Figuras y cuerposmw*a La palabra geometríase derivo de polabros

onti g uo s que si g n ifi co n "ti er ra" y "medi r'!A partir de la medición de los territorios,los seres humanos idearon formas yfiguros que aún hoy se encuentranen los objetos que utilizamos.

Observa la forma de los objetos y las figuras que los componen.

0bjeto tigura

-!vgrp*-Cubo

@Pirómide

ffiCuodrodo

FI.,ItiI]

l"l- **"*'**"1

l

Ij

Ii

i

i11'--'*-""-'--"I

iTrióngulo

SFigurosLos figuros plonos

se consideronobjelosbitlimensionoles,por tener dosdimensiones:

oncho ------------1

I

t

it

ljI

1

I

¡

:

i

¡

I

l

i

i

II

'-'-ffiCuerposLos sólidos se

consideron objeloslridimensionoles,por tener lresdimensiones:

oncho --------1r.--=ffi

orto

-ffilorgo t

I ffituiffiffi' xq,E:íi't:;Z

"

Supón que cada uno de los siguientes obje-tos es colocado bajo la Iuz de una lámpara.Describe la forma de su sombra.

Observa la ilustración.

a. ldentifica objetos que tenganforma de prisma y dibújalos.

h, EncierÍa en un círculo rojolos objetos que tenganforma cilíndrica.

c Encierra en un círculo azullos objetos con forma piramidal.

* Cada uno de los sólidos ha sido cortado por un plano. Dibuja la figuraque se genera en la intersección del plano y el sólido.

* Escribe el nombre de la forma de las caras decada uno de los objetos.

Lffircgre

ry

KÍ Jaime construye una caneca con forma de prisma, cu)¿as bases

son pentágonos, pero requiere que la base inferior seb más pequeñaque la superior. ¿Cuál es la forma de la caneca que Jaime construye?

fiUn polígono es uno

región del plono

limitodo por uno

líneo poligonol

cenodo.

R

ElementosUno líneo poligonol

es lo unión de

vorios segmentos,cuyos puntos

comunes son susextremos.

extremos\AClosificoción

Polígonos regulores:todos sus lodos ysus óngulos lieneniguol medido.

. La naturoleza ofrece ejemplos de formosgeométr¡cas. ¿Qué forma tienenlas celdos de los panoles

de las abejos?

Cada celda tiene la forma de un polígono de seis lados; es dec¡r,

un hexágono.

Clases de polígonosLos polígonos reciben el nombre de acuerdo con el número de ladosque tengan.

4

I

:

I

;

*l*

!

:

!

@¡&ffiHexágonoW66l6

-l:ai :

Heptásono#777: .*"=*.-"*"-i**-** ;

,@ :

octásonott88,8r---\ ': /,..i'1 : I/\r Nonágono V

9

¡EÉ' Decágono tm 10 10 I 10

@i undecágonr W 11 i 11 , 11

Pentágono

AW/'in¡¡r'{s ffiffilsx ^m.ffi.,ffi,ffiffiwüw$üffifl ffiffiffif w

ffi ffiW W/

Polígonosinegulores: ni suslodos ni susóngulos son de lomismo medido.

AWffiN Wffiz-_i45Él w#;F,l ffiW..4 Ll#:\^ñ L"!'Ww \ry

W

'ew i I

L

Dodecáqono ffi 12 12 ' 12x ------r-- W , '

Ajlt*mI Clasifica los polígonos, según sean regulares

o irregulares.

"T"Q

Clasifica los polígonos de acuerdo con el nú-mero de lados.

Desde Desde

i unvélke , !od_9:lojYgt"tkg:

.{o Con base en los resultados del ejercicio ante-rior, responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es la relación que existe entre el nú-mero de diagonales que se pueden trazardesde un vértice del polígono y el númerode lados?

b. ¿La cantidad totalde diagonales que se pue-den trazar en un polígono está relacionadacon el número de lados de este? Explica turespuesta.

J: Utiliza el transportador para determinar lamedida de los ángulos internos de los si-guientes polígonos regulares.

*F ¿Cuál es la suma de los ángulos internos deun hexágono? ¿De un heptágono? ¿Y de undecágono?

*' Explica y describe un procedimiento para ha-cer una estrella de cinco puntas a partir delpentágono regular.Traza una estrella de cin-co puntas sin levantar el lápiz.

Éwax*w'.* Entre las cuatro figuras indicadas con letras,

elige aquella que continúa cada serie.

b.

I

-@ 'VlTl)\

c. 1i+;#,:-H\=i,F.::::',/\tz

léé#* Las diagonales de un polígono son aquellos

segmentos que tienen por extremos dos vér-tices no consecutivos.

En la siguiente tabla,traza todas las diagona-

\es en cada pol(gono.

Número de dlagonalgs que se pueden ttazat

b.

Polígono

Cuadrilátero

Pentágono

tllli,.

\t\/

Hexágono"AroooDoo0000 0(]00

oHeptágono

l0ctágonoc.- z l-ilAOQaA El o

129

Triángulos

a Para levantar elplano de regiones

oportodos se unen, por mediodetrióngulos, fos puntos mcís

importontes de estas.

Este proceso se llamatriangulación.

tt

En un triángulo, cada ángulo y cada vérticetienen un lado opuesto correspondiente.

El 4BAC es opuesto al lado Be.

Clases de triángulosHay diferentes clases de triángulos.

t__

I

¡

iI

I

Dos de sus lados tienen la misma

medida.

Lodo opuesio BC

QTriúnguloEs el polígono

formodo por tres

lodos, lres óngulosy tres vértices.

Los tres lados tienenla misma

medida.

Los tres lados tienen diferente

medida.

i_

A+

EI AABC tiene:

Lodos:Ñ,Ñv nc

Ángulos: 4A, 48Y4c

VéÍices: A, By C.

it5€:,.

,4*"\

I

Tiene un ángulo recto. Tiene los tres ángulos agudos. Tiene un ángulo obtuso.

\os Srgurentes\r\ángu\os de acuerdo con\a med\da de sus\ados.

d.

b'H*ca,<\ M 4fu

ja tres triángulos diferentes. Luego,veri-

hM@

d.^

&los siguientestriángulos según la medida de sus ángulos.

fca la siguiente propiedad.

..,qAl,á'Rdulo' rnayor se,opofle, :

e1'1ado.,ma,!pJr yr. al' á n g ulo.,m-en or-

'""19w$,lado''meno¡l!,'' ;'

rja un tr¡ángulo A BC y realiza las siguien-actividades.

Mide los lados.'

tuma las medidas de los lados TE y Ee ycompárala con [a medida de AC.

c. Suma las medidas de los lados BC y AC ycompárala con la medida de A&

d. Suma las medidas de los lados AE y AT ycompárala con la medida de BZ

c- Escribe una conclusión,teniendo en cuenta

* Utiliza palillos con las medidas indicadas encada caso y responde.

¿Es posible construir un triángulo cuyos la-dos tengan las siguientes medidas?

a.8cm,3cmy3cmb.8 cm,2cmy 4cm

c 4cm,4cmy 10 cm

# Determina si es posible constru¡r triánguloscon las características indicadas. Si es posible,propón un ejemplo.

a. Triángulo rectángulo equilátero

b. Triángulo acutángulo equilátero

c. Triángulo obtusángulo isósceles '

d. Triángulo rectángulo escaleno

**. En cada caso, mide los ángulos del triángulo

y súmalos.

¿Qué puedes concluir?

Dibuja otros triángulos y verifica que se

cumpla tu conclusión.

a.

b.

bs resultados obtenidos.

Clases de cuadriláterosParalelogramosSon cuadriláteros con dos pares de lados opuestos paralelos.

1 Cuadrados{

II

J :'::::..'.: a:: :.a.a:..a. a:a: :'S

::1- :.: :j::: :.:.::::.::,:::::1.j::f-

Tienen sus cuatro ángulos rectos

i Tienen sus cuatro ángulos rectos. i y rus cuatro lados de igual medida.: - --:ñli Rombos ; Romboides---

ñV

Sus pares de ángulos opuestos son de igual medida.Sus cuatro lados son de igual medida.

TrapeciosSon cuadriláteros con un par de lados paralelos.

lsósceles RectángulosflCuodrilútetoEs un polígono

formodo por cuolrolodos, cuotroóngulos y cuotrovértices.

El cuodrilóieroMNORtiene:

Lorlos: n¿lv, ñR, o;v dM.

Ángulos: 4M,4N,40,4R

Vértices: M, N, oyR.

Sus lados no paralelos tienen

igualmedida.

Dos de sus ángulos

son rectos.

Escalenos

Sus cuatro lados tienen diferente

medida.

TrapezoidesSon cuadriláteros que.no tienen pares de lados paralelos.

vértices

Tienen dos pares de lados consecutivos de igual

medida.No tienen lados de igual medida.

Clasifica los cuadriláteros según sean parale-logramos, trapecios o trapezoides.

a.,A.b.Ma'@ 'm

"@' *Gffi

Clasifi ca los paralelograrnos.

b.

@i,i l l-l ir i ,' t,i

d.

Clasifica los trapecios y trapezoides.

"ffi u [r--.t

i¡'.:.'..1¡¡,1,: , y,,i.

tr.l¡{::a {i:r ; l::

"1#úlñ Reflexiona sobre las características de los pa-

ralelogramosyresponde. : "a. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un

paralelogramo?

b. ¿Cuáles de los paralelogramos tienen diago-nales de igual medida?

c ¿Cuáles de los paralelogramos tienen diago-nales de diferente medida?

d ¿Cuáles de los paralelogramos tienen diago-nales perpendiculares?

* ¿Puede afirmarse que un cuadrado es un rec-tángulo? Argumenta tu respuesta.

* Determina si cada afirmación es verdadera(V) o falsa (F). Justifica tus respuestas.

a. Todo cuadrado es un rectángulo. .il

h Ningún'rornbo es cuadrado. r:::::'11

c- Todo cuadrado es un rombo. l,;:.

d No todo rombo es cuadrado. lqrr

r*t Construye los siguientes cuadriláteros y

explica el proceso que seguiste.

a. Un cuadrado de 3 cm de lado.

b. Un rectángulo de 3 cm de ancho y 5 cmde largo.

c. Un rombo de 4 cm por cada lado y un ángu-lo de 60'.

d. Un paralelogramo no rectángulo, de 4 cmde base y 3 cm de altura.

e. Un trapezoide con dos lados de la,misma. longitud.

ffPerímetroEl perímetro de uno

figuro corresponde o

lo medido lineol de

su contorno. Se

colculo medionle lo

sumo de losmedidos de suslodos.

E¡evpro

Medición del perírnetro

o En un zoológico se quiere distribuir o los animales en secciones,

como muestra la figura. ¿Qué cantidad de molla se necesito porocercor todos los secciones del zoolóqico?

Para resolver la pregunta se requiere hallar el perímetrode cada una de las secciones.. El perímetro de la sección de los monos se calcula sumando

la longitud de todos los lados del cuadrilátero, así:

P:10m*16m*8m*12m:46m. La forma de la sección de las aves es la de un triángulo equilátero.

Por lo tanto:

P :3 x 16 m :48 m

. La sección de los elefantes tiene forma de cuadrado, de modoque su perímetro se puede calcular de la siguiente manera:

P : 4 X 14 m : 56 m

. La sección de los tigres tiene forma de rectángulo y es posiblecalcular su perímetro realizando:

P: (2 x 12 m) + (2 x 20 m):24m*40m:64m

Para calcular la cantidad de malla necesaria se suman los perímetros:

46m+48m*56m*64m:214mREspuesrs: Poro cercar todas los secciones del zoológico se necesitan

214 m de malla.

P:a*b*c*d-te

En olgunos figuros,el cólculo delperímelro se puede

obrevior.

El perímelro

delcuorlrodo

P:4xlodo

Wl''o'Perímelrodeltectóngulo

P : (2 x oncho) +(2 x lorgo)

L--------lJ

oncho

Perímetro dellrióngulo equilúteto

P:3xlodoA

ll"-,,-hÉfffitu1il

É=:r'!1!i'1lt=3,¡"+;ltl¡trf;':=frL---r--------J

lodo

1'36

&p€E*e

t Halla el perímetro de cada uno de los polígonos.

_tI m -----1

z, Utiliza la fórmula adecuada para hallar el perímetro de los polígonos.

A:*x*ée*

* Observa los polígonos y discute con tus com-pañeros/as sobre el procedimiento que se

debe seguir para calcular los perímetros.

.*", Encuentra el perímetro del decágono, delundecágono y del dodecágono regulares, si

cada uno tiene 3 cm de lado.

{&sese€ssg, Margarita elaboró una pintura en una super-

ficie rectangular, cuyas dimensiones son:6 dm de ancho por 9 dm de largo. Si quierecolocarle un marco, ¿cuántos metros linealesde madera necesita?

*, Pablo compró un apartaestudio, cuyas di-mensiones se muestran en elplano. Siquierecolocar guardaescoba por todo el borde deeste, ¿cuánto debe comprar?

12m --------------4

l*18 dm-t{\20

Pr ÉE

T46 cm

I

TI

'18 m

I

I

c" t----l/\

+ Determina el perímetro de los polígonos.

s í),Llscm

h

T5m

I1

3m

I

d"f

^r rll

cmll1t

a5 dm

-l

F-l oo cm -

104 cm -l

l_4 m _l

137

flSuperficieEs el espocio

ocupodo por uno

región plono. El

úreo es lo medido

de lo superficie, que

se mide en

unidodescuodtotlos. En el

sislemo métrico

decimol, lo unidod

de medido del Óreo

es el melfocuodtotlo (m2).

El óreo de olgunos

figuros geomélricos,

cuyo superficie es

regulor, se puede

colculor medionle

fórmulos.

Sin emborgo, si losuperficie es

inegulor, el óreo se

esloblece de monero

oproximodo.Área:ladoXlado

A. En la figura se ho re7resentodo

elplano de una región en la

que se encuentra un logo.

¿Cuól es el óreo aProximoda

del lago,si cada cuadritodel plano equivaleo un metro cuadrodo?

Se observa que el plano del lago ocupa alrededor de 32 cuadritos'

Por lo tanto, se puede decir que su área es deaproximadamente 32 m2

Rrseursr¡: El área aproximada del tago es de 32 nf aproximodamente'

B. Para construir un iardín, un compesino dispone

de un terreno,cuyos dimensiones son.'

13 m de largo por 5 m de oncho.

¿Cuól seró el órea deliordín?

, Como el terreno tiene forma rectangular, entonces el cálculo de su área

se puede hacer de la siguiente manera:

A: largo X ancho: 13 m x 5 m:65 m2

Rrspursr¡: El área deliardín es de 65 m2.

Área del cuadrado

ffiIt ml¡- bose ---1

Medición de suPerficies

l

Area -- base x altura I Át"u : (base X altura)24,

Área deltriángulo

F-=- bose-----l

;,{.. :¡j

@,* Establece

km2km2

el área aproximada de cada región, en la unidad de medida indicada.

dom2 \- r-- t.. i

-i

.l

Calcula el área de cada una de las siguientes figuras.

a. 10 m--- b.

I5m

l30 dm ----l

#s* Para cada uno de los siguientes polígonos,

realiza lo que se propone a continuac¡ón.

T11 cm

i* Construye tres figuras, cuyo perímetro sea

ocho unidades.

. ¿Cuál de las figuras obtenidas tiene mayorárea?

ffi.*. Gerardo ha comprado una casa, cuyo plano

se muestra. ¿Cuál es el área de la casa?

I

I

12m

I

f.e.d.

I9cm

I

I14m

I

+

4cm

a. Calcula el área y el perímetro.

b. Construye una figura con la misma área.

c- Encuentra una figura con el mismo períme-tro y diferente área.

Construye figuras quetengan la misma áreade la siguiente:

12 m __-l*_.1 dom J139

:r,i!.:,i:.i"ti

MedEeÉ*rc deH vs* r.arwerx

A, Establecer elvolumen de un cuerpoconsiste en determinor cuóntas veces

estó contenido el patrón cúbicode medida en é1.

Observa los prismas de las figuras Ay B

y calcula su volumen.

Rns+-::<=: El volumen del prisma de Ia figura A es de l6 cubos y el de lo figura B

es de 240 cubos.

fi. Si el patrón de medida delvolumen mrepresenta un metro cúbico, L--.--l----r

¿cuál es elvolumen delsiguiente prismo?

2mX5mX3m:30m3

Rr-*¡;":*:r.o.: El prisma mide 30 metros cúbicos (m3).

Elvolumen de un prismase calcula multiplicando sus tresdimensiones: largo, ancho y alto.

Y:12mX5mX3mV= 180m3

II

2m

i

ffiVolumenEs lo medido del

espocio ocupodopof un cuerpoj se

mide con unidodescúbicos:

Metro cúbico (m3),

cenlímelro cúbico

(cm3), milímelro

cúbico (mm3).

Volumen del prismo

V:lorgoxonchox olto

1

3m

I

V:l>(a.rh

V:150cmX70cmX90cmV: 945 000 cm3

GrlffilI ffilorro{r)I k*TgTt[l I

L=@F"i-lorgo (D\l/oncho (a)

: 15cm X Bcm x 10cm

:1 200 cm3

,a.l

I)

140

@-r- Calcula elvolumen de los siguientes objetos'

d.

1c130 cm

Iffil-* Otra manera de calcular el volumen de un

prisma es multiplicar el área de su base por

ia altura. ¿Cuál es el volumen de los siguien-

i*I * tul'u elvolumen de cada prisma y responde'

l -@ffI ". ¿cuarl,tu diferencia entre tI uottit"nt'I de los Prismas AY B?

I b. ;Cuál es la diferencia entre los volúmenes

I áe tos Prismas BY C?

II * oUr"rva las piezas con las que se construirá

I una caja Y resPonde.

I il".-\ =dYlffi+.mi-I r\ []+.I l -lt- .2cÍ

I g1z .l'. 1I ,r i- ,_--rd--__.{+"t I I l.l

I I I l'l lT' !_:_

¡ ' ¿Cuál será elvolumen de cada caja?

tes prismas?

a.

ts cm-*1

#** Liliana tiene un joyero en forma de cubo'que

mide 10 cm por cada lado' ¿Cuál es el volu-

men deljoYero?

,* Las dimensiones de un edificio son:50 m de

alto,12 m de ancho y 14 m de largo' ¿Cuál es

el volumen del edificio?

.*, En un almacén de calzado deben guardar 175

cajas con las siguientes dimensiones'

. ¿Cuál es elvolumen que ocuparán las cajas?

' t¿t

T20 cmt

¡-zo cm--l

F8 cm

cm