Guía de Mate 2 USB

MATEMÁTICAS II

Universidad Simón BolívarDepartamento de Matemáticas Puras y Aplicadas

Enero de 1998

Este libro es la continuación del texto Matemáticas I y ha contado con la colaboración demuchos profesores en las distintas etapas del mismo. Esta es una reedición de la Guía de MA-1112 (1997). Se hicieron algunas correcciones y se agregaron ejercicios. Se agregó el capítulode Integrales Impropias el cual estuvo a cargo del profesor Alberto Mendoza. Los redactoresde otros capítulos desde la primera edición son: María R. Brito, Julio Cano, Luis Mata, ReinaldoGiudici, Enrique Planchart y Lázaro Recht.

Los ejercicios agregados se tomaron de otras guías publicadas en el Departamento. Lospreparadores Yolanda Perdomo y Sebastian García colaboraron en el montaje de los ejercicios.

El arte final estuvo a cargo de los profesores Alberto Mendoza y Luis Mata.

Índice General

15 Primitivas 25315.1 Definición, primitivas de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25315.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15.2.1 Respuestas a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25815.3 El cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26115.4 Propiedades de las primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

15.4.1 Linealidad de las primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26315.4.2 Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26415.4.3 Primitivas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

15.5 Algunos ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

16 Integración 26716.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riemman . . . . . . . . . . . 267

16.1.1 Preliminares acerca de particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 26716.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

16.2.1 Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . . 27616.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux . . . . . . . . . . . 27816.4 Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

16.4.1 Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28216.4.2 Subaditividad y aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28316.4.3 Homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28416.4.4 Propiedad aditiva de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integra-ción) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

16.6 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29816.6.1 La Definición de Riemann de la Integral . . . . . . . . . . . . . . 298

16.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

17 La Función Logaritmo 31117.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31117.2 Propiedades de la función Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . 31117.3 La gráfica del f(x) = ln(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31317.4 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31517.5 Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31517.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31617.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

ii ÍNDICE GENERAL

18 La Función Exponencial 32318.1 La Función Exponencial Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32318.2 Propiedades de la función Exponencial Natural . . . . . . . . . . . . . . 32318.3 La gráfica de ex: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32518.4 Otra definición del número e: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32518.5 Funciones exponenciales generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32618.6 Funciones logarítmicas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32818.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32918.8 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

19 La Funciones Hiperbólicas 33519.1 El Seno Hiperbólico y el Coseno Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . 33519.2 Otras funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33719.3 Idéntidades hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33819.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . 34119.5 Las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34219.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34419.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

20 Métodos de Integración 34920.1 Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34920.2 Integración por sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35120.3 Sustituciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35320.4 Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35720.5 Integrales Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36220.6 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

21 Aplicaciones de la Integral 38121.1 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38121.2 Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38521.3 Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39121.4 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

22 Integrales Impropias 41122.1 Integrales sobre intervalos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

22.1.1 Criterio de convergencia sobre intervalos infinitos . . . . . . . . 41322.2 Integrales de funciones no acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

22.2.1 Criterio de convergencia para funciones no acotadas . . . . . . 41422.3 La función Gama de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41422.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

22.4.1 Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

252 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 15

Primitivas

Los importantes conceptos que ahora comenzamos a estudiar forman una muy po-derosa herramienta en el cálculo. Queda a todos usarlo para el provecho de la huma-nidad.

El primero, la primitiva, es lo «opuesto» de la derivada y se dice que: Dada unafunción f , toda función g tal que g0 = f se llama una primitiva de f .

Sólo con esa presentación usted puede, a manera de ejercicio, encontrar unaprimitiva (también llamada antiderivada) para cada una de las siguientes funciones:(verificar si sus resultados son o no correctos es muy fácil pues basta derivar lo obte-nido y compararlo con la función de partida)

1. f(x) = 4x3 + 2x

2. f(x) = 2 cosx

3. x(t) = t3 + 5t2 � 1

4. f(x) = x2=3

5. x(t) = cos 3t

6. f(x) = 2x cos(x2)

7. f(x) = cosxsen3x

8. f(x) = sen2x =1� cos 2x

2

9. f(x) = cos3 x

15.1 Definición, primitivas de una función

Ahora, más formalmente, comenzamos recordando que una función f es derivable sitiene derivada en cada punto de su dominio y que, para hablar de la derivada de unafunción en un punto, requerimos que la función esté definida en un intervalo abiertoalrededor del punto. Por ello, adoptaremos la siguiente convención:

Mientras no se especifique lo contrario, todas las funciones consideradas en estecapítulo tienen por dominio un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos.

Por supuesto, R = (�1;+1); (a;+1) y (�1; a) se consideran intervalos abier-tos.

Definición: Dada una función f , se llama primitiva de f a toda funciónderivable g tal que g0 = f , es decir, tal que g0(x) = f(x) para todo x deldominio de f y g.

254 Primitivas

Ejemplos

1. La función x! 2x3 + 3x es una primitiva de la función x! 6x2 + 3.

2. La función t! sent es una primitiva de t! cos t.

3. La función t! (sent) + 7, es también una primitiva de t! cos t.

4. Una primitiva de la función

x 7! 1p1� x2

j x j< 1

es la función x 7! arcsenx; también lo son todas las funciones x 7! arcsenx+ C, con C constante.

Como habrá notado en los ejemplos, una función puede tener más de una primitiva.En realidad, si una función tiene una primitiva, tiene una infinidad de ellas.

En efecto, si g0 = f , entonces, para toda constante c, se tiene:

(g + c)0 = f:

Por tanto, si uno conoce una primitiva de f , puede calcular una infinidad de ellas,sumándole constantes.

Lo interesante es que de esa manera se obtienen todas.Si g es una primitiva de f y el dominio de f es un intervalo, todas las primitivas de

f son de la forma g + c, con c constante.Este hecho es consecuencia del teorema siguiente:

Teorema 1 Sea f una función derivable cuyo dominio es un intervalo. Si la derivadade f se anula en todo punto del intervalo, la función es constante.

Prueba: Es una consecuencia inmediata del teorema de Lagrange. Tómelo comoejercicio. Puede ver los detalles en la guía de Matemáticas I. 2

Observación: Es importante la hipótesis de que el dominio de f seaun intervalo como lo muestra el ejemplo 3 que se da más adelante.

Corolario 2 Si f y g son dos funciones derivables y f 0(x) = g0(x) para todo x de unintervalo I , entonces f y g difieren en I por una constante, es decir, existe c 2 R talque f(x) = g(x) + c para todo x 2 I .

Prueba: En efecto, (f � g)0 = f 0 � g0 = 0 en el intervalo I ; eso, por el teorema 1,significa que f � g = c con c 2 R. Por tanto f = g + c en I . 2 Como consecuencia

inmediata tenemos ahora nuestra afirmación de antes:

Corolario 3 Si el dominio de f es un intervalo y F es una primitiva de f , toda primitivade f es la forma F + c, con c 2 R.

De nuevo se pide que el dominio de una función sea un intervalo; vea el ejemplo 4.

15.1 Definición, primitivas de una función 255

Ejemplo: 1.Supongamos que la velocidad de una partícula está dada por la funciónv(t) = 4t2 � 5 y que en el instante t = 3 la partícula se encuentra en elpunto de abscisa 6. Entonces, la función x(t) que da la posición de lapartícula en cada instante t, debe satisfacer

x0(t) = 4t2 � 5 y x(3) = 6:

Desde el punto de vista físico, esas dos condiciones deben determinarcompletamente el movimiento de la partícula. Veamos que ocurre lo mis-mo matemáticamente.

Como x(t) debe ser una primitiva de t! 4t2�5 y la función t! 4

3t3�5t

es una primitiva (verifíquelo) x(t) tiene que ser de la forma:

x(t) =4

3t3 � 5t+ C

con C 2 R (por el Corolario 3). Sabemos además que x(3) = 6, es decir:

4

333 � 5:3 + C = 6

De allí resulta que C = �15. Y, por lo tanto, la función que describe elmovimiento de esa partícula tiene que ser

x(t) =4

3t3 � 5t� 15:

Ejemplo: 2.Supongamos ahora que tenemos una partícula que se mueve en línearecta de manera que su aceleración en cada instante t es

a(t) = 6t+ 4

y trataremos de determinar su movimiento. De x00(t) = a(t) = 6t + 4, sededuce que x0(t) = 3t2 + 4t + C1 con C1 una constante. De la últimaigualdad se obtiene

x(t) = t3 + 2t2 + C1 t+ C2

con C2 constante.Cualesquiera que sean las constantes C1 y C2, la función x(t) así obte-

nida satisface x00(t) = 6t+4, y por tanto, sirve para describir el movimientode una partícula cuya aceleración sea t! 6t+ 4.

Desde el punto de vista físico, conocida la aceleración en cada instantejunto con la posición y velocidad en un instante determinado, el movimien-to de la partícula debe estar determinado.

Supongamos por ejemplo, que se sabe que la partícula se encuentraen el punto de abscisa 0 en el instante t = 1 y que su velocidad en eseinstante es 2.

Entonces

2 = x0(1) = 3:12 + 4:1 + C1

0 = x(1) = 13 + 2:12 + C1:1 + C2

es decir,

2 = 7 + C1

0 = 3 + C1 + C2

256 Primitivas

De allí resulta C1 = �5 y C2 = 2; quedando unívocamente determina-da la función que describe el movimiento de la partícula. Ella es:

x(t) = t3 + 2t2 � 5t+ 2

En las secciones siguientes diremos algo sobre cómo calcular primitivas.Antes quisiéramos presentarle algunos ejemplos más, que ayudan a acla-rar los resultados de esta sección.

Ejemplo: 3.Sea f la función definida por

f(x) = arctanx+ arctan1

x:

Entonces:

f 0(x) =1

1 + x2+

�1=x21 + 1=x2

=1

1 + x2+

�11 + x2

= 0

para todo x 6= 0

Sin embargo,

f(1) = arctan(1) + arctan(1) =�

2f(�1) = arctan(�1) + arctan(�1) = ��

2

así que f no es constante. Justifique usted. ¿Por qué este ejemplo nocontradice el teorema 1?

Ejemplo: 4.La función H definida por

H(x) =

�1 si x � 0�1 si x < 0

no tiene primitiva. Ver la gráfica en la figura 15.1.

gráfica de la función H(x)

Figura 15.1

Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Darboux, la pro-piedad del valor intermedio de la derivada (Matemáticas I) ya que H(x)

15.2 Ejercicios 257

presenta una discontinuidad de salto. También podemos contestar porreducción al absurdo, suponiendo que H tiene una primitiva.

Supongamos pues, que existe una función g : R ! R tal que g0(x) =H . Entonces, g0(x) = 1 en el intervalo (0;+1), lo cual implica que g(x) =x+C para todo x > 0. De la misma manera, g0(x) = �1 en (�1; 0) lo queimplica que g(x) = �x+K para todo x < 0.

Pero, si g es derivable en R, tiene que ser continua; en particular tieneque ser continua en 0. Como

limx!0+

g(x) = C y limx!0�

g(x) = K,

para que g sea continua en 0, es necesario que C = K = g(0). Por tanto

g(x) =

�x+ C si x � 0�x+ C si x < 0

Es decir, g(x) =j x j +C para todo x 2 R.Pero ya sabemos que x!j x j +C no es derivable en 0. Como hemos

llegado a algo falso, concluimos que nuestra suposición de que H tieneuna primitiva tiene que ser falsa. Por tanto H no tiene primitiva.

Más generalmente, en virtud del teorema de Darboux referido antes,no tienen primitiva aquellas que presentan un salto en su dominio, es de-cir, aquellas funciones para las cuales existan los dos límites laterales enun punto de su dominio, sin que sean iguales. El hecho notable es esapropiedad del valor intermedio para las funciones derivadas (MatemáticasI).

Sin embargo, eso no quiere decir que todas las funciones con primitivatengan que ser continuas; hay funciones discontinuas que tienen primitiva(sus discontinuidades no pueden ser «saltos»).

15.2 Ejercicios

1. Halle una primitiva de las funciones definidas por las expresiones siguientes:

(a) x2

(b) 2x

(c) senx

(d) cos 3x

(e) 4x3

(f) 4x3 + 2 cosx

2. Determine todas las funciones cuya derivada segunda sea:

x! 3x2 + 4sen2x

3. Determine todas las funciones cuya derivada tercera sea

x! 2x

258 Primitivas

4. Determine la función que describe el movimiento rectilíneo de una partícula sise sabe que:

(a) Su velocidad en cada instante t es t4 + 2t y x(0) = 5.

(b) Su velocidad en cada instante t es sen�t+ cos�t y x(1) = 0.

(c) Su aceleración en cada instante t es t2 + 2t y x(1) = 1 y v(1) = x0(1) = 3.

(d) Su aceleración en cada instante t es sen2t y x(0) = 1 y v(0) = 2.

(e) Su masa es 3 y sobre ella actúa una fuerza igual a 3t3+12 en cada instantet; además x(0) = 4 y v(0) = 15.

5. De una función f se sabe que

(a) f(2) = 3.

(b) En cada punto (x; f(x)) de su gráfico, la recta tangente existe y tiene pen-diente 3x+ 2. Determine f .

6. Pruebe que

arctanx+ arctan1

x=

8<:

�2

si x > 0

��2 si x < 0

(Sugerencia: use el teorema 1).

7. Sean g y f las funciones definidas por

g(x) =

�x2sen 1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

f(x) =

�2xsen 1

x� cos 1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

(a) Pruebe que g es una primitiva de f .

(b) Pruebe que f no es continua.

8. Sea F una primitiva de f y supongamos que f tiene inversa, que denotamospor f�1. Pruebe que la función G definida por:

G(x) = x:f�1(x)� F (f�1(x))

es una primitiva de f�1. (Suponga que f y f�1 son derivables).

9. Sea f la función definida por

f(x) =

�2x+ 3 si x � 05x� 2 si x < 0

Pruebe que f no tiene primitiva.

(Sugerencia: Teorema de Darboux, o alternativamente analice como tendríaque ser la primitiva en los intervalos (�1; 0) y (0;+1)).

15.2.1 Respuestas a los ejercicios

1.

15.2 Ejercicios 259

(a)x3

3

(b) x2

(c) � cosx

(d)1

3sen3x

(e) x4

(f) x4 + 2senx

2. Si f 00(x) = 3x2 + 4sen2x, entonces f 0(x) = x3 � 2 cos 2x+ C y, por tanto,

f(x) =x4

4� sen2x+ Cx+D

con C y D constantes arbitrarias.

3. Si f 00 0(x) = 2x, entonces f 00(x) = x2 + C:f 0(x) =x3

3+ Cx+D, y, por tanto,

f(x) =1

12x4 +

C

2x2 +Dx+E;

con C;D;E constantes arbitrarias.

4. (a) x(t) =t5

5+ t2 + C

(b) Si x0(t) = sen�t+ cos�t, entonces,

x(t) =1

�(� cos�t) +

1

�sen�t+ C

como x(1) = 0, se tiene

� 1

�(�1 + 0) + C = 0

C = � 1

�

Por tanto,

x(t) =1

�(� cos�t+ sen�t� 1)

(c) x(t) =t4

12+t3

3+

5

3t� 13

12

(d) x(t) = �1

4sen2t+

5

2t+ 1:

(e) Como F (t) = m:a(t) = 3t3 + 12, se tiene x00(t) = t3 + 4. Eso, junto conx(0) = 4 y v(0) = 15, implica

x(t) =t5

20+ 2t2 + 15t+ 4:

5. La pendiente de la tangente al gráfico de f en el punto (x; f(x)) es f 0(x). Por lahipótesis se sabe que esa pendiente vale 3x+ 2, es decir

f 0(x) = 3x+ 2 para todo x

De allí resulta,

f(x) =3

2x2 + 2x+ C:

260 Primitivas

Como f(2) = 3, se obtiene finalmente,

f(x) =3

2x2 + 2x� 7

6. Sea f(x) = arctanx+ arctan 1x

; entonces,

f 0(x) =1

1 + x2+

�1=x21 + 1=x2

=1

1 + x2� 1

1 + x2= 0

para todo x 6= 0. Por el teorema 1, f tiene que ser constante en (�1; 0) pues

f 0(x) = 0 en ese intervalo. Como f(�1) = ��

2, se tiene

f(x) = ��

2para todo x < 0.

Análogamente, f tiene que ser constante en (0;+1) y f(1) = �=2. Por tantof(x) = �=2 para todo x > 0.

7. (a) Si x 6= 0, se tiene

g0(x) = 2xsen1

x+ x2

�cos

1

x

�� 1

x2

�= 2xsen

1

x� cos

1

x= f(x):

En x = 0, se tiene

g(h)� g(0)

h=

h2sen(1=h)

h= hsen

1

h

Como

limh!0

hsen1

h= 0 (por ser j sen 1

hj< 1)

se tiene g0(0) = 0. Por tanto, g0(x) = f(x) para todo x 2 R y g es unaprimitiva de f .

(b)

limx!0

f(x) = limx!0

(2xsen1

x� cos

1

x)

no existe y, por tanto, f no es continua en 0.

8. Recordando la fórmula para la derivada de f�1 en términos de la derivada def , se tiene,

G0(x) = f�1(x) + x1

f 0(f�1(x))� f(f�1(x))

1

f 0(f�1(x))

= f�1(x) +x

f 0(f�1(x))� x

f 0(f�1(x))

= f�1(x) para todo x.

15.3 El cálculo de primitivas 261

9. Supongamos que f tuviera una primitiva, digamos g. Como f(x) = 2x + 3 en(0;+1), g tiene que satisfacer

g(x) = x2 + 3x+ C para todo x 2 (0;+1)

Análogamente,

g(x) =5

2x2 � 2x+K para todo x 2 (�1; 0)

En realidad, C = K = g(0) pues g es continua en 0 (por ser derivable). Portanto,

g(x) =

8><>:

x2 + 3x+ C si x � 0

5

2x2 � 2x+ c si x � 0

Las derivadas a la derecha y a la izquierda de esa función en el punto 0 valen,respectivamente, 3 y 2 y, por tanto ella no es derivable en 0; eso contradicenuestra suposición de que g0(x) = f(x) para todo x. Por tanto f no tiene primi-tiva.

15.3 El cálculo de primitivas

La ideas que aquí se presentan serán de utilidad, tanto para este curso, como paracursos de Física y cómo no ¡para toda las ciencias!.

Sea f una función que sabemos tiene primitivas y preguntémonos cómo obteneruna de ellas.

Puede ocurrir que la función f aparezca en la parte derecha de una tabla dederivadas «inmediatas» en ese caso ya está: la función que aparece a la izquierdade f en la tabla es una de sus primitivas, las otras se obtienen de ésa agregandoconstantes arbitrarias en cada intervalo máximo del dominio de f . Véase por ejemplola tabla 15.1

Ejemplos

1. Una primitiva de x 7! cosx es la función x 7! senx; toda otra primitiva de cos esde la forma x 7! senx+ C, con C constante.

2. Una primitiva de x 7! 1p1� x2

(jxj < 1) es la función x 7! arcsenx; todas sus

primitivas son de la forma x 7! arcsenx+ C.

3. Consideremos la función x 7! x5.

Esta no aparece en la columna de la derecha de la tabla, sin embargo, aparecela expresión 6x5 como derivada de x 7! x6 (caso � = 6 de la derivada dex 7! x6). De

d

dx(x6) = 6x5

262 Primitivas

f(x) f 0(x)constante 0x 1px 1=(2

px) (x > 0)

x� �x��1

senx cosxcosx �senxtanx 1 + tan2 x = 1= cos2 x

arcsenx 1=p1� x2 (jxj < 1)

arccosx �1=p1� x2 (jxj < 1)

arctanx 1=(1 + x2)

Tabla 15.1 Una tabla de derivadas

deducimos fácilmente que

d

dx(1

6x6) = x5:

Por tanto, las primitivas de x 7! x5 son las funciones de la forma

x 7! 1

6x6 + C:

De la misma forma se pueden obtener las primitivas de cualquier función de laforma x 7! x� con � real (x > 0 si � no es entero). escríbalas Ud. Las primitivasde x 7! x� son las funciones de la forma x 7! +C. (Complete usted elespacio en blanco).

Ahora pregúntese si tiene sentido esa fórmula en el caso en que � = �1 y quéocurre en ese caso. Esto lo veremos más adelante en el capítulo 16.

Definición: Si f es una función que admite primitivas, denotare-mos por: Z

f(x) dx

a cualquiera de ellas e inclusive a todas ellas simultáneamente.Este símbolo se lee «integral de efe de equis de equis».

4. Con esa notación, los ejemplos vistos hasta ahora se escriben:

(a) Zcosx dx = senx

yZcosx dx = senx+ C

15.4 Propiedades de las primitivas 263

(b) Z1p

1� x2dx

=

Zdxp1� x2

= arcsenx+ C (jxj < 1)

(c)Z

x5 dx =1

6x6 + C

Y, lo que usted debe haber completado, comoZx� dx =

x�+1

�+ 1+ C si � 6= �1

Dicho esto, sigamos averiguando cómo se calculan primitivas.

(d) Busquemos ahora una primitiva de la función x 7! 1=(1 + 4x2).En la tabla de derivadas encontramos que

d

dx(arctanx) =

1

1 + x2

fórmula que implica que,

d

dx(arctan 2x) =

2

1 + (2x)2

De esta última se deduce que

d

dx(1

2arctan(2x)) =

1

1 + 4x2

Por tanto,Zdx

1 + 4x2=

1

2arctan(2x) + C:

15.4 Propiedades de las primitivas

Aquí queremos resumir importantes propiedades de las primitivas que nos ayudaránen la solución de problemas y que también simplificarán su cálculo.

15.4.1 Linealidad de las primitivas

La linealidad de la operación tomar derivada trae como consecuencia la linealidad dela operación buscar primitiva. Lo resumimos en el siguiente teorema:

Teorema 4 Sean f y g funciones con primitivasZf(x) dx

yZg(x) dx

respectivamente. Sea � una contante arbitraria. Entonces

264 Primitivas

1.Z

� f(x) dx = �

Zf(x) dx

2.Z

(f(x) � g(x)) dx =

Zf(x) dx�

Zg(x) dx

Prueba: Queda como ejercicio para el lector. 2

15.4.2 Cambio de variables

La regla de la cadena para derivadas tiene consecuencias inmediatas para las primi-tivas:

Teorema 5 Sean f y g funciones derivables tal que existe la composición f � g enalgún intervalo abierto (a; b). Sea F una primitiva de f , entonces la función

F (g(x)) = (F � g) (x)

es una primitiva de f(g(x)):g0(x). Lo cual también escribimos como

F (g(x)) =

Zf(g(x)):g0(x) dx

Prueba: Inmediato recordando la Regla de la Cadena y calculando la derivada

dF (g(x))

dx= F 0(g(x)):g0(x) = f(g(x)):g0(x)

2

El caso de las potencias

A manera de observación, podemos pensar en el teorema anterior para el caso donde

f(x) = xn con n 2 N. En ese caso una primitiva de f(x) esxn+1

n+ 1. Así para toda

función derivable g(x) podemos escribir la fórmula:Z(g(x))n:g0(x) dx =

(g(x))n+1

n+ 1

Esta fórmula se puede extender para otros casos del exponente n 6= �1.

15.4.3 Primitivas por partes

Por último mencionaremos que la regla de Leibniz para la derivada de un productotambién nos ayuda en el cálculo de las primitivas:

Teorema 6 Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a; b). Entonces:Zf(x):g0(x) dx = f(x):g(x) �

Zf 0(x):g(x) dx:

Es decir, asumiendo que existen primitivas para f(x):g0(x) y f 0(x):g(x) respectiva-mente, entonces una (y toda) primitiva de f(x):g0(x) se obtiene como f(x):g(x) «me-nos» una primitiva de f 0(x):g(x).

15.5 Algunos ejercicios 265

Prueba: Estamos asumiendo que existen las primitivas referidas. La regla deLeibniz nos afirma que:

d

dx(f(x):g(x) ) =

f(x):g0(x) + f 0(x):g(x)

por lo tantoZd

dx(f(x):g(x) ) dx = f(x):g(x)

es una primitiva de

f(x):g0(x) + f 0(x):g(x)

pero por linealidad tenemos,Z[f(x):g0(x) + f 0(x):g(x)] dx

=

Zf(x):g0(x) dx +

Zf 0(x):g(x) dx

así llegamos inmediatamente a la expresión buscada. 2

15.5 Algunos ejercicios

1. Calcule una primitiva de las funciones definidas por las siguientes fórmulas

(a) 5px2 (x 6= 0) es un caso especial de x�

(b) senx; sen3x; 4senx; bsen(ax) (a; b 2 R):(c) cos(�2x); 5 cos(3x).

2. Complete

(a)Z

(1 + tan2 x) dx = ? (��2

< x <�

2)

(b)Z

3x5 dx = ?

(c)Z

2px dx = ? (x > 0)

(d)Z �dxp

1� x2= ? (j x j< 1)

3. Halle una primitiva de las funciones definidas por las expresiones siguientes:

(a)1p

1� (3x)2(j 3x j< 1)

(b)1

1 + 5x2

(c)1p

1 + 3x2

(d) cos(x+ 1)

266 Primitivas

(e) �2sen(2x+ 3)

4. Obtenga una función que cumpla con lo requerido: (fijarse en las constantes)

(a) f 0(x) =1

(x� 3)2para todo x > 3;

f(4) = 5

(b) f 00(x) = x2 para todo x;

f 0(1) = 1, f(1) =1

2

(c) f 00 0(x) = 3 para todo x;f 00(2) = 0 , f 0(2) = 0 , f(2) = �5.

(d) f 00(t) =1

t3para todo t 6= 0;

f 0(�1) = 0 f(�1) = 0.

Capítulo 16

Integración

Para el mejor aprovechamiento de este capítulo, se recomienda un repaso de lasnociones de supremo e ínfimo.

16.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riem-man

16.1.1 Preliminares acerca de particiones

Sea [a; b] = I un intervalo cerrado de números reales. Una partición P de I consistede una sucesión de números x0; x1; : : : ; xn; donde

a = x0 � x1 � : : : � xn = b

Muchas veces pondremos

P : a = x0 � x1 � : : : � xn = b

Observe que entre los números x0; x1; : : : ; xn; puede haber repeticiones. Podemoshacer un dibujo de una partición de I , como en la figura 16.1. en donde n = 6, y

un dibujo de unapartición de I

Figura 16.1

donde se repiten x1 y x2 y x5 y x6:Podemos decir que una partición P de I consiste en «una distribución ordenada

de puntos entre a y b» .Si

P : a = x0 � x1 � : : : � xn = b

es una partición de [a; b], llamaremos los puntos de P y escribiremos puntos (P ) alconjunto (finito):

puntos(P ) = fxk j k = 0; 1; : : : ; ng

268 Integración

Observe que puntos(P ) es un conjunto de números reales, mientras que la particiónP misma, es una numeración creciente de estos puntos con posibles repeticiones.Conviene cuidarse para no confundir ambos conceptos. Por ejemplo, en la particiónP esquematizada en la figura 16.1, aunque n = 6, tenemos que el conjunto puntos(P )tiene exactamente cinco elementos.

Cuando sea necesario, indicaremos con P(I) o P simplemente, al conjunto detodas las posible particiones de I:

Ahora introducimos en el conjunto P de todas las posible particiones de I , unarelación de orden, que será fundamental para el desarrollo del concepto de integral.

Definición: Dadas las particiones P y P 0 de I , diremos que P esmenos fina que P 0 o que P 0 es más fina que P y escribiremos P � P 0

o bien P 0 � P si el conjunto de los puntos de P está contenido en elconjunto de los puntos de P 0:

puntos(P ) � puntos(P 0)

Para aclarar el significado de esta definición pongamos los siguientes nombres:Si P : a = x0 � x1 � : : : � xn = b es una partición de I , pongamos

I1 = [x0; x1];

I2 = [x1; x1];

...

In = [xn�1; xn]

y llamaremos a cada uno de estos intervalos cerrados un intervalo de la partición P:Podríamos decir que una partición como P subdivide a I en los intervalos I1; I2; : : : ; In:En la figura 16.1 están marcados los intervalos I1; I2; : : : ; I6: Observe que algunos deestos intervalos «degeneran» a un solo punto.

Volviendo a nuestra definición, podemos decir que si P es menos fina que P 0,entonces P 0 subdivide a cada intervalo de P en subintervalos, salvo por los posiblesintervalos reducidos a un solo punto de P: (Analice esta afirmación). Observe quetambién uno podría tener P � P 0 con

P : a = x0 � x1 � : : : � xn = b

P 0 : a = x00 � x01 � : : : � x0n0 = b

pero podría ser n > n0 (porque podrían haber repeticiones). ¿Podría poner un ejem-plo?

Ahora pasamos a describir algunas propiedades fundamentales de la relación P �P 0: Las numeramos:

1. P � P para cada P 2 P : (Propiedad reflexiva). Esto es obvio

2. Si P � P 0 y P 0 � P 00, entonces P � P 00: Esta es la propiedad transitiva y esevidente.

3. Si P � P 0 y P 0 � P ; no podemos concluir que P y P 0 sean iguales, pero unaconclusión correcta es que

puntos(P ) = puntos(P 0);

lo cual es claro a partir de la definición.

16.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riemman 269

Así entonces, dos particiones «igualmente finas» (cada una es menos fina quela otra), pueden no ser iguales (¡haga un ejemplo!), pero son «esencialmenteiguales» : tienen los mismos puntos. La única diferencia sólo puede estar en lanumeración de estos puntos.

Observación: La relación � de orden en P de particiones deI = [a; b] tiene varias diferencias importantes con, por ejemplo, elorden � de los números reales. Una de ellas es que el orden de Pno es lineal: Existen particiones P y P 0 tales que ni P � P 0 ni P 0 � P(decimos: P y P 0 no son comparables). Por ejemplo vea la figura 16.2.

P y P 0 no soncomparables

Figura 16.2

4. La siguiente propiedad del orden en P , tiene que ver con la linealidad, aunquees más débil y dice así:

Si P y P 0 son particiones de I , entonces existe P 00 2 P tal que

P � P 00 y P 0 � P 00:

Es decir, dadas dos particiones P y P 0, pueden no ser comparables, pero hayalguna que «sigue» a ambas (es más fina que ambas).

En cuanto a la demostración es claro que si consideramos el conjunto

A = puntos(P ) [ puntos(P 0)

de los puntos de ambas particiones P y P 0 y las numeramos en forma creciente,obtenemos la partición P 00 buscada.

Con esta lista de propiedades del orden en P , concluimos la sección y pasamosa la construcción de la integral.

Ejemplos

1. f�2;�1; 0; 12; 1; 3g es una partición de [�2; 3] en donde

x0 = �2; x1 = �1; x2 = 0; x3 =1

2; x4 = 1; x5 = 3

y es claro que

�2 < �1 < 0 <1

2< 1 < 3

x0 < x1 < x3 < x3 < x4 < x5

270 Integración

Obsérvese que la partición aquí presentada consta de 6 puntos, los cuales sub-dividen al intervalo dado [�2; 3] en 5 subintervalos, a saber:

[�2;�1]; [�1; 0]; [0; 12]; [

1

2; 1]; [1; 3]

La longitud del intervalo dado es 3 � (�2) = 5 y las longitudes de los subinter-valos correspondientes a la partición son respectivamente:

�1� (�2) = 1; 0� (�1) = 1;1

2� 0 =

1

2; 1� (

1

2) =

1

2; �3� (�1) = 2

� � � � � �

-2 -1 01

21 3| {z } | {z } |{z} |{z} | {z }

1 11

2

1

22| {z }

5

Ejercicios

1. Sea D =

�1

2; 1;

3

2; 2; 4

�una partición de [ 12 ; 4]. Explique las razones por las

cuales podemos hacer tal afirmación. Indique cuántos puntos tiene la particióny cuáles son los subintervalos en que queda subdividido [ 12 ; 4]. Calcúlenseademás las longitudes del intervalo dado y la de los subintervalos.

2. (a) Demostrar que si un conjunto A tiene máximo, entonces máx(A) =Sup(A).

(b) Demostrar que si para un conjunto A no vacío acotado superiormente,Sup(A) 2 A, entonces Sup(A) =máx(A).

(c) Demostrar las propiedades análogas a las de (a) y (b) para mínA e ínfA.

(d) Demuestre que si A es un conjunto acotado y B es un subconjunto novacío de A, entonces B es acotado y se cumple que:

ínf(A) �ínf(B) y Sup(B) �Sup(A).

3. Sean P1; P2 particiones del intervalo [0; 1], con

P1 =

�0;

1

7;1

3; 1

�; P2 =

�0;

1

7;1

4;3

4; 1

�

(a) Construya P � = P1 [ P2(b) ¿Es P � un refinamiento de P1 ó de P2? Justifique su respuesta.

(c) Calcular la norma de P1; P2 y P � respectivamente.

(Norma P =máx(xi � xi�1); i = 1; 2; : : : ; n)

16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux 271

16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux

En esta sección fijamos un intervalo I = [a; b] y en él fijamos una partición

P : a = x0 � x1 � : : : � xn = b

con sus intervalos

I1 = [x0; x1];

I2 = [x1; x1];

...

In = [xn�1; xn]

Además fijamos una función f(x) definida en I , de la que suponemos que es acotada.Esto significa que existen números m y M tales que m � f(x) �M para todo x 2 I:Estos datos se observan en la figura 16.3. Con estos datos, introducimos los números

un dibujo de unapartición de I

Figura 16.3

mk = infff(x) jx 2 IkgMk = supff(x) jx 2 Ikg

que se ilustran en la figura 16.3.Definimos ahora dos números básicos asociados con los datos: Ponemos

S(f; P ) = m1 jI1j + � � �+mn jInj= m1 (x1 � x0) + � � �+mn (xn � xn�1)

S(f; P ) = M1 jI1j + � � �+Mn jInj= M1 (x1 � x0) + � � �+Mn (xn � xn�1)

Estos números se llaman así: El primero es la suma inferior de Darboux de la funciónf para la partición P y el segundo es la suma superior de Darboux de la funciónf para la partición P: Hemos usado la notación jIkj para la longitud del intervaloIk = [xk�1; xk], que es xk �xk�1 y que a veces también se escribe xk �xk�1 = �xk :Podríamos haber escrito entonces,

S(f; P ) =

nXk=1

mk �xk

272 Integración

S(f; P ) =

nXk=1

Mk �xk

La siguiente observación, tiene demostración muy sencilla (a cargo del lector) yes importante.

Observación: Si P y P 0 son igualmente finas, es decir, si P � P 0 yP 0 � P , entonces

S(f; P ) = S(f; P 0)

y

S(f; P ) = S(f; P 0)

«Las sumas inferiores y superiores de Darboux no cambian, si se sustituyeuna partición por otra igualmente fina» .

Como ayuda para probarlo observe que los únicos términos que pueden aparecerpor ejemplo en S(f; P ) y no en S(f; P 0) tienen �xk = 0, y viceversa. (¿Por qué?).Análogamente para las sumas superiores.

Observe que cada uno de los términos de las sumas anteriores, se pueden consi-derar como el producto de una longitud en el eje x por un número, que si lo medimos,con su signo, sobre el eje y, produce como resultado el área con signo, de un rectán-gulo. Esto se ilustra en las figuras 16.4 y 16.5. En el caso de la figura 16.4, S(f; P )

S(f; P ) resta lasáreas sobre el

eje x menos lasáreas bajo el eje

Figura 16.4

consiste de la suma de las áreas de los rectángulos que están sobre el eje x menos lasuma de las áreas de los que están por debajo. También en el caso de la figura 16.5,S(f; P ) consiste de la suma de las áreas de los rectángulos que están sobre el eje xmenos la suma de las áreas de los que están por debajo.

El lector diligente, observará que si f(x) es � 0, y

R = f(x; y)jx 2 [a; b]; 0 � y � f(x)g= «región bajo la gráfica de» f

entonces S(f; P ) «calcula el área de R por exceso» y que S(f; P ) «calcula el áreade R por defecto» en el sentido que los rectángulos que sirven para calcular S(f; P )«cubren R» mientras que aquellos que sirven para calcular S(f; P ) «cubren una re-gión contenida en R» , como ilustran las figuras 16.6 y 16.7. Claro que la afirmaciónanterior es vacía porque no sabemos aún qué cosa es el área de R:


S(f; P ) resta lasáreas sobre eleje x menos lasáreas bajo el eje

Figura 16.5

S(f; P )"<calcula el

área de R porexceso">

Figura 16.6

S(f; P ) "<calcu-la el área de Rpor defecto">

Figura 16.7

274 Integración

Ejemplos

1. Podemos usar la noción de límite para calcular un área. Como un primer pro-blema calculamos un área A rayada de la figura 16.8, es decir, el área bajo laparábola de la ecuación y = x2, acotada por el eje x y la recta de la ecuaciónx = b.

Podemos usar la noción de límitepara calcular un área

Figura 16.8

A tal efecto se divide el segmento [0; b] en n partes iguales y se considera elárea An obtenida al sumar las áreas de los rectángulos «inscritos», construidossobre los subintervalos

�b

n; 2b

n

�;

�2b

n; 3b

n

�; : : : ;

�(n� 1)

b

n; bb

n

�

(ver figura 16.9).

Finalmente se llega a:

An =b3

n3

�12 + 22 + : : :+ (n� 1)2

�

para todo n 2 N y se concluyó que

limn!1

An =b3

3

Por tanto, el área buscada se «aproxima bastante» ab3

3

2. Continuemos explotando la idea de calcular un área, consideremos de nuevo lafigura 16.8, repitamos la subdivisión de [0; b] en n partes iguales pero constru-yamos ahora los rectángulos «circunscritos», como sugiere la figura 16.10.


las áreas de los rectángulos "<inscri-tos">

Figura 16.9

las áreas de los rectángulos"<circunscritos">

Figura 16.10

De modo que

Bn =b

n� b

2

n2+

b

n� 22 b

2

n2+ : : :+ n2

b

n� b

2

n2

=b3

n3(12 + 22 + : : :+ n2)

=b3

n3

nXk=1

k2 para todo n 2 N

Al crecer n, las áreas Bn se aproximan al área buscada, por tanto,

A � limn!1

Bn = limn!1

b3

n3

nXk=1

k2 = limn!1

n(n+ 1)(2n+ 1)

6=

b3

3

luego el área A � b3

3

Ejercicios

1. Representar gráficamente la función real de valores reales, f , cuya ley de co-rrespondencia es:

f(x) =

8>>><>>>:

3� x si x 2 [�1; 0)

1 + x2 si x 2 [0; 1)

�3 si x 2 [1; 2]

276 Integración

Sea P =

��1; �3

4; 0;

1

2; 1;

3

2; 2

�una partición del intervalo [�1; 2]. Demues-

tre que f es acotada en [�1; 2] y calcule s(f; P ) y S(f; P ).

2. Sea f una función real de valores reales, acotada en [a; b], esto es, existennúmeros reale m y M tales que m � f(x) �M para todo x 2 [a; b]. Demuestrela desigualdad siguiente:

m(b� a) � s(f; P ) � S(f; P ) �M(b� a)

para cualquier partición P de [a; b].

3. Si P1 y P2 son particiones de [a; b] y P1 � P2 se dice que P2 es un refinamientode P1. Bajo las hipótesis del ejercicio anterior demuestre que:

s(f; P1) � s(f; P2)

S(f; P1) � S(f; P2)

Estas desigualdades se acostumbra leerlas en la forma siguiente: «La sumainferior para una partición P1 es siempre menor o igual que la suma inferior pa-ra un refinamiento P2» y «la suma superior para P1 es siempre mayor o igualque la suma superior para el refinamiento P2», o también: «A medida que re-finamos las particiones, las suma inferiores aumentan y las sumas superioresdiminuyen».

4. Sea f tal que f(x) =

8>>><>>>:

x+ 2 si x 2 [�1; 0]

x si x 2 (0; 1)

1 +px si x 2 [1; 4]

Para [�1; 4], sea P = f�1; 0; 1; 3; 4g 2 P ([�1; 4]).

(a) Demuestre que f es acotada en [1; 4].

(b) Calcúlese

m1(f; P ); m2(f; P ); m3(f; P ); m4(f; P ); y

M1(f; P ); M2(f; P ); M3(f; P ); M4(f; P )

(c) ¿Se cumple que 0 � mi(f; P ) �Mi(f; P ) � 3; 8 i = 1; 2; 3; 4?

5. Sea f dada por f(x) =

8>>><>>>:

3� x si x 2 [�1; 0)

1 + x2 si x 2 [0; 1)

3 si x 2 [1; 2]y P = f�1;� 1

2 ; 0;12 ;

32 ; 2g. Halle s(f; P ) y S(f; P ).

16.2.1 Propiedades básicas de las sumas de Darboux

Las siguientes son algunas de las propiedades más importantes que tienen las sumasde Darboux y que nos serán indispensables en la construcción de la integral.


1. Si f es acotada en I = [a; b] y P es una partición de I , entonces

S(f; P ) � S(f; P ):

Esta afirmación es evidente y su prueba queda a cargo del lector.

2. Si f es acotada en I y si P , P 0 son particiones de I tales que P � P 0, entonces

S(f; P ) � S(f; P 0)(16.1)

S(f; P ) � S(f; P 0)(16.2)

Es decir, «cuando afinamos la partición, las sumas superiores bajan mientrasque las sumas inferiores suben» .

Prueba: Para demostrar esto basta verlo en el caso en que P 0 tiene un solopunto de partición más que P , porque el caso general consiste en una sucesiónde aplicaciones de este caso (el lector debe convencerse de esto). Considere-mos entonces este caso. La figura 16.11, ilustra la situación: Consideremos el

el caso en queP 0 tiene un solopunto de parti-ción más que P

Figura 16.11

caso de la desigualdad 16.1. En las dos sumas S(f; P ) y S(f; P 0) aparecen losmismos términos no nulos. La única diferencia es la siguiente:

� En S(f; P ) aparece el término mk(xk � xk�1) donde

mk = infff(x)jx 2 [xk�1; xk]g� En S(f; P 0) aparece en cambio la suma de dos términos:

�j(tj � tj�1) + �j+1(tj+1 � tj)

donde

�j = infff(x)jx 2 [tj�1; tj ]g�j+1 = infff(x)jx 2 [tj ; tj+1]g

El lector podrá mostrar sin dificultad que el número mk es a la vez, menor oigual que ambos �j y �j+1 (ya que «el ínfimo de un conjunto de números sólopuede decrecer si al dado conjunto se agregan más números» ).

Pero entonces

mk(xk � xk�1) = mk(tj � tj�1) +mk(tj+1 � tj)

� �j(tj � tj�1) + �j+1(tj+1 � tj)

lo que prueba que

S(f; P ) � S(f; P 0)

278 Integración

porque, como dijimos, los demás términos son iguales en ambas sumas. Laprueba de la desigualdad 16.2 es análoga y queda a cargo del lector. 2

3. Si f es acotada en I = [a; b] y P , P 0 son particiones de I , entonces

S(f; P ) � S(f; P 0):

Observe que lo que aquí decimos supera en mucho lo que se afirma en 1.En efecto, aquí decimos que toda suma inferior de f es inferior a toda sumasuperior independientemente de las particiones que se usen en cada caso.

Prueba: La prueba es así: Elegimos una partición P 00, más fina que ambas P yP 0 (recordando las propiedades del orden de las particiones en la página 268).Entonces

S(f; P ) � S(f; P 00) prop. 2 P � P 00

S(f; P 00) � S(f; P 00) prop. 1

S(f; P 00) � S(f; P 0) prop. 2 P � P 0

y de las tres desigualdades anteriores, sigue lo dicho. 2

16.3 La integral superior y la integral inferior de Dar-boux

Dada la función acotada f en I = [a; b], queremos considerar que las sumas superio-res S(f; P ) producen «estimaciones por exceso» y que las sumas inferiores S(f; P )producen «estimaciones por defecto» de un número que, en caso de existir, será laintegral de f en I:

Ya hemos visto que para cada P 2 P (P = conjunto de todas las particiones de I)y cada P 0 2 P ;

S(f; P ) � S(f; P 0):

Como además, a medida que afinamos la partición P , las sumas inferiores de f subenmientras que las sumas superiores bajan, parece natural introducir los siguientes dosnúmeros: Z b

a

f(x) dx = sup fS(f; P ) j P 2 Pg

y

Z b

a

f(x) dx = inf�S(f; P ) j P 2 P

Definición: El númeroZ b

a

f(x) dx se llama la integral inferior de Dar-

boux de f sobre el intervalo I , mientras que el númeroZ b

a

f(x) dx se llama

la integral superior de Darboux sobre I:

16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux 279

Observemos que

Z b

a

f(x) dx y

Z b

a

f(x) dx

son algo así como «la mejor (igual a la mayor) suma inferior» de f y «la mejor (iguala la menor) suma superior» de f (la que corresponde a «la partición más fina de I»).Lamentablemente no existe «la partición más fina de I» ni por consiguiente la mejorsuma inferior, ni la mejor suma superior.

Observemos que

fS(f; P ) j P 2 Pg y�S(f; P ) j P 2 P

son conjuntos de números, de los cuales el primero está superiormente acotado (porcualquier S(f; P ) con P 2 P) y el segundo está inferiormente acotado (por cualquierS(f; P ) con P 2 P). Es por esto que los números

Z b

a

f(x) dx y

Z b

a

f(x) dx;

existen. Además la desigualdad

Z b

a

f(x) dx �Z b

a

f(x) dx

debería ser evidente. A pesar de ello, damos a continuación una prueba.

Prueba: Sea � > 0: Existe entonces una partición P de I tal que

1. S(f; P ) +�

2>

Z b

a

f(x) dx

2. S(f; P )� �

2<

Z b

a

f(x) dx

¿Por qué? (¡Es importante que el lector se convenza de que lo anterior es conse-cuencia de la definición de ínfimo y supremo!).

EntoncesZ b

a

f(x) dx < S(f; P ) +�

2

� S(f; P ) +�

2

<

Z b

a

f(x) dx + (�

2+

�

2):

Entonces, para cualquier número positivo � los númerosZ b

a

f(x) dx yZ b

a

f(x) dx cum-

plen con:

Z b

a

f(x) dx <

Z b

a

f(x) dx + �:

280 Integración

Queda como ejercicio importante para el lector, que entonces necesariamente

Z b

a

f(x) dx �Z b

a

f(x) dx;

como se quería. 2

Ahora damos finalmente la definición más importante del capítulo.

Definición: Diremos que la función f , acotada en el intervalo I =[a; b], es integrable en I si

Z b

a

f(x) dx =

Z b

a

f(x) dx

En este caso, diremos que el número

Z b

a

f(x) dx �o

Z b

a

f(x) dx

es la integral de f en el intervalo I y pondremos simplementeZ b

a

f(x) dx para indicar

este número.En símbolos, cuando f es integrable en I ,

Z b

a

f(x) dx =

Z b

a

f(x) dx

yZ b

a

f(x) dx =

Z b

a

f(x) dx =

Z b

a

f(x) dx:

Veamos primero, una caracterización útil de la noción de función integrable:

Proposición 7 Sea f(x) una función acotada en I = [a; b]: Entonces f es integrableen I si y sólo si se verifica la siguiente condición:

«Para cada � > 0, existe una partición P tal que S(f; P )� S(f; P ) < �:"

Demostración: Esta prueba tiene, como siempre, dos partes. Supongamos primeroque f es integrable. Sea � > 0: Entonces, existe una partición P 0 tal que

Z b

a

f(x) dx+�

2> S(f; P 0)

(¿Por qué? Se trata de la definición misma de ínfimo. Recuerde queR

es un ínfimode S(f; P 0)).

También existe P 00 tal queZ b

a

f(x) dx� �

2< S(f; P 00)

(¿Por qué? Nuevamente se trata de la definición de supremo. Recuerde queR

es un

supremo de S(f; P 0)).

16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux 281

Ahora elegimos P � P 0 y P � P 00, así tenemos que

R baf(x) dx+ �

2 > S(f; P 0) > S(f; P );

y

�R baf(x) dx + �

2> �S(f; P 00) > �S(f; P )

Sumando, S(f; P )� S(f; P ) < �; como queríamos.Ahora, recíprocamente, supongamos que se cumple la condición del enunciado

de la proposición y probemos que f es integrable. Sea � > 0 y sea P una partición deI tal que S(f; P )� S(f; P ) < �: Entonces

Z b

a

f(x) dx �Z b

a

f(x) dx � S(f; P )� S(f; P ) < �:

(En efecto, se sustituyóR

por S que es más pequeña).Luego, la diferencia

Z b

a

f(x) dx �Z b

a

f(x) dx

es un número mayor o igual a cero, que es menor que cualquier número positivo �:Entonces, necesariamente

Z b

a

f(x) dx =

Z b

a

f(x) dx

como queríamos. 2

Ejemplos

1. Sea f : [a; b]! R tal que f(x) = C = constante.

Demostraremos que f es integrable en [a; b] y que

Z b

a

f =

Z b

a

C dx = C

Z b

a

dx = C(b� a)

En efecto, sea P = fxiji = 0; 1; : : : ; ng 2 P ([a; b]), es evidente que

mj = Mj = C; j = 1; 2; : : : ; n;

luego:

s(f; P ) =

nXj=1

C(xj � xj�1) = C

nXj=1

(xj � xj�1) = C(b� a)

y

S(f; P ) =

nXj=1

C(xj � xj�1) = C

nXj=1

(xj � xj�1) = C(b� a)

282 Integración

f(x) = C=constante, es integrableen [a; b]

Figura 16.12

Entonces, inffS(f; P )jP 2 P ([a; b])g = supfs(f; P )jP 2 P ([a; b])g = C(b � a),de donde

Z b

�af =

Z �b

a

f =

Z b

a

C = C(b� a)

Ejercicios

1. Sea f : [0; 1] �! R tal que f(x) =

(0 si x es racional

1 si x es irracionalDemuestre que f no es integrable en [0; 1].

2. ¿Es cierta la siguiente afirmación? Toda función acotada en [a; b] es integrableen [a; b]. Razone su respuesta.

3. Sea f : [0; 1] �! R tal que f(x) =

(x si x es racional

1� x si x es irracional¿Es integrable f en [0; 1]? Razone su respuesta.

16.4 Propiedades de la integral

Ahora pasamos a analizar las propiedades generales básicas de la integral inferior ysuperior de Darboux, así como aquéllas de la integral.

16.4.1 Monotonía

Las siguientes afirmaciones son sencillas y sus demostraciones quedan a cargo dellector. Sean f y g acotadas en I: Supongamos que f(x) � g(x) para todo x 2 I:Entonces

16.4 Propiedades de la integral 283

1.Z b

a

f(x) dx �Z b

a

g(x) dx

2.Z b

a

f(x) dx �Z b

a

g(x) dx

3. Si f y g son integrables, entoncesZ b

a

f(x) dx �Z b

a

g(x) dx:

16.4.2 Subaditividad y aditividad

Aquí probamos la siguiente

Proposición 8 Sean f(x) y g(x), acotadas en I = [a; b]: Entonces

(i)Z b

a

(f(x) + g(x)) dx �Z b

a

f(x) +

Z b

a

g(x) dx

(ii)Z b

a

(f(x) + g(x)) dx �Z b

a

f(x) +

Z b

a

g(x) dx

(iii) Si ambas f y g son integrables en I , entonces f + g también es integrable enI y se tieneZ b

a

(f(x) + g(x)) dx =

Z b

a

f(x) +

Z b

a

g(x)

Demostración: Probaremos solamente (i) y (iii). La prueba de (ii) es semejante a lade (i). «mutatis mutandis» . Sea P una partición de [a; b]: Afirmo que

S(f + g; P ) � S(f; P ) + S(g; P ):

En efecto, esta desigualdad es consecuencia de que

Mk(f + g) �Mk(f) +Mk(g)

«El supremo de la suma f + g en Ik es menor o igual que el supremo de f en Ik másel supremo de g en Ik".

Esto es claro puesto que

supff(x)jx 2 Ikg � f(x) y supfg(x)jx 2 Ikg � g(x)

para cualquier x 2 Ik, así que

Mk(f) +Mk(g) � f(x) + g(x)

para todo x 2 Ik y así

Mk(f) +Mk(g) �Mk(f + g):

Pero entonces,Z b

a

(f + g) dx

= inffS(f + g; P )jP 2 Pg� S(f + g; P )

� S(f; P ) + S(g; P )(16.3)

284 Integración

cualquiera que sea la partición P de P :Ahora, sea � > 0 y sea P 2 P tal queZ b

a

f(x) dx+�

2> S(f; P ) y

Z b

a

g(x) dx+�

2> S(g; P )

(¿Por qué hay una tal partición P?). Entonces usando la ecuación 16.3, tenemos quepara cada � > 0,Z b

a

(f(x) + g(x)) dx

� S(f; P ) + S(g; P )

<

Z b

a

f(x) dx +

Z b

a

g(x) dx + �

En consecuencia, tenemos (i) (El lector debe demostrar que si dados los números �y �, se tiene para todo � > 0, que � � � + �, entonces necesariamente, � � �).

En cuanto a la demostración de (iii) tenemos el elegante argumento que damosacontinuación:R b

a(f + g) dx �

R baf(x) dx +

R bag(x) dx

R ba(f + g) dx �

R baf(x) dx +

R bag(x) dx

9>=>;(16.4)

Pero los dos miembros de estas dos desigualdades son iguales si suponemos que fy g son integrables. Entonces resulta queZ b

a

(f + g) dx �Z b

a

(f + g) dx;

con lo que deben ser iguales y esto prueba la integrabilidad de f + g: Pero entonces

en la ecuación 16.4 la integralZ b

a

(f + g) dx debe ser a la vez, mayor o igual, y menor

o igual queZ b

a

fdx+

Z b

a

g dx, así que debe coincidir con esta suma y así concluye la

prueba de (iii) y de la proposición. 2

16.4.3 Homogeneidad

Aquí probamos la siguiente

Proposición 9 Sea f(x) acotado en I = [a; b]: Entoces:i) Si � � 0;Z b

a

(� f(x)) dx = �

Z b

a

f(x) dx

Z b

a

(� f(x)) dx = �

Z b

a

f(x) dx

ii) Si � < 0,Z b

a

(� f(x)) dx = �

Z b

a

f(x) dx


Z b

a

(� f(x)) dx = �

Z b

a

f(x) dx

iii) Si f es integrable en I y � 2 R, entonces � f también es integrable en I y setiene Z b

a

� f(x) dx = �

Z b

a

f(x) dx:

Demostración: La prueba de esta proposición se basa en las siguientes propiedadessencillas del supremo e ínfimos cuya demostración dejamos a cargo del lector.

Si A es un conjunto acotado de números (y no vacío) y si � 2 R, entonces

� supA = sup(�A)� inf A = inf(�A)

�si � � 0

� supA = inf(�A)� inf A = sup(�A)

�si � < 0

donde hemos denotado �A para el conjunto

�A = f� aja 2 Ag:

Entonces, por ejemplo para la prueba de (i) razonamos así: Supongamos � � 0, paracada partición P de I ,

Mk(� f) = supf� f(x)jx 2 Ik = [xk�1; xk]g = sup�A;

donde A = ff(x)jx 2 Ikg: Luego

Mk(� f) = sup�A = � supA = �Mk(f):

Entonces,

S(� f; P ) =

=

nXk=1

Mk(� f)�xk

= �

nXk=1

Mk(f)�xk

= �S(f; P )

para cada partición P de I: Entonces, tomando el ínfimo sobre las particiones P :

inffS(� f; P )jP 2 Pg

=

Z b

a

� f(x) dx

= inff�S(f; P )jP 2 Pg= � inffS(f; P )jP 2 Pg

= �

Z b

a

f(x) dx:

La segunda parte de (i) es análoga.

286 Integración

La prueba de (ii) se hace de manera parecida: supongamos � < 0: Sea P unapartición de [a; b]: Tenemos

Mk(� f) = supf� f(x)jx 2 Ikg= � infff(x)jx 2 Ikg = �mk(f):

Entonces,

S(� f; P ) =

nXk=1

Mk(� f)�xk

= �

nXk=1

mk(f)�xk

= �S(f; P ):

Luego, tomando ínfimos

Z b

a

� f(x) dx = inffS(� f; P )jP 2 Pg

= inff�S(f; P )jP 2 Pg= � inffS(f; P )jP 2 Pg

= �

Z b

a

f(x) dx:

La segunda de (ii) es análoga.Finalmente (iii) sigue de (i) y (ii). En efecto, sea � � 0, por ejemplo y si f es

integrable, tenemos

Z b

a

� f(x) dx = �

Z b

a

f(x) dx

= �

Z b

a

f(x) dx =

Z b

a

� f(x) dx:

Esto muestra que � f(x) es integrable (puesR ba� f(x) dx =

R ba� f(x) dx) y que

Z b

a

� f(x) dx = �

Z b

a

f(x) dx;

como queríamos. El caso � < 0 se trata análogamente y esto concluye la prueba deesta larga, aunque no difícil, proposición. 2

16.4.4 Propiedad aditiva de intervalo

Aquí consideramos una función f(x), acotada en I = [a; b] y un punto c talque a <c < b: La propiedad que nos interesa es la siguiente:

Proposición 10 En la notación precedente, tenemos

1.Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx +

Z b

c

f(x) dx y

2.Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx +

Z b

c

f(x) dx


Propiedad aditi-va de intervalo

Figura 16.13

Además, f(x) es integrable en I si, y sólo si, lo es simultáneamente en J = [a; c]y k = [c; b] y en este caso

3.Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx:

Demostración: El dibujo pertinente es la figura 16.13. Veamos primero la propiedadindicada de la integral superior. Si P 0 y P 00 son particiones de [a; c] y [c; b] respectiva-mente y si reunimos en P los puntos de P 0 y P 00, para crear una partición de [a; b], esclaro queZ b

a

f(x) dx � S(f; P ) = S(f; P 0) + S(f; P 00)

Reunidos en Plos puntos de P 0

y P 00

Figura 16.14

(¿Por qué?). El dibujo correspondiente es la figura 16.14. Entonces, para cada P 0 2P(J) y P 00 2 P(k);Z b

a

f(x) dx � S(f; P 0) + S(f; P 00)

y luego, Z b

a

f(x) dx �Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx(16.5)

(¿Por qué?). Sugerimos aproximar, dado � > 0

S(f; P 0) <Z c

a

f(x) dx+�

2; S(f; P 00) <

Z b

c

f(x) dx +�

2:

288 Integración

y luego aplicar un argumento ya usado antes acerca de que � es arbitrario). Ahora,para probar la desigualdad opuesta a la ecuación 16.5 y terminar de demostrar laprimera parte de la proposición, sea � > 0 y sea P una partición de I tal que

Z b

a

f(x) dx+ � > S(f; P )

Suponemos que c es uno de los puntos de P: Si no lo es, lo agregamos y S(f; P ) esaún menor en este caso. Entonces es claro que P da origen a particiones P 0 de J yP 00 de K tales que la reunión de ambas tiene los puntos de la partición P: Entonces

Z b

a

f(x) dx+ �

> S(f; P 0) + S(f; P 00)

�Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx

y como � es arbitrario... (ya vimos visto varias veces antes), queda

Z b

a

f(x) dx �Z c

a

f(x) dx +

Z b

c

f(x) dx

y esto complementa la prueba de primera proposición. La prueba de la segunda, esenteramente análoga.

Pasemos ahora a la última parte de la proposición. Si f es integrable en I , enton-ces f es integrable en J y K: Pues si, por ejemplo se tuvieseZ c

a

f(x) dx >

Z c

a

f(x) dx;

se tendría que

Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx +

Z b

c

f(x) dx

sería mayor que y no igual a

Z c

a

f(x) dx +

Z b

c

f(x) dx

que por otra parte esZ b

a

f(x) dx =

Z b

a

f(x) dx;

lo cual es una contradicción.Recíprocamente, si f(x) es integrable en J y K tenemos

Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx| {z }k

+

Z b

c

f(x) dx| {z }k

Z b

a

f(x) dx =

kz }| {Z c

a

f(x) dx+

kz }| {Z b

c

f(x) dx


y como tenemos que las dos «igualdades verticales» indicadas, sigue la integrabilidadde f en I: Con esto termina la prueba de esta larga, pero sencilla proposición. 2

Observación: Dado los números a y b, en donde no suponemos que a < b, esconveniente definir, aun en este caso, los números

Z b

a

f(x) dx;

Z b

a

f(x) dx y

Z b

a

f(x) dx

como sigue:Si b � a, ponemos

Z b

a

f(x) dx = �Z a

b

f(x) dx y

Z b

a

f(x) dx = �Z a

b

f(x) dx

para una función f(x) acotada en [a; b]: La figura 16.15 pretende ilustrar la situación

-

6

��

��

�

��

�

uf(x0) + vf(x1)XXXz

f(ux0 + vx1)

ux0 + vx1 x1x0

Figura 16.15 Notar queR baf(x) dx = �

R abf(x) dx

que describimos. También, si f(x) es integrable en [b; a], ponemos

Z b

a

f(x) dx = �Z a

b

f(x) dx:

Entonces, queda como un ejercicio de aplicación de la proposición anterior y de laaplicación de cambios de signo, probar las siguientes afirmaciones:

Dados los números a; b; c en cualquier posición relativa (no necesariamente a �b � c), se tiene:

Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx

Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx

290 Integración

y, cuando f es integrable,

Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx:

16.5 La integral como función del extremo superior(del intervalo de integración)

Aquí consideramos una función acotada f(x) definida en I = [a; b] y, para cada x 2 I ,definimos los números F (x) y F (x), como:

F (x) =

Z x

a

f(t)dt y F (x) =

Z x

a

f(t)dt

Observe que, como x indica un número fijo en I , la variable de f , que se mueve en[a; x] se indicó, dentro de la integral con otra letra. La letra t:

Además, si f es integrable en I , entonces lo es cada [a; x] y también ponemos

F (x) =

Z x

a

f(t)dt:

El primer resultado aquí, es

Proposición 11

1. Las funciones F (x) y F (x) son continuas en [a; b]:

2. Supongamos que f(t) es integrable en cada intervalo de la forma [a; x] paracada x tal que a � x < b: Entonces f es integrable en todo [a; b] y F (x) que estáentonces definida en [a; b], es continua.

Antes de pasar a la prueba de la proposición enunciamos y probamos el siguienteútil.

Lema 12 Si h(t) está definida en el intervalo [c; d] y verifica allí

m � h(t) �M; t 2 [c; d]

entonces

m(d� c) �Z d

c

h(t) dt �M(d� c)

m(d� c) �Z d

c


Además, si h es integrable en [c; d], entonces

m(d� c) �Z d

c


16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración) 291

Prueba: El lector probará sin dificultad, que una función constante k es integrableen [c; d] y que su integral vale k(d � c): Entonces, las propiedades de monotonía deR

,R

yR

(ver 2.1) prueban este lema ya que las desigualdades

m � h(t) �M; t 2 [c; d]

se aplican a la funciones m y M (constantes) y h(t), y dan, por ejemplo:

m(d� c) =

Z d

c

mdt �Z d

c

h(t) dt

�Z d

c

M dt = M(d� c)

Análogamente se procede con las otras dos. 2

Ahora pasamos a la prueba de la proposición:

Prueba: (De la proposición).

1. Sea x0 2 [a; b] y mostremos, por ejemplo, que F (x) es continua en x0:

Por la propiedad aditiva de intervalo de F (x), tenemos para cada x 2 [a; b],

F (x) � F (x0) =

Z x

x0

f(t) dt

(Observe que esta igualdad es cierta independientemente de que x se encuen-tre a la derecha o a la izquierda de x0). Ahora, como f es acotada en [a; b],elijamos constantes m < M tales que

m � f(x) �M para x 2 [a; b]

Entonces, aplicando el lema y la definición deR xx0

cuando x < x0, tenemos lasdesigualdades

m(x � x0) � F (x) � F (x0) �M(x� x0)

o bien

M(x� x0) � F (x)� F (x0) � m(x� x0)

según que x � x0 o x < x0: Luego, en todos los casos

j F (x)� F (x0) j� (M �m) j x� x0 j

(El lector debe dar un argumento para justificar esta conclusión). Entonces,dado que � > 0, si ponemos � =

�

2(M �m), sigue que si j x�x0 j< �, entonces

j F (x) � F (x0) j< �, lo que prueba la continuidad de F : Para ver la de F , seprocede de manera análoga, «mutatis mutandis".

292 Integración

2. Aquí se trata de ver que si F (x) = F (x) para cada x < b, entonces tambienF (b) = F (b),según la definición de integrabilidad. Pero es claro que

limx!b�

F (x) y limx!b�

F (x) existen ya que F y F son continuas en x = b y coinciden

pues F (x) = F (x) para x < b: Esto comprueba 2 y concluye la proposición, yaque la continuidad de F en [a; b] sigue de la de F , por ejemplo, en [a; b]:

2

Observación:

1. En la proposición anterior la parte 2 tiene una versión análoga comosigue: 2’. Supongamos que f es integrable en [x; b] para cada x > a:Entonces, f es integrable en [a; b] y F (x) (que esta entonces definidaen todo el intervalo [a; b]), es continua en [a; b]:

Esta versión se prueba de manera análoga a la de la proposición.

2. Esto nos permite concluir que:Sea f(x) una función acotada en [a; b] y sea (a =)u0 � u1 � � � � �ur(= b) puntos en [a; b]:

Supongamos que f(x) es integrable en cada intervalo [�; �] < [a; b]que no contega a ninguno de los puntos uk, entonces f(x) es inte-grable en [a; b]:

La prueba de esta afirmación queda a cargo del lector al cual le suge-rimos la siguiente idea: Considere primero el caso de la figura 16.16en que se trata solamente de:

a = u0 � u1 � u2 = b

a = u0 � u1 �u2 = b

Figura 16.16

En este caso, aplique la proposición anterior y la proposición de 2.4(propiedad aditiva de intervalo). Después observe que el caso ge-neral no es sino una sucesiva e inteligente aplicación de este casosencillo. ( «Agregar un punto nuevo en cada paso").

Y llegamos así al teorema más importante de este capítulo. La proposición ante-rior nos muestra que las funciones F (x) y F (x) son siempre continuas (en realidadlas desigualdades que sirven para probar esto, afirman que F (x) y F (x) son másque continuas. Los matemáticos dicen que esas desigualdades muestran que F (x)y F (x) cumplen con la propiedad de Lipschitz, que a su vez, implica la continuidad).La pregunta que interesa es aquella que se refiere a la derivabilidad de la integralsuperior de F (x) y la de F (x), el teorema es el que sigue:

Teorema 13 Sea x0 2 [a; b] y supongamos que f es continua en x0: Entonces:


1. Ambas F (x) y F (x) son derivables en x0

2. Las derivadas

d

dxF (x) y

d

dxF (x) en x = x0,

valen ambas f(x0):

Prueba: Haremos la prueba para el caso de F (x): La del caso F (x) es análoga.También supondremos que x0 2 (a; b) (en un punto interior del segmento [a; b]). Elcaso x0 = a o x0 = b sigue las mismas ideas, es más simple y queda a cargo dellector interesado.

Sea entonces � > 0 arbitrario y sea � > 0 tal que si x 2 (x0 � �; x0 + �), entonces

f(x0)� � < f(x) < f(x0) + �(16.6)

El hecho que dado � > 0, existe un tal � > 0 no es mas que la expresión de lacontinuidad de f(x) en x = x0:

El lector debe convencerse de esto. Entonces,

F (x)� F (x0) =

Z x

x0

f(t) dt(16.7)

según hemos visto, por la propiedad aditiva de intervalos de F (x): Ahora supondre-mos que x se elije a la derecha de x0 y tal que x < x0 + �: Entonces,

(f(x0)� �)(x� x0) <

< F (x)� F (x0)

< (f(x0) + �)(x� x0)

gracias a 16.6 y al lema del comienzo de 3, ya que tenemos la igualdad 16.7. Asíentonces,

f(x0)� � <(16.8)

<F (x)� F (x0)

x� x0(16.9)

< f(x0) + �

si x 2 [x0; x0 + �]:Con los mismos argumentos el lector se convencerá de que si x 2 (x0 � �; x0)

(x está a la izquierda de x0), se cumple la misma doble desigualdad 16.8 (¡Hay doscambios de signos!).

Luego dado � > 0, existe � > 0 tal que si

x 2 (x0 � �; x0 + �), x 6= x0,

se tiene

�� < F (x)� F (x0)

x� x0� f(x0) < �

Esto significa precisamente, que

limx!x0

F (x)� F (x0)

x� x0= F 0(x0)

existe y que F 0(x0) = f(x0), como queríamos probar. 2

294 Integración

Corolario 14 (Cauchy) Si f(x) es continua en [a; b], entonces f(x) es integrable en[a; b]

Prueba: En efecto, ambas F (x) y F (x) son continuas en [a; b] y derivables en(a; b): Luego la función G(x) = F (x) � F (x) tiene las mismas propiedades. Pero six 2 (a; b),

d

dxG(x) = F 0(x)� F 0(x) = f(x)� f(x) = 0

Así que G(x) debe ser constante en [a; b](£por qué?). Pero G(a) = 0: Luego G(x)es idénticamente nula en [a; b]: Así G(b) = F (b)� F (b) = 0: Pero esto significa que

Z b

a

f(x) dx =

Z b

a

f(x) dx

y por ello, f(x) es integrable como queríamos. 2

Corolario 15 (La Regla de Barrow) Si f(x) es continua en [a; b] entonces f(x) tieneprimitivas en [a; b]: Si Q(x) es cualquier primitiva de f(x) en [a; b], entoncesZ b

a

f(x) dx = Q(b)�Q(a)

La segunda parte de este corolario es conocido como el Teorema Fundamental delCálculo .

Prueba: Por lo que acabamos de ver, F (x) =

Z x

a

f(t) dt,que coincide con F (x),

es una primitiva de f(x) en [a; b]: También hemos visto queZ b

a

f(x) dx = F (b)� F (a):

Entonces, el corolario es cierto para esta primitiva particular (Q)x) = F (x)): Perosabemos (£sabemos?) que toda primitiva Q(x) = F (x) + c, donde c es constante.Luego:

Q(b) = F (x) + c;

donde c es constante. Luego

Q(b) = F (b) + c;Q(a) = F (a) + c

y así

Q(b)�Q(a) = F (b)� F (a);

como queríamos. Finalizamos esta sección con el siguiente útil corolario. 2

Corolario 16 Si f(x) es una función acotada en [a; b] que es continua en todos lospuntos de [a; b], salvo en una cantidad finita de ellos, entonces f(x) es integrable en[a; b]:

Prueba: En efecto, si llamamos u0; u1; � � � ; ur a los puntos de [a; b] donde f(x)no es continua, entonces en todo intervalo [�; �] � [a; b] que no contenga a ningunode ellos, f(x) es continua y entonces, integrable. Luego, podemos aplicar la observa-ción 16.5 en la página 292 de esta sección y concluir que f(x) es integrable en [a; b],como queríamos. 2


Observación: La pregunta acerca de qué condiciones debe cumpliruna función para ser integrable, es sin duda, central para una teoría de laintegral. El corolario que precede a este comentario muestra que aunquef(x) no sea continua, pueda aún ser integrable. Por otra parte, hemosvisto que funciones muy discontinuas no resultan integrables.

Debemos al matemático francés H. Lebesque, un teorema que espe-cifica con precisión la «cantidad» de discontinuidades que pueda teneruna función para ser o dejar de ser integrable. El lector interesado puedeconsultar (por ejemplo el libro de Rogozinski)

Ejemplos

1. Sea f una función real de valores reales con ley de correspondencia:

f(x) =

8<:�x si x 2 [�2;�1]x+ 1 si x 2 (�1; 0)2 si x 2 [0; 2]

Su representación gráfica se muestra en la figura 16.17.

f una función real dada por trozos

Figura 16.17

Sea P = f�2;�1; 0; 1; 2g una partición de [�2; 2], f es acotada en [�2; 2] puestoque 0 � f(x) � 2 para todo x 2 [�2; 2].Aquí m = 0 y M = 2.Ahora, para [�2;�1] es

m1(f; p) = 1 y

M1(f; p) = 2

para (�1; 0) es

m2(f; p) = 0 y

M2(f; p) = 2

296 Integración

para [0; 1] es

m3(f; p) = 2 y

M3(f; p) = 2

para [1; 2] es

m4(f; p) = 2 y

M4(f; p) = 2

Además, es fácil comprobar que

m � m1(f; p) �M1(f; p) �M ; i = 1; 2; 3; 4

Ejercicios

1. Sea f una función real de valores reales que no es itegrable en [a; b]. ¿Es fcontinua en [a; b]? Razone su respuesta.

2. Sea f una función monótona sobre [a; b]. Demuestre que

f(a)(a� b) �Z b

a

f � f(b)(b� a)

ó que

f(b)(b� a) �Z b

a

f � f(a)(b� a)

3. Demuestre que existeR bax3dx y que su valor es

b3 � a3

3

4. Conociendo quenX

k=1

kp puede escribirse en la formanp+1

p+ 1+C0n

p+C1np�1+� � �,

demostrar que existeZ b

0

xpdx =bp+1

p+ 1.

5. Sea f integrable en [a; b], utilizando las desigualdades estudiadas, demuestreque

1

2[s(f; P )� S(f; P )]

�Z b

a

f � 1

2[s(f; P ) + S(f; P )] � 1

2[S(f; P )� s(f; P )]

y habrá usted probado que��Z b

a

f � 1

2[S(f; P ) + s(f; P )]

�� 1

2[S(f; P )� s(f; P )]

o sea que el número 12 [S(f; P )�s(f; P )] es una cota superior del error cometido

al aproximarR baf por 1

2[S(f; P ) + s(f; P )].


6. Sea f : [1; 4] �! R tal que f(x) =1

x. Supongamos que f es integrable en [1; 4].

Tómese la partición P = f1; 32; 2; 5

2; 3; 7

2; 4g 2 P ([1; 4]) y obtega un valor

aproximado deZ 4

1

dx

x.

Ayuda: Observa que f es estrictamente decreciente y por tanto

mi(f) = f(xi); Mi(f) = f(xi�1):

Solución:R 41

dx

x� 1; 395 =

1

2(S + s) y j

R 41

dx

x� 1; 395 j< 0; 1895

7. Sea f : [0; 1] �! R tal que f(x) = x2 + 1. Supóngase que f es integrable en

[0; 1]. Tomar P = f0; 0; 2; 0; 5; 0; 7; 1g. Obtener una aproximación deZ 1

0

f y

una cota superior del error cometido

8. Supongamos que f es diferenciable sobre [a; b] y que jf 0(x)j � k 8x 2 [a; b].Aplíquese el teorema del valor medio para el cálculo diferencial y conclúyaseque:

(a) Para toda P 2 P ([a; b]); S(f; P )� s(f; P ) � kkPk(b� a).

(b) f es integrable en [a; b].

(c)

��Z b

a

f � 1

2[S(f; P ) + s(f; P )]

�� 1

2kkPk(b� a).

9. ¿Cuán pequeño deberá hacerse kPk para estar seguros que el error en la apro-ximación de

(a)Z 2

1

du

u,

(b)Z 5

0

sen(�2)d�,

por1

2[S(f; P ) + s(f; P )] no sea mayor que 0,0005?

10. Expresar limn!1

�n2

n3 + 13+

n2

n3 + 23+ � � �+ n2

n3 + n3

�, como una integral defini-

da.

Solución:R 10

dx1+x3

.

11. Demuestre la propiedad siguiente: si f y g son integrables sobre [a; b], entoncesel producto f � g es también integrable en [a; b].

12. Hallar el valor medio f(c) de f(x) = 2x2 + 3x+ 3 en [1; 4] y calcule c.

13. Hallar la altura promedio sobre el eje x para la curva de ecuación y = x2(2 �x); x 2 [0; 2].

298 Integración

16.6 Apéndice

16.6.1 La Definición de Riemann de la Integral

La definición de Riemann de la Integral que hoy lleva su nombre, se basa en la no-ción de suma de Riemann asociada a una partición y a una selección subordinada.Pasamos a explicar este concepto.

Sumas de Riemann

Sea P : a = x0 � x1 � ::: � xn = b una partición del intervalo [a; b]. Una selección Sasociada a la partición P es una sucesión de puntos.

S : �1; �2; :::; �n;

tales que

�1 2 I1 = [x0; x1]; �2 2 I2 = [x1; x2]; : : : ; �n 2 In = [xn�1; xn]:

Es decir, que una selección S asociada a la partición P , «selecciona» en efecto, unpunto �k en cada intervalo Ik = [xk�1; xk] de la partición P . En la figura 16.18, seilustra esta situación.

Los puntos de la parti-ción aparecen indicadospor segmentos verticales ylos de la selección S apa-recen representados porpuntos gruesos

Figura 16.18

Ahora, consideremos la situación habitual en este capítulo: Una función acotadaf(x) definida en el intervalo I = [a; b].

Definición: Sea P una partición de I y sea S una selección asociadaa P . Entonces definimos la suma de Riemann S(f; P;S) correspondientea la función f (acotada en I), la partición P y la selección S como:

S(f; P;S) = f(�1)(x1 � x0) + f(�2)(x2 � x1) + ::::+ f(�n)(xn � xn�1)

Observe que cada término de esta suma está asociado (como en el caso de lassumas de Darboux) con un intervalo Ik = [xk�1; xk] de la partición P . Pero mientrasque estos términos en el caso de las sumas de Darboux, tenían la forma

mk(xk � xk�1) y Mk(xk � xk�1)

donde

mk = infff(x) j x 2 Ikg ; Mk = supff(x) j x 2 Ikg;

aquí se trata el número

f(�k)(xk � xk�1);

Así que, claramente, la siguiente relación vale para los tres números aquí considera-dos:

mk (xk � xx�1) � f(�k) (xk � xk�1) �Mk (xk � xk�1)

16.6 Apéndice 299

También hay una interpretación geométrica de las sumas de Riemann, para elcaso de funciones positivas f(x); como sumas de áreas de rectángulos. En la figu-ra 16.19, se ilustra esta situación.

La suma deRiemann

correspondientea esta partición

P y estaselección S, esigual a la sumade las áreas delos rectángulos

sombreados

Figura 16.19

Es claro que si la función f(x) es � 0 en todo x, entonces el término f(�k)(xk �xk�1) de la suma de Riemann S(f; P;S) es el área del rectángulo Rk, con base Ik =[xx�1; xk] y altura f(�k).

El otro concepto central en la definición de la integral de Riemann es la noción denorma de una partición.

Definición: Sea P una partición de I = [a; b],

P : x = x0 � x;� :::: � xn = b:

Llamaremos la norma de P, que indicaremos con jP j al número:

jP j = maxfxk � xk�1 j k = 1; : : : ; ng

Así que jP j indica la longitud del intervalo más largo que contiene la particiónP . Por ejemplo, decir que jP j < " equivale a decir que todo intervalo Ik de P tienelongitud menor que ".

La idea de la construcción de Riemann de la integral es la siguiente:Para que una función f(x) sea integrable, «las sumas de Riemann deben acercar-

se tanto como se quiera a un número —la integral de f— con tal que las normas delas particiones sean suficientemente pequeñas».

Es claro que la frase anterior debe ser precisada para que afirmaciones tales como«tanto como se quiera» o «sean suficientemente pequeñas» adquieran un contenidono ambiguo. Estas precisiones las haremos un poco más abajo. Ahora, sin embargo,queremos detenernos para señalar las diferencias principales que se aprecian entrelas definiciones de Darboux y de Riemann de la integral.

Si el lector lo piensa un momento, verá que la definición de la integral que hemosdado al comienzo de este capítulo, que se debe a Darboux, se podría formular en lossiguientes términos:

Para que la función f(x) sea integrable, «las sumas superiores y las sumas infe-riores deberían estar simultáneamente tan cerca como se quiera de un número —laintegral de f— con tal que las particiones que se usan, sean suficientemente finas».

Observamos que ambas definiciones presentan diferencias que se pueden resu-mir así:

300 Integración

Por una parte, los números que «aproximan a la integral» se construyen de mane-ra diferente (sumas de Darboux versus sumas de Riemann), aunque hay una relaciónclara entre ellos. Ya vimos que

mk�xk � f(�k)�xk �Mk�xk

y luego, sumando:

S(f; P ) � S(f; P;S) � �S(f; P )

para toda partición P de I y toda selección S asociada con P .Pero las divergencias más sustanciales se presentan cuando se considera que

las maneras de aproximarse a la integral dependen de «afinar» las particiones quese usan, en dos sentidos muy diferentes. En efecto, si P es una «partición muchomás fina P 0» será una que tiene todos los puntos de P y «muchos más». Pero bienpodría suceder que, a pesar de esto, P 0 y P tuviesen la misma norma. El lectoremprendedor debería dar un ejemplo de esto. Por otra parte, dada la partición P ,podríamos fácilmente crear una P 0 con norma mucho más pequeña P 0 pero de talmanera que ni P � P 0 ni P 0 � P: ¿Puede el lector dar un ejemplo de esto?.

Luego de haber establecido estas observaciones de carácter informal, pasamoslas definiciones precisas.

Definición: (La definición de Riemann de la integral ): Dada lafunción f(x), acotada en el intervalo I = [a; b], diremos que f es integrableen el sentido de Riemann en I con integral � si se verifica la siguientecondición:

Para cada " > 0 existe � > 0 tal que para cada partición P con normajP j < � y cada selección S asociada a P , se verifica que

jS(f; P;S)� �j < "

Cuando esto suceda, diremos que f es integrable�R en I y pondremos

� = R

Z b

a

f(x) dx

Además, para distinguir, diremos que f(x) es integrable�D si f(x) es integrableen el sentido de Darboux, según la definición que hemos dado al comienzo de estecapítulo. Si � es su integral, pondremos

� = D

Z b

a

f(x) dx

y diremos que � es la integral de f en el sentido de Darboux.El lector sagaz, habrá observado que la definición de la integral de Riemann tie-

ne en su forma un parecido con la definición de límite de una función, aunque losingredientes, aparte del " y el �, son bien diferentes.

Después de lo que hemos dicho en cuanto a las diferencias que señalamos entreambas definiciones de la integral, el siguiente importante teorema tiene sin duda uncarácter básico.

Teorema 17 (Darboux) Dada f(x) acotada en I; f es integrable en el sentido deRiemann si y sólo si f es integrable en el sentido de Darboux.

Además, si f es integrable (en cualquiera de los dos sentidos), tenemos

R

Z b

a

f(x)dx = D

Z b

a

f(x) dx:

16.7 Ejercicios adicionales 301

En otras palabras, a pesar de las aparentes diferencias entre los dos conceptos deintegral, éstos son en realidad el mismo.

Adelantemos que la prueba de este teorema tiene cierta complejidad y el lector lapuede encontrar por ejemplo en «A course of Mathematical Analysis», Vol. 1, de S.M.Nokolsky, (MIR publishers, Moscow).

16.7 Ejercicios adicionales

En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de unproblemario usado desde 1984.

302 Integración

304 Integración

306 Integración

308 Integración

310 Integración

Capítulo 17

La Función Logaritmo

17.1 Definición

La función g(t) =1

tes continua en el intervalo (0;1), por lo tanto es integrable. Sin

embargo, ninguna de las funciones que conocemos (algebraicas o trigonométricas)tiene como derivada a la función g(t): El Teorema Fundamental del Cálculo nospermite definir una función continua en (0;1) y cuya derivada es g(x): la funciónlogaritmo natural :

Definición: La función logaritmo natural, ln(x), se define por:

ln(x) =

Z x

1

1

tdt; para x 2 (0;1):

Esta función también se le llama función logaritmo neperiano en honor al mate-mático escocés John Napier (1550-1617) quien introdujo, aunque de manera diferen-te, las funciones logarítmicas.

17.2 Propiedades de la función Logaritmo Natural

Basta con la definición de la función logaritmo natural para probar algunas de supropiedades importantes.

Teorema 18 Sea f(x) = ln(x), entonces:

1. Dom(f) = (0;1)

2. f(x) es continua en su dominio.

3. f(x) es estrictamente creciente, y por lo tanto, inyectiva.

4. f(x) es cóncava hacia abajo.

5. f(x) � 0 si x 2 [1;1) y f(x) < 0 si x 2 (0; 1):

312 La Función Logaritmo

Prueba: Como

ln(x) =

Z x

1

1

tdt; para x 2 (0;1);

el Teorema Fundamental de Cálculo (ver la regla de Barrow en la página 15) nosdice que f(x) = ln(x) es una función con Dom(f) = (0;1), con1 +tinua y cuyaderivada es f 0(x) = 1

x: Como f 0(x) > 0 y f 00 > (x) = � 1

x2< 0, para todo x 2 (0;1),

f(x) = ln(x) es estrictamente creciente y cóncava hacia abajo en su dominio.Consideremos el plano coordenado con eje horizontal t y eje vertical y: Si x 2

[1;1) podemos interpretarZ x

1

1

tdt = ln(x);

como el área de la región del plano acotada por las gráficas y = 1=t, t = 1, t = x y eleje t (ver fig 17.1). Por lo tanto, f(x) = ln(x) es mayor o igual que 0 en este intervalo.

área acotada por las gráfi-cas y = 1=t, t = 1, t = x yel eje t

Figura 17.1

Si x 2 (0; 1), el área de la región del plano acotada por las gráficas y = 1=t, t = x,t = 1 y el eje t es:Z 1

x

1

tdt = � ln(x);

es decir, f(x) = ln(x) es menor que 0 en este intervalo.2

Otras propiedades importantes de la función logaritmo natural son las siguientes:

Teorema 19 Sean x; a 2 (0;1) y n 2 Q, entonces:

1. ln(1) = 0:

2. ln(ax) = ln(a) + ln(x):

3. ln(xn) = n ln(x):

4. ln( ax) = ln(a)� ln(x):

17.3 La gráfica del f(x) = ln(x) 313

Prueba:

1. ln(1) =

Z 1

1

1

tdt = 0:

2. Sean g(x) = ln(ax) y h(x) = ln(a)+ ln(x): Sabemos que, para todo x 2 (0;1),

g0(x) =a

ax=

1

x

y

h0(x) = 0 +1

x=

1

x:

Como g0(x) = h0(x), se tiene que g(x) = h(x) + C, para todo x 2 (0;1): Esdecir,

ln(ax) = ln(a) + ln(x) + C:

Evaluando en x = 1, se obtiene C = 0 y completamos la prueba.

3. La prueba es similar a la anterior, haciendo g(x) = ln(xn) y h(x) = n ln(x):

4. Usando las propiedades 2 y 3, se obtiene:

ln(a

x) = ln(ax�1)

= ln(a) + ln(x�1) = ln(a)� ln(x):

2

17.3 La gráfica del f(x) = ln(x)

Para dibujar la gráfica de f(x) = ln(x) nos falta encontrar Img(f):

Teorema 20 Si f(x) = ln(x) para x 2 (0;1), entonces Img(f) = R:

Prueba: Como f(x) = ln(x) es una función continua, para probar que Img(f) =R, basta verificar que

limx!1 ln(x) =1:

y que

limx!0+

ln(x) = �1:

Observe que el área bajo la curva de y = 1=t entre t = 1 y t = 4 es mayor que lasuma de las áreas de los rectángulos sombreados de la figura 17.2.

Entonces,

ln(4) > 1=2 + 1=3 + 1=4 = 13=12 > 1:


El área bajo la curva es mayor que lasuma de las áreas de losrectángulos sombreados

Figura 17.2

Por lo tanto, si M > 0 se tiene que,

M ln(4) > M:

Es decir:

ln(4M ) > M:

Como la función logaritmo natural es una función estrictamente creciente, si x > 4M :

ln(x) > ln(4M ) > M:

Hemos probado que dado M > 0, para todo x > 4M

ln(x) > M:

Esto demuestra que

limx!1 ln(x) =1:

Ahora,

� ln(1

x) = ln(x)

por lo tanto

limx!0+

ln(x) = limx!0+

�� ln(

1

x)�:

Cuando x tiende a 0 por la derecha, 1=x tiende a +1: Por lo tanto, � ln( 1x) tiende

a �1, es decir

limx!0+

ln(x) = �1:

2

Observe,

limx!0+

ln(x) = �1

implica que x = 0 es una asíntota vertical de f(x):

Ahora sí estamos en capacidad de bosquejar la gráfica de f(x) = ln(x):

17.4 El número e 315

Bosquejo de la gráfica def(x) = ln(x)

Figura 17.3

17.4 El número e

En la demostración del teorema 20 se ve que y = 1 está entre ln(1) = 0 y ln(4):Como la función f(x) = ln(x) es continua, el teorema del valor intermedio nos diceque existe un número real en (1; 4) tal que su imagen según la función f(x) = ln(x) es1: Además, como la función f(x) = ln(x) es inyectiva, este número es único. Existeun símbolo especial para este número.

Definición: Denotamos como e al número tal que

ln(e) =

Z e

1

1

tdt = 1:

Se denota por e en honor al matemático Leonard Euler (1707-1783) quien fue unode los primeros matemáticos en estudiar sus propiedades. Véase también la página148 del texto de Matemáticas I donde se definió el numero e como el límite de unasucesión, e � 2;718281828459045.

17.5 Derivación logarítmica

El proceso conocido como derivación logarítmica , utiliza las propiedades de la fun-ción logaritmo natural estudiadas en el Teorema 18 para hallar, con relativa facilidad,las derivadas de funciones con productos, cocientes o potencias complicadas. Elproceso se resume como sigue (para los valores de x donde h(x) > 0):

1. Sea y = h(x)

2. Por lo tanto, ln(y) = ln h(x): Utilizamos las propiedades del Teorema 18 parasimplificar el lado derecho de la igualdad.

3. Derivamos implícitamente y nos queda que

1

y

dy

dx=

d

dx[ ln h(x)]:

4. Entonces

h0(x) =dy

dx= h(x)

d

dx[ ln h(x)]:


Como

d

dx[ ln juj] = u0

u;

el resultado también es válido para los valores de x donde h(x) < 0: Sin embargo,esta fórmula no se puede aplicar para calcular el valor de h0(x) en los puntos dondeh(x) = 0, pues ln(x) no está definida en x = 0:

Ejemplo: Sea h(x) = 3

qx�1x2

: Apliquemos derivación logarítmica:

1. Sea y =3

rx� 1

x2

2. ln(y) = ln3

rx� 1

x2: Simplificando, obtenemos:

ln(y) =1

3ln

x� 1

x2

=1

3[ ln (x� 1)� ln x2]

=1

3[ ln (x� 1)� 2 ln x]:

3. Derivamos implícitamente y nos queda que

1

y

dy

dx=

1

3[

1

x� 1� 2

x] =

2� x

3(x2 � x):

4. Entonces

h0(x) = 3

rx� 1

x2

� 2� x

3(x2 � x)

�:

17.6 Ejercicios

1. Desarrolle cada una de las siguientes expresiones usando las propiedades delos logaritmos

(a) ln(�4xyz)

(b) log54105

a2 � 1

(c) ln3p

3e4p2

2. Expresar, como un logaritmo único, cada una de las siguientes funciones

(a) log2 x+ 5 log2(x+ 1) +1

2log2(x � 1)

(b)1

3[2 ln(x+ 3) + ln(

p2x) � ln(x2 � 1)]

(c)1

5ln

3p3x� 4 ln(2x+ 3)

(d)3

2[ ln(x2 + 1)� ln(x + 1)� ln(x� 1)]

17.6 Ejercicios 317

(e) lnx+ a ln y � b ln z

3. Resuelva las siguientes ecuaciones

(a) ln(2x� 1) = 3p2

(b) lnx2 = 2 ln 4� 4 ln 2

(c) ln(x+ 6) + ln(x� 3) = ln 5 + ln 2

4. Calcule

(a) limx!6+

ln(x � 6)

(b) limx!1

[ ln(3 + x)� ln(x + 1)]

(c) limx!1

2 lnx

1 + 3 lnx

5. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones

(a)p3 ln

�2x

x+ 1

�

(b)1

6ln 3p6x+ 7

(c) ln( ln(px))

(d) ln(x+px2 + 1)

(e) ln(px+

p4 + x2)

6. Calcule las siguientes integrales

(a)Z e

1

x2 + x+ 1p2x

dx

(b)Z

( lnx)2

xdx

(c)Z

2x+ 1

x2 + 2xdx

(d)Z e2

e

3

2x lnxdx

(e)Z

(p2 + lnx)3

xdx

7. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = x2 + ln(2x � 5)en el punto sobre la gráfica cuya abscisa es 3

8. ¿ Cuál es la diferencia entre las gráficas de y = ln(x2) y y = 2 lnx?

9. Calcular dy=dx usando derivación logarítmica

(a) y =5

sx3 + 1

x2 � 1

(b) y = 3

q(5x2 + 3)

p7x� 5

Capítulo 18

La Función Exponencial

18.1 La Función Exponencial Natural

En el capítulo anterior vimos que la función f(x) = ln(x), es una función biyectivadefinida en (0;1) y cuya imagen es R: Por lo tanto, la función f(x) = ln(x) tiene unafunción inversa f�1(x) : R ! (0;1): Ahora, para todo x 2 Q, ln(ex)(= x ln(e) ) = x,es decir, f�1(x) = ex si x 2 Q: Por lo tanto, tiene sentido la siguiente definición:

Definición: La función exponencial natural, ex : R ! (0;1), se definepor:

ex = y , ln(y) = x:

Es decir, la función exponencial natural es la inversa de la función logaritmo natu-ral.

Notación: La función exponencial por conveniencia también se denota por

exp(x) = ex;

en particular en las figuras de este capítulo.

18.2 Propiedades de la función Exponencial Natural

Las propiedades más importantes de la función exponencial natural se listan en elsiguiente teorema.

Teorema 21 Sean x; y 2 R entonces:

1. e1 = e:

2. ex+y = ex: ey, x; y 2 R:

3. ex�y = ex

ey, x; y 2 R:

4. (ex)y = exy, x 2 R, y 2 Q:

Prueba:

324 La Función Exponencial

1. Como f(e) = ln(e) = 1 y f�1(x) = ex entonces e1 = e:

2. Sean a = ex y b = ey: Entonces x = ln(a) y y = ln(b): Ahora:

x+ y = ln(a) + ln(b) = ln(ab):

Por lo tanto:

ex+y = ab = ex: ey:

3. Es similar a la anterior, se deja como ejercicio.

4. Como la función inversa de la función logaritmo natural es la función exponencialnatural, ln exy = xy y ln ex = x: Por lo tanto:

ln exy = xy = y ln ex:

Como y 2 Q

y ln ex = ln(ex)y:

Queda que

ln exy = ln(ex)y :

Como f(x) = ln(x) es inyectiva, concluimos que:

(ex)y = exy:

2

Sin embargo, la característica más interesante de la función ex es que ella es supropia derivada.

Teorema 22d

dx[ex] = ex:

Prueba: Supongamos que y = ex: Entonces

ln(y) = x:

Derivando implícitamente

d

dx[ ln(y)] =

d

dx[x]

es decir,

1

y

dy

dx= 1:

Queda que

dy

dx= y:

2

18.3 La gráfica de ex: 325

ex es la función inversa def(x) = ln(x)

Figura 18.1

18.3 La gráfica de ex:

Como ex es la función inversa de f(x) = ln(x), su gráfica se obtiene reflejando lagráfica de y = ln(x) con respecto a la recta y = x (ver figura 18.1).

Las principales características de la gráfica de y = ex se listan a continuación.

1. Dom(ex) = R

2. Img(ex) = (0;1)

3. Es continua en su dominio.

4. Es estrictamente creciente, y por lo tanto, inyectiva.

5. Es cóncava hacia arriba.

6. y = 0 es una asíntota horizontal de ex:

18.4 Otra definición del número e:

El siguiente teorema da otra definición del número e que es consistente con la dadaen el capítulo anterior (comparar también con capítulo 9 de la guía de MA–1111).

Teorema 23 e = limx!0

(1 + x)1x :

Prueba: Sea f(x) = ln(x): Sabemos que f 0(1) = 1, por lo tanto:

1 = f 0(1) = limx!0

f(1 + x) � f(1)

x:

Es decir:

1 = limx!0

ln(1 + x)� ln(1)

x:


Usando las propiedades del logaritmo natural se obtiene que:

1 = limx!0

1

xln(1 + x) = lim

x!0ln(1 + x)

1x :

Como ex es una función continua:

e1 = elimx!0 ln(1+x)1x

= limx!0

eln(1+x)1x

= limx!0

(1 + x)1x

Nos queda entonces

e = limx!0

(1 + x)1x

2

18.5 Funciones exponenciales generales

Sea a > 0 y x 2 Q: Como a = e ln(a), se tiene que:

ax =�e ln(a)

�x= ex ln(a):

Por lo tanto tiene sentido definir la función ax como sigue.

Definición: Sea a > 0: La función exponencial con base a, ax : R !(0;1), se define por:

ax = ex ln(a):

Estas funciones tienen las mismas propiedades que ex como veremos a continua-ción.

Teorema 24 Sean a; b > 0 y x; y 2 R entonces:

1. ax+y = ax: ay:

2. ax�y = ax

ay:

3. (ax)y = axy:

4. (ab)x = ax: bx

Prueba:

1. Se deja como ejercicio.


3.

(ax)y = ey ln(ax) = ey ln(ex ln(a))

= eyx ln(a) = axy

18.5 Funciones exponenciales generales 327

4.

(ab)x = ex ln(ab) = ex [ ln(a)+ ln(b)]

= ex ln(a)+x ln(b) = ex ln(a): ex ln(b) = ax: bx

2

Con respecto a la derivada de ax se tiene que:

Teorema 25 Si a > 0, entonces

d

dx[ax] = ax ln(a):

Prueba:

d

dx[ax] =

d

dx[ex ln(a)]:

Como ddx

[ex] = ex;

d

dx[ex ln(a)] = ex ln(a) ln(a):

Por lo tanto

d

dx[ax] = ex ln(a) ln(a) = ax ln(a):

2

Observe que el signo de ddx

[ax] depende del signo del ln(a):Tenemos entoncesdos tipos de gráficas:

1. Si y = ax y a 2 (0; 1), entonces ax es una función estrictamente decreciente ycóncava hacia arriba como se observa en la figura 18.2

ax con a 2 (0; 1), esestrictamente decreciente

y cóncava hacia arriba

Figura 18.2

2. Si y = ax y a 2 (1;1), entonces ax es una función estrictamente creciente ycóncava hacia arriba como se observa en la figura 18.3


ax con a 2 (1;1) es estric-tamente creciente y cónca-va hacia arriba

Figura 18.3

18.6 Funciones logarítmicas generales

Sea a > 0: Como ax : R ! (0;1), es una función inyectiva tiene una función inversa.Su función inversa se llama función logaritmo en base a y se denota por loga(x):Como 1

ln(a) ln(ax) = 1ln(a)x ln(a) = x, tiene sentido la siguiente definición:

Definición: Sea a > 0: La función logaritmo en base a, loga(x) :(0;1)! R, se define por:

y = loga(x) =1

ln(a)ln(x), x = ay:

Estas funciones tienen las mismas propiedades que ln(x) como veremos a conti-nuación.

Teorema 26 Sean a; x; y > 0 entonces:

1. loga(xy) = loga(x) + loga(y):

2. loga(xy) = loga(x)� loga(y):

3. loga(xy) = y loga(x):

La prueba de este teorema se deja como ejercicio. Con respecto a la derivada deloga(x) se tiene que:

Teorema 27 Si a > 0, entonces

d

dx[ loga(x)] =

1

x ln(a):

Prueba:

d

dx[ loga(x)] =

d

dx[

1

ln(a)ln(x)]:

18.7 Ejercicios 329

Como ddx

[ ln(x)] = 1x;

d

dx[

1

ln(a)ln(x)] =

1

ln(a)

1

x

Por lo tanto

d

dx[ loga(x)] =

1

x ln(a):

2

Como loga(x) es la función inversa de ax, su gráfica se obtiene reflejando la gráfi-ca de y = ax con respecto a la recta y = x: Tenemos entonces dos tipos de gráficas:

1. Si y = loga(x) y a 2 (0; 1), entonces loga(x) es una función estrictamentedecreciente y cóncava hacia arriba.

2. Si y = loga(x) y a 2 (1;1), entonces loga(x) es una función estrictamentecreciente y cóncava hacia abajo.

18.7 Ejercicios

1. Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes funciones

(a) y = 3�x

(b) y = 3x�1

(c) y = 5�3x

(d) y = e�x=2

(e) y = 5x�3

2. Calcule

(a) limx!�1

�x

(b) limx!1(2�

12x +

2

x)

(c) limx!�(�=2)�

3tanx

3. Calcular dy=dx usando derivación logarítmica

(a) y = (tanx)x

(b) y = sen(xpx)

4. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones

(a) f(x) = 32px

(b) g(x) = ln(1 + ex

1� ex)

(c) h(�) = e2 cos(3�)

(d) f(x) = ln logpx

(e) f(x) = e� tan(p3x)

(f) h(x) = sec(etanx2

)


(g) g(x) = 3px��x

5. Calcule las siguientes integrales

(a)Z

sec2(x)etanx dx

(b)Z 0

�2

53 � (33p2)2 dx

(c)Z

(52x + 3)2

52xdx

(d)Z

3x

5ex2 dx

(e)Z

e2x + 2ex + 1

exdx

(f)Z p

2

x logxdx

(g)Z

exsen(ex) dx

(h)Z

e�x tan(e�x) dx

6. Encuentre un punto sobre la gráfica de y = e2x tal que la tangente en dichopunto pase por el origen.

7. Encuentre una función f(x) tal que f 00 > (x) = 3ex +p2 cos(x), f(0) = 1 y

f 0(0) = 2:

8. Calcule el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y =

xe�(x2=2); y = 0; x = 0; x =p2



Capítulo 19

La Funciones Hiperbólicas

19.1 El Seno Hiperbólico y el Coseno Hiperbólico

En el capítulo anterior vimos que Dom(ex) = R: Como Dom(ex) es simétrico conrespecto al origen de coordenada, ex se puede descomponer en la suma de unafunción impar fi y otra par fp:

ex = fi + fp =ex � e�x

2+

ex + e�x

2:(19.1)

Definición: A la función impar fi de la descomposición (19.1) de ex

se le llama función seno hiperbólico, es decir:

senh(x) =ex � e�x

2:

Definición: A la función par fp de la descomposición (19.1) de ex sele llama función coseno hiperbólico, es decir:

cosh(x) =ex + e�x

2:

Es claro que Dom(senh(x)) = Dom(cosh(x)) = R: Ahora veremos cual es la ima-gen de cada una de estas funciones.

Teorema 28 Img(senh(x)) = R:

Prueba: Sea c 2 Img(senh(x)): Entonces existe x 2 Dom(senh(x)) con

c =ex + e�x

2=

e2x � 1

2ex:

Es decir

e2x � 2cex � 1 = 0:

336 La Funciones Hiperbólicas

Tomemos y = ex, nos queda

y2 � 2cy � 1 = 0:

Las posibles soluciones de esta ecuación cuadrática son y = c �pc2 + 1 y y =

c +pc2 + 1: Como y = ex > 0, la primera de ellas no es solución. Sin embargo,

podemos despejar x de la segunda

x = ln(c+pc2 + 1):

Es decir, para todo c 2 R encontramos un x 2 R = Dom(senh(x)) con

senh(x) = c:

Por lo tanto

Img(senh(x)) = R:

2

Teorema 29 Img(cosh(x)) = [1;1):

Prueba: Es similar a la anterior y se deja como ejercicio. 2

La gráfica del senh(x) (cosh(x)) puede encontrarse a partir de las gráficas de 12e

x y12e�x, de la manera siguiente: las ordenadas de los puntos sobre las gráficas senh(x)

(cosh(x)) se obtienen sumando (restando) las ordenadas de los puntos de las otrasdos gráficas. Ver las figuras 19.1 y 19.2.

La gráfica de senh(x)

Figura 19.1

19.2 Otras funciones hiperbólicas 337

La gráfica de cosh(x)

Figura 19.2

19.2 Otras funciones hiperbólicas

Existen muchas analogías entre las funciones trigonométricas y las funciones hiper-bólicas. Entre ellas se destaca la siguiente: las ecuaciones x = sen(t) y y = cos(t)describen el círculo unitario, mientras que las ecuaciones x = senh(t) y y = cosh(t)describen la rama derecha de la hipérbola x2 � y2 = 1 (ver Teorema 30). Es más, elárea de la región sombreada tanto en la figura 19.3 como en la figura 19.4 es t=2 (lademostración la dejamos para que la investigue el lector).

El área de la región som-breada es t=2

Figura 19.3

Resulta natural entonces definir funciones hiperbólicas que correspondan a lasrestantes funciones trigonométricas.


El área de la regiónsombreada es t=2

Figura 19.4

Definición:

� tanh(x) =senh(x)

cosh(x)=

ex � e�x

ex + e�x:

� coth(x) =cosh(x)

senh(x)=

ex + e�x

ex � e�x; x 6= 0:

� sech(x) =1

cosh(x)=

2

ex + e�x:

� csch(x) =1

senh(x)=

2

ex � e�x; x 6= 0:

Las gráficas de estas funciones se muestran en las figuras 19.5, 19.6, 19.7 y 19.8.

19.3 Idéntidades hiperbólicas

Existen muchas identidades que involucran funciones hiperbólicas y que son similaresa la identidades trigonométricas.

Teorema 30

1. senh(x) + cosh(x) = ex:

2. cosh2(x)� senh2(x) = 1:

3. 1� tanh2(x) = sech2(x):

Prueba:

1. Es consecuencia inmediata de las definiciones de senh(x) y cosh(x):

19.3 Idéntidades hiperbólicas 339

La gráfica de tanh(x)

Figura 19.5

La gráfica de coth(x)

Figura 19.6


La gráfica de sech(x)

Figura 19.7

La gráfica de csch(x)

Figura 19.8

19.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas 341

2.

cosh2(x)� senh2(x)

=�ex + e�x

2

�2 � �ex � e�x

2

�2=

(e2x + 2exe�x + e�2x)

4

� (e2x � 2exe�x + e�2x)

4

=4exe�x

4= 1:

3. Basta con dividir los dos miembros de la igualdad anterior por cosh2(x):

2

Las identidades hiperbólicas más importantes se encuentra en la sección de ejer-cicios que aparecen al final del capítulo.

19.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbó-licas

Es fácil encontrar las fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas.

Teorema 31

1. ddx

[senh(x)] = cosh(x):

2. ddx

[cosh(x)] = senh(x):

3. ddx

[tanh(x)] = sech2(x):

4. ddx

[coth(x)] = �csch2(x):

5. ddx

[sech(x)] = �sech(x)tanh(x):

6. ddx

[csch(x)] = �csch(x)coth(x):

Prueba:

1.

d

dx[senh(x)] =

d

dx[ex � e�x

2]

=ex + e�x

2= cosh(x):



3.

d

dx[tanh(x)] =

d

dx[senh(x)

cosh(x)]

=cosh2(x)� senh2(x)

cosh2(x)

=1

cosh2(x)

= sech2(x):


5.

d

dxsech(x) =

d

dx[

1

cosh(x)]

=�senh(x)cosh2(x)

= �sech(x)tanh(x):


2

Las fórmulas de integración correspondientes son:

Corolario 32 1.Rsenh(u)du = cosh(u) + C:

2.Rcosh(u)du = senh(u) + C:

3.Rsech2(u)du = tanh(u) + C:

4.Rcsch2(u)du = �coth(u) + C:

5.Rsech(u)tanh(u)du = �sech(u) + C:

6.Rcsch(u)coth(u)du = �csch(u) + C:

19.5 Las funciones hiperbólicas inversas

Si observa las gráficas de las funciones hiperbólicas, notará que las funciones senh(x),tanh(x), coth(x) y csch(x) son inyectivas en sus dominios, y que las funciones cosh(x)y sech(x) son inyectivas en [0;1): Por lo tanto, podemos definir las funciones hiper-bólicas inversas.

Teorema 33

1. senh�1(x) = ln(x +px2 + 1); x 2 R:

2. cosh�1(x) = ln(x+px2 � 1); x 2 [1;1):

3. tanh�1(x) = 12ln( 1+x

1�x); x 2 (�1; 1):

19.5 Las funciones hiperbólicas inversas 343

4. coth�1(x) = 12ln(x+1

x�1); x 2 (�1;�1) [ (1;1):

5. sech�1(x) = ln( 1+p1�x2x

); x 2 (0; 1]:

6. csch�1(x) = ln( 1+p1+x2

jx j ); x 2 R � f0g:

Prueba:


2. Sea y = cosh(x), x 2 [0;1): Entonces:

y =ex + e�x

2:

Multiplicando esta ecuación por 2ex, nos queda:

2yex = e2x + e�xex;

es decir

e2x � 2yex + 1 = 0:

Esta es una ecuación cuadrática en ex: Por lo tanto:

ex = y �py2 � 1:

Aplicando logaritmo natural se obtiene

x = ln(y �py2 � 1):

Como x � 0, debemos tomar el signo +. Entonces:

x = cosh�1(y) = ln(y +py2 � 1):

3. Sea y = tanh(x): Entonces:

y =ex � e�x

ex + e�x:

Multiplicando esta ecuación por ex(ex + e�x) = e2x + 1, nos queda:

y(e2x + 1) = e2x � 1;

es decir

(1� y)e2x = 1 + y:

Por lo tanto:

e2x =1 + y

1� y:


Aplicando logaritmo natural se obtiene

2x = ln(1 + y

1� y):

Entonces:

x = tanh�1(y) =1

2ln(

1 + y

1� y):

Observe que 1+y1�y > 0, y 2 (�1; 1):




2

Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas se listan a continuación.

Teorema 34

1. ddx

[senh�1(x)] = 1px2+1

:

2. ddx

[cosh�1(x)] = 1px2�1

:

3. ddx

[tanh�1(x)] = 11�x2 ; jx j < 1:

4. ddx

[coth�1(x)] = 11�x2 ; jx j > 1:

5. ddx

[sech�1(x)] = �1xp1�x2 :

6. ddx

[csch�1(x)] = �1jx jp1+x2

:

Prueba: Queda como ejercicio. 2

La gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas inversas se obtiene reflejandola gráfica de la función hiperbólica correspondiente con respecto a la recta y = x:En las figuras 19.9 y 19.10 se muestran las gráficas de las funciones senh�1(x) ycosh�1(x):

19.6 Ejercicios

1. Demuestre las siguientes identidades hiperbólicas:

(a) senh(x)senh(y) = 12[cosh(x+ y)� cosh(x� y)]:

(b) senh(x)cosh(y) = 12[senh(x+ y) + senh(x� y)]:

(c) cosh(x)cosh(y) = 12 [cosh(x+ y) + cosh(x� y)]:

(d) cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y):

(e) cosh(x � y) = cosh(x)cosh(y)� senh(x)senh(y):

(f) senh(x+ y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y):

19.6 Ejercicios 345

La gráfica de senh�1(x)

Figura 19.9

La gráfica de cosh�1(x)

Figura 19.10


(g) senh(x� y) = senh(x)cosh(y)� cosh(x)senh(y):

(h) senh(2x) = 2senh(x)cosh(x):

(i) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x):

(j) senh2(x2) = cosh(x)�1

2:

(k) cosh2(x2) = cosh(x)+1

2:

(l) tanh(x+ y) = tanh(x)+tanh(y)1+tanh(x)tanh(y)

:

(m) tanh(x� y) =tanh(x)�tanh(y)1�tanh(x)tanh(y) :

(n) tanh(2x) = 2tanh(x)1+tanh2(x)

:

(o) tanh2(x2 ) =cosh(x)�1cosh(x)+1 :

2. Dado y, encuentre dydx:

(a) y = senh(x4 + 2):

(b) y = cosh(9x)senh(8x):

(c) y = 2x3cosh(x):

(d) y = 2xcosh2(x):

(e) y = ln(sech(x)):

(f) y = ln(cosh�1(x)):

(g) y = cosh(tan(x)):

(h) y = senh�1(extan(x)):

3. Calcule las siguientes integrales.

(a)R senh(

px)p

xdx:

(b)Rcosh(x+ 2)senh2(x+ 2) dx:

(c)Rtanh(x) dx:

(d)Rcosh2(x) dx:

(e)Rcsch2(4x+ 1) dx:

(f)Rcsch3(x)coth(x) dx:

(g)R

11�4x�2x2 dx:

(h)R

1p1�4x2

dx:

4. Dibuje la gráfica de la función f(x) = x� tanh(x):

5. Encuentre dydx

derivando implícitamente ln(y) = x2tanh(y):



Capítulo 20

Métodos de Integración

20.1 Integración por partes

El primer método que estudiaremos es el método de integración por partes , quees particularmente útil cuando el integrando puede escribirse como producto de dosfunciones, una de las cuales tiene una primitiva fácil de calcular.

Teorema 35 Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas y con derivadas continuas en[a; b]: Entonces:

1.Zf(x)g0(x) dx = f(x)g(x) �

Zf 0(x)g(x) dx:

2.Z b

a

f(x)g0(x) dx = f(x)g(x)

��b

a

�Z b

a

f 0(x)g(x) dx:

Prueba:

1. Sabemos que

d

dx[f(x)g(x)] = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x):

Despejando f(x)g0(x) nos queda

f(x)g0(x) =d

dx[f(x)g(x)] � f 0(x)g(x):

Como f(x)g0(x), ddx

[f(x)g(x)] y f 0(x)g(x) son integrables, se tieneZf(x)g0(x) dx =

Zd

dx[f(x)g(x)] dx �

Zf 0(x)g(x) dx;

y comoZ

d

dx[f(x)g(x)] = f(x)g(x), obtenemos

Zf(x)g0(x) dx = f(x)g(x) �

Zf 0(x)g(x) dx:

350 Métodos de Integración

2. Es consecuencia inmediata de lo anterior.

2

Si tomamos u = f(x) y dv = g(x) dx, la fórmula de integración por partes se puederescribir de la siguiente manera:Z

u dv = uv �Zv du:

Ejemplos

1. ConsideremosZx cos(x) dx:

Tomemos u = x y dv = cos(x) dx, entonces

du = dx y v =

Zcos(x) dx = sen(x):

Aplicando la fórmula de integración por partes, nos queda

Zx cos(x) dx = x sen(x)�

Zsen(x) dx

= x sen(x)� [� cos(x)] + C

= x sen(x) + cos(x) + C:

2. ConsideremosZ(x+ 1) ln(x) dx:

Tomemos u = ln(x) y dv = (x+ 1) dx: Por lo tanto

du =1

xdx y v =

Z(x + 1) dx =

x2

2+ x:

Entonces

Z(x+ 1) ln(x) dx =

= (x2

2+ x) ln(x) �

Z(x2

2+ x)

1

xdx

= (x2

2+ x) ln(x) �

Z(x

2+ 1) dx

= (x2

2+ x) ln(x) � (

x2

4+ x) + C

= (x2

2+ x) ln(x) � x2

4� x+ C:

20.2 Integración por sustitución 351

3. Consideremos

Z 1

0

arcsen(x) dx:

Tomemos u = arcsen(x) y dv = dx, entonces

du =1p

1� x2dx y v =

Zdx = x:

y:

Z 1

0

arcsen(x) dx

= x arcsen(x)��10�Z 1

0

x1p

1� x2dx

= (�

2� 0)�

Z 1

0

x(1� x2)�1=2 dx

=�

2+

1

2

Z 1

0

(�2x)(1� x2)�1=2 dx

=�

2+ (1� x2)1=2

��10=

�

2� 1:

20.2 Integración por sustitución

Teorema 36 Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en su dominio. Supongamosque f � g(x) está definida en [a; b] y que g(x) tiene en [a; b] primera derivada continua.Entonces:

1.

Zf(g(x))g0(x) dx =

Zf(u) du = F (u) + C = F (g(x)) + C:(20.1)

2.

Z b

a

f(g(x))g0(x) dx =

Z g(b)

g(a)

f(u) du:(20.2)

Prueba:

1. Ejercicio


2. Si F (x) es una primitiva de f(x), entonces

Z g(b)

g(a)

f(u) du = F (g(b))� F (g(a)):

Por otra parte:

(F � g)0(x) = f 0(g(x))g0(x) = f(g(x))g0(x);

es decir, F � g es una primitiva de f(g(x))g0(x): Entonces:

Z b

a

f(g(x))g0(x) dx = (F � g)(b)� (F � g)(a)

= F (g(b))� F (g(a)):

Por lo tanto los dos miembros de (20.1) son iguales.

2

Llamaremos Método de Sustitución al método de hallar integrales indefinidas (de-finidas) usando (20.1) ((20.2)).

Ejemplos

1.Z(3x4 + 2)5x3 dx =

1

12

Z(3x4 + 2)512x3 dx:

Si tomamos u = 3x4 + 2, se tiene que du = 12x3 dx: Haciendo esta sustituciónresulta:

Z(3x4 + 2)5x3 dx =

1

12

Zu5 du =

1

12

�16u6 +K

�=

1

72(3x4 + 2)6 + C:

2.Z

e tan(x)

cos2 (x)dx =

Ze tan(x)sec2 (x) dx:

Haciendo u = tan (x), se tiene que du = sec2 (x) dx y nos queda que:

Ze tan(x)

cos2 (x)dx =

Ze tan(x)sec2 (x) dx

=

Zeu du = eu + C = e tan(x) + C:

3.Z �

2

0

sen(x)

9 + cos2 (x)dx:

20.3 Sustituciones Trigonométricas 353

Haciendo u = cos(x), se tiene que du = �sen(x) dx: Además, para x = 0 yx = �

2se tiene que u = 1 y u = 0, respectivamente. Entonces:

Z �

2

0

sen(x)

9 + cos2 (x)dx =

Z 0

1

�du9 + u2

=

Z 1

0

du

9 + u2

=1

9

Z 1

0

du

1 +u2

9

Si tomamos t =u

3, dt =

1

3du: Además, t = 0 y t =

1

3para u = 0 y u = 1,

respectivamente. Por lo tanto, tenemos que:

Z �

2

0

sen(x)

8 + cos2 (x)dx =

=1

9

Z 1

0

du

1 +u2

9

=1

9

Z 13

0

3dt

1 + t2

=1

3

�arctan (

1

3)� arctan (0)

�

=1

3arctan (

1

3):

20.3 Sustituciones Trigonométricas

(I) Integrales que contienen la expresiónpa2 � x2, con a > 0:

En este caso se utiliza la sustitución x = asen(t): Al hacer esta sustitución, ocualquiera de las otras dadas en esta sección, supondremos que t está en elrango de la función trigonométrica correspondiente. En este caso, t 2 [��=2; �=2]y por lo tanto, cos (t) � 0: De aquí que,

pa2 � x2 =

pa2 � a2 sen2(t) = a cos(t):

Ejemplo:Zx2p4� x2

dx:

Hacemos la sustitución x = 2sen(t): Entonces dx = 2 cos(t) dt:


Zx2p4� x2

dx =

=

Z4 sen 2(t)p

4 � 4 sen2(t)2 cos (t) dt

=

Z4 sen2(t)

2 cos(t)2 cos(t) dt

=

Z4 sen2(t) dt

=

Z4�1� cos(2t)

2

�dt

=

Z2 dt �

Z2 cos(2t) dt

= 2 t � sen(2t) + C

= 2 t � 2 sen(t) cos(t) + C:

Observe que si x = asen(t) y t 2 [0; �=2]; podemos interpretar tcomo un ángulo de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es a,el cateto opuesto a t es x y el cateto adyacente a t es

pa2 � x2: Ver

figura 20.1. Entonces, para escribir el resultado de la integral en fun-

la hipotenusa es a, el cateto opuesto a t es x yel cateto adyacente a t es la raiz cuadrada dea2 � x2

Figura 20.1

ción de x, usando el triángulo obtenemos quex

2= sen(t) y

p4� x2

2=

cos(t) (note que estas fórmulas son ciertas para t 2 [��=2; 0]). Nosqueda que:

Zx2p4� x2

dx =

= 2 arcsen (x

2) � x

p4� x2

2+ C:

20.3 Sustituciones Trigonométricas 355

(II) Integrales que contienen la expresiónpa2 + x2, con a > 0:

En este caso se utiliza la sustitución x = a tan(t), con t 2 [��=2; �=2]: Por lotanto, sec(t) � 0: De aquí que,

pa2 + x2 =

pa2 + a2 tan2(t) = asec (t):

Ejemplo:Z1

xp9 + x2

dx:

Hacemos la sustitución x = 3 tan(t): Entonces dx = 3sec2 (t) dt:

Z1

xp9 + x2

dx =

=

Z3 sec2 (t)

3 tan(t)p

9 + 9 tan2(t)dt

=

Z3 sec2 (t)

3 tan(t) 3 sec(t)dt

=

Zsec(t)

3 tan(t)dt

=

Z1

3

1

sen(t)dt

=1

3

Zcsec (t) dt

=1

3

Zcsec (t)

�csec (t) + ctan (t)

csec (t) + ctan (t)

�dt

=1

3

Z �csec (t) ctan (t) + csec2 (t)

csec (t) + ctan (t)

�dt:

Ahora hacemos la sustitución u = csec (t)+ctan (t), du = �[csec2 (t)+csec (t) ctan (t)] dt: Nos queda:

Z1

xp9 + x2

dx =

= �1

3

Zdu

u

= �1

3ln juj+ C

= �1

3ln jcsec (t) + ctan (t)j+ C:

Observe que si x = a tan(t) y t 2 [0; �=2]; podemos interpretar tcomo un ángulo de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa espa2 + x2, el cateto opuesto a t es x y el cateto adyacente a t es a:

Ver figura 20.2. Entonces, para escribir el resultado de la integral en

función de x, usando el triángulo obtenemos que

p9 + x2

x= csec (t) y


la hipotenusa es la raiz cuadrada de a2 + x2, elcateto opuesto a t es x y el cateto adyacente a

t es a

Figura 20.2

3

x= ctan (t) (note que estas fórmulas son ciertas para t 2 [��=2; 0]).

Nos queda que:

Z1

xp9 + x2

dx =

= �1

3ln jp9 + x2

x+

3

xj+ C

= �1

3ln jp9 + x2 + 3

xj+ C:

(III) Integrales que contienen la expresiónpx2 � a2, con a > 0:

En este caso se utiliza la sustitución x = a sec(t) con t 2 [0; �=2)[ [�; 3�=2): Porlo tanto, tan(t) � 0: De aquí que,

px2 � a2 =

pa2 sec2(t)� a2 = a tan(t):

Ejemplo:Z px2 � 16

xdx:

Hacemos la sustitución x = 4 sec(t): Entonces dx = 4 sec(t) tan(t) dt:Z px2 � 16

xdx =

=

Z p16sec2 (t)� 16

4 sec(t)4 sec(t) tan(t) dt

=

Z4 tan(t)

4 sec(t)4 sec(t) tan(t) dt

=

Z4 tan2 (t) dt

=

Z4 [sec2 (t)� 1] dt

= 4 [ tan(t) � t] + C:

20.4 Integración de funciones racionales 357

Observe que si x = a sec(t) y t 2 [0; �=2), podemos interpretar tcomo un ángulo de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa esx; el cateto opuesto a t es

px2 � a2 y el cateto adyacente a t es a:

Ver figura 20.2. Entonces, para escribir el resultado de la integral en

la hipotenusa es x; el cateto opuesto a t es laraiz cuadrada de x2 � a2 y el cateto adyacentea t es a

Figura 20.3

función de x, usando el triángulo obtenemos que

px2 � 16

4= tan(t)

(note que estas fórmulas son ciertas para t 2 [�; 3�=2)). Nos quedaque:

Z px2 � 16

xdx =

=px2 � 16 � 4 arcsec (

x

4) + C:

20.4 Integración de funciones racionales

En esta sección estudiaremos un método para integrar funciones racionales, es decir,funciones de la forma

f(x) =g(x)

h(x);

en donde g(x) y h(x) son polinomios con coeficientes reales.

Si el grado de g(x) es menor o igual al grado de h(x), entonces

f(x) = F1 + F2 + :::+ Fn;

donde cada Fi, i = 1; :::; n es también una función racional tal que

Fi =A

(x� r)ko Fi =

Cx+B

(ax2 + bx+ c)l;

donde k; l 2 N y ax2+ bx+ c es un polinomio irreducible en R: A esta descomposiciónde f(x) la llamaremos descomposición en fracciones simples .

Consideraremos funciones racionales f(x) =g(x)

h(x)con grado g(x) menor que

grado h(x): Este método presenta varios casos según la naturaleza del polinomioh(x):


(I) Si h(x) tiene solo raíces reales r1; r2; :::; rp: Es decir,

r1 con orden de multiplicidad M1

r2 con orden de multiplicidad M2

...rp con orden de multiplicidad Mp

Se puede mostrar en este caso que cada raíz ri con orden Mi da origen a unasuma de la forma:

A1

(x� ri)Mi

+A2

(x � ri)Mi�1+ � � �+ AM1

(x� ri)

siendo los Aj constantes reales a determinar.

Ejemplos

(a) Calcular Zx+ 1

x3 � 7x+ 6dx:

x+ 1

x3 � 7x+ 6=

x+ 1

(x� 1)(x� 2)(x+ 3)

=A1

x� 1+

A2

x� 2+

A3

x+ 3

Multiplicando a ambos miembros por x3 � 7x + 6 = (x � 1)(x � 2)(x + 3);se obtiene

x+ 1 = A1(x� 2)(x+ 3)+(20.3)

+A2(x� 1)(x+ 3)

+A3(x� 1)(x� 2)

En este caso, podemos hallar A1, A2 y A3 sustituyendo x en (20.3) por lasraíces de h(x):

para x =? se obtiene )

x = 2 3 = 5A2 ) A2 = 3=5;

x = �3 �2 = 20A3 ) A3 = �1=10

x = 1 2 = �4A1 ) A1 = �1=2

Entonces:Zx+ 1

x3 � 7x+ 6dx =

= �1

2

Zdx

x� 1+

3

5

Zdx

x� 2� 1

10

Zdx

x+ 3


= �1

2ln j x� 1 j +3

5ln j x� 2 j

� 1

10ln j x+ 3 j +C

= lnj x� 2 j 35

j x� 1 j 12 j x+ 3 j 110+ C

(b) Calcular Zx dx

(x� 1)2(x� 2)2:

Tenemos que

x

(x� 1)2(x � 2)2

=A1

(x� 1)2+

A2

x� 1+

A3

(x� 2)2+

A4

x� 2

Multiplicando a ambos miembros de la igualdad por (x � 1)2(x � 2)2, setiene

x = A1(x� 2)2 +(20.4)

+A2(x� 1)(x� 2)2 +

+A3(x� 1)2 +

+A4(x� 1)2(x� 2):

Podemos hallar A1 y A3 sustituyendo x en (20.4) por las raíces de h(x):

para x = 2 se obtiene 2 = A3

para x = 1 se obtiene 1 = A1

Además, obtenemos A4 = �3 y A2 = 3, sustituyendo A1 = 1 y A3 = 2 en(20.4) e igualando coeficientes. EntoncesZ

x dx

(x� 1)2(x � 2)2=

=

Zdx

(x� 1)2+ 3

Zdx

(x� 1)+ 2

Zdx

(x� 2)2� 3

Zdx

(x� 2)

= � 1

x� 1+ 3 ln j x� 1 j �2 1

x� 2� 3 ln j x� 2 j +C

= �(x� 1)�1 � 2(x� 2)�1 + lnj x� 1 j3j x� 2 j3 + C

(II) Consideremos ahora el caso en que h(x) tiene raíces imaginarias. Si h(x) ad-mite una raíz imaginaria r = � � i� con multiplicidad m, se sabe que tambiénadmite la raíz r = � � i� con la misma multiplicidad. Por lo tanto, el polinomioax2 + bx+ c con raíces imaginarias r, r, aparece elevado a la m en la descom-posición de h(x): Se puede demostrar en este caso que cada raíz imaginaria r


con orden m da origen a una suma de la forma:

p1x+ q1

(ax2 + bx+ c)m+

+p2x+ q2

(ax2 + bx+ c)m�1

...

+pmx+ qm

ax2 + bx+ c

Ejemplo:CalcularZ

x dx

(1 + x3):

Tenemos que

1 + x3 = (1 + x)(x2 � x+ 1):

Pero x2 � x + 1 tiene raíces imaginarias y 1 + x tiene la raíz real�1: Entonces

x

1 + x3=

=x

(1 + x)(x2 � x+ 1)

=A

1 + x+

px+ q

x2 � x+ 1

Multiplicando a ambos miembros de la igualdad por 1 + x3 = (1 +x)(x2 � x+ 1); se tiene:

x = A(x2 � x+ 1)+(20.5)

+(px+ q)(1 + x)

En este caso, podemos hallar A sustituyendo x = �1 en (20.5).

x = �1 ) �1 = 3A ) A = �1=3Además,

parax = 0 ) 0 = A+ q ) q = 1=3

parax = 1 ) 1 = A+ 2(p+ q)) p = 1=3:

EntoncesZx

1 + x3dx =

= �Z

1

3(1 + x)dx+

Z 13x+ 1

3

x2 � x+ 1dx

= �1

3ln j 1 + x j +1

3

Zx+ 1

x2 � x+ 1dx


Ahora, Zx+ 1

x2 � x+ 1dx =

=

Z 12(2x� 1) + 1 + 1

2

x2 � x+ 1dx

=1

2

Z2x� 1

x2 � x+ 1dx+

3

2

Zdx

x2 � x+ 1

=1

2ln j x2 � x+ 1 j +3

2

Zdx

x2 � x+ 1

Para la última integral se hace:

x2 � x+ 1 =

=

�(x� 1

2)2 + 1� 1

4

�=

= (x� 1

2)2 +

3

4

Zdx

x2 � x+ 1=

Zdx

(x� 1

2)2 +

3

4

y con la sustitución x� 1

2=

r3

4t, dx =

r3

4dt se llega a

Zdx

x2 � x+ 1=

=

r3

4

Zdt

34 t

2 + 34

=2p3

3arctan

2x� 1p3

+ C:

Finalmente,

Zx

1 + x3dx =

= lnj x2 � x+ 1 j 16j x+ 1 j 19

+

p3

3arctan

2x� 1p3

+ C:

Observación: Si f(x) =g(x)

h(x)con grado de g(x) mayor o igual al

grado de h(x), dividimos g(x) entre h(x) para obtener:

f(x) = p(x) +r(x)

h(x);


donde p(x) y r(x) son polinomios y el grado de r(x) es menor que el gradode h(x): Por lo tanto,

Zf(x) dx =

Zp(x) dx+

Zr(x)

h(x)dx;

y la última integral se resuelve usando el método que acabamos de des-cribir.

20.5 Integrales Trigonométricas

(I) Integrales de la forma

Zsenm(x)cos n(x) dx:

(a) m = 2k + 1, k entero no negativo (m impar y no negativos).

Zsenm(x) cosn(x) dx =

=

Zsen2k+1(x) cosn(x) dx

=

Z(sen2(x))k cosn(x)sen(x) dx

=

Z(1� cos2(x))k cosn(x)sen(x) dx

Esta última expresión es fácil de integrar.

Ejemplo Zsen5(x)cos2(x) dx =

=

Zsen4(x)cos2(x)sen(x) dx

=

Z(sen2(x))2cos2(x)sen(x) dx

=

Z(1� cos2(x))2cos2(x)sen(x) dx

=

Z(1� 2cos2(x) + cos4(x))cos2(x)sen(x) dx

=

Z(cos2(x)� 2cos4(x) + cos6(x))sen(x) dx:

20.5 Integrales Trigonométricas 363

Hacemos la sustitución u = cos(x), du = �sen(x) dx y nos queda:Zsen5(x) cos2(x) dx =

= �Z(u2 � 2u4 + u6) du

= �1

3u3 +

2

5u5 � 1

7u7 + C

= �1

3cos3(x) +

2

5cos5(x)� 1

7cos7(x) + C:

(b) n = 2l + 1, l entero no negativo (n impar y no negativo).

Zsenm(x) cosn(x) dx =

=

Zsenm(x) cos2l+1(x) dx

=

Zsenm(x)( cos2(x))l cos(x) dx

=

Zsenm(x)(1� sen2(x))l cos(x) dx:

Ejemplo:Zsen(x) cos3(x) dx =

=

Zsen(x) cos2(x) cos(x) dx

=

Zsen(x)(1� sen2(x)) cos(x) dx

=

Z(sen(x) � sen3(x)) cos(x) dx:

Hacemos la sustitución u = sen(x), du = cos(x) dx y nos que-da:

Zsen(x) cos3(x) dx =

=

Z(u� u3) du

=1

2u2 � 1

4u4 + C

=1

2cos2(x)� 1

4cos4(x) + C:

(c) m = 2k y n = 2l, k y l enteros no negativo (m y n pares, no negativos).


Se usa repetidas veces las identidades trigonométricas:

cos2(x) =1 + cos(2x)

2y

sen 2(x) =1� cos(2x)

2;

hasta simplificar el integrando.

Ejemplo:Zsen4(x) dx =

Z(sen2(x))2 dx =

Z(1� cos(2x)

2)2 dx

=

Z1� 2 cos(2x) + ( cos2(2x))

4dx

=

Z1

4� cos(2x)

2+

1

4

�1 + cos(4x)

2

�dx

=

Z1

4dx�

Zcos(2x)

2dx +

Z1

8dx+

Zcos(4x)

8dx

=3

8x� sen(2x)

4+

sen(4x)

32+ C:

(II) Integrales de la formaZtanm(x)sec n(x) dx:

(a) n = 2l, l entero no negativo (n par y no negativo).Ztanm(x) secn(x) dx =

=

Ztanm(x) sec2l(x) dx

=

Ztanm(x)( sec2(x))l�1 sec2(x) dx

=

Ztanm(x)(1 + tan2(x))l�1sec 2(x) dx:

Ejemplo: Ztan3(x) sec4(x) dx =

=

Ztan3(x) sec2(x) sec2(x) dx

=

Ztan3(x)(1 + tan2(x)) sec2(x) dx

=

Z( tan3(x) + tan5(x)) sec2(x) dx:

Hacemos la sustitución u = tan(x), du = sec2(x) dx y nosqueda:


Ztan3(x) sec4(x) dx =

=

Z(u3 + u5) du

=1

4u4 +

1

6u6 + C

=1

4tan4(x) +

1

6tan6(x) + C:

(b) m = 2k + 1, k entero no negativo (m impar y no negativo).

Ztanm(x) secn(x) dx =

=

Ztan2k+1(x) secn(x) dx

=

Z(tan2(x))ktan(x) secn�1(x)sec(x) dx

=

Z( sec2(x) � 1)k secn�1(x)sec (x)tan(x) dx:

Ejemplo: Ztan3(x) sec5(x) dx =

=

Z(tan2(x))tan(x) sec4(x) sec(x) dx

=

Z( sec2(x) � 1) sec4(x) sec(x)tan(x) dx

=

Z( sec6(x) � sec4(x)) sec(x)tan(x) dx:

Hacemos la sustitución u = sec(x), du = sec(x)tan (x) dx y nosqueda:

Ztan3(x) sec5(x) dx =

=

Z(u6 � u4) du

=1

7u7 � 1

5u5 + C

=1

7sec7(x)� 1

5sec5(x) + C:

(c) n = 0 y m = 2k, k entero no negativo (m par y no negativo).

Ztanm(x) dx =


=

Ztanm�2(x)(tan2(x)) dx

=

Ztanm�2(x)( sec2(x) � 1) dx

=

Ztanm�2(x) sec2(x) dx

�Ztanm�2(x) dx:

La primera es del tipo (II.a) y la segunda es del tipo (II.c) pero de menorexponente.

Ejemplo: Ztan4(x) dx =

=

Z( tan2(x))( tan2(x)) dx

=

Ztan2(x)( sec2(x) � 1) dx

=

Ztan2(x) sec2(x) dx

�Z(tan 2(x)) dx

=

Ztan2(x) sec2(x) dx

�Z(sec 2(x)� 1) dx

=

Ztan2(x) sec2(x) dx

�Z

sec 2(x) dx +

Zdx:

Hacemos la sustitución u = tan(x), du = sec2(x) dx en la pri-mera integral integrales y nos queda:

Ztan4(x) dx =

=

Zu2 du� tan(x) + x+K

=1

3u3 � tan(x) + x+ C

=1

3tan3(x)� tan(x) + x+ C:

(d) m = 0 y n = 2l + 1, l entero no negativo (n impar y no negativo).

Zsecn(x) dx =


=

Zsecn�2(x) sec2(x) dx:

Tomamos u = secn�2(x) y dv = sec2(x) e integramos por partes.

Ejemplo:Zsec3(x)(x) dx =

Zsec(x)sec 2(x) dx:

Tomamos u = sec(x) y dv = sec2(x) e integramos por partes.Zsec3(x)(x) dx =

=

Zsec(x) sec2(x) dx

= sec(x) tan(x)

�Z

sec(x)tan (x) tan(x) dx

= sec(x) tan(x)

�Z

sec(x)(tan 2(x)) dx

= sec(x) tan(x)

�Z

sec(x)(sec 2(x) � 1) dx

= sec(x) tan(x)

�Z

sec3(x) dx

+

Zsec(x) dx:

DespejandoZ

sec3(x) dx de la ecuación, nos queda:

2

Zsec3(x)(x) dx =

sec(x) tan(x) +

Zsec(x) dx

= sec(x) tan(x) +

Zsec(x) dx:

Por lo tanto:

Zsec3(x)(x) dx =

=1

2sec(x) tan(x)

+1

2ln j sec(x) + tan(x)j + C:

Capítulo 21

Aplicaciones de la Integral

Como la derivada, la integral tiene muchas interesantes aplicaciones a problemasfísicos y geométricos. Algunas de estas aplicaciones serán dadas en este capítulo.

21.1 Areas

Si f es una función continua con valores no negativos en el intervalo cerrado [a; b],entonces las líneas x = a, x = b, el eje x y el gráfico de la función definen una regiónR del plano (figura 21.1).

Región bajo el gráfico

Figura 21.1

Nosotros estamos interesados en hallar el área de la región R: Si tomamos unapartición P : [x0 = a; x1; : : : ; xn = b] del intervalo [a; b] y hacemos una suma deRiemann correspondiente a esta partición, tenemos:

RP =

nXi=1

f(x0

i)(xi � xi�1)

donde xi � x0

i � xi�1:

Ahora, f(x0

i)(xi � xi�1) representa el área del rectángulo señalado en figura 21.2.Cuando tomamos particiones con longitud cada vez más pequeña, RP debe acercar-se al área bajo la curva. Asimismo, como f es integrable sabemos limkPk!0 RP =R baf(x) dx: Esto sugiere la definición de área de la región R, A(R), como:

A(R) =

Z b

a

f(x) dx:

382 Aplicaciones de la Integral

area de cada rectángulo de lapartición

Figura 21.2

Ejemplo: Sea h(x) = 3px: Halle el área bajo el gráfico de la función h

y el eje x entre 1 y 8.

Area de región bajo el gráfico de laraiz cúbica de x

Figura 21.3

Solución: La región R, figura 21.3, tiene área

A(R) =

Z 8

1

3px dx =

3

4x4=3j81 =

3

8(84=3 � 14=3) =

45

4:

Si f es continua, con valores no positivos en el intervalo [a; b], entoncesR baf(x) dx �

0 y el área de la región acotada por el gráfico de la función, el eje x y las líneas x = a

y x = b está dada por A(R) =R ba�f(x) dx:

Ahora suponga que tenemos dos funciones continuas h y k en el intervalo [a; b] yh(x) � k(x) (Ver figura 21.4). Entonces p(x) = h(x)� k(x) � 0:

Area de región entre dos funciones

Figura 21.4

Es claro que el área de R está dada por

A(R) = A(R1) +A(R2):

21.1 Areas 383

Usando integrales es:

A(R) =

Z b

a

p(x) dx =

Z b

a

(f(x)� g(x)) dx

=

Z b

a

f(x) dx�Z b

a

g(x) dx

Ejemplo: Halle el área de la región R entre las gráficas de las funcio-nes f(x) = 2x� x2 y g(x) = x� 2 (Ver figura 21.5)

Región R entre las gráficas de lasfunciones f(x) = 2x � x2 y g(x) =x� 2

Figura 21.5

Solución: Igualando las dos ecuaciones, obtenemos los puntos de intersección delos gráficos:

2x� x2 = x� 2) x+ 2� x2 = 0) x = 2 ó x = �1:

Como f(x) � g(x) entre -1 y 2, tenemos

A(R) =

Z 2

�1

[(2x� x2)� (x� 2)] dx

=

Z 2

�1

(�x2 + x+ 2) dx

= (�1

3x3 +

x2

2+ 2x)j2�1 =

9

2

Ejemplo: Halle el área de la región acotada por el gráfico de la ecua-ción y2 = 4x2 � x4

Solución: Usaremos que el gráfico de la función es simétrico respecto al eje xy al eje y: La ecuación y2 = 4x2 � x4 se puede descomponer en dos funciones:f(x) = x

p4� x2 y g(x) = �x

p4� x2 (Ver figura 21.6).

Es claro que el área total es 4A(R):Como los puntos de intersección del gráfico de la ecuación con el eje x es

4x2 � x4 = 0) x = �2; 0; 2

tenemos A(total) = 4R 20f(x) dx = 4

R 20xp4� x2 dx:

Si tomamos u = 4� x2, tenemos du = �2x dx:4R 20xp4� x2 dx se convierte en �2

R 04u1=2du = �2 2

3u3=2j04 = 32

3:


El área total es 4A(R)

Figura 21.6

Ejercicios

I. Halle el área de la región acotada por los gráficos de las siguientes ecuaciones.Haga un gráfico aproximado de la región.

(a) y = 9� x2, y = 0; x = �2; x = 1:

Resp: 88/3

(b) y =px+ 4; y = 0; x = 0:

(c) y = x2 � 4; y = 4� x2:

Resp: 64/3

(d) 4y = x2; x� 4y + 2 = 0:

(e) x2y = 4; 3x+ y � 7 = 0:

Resp: 1/2

(f) y = x3 � x; y = 0 en el cuarto cuadrante.

(g) y2 = 4x; x = 1:

Resp: 8/3

(h) y = �x2 + 4x � 3 y las tangentes a esta parábola en los puntos (0;�3) y(4;�3):Resp: 16/3

(i) y2 = a2x6 � x8:

Resp: a4

(j) y = x3 y y = 2x� x2:

Resp: 37/12

(k) y2 = 4x+ 8 y la recta que une (2; 4) y (4; 8):

Resp: 9

II. Determínese la recta que pasa por el origen y biseca el área limitada por y =6x� x2 y el eje x:

Resp: Pendiente de la recta = 3(2� 22=3)

21.2 Volúmenes 385

21.2 Volúmenes

En esta sección vamos a usar la integral para calcular el volumen de ciertos sólidosen el espacio tridimensional.

Llamaremos sólido C a un cilindro acotado por dos regiones congruentes R1 y R2

ubicados en dos planos paralelos y por una superficie lateral compuesta de segmen-tos de líneas que conectan puntos correspondientes de las fronteras y son perpen-diculares a los planos de R1 y R2 (Ver figura 21.7). Cada una de las regiones R1 yR2 es llamada una base del cilindro C; la distancia entre los planos de R1 y R2 esllamada la altura de C:

Las regiones R1 y R2 es llamada unabase del cilindro

Figura 21.7

El común cilindro circular recto es un cilindro con base un círculo.Ahora supongamos que conocemos el área de la base A(B) y su altura h: Enton-

ces el volumen de C, V (C), está dado por V (C) = A(B)h:En el caso de que el sólido S esté compuesto de cilindros C1; : : : ; Ck entonces el

volumen de S; V (S), es V (S) = V (C1) + � � �+ V (Ck):Pasemos ahora a definir el volumen de un sólido S que no está compuesto de

cilindros. Asumiremos que un plano que intercepta a S, la corta en una región plana,que llamaremos una sección de S: Nosotros definimos el volumen de S bajo la con-dición de que las áreas de todas las secciones de S perpendiculares a una línea fijason conocidas y cambia continuamente. Es decir, existe una línea L tal que el sólidoS está comprendido entre los planos perpendiculares a L en los puntos a y b y lasección de S en el plano perpendicular a L en el punto x de [a; b] tiene área conocidaA(x) tal que A(x) es continua en [a; b] (Ver figura 21.8).

La sección de S en el punto x de[a; b] tiene área conocida A(x)

Figura 21.8

Ahora si tomamos una partición

P : [x0 = a; x1; : : : ; xn = b]

de [a; b] y puntos zi 2 [xi�1; xi] con sus respectivas secciones A(zi), entonces lasuma de Riemann RP =

Pni=1 A(zi)�xi es una aproximación del volumen de S:


Ahora podemos definir V (S) = limkPk!0RP : Este límite existe y es igual aR baA(x) dx:

Por lo tanto podemos definir el volumen de S, con las condiciones estipuladasarriba, como V (S) =

R baA(x) dx:

Ejemplos

1. Encuentre el volumen del sólido cuya base es la región comprendida entre elgráfico de la función f(x) = 1 � x2 y el eje x en el primer cuadrante. Cadasección perpendicular al eje x es un triángulo equilátero apoyado sobre su base.

Solución: Vemos que la gráfica de f es una parábola que corta al eje x enx = �1 y x = 1 (Ver figura 21.9).

El área de la sección para x está da-da por el área del triángulo

Figura 21.9

El área de la sección para esta x está dada por:

A(x) = área del triángulo =1

2(1� x2)

p3

2(1� x2)

por lo que el volumen del sólido en x y x + �x es, aproximadamente, �V =p34 (1� x2)2�x:

Usando la simetría de la región, tenemos que el volumen del sólido es

V = 2

Z 1

0

p3

4(1� x2)2 dx

=

p3

2

Z 1

0

(1� 2x2 + x4) dx

=

p3

2(x� 2

3x3 +

1

5x5)j10 =

4p3

15

2. Halle el volumen del sólido S formado por la intersección de dos cilindros circu-lares rectos de radio r, cuyos ejes se interceptan en ángulos rectos.

Solución: (Ver figura 21.10)

Cada sección del sólido S en un plano paralelo a ambos ejes es un cuadra-do. Un cuarto de este cuadrado y un octavo del sólido S está dibujado en lafigura 21.10. Este cuarto de cuadrado dibujado en la figura 21.10, tiene áreaA(x) = y2 = yz = z2:

21.2 Volúmenes 387

El cuarto de cuadrado dibujado,tiene área A(x) = y2 = yz = z2

Figura 21.10

Como las ecuaciones de los cilindros son x2+y2 = r2 y z arbitrario y z2+x2 = r2

y y arbitrario, tenemos que A(x) = y2 = xy = z2 = r2 � x2:

Por lo tanto, una sección de todo el sólido es A0(x) = 4A(x) para cada x en[�r; r]: Así pues,

V (S) =

Z r

�r4(r2 � x2) dx = 4(r2x� x3

3)jr�r =

16

3r3:

Hay sólidos, los llamados sólidos de rotación, cuyo volumen se puede hallarusando un razonamiento similar al expuesto. Este tipo de sólido consiste enrotar una región del plano alrededor de una línea L (aunque se podría rotar estaregión respecto a una curva, nosotros no vamos a considerar estos casos).

Veamos algunos ejemplos.

3. Halle el volumen del sólido S generado por la región limitada por la curva y2 = xentre 0 y 4 (Ver figura 21.11).

Solución: El área de la sección A(x) = �y2, ya que es un círculo.

La sección es un círculo

Figura 21.11

Por lo tanto, el volumen de S, V (S), es

V (S) =

Z 4

0

�x dx =�x2

2j40

= 8� (recuerde que y2 = x)

4. Ahora suponga que queremos hallar el volumen del sólido generado por la mis-ma región al rotar esta alrededor del eje y:


Solución: Basta, por simetría, hallar el volumen generado por la región con y nonegativa (La figura 21.12 contiene solamente la mitad superior del sólido).

La mitad superior del sólido

Figura 21.12

Haciendo una partición de [0; 4] y tomando [x; x + �x] como un subintervalitogenérico, vemos que el volumen �V de esta franja completa es, aproximada-mente,

�V � �(x+�x)2y � �x2y

= �y((x +�x)2 � x2)

= �y(x +�x+ x)(x +�x� x)

= 2�y(2x+�x

2)�x � 2�yx�x

( 2x+�x2

la podemos aproximar por x)

�V � 2�yx�x = 2�xf(x)�x:

Por lo tanto, el volumen total es:

V = 2

Z 4

0

2�f(x)x dx

= 2

Z 4

0

2�pxx dx = 4�

Z 4

0

x3=2 dx

= 4�2=5x5=2j40 =256

5�

5. Supongamos que queremos hallar este mismo volumen pero ahora particiona-mos el eje y en vez del eje x (Ver figura 21.13).

Solución: Ahora al rotar la banda rayada en la figura 21.13, obtenemos un volu-men �V:

Al rotar la banda, obtenemos un vo-lumen �V:

Figura 21.13

21.2 Volúmenes 389

Este �V es, aproximadamente,

�V � 1

2(�42�y � �x2�y) =

1

2(16��y � �y4�y)

donde y está en [0; 2]:

Ahora si tomamos la vuelta completa alrededor de y entre 0 y 2, tenemos queel volumen es 2�V:

Por lo tanto, el volumen total para y en [0; 2] es:

V = �

Z 2

0

(16� y4)dy =

= �(16y � y5

5)j20

= �(32� 32=5) = �128

5:

Si queremos el volumen total de la parábola para x entre 0 y 4, entonces estevolumen es 2V , que es 256

5 �, que concuerda con el valor obtenido en el ejemplo4.

Está claro que uno escoge el método más fácil para resolver ejercicios como el4 y 5 de esta sección.

Veamos otros ejemplos.

6. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor deleje y: R está limitada por el gráfico de la ecuación xy = 2, eje y y las rectasy = 1; y = 6:

R está limitada por el gráfico de laecuación xy = 2, eje y y las rectas

y = 1; y = 6:

Figura 21.14

Solución: El volumen generado por la región genérica �R entre y y y +�y es,aproximadamente,

�V � �x2�y = �4

y2�y

donde y está entre 1 y 6. Por lo tanto, el volumen del sólido es

V = 4�

Z 6

1

y�2dy = 4�(�1

y)j61 = �2

3� + 4� =

10�

3:


7. Halle el volumen de la región R comprendida entrepx+

py = 1 y x + y = 1 al

girar esta región alrededor del eje y

Solución: Vamos a usar bandas verticales (Ver figura 21.15).

El volumen aproximado �V generado al girar �R alrededor del eje y es

�V � 2�(x+�x)(1� x)�x � 2�x(1�px)2�x

Bandas verticales

Figura 21.15

La primera parte nos da como volumen

V1 =

Z 1

0

2�x(1� x) dx = �=3

y la segunda nos da como volumen

V2 =

Z 1

0

2�x(1�px)2 dx = �=15:

El volumen total, V , es V1 � V2: Por lo tanto, V = �=3� �=15 = 4�15:

Ejercicios

1. La base de un sólido es un círculo de radio r: Las secciones del sólido per-pendicular a un diámetro fijo de la base son cuadradas. Halle el volumen delsólido.

Resp: 16r3

3 :

2. Una esfera de radio r es cortada por un plano formando un segmento de laesfera de altura r: Pruebe que el volumen del segmento es �h2(r � h

3 ):

3. Demuestre que el volumen del elipsoide x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1; a; b; c positivos es abc

veces más que el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 = 1:

4. La región limitada por y = 4x2 y y = 2x se hace girar alrededor de las rectasdadas abajo. Encuéntrese en cada caso el volumen del sólido generado

(a) eje x

(b) eje y

21.3 Trabajo 391

(c) y=2

(d) x=2

5. Un agujero cilíndrico de radio a se taladra pasando por el centro de una esferade radio 2a: ¿Cuál es el volumen del material quitado?

Resp: 23�a3(16� 6

p3):

6. Hallar el volumen generado al girar la región dada alrededor del eje x

(a) f(x) = x2; x en [0; 1]

Resp: �=5:

(b) f(x) = 1=x; x en [1; 2]

Resp: �=2:

(c) g(x) =px; x en [0; 1] y g(x) = x2; x en [0; 1]

Resp: 310�:

7. Hallar el volumen generado al girar cada una de las regiones dadas en el ejer-cicio anterior alrededor del eje y

21.3 Trabajo

Si una fuerza constante F es aplicada a un objeto moviéndolo una distancia d, enton-ces el trabajo W realizado sobre el objeto es definido como: W = F � d

Las unidades de W serán metro - kilogramo - fuerza o m-kgf. Otras unidadespodrían ser pies - libras - fuerza o f-lbf, etc. . .

Ejemplos

1. Un objeto de peso 110 kgf. se sube con velocidad constante a una altura de 23metros. Halle el trabajo realizado.Solución: Como la fuerza necesaria para subir el objeto es 110 kgf, el trabajorealizado es: W = 110� 23 = 2530 m-kgf.El problema se complica si la fuerza varía con la posición del objeto. Nosotrosvamos a asumir que el objeto O se mueve a lo largo de una recta L, con unafuerza F (x) que es aplicada a O cuando esté en la posición x de L figura 21.16. También asumimos que el objeto se mueve desde a hasta b y F (x) es unafuerza continua en el intervalo [a; b]:

Una fuerza F (x) que es aplicada a Ocuando esté en la posición x

Figura 21.16

Para calcular el trabajo que realiza F (x) cuando se mueve a O desde a has-ta b, tomamos una partición P = [x0; x1; : : : ; xn] de [a; b]: En cada subintervalo[xi�1; xi] de P , sea x0i un punto en [xi�1; xi]: El trabajo realizado es aproxima-damente:

�Wi � �xiF (x0i)


El trabajo total para mover a O desde a hasta b es aproximadamente:

�W �nXi=1

F (x0i)�xi

Como F es continua, sabemos que la suma

nXi=1

F (x0i)�xi !Z b

a

f(x) dx; cuandojjP jj ! 0

Por lo tanto, es lógico definir el trabajo W realizado en un objeto O desde ahasta b por una fuerza f(x) continua como

W =

Z b

a

f(x) dx

2. Halle el trabajo que se realiza al vaciar un tanque de forma cilíndrica, desdearriba, suponiendo que éste está lleno y sus medidas son 2m. de radio por 6 m.de altura.Solución: El trabajo del disco:�W = fuerza � distancia. Y esto es, aproximadamente,

�W = �22k�x0(6� x)

donde k es el peso de un metro cúbico de agua.

Un tanque de forma cilíndrica

Figura 21.17

Por lo tanto:

W =

Z 6

0

4�(6� x)k dx = 4�k

�6x� x2

2

�60

= 72�k

21.3 Trabajo 393

3. Halle el trabajo realizado al estirar un resorte desde su posición de equilibrio de6 pulgadas hasta 12 pulgadas si se necesita una fuerza de 20 gramos - fuerzapara mantener el resorte con ese estiramiento.Solución: La fuerza f(x) requerida es: f(x) = k x (k constante, depende delmaterial del resorte). Esta es la ley de Hooke.

Como f(6) = 20) 20 = 6k ) k = 103

Así se tiene que f(x) = 103x: Por lo tanto

el trabajo W realizado al alongar el resorte de la posición cero hasta seis es:

W =

Z 6

0

10

3x dx = 60

pulgadas - gramos - fuerza.

4. Un depósito con forma de cono circular recto, está lleno de un líquido de peso kpor metro cúbico del líquido. La altura es de 20 metros y el radio en la cúspidees de 4 metros. Halle el trabajo en bombear el líquido hasta una altura de 10

Un depósito con forma de conocircular recto

Figura 21.18

metros por encima del borde superior del depósito (ver figura 21.18).Solución: El trabajo realizado en llenar el disco hasta 30 metros, sería aproxima-damente: �W = fuerza � distancia. Luego, la fuerza = k�r2�y donde r = 4

20y,

ya que 420

= ry:

Ahora la distancia es desde y hasta 30: Así pues, �W � k�( 15)y)2(30 � y)�y:

Por lo tanto el trabajo W es

W =

Z 20

0

k�(1

5)y)2(30� y)dy = 1600 k�:

Ejercicios

1. Halle el trabajo que se realiza al estirar un resorte desde el equilibrio (de 12pulgadas) a una longitud de 18 pulgadas, si para mantener el resorte extendido


una pulgada es necesario 4 libras - fuerza de fuerza.

2. Un tanque vertical cilíndrico de 6 metros de diámetro y 10 metros está lleno a lamitad. Halle el trabajo que se realiza al pasar todo el líquido por la parte supe-rior del tanque. Asuma el peso de un metro cúbico del líquido 20 kgf.

3. Dos electrones se repelen con una fuerza inversamente proporcional al cuadra-do de la distancia entre ellos. Supongamos que tenemos dos electrones en lospuntos 10 y �10 en el eje x: Halle el trabajo necesario para mover un tercerelectrón desde el punto (8; 0) hasta el (�2; 0) a lo largo del eje x:

4. Se vacía un depósito semiesférico que contiene un líquido que pesa 2 kgf pormetro úbico. El radio del depósito es 10 metros. Hallar el trabajo cuando el niveldel líquido desciende desde su cúspide hasta 4 metros.



Capítulo 22

Integrales Impropias

Hemos visto la definción de la integral para funciones f definidas en un intervalocerrado [a; b] y acotadas en ese intervalo. En este capítulo queremos generalizar elconcepto de integración.

Para comenzar podemos considerar el comportamiento deR baf(x)dx cuando b

tiende a infinito. Esto nos conduce al concepto de integración sobre intervalos infi-nitos. Por otra parte podemos considerar la integral de funciones no acotadas en elintervalo (a; b). A continuación vamos a formalizar estas ideas.

22.1 Integrales sobre intervalos infinitos

Definición: Sea f una función definida en [a;1). Supongamos quepara cada b 2 R la integral

R baf(x)dx existe. Definimos

Z 1

a

f(x)dx = limb!1

Z b

a

f(x)dx:

A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en [a;1). Si ellímite existe diremos que la integral impropia converge y en caso contrariodiremos que la integral impropia diverge.

Ejemplos

1. Sea f(x) = e�x y tomemos a = 0. Para cada b 2 R tenemos

Z b

0

e�xdx = �e�xjb0 = 1� e�b:

Por tanto, Z 1

0

e�xdx = limb!1

Z b

0

e�xdx = limb!1

1� e�b = 1

y la integral impropia converge.

2. Sea f(x) = cos(x) y a = 0. En este casoR b0cos(x)dx = sin(x)jb0 = sin(b). Como

el limb!1 sin(b) no existe, entonces la integral impropiaR10

cos(x)dx diverge.

412 Integrales Impropias

3. Sea f(x) = x. EntoncesR baxdx = (b2 � a2)=2. Igual que en el ejemplo anterior,

limb!1(b2 � a2)=2 no existe y la integral impropiaR1a

xdx diverge.

Definición: Sea f una función definida en (�1; b]. Supongamos quepara cada a 2 R la integral

R baf(x)dx existe. Definimos

Z b

�1f(x)dx = lim

a!�1

Z b

a

f(x)dx:

A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en (�1; b]. Igualque antes, si el límite existe diremos que la integral impropia converge yen caso contrario diremos que la integral impropia diverge.

Observe queR b�1 e�xdx diverge (verifíquelo).

Ejemplo: Sea f(x) = ex. Para cada a 2 R tenemos

Z b

a

exdx = exjba = eb � ea:

Por tanto,

Z b

�1exdx = lim

a!�1

Z b

a

e�xdx = lima!�1 eb � ea = eb

y la integral impropia converge. En este ejemplo hemos encontrado lacuriosa relación

eb =

Z b

�1exdx:

Finalmente damos la siguiente definición:

Definición: Sea f una función definida en (�1;1). Sea c un númeroreal arbitrario y supongamos que para a 2 R y cada b 2 R las integralesR acf(x)dx

R cbf(x)dx existen. Definimos

Z 1

�1f(x)dx = lim

a!�1

Z c

a

f(x)dx + limb!1

Z b

c

f(x)dx

A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en (�1;1). Silos límites existen diremos que la integral impropia converge y en casocontrario diremos que la integral impropia diverge.

Observación: El que la integralR1�1 f(x)dx converja o dirverja no

depende de la elección del número c. Si la integral converge, el valornumérico de la misma no depende de c. Esto lo dejamos como ejercicioal lector.

22.2 Integrales de funciones no acotadas 413

Ejemplo: Sea f(x) = 1=(1 + x2). Tomando c = 0 tenemosZ 1

�1f(x)dx = lim

a!�1

Z 0

a

dx

1 + x2+ lim

b!1

Z b

0

dx

1 + x2

= lima!�1

arctan(x)j0a + limb!1

arctan(x)jb0 =

= lima!�1� arctan(a) + lim

b!1arctan(b)

= �(��

2) +

�

2= �

22.1.1 Criterio de convergencia sobre intervalos infinitos

Muchas veces ocurre que uno está interesado en saber si una integral impropia con-verge y no tanto en el valor numérico de la misma. Para determinar la convergenciade una integral impropia tenemos el siguiente

Teorema 37 Sea g una función definida en el intervalo [a;1) tal que 8x en ese in-tervalo ocurre que g(x) � 0 y

R1a

g(x)dx converge. Sea f : [a;1) ! R tal que 8x0 � f(x) � g(x). Entonces la integral impropia

R1a

f(x)dx converge y

0 �Z 1

a

f(x)dx �Z 1

a

g(x)dx

La demostración de este teorema es un sencillo ejercicio sobre límites y se dejacomo ejercicio.

Este criterio de convergencia se extiende sin dificultad a intervalos de la forma(�1; b] y (�1;1).

Ejemplo: Estudiar la convergencia deR11

1=(1 + x4)dx. La funcióng(x) = 1=(1 + x2) cumple con g(x) � 0 8x 2 R y si x � 1 tenemos que0 < 1=(1+x4) � g(x) Como la integral

R11

1=(1+x2)dx converge entoncesR11

1=(1 + x4)dx también converge.

22.2 Integrales de funciones no acotadas

Sea f : [a; b) ! R una función tal que f no es una función acotada en cualquierintervalo de la forma [b � �; b) (para 0 < � < b � a). Si f es integrable en cualquiersubintervalo [a; b� �] entonces definimosZ b

a

f(x)dx = lim�!0+

Z b��

a

f(x)dx

A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en [a; b]. Si el límite existe,diremos que la integral impropia de f en [a; b] converge y en caso contrario diremosque la integral diverge.

Haciendo el cambio de variable x = �z obtenemos la definición de integral impro-pia en el caso que f es una función definida en (a; b], integrable en cualquier intervalo[a+ �; b] (para 0 < � < b� a) y no acotada a la derecha de a. AnálogamenteZ b

a

f(x)dx = lim�!0+

Z b

a+�

f(x)dx


Ejemplo: Sea f(x) = 1=px. f no es acotada en el intervalo (0; 1]. La

integral impropia de f arroja

Z 1

0

1pxdx = lim

�!0+

Z 1

0+�

1pxdx = lim

�!0+2pxj1� = lim

�!0+2� 2

p� = 2

22.2.1 Criterio de convergencia para funciones no acotadas

Para este tipo de integrales impropias, existe un criterio de convergencia análogo alcriterio de convergencia para integrales impropias sobre intervalos infinitos.

Teorema 38 Sea g : [a; b) ! R una función no acotada, tal que para todo x 2 [a; b)

g(x) � 0 yR bag(x)dx converge. Si f : [a; b)! R es una función no acotada en [a; b) y

para todo x en este intervalo 0 � f(x) � g(x) entonces la integral impropiaR baf(x)dx

converge y Z b

a

f(x)dx �Z b

a

g(x)dx

Un teorema similar se puede enunciar para el caso de funciones definidas sobreintervalos de la forma (a; b], no acotadas en este intervalo. Esto lo dejamos comoejercicio.

22.3 La función Gama de Euler

La función Gama de Euler se define así: dado x 2 R el valor de la función � en x es

�(x) =

Z 1

0

tx�1e�tdt

dado que la integral converja. Esta función aparece en contextos muy distintos inclu-yendo teoría de probabilidades, teoría de números, electrodinámica clásica y teoríacuantica de campos. Para establecer la convergencia de estas integrales vamos a es-tudiar brevemente el crecimiento de expresiones de la forma xae�cx cuando x tiendea infinito. Para esto vamos a establecer el siguiente

TeoremaSi a > 0 y b > 0 se tiene que

limx!1

(logx)b

xa= 0(22.1)

y

limx!1

xb

eax= 0(22.2)

Demostración Primero demostraremos (22.1) y luego usaremos este resultado pordemostrar (22.2). Si c > 1 y 1 � t entonces 1 � tc y t�1 � tc�1, de manera que six � 1, entonces

0 �Z x

1

t�1dt �Z x

1

tc�1dt

0 � log(x) � xc � 1

c<

xc

cpara todo c > 0

22.3 La función Gama de Euler 415

por consiguiente

0 <log(x)b

xa<

xbc�a

cb

Si elegimos c = a=(2b), entonces xbc�a = x�a=2 que tiende a cero cuando x tiende ainfinito. Esto demuestra (22.1). Para demostrar (22.2) hacemos el cambio de variablet = ex. Entonces x = log(t), y por tanto xb=eax = log(t)b=ta. Pero t ! 1 cuandox!1 con lo cual (22.2) es consecuencia de (22.1).

Volvamos a nuestra definición de la función �. La función está definida en términosde una integral impropia. Queremos demostrar que el intervalo [1;1) está en eldominio de definición de �. Observemos que

�(1) =

Z 1

0

e�tdt = 1;

integral que ya habiamos evaluado. Podemos usar el principio de inducción paramostrar que la función � está bien definida para todo entero positivo. Sea m unentero positivo. Supongamos que la integral que define a �[n] converge para todo npositivo menor o igual que m. Entonces

�(m+ 1) =

Z 1

0

tme�tdt

= lima!1

Z a

0

tme�tdt

= lima!1

Z a

0

�d

dt(tme�t) +mtm�1e�t

�dt

= lima!1(tme�t)ja0 +m

Z a

0

tm�1e�tdt

= lima!1

(ame�a) +m

Z 1

0

tm�1e�tdt

= 0 +m�(m) = m�(m)

El principio de inducción nos dice entonces que �(x) existe cuando x es un enteropositivo. De paso hemos demostrado que en este caso,

�(m+ 1) = m�(m):

Puesto que �(1) = 1 se sigue que para m entero positivo �(m) = (m � 1)! (factorialde m).

Si x 2 [1;1) y x no es entero podemos argumentar lo siguiente:Z 1

0

tx�1e�tdx =

Z 1

0

tx�1e�tdx+

Z 1

1

tx�1e�tdx:

La primera integral del lado derecho converge porque es la integral de una funciónacotada en el intervalo [0; 1]. Para la segunda integral podemos usar el criterio decomparación para mostrar su convergencia. Sea m un entero positivo menor quex� 1. Entonces para t � 1 tenemos

tx�1 � tm;

tx�1e�t � tme�t:

Así Z 1

1

tx�1e�tdx �Z 1

1

tme�tdx;


y la integral que define a �(x) converge. Como esto vale para todo x > 1 hemosdemostrado que el intervalo [1;1) está contenido en el dominio de definición de lafunción �. En la figura 22.1 presentamos el gráfico de la función � en un entorno del

La función � en un entornodel orígen

Figura 22.1

orígen.A modo de comentario final podemos decir que la función Gama de Euler es una

extensión a los reales no negativos del conocido factorial sólo definido para los ente-ros no negativos.

22.4 Ejercicios

1. Calcule

(a) Z 1

e2

dx

x log3 x

(b) Z 1

�1

dx

x2 + 2x+ 5

(c) Z 1

1

dx

x+ x3

(d) Z 1

0

e�xsen(x)dx

2. Demuestre que si f; g : [a;1) ! R con g(x) � 0 yR1a

g(x)dx diverge y f(x) �g(x) para todo x 2 R entonces,

R1a

f(x)dx diverge.

22.4 Ejercicios 417

3. Sea a > 0. Demuestre que la integralR1a

1=x�dx converge si � > 1 y diverge si� � 1

4. Sea a > 0. Demuestre que la integralR a01=x�dx diverge si � � 1 y converge si

� < 1

5. Sean a � 1 y b > 0. Calcule, en términos de la función Gama, la integralZ 1

a

ta�1e�btdt

6. Estudie la convergencia de las siguientes integrales

(a) Z 1

�1

dx

x 3px

(b) Z 1

0

exdxp1� cos(x)

22.4.1 Respuestas

1. (a) 1=8

(b) �=2

(c) (log 2)=2

(d) 1=2

5. �(a)=ba

6. (a) diverge

(b) diverge

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