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POTENCIAL ELÉCTRICO

Definimos el potencial eléctrico como la energía potencial eléctrica por unidad de carga, así

El potencial puede ser negativo o positivo dependiendo del signo de la carga. La unidad

internacional para el potencial eléctrico es el voltio:

Para una carga puntual el potencial es:

Y para una distribución continua de carga:

Es posible determinar el campo eléctrico si el potencial eléctrico es conocido. Veamos

que esto es,

Donde es la componente del campo eléctrico paralela al desplazamiento. Así,

Esto quiere decir que el campo eléctrico apunta en la dirección que disminuye el

potencial. Si el potencial depende en general de las coordenadas rectangulares ,

entonces y podemos calcular las componentes rectangulares del

campo eléctrico a través de

También para reforzar lo antes dicho, se puede definir en un punto en un espacio en donde

existe un campo eléctrico, es el trabajo necesario para llevar una carga de prueba de desde un

MATERIA: Física II SEMESTRE: 2 CODIGOS: 70-73-80

Elaborado por: Licenciado Julio Cesar Barreto García 2

cualquier infinitamente distante (punto de referencia donde se considera que el potencial eléctrico

tiene valor cero) al punto de consideración dividido entre el valor de la carga transportada. Es

importante notar que dividir la carga entre la carga transportada hace que el Potencial Eléctrico

no dependa de la magnitud de la carga transportada.

El potencial eléctrico generado a una distancia r de una carga puntual Q se puede

determinar de acuerdo a la formula

.r

kqV

Como se puede observar, el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica guardan una

relación similar a la que existe entre el campo eléctrico y la fuerza eléctrica. El campo magnético

indica la fuerza eléctrica para una unidad de carga eléctrica, y el potencial eléctrico indica la

energía potencial para la unidad de carga eléctrica. Al igual que la energía potencial, el potencial

eléctrico es un escalar.

El potencial eléctrico es muy importante cuando se analizan circuitos eléctricos, ya que en

la medida en que haya una diferencia de potencial entre dos puntos, es decir, que el voltaje en

esos puntos sea diferente, se tendrá flujo de corriente eléctrica del punto de mayor potencial al

punto de menor potencial eléctrico.

Las líneas formadas por puntos de igual potencial eléctrico se conocen como líneas

equipotenciales. Estas líneas son perpendiculares a las líneas del campo eléctrico.

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede

demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.

El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor

final de una función que solamente depende de las coordenadas que denominamos energía

potencial.



El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector

desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.

dW=F·dl=F·dl·cosθ=F·dr.

Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula cargada q en la dirección

radial. Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro

de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.

El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a

la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q es

conservativa. La fórmula de la energía potencial es:

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total

(cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

FORMA DIFERENCIAL DEL POTENCIAL ELÉCTRICO

Recordamos que el potencial eléctrico puede ser expresado como:

También recordemos que el diferencial de una función se puede expresar como:

Por lo que un diferencial de un potencial eléctrico puede ser expresado como:



Si sacamos el diferencial al potencial en la ecuación que relaciona con el campo eléctrico

tendremos:

Pero y por último si consideramos que para tenemos un

desplazamiento pequeño tendremos:

EL POTENCIAL ELÉCTRICO NECESARIO PARA DESPLAZAR UNA CARGA

PUNTUAL DESDE UN PUNTO B A UN PUNTO A

Recordemos primero que el campo de una carga puntual está determinado en forma radial

como se muestra a continuación, sin embargo, recordemos que el hecho de haber tomado un

campo conservativo le resta importancia a ese hecho.

Sustituyendo en la ecuación que define al campo eléctrico tendríamos:

Obsérvese que se ha tomado el diferencial de línea de las coordenadas esféricas.



EL POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

Cuando existe una distribución de carga en un volumen finito con una densidad de carga

conocida entonces puede determinarse el potencial en un punto externo, esto porque la definición

de potencial involucra el campo eléctrico. Si analizamos el potencial originado por cada

diferencial de carga tendremos:

Finalmente podemos integrar sobre todo el volumen para obtener:

Nótese que la variable R es la distancia a al punto con respecto a cada diferencial de

volumen en cada punto del objeto cargado y por tanto depende de las coordenadas, lo cual

implica el hecho de no poder sacarlo de la integral. No deberá de confundir la variable r con la

variable R.

De manera similar podemos encontrar el potencial eléctrico de cualquier distribución,

bien sea de línea o de superficie y que puede ser expresados como:

Para configuraciones de superficie:

Para configuraciones de línea:

Donde es la densidad superficial, es la densidad lineal.



APLICACIONES

El campo eléctrico se utiliza en todos los sistemas de comunicaciones electrónicos. Su

importancia es fundamental en la óptica, en el diseño de conductores. Equipos como las

fotocopiadoras, Osciloscopios y eliminadores de emisiones de contaminantes en chimeneas

aplican más directamente los fenómenos relacionados con el campo eléctrico.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 1: Determinar el valor del potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12

x 10-9

C en un punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la figura.

Solución: Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el cálculo del potencial en un

punto debido a una carga puntual cuya expresión es:

Y por lo tanto el valor sería:

El potencial es una magnitud escalar, por lo tanto tan sólo debe ser indicado su signo y su

valor numérico. Respuesta: El potencial en A vale + 1.080 V

Ejemplo 2: Dos cargas puntuales de q1 = +12 x 10-9

C y q2 = -12 x 10-9

C están separadas 10 cm.

Calcule los potenciales en los puntos a, b y c que se muestran en la siguiente figura.

6 cm 4 cm 4 cm

10 cm 10 cm

c

b a



El potencial en el punto a es:

2

2

1

1

0

2

10 4

1

4

1

aai i

i

ar

q

r

q

r

qV

m

Cx

m

Cx

C

mNxVa

04.0

)1012(

06.0

1012109

99

2

29

C

JVa 900

voltsVa 900

El potencial en el punto b es:

2

2

1

1

0

2

10 4

1

4

1

bbi i

i

br

q

r

q

r

qV

m

Cx

m

Cx

C

mNxVb

14.0

)1012(

04.0

1012109

99

2

29

voltsVb 1930

El potencial en el punto c es:

Sin realizar cálculos y analizando la situación, podría decir cuál es el potencial en el punto c.

Sugerencia: observe que tiene una carga fuente positiva y una carga fuente negativa, ambas de la

misma magnitud y que una posible carga de prueba se va a traer desde el infinito, ¿realizaría

Usted trabajo para colocar la carga de prueba en el punto c?

Los cálculos son:

2

2

1

1

0

2

10 4

1

4

1

cci i

i

cr

q

r

q

r

qV

m

Cx

m

Cx

C

mNxVb

1.0

)1012(

1.0

1012109

99

2

29

voltsVc 0



¿Cuál es la razón por la cual el potencial en el punto c es nulo?

¿Cuánto será la magnitud del campo eléctrico en ese punto?

¿Será nulo también?

¿Qué dirección tendrá?

¿Se realiza trabajo para colocar una carga de prueba en el punto c?

Ejercicio: Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C y q2=-12 x 10 -9 C están separadas 10

cm. como muestra la figura. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos ab, bc y ac.

Respuesta: Vab =+ 2.829 V Vbc=- 1.929 V Vac=+ 900 V

Ejemplo 3: Sobre una circunferencia tenemos un arco de 90º situado en el primer cuadrante en el

que hay una distribución lineal de carga λ, ¿qué campo creará en el centro de la circunferencia de

radio a?.

Justifique los siguientes cálculos de acuerdo con la distribución de carga:



Ejercicio 1: Una carga Q está distribuida uniformemente sobre una barra delgada de longitud L.

Calcular el potencial en un punto P, situado a una distancia x a la derecha de la barra, como se

muestra en la figura.

Justifique si suponemos una densidad lineal de carga λ, que ocurre que:

Ejercicio 2: Calcular el potencial eléctrico en P(0,0,3) debido a una carga eléctrica distribuida

uniformemente entre 0 y 3π/2, y con densidad λ , sobre la curva x2+y2=16. La curva x2+y2=16

es una circunferencia en el plano XY de radio R=4, por tanto, la situación planteada es:

Justifique



Ejemplo de energía potencial eléctrica: Sistema de tres cargas puntuales

Tres cargas puntuales fijas, están dispuestas como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál

es la energía potencial eléctrica de dicha configuración?

Considere que:

q = 1 x 10-7

C

a = 10 cm

Luego:

U = U12 + U13 + U23

a

qq

a

qq

a

qqU

)2)(4()2)(()4)((

4

1

0

a

qU

2

04

10

JoulexU 3109

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dos cargas puntuales de y - están separadas 10 cm, como lo indica la

figura.

a) Calcular los potenciales en los puntos a, b, c. R/-900V, 1928.57v, 0v.

b) La diferencia de potenciales entre a y b, b y a, b y c. R/-2828.57v, 2828.57v, 1928.57v.

c) Cuanto trabajo sería necesario para llevar una carga puntual de , desde a

hasta b. R/ 1.13x

3 1

2

+2q +q

a a

- 4q

a



d) Cuanto trabajo sería necesario para llevar una carga puntual de , desde c

hasta a. R/-3.6x10-6

2. Una partícula que lleva una carga de es accionada hacia la izquierda por un campo

eléctrico. Una fuerza mecánica la mueve hacia la derecha desde el punto a hasta b, realizando

un trabajo de , y al mismo tiempo aumenta la energía cinética de la partícula en

. Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b? R/5000v.

3. Demostrar dimensionalmente que es equivalente a .

4. Dos láminas paralelas tienen una diferencia de potencial de 2000v. distancia a que pueden

acercarse las láminas sin que se produzca una descarga en el aire comprendido entre ellas, si

la rigidez dieléctrica del aire es . R/ .

5. En la figura que encuentras adelante, y la otra carga .

a. Cuál es el potencial en el punto a. R/ 0v

b. Que trabajo ha de hacerse a la carga de , para trasladarla del punto a al punto

b. R/1.44 .

6. Determinar el potencial en el centro y en el vértice libre del cuadrado, para la distribución de

carga del gráfico.



7. El potencial a una cierta distancia de una carga puntual es 600V, y el campo eléctrico es de

200 .

a. ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? R/3m

b. ¿Cuál es el valor de la carga? R/

8. Dos electrones se encuentran separados a una distancia de 0,05 cm. Se los deja desplazar bajo

la acción de su repulsión mutua. ¿Cuál es su velocidad relativa cuando están separados 1 cm?

9. Cuanto trabajo se realiza al mover un electrón a lo largo de dos de los lados de un triángulo

equilátero, con lados de 0,25 m de largo, en un campo eléctrico de 15 paralelos al tercer

lado del triángulo. (Tome el electrón inicialmente en un extremo del lado del triángulo

paralelo al campo eléctrico).R/

10. Dado el grafico,

a. Calcular la energía necesaria para juntar las cargas. R/-0.72

b. Potencial en el centro. R/

11. Que rapidez alcanzara un electrón si se acelera desde el reposo por medio de una diferencia

de potencial de 100V. R/

Observaciones:

Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se

dice que se está en presencia de un campo eléctrico conservativo.

Un electrón volt (eV) es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una

diferencia de potencial de 1V, 1 eV = 1,6×10^−19 J. Algunas veces se necesitan unidades

mayores de energía, y se usan los kiloelectrón volts (keV), megaelectrón volts (MeV) y

los gigaelectrón volts (GeV). (1 keV=10^3 eV, 1 MeV = 10^6 eV, y 1 GeV = 10^9 eV).

Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más intuitivo,

se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito representa la energía

que posee cada unidad de carga al paso por dicho punto.

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