L-1((

+ 1 223s ses) 3 ( ) 3 ( ) (3 =t u e t t ft g) L-1s ss s34 216 2420 64+ + +

((t sen t t sen t f 2 2 cos 421) ( + =h) L-1ss s++ +

((16 7 22 t te e t f) 3 / 2 ( ) 2 / 1 (3121) ( + =i) L-1ss s s s2232 3 2 5+ + +

((( )( )( )t e t sen e e e t ft t t t2 cos5012259503251) (3 2 + + =j) L -11 12223 2s s s++

((t sen e t t ft2 221) (2 2 + =k) L -11211 4313 2 2( ) ( ) sss s ++++ +

((senht t e e t t ft t3 2 cos21) (2 2 + = 18 3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones peridicas: a) ( )( )sse ses F2211) (=b) ( )ss se sse es F =11) (2 4.Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace a) 0 ) 0 ( ' , 0 ) 0 (, cos ' ' ' = = = y y t e y yt sent e t e t yt t21cos2121) ( + =b) 0 ) 0 ( ' , 0 ) 0 ( , ) 2 ( 5 ' 4 ' ' = = = + + y y t y y y t o) 2 ( ) 2 ( ) () 2 ( 2t tt = t u t sen e t yt c) y y y et' ' ' + + = 3 2 4y(0) = 1,y(0) = -1 t t te e e t y3234) (2+ = 012 34t -1 1 f(t) 0123t 1 f(t) 19 d) te t y y y3 29 ' 6 ' ' = + y(0) =2,y(0) =6 t te t e t y3 4 31212 ) ( + = e) te y y y + = + + 1 6 ' 4 ' 'y(0) =0,y(0) =0 ) 2 (32) 2 cos(213161) (2 2t sen e t e e t yt t t + =f)t y y 4 cos 16 ' ' = + y(0) =0,y(0) =1 ) 4 (81) 4 (61) ( t sen t t sen t y + =g)t y y y = + 9 ' 6 ' ' y(0) =0,y(0) =1 t tte e t t y3 391027227291) ( + + =h) te t y y y2 34 ' 4 ' ' = + y(0) =0,y(0) =0 te t t y2 5201) ( = IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1.Resolver los siguientes sistemas deecuaciones diferenciales lineales mediante eliminacin o determinantes: a) xdtdyy xdtdx= = 2 t tt tte c e c c yte c e c x2 2 12 1) ( + =+ = b) t xdtdyt ydtdx =+ = 1 cos1 cos2 12 1 + =+ + + =t t c sent c yt sent c t c x 20 c) tte xdty de ydtx d =+ =442222 tte t c sent c c ye sent c t c c x33 2 133 2 1154cos1517cos + + =+ + = 2.Resolver los siguientes sistemas deecuaciones diferenciales lineales mediante Transformada de Laplace a) xdtdyy xdtdx2 =+ = 1 ) 0 (0 ) 0 (==yx t tt te e ye e x3231313122+ =+ = b) y xdtdyy xdtdx = =52 2 ) 0 (1 ) 0 (= =yx t sen t yt sen t x3373 cos 23353 cos = = c) 2 3 31 2 2= += +y xdtdydtdxxdtdydtdx 0 ) 0 (0 ) 0 (==yx 6125138212522 32 3 = + =t tt te e ye e x d) tte ydtx dydtdydtx d= += + +30 3 32222 0 ) 0 (2 ) 0 (, 0 ) 0 (===yxx t ttte e ye t t x + + = + + =3131311212 b) t xdtdyt ydtdx =+ = 1 cos1 cos2 12 1 + =+ + + =t t c sent c yt sent c t c x c) tte xdty de ydtx d =+ =442222 tte t c sent c c ye sent c t c c x33 2 133 2 1154cos1517cos + + =+ + = 21 EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS 1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial. (b) Enuncie el principio de la superposicin. (c)Defina el conjunto fundamental de soluciones (d) Demuestra que xe y31= yexe y41 = es un conjunto fundamental de la ecuacin0 12 ' ' ' = y y y 2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posicin de equilibrio.(a)encuentre la posicin de la masa en los tiempos t = /12, /8, /6, /4, Y 9/32s. (b)Cul es la velocidad de la masa cuando t = 3 /16 s? en que direccin se dirige la masa en este instante?(c)en que tiempo la masa pasa por la posicin de equilibrio? 3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posicin de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s (a)encuentre la ecuacin de movimiento (b)Cules son amplitud y periodo del movimiento? (c)Cuntos ciclos completos habr completado la masa al final de 3 segundos? (d)enquemomentolamasapasaporlaposicindeequilibriocondireccinhaciaabajopor segunda vez? (e)en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posicin de equilibrio?(f)cual es la posicin de la masa en t = 3s? (g)cual es la velocidad instantnea en t = 3 s? (h)Cul es la aceleracin en t = 3s? (i)Culeslavelocidadinstantneaenlosinstantescuandolamasapasaporlaposicinde equilibrio? (j)enqueinstantelamasaesta5pulgadasabajodelaposicindeequilibrioapuntandoen direccin hacia arriba? 4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = h, R = 20, C = 1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero? 5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10, C = 0.001 f y E (t) = 100 sen 60t + 200 cos 40tV. 22 6.(a) Definir la Transformada de Laplace. (b)Expliquelascondicionesquedebecumplirf(t)paraqueexistasuTransformadadeLaplace (c)Emplee la definicin de transformada para demostrar que: L{ sen5t } = 5/(s2 + 25) L{ e-5t } = s/(s - 5 ) 7. Dada>< s< s< s=10010 5 5 2 2 0 1) (2tt tt ttt f (a) Grafique la funcin. (b) Exprese la funcin en trminos de la funcin del escaln unitario. (c) Calcule la transformada de f aplicando la definicin. 8. Usando convolucin, demuestre que:

( )t ts ssen11 1L2 21 =((

+ 9. Resuelva la ecuacin integral dada usando la transformada de Laplace. ( ) ( )( )||.|

\|=+ = }t sen e t x solucinsent d x t t xtt2332:cos ) (20t t t 10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en el cual L =1h, R = 20 O, C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, cul es la corriente de estado estable?.