Guia de Sesión 13d3maxmin

8/18/2019 Guia de Sesión 13d3maxmin

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2015

MATEMÁTICASUPERIOR…para Ciencias


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MÁXIMOS Y MÍNIMOS

TERCERA UNIDAD


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ÍNDICE

Pág.INTRODUCCIÓN

CAPACIDADES

DESARROLLO TEMÁTICO

13.Extre!" Re#$t%&!"' Máx%!" ( M)*%!"13.1. I*tr!+,--%*

1/.2. C$$-%+$+e" +e #$ Se"%*13.3. De"$rr!##! teát%-!13.4. M!t%&$-%*13.5. De"$rr!##! +e ",-!*te*%+!"

13.5.1. Deter%*$-%* +e extre!" re#$t%&!"

13.5.2. Deter%*$-%* +e !*$" +e -re-%%e*t!13.5.3. 3rá4%-$" +e 4,*-%!*e"13.5.4. Reg#$ +e L6!"%t$#

13.6. A-t%&%+$+1/.7. A,t!e&$#,$-%*

8I8LIO3RA9ÍADIRECCIONES ELECTRONICAS


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INTRODUCCIÓN

Estimado (a) estudiante:

La formación del Profesional del área administrativa requiere de los

conocimientos y habilidades matemáticas para la búsqueda y solución

de problemas que se presenten en su mercado de trabajo Esta

se!unda unidad se representa como una herramienta de apoyo al

estudiante que le proporcionará a los conceptos y habilidades

fundamentales de las matemáticas para su aplicación en las

asi!naturas sustantivas de su perfil profesional

"sted será capa# de plantear y resolver problemas de funciones y

l$mites% con la finalidad de que utilice estas t&cnicas en la solución de

problemas de aplicación en las materias de los ciclos sucesivos

El conocimiento que obten!a de esta unidad y su activa participación

en el desarrollo de ella dará a comprender la importancia de &sta

unidad en el conte'to laboralo olvide que el aprendi#aje se lo!ra con la perseverancia en el

estudio y nosotros sabemos que usted es capa# de lo!rarlo% con

dedicación% constancia y amor a su carrera lo!rará &'itos en esta

unidad

EXTREMOS

RELATI:OS'MÁXIMOS YMÍNIMOS

I*tr!+,--%*

uchas de las aplicacionesimportantes de la derivadaincluyen encontrar los valoresmá'imos y m$nimos de unafunción particular Por ejemplo%la utilidad que obtiene un


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fabricante depende del precio que cobra por el producto y el fabricante estáinteresado en conocer el precio que hace que su !anancia sea má'ima El precioóptimo se obtiene por medio de un proceso llamado ma'imi#ación u optimi#ación dela función de utilidad

*e una manera similar% una compa+$a de bienes ra$ces puede estar interesada en

conse!uir el in!reso má'imo por renta, una compa+$a ferroviaria puede necesitarconocer la velocidad promedio a la cual los trenes deben viajar a fin de minimi#ar elcosto por milla de operación

La principal dificultad sur!e cuando es necesario escribir el problema dado enpalabras en ecuaciones, una ve# que las ecuaciones se han construido% por lore!ular es rutinario completar la solución utili#ando un poco de cálculo

Esta tarea de e'presar problemas en palabras en t&rminos de ecuacionesmatemáticas ocurre a menudo en todas las ramas de las matemáticas aplicadas y esal!o que el estudiante interesado en las aplicaciones deberá dominar

-tra aplicación del cálculo de má'imos y m$nimos es la !rafica de curvas yfunciones% las cuales sirven% entre otras para determinar el comportamiento deciertas variables y predecir as$ adecuadas acciones Para ello utili#aremos no solo laprimera derivada sino tambi&n la se!unda% además de ciertos criterios adicionales

C$$-%+$+e" +e #$ Se"%*

• .alcula adecuadamente las derivadas de funciones polinomiales% e'ponenciales y

lo!ar$tmicas• /nterpreta diversos problemas empresariales% económicos y0o financieros a

trav&s de las derivadas• 1esuelve problemas de !estión empresarial (-ptimi#ación) haciendo uso

adecuado de las derivadas

De"$rr!##! Teát%-!

En las unidades anteriores hemos desarrollado herramientas que en los temas quesi!uen nos permitirán hacer aplicaciones a ejercicios y problemas concretos

M!t%&$-%*

Los costos de fabricación cambian se!ún

la cantidad que se produ#ca% laproducción tambi&n var$a dependiendo dela cantidad del factor capital y del factortrabajo que se decidan emplear 2er$aconveniente poder determinar poranticipado los beneficios má'imos y loscostos m$nimos% y lo más importante3.ómo lle!ar a ellos4

"na peque+a av$cola de la #ona disponesolo de 567 m de malla metálica para suscorrales *etermine las dimensiones del


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corral rectan!ular que deberá construirse de tal manera que in!resenadecuadamente la mayor cantidad de pollos posibles

De"$rr!##! +e S,-!*te*%+!"

Las herramientas que utili#aremos para determinar má'imos y m$nimos ya han sidoestudiadas anteriormente% corresponde ahora establecer ciertos criterios% pasos ometodolo!$a que se si!ue en todo problema que busque hallar un má'imo o unm$nimo% incluso si se desea !raficar al!ún tipo de función

Deter%*$-%* +e extre!" re#$t%&!"

Para hallar un má'imo o m$nimo% llamado tambi&n e'tremo relativo se procede de lasi!uiente manera:

$; 2e deriva

b) 2e i!uala la derivada a cero y se resuelvela ecuación (si depende de al!unavariable)

-; 2e sustituyen las soluciones obtenidas en laderivada se!unda y se ve si es positiva(m$nimo) o ne!ativa (má'imo)

+; El valor de la ordenada del punto seobtiene sustituyendo en la función

Ejemplo:

8allar los valores má'imos y m$nimos de la si!uiente función:

P(')9 6' ; '6 ; 56' < =

Re"!#,-%*'

$; 2e deriva

Px2 ? >x ? 12

; 2e i!uala la derivada a cero y se resuelve la ecuación

P


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P P


8/20

Ee#!'

2ea la función 9


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*ecreciente si fF('o)G7

.óncava si: fFF('o) @ 7

.onve'a si: fFF('o) G 7

á'imo relativo si:fF( 'o) 9 7 y fFF('o) G 7


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$nimo relativo si:

fF( 'o) 9 7 y fFF('o) @ 7

E* #$ 4,*-%* P $*te" &%"t$'

P


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Ee#!'

La si!uiente función e'presa el rendimiento en euros de la inversión durante t a+os,anali#ar:

R


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1FF(t) 9 = lue!o 1(t) es todo el tiempo cóncava por no depender de t lase!unda derivada

5. El punto 'o es un :

á'imo relativo si fF( 'o) 9 7 y fFF('o) G 7

$nimo relativo si fF( 'o) 9 7 y fFF('o) @ 7

En ;6 la función 1(t) tiene un m$nimo pues 1F(;6)9 7 y 1FF(;6) G 7

3rá4%-$" +e 4,*-%!*e"

El tra#ado de !ráficas es una herramienta muy útil para poder visuali#ar elcomportamiento de las variables y estimar posibles valores desconocidos de estasvariables en el tiempo

Las consideraciones que se deben tener en cuenta al !raficar funciones son lasmismas que para hallar má'imos y m$nimos% solamente se deben tener presentesal!unos aspectos mas para dibujar correctamente cualquier tipo de función

Jener en cuenta los si!uientes pasos:

a. Deter%*$r ,*t!" +e $"!

Para ubicar aquellas coordenadas por donde pasa la !rafica% deben de utili#arsevalores que sean de fácil cálculo en la función y que no demanden muchotrabajo

Se e&$#G$ $r$ x =0 (H! $r$ y =0U !tr!" &$#!re" $r!%$+!"


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b. C$#-,#$r #$ r%er$ +er%&$+$

Para determinar los puntos cr$ticosM de la función% es decir los valores de 'M donde los valores de la función resultan má'imos o m$nimos

c. Ig,$#$r +er%&$+$ $ -er! ( re"!#&er

La primera derivada i!ual a cero determinar los valores de 'M donde e'istenmá'imos o m$nimos de la función -pcionalmente se podr$a determinar tambi&nlos valores donde la función es creciente o decreciente

d. C$#-,#$r "eg,*+$ +er%&$+$

La se!unda derivada indica si la función es conve'a o cóncava

e. E&$#,$r "eg,*+$ +er%&$+$

*espu&s de calcular la se!unda derivada se deben reempla#ar los valoresobtenidos al resolver la primera derivada y se!uir la re!la del criterio de lase!unda derivada

C$#-,#$r

Re"!#&er

C$#-,#$r

M)*%!

Máx%!


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f. Ig,$#$r "eg,*+$ +er%&$+$ $ -er!

Para obtener los puntos de infle'ión% es decir aquellos puntos donde la funcióncambia de sentido, si pasa de cóncavo a conve'o o viceversa

g. 6$##$r #)%te" +e #$ 4,*-%*

2i calculamos los l$mites de la función se obtiene una mejor idea delcomportamiento de la !ráfica a medida que los valores de la variableindependiente se incrementan 2irve para obtener las llamadas as$ntotas

Ee#!'

Nraficar la si!uiente función:

9


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Ainalmente la !ráfica completa ser$a:

Reg#$ +e L6!"%t$#

2e le utili#a para calcular aquellos l$mites que ten!an la forma indeterminada:

0 H 0 H Estas deben ori!inarse a partir de un cociente de funciones En ese caso la re!laindica que el l$mite del cociente de las funciones es i!ual al l$mite del cociente de susderivadas

2ean: F(x) y G(x) dos funciones% y al evaluar el l$mite se obtiene: 707 ó 0

Entonces se cumple que:

2i aún persiste la indeterminación se puede aplicar nuevamente la re!la paraintentar levantarla% este proceso puede reali#arse sucesivamente

2in embar!o% debemos considerar que en ciertas e'presiones la re!la de L?8ospitalno llevará a resultados finales% pues las continuas derivadas no lo!ran despejar laindeterminación% se lle!a a un estado c$clico en el que la función se transforma enotra y vuelve a su forma ori!inal

dx

dG

dx

dF

Lim

dx

xdG

dx

xdF

Lim xG

x F

Lim xG

x F

Lim =)(

)(

=)('

)('

=)(

)(


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Actividad 7

continuación se te presentan ejercicios en donde tienes que hallar má'imos ym$nimos de forma directa% reali#ar el tra#ado de curvas y aplicaciones sobre el uso ymanejo de las derivadas

1. *eterminar si las si!uientes funciones tiene má'imos y0o m$nimos% lue!o esbocesus !ráficas:

a. > 9 O6 ; =' < Q

b. > 9 O ; ' < =

c. > 9 O6 ; 6O

d. > 9 (O;6)6 <

e. > 9 O < 50'

2. "n fabricante de accesorios el&ctricos tiene unos costos de producción diariosde:

410800

2 x xc +−=

3.uántos accesorios ' se habr$an de producir cada d$a para minimi#ar loscostos4

/. La utilidad total del a!ua bebida cada d$a por una persona% e'presada endecilitros% viene dada por la si!uiente función:

"(') 9=' R '6

2e pide:

a. *etermine la utilidad má'ima y la utilidad m$nimab. 1epresentar !ráficamente esta función

. La peque+a av$cola /nSa .hiquens que se ubica en la #ona de Lima norte estaevaluando incrementar su producción para ello ha decidido utili#ar en todo loposible el terreno que posee con fines de crian#a *etermine las dimensiones delcorral rectan!ular que deberá construirse de tal manera que in!resenadecuadamente la mayor cantidad de pollos posibles% considerando que disponesolo de 567 m de malla metálica para el corral

S!#,-%!*e"'

1.

$. $nimo 9 ( 6 % ) . á' 9 ( ;5 % D ) $n 9 ( 5 % 6 )


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-. á' 9 ( 5 % 5 ) $n 9 ( 7 % 7 ) +. $nimo 9 ( 6 % )

e. á' 9 ( ;5 % ;6 ) $n 9 ( 5 % 6 )

2. ' 9 67 accesorios el&ctricos

/. " á' 9 = y " $n 9 7

. El corral deberá ser un cuadrado delado i!ual a 7 m


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Autoevaluación 7

plicando todo lo desarrollado en clase resuelva lo si!uiente:

1. .alcular los puntos cr$ticos de la si!uiente función% estimar sus valores má'imosy esbo#ar la !ráfica

Y = X H ex

2. Nraficar la si!uiente función:

Y = /X5 @ 20x/ 1>

/. 2i una empresa% encuentra que la cantidad de productos 'M (unidades de

producción) y su precio PM (por cada unidad de producción) está dado por:

/X ? 50 = 0

demás anali#ando el efecto de los niveles de la producción en el costo seencuentra que el costo de cada unidad producida está dado por:

CMe = 50HX 20 2x

Encuentre usted la cantidad que deberá producirse para obtener una !ananciamá'ima

S!#,-%!*e"'

1. 2.

/. 2e deben producir 5DC56% es decir 5Q unidades

19


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8I8LIO3RA9IA

• rya% Ta!dish (5UU=) atemáticas aplicadas a la dministración y

Econom$a Ed Prentice 8all % &'ico Jercera edición

• VudnicS% AranSs(5UCI ) atemáticas aplicadas para dministración%

Econom$a y .iencias 2ociales Ed Prentice 8all

• Espino#a% Eduardo(677=) atemática / y // =ta Edición

• 8aeussler Tr %Ernest A W 2 Paul% 1ichard (5UUD) atemáticas aplicadas

para dministración% Econom$a% .iencias 2ociales y de la vida EdicionesPrentice 8all% &'ico% Cva edición

• 8offmann Laurence W Vradley Nerald( 5UUI) .álculo aplicado a

dministración% Econom$a% .ontadur$a y .iencias 2ociales En c NraX 8ill%.olombia%IY edición

• Lial% ar!aret% 8un!erford% Jhomas(6777 ) atemáticas aplicadas para

dministración y Econom$a Ediciones Prentice 8all% Qma edición% &'ico

DIRECCIONES ELECTRÓNICAS

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