.INTEGRACIONDEFINIDAYSUSAPLICACIONESHebethCuevaValladolidSetiembredel2011Docente:HebethCuevaValladolid 1GuadeCalculo2Integraci onDenidaDenicionesypropiedadesbasicasTeoremasFundamentalesAreasyVol umenesDocente:HebethCuevaValladolidSUMASDERIEMANNParaentender ladenicionde Integral denidaconsideremos unafuncioncontnuadenidaenunintervalocerrado[a, b].Enparticularconsideremoslafuncionf: [0, 1] R/f(x) = 2xy nos aproximaremos a encontrar el area de la region acotada pory= 2x el eje Xy larectax = 1DichaareaesR = 1Puestoque unafuncioncontnuadenidaenunintervalocerradoalcanzasuvalormaximo y mnimo dentro de valores que pertenecen al dominio y ademas para mi casoparticular la funcion es creciente pues tiene pendiente positiva porloque asume su valormnimo y maximo en los extremos del intervalo.En primer lugar dividimos el intervalo[0, 1]encuatrointervalosdeiguallongitudpormediodelospuntosx0= 0, x1=14, x2=24, x3=34, x4=44= 1Docente:HebethCuevaValladolid 212xy 0RLalongituddecadaintervalolasimbolisamospor xx =1 04=b anademasxk= x0 + (x)k , kZ+S4denotalasumadeloscuatrorectangulosinscritosquesemuestraenlagracaS4= R1 + R2 + R3 + R4=14f(14) +14f(24) +14f(34) +14f(44)S4=14(f(14) + f(24) + f(34) + f(44)) =54Siutilizamosnotaciondesumassetiene:S4=4

k=1f(xk) xAquxkeselextremonaldecadasubintervalo,ademasS4> RPorotrapartetambienpodemosconsiderarrectangulosinscritosDemaneranalogaS4=14(f(0) + f(14) + f(24) + f(34)) =34Docente:HebethCuevaValladolid 31/42/43/4 1 01/213/22XYS4=4

k=1f(xk) xAhoraxkeselextremoinicialdecadaintervalo.EnconclusionS4< R < S4Si[0, 1]sedivideenmassubintervalostendremosmejoresaproximacionesparaRS4=76, S4=56ademasS6< R < S6Comoseobservausandomaspuntosseobtuvounamejoraproximaci onal areaquecon4subintervaloscomoeradeesperarse.Enterminosgeneralessidividimos[0, 1]ennsubintervalosdeiguallongitud x =1nylospuntosextremosencadasubintervaloson:0 ,1n,2n,3n, ..., nnSiconsideramosrectanguloinscritosSn=1nf(1n) +1nf(2n) +1nf(3n) + ... +1nf(nn)Sn=1n[2 1n+ 2 2n+ ... + 2 nn]Sn=1n 2n(1 + 2 + ... + n)Docente:HebethCuevaValladolid 41/42/43/4 1 01/213/22XYSn=n + 1nSiconsideramosrectangulosinscritoslasalturasseranlosvaloresmnimosSn=1nf(0) +1nf(1n) +1nf(2n) + ... +1nf(n 1n)Sn=1n(0 + 2 1n+ ... + 2(n 1n))Sn=n 1nConcclusionSn< R < SnPuestoquelasaproximacionesmejoranmientrastengainscritosocircunscritosmasrectangulos los cuales dependenasuvez de lacantidadde puntos que se pudieracolocarenenelintervalo[0, 1]ycomosoninnitoslapreguntaquesenosvienealamenteesQuepasacuandolospuntoscolocadosenelintervalo[0,1]sonencantidadunn umeromuygrande?Para respondernos calcularemos los lmites de SnSncuando n es un n umero demasiadograndeesdecirqueseacercaalinnito.Porelteoremadelsandwichsetienequelmn+Sn= 1 , lmn+Sn= 1Enconclusionel areadel trianguloquepretendamosencontrarmedianteaproxima-cioneses1.A groso modo tenemos ya una primera denicion no tan formal para la integral denidaDocente:HebethCuevaValladolid 5Definicion 1.EL lmite com un de Sn y Sn cuando n + si este existe se le llamaintegraldenidadefsobre[a, b]yseescribe

baf(x)dxLos n umeros a y b se llaman lmites de integracion ;a es el lmte inferior y b es el lmitesuperior,xeslavariabledeintegracionyf(x)dxeselintegrandoTeorema 0.1.Una funcion fse dice integrable si existe su suma de Riemman.Es decirsilmn+Sn= lmn+Sn= LLRNOTA

10f(x)dx = lmn+n

k=1f(kn) 1n= lmn+n1

k=0f(kn) 1nEnloquesiguuenosotrosconsideraremos

10f(x)dx = lmn+n

k=1f(kn) 1nDe esta forma si generalizamos el proceso tendramos que para un intervalo cerrado[a, b]

baf(x)dx = lm+n

k=1f(xk)xaquxk= a + kx , x =b anDocente:HebethCuevaValladolid 6Problemas1. ExpresarlossiguientesLmitescomounaintegraldenidaenelintervalo[0, 1]a) lmnn

k=1k2(n2k2)n5b) lmnn

k=1(n2+ k2)12c) lmnn

k=11p+ 2p+ 3p+ ... + npnp+1d) lmnn

k=1(n500(n + 1)501+n500(n + 2)501+ ... +n500(n + n)501)e) lmnn

k=1k4k2+ 9n2sin(kn)2. Dadalasiguienteexpresion:lmnn

k=1(1n2(n k) ln(2k + nn))Expreselacomounaintegral denidaenel intervalo[0, 2] yluegocalculedichaintegral.3. Expreseel siguienteLimitecomounaintegral denidadeunafuncionenel in-tervalo[1, 3]lmnn

k=12n 4kn2+ 2kn4. ExpresarelsiguienteLimitecomounaIntegraldenidalmn(arctan(1n)1 + n+arctan(2n)2 + n+ ...arctan(4)n + n)5. Expresar el siguiente Limite como una Integral denida y resuelva dicha Integrallmn(n1 + 2n + 2n2+ (n4 + 4n + 2n2...(nn2+ 2n(n) + 2n2)Docente:HebethCuevaValladolid 7PropiedadesdelasIntegralesDenidas1)

baKf(x)dx = K

baf(x)dx2)

ba(f(x) g(x))dx =

baf(x)dx

bag(x)dx3)

baf(x)dx =

caf(x)dx +

bcf(x)dxdondefesintegrableen[a, c] , [c, b] y[a, b] , a c b4)

baf(x)dx =

abf(x)dx5)

aaf(x)dx = 06)

baf(x)dx =

b+ka+kf(x k)dxInvarianzafrenteaunatraslacion.7) Sif(x) 0, x[a, b] =

baf(x)dx 08) Sif(x) g(x) , x[a, b] =

baf(x)dx

bag(x)dx9) Si m y Mson los valores mnimos y maximos absolutos defen [a, b] respectiva-mentetalquem f(x) M, x[a, b] = m(b a)

baf(x)dx M(b a)10) Sifesunafuncioncontnuaenelintervalo[a, b],entonces[

baf(x)dx [

ba[ f(x) [ dx11) Sifesunafuncioncontnuaenelintervalo[0, a],entonces

a0f(x)dx =

a0f(a x)dx12) Sifesunafuncioncontnuayparenelintervalo[a, a],entonces

aaf(x)dx = 2

a0f(x)dx13) Sifesunafuncioncontnuaeimparenelintervalo[a, a],entonces

aaf(x)dx = 0Docente:HebethCuevaValladolid 814) Sifesintegrableen[a, b],entoncesparacualquierc ,= 0setieneque:

baf(x)dx =1c

bcacf(xc)dx

baf(x)dx = c bcacf(cx)dx15) SifesunafuncioncontnuaenunintervaloIentonces,paracadatI

0tf(x)dx =

t0f(x)dx

ttf(x)dx = 2

t0f(x)dxsifespar.16) SifesunafuncioncontnuaenunintervaloIentonces,paracadacI

0cf(x)dx =

c0f(x)dxDocente:HebethCuevaValladolid 90.1. TeoremasFundamentalesdelCalculoTeorema0.2(Teoremadel Valormedioparaintegrales). Seaf unafuncioncontnuaen[a, b],entoncesexisteunn umeroc[a, b]talque:

baf(x)dx = f(c)(b a)DemostracionEnefectoDadoqueftieneunmaximoyunmnimoabsolutodefen[a, b].Sean, [a, b]talque:f() = mseaelmnimoyf() = Melmaximo.SiendomyMlosmaximosymnimosabsolutosrespectivamentedefenelintervalo[a, b] m f(x) M , x[a, b]

bamdx

baf(x)dx

baMdxm(b a)

baf(x)dx M(b a)m

baf(x)dxb a Mctalque

baf(x)dxb a= f(c)

baf(x)dx = (b a)f(x)Teorema0.3(PrimerTeoremaFundamental del calculo). Seaf unafuncioncontnuaenel intervalo[a, b],entonceslafuncionFdenidapor:F(x) =

xaf(t)dt, a x besderivableen[a, b]yademasddxF(x) = f(x), x[a, b]DemostracionEnefectoF

(x) =lmh0F(x + h) F(x)hDocente:HebethCuevaValladolid 10F

(x) =lmh0

x+hxf(t)dthPorelteoremadelvalormedioF

(x) = f(x) , x[a, b]Teorema 0.4 (Generalizacion del Primer Teorema Fundamental del Calculo).SifescontnuaenRyg, hsondiferenciablesenRentonces:ddx[

g(x)h(x)f(t)dt] = f(g(x))g

(x) f(h(x))h

(x)Teorema0.5(SegundoTeoremaFundamentaldelcaclulo). Seafunafuncioncontnuaen[a, b]yseaFunafunciontalqueF

(x) = f(x), x[a, b]entonces

baf(x)dx = F(b) F(a)DemostracionEnefectoComoF

(x) = f(x) = F(x) =

xaf(t)dt + c c = F(a)luegoF(x) =

xaf(t)tdt + F(a) F(b) =

baf(t)dt + F(a)

baf(t)dt = F(b) F(a)Docente:HebethCuevaValladolid 11Ejercicios1. Calculeelvalorolosvaloresdecen< 1, 3 >talquef(x)eselvalorpromediodefen[1, 3]paraf(x) = x33x2+ 62. Seaf(x) = 9x2x4, Si;0 x 3x29, Si.3 < x 6Calcularelvalorpromediodefenelintervalo[0, 6]yencontrarelpuntoc[0, 6]dondesealcanzadichovalor.3. Si 13x+10f(t)dt =2ax+ axHallarelvalorovaloresdeaparaquef(14) =1634. Demostrarque

baf(x)dx =

baf(a + b x)dx5. Seaunafuncioncontnuaeimparyf(x) = 10 +

x0(t)dt , xRHallarlaecuaciondelarectatangentealagracadefenelpuntocuyaabscisaescero.6. Hallarunafuncionfyunaconstanteatalesque:6 +

xaf(t)t2dt = 2x , x > a7. CalcularmediantesumasdeRiemanlaintegral

11(1 x2)dx8. Seaf: R Runafuncionimparycontnuaentodoslosreales.SedeneF(x) =

x0f(t)dt , tRDemostrarqueFesunafuncionpar.Docente:HebethCuevaValladolid 129. Six(t) =

t0(t s)e(ts)esdsCalcularelvalordex

(t) + 2x

(t) + x(t)10. Probarquelafunciony= C1x + C2x

2xett dt, x > 0satisfacelaecuaciondiferencialx2ln2xy

x ln xy

+ (ln x + 11)y= 011. Demuestre que si fes una funcion contnua en un intervalo Ientonces,para cadatI

0tf(x)dx =

t0f(x)dx

ttf(x)dx = 2

t0f(x)dxsifespar.12. SifesunafuncioncontnuaenunintervaloIentonces,paracadacI

0cf(x)dx =

c0f(x)dx13. AplicandoSumasdeRiemann,evaluarlaintegral

40f(x)dxdondef(x) =

2x + 2, si;x[0, 2]x24x + 10, si.x < 2, 4]14. Seaf unafuncionderivable talque f(0) =f

(0) =a,se dene las siguientesfunciones:g(x) =

x0f(u)du; H(x) =

g(x)0bf(t)dtDondea, bsonconstantes.CalcularH

(0)15. Seaunafuncioncontnuasobre< , >talquef(1) = f

(1) = 1,sedeneH(x) =

x30(x2a)f(t)dtsabiendoque

10f(t)dt = 8a.CalcularH

(1).16. UsandosumasdeRiemanncalcular

50(x31)dx17. Seafunafuncioncontnuaen[0, +[conf(x) ,= 0, x > 0.Demostrarques[f(x)]2= 2

x0f(t)dt, x > 0entoncesf(x) = x, x > 0Docente:HebethCuevaValladolid 1318. Sif(x) = f(a + b x),demostrarque:

baxf(x)dx =a + b2

baf(x)dx19. Sea funa funcion continua en R y F(x) =

x0f(u)(xu)2du donde x R.HallarF

(x)ensuformamassimplicada20. Pruebequesif(x)esderivableyf

(x) = cf(x) , xentoncesexisteunn umeroktalquef(x) = kecx, x21. Desmotrarlaigualdad

a0x3f(x2)dx =12

a20xf(x)dx , a > 022. SiF(x + T) = F(x).Probarque

b+Ta+TxF(x)dx =

baxF(x)dx +

baF(x)dx23. Calculeloquesepide.a)

ln 50exex1ex+ 3dxb)

41ln xxdxc) 44(t4 + t2+t2t2+ 4 [ sin 2t[)dtd)

22x sin4x + x21 + 4x2dxe)

10(1 2x1 + x2+x23(x + 1)2)dxf ) 350

1 + x1 xdxg)

311 + x24 x2(4 x2)2dxh)

11

1 x3 + xdxi )

94y 1y + 1dyj )

1282dxx

(x 2)24Docente:HebethCuevaValladolid 14k)

11

[x[ xdxl )

52([ 9 x2[ x2)dxm)

1221 x2x2dxn)

101 + e2xe3xdx n)

10exex+ exdxo)

0[ cos x[dxp)

20[ (x 1)(3x 1) [ dxq)

53[5x 20(2 x)(x2+ 1) [Docente:HebethCuevaValladolid 150.2. AreasderegionesplanasCalculodeareasenCoordenadasRectangularesDefinicion2. Dadaunafuncionf: [a, b] Rcontnuatalquef(x) 0, x[a, b]entonces

baf(x)dxRepresenta el area comprendida entre el graco de la funcionfel eje de las abcsisas ylasrectasverticalesx = ayx = babfx=ax=bxyDefinicion 3.Sean fy g dos funciones contnuas no negativas cuyos gracos se cortanen(a, f(a))y(b, f(b))ademassig(x) f(x)= A =

ba(f(x) g(x))dxRepresentaelareaentrelasgracasdefygProposicion0.1. Seanfygdosfuncionescontnuastalesque:g(x) f(x),silasfuncionessonnegativasenalgunaparte,el areaentrelascurvastambienes:A =

ba(f(x) g(x))dxDocente:HebethCuevaValladolid 16yabf(a)g(b)fgxDemostracionSeam =nf g(x)/x[a, b]DenimoslasfuncioneshyHh(x) = f(x) + 2mH(x) = g(x) + 2mLas cuales resultan ser contnuas pues son traslaciones y ademas positivas y puesto queH(x) h(x)PorladenicionanteriorelareacomprendidaentrelasfuncionesHyhes:A =

ba(h(x) H(x))dx =

ba(f(x) + 2mg(x) 2m)dx =

ba(f(x) g(x))dxOBSERVACIONSi las gracas de lsa funciones fy g se cortan en varios puntos,entonces se debe calcularlospuntosdeintersecci ondeambascurvasyanalizarseparadamante,el signodeladiferenciadelasfuncionesencadatramoyabxfffgggc dDocente:HebethCuevaValladolid 17Ejercicios1. Hallar elarea de la region limitada por la parabolay= x2y las rectasy= x +2yy= 3x + 62. Hallar el area de la supercie limitada por la parabola y= 6 +4x x2y la rectaqueunelospuntos(-2,-6)y(4,6)3. Calcularelareaacotadapory=[ x21 [elejeXylasrectasx = 2yx = 24. Calcularelarealimitadaporlacurvay= x(x 2)(x 3)yelejedelasAbscisas.5. Calculeelareadelaguralimitadaporlasparabolasy2+ 8x = 16y224x = 486. Encontrarelareadelaregionlimitadaporlascurvay= xylarectay= x7. SeaRlaregionlimitadapory= [x22x[ + 2,larectax = 3ylosejescoorde-nados.Hallarelvol umendelsolidocuandolaregionRgiraalrededordelarectay= 58. SeaRlaregionlimitadaporlascurvasconecuacionesy= x2, y= 2x2, y= 1 x2Calculesuarea.9. Calculeelareadelaregionacotadaporlascurvas:y= [x21[ , y= 210. SeaRlaregionlimitadapory= [x22x[ + 2,larectax = 3ylosejescoorde-nados.Hallarelvol umendelsolidocuandolaregionRgiraalrededordelarectax = 111. Calculeelareadelaguralimitadaporlasparabolasy2+ 8x = 16y224x = 48Docente:HebethCuevaValladolid 1812. Hallarel areadelaregionacotadapory=3x4el ejeXylasrectasx=0yx = 113. Hallarelareadelaregioncomprendidapory= 3x2, y= 1 3x2, x = 0 , x = 314. hallarelareadelaregionlimitadaporlacurvay= x2x4, 0 x 1 , y= 015. Encontrarelareadelaregionlimitadapory= 1 + x2+ 2x416. Encontrarelarealimitadaporlasgracasdelassiguientesrectasf(x) =52x 14g(x) = 13 2xyelejedelasAbscisas.17. SeaR1laregionlimitadaporlascurvasy= x2, y= 3x2, y= 2 x2Hallarsuareacorrespondiente.18. Calcularelareaentref(x) = x3yg(x) = x19. Calcule el area comprendida entre las curvas y= x3y y=3x y las rectas x = 1yx = 320. Calcularelareaencerradaentrelascurvasf(x) = x4+ x3+ 16x 4g(x) = x4+ 6x2+ 8x 421. EncuentranNtalqueelareaencerradaporlascurvasxnyx1nseaiguala1222. Halleelareaqueencierranlassiguientesecuacionesy= x2, y= x423. Halleelareaqueencierranlassiguientesecuacionesy= [x[ , y= x22Docente:HebethCuevaValladolid 1924. Halleelareaqueencierranlassiguientesecuacionesy= x3x , y= 3x25. Hallarunafuncioncontnuaypositivaf talqueparatodox>0,el areadelaregionlimitadaporlosejescoordenados,lagracadefylarectavertical quepasapor(x, f(x)esA = ex+ xexx2126. Laecuaciondedemandadeunproductoesq= 400 p2ylaecuaciondeofertaesp =q60+ 5encuentreel excedentedelosproductoresydelosconsumidoresbajoequilibriodelmercado.27. Laecuaciondedemandaparaunproductoesp = 211qylaecuaciondeofertaesp = 2q+1dondepesesprecioporunidad(encientosdedolares)cuandoqunidadessede-mandan o se ofrecen.Determine al millon de unidades mas cercanas ,el excedentedelosconsumidoresbajoelequilibriodelmercado.28. LaEcuaciondedemandaparaunproductoes(p + 20)(q + 10) = 800ylaecuaciondeofertaes:q 2p + 30 = 0determineelexcedentedelosconsumidoresbajoelequilibriodelmercado.29. Silafunciondedemandaesy= 16 x2ylafunciondeofertaesy= 2x + 1determinar el excedente del consumidor y el excedente del productor en situaciondecompetenciapura.Docente:HebethCuevaValladolid 2030. Silafunciondedemandacorrespondealapartedelahiperbolaequilateray=8x + 1 2situadoenelprimercuadrante,ylafunciondeofertaesy=12(x + 3)calculeelexcedentedelconsumidoryelexcedentedelproductorenunmercadodelibrecompetencia.31. EncuentreelareadelaregionRqueseencuentrafueradelacurvar = 3 cos ydentrodelacurvar = 1 + cos .32. EncontrarelareadelaregionRqueseencuentrafueradelacurvar= 6 cos ydentrodelacurvar = 2 cos + 233. Hallar el area que se encuentra dentro de las gracas siguientes ecuaciones polaresr = 2(1 + sin )yr = 1Docente:HebethCuevaValladolid 210.3. Vol umenes deSolidos deRevoluci onyAreasdeSupercieEnestaseccionnuestroobjetivoseraeldeencontrarelvol umenesobtenidoscuan-dociertaregiongiraalrededor de uneje paraleloaalgunos de los ejes de coorde-nadas,puestoquelosqueharemosesaproximarsumandoinnitasvecesvol umenesdesolidosconocidostalescomodiscosoentodocasocilindros,caberecordaralgunasdelasformulasquesenecesitan:VOLUMENDEUNCILINDROSOLIDOv= R2HDondeReselradioyHeslaalturadedichocilindroHRSUPERFICIELATERALDEUNCILINDRODERADIORYDEALTURAHSL(C) = 2RHAREADEUNCIRCULOA(C) = R2RDocente:HebethCuevaValladolid 22Ejercicios1. HallarelvolumendeS,elsolidoqueresultaderotaralrededordelejeyelareaacotadoporlascurvasy= x1,y= 1/2,entrex = 0,5yx = 2.DibujeaS.2. Laregionplanalimitadaporlaparabolax=2y2ylarectax=y + 3,sehacegiraralrededordelarectay= 2:calculeelvolumendelsolidogenerado.3. Una ponchera semiesferica de 0,6 metros de diametro se llena hasta 2,5 centmet-ros del borde ,treintaminutos despues del comienzode laestasoloquedan5centmetrosdeponcheenel fondodelaponchera.Cu antoslitrosdeponchehaba en la ponchera al comienzo de la esta?.Cuantos litros se consumieron enlaesta?4. Setaladraunagujerocilndricoquepasaporelcentrodeunaesferademaderade radio r,Hallar el volumen de lo que qeda solido (anillo esferico),si la altura delcilindroesh.5. Laregionplanaqueencierranlasgracasdelasecuacionesx2+ y2= 4 , x2+ 4y2= 4paray 0sehacegirar alrededor delarectay = 1.Calculeel volumendelsolidogenerado.Sugerencia

r0r2x2dx =r246. Se corta una esfera de radio r por dos planos paralelos uno aunidades por encimadelecuadoryelotropordebajodelecuador.Hallarelvolumendelaporciondelaesferacomprendidaentreesosdosplanos.7. Determineel vol umendel solidoqueseobtieneal girarRalrededordel ejeY; dondeReslaregionplanalimitadaporlagracadelacurvay=xexparax[0, 2],elejeXylarectax = 28. Hallar el vol umendel solidoengendradohaciendogirar alrededor el eje Xlasupercielimitadaporlacurva x +y= aylasrectasx = 0, y= 09. Hallar el vol umen del solido de revolucion obtenido al rotar alrededor de la rectay= 1laregioncomprendidaentrelascurvasy= x2e y= x10. Halle el vol umen del solido S que genera la region plana R,limitada por las gracasdelasecuacionesx22x + y= 0yx2= y + 4,algiraralrededordelarectaquepasaporlospuntos(2, 0)y(0, 4)11. Hallar el vol umen del solido de revolucion obtenido al rotar alrededor de la rectay= 1laregioncomprendidaentrelascurvasy= x2e y= xDocente:HebethCuevaValladolid 2312. Demuestre que el area de la parte de la supercie de una esfera de radio a , entredosplanosparaleloshunidadesseparadosh < 2aes2ah.13. Demuestre que el area de la parte de la supercie de una esfera de radio a , entredosplanosparaleloshunidadesseparadosh < 2aes2ah.14. Hallar el vol umendel solidoengendradohaciendogirar alrededor el eje Xlasupercielimitadaporlacurva x +y= aylasrectasx = 0, y= 015. Laregionplanalimitadapor lagracadey =x22ylarectay =2,girandoalrededordelejeY ,generaunsolidoS.Endichosolidosehaceunaperforacion(oricioque atraviesael solido) enformade uncilindrodircular cuyas basestienensuscentrosenelejeY .Despuesdelaperforacion,elsolidopierde14desuvol umen.Halleelradiodeloricio16. El vol umendeunsolidoS,cuyabasees laregionRlimitadapor el ejeY ylagracadelaecuacion4x + y2 4y 12=0,ylas secciones transversalesporplanosperpendicularesalejeXsontriangulosrectanguloseisoscelescuyashipotenusassonlasrespectivasinterseccionesdelosplanosconR.17. Hallar el area de la supercie limitada por la parabola y= 6 +4x x2y la rectaqueunelospuntos(-2,-6)y(4,6)18. Hallarelareadelasuperciegeneradaalgirarlacurvay= 26 x , x[3, 6],alrededordelejeX.19. HallarelareadelasupercieengendradaporlarotacionalrededordelejeX,elarcodelacurvay= excomprendidaentrex = 0yx = +20. Hallarelareadelasuperciederevolucionqueseobtienealahcergirarelarcodelacurvay= 2 ex,desdex = 0hastax = 2alrededordelarectay= 221. Hallarel areadelasupeciederevolucionqueseobtieneal giraralrededordelejeX,laregionlimitadaporlascurvasy2+ 4x = 2 ln y , y= 1 , y= 222. Hallarel vol umendel solidogeneradoal girarsobreel ejeX,laregionlimitadaporlascurvasy=x2+ 1 , y=x2+ 423. Hallarelvol umenquegeneralasupercielimitadapory2= x3, y= 0 , x = 0 , x = 4algiraralrededordelejeXDocente:HebethCuevaValladolid 2424. Calcularelvol umendelcuerpoengendradoporlarotaciondelaregionlimitadaporlscurvasx + y2+ 3y= 6 , x + y= 3alrededordelarectay= 325. Calcular el vol umen del solido generado por la rotacion de la region limitada pory2= 4(2 x) , x = 0alrededordelarectay= 426. Hallarelvol umengeneradoenlarotaciondelarealimitadapory= x23x + 6ylarectax + y 3 = 0alrededordelarectax = 327. Hallarel vol umendel solidoderevoluci ongeneradoal hacergiraralrededordelarectax= 5,laregionacotadapor lacurvay =x2 6x + 13ylarectax y + 3 = 028. Hallarelvol umengeneradoenlarotaciondelarealimitadaporx = 9 y2, x y 7 = 0alrededordelarectax = 429. Hallarelvol umengeneradoenlarotaciondelarealimitadaporlasecuaciones:x24 = y , y= 3xalrededordelarectax = 130. Hallarel vol umendel solidoobtenidoal rotarlaregionacotadapory=x2, elejeXylarectax = 1,alrededordelarectay= 231. Hallarel areadelasuperciederevoluci onformadacuandolacurvaindicadagiraalrededordelejedado:a) y= x3, x [1, 2]alrededordey= 1b) y= ln(x 1), x [2, e2+ 1]alrededordex = 1c) y= 2x, x [0, 2]alrededordex = 1d) y= 4 + ex, x [0, 1]alrededordey= 4Docente:HebethCuevaValladolid 250.4. Vol umendeSolidoscuyasseccionestransver-salesseconocen1. Labasedeunsolidoeslaregiontriangularlimitadaporel ejeYylasrectasx + 2y= 4 , x 2y= 4,HallarelvolumendelsolidosabiendoquelasseccionestranseversalesperpendicularesalejeXson:i)Cuadradosii)Tri angulosrectangulosisoscelesconlahipotenunsaenelplanoXY.2. Unantieneformadetroncodeparaboloidederevolucion,siendory2rlosradios de sus bases yhsualtura:Determinar suvol umenyel vol umende laporcionobtenidaalcortarloverticalmentedesdeunpuntodelbordesuperior.3. Unobeliscode60mdealtoy50mdebasecuadrada,tienelapropiedadquealinterceptarlaporplanosparalelosalabaselasseccionescorrespondientessoncuadradosdeladox3,siendoxladistanciadelac uspidedelobeliscoalplanodelaseccion.Calcularelvol umendelobelisco.4. El planodeuntriangulomovil permaneceperpendicularal diametrojodeuncrculo de adio a.La base del triangulo es la cuerda de dicho crculo,mientras quesuverticeresbalapornuarectaparalelaaldiametrojo,queseencuentraaunaalturahsobreelplanodelcrculo.Halleelvol umendelsolidoengendradoporelmovimientodeestetriangulodesdeunextremodeldiametrohastaelotro.5. Dadaslasfuncionesf(x) = x(4 x)yg(x) = x , 0 x 113(4 x) , x > 1Unsolidotienecomobaselaregionlimitadapor las gracas de f yg ysusseccionesplanasperpendicularesal ejeXsonsemicrulos.Hallarel vol umendelreferidosolido.6. A una naranja de forma esferica y de radio a se le extrae una tajada por medio dedossemiplanos,quepasanporunmismodiametroformandoentresi unangulode30o.Determineelvol umendelrestodelanaranja.7. Labasedeunsolidoesuncrculolimitadopor x2+ y2=25 ylasseccionestransversales perpendiculares al eje Y son triangulos equilateros.Calcular su vol umen.8. Labasedeunsolidoesunaelipsecuyosejesmiden20y10unidades,lainter-secciondeesesolidoconunplanoperpendicularalejemayordelaelipseesuncuadrado.Hallarelvolumendelsolido.9. Labasedeunsolidoeslaregioncomprendidaentrelasparabolasx = y2, x = 3 2y2Docente:HebethCuevaValladolid 26Hallar el vol umen del solido sabiendo que las secciones trasnversales perpendicu-laresalejeXsoncuadrados10. Uncrculodeformablesemuevedemaneraqueunodelospuntosdesuscircun-ferenciasseencuentraenelejeX,elcentrodescribeunaelipsex2a2+y2b2= 1yelplanodelcrculoesperpendicularalejeX.Calcularelvol umendelsolido.11. Hallarelvol umendelsolidocuyabaseesuncrculoderadio3ycuyasseccionesplanasperpendicularesaundiametrojosontriangulosequilateros12. Labasedeunsolidoesuncrculoderadio2,si lasseccionestransversalesper-pendicularesalasbasesontriangulosisoscelesconuncatetocomobase.Hallarelvol umendelsolidogenerado13. Labasedeunsolidoeslaregionentrelasparabolasy= x2, y= 3 2x2Hallarel vol umendel solidosi lasseccionestransversalesperpendicularesal ejeY sontriangulosrectangulosisosceles,cadaunodeellosconlahipotenusasobreelplanoXYDocente:HebethCuevaValladolid 270.5. LongituddearcoCalcularemoslalongituddearcoparaunafuncionfcontnuaypositivaen[a, b]a bXYObservesequelas lineas poligonales seranlas quenos aproximenaencontrar lalongituddearcoenelintervalo[a, b]mientrasmaspuntoscoloqueenelintervalo[a, b]lasumadetodoslossegmentosdelalneapoligonalestacadavezmascercanaadarlalongitudtotaldelarcocomprendidoentreaybparalacurvafdldxdyXYAqusecumpleelteoremadePitagoras(dl)2= (dx)2+ (dy)2= dl =

(dx)2+ (dy)2eslalongituddel ssegmentoarbitrariodedichalineal poligonal.As deestemodosiDocente:HebethCuevaValladolid 28quqermoscalcularlalongitudencoordenadascartesianastenemos:

badl =

ba

(dx)2+ (dy)2l[a b] =

ba

(dxdx)2+ (dydx)2dxl[a b] =

ba

(1 + (dydx)2dxFORMULAENCOORDENADASCARTESIANASDELALONGITUDDEARCODELACURVADESDEahastabDe la misma forma si la Ecuacion de la curva la describan ecuaciones parametricasx = x(t), y= y(t)setiene:l[t1, t2] =

t2t1

(dxdt)2+ (dydt)2dtRepresentalaformulaparacalcularlalongituddearcoperoENCOORDENADASPARAMETRICASy por ultimo la formula para elcalculo de longitudes de arco enCOORDENADASPOLARESES:l[12] =

21

(drd)2+ r2Docente:HebethCuevaValladolid 29Ejercicios1. Hallelalongituddelarcodelacurvadeecuacion(encoordenadspolares)r = cos2 2, [0, ]2. Hallarlalongituddel arcodelacurvaquetieneecuacionesparametricasdadaspor:x = etcos t , y= etsin t , t[0, 1]3. Calculeelareadelaregionlimitadaporlasgracasdey=9 x , (y 1)2= x + 4yelsegmentoderectaconextremosenlospuntos(0,-1)y(9,0)4. La primera carrera que corrio Montoya consisita en recorrer en triciclo una pistaque rodeaba el parque del jardn donde estudiaba. Si el parque tena la forma deuncirculoderadio2, calculeladistanciarecorridaporMontoyaensuprimeracarrera.5. Hallelalongituddearcodelacurvacuyas ecuaciones parametricas sedanacontinuacionx = 2(cos t + t sin t) ; y= 2(sin t t cos t) , t[0; ]6. Hallarlalongituddelarcodelacurvay2= 4x x2comprendidoentrelosdospuntosquecortaalejeX7. Si f(x)=

x0cos tdtencuentrelalongituddel arcodelagracadefdesdeelpuntodondex = 0hastax = 8. Calcularlalongitudtotaldelacurvax =y22 12 ln ydesdey= 1hastay= e9. SeaRlaregionplanalimitadaporel ejeXyporlacurvaCdenidaporlasecuacionesx = t2+ 2t , y= t22tHalleelareaylalongituddelpermetrodelaregionR.Docente:HebethCuevaValladolid 3010. DeterminelalongituddearcodecurvaCdenidoporlafuncionf(x) =

x0

cos(2t)dtparaxen[0,4]11. Calculelalongituddelacurvaconecuacioncartesianay= ln(1 x2) , 0 x 212. SeaRlaregionqueesinterioralcardioder= 1 cos yexterioralacurvadeecuacionpolarr =sin a) HalleelareadelaregionRb) Plantee(sinevaluar),laexpresionqueconducealcalculodelalongituddelpermetrodeRDocente:HebethCuevaValladolid 310.6. Integraci onNumerica1. Aproximarelvalordelaintegral

21xx sin xdxmediantelaregladeSimpsondividiendoelintervaloencuatropartesiguales.2. Usando los metodos del Trapecio y el de Simpson,estimar el valor de cada integral,redondearlassolucionesacuatrocifrasdecimalescomomnimoa)

201 + x6dx , n = 4b)

10sin x2dx , n = 6c)

21dxx2, n = 4d)

10dx1 + x2, n = 4e)

201 + x3dx , n = 2f )

10dx4 + x3, n = 4g)

10sin x2dx , n = 4Docente:HebethCuevaValladolid 320.7. Integraci onImpropia1. Analizarlaconvergenciadelassiguientesintegralesa)

+x1 + x4dxb)

40dx4x x2c)

20dx(x 1)23d)

53xdxx29e)

10x ln xdxf )

+bdx(x + a)(x b)g)

+0cos2x1 + exdxh)

101 exxxdxi )

+

1x ln(x2)dxj )

+01x3+ 1dxk)

+2ln(3x)x38dx2. IntegralesImpropiasa)

30dx(x 1)23b)

21dxx24 x2c)

11x 13x5dxd)

+0xexdxe)

+x2ex3dxDocente:HebethCuevaValladolid 33f )

+0dx(x + 1)32g)

+0xexdxh)

0xexdxi )

+0dxx3+ 1j )

+x2ex3dxk)

+x1 + x4dxl )

40dx4x x2m)

20dx(x 1)23n)

53xdxx29 n)

10x ln xdxo)

+01(x +x2+ 4)2dxp)

+01x(x + 1)dxq)

+11x2x21dxr)

+0cos xdx3. Determinarunvalorparandetalmaneraquelaintegralimpropia

+1(nx2x3+ 1 13x + 1)dxseaconvergente4. EstudiarlaconvergenciadeIn=

0x2n1(x2+ 1)n+3, n 1Docente:HebethCuevaValladolid 345. Calcularelvalordelaintegralimpropiausandolasustitucionu =1x

+0ln x1 + x2dx6. CalcularelvalordelaintegralimpropiaIn=

10(ln x)ndxdondenesunenteropositivo7. Demuestrequelaintegral

+1arctan(x)x41dxesconvergente8. Pruebequelaintegral

10xp1(1 x)q1dxconvergeparap > 0, q> 09. TRANSFORMADADELAPLACESeaf(t)unafunciondenidaparatodotpositivo.SuTransformadadeLaplacesedenecomoF(s) =

+0estf(t)dtSilaintegralimpropiaexiste.HallarlaTransformadadeLaplacedea)f(t) = eatb)f(t) = cos(at)c)cosh(at)d)f(t) = tnDocente:HebethCuevaValladolid 350.8. Funcioneshiperbolicas,derivadaseintegrales1. Funciones Hiperbolicas:Las funciones hiperbolicas que son ciertas com-binacionesdelafuncionexponencialex,aparecenenmuchasaplicaciones.a) SenoHiperbolicosinh x =exex2, Dom = R , Rango = Rb) CosenoHiperbolicocosh x =ex+ ex2, Dom = R , Rango = [1, +)c) TangenteHiperbolicatanh x =exexex+ ex, Dom = R , Rango = 1, 1)d) CotangenteHiperbolicacoth x =ex+ exexex, Dom = R 0 , Rango = ; 1) 1; +)e) SecanteHiperbolicasech x =2ex+ ex, Dom = R , Rango = 0; 1]f ) CosecanteHiperbolicacsch x =2exex, Dom = R 0 , Rango = R 02. FuncionesHiperbolicasInversas:a) ArcosenoHiperbolicosinh1x = ln(x +x2+ 1) , Dom = R , Rango = Rb) ArcocosenoHiperbolicocosh1x = ln(x +x21) , Dom = [1; +) , Rango = [0; +)c) ArcotangenteHiperbolicatanh1x =12 ln 1 + x1 x, Dom = 1; 1) , Rango = RDocente:HebethCuevaValladolid 36d) ArcoCotangenteHiperbolicacoth1x =12 ln(x + 1x 1) , Dom = ; 1)1; +) , Rango = R0e) ArcoSecanteHiperbolicasech1x = ln 1 +1 x2x, Dom = 0; 1] , Rango = [0; +)f ) ArcoCosecanteHiperbolicacsch1x = ln(1x+1 + x2[x[) , Dom = R 0 , Rango = R 03. DerivadasdelasFuncionesHiperbolicas:a)ddx(sinh x) = cosh xb)ddx(cosh x) = sinh xc)ddx(tanh x) = sech2xd)ddx(coth x) = csch2xe)ddx(sechx) = sechx tanh xf )ddx(cschx) = coschx coth x4. IntegralesdelasFuncionesHiperbolicas:a)

sinh xdx = cosh x + Cb)

cosh xdx = sinh x + CDocente:HebethCuevaValladolid 37c)

sech2xdx = tanh x + Cd)csch2xdx = ctghxe)

11 + x2dx= arcosenhx = ln(x +1 + x2)f )

1x21dx = arcocoshx = ln(x +x21), [x[ > 1g)

11 x2dx = arcotanhx =12 ln 1 + x1 x; [x[ < 1h)

11 x2dx = arcocotanhx =12 ln x + 1x 1; [x[ > 1Algunasrelacionesimportantescosh2x sinh2x = 11 tanh2x = sech2xsinh(x y) = sinh x cosh y cosh x sinh ycosh(x y) = cosh x cosh y sinh x sinh ytanh(x y) =tanh x tanh y1 tanh x tanh ytanh 2x =2 tanh x1 + tanh2xDocente:HebethCuevaValladolid 38ProblemasResuelvalassiguientesDerivadaseIntegralesHiperbolicas1)ddx(sinh(x21x22))2)ddx(cosh(x210x + 9x2+ 10x + 9))3)ddx(arctan(sinh x2))4)ddx(sinh(1 x + x21 + x + x2))5) Usederivacionyhalledydxcosh(x + y) = y sinh x6) Usederivacionyhalledydxtanh y= 3x2+ tanh(x + y)7)ddx(tanh1(sin 3x))8)ddx(sinh1(tan x))9)ddx(sinh1(ln x) + ln(tanh1x))10) Usederivacionyhalledydxtanh1x = tan1y11) Usederivacionyhalledydxy2+ x cosh y + sinh2x = 3012)

sinh4xdxDocente:HebethCuevaValladolid 3913)

dxtanh x + 114)

dxsinh x + 2 cosh x15)

excosh x + sinh xdx16)

cosh x3 sinh x 4 cosh xdx17)

tanh2xdx18)

xcosh2xdx19)

e2xsinh4xdx20)

sinh2x cosh3xdx1) Demuestreque(sinh x + cosh x)n= cosh nx + sinh nx, nZ+2) Demuestreque1 + tanh x1 tanh x= e2x4) Eval uelaintegralindenida.4.1)

excsch2exdx4.2)

sinhxxdx4.3)

sech4xdx