Guía de Trabajos Prácticos Cálculo II

Clculo II - Anlisis Matemtico IIGua de Trabajos Prcticos

Departamento de Matemtica, U.N.S.L.

Ao 2015

Recuerdos de Algebra Lineal

El sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas, digamos m n;8>>>:a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm(1)

se reescribe matricialmenteAx = b;

donde A 2 Rmn; x 2 Rn1 y b2 Rm1: Ser habitual en este curso identicar al vectorx = (x1; x2; ; xn) 2 Rn con la matriz

x =

2664x1x2xn

3775 2 Rn1;de manera que la operacin matricial Ax = y se puede ver como una aplicacin (lineal) desdeel espacio eucldeo Rn al espacio eucldeo Rm : x 7! y = l (x) = Ax:

Si la matriz A tiene rango m, la aplicacin lineal l es sobreyectiva y, para cada b 2 Rm,el conjunto S de soluciones del sistema (1) es una variedad lineal de dimensin k = nm enRn: Recordemos que una variedad lineal es un subespacio trasladado, que no necesariamentepasa por el origen. Las variedaes lineales de dimensin 1 se llaman rectas, las de dimensin 2planos y las de dimensin n 1 hiperplanos. La solucin de cada una de las ecuaciones (1) esun hiperplano, de modo que la variedad de dimensin nm; solucin del sistema, se realizacomo interseccin de m hiperplanos. El sistema (1) son las ecuaciones implcitas de S.

Otra manera de representar una variedad linal de dimensin k en Rn es como grco deuna funcin afn f de Rk en Rm (m = n k). Tal grco, vive en el producto cartesianoRk Rm.

S = Grf = f(x;y) : y = f (x)g :Si f (x) = Ax + b con A 2 Rmk y b 2Rm, la condicin para que (x;y) 2 S serAx y = b, lo cual, escrito como sistema da8>>>:

a11x1 + + a1kxk y1 = b1a21x1 + + a2kxk y2 = b2

am1x1 + + amkxk ym = bm: (2)

GTP Clculo II - 2015 Cap. 1.- Diferenciacin

Este sistema es del mismo tipo del (2). Ahora la matriz, tambin de m (m+ k) = m n; es2664a11 a1k 1 0 0a21 a2k 0 1 0 am1 amk 0 0 1

3775 :Esto muestra que una representacin explcita, en la que un grupo de variables estn dadasen funcin de las otras, se puede llevar a la forma implcita con facilidad. Pasar de la formaimplcita a la explcita es resolver el istema de ecuaciones.

Una tercera manera de describir una variedad lineal es la forma paramtrica. Si f : Rk ! Rnes una funcin afn, digamos f (x) = Ax+b con A 2 Rnk de rango k y b 2 Rn, la imagende f es una variedad de dimensin k en Rn. En este caso, las ecuaciones paramtricasy = f (x) no dan una condicin que cumple el punto para pertenecer a la variedad, sino quegenera todos los puntos y de la variedad cuando x recorre todos los puntos del dominio.

En cada uno de los casos descritos, cuando se reemplazan las funciones lineales `j (x) =aj1x1 + aj2x2 + + ajnxn por funciones sucientemente regulares fj (x) se obtienen, bajocondiciones que intentaremos encontrar, conjuntos llamados variedades (no lineales). Los dedimensin 1 son curvas, los de dimensin 2 son las supercies y los de dimensin n 1 sellamarn hipersupercies. El primer trabajo prctico trata de ensearnos a imaginar este tipode conjuntos en dimensiones chicas.

1 Diferenciacin

Prctico 1. Geometra de las funciones con valores reales

1. Para las siguientes funciones: trazar las curvas de nivel f(x; y) = c para los valores dec especicados, calcular algunas secciones, y con estos datos, esbozar la grca de cadauna.

a) z = 6 3x 2y, c = 2;1; 0; 1; 2; 3b) z = 4 x2, c = 2;1; 0; 1; 4; 5c) z = 9 x2 y2, c = 2;1; 0; 1; 2; 3; 4d) z = xy, c = 2;1; 0; 1; 2

2. En los siguientes ejercicios, esbozar o describir las supercies en R3 descritas por las ecua-ciones dadas:

a) z = x2

b) x2

9 +y2

16 +z2

25 = 1

c) z2 = y2 + 4

d) y2

9 +z2

4 = 1 +x2

16

2


e) 4x2 3y2 + 2z2 = 0

3. Sea S el plano f(x; y; z) : y = x tan g. Se trata de obtener grcas de las funciones quese detallan abajo a partir de sus intersecciones con planos S. Para ello se recomiendaexpresar z como funcin de r, poniendo x = r cos y y = r sen .

a) (x; y) 7! x2 + y2b) (x; y) 7! x2 y2

4. Describir la grca de cada funcin calculando algunas secciones y curvas de nivel.

a) f (x; y) = tan1 yxb) f (x; y) = jyjc) f (x; y) = max fjxj ; jyjg

5. Usando coordenadas polares:

a) Escribir las ecuaciones de una circunferencia

b) Escribir las ecuaciones de una elipse

c) Describir las curvas de nivel de la funcin

f : R2 ! R; (x; y) 7!8


7. Describir las supercies r = constante, = constante y z = constante en coordenadascilndricas. Lo mismo para % = constante, = constante y ' = constante en coordenadasesfricas.

8. Describir las siguientes supercies paramtricas:

a) 8


5. Comprobar, aplicando la denicin, que los siguientes lmites estn bien calculados.

a) lim(x;y)!(0;0)

px2 + y2sen 1

x2+y2= 0

b) lim(x;y)!(0;0)

xypx2+y2

= 0

c) lim(x;y)!(0;0)

x4yx4+y4

= 0

6. Calcular limx!xo f (x), si es que existe

a) f : Rn ! R;x 7! kxk ; cualquier x0:b) f : R! R2; x 7! x2; ex ; x0 = 1c) f : R2 f(0; 0)g ! R2;x0 = (0; 0)

(x; y) 7!sen (x y) ; x

2 y4x2 + y4

7. Usando que composicin de funciones continuas es continua, probar que

lim(x;y)!(0;0)

senxy

xy= lim(x;y)!(0;0)

sen (x+ y)

x+ y= 1

Prctico 3. Diferenciacin

1. Hallar @f=@x y @f=@y para

a) f (x; y) = exy b) f (x; y) = x3 + 2xy2 +

2. Evaluar las derivadas parciales @z=@x y @z=@y para las funciones dadas en los puntosindicados.

a) z =pa2 x2 y2 en (0; 0) y en (a=2; a=2)

b) z = eax cos (bx+ y) en (2=b; 0)

3. Hallar las derivadas parciales @w=@x y @w=@y:

a) w = x2+y2

x2y2 b) w = exy ln

x2 + y2

4. Para las siguientes funciones, estudiar su diferenciabilidad en todo el dominio (incluidos los

puntos donde no estn formalmente denidas pero se puedan extender continuamente).Indicar en qu puntos son C1.

a) f (x; y) = xy +yx b) f (r; ) =

12r sen 2; r > 0

c) f (x; y) = xypx2+y2

d) f (x; y) = x2y

x4+y2

5


5. Hallar la ecuacin del plano tangente a la supercie z = x2 + y3 en el punto (3; 1; 10) :

6. Hallar la ecuacin del plano tangente a la grca de las funciones del ejercicio 1. en lospuntos que estn exactamente por encima del punto (0; 1)

7. Calcular los gradientes de las siguientes funciones:

a) f (x; y; z) = x expx2 y2 z2 b) f (x; y; z) = z2ex cos y

Calcular las siguientes derivadas direccionales en los puntos y direcciones indicadas.

c) f (x; y; z) = z2x+ y3 en (1; 1; 2) en la dirccin v =1=p5i+

2=p5j

d) f (x; y) = x+ 2xy 3y2 en (1; 2), v =35 i+ 45 je) f (x; y) = ln

px2 + y2, en (1; 0), v =

1=p5(2i+ j)

8. Hallar la ecuacin del plano tangente a z = x2 + 2y3 en (1; 1; 3) :

9. Comprobar que la funcin z = 3px2y tiene derivadas en el origen en todas las direcciones

pero no es diferenciable. Muestre una funcin diferenciable que no sea C1.

Si f : Rn ! Rm es una funcin diferenciable, denotamos f 0 (x0) a la matriz derivada,

f 0 (x0) 2 Rmn;

y con Df (x0) a la transformacin lineal de Rn en Rm diferencial de f en x0:

10. Calcular f 0 para f denida por

a) f (x; y) = (xey + cos y; x; x+ ey)

b) f (x; y; z) = (x y; y + z)

11. Si f : U Rn ! R es diferenciable, probar que x 7!f2 (x) + 2f (x) tambin lo es ycalcular su derivada en trminos de f 0 (x)

12. Averiguar la diferenciabilidad de las siguientes funciones. En caso de ser diferenciablescalcular su derivada en un punto genrico, en caso contrario justicar por qu no sondiferenciables.

a) f(x; y) = 2 + x+ y

b) f : U R2 ! R; (x; y) 7!p1 x2 y2; U = (x; y) : x2 + y2 < 1

c) f(x; y) = x1=3y

d) f(x; y) = (exy; x2 + y2=3)

6


Regla de la cadena. Si g : Rn ! Rm y f : Rm ! Rp son ambas diferenciables,entonces h = f g tambin es diferenciable y

(f g)0 (x) = f 0 (g (x)) g0 (x) (producto de matrices)

O sea, si y = g (x) ;264@f1@y1(y) @f1@ym (y)

@fp@y1(y) @fp@ym (y)

375264 @g1@x1 (x) @g1@xn (x)

@gm@x1

(x) @gm@xn (x)

375 =264

@h1@x1

(x) @h1@xn (x)

@hp@x1

(x) @hp@xn (x)

375Esto implica que:

@hi@xj

(x) =mXk=1

@fi@yk

(y)@gk@xj

(x) ; i = 1; :::; p; j = 1; :::; n

o bien, con otra notacin, que

Djhi (x) =mXk=1

Dkfi (g (x))Djgk (x) ; i = 1; :::; p; j = 1; :::; n

13. Vericar la regla de la cadena para @h=@x donde h (x; y) = f (u (x; y) ; v (x; y)) para

a) f(u; v) = u2ev3

u(x; y) = xy v(x; y) = x2 y3b) z = f(x2 + y3; 2x2 y2)c) f (u; v) = u

2+v2

u2v2 ; u (x; y) = exy; v (x; y) = exy:

14. Escribir una expresin para las derivadas parciales siguientes, justicndose en la regla dela cadena.

a) @h=@x donde h (x; y) = f (x; u (x; y))

b) dh=dx donde h (x) = f (x; u (x) ; v (x))

c) @h=@x donde h (x; y; z) = f (u (x; y; z) ; v (x; y) ; w (x))

15. Si en R3 adoptamos coordenadas esfricas y f : R3 ! R, encontrar las derivadas parcialesde f : @f=@%; @f=@; @f=@ en funcin de las derivadas parciales @f=@x; @f=@y; @f=@z:

1512 . Sea : Rn ! R diferenciable y S = fp : (p) = cg una hipervariedad de nivel. Sea

c : (a; b) ! Rn una trayectoria diferenciable tal que Im c S: Si c (t0) = p0; probarque c0 (t0) ? r (p0) :

Supuesto que r (p0) 6= 0; dado que, en virtud del ejercicio 1512 ; todos los vectorestangentes a trayectorias que pasan por p0 pertenecen a un mismo hiperplano, se denecomo el hiperplano tangente a S por p0 al trasladado de ese hiperplano que pasa por p0:

T (p0) = fp : (p p0) r (p0) = 0g

16. Hallar los planos tangentes a las siguientes supercies en los puntos indicados.

a) x2 + 2y2 + 3xz = 10 en1; 2; 13

b) xyz = 1 en (1; 1; 1)

7

GTP Clculo II - 2015 Cap. 2.- Derivadas de orden superior

17. Para las siguientes funciones f : R3 ! R, hallar la direccin de mximo crecimiento en elpunto (1; 1; 1)

a) f (x; y; z) = 1px2+y2+z2

b) f (x; y; z) = xy + yz + zx

c) f (x; y; z) = 1x2+y2+z2

18. Vericar la regla de la cadena para df=dt en los siguientes casos:

a) f (x; y) = xy; (t) =et; cos t

b) f (x; y) =

x2 + y2

logpx2 + y2; (t) =

et; et

:

19. Cul es el vector velocidad para cada curva del ejercicio anterior?

20. La temperatura en el punto (x; y; z) en el espacio es T (x; y; z) = x2 + y2 + z2: Unapartcula reliza un movimiento helicoidal, ocupando en el instante t la posicin (t) =(cos t; sen t; t). Si llamamos T (t) a la temperatura de la partcula en el instante t;

a) Calcular T 0 (t) :b) Hallar un valor aproximado para la temperatura en t = =2 + 0:01:

21. Sea f : R2 ! R2 la transformacin (x; y) 7! (ex+y; exy). Sea (t) una curva con

(0) = (0; 0) y 0 (0) = (1; 1). Calcular el vector tangente a la imagen de la curva bajo f cuando t = 0:

2 Derivadas de orden superior

Prctico 4. Derivadas de orden superior

1. Calcular las derivadas parciales

@2f

@x2;

@2f

@x@y;

@2f

@y@x;@2f

@y2:

a) f (x; y) = 2xy(x2+y2)2

; (x; y) 6= (0; 0) b) f (x; y) = 1x + xey; x 6= 0

c) f (x; y) = cosxy2

d) f (x; y) = exy2 + y3x4

e) f (x; y) = 1cos2 x + ey

2. Sea

f (x; y) =

(xy(x2y2)x2+y2

; (x; y) 6= (0; 0)0 (x; y) = (0; 0)

8


a) Calcular @f=@x y @f=@y para (x; y) 6= (0; 0)b) Mostrar que @f=@x (0; 0) = 0 = @f=@y (0; 0)

c) Mostrar que@2f=@x@y

(0; 0) = 1;

@2f=@y@x

(0; 0) = 1

d) Qu hiptesis del teorema de igualdad de las derivadas mixtas falla?

x

y

z

z =xy(x2y2)x2+y2

3. Determinar la frmula de Taylor de segundo orden para la funcin dada alrededor del punto(x0; y0) especicado.

a) f (x; y) = (x+ y)2 ; (x0; y0) = (0; 0)

b) f (x; y) = ex+y; (x0; y0) = (0; 0)

c) f (x; y) = sen (xy) + cos (xy) ; (x0; y0) = (0; 0)

Prctico 5. Extremos de funciones reales

1. Hallar los puntos crticos de las funciones dadas y determinar cules son mximos locales,mnimos locales o puntos de silla.

a) f (x; y) = x2 y2 + xy

9


b) f (x; y) = x2 + y2 xyc) f (x; y) = x2 + y2 + 2xy

d) f (x; y) = x3 + 4xy 2y2 + 1e) f (x; y) = exp

1 + x2 y2

f) f (x; y) = 4x=(x2 + y2 + 1)g) f (x; y) = sen

x2 + y2

(Considerar slo el punto crtico (0; 0))

h) f (x; y) = cosx2 + y2

(Considerar slo los puntos crticos (0; 0) ;

p=2;

p=2

y

(0;p))

i) f (x; y) = ex cos y

j) f(x; y; z) = senx+ sen y + sen z + sen(x+ y + z) en el nico punto crtico2 ;2 ;2

2. Mostrar que una caja rectangular (con tapa) de volumen dado tiene supercie mnima cuando

ella es un cubo.

3. Hallar los valores mnimo y mximo absolutos de la funcin f (x; y) = x2y (4 x y) en eltringulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; x+ y = 6

4. Hallar los valores mnimo y mximo absolutos para f (x; y) = senx+cos y en el rectnguloR = [0; 2] [0; ] :

5. Hallar los extremos de f bajo las restricciones dadas.

a) f (x; y; z) = x y + z; x2 + y2 + z2 = 2b) f (x; y) = x y; x2 y2 = 2c) f (x; y) = x; x2 + 2y2 = 3

d) f (x; y) = 3x+ 2y; 2x2 + 3y2 = 3

6. Hallar los extremos relativos de f jSa) f (x; y) = x2 + y2; S = f(x; 2) : x 2 Rgb) f (x; y) = x2 + y2; S = f(x; y) : y 2gc) f (x; y) = x2 + y2; S = f(x; cosx) : x 2 Rg

7. Considerar la funcin f (x; y) = x2+xy+y2 en el disco unitario D =(x; y) : x2 + y2 1.

Usar el mtodo de Lagrange para encontrar los puntos mximo y mnimo para f en elcrculo unitario. Usar este resultado para determinar los extremos absolutos de f en eldisco.

8. Disear una lata cilndrica con tapa que contenga 1 litro de agua y gaste la menor cantidadposible de metal.

9. Un canal de riego tiene lados y fondo de concreto con seccin transversal trapezoidal de reaA = y (x+ y tan ) y permetro hmedo P = x+ 2y= cos ; donde x = ancho del fondo,y = profundidad del agua y = inclinacin lateral respecto de la vertical. El mejor

10

GTP Clculo II - 2015 Cap. 3.- Funciones Implcitas e inversas

diseo para una inclinacin ja se halla resolviendo P = mnimo sujeto a la condicinA = constante. Mostrar que y2 = (A cos ) = (2 sen ) :

J

x

y

10. Hallar los extremos de f (x; y; z) = x+ y + z sujeto a las restriccionesx2 y2 = 12x+ z = 1

11. El plano x+ y + z = 1 corta al cilndro x2 + y2 = 1. Encuentre los puntos, sobre la elipse,ms cercanos y ms lejanos del origen.

3 Funciones implcitas e inversas

Prctico 6. Diferenciacin implcita

1. a) Sea y (x) denida implcitamente por G (x; y (x)) = 0, donde G es una funcin dadade dos variables. Probar que si y y G son diferenciables y si @G=@y 6= 0, entonces

dy

dx= @G=@x

@G=@y:

b) Obtener una frmula anloga a la de la parte a) si y1; y2 estn denidas implcita-mente por

G1 (x; y1 (x) ; y2 (x)) = 0;

G2 (x; y1 (x) ; y2 (x)) = 0:

2. Sea y denida implcitamente por

x2 + y3 + ey = 0:

Calcular dy=dx en trminos de x y y:

3. a) Mostrar que el conjunto C denido por las ecuaciones8

GTP Clculo II - 2015 Cap. 3.- Funciones Implcitas e inversas

b) Calcular un vector tangente a C en el punto p.

4. a) Probar que el sistema 8

GTP Clculo II - 2015 Cap. 4.- Funciones con valores vectoriales

4 Funciones con valores vectoriales

Prctico 7. Velocidad y longitud de arco

1. Hallar los vectores velocidad y aceleracin y la ecuacin de la recta tangente para cada unade las siguientes curvas en el valor dado de t:

a) r (t) = 6t i+ 3t2 j+ t3 k; en t = 0

b) (t) =cos2 t; 3t t3; t ; en t = 0

c) r (t) = cos t i+ sen 2t j; en t = 0

d) r (t) =p2t i+ et j+ et k; en t = 0

2. Probar que si es una trayectoria con aceleracin nula entonces es una recta o unpunto.

3. Hallar la trayectoria tal que (0) = (0;5; 1) y 0(t) = (t; et; t2):4. Hallar trayectorias (t) cuyas imgenes sean las curvas dadas. Gracar.

a) f(x; y) : y = exgb)

(x; y) : 4x2 + y2 = 1

c) Una recta en R3 que pasa por el origen y el punto ad)

(x; y) : 9x2 + 16y2 = 4

5. Probar las siguientes reglas para trayectorias diferenciables en R3

a) ddt [ (t) (t)] = ddt (t) + (t) ddtb) ddt [ (t) (t)] = ddt (t) + (t) ddtc) ddt f (t) [ (t) (t)]g = ddt [ (t) (t)]+ (t)

hddt (t)

i+ (t) (t) ddt (t)

6. Sea (t) una trayectoria, v (t) la velocidad y a (t) la aceleracin. Supongamos queF : R3 ! R3, que m > 0 y que F [ (t)] = ma (t). Probar que

d

dt[m (t) v (t)] = (t) F [ (t)]

(Tasa de cambio del momento angular igual a torque). Qu se puede concluir si F [ (t)]es paralelo a (t)?

7. Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo propuesto.

a) (t) = (sen 2t; cos 2t; 2t) en el intervalo [0; 1]

b) s (t) = t i+ t (sen t) j+ t (cos t) k en el intervalo [0; ]

c) (t) = t i+ t j+ 23 t3=2 k en el intervalo [t0; t1]

d) s (t) = (cosh t; senh t; t) en el intervalo [0; t] 1

1Existiendo programas de clculo simblico y numrico, no est entre los intereses centrales de este curso lahabilidad para el clculo de integrales. Pero si no se tiene acceso a esas facilidades, cualquier tabla de integralesle dir que Z p

x2 + a2dx =1

2

nxpx2 + a2 + a2 ln

x+

px2 + a2

o+ C

13

GTP Clculo II - 2015 3.2 Campos vectoriales

8. a) Sea la trayectoria (t) = (2t; t2; ln t); denida para t > 0: Hallar la longitud de arcode entre los puntos (2; 1; 0) y (4; 4; ln2).

b) Sea la trayectoria (t) = (t; t sen t; t cos t): Hallar la longitud de arco de entrelos puntos (0; 0; 0) y (; 0;).

9. Sea c (t) ; a t b; una trayectoria. Sea s = ' (t) una nueva variable denida por lafuncin ' estrictamente creciente de clase C1 en [a; b] ; con '0 libre de ceros. Se dened : [' (a) ; ' (b)]! R3 por d = c '1. La trayectoria d es una reparametrizacin dec:

a) Ver que las curvas imgenes de c y d son las mismas.

b) Probar que c y d tienen la misma longitud.

c) Si la funcin ' (t) se elige como

s = ' (t) =

Z ta

c0 ()

d ;la curva d se dice parametrizada por la longitud de arco. Ver que en ese caso lalongitud de d es la longitud del intervalo de parametrizacin de la variable s yque

ddsd (s)

= 1:

Prctico 8. Campos Vectoriales

1. Esbozar algunas lneas de ujo de los campos vectoriales

a) F(x; y) = (y;x) b) F(x; y) = (x;y) c) F(x; y) = (x; x2)

2. Una partcula de masa m se mueve sobre una trayectoria r (t) de acuerdo con la ley deNewton, en un campo de fuerza F = rV en R3, donde V es una funcin dada deenerga potencial.

a) Probar que la energa

E =1

2m

r0 (t)

2 + V (r (t))

es constante en el tiempo. (Idea: calcular dE=dt).

b) Probar que si la partcula se mueve sobre una supercie equipotencial entonces surapidez es constante.

3. Mostrar que (t) =e2t; ln jtj ; 1=t, para t 6= 0; es una lnea de ujo para el campo de

velocidad F (x; y; z) =2x; z;z2 :

4. Calcular el rotacional, rF; y la divergencia, rF; de los siguientes campos vectoriales.

a) F (x; y; z) = xi+ yj+ zk

14

GTP Clculo II - 2015 3.2 Campos vectoriales

b) F (x; y; z) = yzi+ xzj+ xyk

c) F (x; y; z) =x2 + y2 + z2

(3i+ 4j+ 5k)

d) F (x; y; z) = yzi+xzj+xykx2+y2+z2

5. Vericar que r (rf) = 0 para cada una de las siguientes funciones

a) f(x; y; z) = xy + yz + xz b) f(x; y; z) = 1=(x2 + y2 + z2)

6. Vericar que el campoV (x; y) =

y

x2 + y2i xx2 + y2

j

es incompresible.

7. Sea F (x; y; z) = 3x2yi+x3 + y3

j

a) Vericar que rotF = 0

b) Hallar una funcin f tal que F = rfc) Es cierto que a) es condicin necesaria para la existencia de la f de b)?

8. Probar las siguientes identidades.

i) r (f + g) = rf +rgii) r (cf) = crfiii) r (fg) = frg + grfiv) div (F+G) = divF+ divG

v) rot (F+G) = rotF+ rotG

vi) div (fF) = f divF+ F rfvii) div (FG) = G rotF F rotGviii) div rotF = 0

ix) rot (fF) = f rotF+rfF

9. Sea F = 2xz2i+ j+ y3zxk; y f = x2y: Calcular

a) rf b) r F

c) Frf d) F (rf)

10. Sean r (x; y; z) = (x; y; z) y r =px2 + y2 + z2 = krk : Probar las siguientes identidades.

a) r (1=r) = r=r3 si r 6= 0b) r2 (1=r) = 0 si r 6= 0:(r2 = @2=@x2 + @2=@y2 + @2=@z2 = , el "laplaciano")c) r r=r3 = 0d) r r = 0

15

GTP Clculo II - 2015 Cap 5.- Integrales mltiples

11. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Decir si cada uno de los objetossiguientes tiene signicado. Si no es as, explicar la razn. Si tienen signicado, decir sies un campo escalar o vectorial.

a) rot f b) grad f

c) divF d) rot(grad f)

e) gradF f) grad(divF)

g) div(grad f) h) grad(div f)

i) rot(rotF) j) div(divF)

k)(grad f) (divF) l) div (rot (grad f))

5 Integrales mltiples

Prctico 9. Integrales dobles

1. Evaluar las siguientes integrales iteradas.

a)R 11R 10

x4y + y2

dydx b)

R =20

R 10 (y cosx+ 2) dydx

c)R 10

R 10 (xye

x+y) dxdy d)R 01R 21 (x ln y) dydx

2. Hallar el volumen comprendido entre la grca de la funcin f (x; y) = 1 + 2x + 3y y elrectngulo [1; 2] [0; 1], acotado lateralmente por los planos verticales determinados porlos lados del rectngulo.

3. Evaluar las siguientes integrales, si R = [0; 1] [0; 1] :a)

RR

x3 + y2

dA b)

RR ye

xydA

c)RR (xy)

2 cosx3dA d)

RR ln [(x+ 1) (y + 1)] dA

4. Un leador corta una pieza en forma de cua de un rbol cilndrico de radio r mediante doscortes de sierra hacia el centro del rbol, uno horizontal y otro a un ngulo . Calcularel volumen de la cua usando el principio de Cavalieri.

5. a) Demostrar informalmente que el volumen de un slido de revolucin generado por el giroalrededor del eje x del grco de una funcin positiva f denida en el intervalo[a; b] es

V =

Z ba[f (x)]2 dx

16


b) Hallar el volumen de la regin entre la supercie z = x2 + y2 y el plano z = 10:

c) Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h:

6. Calcular el volumen del slido en el primer octante acotado por los planos x = 1; y = 1, yla supercie z = x2 + y4:

7. Esbozar la regin, cambiar el orden de integracin e integrar

a)R 10

R x20 dydx b)

R 10

R ex1 (x+ y) dydx

c)R 23R y20

x2 + y

dxdy d)

R =20

R cosx0 y sinx dy dx:

e)R 10

R x20

x2 + xy y2 dydx

8. CalcularRD f (x; y) dA, donde f (x; y) = y

2px y

D =(x; y) : x > 0; y > x2; y < 10 x2 :

9. EvaluarRD e

xydA, donde D es el tringulo con vrtices (0; 0) ; (1; 3) y (2; 2) : Plantearlas integrales iteradas de dos maneras, considerando al tringulo como regin xsimpley ysimple.

10. Sea f continua en [a; b] [c; d] : Para a < x < b; c < y < d; denamos

F (x; y) =

Z xa

Z ycf (u; v) dvdu: (3)

Mostrar (usando el teorema de Fubini) que

@2F

@y@x=

@2F

@x@y: (4)

Si G es una funcin de clase C2, tomando en (3) f (u; v) = @2G@y@x (u; v), la frmula deBarrow determina que

G (x; y) F (x; y) = ' (x) + (y) +K;

con ' y funciones diferenciables de una variable y K constante. Entonces sigue de(4) el teorma de Schwarz acerca de las derivadas mixtas.

Prctico 10. Integrales triples

1. Bocetar las siguientes regiones

a) La regin R acotada por los planos z = 0; z = y y el cilndro x2 + y2 = 1 en elsemiespacio y 0:

17


b) R es el slido que est entre el cilndro x2+ y2 = 1 encima del plano z = 0 y debajodel cono z2 = 4x2 + 4y2 en el primer octante.

c) R: regin del primer cuadrante acotada por las cicunferencias x2+y2 = 1 y x2+y2 = 4:

d) R: el slido limitado por el paraboloide z 4 = (x2 + y2) y la porcin del cilndrox2 + y2 = 1 con z 3; y 0:

e) R: el slido limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 8 y la parte interior del conoz2 = 3(x2 + y2):

2. EvaluarRW (2x+ 3y + z)dV; donde W = [1; 2] [1; 1] [0; 1]

3. EvaluarRW ye

xydV , donde W = [0; 1] [0; 1] [0; 1] :4. Evaluar

RW x

2 cos z dV , donde W es la regin acotada por los planos z = 0; z = ; y =0; y = 1; x = 0 y x+ y = 1:

5. Hallar el volumen acotado por el paraboloide z = 2x2 + y2 y el cilndro z = 4 y2:6. Evaluar Z 1

0

Z 3y1y

Z 1y20

dz dx dy

esbozar la regin de integracin y cambiar el orden de integracin de varias maneras.

Prctico 11. Cambio de variables

1. EvaluarRD

x2 + y2

3=2d (x; y) ; donde D es el disco x2 + y2 4:

2. Integrar zex2+y2 sobre el cilindro x2 + y2 4, 2 z 3:

3. Sea D el disco unitario. ExpresarRD

1 + x2 + y2

3=2d (x; y) como una integral sobre el

rectngulo [0; 1] [0; 2] y evaluar.4. Rehacer el ejercicio 5.b) del prctico 9.

5. Integrar x2 + y2 + z2 sobre el cilindro x2 + y2 2; 2 z 3:6. Sea B la bola unitaria en R3: EvaluarZ

B

d (x; y; z)px2 + y2 + z2

haciendo un cambio de variables adecuado.

7. Calcular ZS

d (x; y; z)

(x2 + y2 + z2)3=2;

donde S es el slido acotado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 + z2 = b2,con 0 a b:

18

GTP Clculo II - 2015 Cap. 6.- Integrales sobre variedades

8. Calcular el volumen del slido denido por las siguientes condiciones:

x2 + y2 + z2 4; x2 + (y 1)2 1; 0 z:

6 Integrales sobre variedades

Prctico 12. Integrales de trayectoria e integrales de lnea

1. Evaluar las siguientes integrales de trayectoriaR f (x; y; z) ds, donde

a) f (x; y; z) = x+ y + z y : t 7! (sen t; cos t; t) ; t 2 [0; 2]b) f (x; y; z) = cos z, y como en la parte a)

c) f (x; y; z) = x cos z y : t 7! t i+ t2 j; t 2 [0; 1]d) f (x; y; z) = yz y : t 7! (t; 3t; 2t) ; t 2 [1; 3]

2. Reparametrizaciones. Supongamos que : I1 ! R3 es una trayectoria y que h :I ! I1 es una biyeccin de clase C1. Si I = [a; b] y I1 = [a1; b1], necesariamente serh (a) = a1; h (b) = b1 (caso crec.), o bien h (a) = b1; h (b) = a1 (caso decrec.). Si denimos = h, es una trayectoria de la cual se dice que reparametriza a la curva . Enel caso crec. decimos que conserva la orientacin y en el caso decrec. que la invierte.Ntese que k0 (t)k = k0 (h (t))k jh0 (t)j

a) Probar que en ambos casosR fds =

R fds:

b) Sl la longitud de la curva es `, y k (s) es la funcin longitud de arco: k (s) =R sa1k0 ()k d , la inversa h = k1 : [0; `] ! [a1; b1] da, con el procedimiento

descripto, una reparametrizacin llamada parametrizacin con la longitud dearco. Pruebe que k0 (t)k = 1 para todo valor de t y que, por lo tanto,Z

fds =

Z `0f [ (t)] dt:

a b a b

1b

a1a 1

1b

t t

s s

s

r

a

b

a

b

s

r

19


3. Evaluar la integral de cada campo para cada una de las trayectorias dadas.

a) F(x; y; z) = xi+ x2j+ yzk para

a) (t) = (t; t; t) ; 0 t 1 b) (t) = (cos t; sen t; 0); 0 t 2

b) F(x; y; z) = xi zj+ yk para

a) (t) =2t; 3t;t2 ; 1 t 1 b) (t) = (sen t; 0; cos t); 0 t 2

c) F(x; y; z) = x2i+ xyj+ z2k

a) (t) =t2; 3t; 2t3

; 1 t 2 b) (t) = (cos t; sen t; t2); 0 t =2

d) F(x; y; z) = yzi+ xzj+ xyk

a) (t) = (cot s; sen t; t) ; 0 t =4b) (t) la recta que une los puntos (1; 0; 0) y

p2=2;

p2=2; =4

4. Evaluar las siguientes integrales.

a)R xdy ydx; (t) = (cos t; sen t) ; 0 t 2:

b)R xdx+ ydy; (t) = (cost; sent) ; 0 t 2:

c)R yzdx+ zxdy + xydz; donde es la poligonal (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1) :

d)R x

2dx xydy + dz;donde es la parbola z = x2; y = 0, desde (1; 0; 1) hasta(1; 0; 1) :

5. Considerar la fuerza F (x; y; z) = xi + yj + zk: Calcular el trabajo realizado al mover unapartcula a lo largo de la parbola y = x2; z = 0, desde x = 1 hasta x = 2:

6. Sea una trayectoria suave

a) Suponer que F es perpendicular a 0 (t) en (t) : Probar queZF ds = 0:

b) Si F es paralelo a 0 (t) en (t) (esto es, si F [ (t)] = (t)0 (t) con (t) > 0),probar que Z

F ds =

ZkFk ds

7. Sea una trayectoria y T el vector tangente unitario (T = 0= k0k). Qu es RT ds ?8. Probar que si C es una curva simple cerrada y F un campo gradiente, entonces la integral

de F a lo largo de C no depende de la particular trayectoria con que se parametricela curva. Cunto vale esa integral?

9. Evaluar ZC2xyz dx+ x2z dy + x2y dz;

cuando C es una curva simple que conecta (1; 1; 1) con (1; 2; 4) :

10. Suponer que rf (x; y; z) = 2xyzex2i+ zex2j+ yex2k. Si f (0; 0; 0) = 5, hallar f (1; 1; 2) :

20


11. Consideremos el campo gravitacional (r = (x; y; z) ; r = krk)

F (r) =rr3; r 6= 0:

Mostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre una partcula que semueve desde r1 hasta r2 a lo largo de cualquier trayectoria slo depende de los radiosr1 y r2:

Prctico 13. Supercies parametrizadas. Area

1. Hallar una expresin para el plano tangente a la supercie dada en el punto indicado.

a) x = 2u; y = u2 + v; z = v2; en (0; 1; 1)

b) x = u2 v2; y = u+ v; z = u2 + 4v, en 14 ; 12 ; 22. Hallar una expresin para un vector unitario normal a las siguientes supercies.

a) x = u cos v; y = u sin v; z = u;para 0 v 2; 1 u 3; u 6= 0

b) x = sen v; y = u; z = cos vpara 0 v 2 y 1 u 3:

3. Considerar la supercie en R3 parametrizada por

(r; ) = (r cos ; r sen ; ) ; 0 r 1; 0 4:

a) Esbozar y describir la supercie.

b) Hallar una expresin para una normal (unitaria) a la supercie.

c) Hallar una expresin para el plano tangente a la supercie en un punto genrico(x0; y0; z0) :

4. Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen hallar la ecuacin para el plano que estangente a ella en el punto

1; 1;

p2, considerando a la esfera como:

a) Una supercie parametrizada por (; ) = (2 cos sen; 2 sen sen; 2 cos) ;

b) Una supercie de nivel de f (x; y; z) = x2 + y2 + z2;

c) La grca de g (x; y) =p4 x2 y2:

*5. Sea una regin simple del plano. f : ! R una funcin de clase C1:

a) Ver que el grco de f es una supercie parametrizada. Dar una parametrizacinen trminos de f de modo que el vector normal tenga componente k positiva.Obtener una expresin para ese vector normal en trmino de las derivadas parcialesde f:

21


b) Sea : R3 ! R de clase C1 con (p0) = 0 y r (p0) 6= 0. Digamos, porejemplo, que @@z (p0) 6= 0. Usar el teorema de la funcin implcita y la parte a) paraprobar que en un entorno de p0 el conjunto = fp : (p) = 0g es una supercieparametrizada.

c) A partir de los puntos anteriores hallar la expresin del vector normal a en elpunto p0 en trminos de las derivadas parciales de en el punto p0.

6. Hallar el rea de la esfera unitaria S representada paramtricamente por

x = cos sen; y = sen sen; z = cos:

7. Sea (u; v) = (u v; u+ v; uv) y sea D el disco unitario en el plano uv. Hallar el reade (D) :

8. Hallar el rea de

a) la parte de la esfera unitaria cortada por el cono z px2 + y2:

b) la porcin de esfera unitaria que queda fuera del cilindro x2 + y2 = 1=2:

9. Mostrar que si T (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v) ; z (u; v)), entonces para los vectores Tu y Tvvale la frmula

kTu Tvk =s

@ (x; y)

@ (u; v)

2+

@ (y; z)

@ (u; v)

2+

@ (x; z)

@ (u; v)

2:

Prctico 14. Integrales de funciones escalares y vectoriales

1. CalcularRS xy dS cuando S es la supercie del tetraedro con lados z = 0; y = 0; x+z = 1

y x = y

2. Sea : D R2 ! R3 una supercie parametrizada y llamemos

E =

@@u

2 ; F = @@u @@v ; G =

@@v

2 :

a) Mostrar que kTu Tvk =pEG F 2 y deducir frmulas para el rea A (S) y para

integrales de escalares sobre S:RS f dS

b) En qu se convierte la frmula si Tu ? Tv?c) Usar lo anterior para calcular la supercie de una esfera de radio R.

3. CalcularRS z dS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es, el conjunto de los

(x; y; z) con z =pa2 x2 y2:

4. EvaluarRS xyz dS, donde S es el tringulo con vrices (1; 0; 0) ; (0; 2; 0) y (0; 1; 1) :

5. EvaluarRS z dS, donde S es la supercie z = x

2 + y2; x2 + y2 1:

22


6. Una supercie metlica S tiene la forma de un hemisferio z =pR2 x2 y2; 0

x2 + y2 R2: La densidad de masa en (x; y; z) 2 S est dada por (x; y; z) = x2 + y2:Hallar la masa total de S:

7. Sea S la esfera de radio R.

a) Usar argumentos de simetra para probar queZSx2 dS =

ZSy2 dS =

ZSz2 dS:

b) Usar este hecho para evaluar con muy pocos clculosRS x

2 dS:

c) Ayuda esto en el ejercicio anterior?

8. Se dene el promedio de la funcin f sobre la supercie S por

fS =1

A (S)

ZSf dS:

(El nmero fS es el que provoca queRS

f(x; y; z) fS

dS = 0)

a) Hallar el promedio de z2 sobre la esfera unidad.

b) Se dene el centro de gravedad (x; y; z) de una supercie S tomando como co-ordenadas los valores promedio de las funciones coordenadas. Por ejemplo, x =1

A(S)

RS x dS: Calcular el centro de gravedad del tringulo de vrtices (1; 0; 0) ; (0; 1; 0)

y (0; 0; 1) :

9. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer octante de la esfera de radio R

10. Supongamos que la temperatura en un punto de R3 est dada por T (x; y; z) = 3x2+3z2.Calcular el ujo de calor a travs de la supercie x2 + z2 = 2; 0 y 2: ConsiderarF = rT:

11. Calcular el ujo de calor a travs de la esfera unidad S si T (x; y; z) = x. Puedeinterpretar fsicamente su respuesta?

12. Sea S la supercie cerrada formada por el hemisferio x2 + y2 + z2 = 1; z 0 y su basex2 + y2 1; z = 0. Sea E el campo elctrico denido por E (x; y; z) = 2xi+ 2yj+ 2zk:Calcular el ujo elctrico a travs de S.

13. El campo de velocidad de un uido est descripto por F =py j (medido en metros

por segundo). Calcular cuntos metros cbicos de uido por segundo estn cruzando lasupercie x2 + z2 = y; 0 y 1, en la direccin en que y crece.

14. EvaluarRS (r F) dS, donde S es la supercie x2 + y2 + z2 = 1; z 0 y F =

yi xj+ zx3y2k: Tomar la normal unitaria n apuntando hacia arriba.15. Evaluar

RS (r F) dS, donde F =

x2 + y 4 i + 3xyj + 2xz + z2k y S es la

supercie x2+y2+ z2 = 16; z 0. Tomar la normal unitaria n apuntando hacia arriba.

23

GTP Clculo II - 2015 Cap. 7.- Teoremas integrales

7 Teoremas integrales del Anlisis Vectorial

Prctico 15. Teorema de Green

1. EvaluarRC y dx x dy, donde C es la frontera del cuadrado [1; 1] [1; 1] orientada

positivamente.

2. Hallar el rea del disco de radio R usando el teorema de Green.

3. Vericar el teorema de Green para el disco de centro (0; 0) y radio R y las funciones:

a) P (x; y) = x+ y; Q (x; y) = y b) P (x; y) = 2y; Q (x; y) = x

4. Hallar el rea encerrada entre un arco de cicloide: x = a ( sen ) ; y = a (1 cos )(a > 0; 0 2) y el eje x:

3 6 9 12 15 18 21

3

6

x

y

5. Sea D una regin para la que se cumple el teorema de Green y sea f una funcin armnicaen D. Probar que Z

@D

@f

dydx @f

@xdy = 0:

6. a) Vericar el teorema de la divergencia para F = xi+ yj y el disco unitario.

b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyi y2j alrededor de la elipse

x2

a2+y2

b2= 1:

Prctico 16. Teorema de Stokes

1. Vericar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z =p1 x2 y2; z 0, y el

campo vectorial radial F (x; y; z) = xi+ yj+ zk

2. Vericar el teorema de Stokes para F = 3y i + 3x j + z4 k; tomando S como la porcindel elipsoide 2x2 + 2y2 + z2 = 1 que esta sobre el plano z = 1=

p2:

24

GTP Clculo II - 2015 Cap. 7.- Teoremas integrales

3. Sea S la supercie cilndrica con tapa formada por el cilindro

S1 =(x; y; z) : x2 + y2 = 1; 0 z 1

y la tapa

S2 =n(x; y; z) : x2 + y2 + (z 1)2 = 1; z 1

oy sea F (x; y; z) =

zx+ z2y + x

i+

z3yx+ y

j+ z4x2k. Calcular

RS (r F) dS:

4. Sea S el tringulo con vrtices (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) y (0; 0; 1). Vericar el teorema de Stokespara F (x; y; z) = yzi+ xzj+ xyk en esta supercie.

5. Sea F = yixj+zx3y2k: Evaluar RRS (r F)n dA; donde S es la supercie x2+y2+z2 =1; z 0: Comparar con el ejercicio 14 del prctico 14.

6. Demostrar que dos funciones potenciales para un mismo campo vectorial en R3 dieren enuna constante.

7. Sea F (x; y; z) = (2xyz + senx) i+ x2zj+ x2yk: Hallar una funcin potencial.

8. Si f es una funcin suave de una variable, el campo F (x; y) = f (x) i+ f (y) j debe serun campo gradiente?

9. r = (x; y; z) y r = krk

a) Demostrar que F = r=r3 es el gradiente de 1=rb) Cul es el trabajo realizado por la fuerza F del punto a) para mover una partcula

desde un punto r0 "hasta el 1"?

10. a) Sea C la circunferencia unidad. Demostrar queZC

xdy ydxx2 + y2

= 2:

b) Concluir que el campo vectorial asociado,

F =y

x2 + y2i+

x

x2 + y2j;

no es conservativo.

c) Demostrar que, sin embargo, @P=@y = @Q=@x: Contradice esto al teorema queestablece que formas cerradas son exactas? Por qu?

11. Determinar cules de los siguuientes campos son gradientes. Calcular el potencial cuandolo sean.

a) xi+ yj

b) xyi+ xyj

c)x2 + y2

i+ 2xyj

12. Sea F el campo vectorial en R3 dado por F = yi+ xj:

a) Demostrar que F es rotacional (o sea no irrotacional).

25

GTP Clculo II - 2015 Ejercicios integradores

b) Supongamos que F representa el campo de velocidades en la supercie de un uido.Probar que las trayectorias

c (t) = R cos t i+R sin t j

son lneas de ujo. Por lo tanto un corcho puesto en la supercie girar segn unade estas trayectorias.

c) En qu sentido girar el corcho sobre s mismo?

13. Sea G el campo vectorial en R3 feje zg denido por

G =y

x2 + y2i+

x

x2 + y2j

a) Demostrar que G es irrotacional.

b) Demostrar que los resultados del ejercicio 12.b) tambin son vlidos para G.

Prctico 17. Teorema de Gauss

1. Sea S una supercie cerrada. Usar el teorema de Gauss para mostrar que si F es uncampo vectorial C2, entonces RS (r F) dS = 0:

2. Sea F = x3i+ y3j+ z3k. Evaluar la integral de supercie de F sobre la esfera unitaria.

3. EvaluarR@F dS; donde F = xi+yj+zk y es el cubo unitario (en el primer octante).

Realizar los clculos directamente y vericar usando el teorema de la divergencia.

4. Repetir el ejercicio 3. para

a) F = i+ j+ k

b) F = x2 i+ y2 j+ z2 k

5. EvaluarRS F dS, donde F = 3xy2 i+ 3x2y j+ z3 k y S es la esfera unitaria.

6. Probar las identidades de GreenZ@

f rg n dS =

Z

f r2g +rf rg dVZ

@

(f rg g rf) n dS =

Z

f r2g g r2f dV

7. Mostrar queR

1=r2

dx dy dz =

R@

r n=r2 dS donde r = x i+ y j+ z k:

Prctico 18. Integracin de conocimientos

26


Ley de FaradaySi E (t; x; y; z) y H (t; x; y; z) representan los campos elctrico y magntico en el tiempot y S es una supercie a la que se aplica el teorema de Stokes, entoncesZ

@SE ds = @

@t

ZSH dS

1. Sea S una supercie con frontera @S y supongamos que E es un campo elctricoperpendicular a @S.

a) Mostrar que el ujo magntico inducido a travs de S es constante en el tiempo.

b) Probar que la ley de Faraday implica r E = @H=@t:

2. Ley de Gauss. Demostrar el siguiente resultado, de importancia trascendente en electromag-netismo. Sea E una regin simple slida en R3 y S su frontera. Sea tambin r elvector posicin (x; y; z); r = krk. Entonces si (0; 0; 0) =2 S, tenemos:

ZZS

r

r3 dS =

8


f)RRsrot F dS; donde F(x; y; z) = xz i + yz j + yx k y S es la parte de la esferax2 + y2 + z2 = 4 que est situada en el interior del cilndro x2 + y2 = 1 y encimadel plano xy.

g)RRS (xz=y) dS si S es la porcin del cilndro x = y

2 que est en el primer octanteentre los planos z = 0; z = 5; y = 1; y y = 4:

h)RRsF n dS si S es la porcin de la grca de z = 9x2 y2 tal que z 0; cuandoF(x; y; z) = 3x i+ 3y j+ z k:

i) El volumen del slido limitado por la porcin del paraboloide z = 4 x2 y2; laporcin de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y el plano x = y; en el primer octante.

8. Sea f : U Rn ! R; x0 2 U: Establecer relaciones entre las siguientes proposiciones:i) f es continua en x0:ii) f tiene derivadas parciales en x0:iii) f tiene derivadas en todas las direcciones en x0:iv) f es diferenciable en x0:v) f es de clase C1 en un entorno de x0:vi) f tiene plano tangente en x0:

Analizar completamente con demostraciones y/o contraejemplos.

9. Si S es una supercie de nivel de , llamamos n a la normal unitaria a S en x0; denidapor

n = r (x0) = kr (x0)kSi u es cualquier vector unitario, denotaremos con Du (x0) a la derivada direccional.Hallar el mximo valor de Du (x0) cuando u vara entre todos los vectores unitarios yen qu vector u es alcanzado ese valor.

10. Sea f : R3 ! R denida comof (x; y; z) = x3 2y2 + z2

a) Demostrar que f (x; y; z) = 0 dene una funcin implcita x = ' (y; z) en el punto(1; 1; 1) :

b) Encontrar @'@y (1; 1) y@'@' (1; 1) :

11. Dadas dos supercies S1 y S2 R3 denidas implcitamente8

Guía de Trabajos Prácticos Cálculo II

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