GuíA Didactica Y Lecturas Radicales

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA

(UNEFA)

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2

ÍNDICE DE CONTENIDO

Pág.

MATERIALES DE LECTURA 3

GUÍA DIDÁCTICA 4

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

UNIDAD Nº 4: Radicación

4

SELECCIÓN DE LECTURAS:

UNIDAD Nº 4: Radicación

17

LECTURA 21: Importancia de los Radicales 17

LECTURA 22: Operaciones con Radicales 20

LECTURA 23: Expresiones Conjugadas 35

BIBLIOGRTAFÍA 48

3

MATERIALES DE LECTURAS

UNIDAD Nº 4: RADICACIÓN

Lectura Nº 21: Importancia de los Radicales

Cuadros, B. (2005). “Prevenir y Corregir el Error”. Revista Matemáticas Recreativa, Vol. 2, Nº 3. Bogotá, Colombia : Universidad de los Andes.

Lectura Nº 22: Operaciones con Radicales

Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt

Lectura Nº 23: Expresiones Conjugadas

Gómez, T.; González, N.; Vergara A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

4

GUÎA DIDÂCTICA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

UNIDAD 4 RADICACIÓN

CCOONNOOCCEE EELL NNOORRTTEE DDEE TTUU AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE

La visión del universo que tenían el sabio Pitágoras de Samos y sus discípulos, estaba dominada por sus ideas filosóficas acerca del número. Decían que:

“el número natural y las proporciones entre números naturales gobernaban todo cuanto existía”

Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos, a través del Teorema de Pitágoras, demostró que esta afirmación era falsa, ya que ellos mismos se dieron cuenta de la existencia de un número que no era natural y tampoco se podía expresar como fracción alguna.

El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1, fue el que originó el derrumbe de dicha teoría filosófica. El triángulo en cuestión es el siguiente:

Es decir, el número que representa la longitud de la hipotenusa c , de un triángulo rectángulo isósceles con lados de medida 1, se representa como 2 , se lee , “raíz cuadrada de 2 ” y nos indica aquel número que elevado al cuadrado es igual 2. Como ya sabemos 2 no es un número entero ni un número racional, este número es considerado dentro de los números reales como un irracional.

Aquí observamos además el uso de las expresiones radicales en un cálculo sencillo, pero en la radicación también tenemos los siguientes casos:

a)Cuando multiplicamos 4222 2 ==× decimos entonces que 2 es la raíz cuadrada de 4 y se indica 42= .

b)Cuando multiplicamos 1255555 3 ==×× decimos entonces que 5 es la raíz cúbica de 125 y se indica 31255= .

donde : 211 222 ==c +

2=c

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo viene dado por la suma de los cuadrados de los catetos. (T. de Pitágoras)

c1

1

5

Resolver problemas como estos:

c)Vas a construir una cerca alrededor del jardín cuyo terreno es cuadrado. Se sabe que el jardín tiene 121 m2 . El problema es determinar cuantos metros de cerca tienes que comprar para cercar todo el jardín. Si l es la longitud del lado del cuadrado, entonces, la ecuación que nos queda resolver es l2= 121 .

d)Tenemos un corte de alfombra rectangular que mide 36 m por 48 m , si doblamos la alfombra a lo largo de la diagonal para formar un triángulo rectángulo y queremos proteger el lado cortado con una cinta ¿cuántos metros de cinta se necesitan para cubrir ese lado?

e)Se desea saber cual es la superficie de cada una de las caras de un cubo, cuyo volumen o capacidad es de 545 cm3 .

En base a esto, podemos decir, que encontrar la raíz n− ésima de un número h , es encontrar un número r , tales que rn=h y a esta operación se le llama radicación, la cual trataremos en esta unidad.

Con el dominio de las propiedades de la radicación, podemos manejar eficientemente las relaciones entre elementos de un problema, donde estén involucrados expresiones radicales; por ello el objetivo de aprendizaje de esta unidad es:

Aplicar las propiedades de radicación en la resolución de ejercicios y problemas

1- Sobre todo trata de entender.

Y recuerda que para tener éxito en las tareas que nos proponemos:

6

CCOONNOOCCEE EELL CCAAMMIINNOO AA SSEEGGUUIIRR

Ya conoces el objetivo y para lograrlo cuentas con los siguientes recursos:

Organ izac ión :

- Del horario de estudio ajustado a tus compromisos familiares y laborales.

- Del ambiente apropiado para las sesiones de estudio.

- De los materiales y recursos tecnológicos necesarios

- De un buen grupo de estudio con tus compañeros.

Responsabi l idad

CUMPLIENDO: - Todas las actividades previstas en esta

guía. - Las actividades interactivas de carácter

electrónico que se asignen. - La asistencia a las sesiones de tutoría. - La asistencia y participación en las

actividades presenciales (Comunidad de Aprendizaje)

Mater ia l

Impreso

- Guía de Selección de Lecturas recomendadas para esta unidad.

- Guía Didáctica - El plan de evaluación de la asignatura.

Mater ia l In teract ivo

- Actividades interactivas - Páginas www recomendadas - Foros, chats, otros.

Tutor ías

- Docente de la asignatura quien desarrollará y te guiará en todas las actividades tanto del diálogo didáctico real como el de autogestión y estudio independiente.

-

Serv ic ios

de Apoyo

- Programa Docente – Padre - Sistema de comunicación - Centros de recursos didácticos - Ambientes de aprendizaje - Servicios de Bienestar Estudiantil

Con la finalidad de facilitar el logro del objetivo propuesto para esta unidad de aprendizaje cuentas con 3 lecturas de apoyo, que te proporcionan un poco de historia, definiciones,

Personales

Inst i tucionales

7

simbología, procedimientos, ejemplos muy variados con sus respectivos métodos para la solución de problemas y ejercicios sugeridos para la práctica necesaria.

Las lecturas seleccionadas son las siguientes:

21 . Importancia de los Radicales.

22 . Operaciones con Radicales.

23 . Expresiones Conjugadas

Queremos facilitarle la mayor comprensión de los contenidos tratados en las lecturas, para ello te recomendamos lo siguiente:

• Realiza una lectura rápida de los materiales antes señalados, con la finalidad de que te vayas familiarizando con los contenidos tratados en los mismos.

• Lee por segunda vez con mayor profundidad, resalta las fórmulas y procedimientos para resolver ejercicios.

• Resuelve cada ejemplo por tu cuenta y compara los resultados.

• Luego de realizadas las lecturas, prepárate con tu cuaderno de notas, lápiz, calculadora, diccionario, etc.

• Desarrolla cada una de las actividades que te proponemos en esta guía didáctica.

• A medida que estés resolviendo los problemas y/o ejercicios, repite el procedimiento en cada uno.

• Sigue los procedimientos sugeridos en los ejemplos presentados.

• Intercambia ideas, procedimientos y soluciones con otros estudiantes.

• Consulta otras fuentes bibliográficas.

• Consulta con el docente/tutor (a) sobre las dudas que se te presenten.

• Incorpora cada actividad desarrollada en el portafolio de la asignatura.

�

2- Entérate bien a fondo con qué cuentas y qué

necesitas.

8

VVEERRIIFFIICCAA TTUU CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN LLEECCTTOORRAA Después de realizar las lecturas, utiliza las técnicas de comprensión lectora sugeridas y responde las siguientes preguntas. Con estas actividades puede iniciar la conformación del portafolio de la asignatura.

1 ¿Cuáles son los elementos que componen un radical?

2 Utilizando potenciación, ¿cómo se transforma la raíz de un número, por ejemplo m x ?

3 Escribe la equivalencia que se utiliza, para resolver la siguiente ecuación 33 27 =

4 Utilizando el criterio de existencia de la raíz n-ésima de un número, indica cuándo:

4.1 La raíz no es única.

4.2 No existe la raíz.

4.3 La raíz es única.

5 A continuación describimos, en forma desordenada los pasos a seguir para extraer factores de una raíz. Escribe en hoja de trabajo, la secuencia correcta para realizar dicha operación.

- Se divide el exponente de cada uno de esos factores entre el índice de la raíz.

- Se descomponen en factores primos la cantidad sub-radical.

- El cociente de la división representa el exponente de la base que se extrae.

- Se toman aquellos factores cuyo exponente es mayor o igual al índice de la raíz

- El residuo es el exponente de la base que queda dentro de la raíz.

6 ¿Cuál es la condición principal que se aplica sobre la cantidad sub-radical, para que se puedan extraer factores?

7 Enumera los pasos a seguir para introducir factores en un radical.

8 En la definición, de radicales semejantes :

8.1.- ¿Qué significa “poseen el mismo índice”?

8.2.- ¿Cuál es la otra condición para que los radicales sean semejantes?

9 ¿Cuál es el primer paso para multiplicar radicales de diferentes índices?

10 Describa los pasos para determinar el mínimo común índice.

11 Para multiplicar raíces de diferentes índices, ¿qué propiedad aplicamos en el paso 3, para terminar de resolver el ejercicio?

12 ¿Cuál es la finalidad de obtener la conjugada de una expresión radical?

13 ¿De qué depende la construcción de la conjugada?

14 ¿Qué propiedad de los polinomios se aplica para determinar la conjugada de expresiones radicales binómicas, de índice 2?

9

15 ¿Cuáles son las operaciones que están involucradas en la racionalización?

RREEFFLLEEXXIIOONNAA

Ya verificaste tu comprensión lectora, ahora te presentamos una serie de actividades que te permitirán clarificar y relacionar los aprendizajes presentes con respecto a las experiencias pasadas, con la finalidad de generar nuevas ideas y sobre todo incentivar la toma de decisiones frente a la solución de problemas.

1. Para una operación cualquiera, siempre existe otra que revierte el proceso, es decir, la operación inversa. A continuación indica cuáles son las operaciones inversas de:

Operación Símbolo Operación Inversa Símbolo SUMA + MULTIPLICACIÓN ×

POTENCIACIÓN ( )( )

2. Enuncia y explica diferentes casos de la vida cotidiana, donde es necesario utilizar la operación inversa: por ejemplo podemos ver que en una cuenta bancaria aplicamos SUMA para los depósitos y RESTA para los retiros. Presenta tres ejemplos para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

3. En la Unidad 1 de este material, conocimos y estudiamos el conjunto de los números Reales, los cuales se clasifican como Racionales ( )Q e Irracionales ( )I . Existen infinitos números racionales e irracionales que se pueden expresar como radicales. Da 5 ejemplos de expresiones radicales que pertenezcan a los números racionales y otras 5 a los irracionales.

4. ¿Qué contenidos vistos anteriormente los consideras importantes para resolver ejercicios con radicales?

5. En los ejemplos 6,7,8,9 y 10 de la Lectura Nº 22, aplicamos las leyes de la potenciación, en la resolución de productos y cocientes de radicales. Podrías responder ¿porqué podemos hacer esto?

3- No trates de memorizar nada antes

de haber entendido bien.

10

6. ¿Qué se sabe acerca de la suma y la resta de potencias, que sea aplicable a la suma y resta de radicales?

CCOONNSSTTRRUUYYEE TTUU PPRROOPPIIOO CCOONNOOCCIIMMIIEENNTTOO En esta parte, te presentamos una serie de actividades que te permitirán establecer relaciones entre lo que conocías, los nuevos aprendizajes y tu propia realidad, a fin de orientar en los procedimientos precisos que te facilitarán el conocimiento de la utilidad práctica y dominio de las operaciones con radicales:

1. Elabora una ficha donde presentes cada una de las propiedades de la radicación, analiza los ejemplos resueltos y aplícalas a cada uno de los ejercicios 1.a, 1.b, 1.c, 1.d, 1.e, 1.f, 1.g y 1.h, propuestos de la Lectura Nº 22,

2. En base a esta afirmación: “Las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales”, escriba una raíz que sea equivalente a raíces: cúbicas, cuarta y quinta.

3. Revisa el procedimiento para extraer factores de un radical, si es necesario vuelve a leer y analiza los ejemplos resueltos. Después, utilizando los resultados de los ejercicios anteriores: (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g) y (h), extrae los factores de cada uno de los radicales.

4. Escribe en tu cuaderno, el procedimiento para introducir factores en un radical, si es necesario vuelve a leerlo y analízalos con los ejemplos resueltos, 17 y 18. Después realiza los ejercicios propuestos 2.a, 2.b, 2.c y 2.d, de la Lectura Nº 22:

5. Repasa el concepto de radicales semejantes, elabora una fórmula general para aplicar este concepto a cualquier par de expresiones y resuelve el ejercicio 3, de la Lectura Nº 22.

6. Escribe en tu cuaderno de notas, el procedimiento para la multiplicación y división de radicales con diferentes índices, realiza por tu cuenta los ejemplos 22,23 y 24 para comparar resultados y resuelve el ejercicio 4 de la Lectura Nº 22.

7. Elabora un esquema que represente el procedimiento para sumar o restar radicales y practícalo resolviendo los ejercicios 5 de la Lectura Nº 22.

8. Describe el proceso para racionalizar una expresión que contenga radicales.

9. Responde las siguientes preguntas, después de estudiar la Lectura Nº 23:

�

4- Te vendrá bien aprender de memoria alguna que otra fórmula sencilla y de uso

constante, pero nunca trates de retener fórmulas

11

a) ¿Cuál es la función de la conjugada de una expresión radical?

b) ¿Dónde se utiliza? ¿Cómo?

c) ¿Cómo se construye la conjugada de un monomio?

d) Si el radical es de índice 2, ¿cómo se determina la conjugada?

e) Responde la pregunta anterior, pero tomando en cuenta si el radical es de:

i) Índice 3 ii) Índice 4

10. Resuelve el ejercicio 8, de los propuestos en la Lectura Nº 23.

11. Elabora un bosquejo que represente el proceso de racionalizar una expresión algebraica que contenga radicales. Realiza los ejemplos resueltos y compara el procedimiento.

12. Después de haber realizado los ejercicios anteriores y con la ayuda de los esquemas, bosquejos o formularios elaborados, resuelve los ejercicios propuestos 6 y 7, de la Lectura Nº 23.

13. Elabora una tabla donde puedas representar las expresiones radicales más comunes y sus conjugadas.

CCOOMMPPAARRTTEE YY AAPPRREENNDDEE DDEE OOTTRROOSS

Organiza un grupo de estudio, en el cual puede incluir algún miembro de tu comunidad conocedor del tema, resuelve las actividades que te sugerimos a continuación y reúnete con ellos para comparar, tanto procedimientos como resultados:

1. Resuelve los problemas (c), (d) y (e) de la franja: Conoce el Norte de tu Aprendizaje.

2. Compara los resultados obtenidos en las actividades anteriores: Reflexión y Construye tu Propio Conocimiento, con tu grupo de estudio.

3. Si algún(nos) miembro(s) del grupo, no pudo realizar una las actividad propuestas anteriormente, propongan una explicación sobre dichas actividades o ejercicios, los cuales deberán ser discutidos y analizados por el grupo, para luego sacar una conclusión.

4. Analizar, discutir, representar gráficamente y resolver los siguientes problemas:

5- Si oyes, se olvida, si ves lo recuerdas, pero si lo

haces lo entiendes y

12

a. Distancia al horizonte: Una fórmula para calcular la distancia d (medida en millas), la cual se puede ver desde un aeroplano al horizonte en un día despejado es x=d ⋅1,48842 , donde x es la altitud del aeroplano (medida en pies). ¿Cuán lejos se puede ver el horizonte en un aeroplano que vuela a :

i) 15000 pies ii) 18000 pies iii) 24000 pies

b. La Tasa de Rendimiento “ r ” de una inversión, cuyo capital inicial es 0C y el monto con

intereses en dos años es 2C , viene dada por: 0

02

CCC

=r−

.

Calcular la tasa de rendimiento en cada uno de los siguientes casos:

i) C0= 15. 000 . 000 y C2= 17 . 560 .000

ii) C0= 2.500 .000 y C2= 2 .960 .145

c. El período de un péndulo ( p ) medido en segundos, depende de la longitud (en pies) L y está dado por : Lπ=p 232 2 . Para las siguientes longitudes de péndulos, hallar su período:

i) 8=L pies ii) 27,5=L pies iii) 72=L pies.

Para dar una solución a los problemas, se recomienda tomar una aproximación de 4 decimales en cada uno de los radicales irracionales.

5. Cada miembro del grupo presentará tres (3) problemas, donde aparezca un radical, bien sea en la solución o en una expresión. Luego discutirán y elaborarán un informe donde se refleje la aplicación de expresiones radicales en el contexto de la vida profesional y cotidiana.

EELLAABBOORRAA UUNN PPRROODDUUCCTTOO PPRROOPPIIOO

En esta franja te motivaremos a construcción un producto propio, que pueda llegar a ser utilizado por otros, claro está que estas producciones deben ser discutidas en las sesiones

6- Observa los

procedimientos que usa el profesor, los de

tus compañeros y hazlos igual o mejor.

13

presenciales, pues el buen alumno siempre espera la retroalimentación necesaria para sus producciones.

1. Elabora un tríptico (el cual pueda ser repartido en el salón de clases, en tu comunidad o entre estudiantes de otra universidad), donde se reflejen: la definición, las propiedades y los procedimientos para la utilización efectiva de expresiones radicales. Agrega una sección al tríptico, donde se indiquen los errores más comunes que se comenten al trabajar con estas expresiones.

2. Elabora una tabla, donde puedas reflejar el valor de las raíces cuadradas más utilizadas, tomando una aproximación de 4-decimales:

2 3 5 7 11 13

3. Construye un formulario con los diferentes casos que se presentan al momento de racionalizar, mantenlo a la mano para ser utilizado cada vez que ejercicio lo requiera.

4. Diseña un algoritmo que facilite el procedimiento para extraer factores de un radical.

5. Incorpora en el formulario creado, las fórmulas genéricas referidas a las propiedades de los radicales.

CCOONNCCIIEENNTTIIZZAA TTUU AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE

Cuando hayas comprendido las lecturas, puedes con facilidad utilizar esta franja, pues estará pendiente de los planteamientos del docente/tutor(a) con sus ejemplificaciones, a fin de determinar en qué momento o a qué situación aplicar los nuevos conocimientos.

1. Elabora un cuadro donde reflejes el grado de aprendizaje o dominio de cada uno de los ítems tratados en esta unidad, tomando en cuenta la siguiente escala de evaluación: Alto, Medio, Bajo.

2. Utilizando la tabla de valores de las raíces del Ejercicio 2. Elabora un Producto Propio, calcular los valores mostrados en las siguientes tablas, descomponiendo la cantidad subradical en factores primos y aplicando las propiedades de radicación:

7- Repite ejemplos, haz ejercicios,

invéntate otros.

14

6 8 12 20 21 210

16160

810108

3506125

3

356⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2

10

614

3. Llena la siguiente tabla de valores: a b 2a 2b �a b b+a b+a 2b)+(a 2b+a 2

3 4

7 5

10 10

4. De las respuestas calculadas en la tabla anterior, responde si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) b+a=b+a b) b+a=b)+(a 2

c) 222 b+a=b+a 2 d) 22 b+a=b)+(a 2

AAUUTTOOEEVVAALLÚÚAATTEE

Ahora de manera individual, resuelve los ejercicios que se te presentan, a fin de puedas verificar el dominio de los radicales

1. Simplificar las raíces

a) 30 18x ; b) 24 9a

2. Convertir en raíces de igual índice

a) 4 633 5 ;; b) 1065 653 a;a;a

8- Lo que te parezca entender, coméntalo para asegurarte de que lo aprendiste

15

3. Calcular:

a) 3 273 5123 8 −−−− + b) 41683 2743 25 +−

4. Reducir:

a) 12 3x3x −⋅⋅x b) 3:3 2xaa c) 5 310 3 ÷

d) 326502724 −+ e) ( ) 218157210 ÷+

g) ba÷ab

5. Desarrolla y reduce las siguientes expresiones

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

326246 + b) ( ) ( )2322332483252 −−+

c) 634287 − d) 327163 853 8 ++−

e) 25:15015 f) 983162450732583 ++++

g) xyyx 3:75 3 h) ( ) 218157210 ÷−

6. Racionaliza:

a) c+b+a

a b)

m x

xn

c) m a

a5

d) 3 23 3

7

− e)

239−

f) 3 y+xy+x

g) 32

10−

h) 273273

−

+ i)

22535223

++

7. Convierte en raíces de igual índice

a) 4 633 5 ;; b) 1065 653 a;a;a

9- Cada vez que puedas trata de activar las cosas que has aprendido hasta ahora. No esperes a que vengan las evaluaciones.

16

AAMMPPLLÍÍAA YY PPRROOFFUUNNDDIIZZAA TTUUSS CCOONNOOCCIIMMIIEENNTTOOSS

La ejercitación es esencial para el desarrollo de competencias de razonamiento matemático, te proponemos las siguientes actividades para que continúes desarrollando la capacidad matemática en función de tu propio aprendizaje.

1. Elabora un directorio de 5 páginas web, en la que encuentres procedimientos, ejercicios y problemas que te permitan consolidar los conocimientos adquiridos en expresiones radicales. Utiliza los buscadores más conocidos y usa frases que definen los tipos de radicales: radicales, radicación matemáticas, Pitágoras, proporción de oro, entre otras. Por ejemplo:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Radicales/indice.htm, http://www.matematicas.net/paraiso/materia.php?id=ej_analisis

2. Participa en foros de discusión, donde compartan opiniones de las experiencias de aprendizaje y reflexiones sobre los radicales.

3. También puedes consultar los siguientes textos:

Baldor, A.(1999). Álgebra. Caracas : Cultura venezolana S.A.

Oteyza, E.; Hernández C. y Lam, E. (2003). Álgebra. México: Prentice Hall.

Sullivan, M. , (1997).PreCálculo (4ta. Edición ). México: Prentice, Hall.

Stewart, J.,. Redlin L., Watson, S. (2001) Precálculo, Colombia: Thompson Editores,.

10- Nunca te quedes sólo con lo que te asignan,

indaga y busca más allá.

17

SELECCIÓN DE LECTURAS

UNIDAD Nº 4: RADICACIÓN

LECTURA N° 21 IMPORTANCIA DE LOS RADICALES Tomado con fines instruccionales de:

Cuadros, B. (2005). “Prevenir y Corregir el Error”. Revista Matemáticas Recreativa, Vol. 2, Nº 3. Bogotá, Colombia: Universidad de los Andes.

Errores como b+a=b+a 22 , preocupan a los profesores, son cuestiones que interesan a los investigadores en educación matemática y, lo más grave es que, continúan despistando a los estudiantes.

Considero que para enfrentar este problema académico se puede establecer una analogía con respecto al abordaje médico: su tratamiento debe ser atendido desde dos enfoques: el preventivo y el correctivo.

Prevenir que se cometa el error, implica preguntarse en qué momento se enfrenta el estudiante por primera vez con expresiones similares.

Al revisar los programas tradicionales de matemáticas de la educación secundaria, encontré que la secuencia se presenta aproximadamente así:

1. A partir de grado séptimo, con el aprendizaje del teorema de Pitágoras, modelo gráfico (Figura N° 1)

Fig. Nº 1

18

Se generan las áreas de los cuadrados A, B y C y se establecen relaciones entre ellas y no entre las medidas de las longitudes de los lados del triángulo. Un estudiante identifica relaciones como:

22 c=b+a 2 y/o c=b+a 22

2. En grado octavo se le hace ver al estudiante que: cb+a ≥ .

Además, dentro del tema "Productos notables", el estudiante empieza a manejar expresiones de la forma:

22 b+b+a=b)+(a ⋅2a2

3. En grado noveno se trabajan propiedades y ejercicios con exponentes racionales y se le presentan expresiones como:

21

b)+(a y /o 21

2 )b+(a 2

4. En grados décimo y undécimo, el estudiante trabaja con diferentes situaciones en las que puede relacionar entre otros los siguientes conceptos: la jerarquía de las operaciones, la propiedad distributiva, el cuadrado de un binomio, el teorema de Pitágoras, la suma de las medidas de los catetos y la medida de la hipotenusa y los exponentes racionales.

Para prevenir el error considerado en este artículo, las situaciones de enseñanza que el profesor le proponga al estudiante deben considerar aspectos tales como:

• las relaciones entre los conceptos matemáticos nuevos y los conceptos trabajados previamente,

• la integración entre la representación geométrica y la algebraica,

• las diferencias entre la dimensión cuadrada (área) y la dimensión lineal (longitud).

De esta manera, quizás sea posible que los estudiantes en la universidad no cometan este error.

Para corregir, empecé por aceptarlo ante los estudiantes, quienes lo explican así:

b+a=b+a=b+a 2 222

Luego les presenté el siguiente ejercicio con el propósito de que justificaran los planteamientos tercero y quinto:

19

Planteamiento Justificación

1 4 + 5 = 9 Clausurativa de la suma en R

2 954 22 =+ Propiedad de la radicación

3 954 22 =+ ?

4 92516 =+ Definición de Potenciación

5 941= ?

Después de una reflexión individual los estudiantes manifestaron los siguientes puntos de vista:

• El planteamiento 5, es falso porque se cometió un error en el planteamiento 3.

• Dado que la raíz no se puede distribuir entonces, b+ab+a 2 ≠2 .

• Debe resolverse siempre primero lo que hay dentro de la raíz.

Conclusión

Fue ventajoso enfrentar al estudiante con el análisis de las situaciones presentadas porque se parte de una igualdad que relaciona tres números determinados, y al aceptar en el planteamiento 3 el error y transformar la correspondiente expresión se llega a una expresión evidentemente falsa, lo que permite que el estudiante empiece a desconfiar de que se cumpla la relación:

b+a=b+a 22

El trabajo con otros ejemplos en donde no se cumple la relación, permitieron al estudiante asimilar que tal igualdad no se da.

20

LECTURA N° 22 OPERACIONES CON RADICALES Material tomado con fines instruccionales de:

Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

Si se desea encontrar los valores de equis ( x ) que satisfacen la igualdad 42 =x , estos son los números 2 y -2 , este hecho se puede comprobar elevando al cuadrado los valores dados y da como resultado 4. A los valores de una incógnita, en este caso x , que satisfacen una igualdad se les denominan raíces, entonces en el caso particular que se trató se puede decir que, equis ( x ) es igual a la raíz cuadrada de 4, y se denota así:

⇒42 =x 4=x .

Se utiliza el símbolo para indicar un radical. Generalizando, vemos que l a expresión n xm

se lee raíz enésima( n ) de equis( x ) a la eme(m ) y sus partes son:

es el signo radical

mx es la cantidad sub-radical

n es el índice del radical. Este debe ser un número entero positivo mayor que uno.

Las raíces surgen como una forma alterna de expresar y resolver potencias, tal como se

mostró en el ejemplo anterior. Ahora piense si se quiere resolver una potencia de exponente

fraccionario, como por ejemplo: 32

4 , resultaría un poco difícil multiplicar 4 (la base) por si

misma 2/3 de veces (el exponente), tal como indica la regla para resolver potencias,

considerando que 2/3 no llega a ser ni siquiera una vez completa. Las raíces ayudan a resolver

este tipo de problema, una potencia de exponente fraccionario se puede escribir como raíz, es

decir, si tenemos nm

x esto es igual a n xm .

De aquí se puede generalizar que la expresión sub-radical consta de una base y un exponente. Para convertirlo en potencia con exponente fraccionario consideramos:

• La base de la potencia es la base de la expresión sub-radical ( x ).

• El numerador del exponente fraccionario es el exponente de la base en la cantidad sub-radical (m ) y su denominador es el índice del radical ( n ).

21

Las raíces más utilizadas son las que se leen como:

• Raíz cuadrada ( ), cuando en el índice no se escribe ningún valor, se

sobreentiende que es dos (2)

• Raíz cúbica ( )3

• Raíz cuarta ( )4

• Raíz quinta ( )5

Y así sucesivamente, observe que la lectura de la raíz depende del número que se encuentre en el índice.

Veamos los siguientes ejemplos

1. Exprese las siguientes potencias en radicales:

(a) 4 331/4 =

(b) ( ) 5 31/53 x=x=x 3/5

(c) ( ) ( )5 33/53/53/5 ab=ab=ba

(d) 4.7 525/42/7 yx=yx

Ejemplo 2: Ahora expresamos los siguientes radicales como potencias:

(a) 7/47 34 3 =

(b) ( ) ( )3/2333 ab=ab=ba

Antes de convertir en radical se resolvió el producto de potencias de igual exponente.

Fíjese que en este ejemplo, se representó cada potencia como un radical distinto ya que los exponentes no son iguales.

En este ejercicio se utilizó una de las propiedades de lapotencia. También observe que cuando el índice de laraíz es dos (2), éste no se escribe.

Observe, que antes de convertir en radical se resolvió la potencia de potencia.

22

Se considera el caso particular cuando 1=m , podemos definir la siguiente equivalencia:

nr=xsisoloysirnx = EQ. 1

Ejemplo 3: Hallar el valor de la variable x , que cumplan la igualdad: 23 =x

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que:

3223 =x=x ⇔ , es decir 8=x .

Respuesta: 8=x .

Ejemplo 4: Hallar el valor de la variable x , que cumpla la igualdad: 34 =x


4334 =x=x ⇔ , es decir 81=x .

Respuesta: 81=x .

Ejemplo 5: Hallar el valor de la variable x, que cumplan la ecuación: 124x =


2124x124x == ⇔ ; 364

1441444x =x=x= ⇒⇒ .

Respuesta: 36=x .

Criterio de existencia de la raíz n -ésima de un número, n x :

La raíz n -ésima de un número no siempre es única: en el caso de 4 , se tiene que 2 y

2− son raíces cuadradas de 4 ; para evitar ambigüedades cuando escribimos 4 nos

referimos a la raíz positiva de 4 y para referirse a la raíz negativa, se escribe: 4− .

(a) Si el índice n es par y x es positivo, existen dos raíces n -ésimas reales de x , una

positiva y otra negativa. Pero la expresión n x sólo está referida a la positiva. Es decir,

las dos raíces n -ésimas de x son n x y n x− .

23

Sin embargo, los números reales negativos no tienen una raíz real de índice par.

Por ejemplo, 81 tiene dos raíces cuadradas, 9 y 9− , pues 92= 81 y ( ) 819 2 =− , y el

número 23 tiene dos raíces cuartas 4 23 y 4 23− . Sin embargo, 36− no tiene raíz

cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da 36− . Por lo mismo, –23

no tiene raíz cuarta.

(b) Si el índice n es impar, cualquiera sea el número real, x , positivo o negativo, tiene

una única raíz n -ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de 27− es

3− , y 42 tiene una única raíz cúbica denominada 3 42 .

Propiedades de los Radicales:

El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto.

Esta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales:

Ejemplo 6: Escriba el siguiente producto de raíces 5 3y5 2x ⋅ como la raíz de un producto.

Como es un producto de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez, manteniendo el mismo índice y se expresan las cantidades sub-radicales como un producto

5 2x.3y5 3y5 2x =⋅ = 5 6xy

Respuesta: 5 3y5 2x ⋅ =5 6xy

El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente.

Esta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales:

n ba=n bn a ⋅⋅

nba=

n b

n a

24

En este caso, se tiene la potencia de una potencia.

Ejemplo 7: Escriba el siguiente cociente de raíces 5 3y

5 6x como una la raíz de un cociente.

Como es un cociente de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez manteniendo el mismo índice, y se expresan las cantidades sub-radicales como un cociente.

53y6x

5 3y

5 6x = = 5 2xy

=5 2 1xy −

Respuesta: 5 3y

5 6x=5 2 1xy −

Potencia de una raíz:

Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a potencias que tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas las propiedades de la potenciación.

Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical la cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir:

Ejemplo 8: Resolver 3

23 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ x

323 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ x = ( )3 32x = 3 6x

Respuesta: 3

23 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ x = 3 6x

Vamos a explicar el procedimiento para el caso donde la base es un producto de factores, con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 9: Resolver ( )534 xy

( )534 xy = ( )4 53xy

= 4 515xy

Respuesta: ( )534 xy = 4 515xy

n a=n a mm

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

25

Raíz de una raíz:

Esta propiedad se refiere a que bajo un signo radical puede existir otro signo radical, como por

ejemplo 7 y o varios como 5 4 2z . Resolver esto es muy fácil, sólo se deben multiplicar los

índices de los radicales y escribir un nuevo radical con este resultado como índice y se

conservan las cantidades sub-radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la siguiente

forma:

Ejemplo 10: Resolver 3 35ba

Para la expresión 3 35ba , multiplicamos los índices de los radicales dados (3.2=6) y este será el nuevo índice del radical resultante y la cantidad sub-radical se conserva.

Respuesta: 63 3535 ba=ba

Extracción de Factores de un Radical

Extraer factores de un radical significa sacarlos de la raíz. Para que sea posible extraer factores de un radical, es necesario que la cantidad sub-radical sea expresada como factores en forma de potencia y que los exponentes de los factores sean iguales o mayores que el índice del radical. El proceso para extraer factores de una raíz es el siguiente:

Paso 1: se descomponen en factores primos la cantidad sub-radical.

Paso 2: se toman aquellos factores cuyo exponente es mayor o igual al índice de la raíz y se divide el exponente de cada uno de esos factores entre el índice de la raíz. El cociente de la división representa el exponente de la base que se extrae y el residuo es exponente de la base que queda dentro de la raíz.

Veamos a continuación un ejemplo:

Ejemplo 11: Extraiga del radical 3 47 los factores que sean posibles:

Paso 1: Como existe un solo factor, se divide el exponente de la cantidad sub-radical entre el índice de la raiz:

237 =÷ y residuo 1

mn a=n m a ⋅

26

Se descompone 3125 en sus factores primos y se expresa como potencia.

Se expresa 55como multiplicación de

potencias de igual base, tal que por lo menos uno de los exponentes sea igual al índice de la raíz.

Simplificamos los exponentes.

Paso 2: Esto nos indica que el factor 4 se extrae de la raíz con exponente 2 y queda dentro con exponente 1: 3 442 ⋅

Respuesta: 3 47 = 3 442 ⋅

Ejemplo 12: Extraiga del radical 3 3125 3x los factores que sean posibles.

Paso 1: Se descomponen en factores primos los factores de la cantidad sub-radical

3 3125 3x 3 5 35 x=

Paso 2: En este caso se divide 5 (exponente del factor de base 5) entre 3 (índice de la raíz), de donde el cociente es uno, este representa el exponente de la potencia con base 5 que se extrae de la raíz, es decir, la potencia 51=5. El residuo de la división es dos, y representa el exponente de la potencia con base 5 que se queda dentro del radical, lo cual es equivalente a la potencia 52=25.

Por otro lado tenemos que el otro factor es 3x , entonces dividimos el exponente 3 de la potencia x3 entre el índice 3 de la raíz, el cociente es uno y el residuo cero (0), eso significa que se extrae la potencia de base “ x ” con exponente uno (1), es decir, la potencia 1x = x , y no queda ninguna potencia con base x dentro del radical.

Respuesta: 3 3125 3x 3 55x 2=

Otra forma de extraer factores de un radical

Para resolver este tipo de ejercicios, como el Ejemplo 11:, de manera alterna, debemos conocer las propiedades de los radicales.

Ejemplo 13: Extraiga del radical 3 3125 3x los factores que sean posibles.

3 3125 3x

3 5 35 x=

=3 55 323 x

= 33 53 5 323 x⋅⋅ 33

32

533

5 x= ⋅⋅

27

Factorizamos la cantidad sub-radical, observe que ahora es un producto notable.

En la cantidad sub-radical se tiene una suma algebraica y no un producto.

Se descompone “8” en sus factores primos: 23

Extracción de factores del radical

11 32

55 x= ⋅⋅ = 3 55x 2

Respuesta: 3 3125 3x = 3 255x ⋅

Ejemplo 14: Extraiga del radical 623x y los factores que sean posibles.

En este ejercicio, el factor “3” no se puede descomponer en factores primos (ya que es un número primo), mientras que para los otros factores, el exponente de la variable x es 2 y el de la variable y es 6, ambos exponentes pueden ser divididos de forma exacta entre el índice de la raíz, 2.

33x 62 3xy=y

Ejemplo 15: Extraiga del radical 3 8x 43 y los factores que sean posibles.

3 8x 43 y 3 2 433 yx=

= 32 yxy

Respuesta: 3 8x 43 y = 32 yxy

Observación: Cuando la cantidad sub-radical es una suma algebraica no se puede extraer factores, pues no están expresados como factores sino como sumandos. En caso de ser posible, aplicamos algunas reglas algebraicas para expresarlo como factores o potencias. Hay que recordar que factores son todas aquellas expresiones que se multiplican. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 16: Extraiga del radical 22 4b4 +ab+a los factores que sean posibles.

22 4b4 +ab+a

( )22b+a=

( )22b+a= = 2b+a

Respuesta: 22 4b4 +ab+a = 2b+a

28

Introducimos el factor 4x3 en el radical 7 2x 62 y

Convertimos 4= 22y multiplicamos

potencias de igual base.

Multiplicamos los índices de los radicales.

Introducción de factores en un radical:

Para introducir un factor en un radical, se escribe este factor dentro de la raíz elevado al índice del radical, manteniendo en el resultado el mismo índice.

Ejemplo 17: Dada la expresión 52a ab⋅ , introduzca el factor en la raíz

Se introduce el factor dentro del radical: ( )5 2a52a 5 ab=ab⋅

Se resuelven las potencias: 5 32 5aba= 5 32 6ba=

Respuesta: 5 3252a 6ba=ab⋅

Ejemplo 18: Resuelva 5 7 2x4x 623 y

En este caso no se pueden multiplicar directamente los índices, pues entre las dos raíces hay una expresión. El primer paso debe ser introducir la expresión en la raíz más interna, esto se hace elevando la expresión al índice del radical.

En este caso debemos introducir 34x en la raíz 7 2x 62 y , por lo tanto se eleva 34x a la 7, así nos queda: ( )734x .

5 7 2x4x 623 y = ( )5 7 2x4x 6273 y

=5 7 2x4 62217 yx =5 7 2 62315 yx

=35 2 62315 yx

Observe que en este caso no se pueden extraer factores del radical, ya que las potencias de los factores son menores que el índice de la raíz.

Respuesta: 5 7 2x4x 623 y = 35 2 62315 yx

Nota:

Sólo se puede introducir factores en una raíz, no sumandos, es decir si tenemos

5 2x4x 623 y+ , 34x no es un factor, es un sumando (un término), por lo tanto no se puede introducir dentro de 622x y .

29

Son radicales semejantes.

Factor común 3 x

Sumar los coeficientes.

Adición y Sustracción de Radicales:

Para sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser semejantes.

43 x y 47 x− Son radicales semejantes: ya que el índice es 4 y la cantidad sub-radical es x .

35 x y 62 x No son radicales semejantes: porque los índices de los radicales son distintos, aunque la cantidad sub-radical es la misma.

72 x y 72 y

No son radicales semejantes: porque las cantidades sub-radicales son distintas, aunque los índices de los radicales son iguales.

12 3x4 2⋅ y 12 3x5 2⋅

Son radicales semejantes: observe que los coeficientes pueden ser diferentes, pero la cantidad sub-radical y el índice de cada una de las raíces son iguales.

Una vez que hayas aprendido los conceptos de radicales semejantes, puedes seguir los pasos siguientes para sumar o restar radicales:

Paso 1: Verifica que los radicales sean semejantes. Si a simple vista no lo son, trata de extraer factores o realizar algunas operaciones indicadas hasta comprobarlo, si es posible.

Paso 2: Conserva igual la parte radical de las expresiones a sumar (o restar). Luego suma (o resta) los coeficientes, al hacer esto sólo estás factorizando la expresión por factor común.

Ejemplo 19: Resolver 3735 x+x

3735 x+x

= ( )375 x+

= 312 x

Definición: Dos ó más radicales son semejantes cuando poseen el mismo

índice y la misma cantidad sub-radical, por ejemplo:

30

Son radicales semejantes y extraemos el factor común.

Agrupamos términos semejantes.

Extraemos factor común de cada agrupación y sumamos los coeficientes.

Respuesta: 3735 x+x = 312 x

Nota:

En estos ejercicios, podrás aplicar el proceso de factorización obviando su escritura, y sumar los coeficientes directamente, es decir: 3735 x+x = 312 x .

Ejemplo 20: Resuelve y+yy54

32

46

−

y+yy54

32

46

− = y+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

54

32

46

= y+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

60484090

= y6098

= y3049

Respuesta: y+yy54

32

46

− = y3049

Ejemplo 21: Resuelve 3 22543 26510 −− y+y

3 22543 26510 −− y+y

= ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −− 3 223 2654510 +yy

= ( ) ( ) 3 2265410 −− +y = 3 2456 +y

Respuesta: 3 22543 26510 −− y+y = 3 2456 +y

Multiplicación y división de radicales con índices diferentes

Cuando los índices de los radicales son diferentes, procedemos a realizar los siguientes pasos:

Paso 1: Se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices, llamado mínimo común índice (m.c.i.), el cual va ser el nuevo índice de cada raíz.

31

Multiplicación de radicales de igual índice

Extracción de factores de un radical

Paso 2: Se divide el m.c.i. entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el

exponente de la expresión sub-radical de cada raíz.

Paso 3: Así obtenemos un producto (o división) de raíces de igual índice y terminamos de

resolver el ejercicio.

Ejemplo 22: Resuelva 5 7x.3 32 yxy

Para resolver el siguiente ejemplo, seguimos las instrucciones siguientes:

Paso 1: Se calcula el mínimo común índice, m.c.i (2,5)= 10. Este es el nuevo índice de cada

raíz, por lo tanto los radicales quedan así 10.10 .

Paso 2: Se divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el

exponente de cada cantidad sub-radical.

= ( ) ( )10 7x.10 3 5:1032:210 yxy = ( ) ( )10 7x.10 3 2325 yxy

Paso 3: Ahora tenemos una multiplicación de raíces de igual índice, terminamos de resolver el

ejercicio.

= ( ) ( )10 7x.10 3 2325 yxy = 10 7.10 3 642555 yxyx

=10 73 11925 yx

= 10 73 925 yxy

= 10 49243 9 yxy ×

= 1011.907 9 yxy

Respuesta: 5 7x.3 32 yxy = 1011907 9 yxy

32

el m.c.i.(3,12) = 12

Por conversión a radicales de igual índice

Se descompone 9 = 32 y se aplica la propiedad de potencia de potencias:

( )( )8424 339 ==

Por división de radicales de igual índice

División de potencias de igual base


Ejemplo 23: Resuelva 12 3y

3 9z6

En la división se utiliza el mismo procedimiento que en la multiplicación.

12 3y

3 9z6

=( )

12 3y

12 9z 46

=12 3y

12 9 244 z=12

3y9 244 z

=123y

3 248 z

=12 3 247

yz

= 12 372

yz ⋅

= 12 2.1872

yz ⋅

Respuesta: 12 3y

3 9z6

= 12 2.1872

yz ⋅

Ejemplo 24: Resolver 3

23.42 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅ zxy

323.42 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ zxy = ( ) 3

233 3.42 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ zxy = ( ) .42

323 xyz = ( )48z 32 xy = 48z 332 yx⋅

33

Respuesta: 3

23.42 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ zxy = 48z 332 yx

Ejercicios propuestos:

1. Aplica las propiedades de la radicación a los siguientes ejercicios:

a) 4 274 244 2x 7223 yxyxy ⋅⋅

b) 51024

5 32127

23

ta

ta

c) 6144

6 8x6 3x75

2423

yx

yy ⋅

d) 7 2563 81

3 3a7 8a3735

5425

baba

bb

⋅

⋅

e) ( ) ( )

( ) 226

436

323

9 81

9 8x4 3x

yx

yy ⋅

f) 32773

575

347

5 258 36

8 3a5 6a

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

baba

bb

g) 4 3144

3 4 9x2

43

yx

y

h) 4 49

4 3435 6121

75

3

322

72

ba

bata ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Justifica cada paso, indicando la propiedad que aplicaste.

2. Introduce los factores posibles dentro de los radicales:

a) 42 2 yxxy5 ⋅ c) 42237 xybaab5 ⋅

b) 9 8x 3642 yxy ⋅ d) 3542 16911 yxxy ⋅

3. Indica cuáles de los siguientes radicales son semejantes, aplicando la extracción de factores en un radical

34

a) 4164x 1573 yx⋅ ;

b) 4

4 512

3x

3

5

2

y

xy⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

;

c) ( )127 563 yx⋅ ;

d) ( )4 9x9 35 y⋅ ;

e) ( ) 3

146x 3105

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ yx ;

f) 454 3 9xyx ⋅

4. Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando el procedimiento para la multiplicación y división de radicales con diferentes índices:

a) 334 3x3 2x4 yyxy ⋅⋅

b) 10 5x3 2x5 3x 325223 yyy ⋅⋅

c) 4

5

53

43

ta

ta

d)35

4225

9x

3 4x6 2x

y

yy ⋅

e) 3

147

3753

5325

baba

baba

⋅

⋅

5. Resuelva las siguientes operaciones:

a) 22 mnmn+nnm 4169m2 22 −− b) 6125.4 25 232 xyx

c) 1544x99x −−−− x+ d) 4 3x618 322543 zy÷zyx

e) ( )( )x+a+ax+aa 3223 −

35

Multiplicación de radicales


LECTURA N° 23: EXPRESIONES CONJUGADAS Material recopilado con fines instruccionales por:


Expresiones Conjugadas

La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que permite extraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la expresión es un monomio o un binomio, veamos algunos ejemplos:

Caso A. La conjugada de un monomio: La conjugada de una expresión radical monómica es un radical con el mismo índice y los mismos factores de la expresión sub-radical, de tal manera que los exponentes de estos factores son:

i. La diferencia entre el exponente del factor y el índice en caso de ser este último mayor; o

ii. La diferencia entre el múltiplo del índice que sea inmediatamente mayor al exponente del factor y este último, en caso de ser el índice menor.

Aclararemos esto con algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Hallar la conjugada de 4 23 yx

Observa que en la expresión 4 23 yx los exponentes de “ x ” y “ y ” son 3 y 2 respectivamente (menores que el índice de la raíz) y en la conjugada se eligen como exponentes de “ x ” y “ y ” a 1 y 2 respectivamente, es decir el exponente de “ x ” es igual a 4 – 3 = 1 y el exponente de “ y ” es igual a 4 – 2 = 2.

Luego la conjugada de 4 23 yx es 4 2xy , ya que al multiplicar las dos expresiones se elimina la raíz:

4.4 23 2xyyx

Expresión conjugada

Expresión original

= 4 44 yx = xy

Respuesta: La expresión conjugada de 4 23 yx es 4 2xy

36

Ejemplo 2: Hallar la expresión conjugada de 6 75 yx

El exponente del primer factor, “ x ”, es 5, menor que el índice de la raíz (6), luego aplicamos el

caso (i), en la conjugada el factor “ x ” tendrá un exponente igual a la diferencia del índice de la

raíz y el exponente de x , es decir, 6 - 5 = 1. El segundo factor, “ y ”, tiene un exponente igual

a 7, mayor que el índice de la raíz, por lo tanto el exponente del factor “ y ” (caso ii) en la

expresión conjugada, será la diferencia de un múltiplo de 6 (inmediatamente mayor a 7) y el

exponente del factor “ y ”, es decir, 12 - 7 = 5.

Respuesta: Luego la expresión conjugada de 6 75 yx es 6 5xy .

Una alternativa para hallar la conjugada de un monomio, cuando el exponente de uno de los factores es mayor que el índice de la raíz, será extraer de la raíz los factores posibles y luego aplicar el caso (i) para hallar la expresión conjugada del radical resultante. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3: Hallar la expresión conjugada para 3 134 yx

Primero extraemos los factores de la raíz 3 134 yx

3 134 yx = 3 123 yyxx = 34 yxyx ⋅ ;

ahora hallamos la conjugada de 3 yx , que es 3 22 yx

Respuesta: La conjugada del monomio 3 134 yx es 3 22 yx

Ejemplo 4: Hallar la conjugada de la expresión ( )5 5 2−x .

La conjugada de la expresión ( )5 5 2−x es ( )5 5 3−x .

Fíjate que sólo la cantidad sub-radical es un binomio, la expresión como tal ( )5 5 2−x es un monomio (Si olvidaste lo que es un monomio y binomio, consulta la Unidad 2).

Nota:

En general, cuando tenemos un solo radical, la conjugada de dicha expresión se trata como un monomio, independiente de la característica de la cantidad sub-radical.

Ejemplo 5: Hallar la conjugada de la expresión 4 4+t

37

Como estamos ante un monomio (aunque la cantidad sub-radical es un binomio) para hallar la conjugada tomamos la cantidad sub-radical como un solo elemento, que en este caso es t+4 con exponente 1, por lo tanto su conjugada sería: 4 4 3)+(t

Respuesta: La conjugada de 4 4 )+(t es 4 4 3)+(t

Ejemplo 6: Hallar la conjugada de la expresión h+x 2

La conjugada de h+x 2 es ella misma, es decir, cuando el índice de la raíz es 2 y es la raíz cuadrada de una expresión (monómica, binómica o polinómica), su conjugada es ella misma. Por lo tanto:

Respuesta: la conjugada de h+x 2 es h+x 2 .

Ejemplo 7: Hallar la conjugada de la expresión 5 1 2h)++(x

Para hallar la conjugada de 5 1 2h)++(x observamos que tenemos como cantidad sub-radical, un trinomio con exponente 2, por lo tanto la conjugada será la raíz quinta del trinomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del trinomio, es decir, la conjugada será:

5 1 25−h)++(x =5 1 3h)++(x

Respuesta: La conjugada de

5 1 2h)++(x es 5 1 3h)++(x

Ejemplo 8: Hallar la conjugada de la expresión 6 2 zh)(x −−

Como sólo aparece un radical, atenderemos a la nota del Ejemplo 4:. Para hallar la conjugada de 6 2 zh)(x −− observamos que tenemos como cantidad sub-radical un binomio, dos términos 2h)(x − ,y z y el exponente del binomio es 1, es decir, ( )12 zh)(x −− . Por lo tanto la conjugada será la raíz sexta del binomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del binomio:

6 162 −−− z)h)((x = 6 52 z)h)((x −−

Respuesta: La conjugada de 6 2 zh)(x −− es 6 52 z)h)((x −−

Caso B. La conjugada de un binomio: en los siguientes casos, tendremos al menos un radical como parte de un binomio en la expresión.

38

Para expresiones binómicas con radicales de índice dos (2), tales como b+a y ba − , aplicaremos el producto notable de la suma por la diferencia para obtener la

diferencia de los cuadrados de los términos ( ) ( )( )2yx=y+xyx 2 −⋅− y así eliminar las raíces:

i. La conjugada de b+a es ba − ya que al multiplicar las dos expresiones,

ba=)b()a(=)ba()b+a( −−−⋅ 22

ii. Así mismo la conjugada de ba − es b+a , al multiplicarlos:

ba=)b()a(=)b+a()ba( −−⋅− 22

Observa que para las expresiones binómicas con radicales de índice 2, su conjugada contiene los mismos términos pero, cambiando el signo de la operación entre ellos.

Ejemplo 9: Hallar la expresión conjugada de 32x + y comprobar su respuesta.

La expresión conjugada de 32x + es 32x −

Veamos ahora el producto entre ellas:

( 32x + ) )( 32x − =

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )332x332x2x2x ⋅−⋅⋅−⋅ +

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2232x332x2x −⋅⋅− +

= ( ) ( )2232x − = 32x −

Respuesta: La conjugada de 32x + es 32x − y el producto ( 32x + ) )( 32x − = 32x −

Ejemplo 10: Hallar la expresión conjugada de 57 − y comprobar su respuesta.

La expresión conjugada de 57 − es 57 +


( 57 − ) )+( 57 =

= ( ) ( )2257 − = 257 =−

Ejemplo 11: Hallar la expresión conjugada de 3z+xy y multiplicarlas entre sí

39

Observa que uno de los términos del binomio es un radical, mientras que el otro término no

tiene radical, entonces:

la conjugada de 3z+xy es 3z−xy .


( 3z+xy ) )xy( 3z−

= ( ) ( )223z−xy = 29z−xy

Para expresiones binómicas con radicales de índice tres (3), tales como 33 ba − y

33 b+a aplicamos los siguientes productos notables:

32 yx=)y+xy+(xy)(x 32 −⋅− y 332 y+x=)y+xy(xy)+(x −⋅ 2

i. La conjugada de 33 ba − es 333 22 b+ba+a ⋅ ,

Pues al multiplicar las dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

⋅− )ba( 33 )b+ba+a( 333 22 ⋅ = ba=)b()a( −− 33 33

ii. Así mismo la conjugada de 33 b+a es 333 22 b+baa ⋅−

y al multiplicarlos:

( 33 b+a ) )b+baa( 333 22 ⋅− = b+a=)b(+)a( 33 33

Ejemplo 12: Hallar la expresión conjugada de 3 2z3 5x − y multiplicarlas entre sí.

La conjugada de 3 2z3 5x − es 3 2z3 2z5x3 5x 22 )(+)()(+)( ⋅ .


( 3 2z3 5x − ) ))(+)()(+)(( 3 2z3 2z5x3 5x 22 ⋅

Aplicamos la propiedad distributiva del producto y nos queda:

= 3 2z3 2z5x3 2z5x3 2z5x3 2z5x3 5x 322223 )()()()()()()(+)()(+)( −⋅−⋅−⋅⋅

40

Simplificamos los términos semejantes y nos queda:

= 3 2z3 5x 33 )()( − = 2z5x −

Ejemplo 13: Hallar la expresión conjugada de 33 xa+x − .

La conjugada de 33 xa+x − es 333 22 (x)+(x)a)+(x+a)+(x ⋅ .

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:

( 33 xa+x − ) )(x)+(x)a)+(x+a)+(x( 333 22 ⋅

a=xa)+(x= −

Para expresiones binómicas con radicales de índice cuatro (4), tales como 44 ba − y

44 b+a aplicamos los siguiente productos notables:

43 yx=)y+xy+yx+(xy)(x 4322 −⋅− y

4323 yx=)yxy+yx(xy)+(x 42 −−−⋅

i. La conjugada de 4�a− 4�b es 4444 3223 b+ba+ba+a ⋅⋅ , pues al multiplicar las

dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

( )44 ba − )b+ba+ba+a( 4444 3223 ⋅⋅

= ba=)b()a( −− 44 44

ii. Así mismo la conjugada de 44 b+a es 4444 3223 bba+baa −⋅⋅− y al

multiplicarlos:

( 44 b+a ) )bba+baa( 4444 3223 −⋅⋅−

= ba=)b()a( −− 44 44

Ejemplo 14: Hallar la expresión conjugada de 4 3x4 13x −+ .

La conjugada de 4 3x4 13x −+ es 4 3x4 3x13x4 3x13x4 13x 3223 )(+))(+(+)()+(+)+(

41

Se multiplica y divide por la conjugada del denominador.

Multiplicación de fracciones.

Multiplicación de radicales de igual índice en el denominador.

Extracción de factores en el denominador.

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:

( 4 3x4 13x −+ ) ))(+))(+(+)()+(+)+(( 4 3x4 3x13x4 3x13x4 13x 3223

13x13x =)+(= −

Racionalización

Racionalizar significa eliminar la presencia de radicales bien sea en el numerador o en el denominador, utilizando procesos matemáticos. Este proceso (racionalización) en principio requiere que la expresión dada sea multiplicada y dividida por la conjugada del numerador o denominador (depende de cuál de estas partes se quiera racionalizar). Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 15: Racionaliza el denominador de 3 2

1

ab y simplifica el resultado de ser posible.

3 2

1

ab= 3 2

1

ab.3 2

3 2222

222

ba

ba

3 2.3 2

3 21.222

222

baab

ba=

3 2

3 2333

222

ba

ba=

=abb

2

3 4a 22

Respuesta: 3 2

1

ab =

abb

2

3 4a 22

Ejemplo 16: Racionaliza el denominador de4 2x1

3x2

2

− y simplifica el resultado de ser posible.

42

Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

Extracción de factores

Para racionalizar la expresión 4 2x1

3x2

2

− tenemos que dividir y multiplicar por la conjugada del

denominador, que es un monomio.

4 2x1

3x2

2

−=

4 2x1

3x2

2

−.

( )( )4 2x1

4 2x132

32

−

−

= ( )

( )4 2x1

4 2x13x42

322

−

− =

( )2

322

2x1

4 2x13x−−

Respuesta: 4 2x1

3x2

2

− =

( )2

322

2x1

4 2x13x−−

Ejemplo 17: Racionaliza el denominador de 54

2x62

2

yx

xy y simplifica el resultado de ser posible.

Para racionalizar la expresión 54

2x62

2

yx

xy, aplicaremos los siguientes pasos:

=54

2x62

2

yx

xy.5

543

43

yx

yx

=54

102x105

86552

yx

yxyx

⋅

⋅ = 2xy

yx4

102x 13112 ⋅

= 2

3

xyxyxy

4

102x 2 ⋅

= 2

3

xyxyy

4

102x 3 ⋅ =

2y

102 3xyx

Respuesta: 54

2x62

2

yx

xy =

2y

102 3xyx ⋅

43

Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador.

Se aplica la propiedad distributiva en el numerador y se resuelve el denominador.

Por ser 23 8=

Ejemplo 18: Racionaliza el denominador 23

2−

y simplifica si es posible.

232−

=23

2−

.2323

++

=( )

( ) ( )2323232+

+−

=22 23

226−

+29

226−

⇒+

=7

226+

Respuesta: 23

2−

=7

26 +

Ejemplo 19: Racionaliza el denominador 3 32

3 33

+

−, simplifica si es posible.

Primero convertimos el denominador como un binomio de raíces con el mismo índice:

3 33 83 32 +=+ , entonces nos queda:

3 32

3 33

+

−=

3 33 8

3 33

+

−

=3 33 8

3 33

+

−.

)+(

)+(3 33 383 8

3 33 383 822

22

⋅−

⋅−

=)+()+(

)+()(3 33 383 83 33 8

3 33 383 83 3322

22

⋅−⋅

⋅−⋅−

33 3 33 8

3 93 33 243 33 643 33 933 2433 643

)(+)(

)++(= ⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅

Multiplicación de radicales y extracción de factores:

43 43 64 3 == y 3 323 33 23 323 383 24 33 ⋅⋅⋅⋅ ====

44

Se agrupan los términos semejantes

38

3 933 24343 33 933 32343+

)++(= ⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅

1133 923 343 933 3612 )++(= −⋅⋅−⋅⋅−

11

3 953 3109 )+(= ⋅⋅−

Respuesta: 3 32

3 33

+

−

11

3 953 3109 )+(= ⋅⋅−

Ejemplo 20: Racionaliza el numerador de x+x 33 −

, simplifica si es posible.

x+x 33 −

=x+x 33 −

3333

++x++x

( )( )( )33

3333++xx

++x+x= − =

22

3x33)3(

++xxx( −+

=3x3

93++xx

+x − =

3x36++xx

x −

Respuesta: x+x 33 −

=3x3

6++xx

x −

Ejemplo 21: Racionaliza el numerador ( )

h+x+h+x 11 22 −


Multiplicamos y dividimos la expresión ( )

h+x+h+x 11 22 −

, por la conjugada del

numerador.

Este es el signo que cambia, no el signo que está

bajo el radical

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador.

45

Factorizamos y simplificamos

Es conveniente comenzar por descomponer en factores primos, la cantidad sub-radical, 27 = 33.

( )

h+x+h+x 11 22 −

=( )

h+x+h+x 11 22 −

.( )( ) 11

1122

22

+x++h+x

+x++h+x

=( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−

11

1122

22

22

+x++h+xh

+x+h)+(x =

( )( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−

11

1122

22

+x++h+xh

)+(x+h+x

Desarrollamos el producto notable 2h)+(x en el numerador

=( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−−

11

11222

22

+x++h+xh

x+h+xh+x 2

=( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 11

222 +x++h+xh

h+xh 2

=( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 11

2x22 +x++h+xh

h+h =

( ) 11

2x22 +x++h+x

h+

Respuesta: ( )

h+x+h+x 11 22 −

=( ) 11

2x22 +x++h+x

h+

Ejemplo 22: Racionaliza el numerador de12

4 27, simplifica si es posible.

12

4 27

Se multiplica y se divide por la conjugada del numerador y se realizan las operaciones sobres

los radicales.

=12

4 33

. 4 3

4 3 = 4 312

4 34

= 4 312

3 = 4 34

1

Respuesta: 12

4 27= 4 34

1

46

Ejemplo 23: Racionaliza el numerador de 2

4 34 5+x+x −


Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador de la expresión

.2

4 34 5+x+x −

=2

4 34 5+x+x −

.4 34 354 354 5

4 34 354 354 53223

3223

+)+(x+)+(x+)+(x

+)+(x+)+(x+)+(x

⋅⋅

⋅⋅

Se resuelve el numerador:

=)+)+(x+)+(x+)+(x)(+(x

)+)+(x+)+(x+)+(x()+x(4 34 354 354 52

4 34 354 354 54 34 53223

3223

⋅⋅

⋅⋅⋅−

=)+)+(x+)+(x+)+(x)(+(x

))+(x(4 34 354 354 52

4 34 53223

44

⋅⋅

−

=)+)+(x+)+(x+)+(x)(+(x

)+(x4 274 594 534 52

3523 ⋅⋅

−

)+)+(x+)+(x+)+(x)(+(x

)+(x=4 274 594 534 52

223

Se agrupan los términos semejantes y simplificamos

)+)+(x+)+(x+)+(x(=

4 274 594 534 5

123

Respuesta: 2

4 34 5+x+x −

)+)+(x+)+(x+)+(x(

=4 274 594 534 5

123

Ejercicios Propuestos

6. En los siguientes ejercicios racionaliza el denominador de cada expresión.

a)4 255a

13x

b)ba+b+abab+a

−−−

47

c) 2222

−+x++x

d)x+ax+a2

7. En los siguientes ejercicios racionaliza cada una de las siguientes expresiones:

a) 3

313 2+x

x+x+ − b)

3 162x3 1

52 ++x

x

−

−

c) x+4 3x4 4x

d) 16

5 452 −x+x

e) 4 12x4 13x ++

x

−

8. Hallar las conjugadas de las siguientes expresiones radicales:

a) 5 163ba b) 13 835 yx c) 7 3 b+a

d) 8 53 b)+(a e) bb+ −− 3a2a f) 3 3a3 b+a −

g) 2y5x5x +− h) 4 2b4 3a − i) 3 13x3 13x −−+

j) 44 xh+x − k) ( ) 33 3 h+xh+x − l) 43 1 −−x

m) 4 34 4x 3)+(x−

48

BILIOGRAFÍA

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