GUÍA DE ESTUDIO PARA PREPARAR EL EXAMEN … · Para que consigas una buena calificación en el...
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
ESCUELA NACIONAL
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL SUR
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
GUÍA DE ESTUDIO PARA PREPARAR EL EXAMEN
EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I
Math clock
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ELABORARON
Profra. Verónica Cisneros Castillo
Profr. Daniel Flores Ibarra
Profra. Rosa Nayeli López Pacheco
Profr. Ernesto Márquez Fragoso
Coordinadores:
Ernesto Márquez Fragoso Daniel Flores Ibarra
Julio de 2017
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL SUR
Director Mtro. Luis Aguilar Almazán
Guía de estudio para preparar el examen extraordinario de MATEMÁTICAS I
Basado en el programa actualizado de 2016
© Todos los derechos reservados. Primera edición 2017 CDMX, México. Impreso en Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades. Plantel Sur.
Julio de 2017
Autores
Verónica Cisneros Castillo
Daniel Flores Ibarra
Rosa Nayeli López Pacheco
Ernesto Márquez Fragoso
Índice
Presentación ……………………………………………………………….………………… iii
Contenido temático y objetivos ………………………………………..……………… …iii
Instrucciones de uso ………………………………………………………………….……iv
Unidad 1. El Significado de los números y sus operaciones básicas
Presentación …………………………………………………………………………………..….1
Bibliografía de consulta ........................................................................................................ 1
Conceptos claves……..…………………………………………………………………..…2
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico prácticos
Significado de los números reales y su simbolización………………………………….….2
Números primos .................................................................................................................... 3
Factorizar .............................................................................................................................. 4
Conceptos base de números naturales ................................................................................... 5
Números Enteros …………………………………………………………………………..6
Operaciones básicas, leyes de los signos..…………….……………………………………7
Números Racionales ………………………………………………………………………8
Operaciones básicas con números racionales.. ……………………………………………10
Prioridad de las operaciones ………………………………………………………………12
Operaciones con potencias y radicales……………… ……………………………………14
Significado contextual de las operaciones ……………………………………………….19
Patrones y fórmulas ………………………………………………………………………24
Formas de autoevalución o verificación de los aprendizaje
Examen de opción múltiple................................................................................................. 27
Solución a los ejercicos …………………………….….………………………………… 30
Respuestas al examen de autoevaluación……………………………………………………………………………. 32
Unidad 2. Variacion directamente proporcional y funciones lineales
Presentación ................................................................................................................................ 33
Bibliografía de consulta ...................................................................................................... 33
Conceptos claves ................................................................................................................. 34
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico prácticos
Variación proporcional directa ........................................................................................... 35
Problemas de variación proporcional directa ...................................................................... 40
Funciones lineales ............................................................................................................... 41
Formas de representación de una función lineal: tablas, gráficas y modelo algebraico ..... 41
Cálculo de la rapidez de cambio o pendiente. ..................................................................... 44
Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes ............................................. 47
Examen de opción múltiple................................................................................................. 47
Guía para el examen extraordinario de Matemáticas I
ii
Respuestas al examen de autoevaluación ………………………………………………………………………………49
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Presentación ................................................................................................................................ 55
Bibliografía de consulta ...................................................................................................... 55
Conceptos claves ................................................................................................................. 55
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico práctico
Tipos de ecuaciones de primer grado .................................................................................. 57
Propiedades de las opreaciones con números reales ……………………………………….57
Resolución de problemas que dan lugar a Ecuaciones de primer grado con una incógnita…………………………………………………………………………………..66
Las ecuaciones como modelos matemáticos ..……………………………………………66
Examen de autoevaluación …..………………………………………………………………………………………………72
Solución a los ejercicios ..................................................................................................... 73
Respuestas del examen de autoevaluación ..……………………………………………………………………………74
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
Presentación ................................................................................................................................ 75
Conceptos claves ................................................................................................................. 75
Bibliografía de consulta ...................................................................................................... 75
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico prácticos
Soluciones de un problema con dos variables y una sola condición en una tabla ............. 76
Solución gráfica de un problema ........................................................................................ 78
Método de igualación .......................................................................................................... 83
Método de sustitución ......................................................................................................... 84
Sistemas de ecuaciones equivalentes …………………………………………………….. 87
Método de obtención de un sistema triangular equivalente ................................................ 88
Problemas que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales .. ……………………………91
Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes ...................................................... 93
Examen de opción múltiple................................................................................................. 93
Respuestas a los ejercicios .................................................................................................. 96
Respuestas al examen de autoevaluación ...……………….…………………………………... 98
Bibliografía básica y complementaria ……………………………………………………………………………………99
Guía para el examen extraordinario de Matemáticas I
iii
Presentación
La resolución de esta guía te dará la oportunidad de conseguir los aprendizajes necesarios
para aprovechar las matemáticas, poder resolver problemas en diferentes contextos,
entender mejor las asignaturas posteriores, además te apoya en la preparación del examen.
Contenido temático y objetivos
El curso de Matemáticas I retoma temas de aritmética, álgebra y funciones, vistos en sus
cursos anteriores, dándoles una nueva perspectiva para lograr un conocimiento más
maduro que permita su aplicación para la resolución de diversos problema, con ello se
pretende que el alumno perciba la necesidad de contar con un camino más eficiente para
resolver o representar cierto tipo de problemas o ejercicios que él ya ha percibido como
análogos. Además de la traducción de un problema que se resuelve con una ecuación es
importante que comprenda la riqueza de la estrategia algebraica que le permite establecer
relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas. Los temas que tendrás que estudiar
son:
� El Significado de los números y sus operaciones básicas. (Para favorecer el tránsito de la aritmética al álgebra)
� Variación directamente proporcional y funciones lineales.
� Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
� Sistemas de ecuaciones lineales
Con estos temas se pretende cumplir con propósitos del curso1 (CCH, 2016).
Al finalizar el primer curso de Matemáticas, a través de las diversas actividades encaminadas al desarrollo de habilidades y a la comprensión de conceptos y
procedimientos, el alumno:
� Conocerá y manejará algunas estrategias para la resolución de problemas.
� Dará significado a los algoritmos de las operaciones básicas y el manejo de la
jerarquía de las operaciones.
� Logrará el tránsito de la aritmética al álgebra.
� Reconocerá que la resolución algebraica de ecuaciones involucra un proceso que
permite reducir una ecuación dada a otra más simple, hasta alcanzar una forma
estándar.
1 CCH. Programas de estudio. Área de matemáticas. Matemáticas I a IV (2016) México: ENCCH
Guía para el examen extraordinario de Matemáticas I
iv
� Desarrollará su capacidad de transitar por distintos registros de representación:
verbal, tabular, algebraico y gráfico.
� Resolverá problemas que dan lugar a una ecuación de primer grado con una
incógnita, o un sistema de ecuaciones lineales.
� Utilizará la representación algebraica, gráfica y tabular para estudiar
fenómenos que involucran variación directamente proporcional y de tipo lineal.
� Utilizará las representaciones algebraica y gráfica para modelar situaciones
con ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.
� Será capaz de resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y
sistemas de ecuaciones lineales.
� Reconocerá cuando un sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente.
Instrucciones de uso
Para que consigas una buena calificación en el examen extraordinario es importante que
al estudiar con esta guía:
� Sigue al pie de la letra las instrucciones de la guía. � Procura dedicar al estudio de esta guía, tres horas diarias continuas, durante al
menos 15 días antes del examen. � Contesta toda la guía y revisa las respuestas, las correctas están al final de cada
unidad. Recuerda escribir claramente tus procedimientos. � Al terminar cada unidad contesta el examen de autoevalución, si no fue
satisfactorio resuelve más ejercicios de los temas que cometiste errores. � Revisa y aplica los conceptos claves, los elementos que debes saber. � Acude a las asesorías con regularidad para resolver tus dudas. � Emplea la tecnología para favorecer la adquisición de conocimientos, aunque para
el examen de esta asignatura NO se permitirá el uso de la calculadora. � El material de consulta, libros o ligas de internet, se encuentran al principio de
cada unidad, USALO, son un buen apoyo, para mejorar tu aprendizaje.
Con tu empeño y apoyado en asesorías y el uso de la tecnología lograras obtener buenos
resultados.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
1
Unidad 1. El Significado de los números y sus operaciones básicas
Presentación
El modelo de Colegio de Ciencias y Humanidades tiene como primer lema “aprender a
aprender”, lo cual implica la necesidad de tener herramientas para lograr este objetivo. Es
necesario entonces, el dominio de elementos matemáticos para poder trabajar en el aula en
cursos avanzados, así como mantener la capacidad de consultar cualquier bibliografía.
Dentro de estos principios esenciales está el manejo de la aritmética, así como generar
habilidades en el pensamiento, incluso elementos básicos de resolución de problemas, así como
no perder de vista la importancia del cálculo mental.
A lo largo de esta unidad se explorarán las bases que hacen que las Matemáticas sean un lenguaje
de comunicación de ideas, es decir, los elementos sustantivos que permiten construir la lógica y
los modelos para analizar situaciones complejas y aplicadas.
Es así que durante esta unidad se logra dar sentido a los diferentes tipos de números, sus
operaciones básicas y a la creación de referentes concretos en una actividad de resolución
aritmética de problemas. Para esto se han planteado una serie de estrategias que ayuden al
desarrollo analítico–sintético, hasta llegar a la expresión algebraica de procedimientos generales
de cálculo (obtención de fórmulas), recreando así un primer acercamiento al lenguaje
algebraico.
El alumno será capaz de operar con los números racionales (enteros y no enteros) y resolver
problemas aritméticos, aplicando reglas heurísticas para facilitar la comprensión, la búsqueda
de un plan de resolución y su ejecución, con la finalidad de que haga suyos los recursos básicos
para iniciarse en el uso del lenguaje algebraico para expresar la generalidad.
Bibliografía de consulta
Aponte, G., Pagán, E., & Pons, F. (1998). Fundamentos de Matemáticas básicas. México:
Addison Wesley Logman.
Coto, A. (2011). Desarrolla tu agilidad mental. Edición de autor.
Fuenlabrada de la Vega, S. (2007). Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
2
Conceptos claves
� Número: expresión que denota la cantidad de objetos. � Razón: vínculo entre dos magnitudes comparables (cociente). � Múltiplo de un número: número que resulta de multiplicar un número por otro número
natural. Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene, de forma entera, varias veces.
� Divisor de un número: número que se multiplica para formar el número; sinónimo de factor. Todos los números tienen como divisor a uno y a sí mismo.
� Lenguaje algebraico: forma de traducir a símbolos y números las expresiones textuales algebraicas. Esto permite modelar problemas. Su función principal es estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones.
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico prácticos
Significado de los números reales y su simbolización
El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende
a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos
los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser
expresados mediante fracciones de
dos enteros. Por otro lado, Un número
natural es cualquiera de los símbolos
que se usan para contar los elementos
de un conjunto. Reciben ese nombre
porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar
objetos.
El conjunto de los números reales ℝ
es aquél formado por la suma del
conjunto de números racionales ℚ
más el de los números irracionales �.
En la imagen (Figura 1) se muestra la
representación del conjunto de
números reales. Obsérvese del centro
hacia afuera, comenzando por los
números naturales ℕ, enteros ℤ,
racionales ℚ e irracionales �.
El cero es, para algunos autores, el
primer número natural, es uno de los
valores esenciales del cual hay que
conocer sus propiedades y como operarlo. La invención del cero fue desarrollada primero por
Figura 1. Representación del conjunto de números reales. Imagen
tomada de http://www.numerosreales.com/.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
3
los Mayas. Los árabes, tras “descubrir” el cero en la India, pasaron a denominarlo céfer, que
también significa “vacío”, y que dio origen a las palabras cero y cifra. De este particular
elemento es necesario conocer sus propiedades.
Propiedades del cero:
A) elemento neutro en la adición e inverso aditivo o resta.
� + 0 = � � − 0 = �
3 + 0 = 3 5 − 0 = 5
b) elementos que afecta a la multiplicación y a la división. La división entre cero no es una operación permitida.
� ∗ 0 = 0 5 ∗ 0 = 0
0� = 0 05 = 0 �0 → ∄ 50 → ∄
∄, ���������, �� ������
Dentro de los números naturales, las operaciones fundamentales son: la “adición” y la
“multiplicación”. La adición es la operación que puede realizarse con varios números
cualesquiera, pero es más importante considerar la adición entre pares de números (a + b)
(Spivak, 2012). A partir de la suma su operación inversa es el inverso aditivo o resta. Para la
multiplicación, muchas de sus propiedades se parecen a la de la suma, o producto de dos
elementos a y b, la cual se representa como � ∙ �, � ∗ �, ������ o simplemente ��. Una de las
principales propiedades es: la propiedad asociativa para la multiplicación.
� �� ∙ �� = �� ∙ �� � 3 �−5 ∙ 2� = �3 ∙ −5� 2
Números primos
Un número natural es primo si es divisible únicamente por sí mismo y la unidad. Es decir, debe
tener exactamente dos divisores diferentes. Por esto se define como no primo al número 1.
De alguna manera tú ya has escuchado de estos característicos números. Una manera de obtener
los primeros números primos es la Criba de Eratóstenes, un algoritmo que permite ver los
números que solo sean divisibles entre sí mismos y la unidad.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
4
Instrucciones:
1. Completa los números faltantes.
2. Necesitarás 4 colores distintos para trabajar; pueden ser negro, azul, rojo y verde.
3. Cancela con una línea (/) en negro los números que sean múltiplos de 2, excepto el 2.
4. Cancela con una línea en azul los números que sean múltiplos de 3, excepto el 3.
5. Cancela con una línea en rojo los números que sean múltiplos de 5, excepto el 5.
6. Cancela con una línea en verde los números que sean múltiplos de 7, excepto el 7.
7. ¿Qué números quedaron libres?
1 4 6 8 9 10
12 14 15 16 18 20
21 22 24 25 26 27 28 30
32 33 34 35 36 38 39 40
42 44 45 46 48 49 50
51 52 54 55 56 57 58 60
62 63 64 65 66 68 69 70
72 74 75 76 77 78 80
81 82 84 85 86 87 88 90
91 92 93 94 95 96 98 99 100
Factorizar
Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número natural, excepto la unidad, admite una
única descomposición en factores primos, salvo por el orden.
Nota: Dentro de las propiedades de los números naturales son las propiedades de divisibilidad,
por ejemplo:
a) Todo número par es divisible entre 2,
b) Todo número, cuya suma de sus dígitos es múltiplo de 3, es divisible entre 3.
c) Todo número que termina en cero o 5 es divisible entre 5.
d) El cero es par.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
5
Factoricemos algunas cantidades.
1) ¡Existen 1440 minutos al día! Factoricemos el número 1440.
1440
(4+5 = 9 por lo que es múltiplo de 3)
1440
720
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
2
2
3
3
5
1
(siempre empezar por el menor hasta agotarlo)
Ejercicio 1
Realiza las factorizaciones de los siguientes numeros:
a) 136 b) 120 c) 6327 d) 2100 e) 2017
Conceptos base de números naturales
Definición: El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números naturales es el mayor
número que los divide a estos números.
Definición: El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor
número que contiene un número exacto de veces a cada uno de estos números.
Ejemplo
a) Calcular M.C.D. de 12 y 15
b) Calcular m.c.m. de 12 y 15
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
6
Divisores o factores de:
12
1,2,3,4,6 y 12
15
1,3,5 y15
Son divisores comunes 1 y 3. Elegimos siempre el mayor
1Sol. M.C.D. (12,15) = 3
Son múltiplos de:
12
12,24,36,48,60,72,84,96,108,120…
15
15,30,45,60,75,90,105,120,135,….
Son múltiples comunes: 60, 120, …. Elegimos el menor.
Sol. m.c.m. (12, 15) = 60
Ejercicios 2
Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes ternas de números naturales.
a) 60, 1575, 98 b) 72, 108, 30 c) 16, 27, 25 e) 150,60, 90 f)36, 24, 54
Ejemplo de Problema
Cierto fenómeno tiene lugar cada 450 segundos, otro cada 250, y un tercero cada 600. Si a las 5 de la tarde han coincidido los tres. ¿a qué hora volverán a coincidir por primera vez y cuántas veces tiene lugar cada uno de ellos entre una y otra coincidencia?
Sol. 7 y media de la tarde y coinciden:
9000 ÷ 450 = 20 , 9000 ÷ 250 = 36 , 9000 ÷ 250 = 15
Números Enteros
El conjunto de números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero,
se denotan por la letra ℤ y son los siguientes:
ℤ = '… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … )
Representación en la recta numérica. Los números enteros se pueden representar en la recta
numérica, como se indica:
1 Sol. Solución o respuesta exacta.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
7
−∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞
A la ubicación en la recta numérica del cero se llama origen, a la derecha del origen se localizan
los enteros positivos y a la izquierda los enteros negativos.
Operaciones básicas, leyes de los signos
Las operaciones que se pueden realizar con números enteros son: adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación.
Suma algebraica: mismo signo, se suman sus valores absolutos. Signos diferentes, se resta el valor absoluto del mayor menos el valor absoluto del menor y el resultado tendrá el signo del
de mayor en valor absoluto. Aplicable también a fracciones.
Multiplicación: mismo signo, se multiplican o dividen sus valores absolutos y el resultado será
siempre positivo. Signos diferentes, se multiplican o dividen sus valores absolutos y el resultado
será siempre negativo.
La potenciación, sigue las reglas de la multiplicación ya que debes recordar que la potencia se
obtiene multiplicando a la base por si misma, el número de veces que el exponente lo exprese,
así:
Si la base es positiva la potencia será siempre positiva:
3* = 3 ×3 ×3 = 27
Si la base es negativa y el exponente par, la potencia siempre será positiva.
�−3�- = �−3��−3��−3��−3� = 81
Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia siempre será negativa.
�−3�* = �−3��−3��−3� = −27
La radicación de números enteros no siempre genera números enteros, sino números
irracionales, si el radicando es positivo, también genera números imaginarios si el radicando es
negativo y el índice es par.
Si el índice es impar, el número tendrá la raíz del mismo signo que el radicando.
√−2430 = −3 (Se extrae la raíz quinta de 243 y será negativa)
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
8
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes operaciones. Elige la respuesta correcta.
1) = −3'5�6 − 9� − �2* + 1� + 9)1 − 5 + 151 A) 568 B) -368 C) 12 D) -455
2� = '�−5 + 3*� + �−2*� + √−642 ×2)�−1� A) 12 B) -8 C) -6 D) -5
3� = '−20 + 3312 − 3 �7 − 3� + 2�4 − 5� − 3�−8 + 2� − 104 − 12)
A) 14 B) –14 C) 12 D) – 208
4� = 6 − 5 �3 − 5�2* − 3�4 − 6�1
A) 74 B) – 188 C) –26 D) –68
5� = �15 ÷ 3�5 − 4�3�−1� − 27 ÷ 3
A) 6 B) 28 C) 6 D) −6
Números Racionales
Los números racionales son aquellos números que se pueden expresar como la razón de dos
números enteros, siendo el denominador diferente de cero. Se denota con la letra ℚ y se define
como:
ℚ = 5� �⁄ = �� , � 7 � ∈ ℤ, � ≠ 0:, Ejemplo: 2, −4, − ;< , − ;=* Fracción
Fracciones, se utiliza para expresar una cantidad (numerador) dividida entre otra cantidad
(denominador). Ambos, numerador y denominador, deben ser estrictamente números enteros y
el denominador nunca habrá de ser cero.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
9
�� ; �, � ∈ Ζ; � ≠ 0
Razón
Es la comparación entre dos cantidades a travéz del cociente. Por ejemplo, de que en un conjunto
de personas la cantidad de mujeres respecto a la de hombres sea de 9 a 1, 9 : 1 (por cada nueve
mujeres hay un hombre),
Distintos significados y representaciones.
Los números fraccionarios tienen diferentes representaciones, tales como:
a) Fracción común: ;;@ , -* , ;A
b) Expresión decimal: 0.6, 0.142857, 1.8….
c) Porcentaje o tanto por ciento, que es una o varias partes de las cien en que se divide
un número: 12%, 3%, 1.7%, …
d) Fracciones equivalentes, que son las fracciones que representan el mismo valor, pero
se escriben de manera diferente: 1* = -B = ;B1-, pero su forma decimal es la misma.
Los números racionales al poderse ubicar en la recta numérica, también tienen un orden y el
criterio para saber cuál es menor o mayor en la recta numérica es el mismo que el de los números
enteros, es decir, es mayor el que está a la derecha del otro.
Ejercicio 4
1) Ordena las siguientes fracciones comunes y colócalas en los cuadros, de manera que se
cumpla la relación que se pide. Comprueba este orden convirtiéndolas a su forma decimal.
=10
5
5
8− = =
8
3 =−
3
5 =
2
3
> > > >
2) Realiza las siguientes simplificaciones.
a) =24
18 b) =−
100
20 c) =
105
120 d) =
231
126 e) =
180
144
Es muy importante siempre simplificar las fracciones, evitará que trabajes con números grandes que a
su vez generan mayor probabilidad de error.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
10
3) Relaciona una fracción que se ubique entre los dos números mostrados.
1 � 3 5 > > 45 2 � 89 > > 163 3 � − 110 > > 0
4 � 716 > > 12
5 � − 56 > > 43
� � 1532
� � 276
� � − 26
D � 710
� � − 120
Operaciones básicas con números racionales
Las operaciones que se pueden realizar con números racionales son: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Para realizar las operaciones básicas con números racionales se procede igual que con los
números enteros, solo que cuando son fracciones hay que cumplir ciertas reglas.
Las reglas para efectuar operaciones algebraicas con número racionales son iguales que las de
enteros con respecto a los signos.
Para realizar las sumas algebraicas cuando los números son fracciones comunes, es necesario
que los denominadores sean iguales, procediéndose a sumar algebraicamente los numeradores.
Ejemplo 1
a) A< + ;< = AE;< = F<
b) A- + <- − ;- = AE<G;- = ;;-
c) 1* − 4 = 1±;1* = − ;=*
En caso de que las fracciones no tengan el mismo denominador hay que proceder a convertirlas
a fracciones equivalentes con el mismo denominador, lo cual se consigue utilizando el mínimo
común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones que se suman.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
11
Ejemplo 2. Al sumar A* + 1<, como los denominadores son diferentes, se calcula el m.c.m. de 3
y 5 que es 15, quedando que A* = *<;<
1< = B;<, lo cual se puede obtener directamente al dividir
al m.c.m. entre cada denominador y multiplicarlo por el numerador correspondiente,
obteniéndose: A* + 1< = *<EB;< = -;;<
Ejemplo 3. Al restar 4 a 1*, se procede de igual modo, es decir, se obtiene el m.c.m. de los
denominadores que es este caso es 3, y se obtiene: 1* − 4 = 1G;1* = − ;=*
Ejemplo 4. Para obtener la suma de: *;= + <B − ;;-<, primero se busca el m.c.m.
I. �. I. = 2 ×31×5 = 90
*;= + <B − ;;-< = 1AEA<G11@= = F=@= = F@
Para multiplicar números fraccionarios comunes, basta multiplicar numerador por numerador
para obtener el numerador del producto y denominador por denominador para obtener el
denominador del producto.
Ejemplo 5. Al multiplicar − *< J�K A- basta con multiplicar horizontalmente y respetar la ley de
los signos. − *< × A- = − 1;1=
Ejemplo 6. Al multiplicar 5 J�K *A, tienes que recordar que el denominador de 5 es 1 por lo
que se tiene: <; × *A = ;<A , que es positivo porque los dos números son del mismo signo.
Para dividir fracciones comunes, basta con multiplicar el numerador de la fracción dividendo
por el denominador de la fracción divisor para obtener el numerador del cociente y multiplicar
el denominador del dividendo por el numerador del divisor para obtener el denominador del
cociente.
Ejemplo 7. Al dividir *A ���K� − 1*, basta con multiplicar cruzado.
L*A M ÷ L− 1*M = − @;- ó 2NOP2 = G@;- extremos, numerador y medios, denominador.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
12
Ejemplo 8. Al dividir *A ���K� − 7, tienes que recordar que el denominador de –7 es 1.
L*A M ÷ �−7� = − @-@ ó 2NGNQ = − *-@ extremos, numerador y medios, denominador.
Para la potenciación de fracciones comunes, se sigue el procedimiento de la multiplicación de
fracciones, solo es necesario tener cuidado con que el exponente afecta tanto al numerador como
al denominador de la fracción.
Ejemplo 9. Para obtener la potencia de L1*M- = 1R*R =
;BF;
Para la radicación se siguen las reglas de la de los números enteros, extrayendo la raíz
correspondiente a cada elemento de la fracción.
Ejemplo 10. Para obtener la raíz de S− TUV solo hay que extraer la raíz cúbica de 1 y la raíz
cúbica de 8 y como es una raíz de grado impar de un número negativo, la raíz es negativa,
quedando:
W− 18 2 = − √12√82 = − 12
Prioridad de las operaciones. Uso de signos de agrupación y prioridad del cálculo.
La prioridad de las operaciones con los números racionales es la misma que la establecida para
números enteros, es decir:
• Primero se realizan las potencias y raíces.
• Enseguida se realizan las multiplicaciones y divisiones.
• Al final se realizan las adiciones y sustracciones.
• Las operaciones presentadas en signos de agrupación (paréntesis) se realizan
primero utilizando el mismo orden de prioridad
Ejemplo:
5 ÷ L12 − 4 13ML2 − 43M L−5 12 + 3M − 3 ÷ L− 32M
L45 ÷ 32M + 2
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
13
Es muy conveniente desarrollar por partes.
4 13 = 133
Fracción derecha numerador
5 ÷ X12 − 4 13Y = 5L12 − 133 M = 5
L36 − 266 M = 5L− 236 M
Ejercicios. Simplifica el resultado de cada operación y preséntalo en forma racional.
¡Cuidado con los signos!
Ejercicio 5
1) *QOEO2G1EQ2 + QRG;GO2 =
A) <B B)− <*1= C)
*;1= D)-11=
2) L1GQ0M
LG*E*QOM ÷ L;QOE*MLG1G;QOM =
A) <B B)− ;-< C)
;-< D)-1*A
3) L1GQ0M÷L;QOE*M
LG*E*QOMLG1G;QOM =
A) F1F B)− ;-- C) − F*< D)
*1A
4) − Z*G;O2[EZ QOP0[ZG<EQO[÷�G;G;� =
A) -@ B)− <*1= C)
-* D)− F@
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
14
5) G;GQOG1E2R − <÷LGQOMNRG 2O =
A) <B B)− <*1= C)
1=B< D)1=B<
6) 1 \S−18
3 ]÷*LQOME- LQ2G-MQ2 =
A) 3 B)−46 C) ;* D)
-B*
7) ^√;--* − \ N02 E RQO_R_ ] L@BM` ÷ 2 =
A) A*1 B)− <*1= C)17 D)34
Operaciones con potencias y radicales
Una potencia de base “a” y exponente “n” consiste en multiplicar tantas veces “a” por sí mismo,
como indique “n”. Por lo tanto, es una forma abreviada de representar una multiplicación (Coto,
2011).
Propiedades de los exponentes
ab = T cb = T
aT = T cT = c
adae = adEe
adae = adGe
�ad�e = ad∙e
�af�d = adfd
LafMd = adfd
VgVV = VU
VgVV = VgGV
�Vg�V = Vg∙V
�V ∙ c�h = Vh ∙ ch
XTVYi = TiVi
VGc = TVc
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
15
aGd = Tad
ade = √ade
ViV = jViV
Tener en cuenta algunos cuadrados muy comunes, ejemplo
TTi = TiT , Tii = Tcc, TVi = Tkl, Tci = Tlk, Tgi = iig
En ocasiones es necesario combinar las potencias y radicales con las demás operaciones para
obtener resultados de procesos más complejos por lo que es importante conocer y aplicar todas
sus leyes.
Suma y resta de radicales
Ejemplo. Si deseas adicionar √8 ��� √18 , la prioridad de operaciones no te permite
considerar que el resultado es √20 , ya que primero debes obtener la raíz y después sumar; es
así que √26 resulta de primero sumar y después extraer la raíz cuadrada.
Para poder efectuar la suma √8 + √18 , es necesario que primero factorices a los enteros que
son los radicandos y extraigas las raíces cuadradas exactas y enseguida procedas a reducir los
términos semejantes resultantes y posteriormente obtener solo una raíz cuadrada que es el
resultado de la adición de los radicales o números irracionales √8 7 √18 , obteniéndose:
√8 + √18 = √4×2 + √9×2 = √4 √2 + √9 √2 = 2√2 + 3√2 Reduciendo los términos semejantes
�2 + 3�√2 = 5√2 Como 5 es la raíz cuadrada de 25, queda:
√25 √2 = √25×2 = √50
Como puedes observar al √8 + √18 no se obtuvo √26 sino √50
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
16
Producto y cociente de radicales
Para multiplicar o dividir radicales es necesario que los índices de las raíces sean iguales.
Ejemplo 1. Si deseas multiplicar √30 √120, basta con multiplicar los radicandos ya que las
raíces son del mismo grado, quedando:
√30 √120 = √30×120 = √3600 = 60
Ejemplo 2. Si desea dividir √1262 entre √62, basta con dividir los radicandos ya que las raíces
son del mismo grado, quedando:
√1262√62 = W12662 = √212
Como puedes observar, el resultado de la multiplicación o de la división puede ser un número
racional o número irracional.
Ejercicios 6.
1) De acuerdo a las leyes anteriores, escribe si es Verdadera o Falsa cada una de las siguientes
proposiciones:
a) �G;�G; = ;mn _____________
b) �G; + �G; = ;mEn _____________
c) ( ) 222 baba +=+ _____________
d) 0x siempre es 1 _____________
e) (-5)n
siempre es negativo _____________
2) Escribe el resultado de cada una de las siguientes expresiones:
a) =− 23 d) ( ) =−3
4
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
17
b) ( ) =−2
3 e) 3( 2)− − =
c) =− 34 f) 4( 2)− − =
3) Califica como falsa o verdadera cada una de las afirmaciones.
a) 2 3 2 3n n n = × _____________
b) 4 3 4 3n n n n n+ = + _____________
c) 2 2 2nm m nn m +⋅ = _____________
d) ( )3 3m
n m n= _____________
e) 2 3 2 3n n n= _____________
4) Explica con tus propias palabras.
a) ¿Qué sucede con la expresión n x cuando n es par o impar y cuando x es cualquier número
real?___________________________________________________________________
b) ¿Por qué se dice que n
mn m xx = ? ___________________________________________
c) Menciona ejemplos resueltos en donde el producto de dos irracionales nos dé un número
entero.
5) Anota una x en el conjunto a que pertenecen los siguientes números.
Numero Natural Entero Racional Irracional Real
a) -345
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
18
b) 23
c) 53
d) 3
4−
e) 25−
6) Simplifica los siguientes radicales.
a) =64 d) =3 16
b) =8 e) =3 81
c) =12 f) =3 128
7) Resuelve las siguientes operaciones con radicales.
a) 2 8 32 64+ + − = b) =++− 20325523
c) =82 d) =33 24
e) 8 3 7− = f) ( ) =223
g) ( ) =−4
25 h) 45
5=
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
19
i) 3
3
112
2= j)
4
4
156
4=
Significado contextual de las operaciones
El lenguaje algebraico es una forma de traducir problemas o expresiones matemáticas a otras
con símbolos y números, particularmente ecuaciones. De esta forma se pueden manipular
cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas,
formular modelos y cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas
matemáticos mostrando generalidades. El lenguaje algebraico nace en la civilización
musulmana en el periodo de Al-Jwarizimi (780-850) durante la edad media.
Una expresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al lenguaje
algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también operaciones
aritméticas. El término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de
multiplicación y división de letras y números elevados a ciertas potencias.
En álgebra, es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en lenguaje
algebraico.
• Algunas palabras que indican adición son:
Suma, aumentar, mayor que, más, incrementar, más grande que, etc.
• Algunas palabras que indican sustracción son:
Resta, menos, menor que, diferencia, disminuir, perder, etc.
• Algunas palabras que indican multiplicación son:
Producto, veces, triple, multiplicado, doble, cuádruple, etc.
• Algunas palabras que indican división son:
Cociente, mitad, dividido, entre, tercera, razón, etc.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
20
Lenguaje común Lenguaje
algebraico
Un número cualquiera. m
Un número cualquiera aumentado en s iete . m + 7
La di ferencia de dos números
cualesquiera. f - q
El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5
La divis ión de un número entero entre su
antecesor
�� − 1
La mitad de un número. D2
El cuadrado de un número y2
La semisuma de dos números � + �2
Las dos terceras partes de un número
disminuidos en cinco es igual a 12.
23 �� − 5� = 12
Tres números natura les consecut ivos . x , x + 1 , x + 2
La parte mayor de 1200, s i la menor es w 1200 - w
El cuadrado de un número aumentado en
s iete . b 2 + 7
Las t res quintas par tes de un número más
la mi tad de su consecut ivo equivalen a
t res .
35 J + 12 �J + 1� = 3
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
21
El producto de un número con su antecesor
equivale a 30. x(x-1 ) = 30
El cubo de un número más el t r ip le del
cuadrado de dicho número. x3 + 3x2
Ejercicio 7.
A continuación, te sugerimos realices el ejercicio, donde tienes que expresar en forma
verbal o escrita los diferentes términos según sea el caso.
a) El doble de un número.
b) El cociente de la suma de dos números sobre tres.
c) El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando.
d) c(x–4)
e) La diferencia de los números es mayor que su cociente.
f) (3x)2
g) El triple del cuadrado de la diferencia de dos números.
h) El semiproducto de dos números consecutivos.
i) La suma del doble de un número con otro número.
j) El cubo de la raíz cuadrada de la suma de dos números
k) El producto de la suma del triple de un número con el doble de otro y seis.
l) La diferencia del doble de los cuadrados de dos números.
m) El promedio de seis números.
n) La suma de tres números consecutivos.
o) La mitad de la raíz del cociente de un número con 4.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
22
Ejercicio 8
Analiza las siguientes situaciones y resuelve paso a paso.
1) Un campesino fue a la ciudad, la primera mitad del camino fue en tren, 15 veces más de prisa
que si hubiera ido caminando. Pero la segunda mitad del camino tuvo que hacerla en una carreta
jalada por bueyes, dos veces más despacio que a pie. ¿Cuánto tiempo ganó o perdió en
comparación en el caso en que hubiera ido todo el tiempo a pie?
2) Un caracol decidió subir un árbol de 15 metros de altura. Durante cada día tenía el tiempo de
subir 5 metro; pero mientras dormía por la noche, bajaba 4 metros. ¿Al cabo de cuántos días
llegó a la cima del árbol?
3) De lunes a viernes, en periodos normales, un estudiante distribuye, en promedio, las horas
del día de la siguiente manera:
Actividad Fracción del día
Dormir 13
Alimentación 112
Descanso y diversión 16
Estudio 14
Aseo personal 124
Tareas y trabajos 18
a) ¿A que actividad se dedica más tiempo?
b) ¿A que actividad se dedica menos tiempo?
4) . Si un pintor se llevó 1 y medio días en pintar los marcos de las ventanas de una casa, 1 día
4
3 de día pintar el techo y 2 días
8
1 de día el resto de la casa, ¿cuántos días en total requirió el
trabajo?
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
23
5) La siguiente gráfica representa la distribución general del
gasto mensual de una familia.
a) ¿Qué parte del presupuesto gasta en alimentos y vestido?
b) ¿Qué parte del presupuesto gasta en pagos de la casa?
c) ¿Qué parte del presupuesto dedica a gastos varios?
d) ¿Qué parte del presupuesto gasta la familia en alimento,
vestido y gastos varios?
e) Qué parte del presupuesto gasta en alimentos, vestidos y pagos
de la casa?
6) Un par de zapatos cuesta $ 247.25 con I.V.A. (considera el I.V.A. de 15%), determina el
precio de los zapatos sin I.V.A.
A) $ 200 B) $ 210.60 C) $ 215.00 D) $ 205.50
7) Un número al dividirlo entre 11 tiene cociente 7 y residuo 6. El número es:
A) 72 B) 94 C) 105 D) 83
8) Encuentra el numerador de la fracción equivalente a 70
35 cuyo denominador sea 24.
A) 70 B) 24 C) 35 D) 12
9) Un apicultor tiene una lata con 13 litros y medio de miel y quiere envasarla en botellas de L*-M L para venderla, ¿Cuántas botellas necesita?
A) 15 B) 18 C) 9 D) 20
Alimentos y vestidos
Gastos varios
Pagos de la casa
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
24
Patrones y fórmulas
Las fórmulas se encuentran relacionadas con las matemáticas y otras ciencias como las física,
ciencias computacionales, la economía, sociología, etc., éstas se emplean para representar de
forma breve información mediante símbolos o relaciones de cantidades. Matemáticamente
hablando, una fórmula se expresa como una ecuación con variables y constantes matemáticas
mediante una expresión algebraica.
Por otro lado, un patrón se caracteriza por la repetición de un elemento de forma predecible; los
patrones puede ser modelos empleados para generar nuevos. En Matemáticas se emplea mucho
el concepto de patrones ya que cualquier secuencias de dígitos que puede modelarse por una
función matemática se le considera patrón.
Ejercicio 9
1) Completa la siguiente sucesión de números:
7, ___, 21, 28, ___, 42, ___, ___, 63, ___,77, ___, ___…
2) ¿Cuál sería la regla para obtener cualquier término de esta sucesión?
____________________________________________________________________________
3) Usando la regla que escribiste, ¿cuál es el término que está en el lugar 15? ______________
4) ¿Cuál es el término de la sucesión que está en el lugar 20? __________________________
5) Calcula el perímetro de las siguientes figuras (el contorno está remarcado).
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
25
6) Observa las figuras regulares anteriores y en base a la fórmula de su perímetro establece una
fórmula general que nos dé el perímetro para cualquier polígono regular, indicando el
significado de las variables.
Esta fórmula es una expresión algebraica.
7) Escribe la expresión algebraica (únicamente con letras) que sirve para calcular el perímetro
de las siguientes figuras geométricas.
8) Pilar tiene 1* de la edad de Lupe. Si la suma de sus edades es 30. ¿Qué edad tiene cada una?
9) Eduardo trabajó 9 horas más que Diego. Si entre los dos trabajaron 35 horas. ¿Cuántas horas
trabajó cada uno?
Los patrones se pueden presentar de forma numérica y geométrica.
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
26
Ejemplo:
Determina la fórmula que genera la serie numérica de la cantidad de fósforos utilizados
para construir la figura formada por un número de triángulos dados.
N° de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 . . . n
N° de fósforos 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Observa en que en esta secuencia (el número de fósforos) la diferencia entre un término y el
siguiente es 2, entonces en la fórmula se tendrá el término 2n, donde el factor 2 de n corresponde
a la diferencia entre un término y el siguiente y donde n será la posición que ocupe cada término
de la secuencia. Por otro lado, debido a que la primera figura comienza con 3 fósforos, se debe
sumar 1, tal que sumado con 2n resulta el primer valor de la serie (en este caso 3). Entonces la
fórmula que genera la secuencia 3, 5, 7, ... es 2n + 1.
Ejercicio 10
1) Encuentra la fórmula general en las siguientes secuencias
Cuando obtenemos una expresión algebraica general es útil evaluarla con la información o
parámetros establecidos. Esto significa reemplazar cada variable por un valor numérico que le
corresponde, para luego resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su
valor final.
1 2 3 4
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
27
Ejemplo
Tenemos la expresión �1 − 7� y consideremos que � = 5.
Primero calcularemos la expresión con � = 5 resultando 51 − 7 ∙ 5
Una vez reemplazado el valor numérico, se desarrollan las operaciones correspondientes y se
calcula el valor final de la expresión.
51 − 7 ∙ 5 = −10
Recuerda:
En la potencia de un número negativo, solo tomaremos signo y número cuando el número esté
entre paréntesis, de lo contrario solo elevaremos el número.
Ejercicio 11
Expresión Reemplazar � = −1; � = 4; � = 3; D = −2 Valor resultante.
12�1 − 3D − �1
8� − 3D� + �
�� − �D
�� − D1
�� − D� X54 � + �6Y
�� + ���� − D�1
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
28
Forma de autoevalución o verificación de los aprendizajes
Examen de opción múltiple
Instrucciones:
� Lee cuidadosamente cada pregunta.
� Escribe el número y la justificación de tu respuesta en una hoja aparte.
� El inciso anótalo en la plantilla.
1 2 3 4 5 6 7 8
Resuelve como se indica, cada uno de los incisos.
Calcula el MCM y el mcm de las siguientes tareas de números naturales.
1) 126, 120, 10800
A) o. p. q. = 6 I. �. I. = 7560 B)
o. p. q. = 6 I. �. I. = 75600 C) o. p. q. = 7500 I. �. I. = 6 D)
o. p. q. = 7560 I. �. I. = 6 E)
o. p. q. = 6 I. �. I. = 120
2) 30, 36, 40
A)o. p. q. = 60 I. �. I. = 2 B)
o. p. q. = 25 I. �. I. = 75 C) o. p. q. = 20 I. �. I. = 3600 D)
o. p. q. = 2 I. �. I. = 360 E)
o. p. q. = 2 I. �. I. = 40
3) 2RENRAGB − Q0÷ 2O1Q2 × _0 =
A) ;B;; B)
--;< C)1B** D
;=*-1 E -;;<
4� <* − B< + 2 1< + O2GR20R =
A) B-;< B)
A* C) 89 D);1< E -
-*
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
29
5) Simplificar mediante el uso de las leyes de los exponentes: \ rORsQOr RQ_sQt]-
A) �QO�2O B) ��O2 C) ��2O D) �2O� E) ��-
6) Resuelve la siguiente operación y simplifica
uL*1M1 ÷ A1v − S @-@ + L-A + *;-M =1
A) ;<- B)
@A C) -1;<B D) -1 E) 1
7) Determina la fórmula que genera las siguientes series numéricas
8, 10, 12. . .
A) 4n+2 B) 8+2 C) n+2 D) 2+2 E) (n+2) 2
8) Evalúa la siguiente expresion: <n1 − wB + �
Sea � = −2; � = 4; � = 3.
x� 152 y� 252 p� 126 q� 172 z� 576
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
30
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
Ejercicio 1
a) �2*��17�
b) �2*��3��5�
c) �31��19��37�
d) �21��3��51��17�
e) 2017 es primo
Ejercicios 2
A) MCD = 1 mcm = 44100
b) MCD = 6 mcm = 1080
c) MCD = 1 mcm = 10800
d) MCD = 30 mcm = 900
f) MCD = 6 mcm = 216
Ejercicio 3
1) D 2) C 3) B 4) A 5) B
Ejercicio 4
1) *1 > * F > < ;= > − <* > − <F
2) A) *- b) − ;< c)
FA d) ;1B1*; e)
-<
3) Relaciona una fracción que se ubique entre los dos números mostrados.
1) d, 2) b , 3) e, 4) a, 5) c
Ejercicio 5
1) C 2) B 3) C 4) A 5) D 6) B 7) A
Ejercicio 6. Operaciones con potencias y radicales
1. a) V b) F c) F d) V e) F
2. a) -9 b) 9 c) -64 d) -64 e) 8 f) -16
3. a) V b) F c) F d) V e) V
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
31
4. a) Las raíces pares tienen soluciones dobles y las impares no. Las raíces pares sólo
existen para números negativos.
b) La base se conserva y los exponentes describen la operación inversa.
c) √20√5 = 10 √12√3 = 6
5. a) entero, racional, real b) natural, entero, racional, real c) irracional, real
d) racional, real e) entero, racional
6. a) 8 b) 2√2 c) 2√3 d) 2√22 e) 3√32
f) 4√22
7. a) 7√2 − 8 b) 7√2 − 3√5 c) 4 d) 2 e) −8√21 f) 18 g) 10000 h) 3
i) √72 j) √39R
Ejercicio 7. Significado contextual de las operaciones
a) 2x b) mEn* c)
mEn*m
d) El producto de un número con otro disminuido en cuatro.
e) � − 7 > {| f) El cuadrado del triple de un número. g) 3�� − 7�1
h) {�{E;�1 i) 2x+y j) }√� + �~*
k) �3� + 27� ∙ 6 l) 2�1 − 271
m) mEnEwE�E�E�B n) x(x+1)(x+2) o)
S�R1
Ejercicio 8.
1) Fue 17 veces más rápido que a pie. 2) 11 días 3) A) dormir B) aseo personal
4) 5 *F días 5) a) *F b)
*F c) ;- d)
<F e) *-
6) $215.00 7) 83 8) 12 9) 18
Ejercicio 9. Patrones y fórmulas
1) 7, 14, 21, 28, 35, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, … 2) 7n 3) 105 4)140
5) Triángulo 6cm, cuadrado 8cm, pentágono 6cm, hexágono 8.4cm, heptágono
6.3cm, octágono 6.4cm. 6) P=nl, P: perímetro (cm), n: número de lados, l: longitud
del lado (cm) 7) Trapecio P=2a+B+b Cruz P=12d Romboide P=2a+3b
8) Lupe 18 años, Pilar 12 9) Diego 13 h, Eduardo 22h
Ejercicio 10.
1) 3n+1
Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.
32
Ejercicio 11.
Expresión Resultado
12�1 − 3D − �1 2
8� − 3D� + � 9
�� − �D 54
�� − D1 -7
�� − D��54 � + �6� 5312
�� + ���� − D�1 75
Respuestas al examen de autoevaluación
1 2 3 4 5 6 7 8
B D D B C E C A
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
33
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
Presentación
Esta unidad es de las más importantes, ya que puede aplicarse en diferentes contextos, además
es la piedra fundamental en el estudio de conocimientos que permiten modelar diversos
problemas, los conceptos de variación y función tienes que aprenderlos, para que uno de los
grandes oficios de la matemática, modelar, lo utilices de manera adecuada.
Los conceptos de variación directamente proporcional y función lineal permiten describir
diferentes aspectos en varios campos de la física, la química entre otras ciencias. La
comprensión de las funciones, la revisaras con diferentes registros tablas, gráficas y modelo
algebraico, permite comprender mejor el concepto de función, si te queda clara la relación entre
los diferentes registros, podrás conseguir mejores aprendizajes resolver diversas situaciones.
Todo el conocimiento sobre cualquier tópico se basa en el estudio de relaciones, la variación
entre variables y las funciones lineales son algunos ejemplos. Las matemáticas se encargan de
establecer esas relaciones codificarlas y modelarlas en general. El desarrollo de las habilidades
del pensamiento, el razonamiento mismo, está ligado a nuestra capacidad de relacionar las cosas
que existen en el mundo.
Bibliografía de consulta
Khan Academy. (n.d.). Recuperado el 4 de febrero, 2017, de:
https://es.khanacademy.org/math/algebra/linear-word-problems/constructing-linear-
models/e/constructing-linear-functions-word-problems
Portal académico. CCH. UNAM. Variación Proporcional. (2012). Recuperado el 12 de
enero de 2017, de:
http://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/aprende/matematicas1/variacionproporci
onal?page=0,2
Descartes - Recursos - Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. España recuperado el 15 de febrero de 2017 de:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_funciones_lineales/3eso_quincena10.pdf
(pp 168 a 173)
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
34
Conceptos claves
� Razón: Relación entre dos números a través del cociente
� Proporción: Igualdad entre dos razones
� Variable: Es una magnitud que puede tener varios valores
� Tipos de variables: En una relación entre variables, la variable independiente,
determina los valores que toma la variable dependiente, para formar parejas ordenadas
(v independiente, v. dependiente).
� Función: Una función es una relación entre dos variables, de manera que a cada valor
de la primera le corresponde un único valor de la segunda, � = �(�), la pareja es
(�, �) (�, �(�)), conocida como par ordenado.
� Registros de una función
o Tabular: Conjunto de parejas ordenadas en una tabla.
o Gráfica: Conjunto de puntos en un plano cartesiano que identifica la relación
entre las variables.
o Modelo matemático: Expresión algebraica, que explicita la relación entre las
variables.
� Rapidez de variación o pendiente: En la función �(�) = � + �, es el coeficiente de �
que determina que tan rápido crece o decrece una recta y por lo tanto la inclinación de
la recta.
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
35
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico prácticos
Variación proporcional directa
Una proporción es la igualdad entre dos razones, por ejemplo:
� = ��
�� ó � = ��
��
Si sabemos qué cantidades son proporcionales, por ejemplo:
� = ��
� es equivalente a 3� = 4(27) de donde � = �(��) → � = �
Ejercicio 1
1. En las siguientes proporciones, encontrar el valor de la incógnita
a) �� = �
�
b) � � = !
�
c) "# = �
d) #" = �
$
2. Los siguientes valores corresponden a variación proporcional directa, es decir %&'&
= %('(
Calcula el valor de la variable faltante en cada caso:
a) )� = 18, ,� = 8, , = 6, ) = ___
b) )� = 21, , = 6, ,� = 3, ) = ___
c) )� = 40, , = 2.5, ) = 16, ,� = ___
d) )� = 1.5, , = 10.95, ) = 7.3, ,� = ___
En una relación, la variable y es directamente proporcional a la variable x, la razón de y entre
x es constante, es decir, si:
3 = 4� con 5 ≠ 0 llamada constante de proporcionalidad.
También se puede escribir
4 = 3� � es la variable independiente
4 es la variable dependiente
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
36
La gráfica es un elemento esencial y es importante que conozcas los elementos esenciales.
El Plano cartesiano esta conformado por un par de ejes perpendiculares, el eje horizontal se
llama eje de las abscisas y el vertical eje de las ordenadas. Cada punto en el plano cartesiano
se puede identificar con un par de coordenadas, que como están ordenadas se les llama parejas
ordenadas, conformadas de la siguiente manera (789:;97, <=>?@7>7 ). En matemáticas es
(x, y) en otros contextos es (variable independiente, variable dependiente).
Por ejemplo
En el plano cartesiano se graficó el punto C(4, 6) y se señala que la primera coordenada
pertenece al eje de las abscisas y el 6, la segunda coordenada, coresponde al eje de las ordenadas.
Verifica que están bien las coordenadas del punto H.
Ahora escribe las coordenadas de los puntos B, D y E, señalando las lineas punteadas como en
los otros casos, estas se llaman “proyecciones a los ejes”.
A( , ); B( , ); C( , ).
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
37
Ejemplo 1
El perímetro de un pentágono regular, donde:
La variable independiente es el lado l del pentágono medido en centímetros.
La variable dependiente es el perímetro P del pentágono (cm.).
La constante de proporcionalidad es 5.
Tiene como modelo es D = �E
Ejemplo 2
Un movimiento rectilíneo uniforme, puede estar descrito por la expresión:
F = � G, con velocidad de
� H%
I J
Identifica como en el ejemplo 1: las variables, sus unidades y la constante de proporcionalidad.
Del modelo matemático se puede obtener la tabla y la gráfica de la situación descrita, es
importante cómo se acomodan las variables en cada caso.
Tabla
Variable
independiente
Tiempo t (seg)
Variable
dependiente
Distancia d (m)
FG
1 1.5
2 3
4 6
5 7.5
6 9
Verifica que el cociente de la variable dependiente entre la variable independiente es constante,
KL =
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
38
La traducción del punto (4, 6), nos dice que el objeto en 4 segundos recorrió 6 m, ¿qué
representa el punto (8, 12)? ___________________________________________________
Ejercicio 2
1. Escribe con tus propias palabras el concepto de:
a) Función
b) Variable independiente
c) Variable dependiente
2. De las siguientes situaciones, investiga el modelo matemático que lo describe, escribe sus
variables con las unidades en que se miden e identifica si es variación directamente
proporcional.
a) El perímetro de un cuadrado.
b) El área de una circunferencia.
c) El volumen de una esfera.
d) La fuerza necesaria para estirar � unidades un resorte respecto a su longitud
natural (ley de Hooke).
e) Presión P ejercida por un líquido con respecto a la profundidad �(unidades de
longitud).
3. Determinar cuál es la variable dependiente e independiente y la función que describe a los
datos de la siguiente tabla.
t(seg) d(m) >M 1 3
2 6
3 9
4 12
4. Determinar la variable dependiente e independiente y la relación del perímetro (P) de un
hexágono regular con la longitud de un lado (N).
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
39
5. De las tablas de valores que aparecen abajo marca con X las que representen una relación
directamente proporcional entre las variables.
T D
0 0
1 1
2 4
3 6
4 16
( )
R P
10 2.5
20 5
30 7.5
40 10
50 12.5
( )
x y
4 2
5 2.5
7 3.5
12 6
24 12
( )
z S
1 0.8
2 0.4
3 0.2
4 0.1
( )
b A
2 3
4 6
8 12
10 15
14 21
( )
a) De las que son directamente proporcionales escribe la expresión matemática y con ella
verifica que se cumplan los valores de la tabla.
b) Elabora cada una de las gráficas y describe las características que tiene la gráfica de una
variación directamente proporcional.
6. Completa las tablas de tal manera que la relación entre las variables sea de proporcionalidad
directa. Debajo de cada una escribe la expresión que describe la relación.
U V
1
2
3
4
5
7
__
__
__
__
g F
1.7
3
4.5
___
11.8
____
1.7
___
___
9
____
21
m E
.3
.5
.9
1
1.1
__
__
__
__
11
v S
1 0.8
2 1.6
2.4
8
w P
2
1
4
1
1 ___
5
2
5
1
2
5
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
40
Problemas de variación proporcional directa
Ejemplo 1
La longitud de una sombra a determinada hora del día es de 60 centímetro y la altura del objeto
es de 1.80 metros. ¿Qué altura tendrá un objeto cuya sombra es de 3.20 metros a la misma hora
del día?
Solución:
Sea L la longitud de la sombra medido en metros y h la altura del objeto (m), entonces:
ℎ P = 5
Para encontrar el valor de k, sustituimos los datos iniciales
L = 0.60m
h = 1.80m
Entonces:
�.!QQ.$Q = 5 = 3 → ℎ = 3P
Para encontrar la altura
ℎ = 3(3.20) = 9.60
Para una sombra de 3.60 metros la altura del objeto es de 9.60 metros.
Comprobación
ℎ P = 1.80
0.60 = 9.603.20 = 3
Es decir, están en la misma proporción.
Ejercicio 3. Problemas
1. La presión “P” en un líquido varía directamente proporcional con la profundidad “d” por
debajo de la superficie del líquido. Si “P” es igual a 40 cuando “d” es igual 10, calcula el valor
de la constante de proporcionalidad y el valor de “P” cuando d = 15.
2. Pedro compró 25 paquetes de azúcar de 2kg que cuestan $8.40 cada uno. Juan compró un
costal de 50kg a $190. ¿Quién pagó menos y de cuánto es el ahorro si se compran los 50kg?
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
41
Funciones lineales
Una función lineal se puede escribir como � = � + � o de la forma �(�) = � + �, que se
lee � en función de � o simplemente, � de � y representa la variable dependiente y para cada
valor de �, �(�) = �.
Formas de representación de una función lineal: tablas, gráficas y modelo algebraico
En el apartado anterior has encontrado que, a partir de una tabla de valores de parejas ordenadas,
se puede encontrar la gráfica y el modelo matemático de una variación directamente
proporcional, que es un caso particular de las funciones lineales. Pues bien, si conoces alguno
de los tres registros, podrás obtener los otros, si identificas las características de los parámetros
y � de la función lineal.
Ejemplo
Dada la gráfica obtener la tabla y la función lineal.
Si la gráfica está bien diseñada y contiene la información necesaria se puede elaborar la tabla
sin ningún problema. A continuación, ponemos algunos valores y a ti te toca completarla.
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
42
Punto t(seg) d(m)
A 0 4
B 2 7
C 4
D 13
E
En este ejemplo F(G) representa la función distancia que depende del tiempo. Para obtener el
modelo tenemos que conocer los valores de y de � pues como es una recta tiene la forma de:
>(M) = 7M + 8
Del punto R(0, 4) cuya primera coordenada es cero podemos obtener el valor de �, sustituyendo
en la expresión anterior.
4 = (0) + �
4 = �
Como la gráfica distancia contra tiempo es una recta, nos dice que es un movimiento rectilíneo
uniforme, es decir, tiene velocidad constante (recorre distancias iguales en tiempos iguales).
Para obtener "” o mejor dicho la velocidad, se calcula con la fórmula de velocidad media.
Por ejemplo, la velocidad media de cero a 2 segundos se obtiene:
T = 7 − 42 − 0 = 3
2
Verifica que la velocidad es la misma, para los intervalos de:
a) 2 a 4 segundos.
b) 2 a 6 segundos.
Para calcular la velocidad media de un tiempo inicial (GV)a tiempo final
(GW)se obtiene:
[ ]if
if
fimtt
ddttv
−
−=, Donde el numerador nos da la distancia
recorrida y el denominador el tiempo empleado en recorrerla.
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
43
El valor del coeficiente de la variable independiente es la velocidad; es decir, la función de
distancias es:
F = 32 G + 4
Ejercicio 4
1. Obtén la tabla y la gráfica de la siguiente función lineal:
( ) 3 2f x x= +
2. Determina la gráfica y el modelo algebraico que representa la siguiente tabla:
x y
0 12
1 9
2 6
3 3
4 0
3. Grafica en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones lineales, donde en cada
función se cambia la rapidez de variación, que es el coeficiente de �. Además compáralas
y establece sus características
a) �(�) = � � + 1
b) X(�) = 2� + 1
c) ℎ(�) = 3� + 1
d) Y(�) = 5� + 1
4. En otro plano cartesiano, grafica todas las siguientes funciones, (la "" cambia por valores
negativos) y compáralas entre sí y con las anteriores.
a) �(�) = − � � + 1
b) X(�) = − 2� + 1
c) ℎ(�) = − 3� + 1
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
44
5. Ahora cambiamos el termino independiente “b” llamado ordenada al origen, grafícalas
en un plano cartesiano, establece sus coincidencias y sus diferencias.
a) �(�) = 4� − 2 b) X(�) = −
# � + 5 c) ℎ(�) = 10�
Cálculo de la rapidez de cambio o pendiente.
En una función lineal de la forma � = �(�) = )� + �, existen dos parámetros importantes que
permiten establecer el comportamiento de la recta que describen. La ordenada al origen "8"
identifica el punto de intersección con el eje de las ordenadas. La pendiente “^” indica la
inclinación de la recta, la variación de las abscisas respecto de las ordenadas; por ello también
se reconoce como rapidez de variación y se calcula de la siguiente manera:
) = � − ��� − ��
donde los elementos empleados son las coordenadas de cualesquiera dos puntos (��, ��) y
(� , � ).
Ejemplo
Sea �(�) = 2� + 1 y la tabla siguiente que representa este modelo:
Punto x y
A -2 3
B 0 6
C 1 152
D 2 9
E 4 12
Si reconoces en la tabla el punto que representa la ordenada al origen obtendrás la función:
� = 32 � + 6
Calculemos la pendiente determinada por los puntos:
1. A y B es ) = $`�Q`(` ) = �
2. C y B es ) = $ ` &a(
Q`� = �
Practica calculando la pendiente para:
1. A y D
2. D y E
3. E y C
Si haces bien las operaciones todas te quedaran ) = �
rapidez de variación o pendiente de la recta
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
45
Ejercicio 5
1) ¿Cómo se calcula la rapidez de variación o pendiente de una recta?
2) Con los datos de cada una de las siguientes tablas, obtén:
a) La gráfica
b) La pendiente o rapidez de variación
c) La ordenada al origen
d) Función que determina la recta
Tabla i
� 4
0 2
1 6
2 10
3 14
4 18
Tabla ii
� b(�)
1 15
2 12
4 6
6 0
7 -3
Tabla iii
� 4
-4 -10
-2 -5
2 5
4 10
6 15
Tabla iv
� c(�)
-8 -3
-4 0
0 3
4 6
8 9
3) Al medir la estatura de un niño a partir de su nacimiento se obtuvieron los siguientes datos:
Nota: Grafica para que identifiques la variación lineal.
a) La estatura es la variable:
i) dependiente ii) independiente iii) proporcional
b) La edad es la variable:
i) dependiente ii) independiente iii) proporcional
c) Calcula la rapidez de variación entre la estatura y la edad. Obtén la
función correspondiente:
Edad
�(meses)
Estatura
d(cm)
0 27
1 34
2 41
3 48
4 55
5 62
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
46
Ejercicio 6 Problemas
1. Una cisterna recibe cierto volumen T de agua por minuto G como se muestra en la siguiente
tabla; si la cisterna tiene una capacidad de 450N, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? Obtén
la gráfica, la expresión matemática y contesta la pregunta.
2. Un tinaco contiene 2500 litros de agua, si por medio de una llave se desalojan 20 litros cada
minuto, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse? Obtén el modelo matemático y contesta la
pregunta.
3. Miguel llenó su tráiler con 400N de gasolina y se prepara para entregar un cargamento a
Torreón. El tráiler consume 0.9 litros por cada kilómetro; si tiene que recorrer 350km,
entonces:
a) Realiza la tabla de lo que queda en el tanque en función de los kilómetros
recorridos.
b) Haz la gráfica, que permita ver el consumo de gasolina y los kilómetros
recorridos, hasta su destino.
c) Obtén el modelo matemático.
d) Obtén cuántos litros ha gastado en 50, 100, 200, 230 y 350km.
e) ¿Cuánta gasolina necesita para regresar al punto de partida?
tiempo
M(^;@. )
Volumen
e(E)
1 12.5
3 37.5
4 50
5 62.5
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
47
Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes
Examen de opción múltiple
Instrucciones:
� Lee cuidadosamente cada pregunta.
� Escribe el número y la justificación de tu respuesta en una hoja aparte.
� El inciso anótalo en la plantilla.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1. Determina en qué caso y varía directamente proporcional con respecto a x :
A) � = 4� B) � = � C) � = $
" D) �� = 10 E) � = 3� + 6
2. Obtén el valor de z de la siguiente ecuación, �Qf = !
�
A) ��# B)
#�� C)
!Q� D)
�!Q E) 30
3. La fuerza ejercida por un resorte, varia directamente proporcional con la distancia que se alarga. Si la fuerza ejercida por el resorte es de 48 libras cuando la distancia es de 8 pies. ¿Cuál es el valor de la fuerza cuando la distancia es de 10 pies?
A) 180=F B) 90=F C) 80=F D) 60=F E) 80=F
4. Dada la gráfica, indica cuál es su ecuación:
A) 43
2−= xy B) 4
2
3−−= xy C) 4
2
3−= xy D) 4
3
2−−= xy E) y = – 6x – 4
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
48
5. Identifica de las siguientes tablas cuál es directamente proporcional y escribe la constante
de proporcionalidad
A) B) C) D) E)
x y x y x y x y x y
2 16 2 1 2 5 4 6 2 7
6 8 4 4 4 10 8 3 4 11
8 4 6 9 8 20 12 2 1 5
1 18 8 16 1 5
2 6 4 6 15
6. De la siguiente gráfica, identifica los elementos en este orden : variable independiente
(unidades), variable dependiente (unidades) y la constante de proporcionalidad (unidades)
A) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � H $
hiJ
B) Pago por las latas ($), cantidad de latas(Kg) y 5 = � H $
hiJ
C) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � Hhi
$ J
D) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � Hhi
$ J
E) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � Hhi
$ J
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
49
7. Un tinaco contiene 2500 litros de agua, si por medio de una llave se desalojan 20 litros cada
minuto. La expresión algebraica que representa esta situación es:
A) � = 2500� − 20 B) � = 2500 + 20� C) � = −20� − 2500
D) � = 20� − 2500 E) � = 2500 − 20�
8. La recta con ecuación 4 2y x= − + , corta al eje y en:
A) 4− B) 2 C) 4 D) 2
1− E)
2
1
9. Identifica cuál es la rapidez de variación (m) y el comportamiento de la función
�(�) = – 4� + 5:
A) 5 y es creciente B) 5 y es decreciente C) − 4 y es creciente
D) 5 y es variación directamente proporcional E) − 4 y es decreciente
10. De las siguientes funciones ¿cuál crece más rápido? Decir por qué.
A) �(�) = 2� + 6 B) X(�) = 3� + 4 C) ℎ(�) = k � + 3
D) X(�) = −6� + 2 E) ℎ(�) = �Q# � + 30
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
50
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1.
a) � = 20; b) � = 7; c) � = 50; d) � = #�
2.
a) ) = k ; b) ) = 42; c) ,� = �
# ; d) ,� = 2.25
Ejercicio 2
1. Revisar conceptos claves.
2. (a) la variable dependiente (como en todos los incisos, es la que se menciona primero) es
el perímetro (l), las unidades pueden ser centímetros y la variable independiente es la
medida del lado del cuadrado (N) dado en centímetros. El modelo matemático es l = 4N 3. La tabla describe un desplazamiento de algún objeto, donde la distancia depende del tiempo
que ha transcurrido. Su modelo es F = 3G , lo que nos dice es que se desplaza a una
velocidad de 3)/n.
4. El perímetro es la variable que depende de la medida del lado (N), La relación funcional es:
l = 6N a) La segunda con la función l = 0.25o.
La quinta con R = � �
b) Son rectas que pasan por el origen
5.
U V
1
2
3
4
5
7
14
21
28
35
g F
1.7
3
4.5
9
11.8
21
1.7
3
4.5
9
11.8
21
m E
0.3
0.5
0.9
1
1.1
3
5
9
1
11
v S
1 0.8
2 1.6
3 2.4
8 6.4
w P
2
1
4
1
1 12
5
2
5
1
2
5
54
T = 7p q = X C = 10) r = 0.8T l = � s 1
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
51
Ejercicio 3
1. La constante de proporcionalidad es 5 = tK = #Q
�Q = 4, es decir l = 4 F, por lo tanto la
presión es de 60, cuando se está a una profundidad de 15m.
2. Pedro compra a $4.20 el kg. y paga $210. En cambio a Juan le cuesta a $3.20 paga sólo
$190, por lo tanto, Juan paga menos y ahorra $20.
Ejercicio 4
1.
�(�) = 3� + 2
x b(�)
-2 -4
-1 -1
0 2
1 5
2 8
2. Como la recta pasa por el punto (0, 12) entonces la ordenada al origen es 12, (� = 12) y
para calcular la pendiente se procede así: ) = $`u `� = −3, por lo tanto
�(�) = −3� + 12
Y su gráfica es:
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
52
3.
4.
Todas son decrecientes.
Entre más grande el valor
absoluto de la pendiente, esta
será más pronunciada.
Comparadas con las
anteriores, éstas son
decrecientes. Todas pasan
por (0, 1). La inclinación
depende del valor absoluto
de la rapidez de cambio.
5. De la función �(�) = )� + �, podemos decir que todas pasan por el punto (0, �), no
importa si es positivo o negativo, por ejemplo:
a) �(�) = 4� − 2 es creciente y pasa por (0, −2)
b) �(�) = − �# � + 5 decrece lento y pasa por (0, 5)
c) �(�) = 10� crece rápido y pasa por (0,0)
Entre más grande sea la
rapidez de variación o
pendiente, más pronunciada
será la inclinación. Todas las
rectas pasan por el punto
(0,1).
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
53
Ejercicio 5
1. Como el cociente de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas
2.
i) La pendiente se obtuvo con los
primeros dos puntos
) = $` �`Q = 4 es decir, la
rapidez de cambio dice que por
un desplazamiento horizontal
sube 4, la ordenada al origen es
� = 2 y la función es
� = 4� + 2
ii) Análogamente
) = −3 , � = 18 y
�(�) = −3� + 18
iii)
) = � , � = 0 y la función es
�(�) = � �
iv)
) = �# , � = 3 y la función es
�(�) = �# � + 3
3. a) La estatura es la variable dependiente.
b) La edad es la variable independiente.
c) La rapidez de variación es ) = 7 y la función es C(�) = 7� + 27
Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales
54
Ejercicio 6 Problemas
1.
v(G) = 12.5G
Tarda 36 minutos en
llenarse la cisterna
2. v(G) = −20G + 2500 y tarda 2 horas 5 minutos en vaciarse.
3. Sea:
d: la distancia recorrida (km)
C: la cantidad de gasolina que hay en el tanque (L)
G: cantidad de gasolina que ha gastado (L).
El modelo es w(>) = −�. x> + ���, con él se puede obtener la tabla y la gráfica, además
de cuánta gasolina le queda después de llegar a Torreón (85P).
Para obtener cuánta gasolina ha gastado el modelo es y(>) = �. x>, con ella se calculan
los valores del inciso (d).
Finalmente sabiendo cuánta gasolina le queda en el tanque y cuánta necesita para recorrer
350km, se obtiene que requiere 220L más.
Respuestas al examen de autoevaluación
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A D D C
5 = �
A E B E C*
* k es la velocidad de variación positiva mayor.
Recuerda justificar cada respuesta, en el examen extraordinario se te van a pedir los
desarrollos.
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
55
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Presentación
El propósito de esta unidad es modelar y resolver problemas que conduzcan a una ecuación de
primer grado con una incógnita, con la intención de retomar las herramientas adquiridas en las
dos primeras unidades: operaciones con números enteros y fraccionarios, propiedades de la
igualdad, lenguaje algebraico, diferencia entre ecuación y función.
Bibliografía de consulta
Ángel, A. R. (2007). Álgebra Elemental. México: Pearson Educación.
Carvajal, J. C. (2010). Álgebra. México, México: Mc Graw Hill.
Solís, L. A. (2012). Matemáticas I. Solución de problemas reales. México: Quinto Sol.
Vigil, E. C., & Hernández, R. S. (2014). Álgebra. Serie Bachiller. México: Grupo Editorial Patria.
Conceptos claves
� Ecuación: es una igualdad en la que tenemos una o varias cantidades desconocidas y que se verifica únicamente para determinados valores de las variables involucradas. (Vigil & Hernández, 2014).
� Solución de una ecuación: consiste en encontrar los valores que deben tomar las variables para que se cumpla la relación de igualdad establecida, siendo este conjunto de valores el conjunto solución de la ecuación, sus raíces. (Vigil & Hernández, 2014). A esos valores también se les llama raíces, ceros o conjunto solución de la ecuación.
� Ecuaciones lineales con una incógnita, como: � Un caso especial de una igualdad entre expresiones algebraicas. � Una condición que debe satisfacer un número buscado. � Un caso particular de función lineal. � Ecuaciones equivalentes: a dos o más ecuaciones se les llama equivalentes cuando
tienen el mismo conjunto solución (Vigil & Hernández, 2014). � Incógnita: letra que se emplea en una expresión matemática para denotar una cantidad
desconocida cuyo valor se trata de obtener. Algunas letras que suelen fungir como incógnitas son las primeras del alfabeto latino (a, b, c) y las ultimas de este (w, x, y, z).
� Leguaje algebraico: en el álgebra se usan letras o variables para representar diferentes números, y cuando una letra representa sólo un número se llama constante. Si una
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
56
expresión consta solo de números se denomina expresión numérica. Sin embargo, cuando una expresión consta de variables, números y signos de operación se llama expresión algebraica. Al conjunto de estas expresiones se le conoce como lenguaje
algebraico.
� Jerarquía de operaciones (reglas de prioridad): revisa la primera unidad de esta Guía o revisa la bibliografía siguiente (Solís, 2012).
Resolución de la ecuación con una sola variable
1. Simplifica cada miembro de la ecuación.
2. Realiza las operaciones indicadas.
3. Reduce los términos semejantes de cada miembro.
4. Por transposición, coloca todos los términos que contengan a la incógnita en un solo miembro.
5. Reduce los términos semejantes.
6. Por inversión, cambia el coeficiente de la incógnita para encontrar el valor de la misma.
7. Comprueba la raíz obtenida.
(Vigil & Hernández, 2014)
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
57
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico práctico
Tipos de ecuaciones lineales
• Ecuaciones lineales inmediatas o sencillas como, por ejemplo: 10� = 30; 32 � = 6; 5� − 3 = 2
• Ecuaciones con símbolos de agrupación como, por ejemplo:
2�2� = 16; 3�� − 2 = 12; 5�2� + 3 = 4�� − 2 • Ecuaciones lineales fraccionarias como, por ejemplo:
�4 + �
3 − �2 = 7
2 ; 2�5 − 3�
2 = 73 �1
2 − �5�
• Ecuaciones literales y fórmulas como, por ejemplo:
� = �� ; � = 180�� − 2 ; � = �
� �� − 32
La forma más simple de la ecuación lineal es 2
3, 5,5
x m y= = − =
Propiedades de las operaciones con números reales1
Propiedad de la adición. Las letras a, b, c, x, y representan números reales.
Conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. En símbolos: � + � = � + � Ejemplos:
a) −2 + √5 = √5 + �−2 b) 5 + �3� − 2 = �3� − 2 +5
Asociativa. Las sumas de tres o más sumandos no dependen de la forma en que se agrupen, e. d.: � + �� + ! = �� + � + ! Ejemplos: a) −2 + �2 + 25 = �−2 + 2 + 25
b) 2� + "� + #$% = �2� + � + #
$
Elemento neutro. Cero sumado con cualquier número es igual al mismo número. En símbolos: & + � = � + &
Ejemplos: a) −2 + 0 = −2 b) 0 + 8� = 8�
Elemento opuesto o inverso aditivo. La suma de cualquier número y su opuesto es igual a cero e. d.: � + �−� = −� + � =0 Ejemplos:
a) −2 + 2 = 0 b √5 + (−√5) = 0
1 El tema de propiedades de los reales no está incluido en el programa de estudio, pero los autores
consideramos muy importante que sea tomado explícitamente.
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
58
Propiedades de la multiplicación. Las letras, *, ,, -, �, , representan números reales. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto. En símbolos: �� = ��
Ejemplos: a) √5 �−2 = −2 √5 b) ��3 = 3�
Asociativa. El producto de tres o más factores no depende de la forma en que se agrupen. En símbolos: ���! = ��� !
a) −2×�5×24 = �−2×5 ×24 b) 5�3� = �3×5 �
Elemento neutro. Uno multiplicado por cualquier número es igual al mismo número. En símbolos: /×� = �×/ = � Ejemplos:
a) (−2 + √5)×1 = −2 + √5 b) 1�−2 = −2
Elemento inverso. El producto de cualquier número distinto de cero y su inverso es igual a uno.
En símbolos: � "/�% = "/
�% � = /
Ejemplos:
a) "0�% ×5 = 1
b) 2� " 0#1% = 1
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos del número por cada uno de los sumandos. En símbolo: �. �� + ! = �� + �! Ejemplos:
a) −3(−4 + √6) = −3×�−4 + �−3 ×√6 ó también al revés. b) −3� + 5� = �−3 + 5 �
(Solís, 2012)
Ejemplo 1. Para simplificar la ecuación 3� + 2 = 5 , es necesario hacer uso de la propiedad de la igualdad: sumamos en ambos miembros de la igualdad −2, que es el inverso aditivo de 2, generando el elemento neutro de la adición.
3� + 2 = 5
3� + 2 − 2 = 5 − 2
3� + 0 = 3
3� = 3
Multiplicamos en ambos miembros de la igualdad por 0$, que es el inverso multiplicativo de 3,
lo que permitirá generar el elemento neutro de la multiplicación.
13 �3� = 1
3 �3
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
59
33 � = 3
3 1� = 1
� = 1
La raíz de la ecuación es 1
Sustitución y comprobación de la raíz
3�1 + 2 = 5
5 = 5
Ejemplo 2. Para simplificar la ecuación 1$ + 2� + 1 = 3 y poder determinar el valor de la
incógnita � .
Nota: Existen más de una forma (o ruta) que resuelve la ecuación.
Ruta A
Multiplicamos por 3 ambos miembros de la igualdad
3 "�3 + 2� + 1% = 3�3
Posteriormente la intervención de la propiedad distributiva. Debido a que el 3 deberá multiplicar a lo que está dentro del símbolo de agrupación, quedando de la siguiente manera:
� + 6� + 3 = 9
La aplicación de la propiedad asociativa, en la suma de � + 6�, dando como resultado:
7� + 3 = 9
Sumando – 3 en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo que generará la propiedad del elemento neutro de la adición).
7� + 3 − 3 = 9 − 3
7� = 6
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
60
Multiplicando ambos lados de la igualdad por 0 4 (propiedad del inverso de la multiplicación
que generará la propiedad del elemento neutro de la multiplicación).
17 . 7� = 1
7 . 6
7�7 = 6
7
� = 67
La solución, raíz o cero de la ecuación es 54
Sustitución y comprobación de la raíz
"67%3 + 2 �6
7� + 1 = 3
621 + 12
7 + 77 = 3
Obteniéndose la igualdad
3 = 3
Ruta B 67 + 86 + / = 7, puede considerar, realizar la suma entre los términos que contienen
“x”.
1$ + 2� = 4
$ �, entonces, sería:
4$ � + 1 = 3
Sumando – 1 en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo que generará la propiedad del elemento neutro de la suma).
73 � + 1 − 1 = 3 − 1
73 � + 0 = 2
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
61
Multiplicando ambos lados de la igualdad por $ 4 (propiedad del inverso de la multiplicación que
generará la propiedad del elemento neutro de la multiplicación).
37 �7
3 �� = 37 �2
2121 � = 6
7
� = 67
Ambas Rutas, darán el mismo resultado.
Ejemplo 3. Para simplificar la ecuación 2�� + 1 = 3�� − 3 y poder determinar el valor de
la incógnita, será necesario eliminar los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva
2� + 2 = 3� − 9
Sumando – 2 en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo), obteniendo:
2� + 2 + �−2 = 3� − 9 + �−2
2� + 2 − 2 = 3� − 9 − 2
2� + 0 = 3� − 11
2� = 3� − 11
Sumando – 3x en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo), que generará
como resultado:
2� + �−3� = 3� − 11 + �−3�
2� − 3� = 3� − 11 − 3�
2� − 3� = 0 − 11
−� = −11
Multiplicando en ambos miembros por el recíproco de – 1
−�−1 = −11
−1
� = 11
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
62
La solución, raíz o cero de la ecuación es 11.
Sustitución y comprobación de la raíz
2��11 + 1 = 3��11 − 3
2�12 = 3�8
24 = 24
Para simplificar la siguiente ecuación y encontrar a �, deberás intentar contestar la propiedad de
los números reales que intervine en el despeje, también, observar una de las rutas.
� − �2� + 1 = 8 − 2�3� + 2
Ejercicio 1
Observar con atención el desarrollo algebraico en cada uno de los renglones y con ayuda de las
propiedades de los reales, deberás indicar aquella que interviene en cada renglón.
� − �2� + 1 = 8 − 2�3� + 2
� − 2� − 1 = 8 − 6� − 4 Propiedad distributiva
−� − 1 = 4 − 6� _________________________
−� − 1 + 6� = 4 − 6� + 6� _________________________
−� − 1 + 6� = 4 + 0 _________________________
−1 + 5� = 4 _________________________
−1 + 5� + 1 = 4 + 1 _________________________
5� + 0 = 4 + 1 _________________________
5� = 5 _________________________
0� �5� = 0
� �5 _________________________
6 = / Solución
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
63
Ejemplo 5: Encuentra la solución de la incógnita en la siguiente ecuación.
2�* + , - = 1
3 − 9
Despeja a la variable �
1. Identifica la incógnita en la ecuación que deberás despejar.
2. Observa las operaciones que involucran a la incógnita que deberás despejar.
3. Determina, la o las propiedades que están presentes en la ecuación y que te permitan
aislar a la incógnita o variable que deseas encontrar.
Una vez realizado el esquema mental de observación y análisis, es conveniente ponerlo en
práctica. Recordar, que existen más de una ruta para llegar a la solución.
2�* + , - = 1
3 − 9
Aplicar el inverso multiplicativo de c en ambos lados de la igualdad.
- :2�* + , - ; = - �1
3 − 9�
2�* + , = - �13 − 9�
Al aplicar el inverso multiplicativo de 2 y la propiedad distributiva que la letra c ejerce en el
binomio.
12 (2�* + , ) = 1
2 �13 - − -9�
Este proceso generó el elemento neutro de la multiplicación y al volver a aplicar la propiedad
distributiva en la otra parte de la igualdad.
* + , = 12 �1
3 - − -9�
* + , = 16 - − 1
2 -9
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
64
Al aplicar la propiedad del inverso de la adición de *
* − * + , = 16 - − 1
2 -9 − *
, = 16 - − 1
2 -9 − *
La expresión o fórmula, es una nueva ecuación, para la cual , tendrá un valor, siempre y cuando
el resto de las variables sean constantes.
Ejercicio 2
En los siguientes ejercicios, resuelve, comprueba y encuentra, la solución o raíz en cada una
de las ecuaciones o fórmulas.
1) 1$ = #
$
A) 2=x B) 2−=x C) 3=x D) 3x = − E) x = 0
2) 2� + 3 = −7
A) 2−=x B) 2=x C) 5=x D) 5x = − E) x = 7
3) 1# + $1
# = 7
A) 1=x B)2
7=x C) 7=x D) 11x = E) x= -1
4) 15 + $
# = $1# − �
A)9
2−=x B) 9−=x C)
2
9=x D) 0x = E) x = 9
5) 1# − 2� + 3 = 6 − �
A) 0=x B) 6−=x C)2
3−=x D) 2x = E) x = 6
6) 3�� + 5 = 6�� − 2
A) 1−=x B) 9=x C) 8−=x D) 7
3x = E) x = 1
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
65
7) $< �2� + 1 = #
$ �� + 1
A) 3
10x = − B)
1
5x = C)
1
10x = − D) 0x = E) x = 0.2
8) 0# �4� − 2 = $
# "� − #$%
A) 0=x B) 2=x C) 2−=x D) 1x = E) x =-1
9) 9 + 5�2� − 1 + 7� = � + 2�� − 5
A) 1=x B) 1−=x C) 2=x D) 2−=x E)2
1=x
10) 3� − �2� − 1 = 7� − �3 − 5� + �−� + 24
A) 1=x B) 3=x C) 2=x D) 3−=x E) 2−=x
11) $1� − #1
$ + 0� = 0
A) 3=x B) 3−=x C) 1=x D) 2−=x E) 3
1=x
12) � − 1=#0# = �
# �
A) 2−=x B) 19
2−=x C)
2
19=x D)
19
2=x E) 19−=x
13) >? = @AB CT despeja PM
A) PM = MNOPQ B) PM = NP
OMQ C) PM = PQOMN D) PM = MN
OPQ E) PM = OMNPQ
14) ⃘� = �� �S − 273 + 32 despejar a k
A) S = �� � ⃘� − 32 + 273 B) S = �
� � ⃘� + 32 + 273 C) S = �� � ⃘� − 32 − 273
D) S = �� � ⃘� − 32 + 273 E) S = �
� � ⃘� − 32 + 273
15) 9 = 0# (?T + ?U) V despejar a ?T
A) #�� − ?U = ?T B)
#�� − ?U = ?T C)
�#� − ?U = ?T D) 2 "�
� + ?U% = ?T
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
66
E) 0# "�
� − ?U% = ?T
16) 9 = ?UV + 0# *V# despejar a la letra �
A) "�WXY �#�Z % = * B) "#�W#XY �
�Z % = * C) 2 "�WXY ��Z % = * D)
0# "�=XY �
�Z % = * E) 0# " �Z
�WXY�% = *
17) [�\W]
^ − _` = a despejar a C
A) � = b − ["c=de%
^ B) � = b − ^"cWde%
[ C) � = b − ^"c=ed%
[ D) � = f − ^"cWde%
\
E) � = −b + ^[ "a + _
`%
Resolución de problemas que dan lugar a Ecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución por diferentes métodos
Las ecuaciones como modelos matemáticos
A menudo es posible construir con ecuaciones un modelo que permita describir y resolver problemas enunciados en lenguaje verbal.
Para resolver problemas planteados en el lenguaje verbal, problemas de cualquier tipo, es necesario seguir una serie de pasos que le permitan plantear el modelo, para posteriormente resolverlo.
Pasos para plantear y resolver problemas:
1. Entender en qué consiste el ejercicio (una buena ayuda se hacer con dibujos o diagramas que representen la situación descrita por el enunciado del planteamiento).
2. Deberás elegir las letras (lenguaje algebraico) que se utilizan para representar las incógnitas del problema. Así mismo, identificar las unidades en las que se operan los valores.
3. Expresar, mediante una ecuación o modelo, la relación que existe entre los datos del problema.
4. Es necesario diseñar un plan y aplicar una estrategia para resolverlo.
5. Encontrar la respuesta y comprobarla.
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
67
Expresiones usuales en esta parte:
Datos: la información que se conoce en un problema sobre sus condiciones y valores numéricos.
Proposición: expresión de la que tenga sentido afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas.
Para resolver un problema que dan lugar a ecuaciones lineales hay que construir el modelo y resolverlo.
Ejemplo
1) Con $4801 una familia compró cama, estufa y librero. La cama costo $200 más que el librero y $600 menos que la estufa. ¿Cuánto pagaron por cada cosa?
Lee con detenimiento el problema hasta que hayas logrado comprenderlo. Posteriormente, contesta lo que se te pide.
¿Qué cosas compró la familia? ___________________________________________
¿Cuántos pesos más que el librero costó la cama? ____________________________
¿Cuántos pesos menos que la estufa costó la cama? __________________________
¿Qué se pregunta? ____________________________________________________
Antes de continuar, verifica tus respuestas, leyendo el enunciado del problema.
ghi-jk 9i l�* -*m*�$ + ioVlp* �$ + qj,hihk�$ = $4801
>hi-jk 9i q* -*m* = � �j�-kr�jV*
La cama costó 200 pesos más que el librero, es decir, el librero costó 200 menos que la
cama: >hi-jk 9iq qj,hihk = � − 200
La cama costó 600 pesos menos que la estufa, es decir, la estufa costó 600 pesos más
que la cama: >hi-jk 9i q* ioVlp* = � + 600
Todo costó 4801 pesos, entonces la ecuación es:
� + �� − 200 + �� + 600 = 4801
El precio de la cama es:
� + � − 200 + � + 600 = 4801
3� + 400 = 4801
3� = 4801 − 400
6 = /stu Esto es lo que se pagó por la cama.
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
68
Sustitución y comprobación de la raíz o solución.
El precio del librero fue: 1467 – 200 = 1267 El de la estufa: 1467 + 600 = 2067
1467 + 1267 + 2067 = sv&/
Obteniendo la igualdad:
4801 = 4801
2) Un distribuidor reparte leche en tres centros comerciales. La tercera parte de la entrega en Bodega, en Superama deja 5/7 de lo que le queda y en la Tienda UNAM entrega 1800 litros. ¿Cuántos litros entrega a cada tienda?
Sin ver el enunciado del problema, contesta:
¿Cuántos centros comerciales atiende el distribuidor? _________________________
¿Cuántos litros del total entregó en “Bodega”? ______________________________
¿Cuántos deja en “Superama”? ____________________________________________
¿Y en la Tienda UNAM? _______________________________________________
¿Qué se quiere saber? __________________________________________________
Comprueba tus respuestas consultando el enunciado del problema.
Si � representa la cantidad total de litros que entrega el distribuidor, se tiene:
� = 13 � + 5
7 �� − 13 �� + 1800
� = 13 � + 5
7 �23 �� + 1800
� − 13 � − 10
21 � = 1800
1263 � = 1800
6 = wsx& y 9i qi-ℎi
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
69
Ejercicio 3
Elige la respuesta correcta de cada uno de los siguientes problemas:
Sugerencia: Toma en cuenta el desarrollo de los ejemplos.
1) El largo de un terreno rectangular mide 5 metros más que su ancho. Si el perímetro es
de 50 m. ¿El largo y ancho son respectivamente?
A) 18 y 13 m B) 15 y 10 m C) 20 y 15 m D) 45 y 50 m E) 15 y 5 m
2) Dos escaleras están recargadas en forma paralela sobre un muro, como se muestra en la
figura. ¿Cuál es la altura h del muro?
1.5 m
4.5 m
A) h= 4m B) h= 3m C) h= 4.5 m D) h= 5m E) h= 6m
3) Un hombre desea medir el ancho AB de un río utilizando un teodolito2
2 Teodolito: Instrumento topográfico de precisión para medir ángulos de distintos planos.
2m
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
70
Para hacerlo, camina sobre la orilla 10 m. en dirección perpendicular a AB y clava una estaca (punto C). De C camina perpendicularmente 5 m hasta D y después paralelamente al río hasta estar en línea recta con AC (punto E). La distancia DE resulta ser de 3.7 m. ¿Cuánto mide el ancho AB del río?
A) fb{{{{ = 0||4 m B) fb{{{{ = 4|
0| m C) fb{{{{ = 0|� m D) fb{{{{ = $�
� m E) fb{{{{ = 15 m
4) De Tijuana a Cabo San Lucas, en Baja California, hay una distancia de 1692 km. Si en un
mapa la distancia entre las dos ciudades es de 8.46 cm. ¿A qué escala de dibujó el mapa?
A)1 * 14263.56 Sm B) 1 * 142.6 Sm C) 1 * 200 Sm D) 1 * 14.2 Sm
E) 1 * 193.9 Sm
5) Un arquitecto debe incluir una terraza cuadrada de 16 m 2 de superficie en el plano de una
residencia. Si la escala de su diseño es de 1 a 100 cm. ¿Cuánto debe medir el área AT de la
terraza en el plano? Ayuda: convierte las unidades lineales a unidades de
superficie.
A)f} = 1�10W#m# B) f} = 1.2�10W$m# C) f} = 1.4�10W<m#
D) f} = 1.6�10W$m# E) f} = 1.5�10W�m#
6) A un muro de 31 metros de longitud se le desea dar dos tipos de acabado (liso y rústico), de tal forma que la parte en rústico sea dos metros menos que el doble del acabado liso. Para determinar la longitud del tipo de acabado ¿Cuál es la ecuación que resuelve este planteamiento? Considera a x como el acabado liso.
A) � + �2 − 2� = 31 B) � + �2� − 2 = 31 C) � − �2 − 2� + 31 = 0
D) � + 2 + 2� = 31 E) �2 − 2� − � = 31
7) El corazón de una persona adulta, en condiciones normales, bombea 5 L de sangre por cada minuto. En una prueba de laboratorio ¿cuál será el volumen de sangre que podrán extraer de una persona en 40 segundos? Plantea la ecuación.
A) � ~
0 @U� = <| �1 B)
� ~5| � = <| �
1 C) � ~
0 @U� = <| �1 D)
� ~0� = 1
<| � E) � ~
5| � = 1<|�
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
71
8) La profesora de la clase de química está realizando algunos cálculos estequiométricos y el resultado que obtiene está en onzas (37.5 oz), sin embargo, deberá sumarle una cantidad en libras (3 lb) y por último hacer el reporte de lo obtenido en gramos. Construye una ecuación que le permita obtener el resultado en las unidades que desea (gramos).
Datos: 16 oz equivalen a una lb; 4 lb equivalen a 1814.37 g.
A) �37.5 k� " 0 ��05 ��% + 3 q, "0�0<.$4�
< �� %� = r B) �37.5 k� + 3 q,� �" 0 ��05 ��%� "0�0<.$4�
< �� % = r
C) �37.5 k� " 0 ��05 ��% + 3 q,� "0�0<.$4�
< �� % = r D) �3 q, "05 ��0 �� % + 37.5 k�� "0�0<.$4�
< �� % = r
E) �" 0 ��05 ��% + 37.5 k� + 3 q,� " < ��
0�0<.$4�% = r
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
72
Forma de autoevalución o verificación de los aprendizajes
Examen de opción múltiple
Instrucciones:
� Lee cuidadosamente cada pregunta.
� Escribe el número y la justificación de tu respuesta en una hoja aparte.
� El inciso anótalo en la plantilla.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Resuelve como se indica, cada uno de los incisos.
1) Define los siguientes conceptos: ecuación, lenguaje algebraico, ecuación equivalente,
solución de una ecuación.
Determina la solución (raíz o cero) de las siguientes ecuaciones.
2) x − �=## = #
� �3x − 5
3) −2�3x + 5 = 6�x + 2 + 2 4)
$�# − #�
$ + 0� = �
# x − #$
5) x = W�±√�ZW<��#� Despeja c, recuerda que el inverso de una raíz es la potencia al
cuadrado.
6) �� "�W�
�� % + 0� = k Despeja a f
7) Plantea y resuelve
La velocidad “c” de la luz en el vacío es de 300 000 000 m/s. ¿Cuántos Km. recorre
en un segundo?
A) 300 km B) 83333.33 km C) 3x105km D) 3x108 km E) 8.3x104km
8) En un mapa topográfico del Estado de Puebla, el Popocatépetl mide 10.9 cm. De alto. Si
la escala es de 1 a 50 000 cm. ¿Cuál es la altura h del Popocatépetl en metros?
A) ℎ = 4587.15 m B) ℎ = 5450 m C) ℎ = 5100m D) ℎ = 6200 m
E) ℎ = 5870.15 m
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
73
9) Un bote contiene 3 y medio galones de pintura. ¿Cuántos litros son? (1 gal. equivale a
3.786 L)
A) 13.24 L B) 0.9247 L C) 92.4 x10-2 L D) 3.3 L E) 1 L
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
Ejercicio 1
� − �2� + 1 = 8 − 2�3� + 2
� − 2� − 1 = 8 − 6� − 4 Propiedad distributiva
−� − 1 = 4 − 6� Propiedad asociativa
−� − 1 + 6� = 4 − 6� + 6� Principio de equidad
−� − 1 + 6� = 4 + 0 Inverso aditivo
−1 + 5� = 4 Neutro aditivo
−1 + 5� + 1 = 4 + 1 Principio de equidad
5� + 0 = 4 + 1 Inverso aditivo
5� = 5 Neutro aditivo
0� �5� = 0
� �5 Inverso multiplicativo
Ejercicio 2
1) A; 2) D; 3) B; 4) C; 5) B; 6) B; 7) C; 8) A;
9) B; 10) E; 11) A; 12) B; 13) E; 14) D; 15) A; 16) C; 17) E
Ejercicio 3
1) B; 2) E; 3) A; 4) C; 5) D; 6) B; 7) E; 8) C
Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
74
Respuestas al examen de autoevaluación
Pregunta 1. Revisar el material sugerido
Pregunta 2: a) � = 0|4 ;
Pregunta 3: b) � = −2;
Pregunta 4: c)� = 0$#�;
Pregunta 5: d) �#�1=� ZW�Z
W<� = - ;
Pregunta 6: e) �W���� "�W�
�% = p
7 8 9
C B A
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
75
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
Presentación En esta unidad seguirás modelando ahora con sistemas de ecuaciones de 2x2 y hasta 3x3 (3
ecuaciones con 3 incógnitas), usando los métodos como sustitución, igualación y gráfico. Es
importante, para que logres una cabal comprensión de cada método, que resuelvas los ejercicios.
Cada uno de ello que te servirá también de comprobación. El método gráfico te ayudará a
entender los procesos algebraicos que se hacen para revisar los sistemas de ecuaciones y explicar
el por qué se les llama simultáneas. Finalmente, el método de obtención de un sistema triangular
equivalente, uno de los más eficaces para la resolución de sistemas de 3x3.
Conceptos claves
� Ecuaciones equivalentes: Ecuaciones que tienen las mismas soluciones.
� Método de resolución: Procedimiento que permite encontrar las soluciones del sistema,
por ejemplo: de igualación, sustitución y de triangulación del sistema.
� Sistemas de ecuaciones lineales de 2x2: Conjunto de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
� Sistemas equivalentes: Sistemas de ecuaciones con las mismas soluciones.
� Solución o raíz: Es el valor o valores de las incógnitas que al sustituirlos hacen
verdadera la igualdad de cada ecuación del sistema.
� Sistema triangular: Es el sistema de ecuaciones que comenzando de abajo hacia arriba
contiene solamente la última literal, después la penúltima, luego la antepenúltima y así
sucesivamente. Por esta característica, es fácil resolverlo, aplicando una sustitución
regresiva. Ejemplo.
� 2� + 2� = 2 2� + � = 3 � = 7
Bibliografía de consulta
Barnett, A. (1992). Precálculo. Álgebra, Geometría Analítica y Trigonometría. México: Limusa,
Gobran, A. (1990), Álgebra Elemental. México, D. F.: Editorial Iberoaméricana.
Khanacademy, recuperado el 13 de mayo de 2017
https://es.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-non-equivalent-systems-of-equations
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
76
Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico prácticos
Soluciones de un problema con dos variables y una sola condición en una tabla
Ejemplo
Ana compró 4 cuadernos y 6 plumas, pagó $192, quiere saber cuánto costó cada cosa.
Para ello se plantean las incógnitas:
�_ precio de cada cuaderno ($)
� _ precio de cada pluma ($)
La ecuación que representa la situación de la compra es:
4� + 6� = 192
Ana obtuvo como posible solución que los cuadernos costaron $30 y las plumas $ 12, usando la misma ecuación, Luis le dijo que era $24 el cuaderno y $16 la pluma. ¿Quién tiene razón?
Haz la sustitución en la ecuación y verifica cuál es la solución.
Como te habrás dado cuenta las dos parejas de valores son solución, de hecho, hay muchas posibles soluciones; encuentra otras y completa la tabla siguiente.
Tabla 1. �� + �� = ���
Cuaderno
x($)
Pluma
y($)
30 12
24 16
18
9
4� + 6� = 192
Sustituciones:
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
77
Verifica que los valores, como puntos con coordenadas (x, y), estén en la gráfica que describe la ecuación.
Como te habrás dado cuenta, sin el ticket o más información que permita obtener otra ecuación, no es posible saber cuál es el precio exacto de cada producto, pues cada punto de la recta es solución de la ecuación.
Ejercicio 1
Elabora una tabla con por lo menos 3 soluciones de las siguientes ecuaciones y grafica cada una de las rectas:
1) � + � � 2 = 0
2) 3� + � = 5
3) �4� = � � 2
4) 3� + 2� = 0
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
78
Solución gráfica de un problema1
Ejemplo 1
Pablo y Karen tienen un dron cada uno y van a realizar una carrera de 100m. Pablo sabe que su dron es más rápido y decide darle una ventaja de 24m. Si las velocidades a la que se desplazan son de 8m/s y 6m/s. ¿Quién ganará?
Esta actividad la realizaremos juntos: comenzaremos dando ejemplos y tu completarás lo que haga falta. Elaboremos las tablas para cada dron.
1. Dron de Pablo
A continuación, elaboramos la gráfica del dron de Karen y algunos puntos del aparato de Pablo; grafica los puntos que faltan y traza la otra recta.
1 Aclaración: El Programa de la asignatura, abarca pocos elementos gráficos, los autores consideramos muy
importante profundizar en el tema, para comprender mejor el estudio de los sistemas de ecuaciones.
t (seg) d (m)
0 0
2 16
4 32
6
8 48
9
10
12
14
2. Dron de Karen
t (seg) d (m)
0 24
2 36
4 48
6 60
8 72
9
10 84
12
14
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
79
Con las gráficas ya puedes saber varias cosas. Analiza e interpreta.
Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Quién gana la carrera? ____________________ (identifica cuál recta está arriba a los
100m de distancia). Explica.
2. ¿Cuánto tiempo emplea el dron de Pablo para alcanzar al otro? _____________
(identifica el punto de intersección). Explica.
3. Da las ecuaciones que representan cada movimiento.
a) Dron de Karen � = ____� + ____
b) Dron de Pablo � = ____�
El sistema tiene solución por ello se le llama consistente, la solución es el punto de intersección de las rectas (12, 96) y determina el tiempo que tarda en alcanzarlo y dónde lo encuentra.
4. Redacta lo que representan las coordenadas del punto según el contexto.
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
80
Ejemplo 2
La semana siguiente, Karen modificó su dron y aumentó su velocidad 1m/s más, mientras que el de Pablo sufrió una caída, que le ocasionó disminuir su velocidad en una unidad. Deciden realizar una segunda carrera con las mismas condiciones.
Elaboremos las nuevas tablas para cada dron 3. Dron de Pablo
Completa la otra gráfica y analiza la situación
t(seg) d(m)
0 0
2 14
4 28
6
8 56
9
10
12
14
4. Dron de Karen
t(seg) d(m)
0 24
2 38
4 52
6
8 80
9
10 94
12
14
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
81
Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Quién gana la carrera? ____________________ y ¿cómo transcurre la carrera?
____________________________________________________
2. ¿Por qué las rectas no se intersecan? ______________________________
3. Da las ecuaciones que representan cada movimiento.
a) Dron de Karen � = 7� + ____
b) Dron de Pablo � = ____�
El sistema NO tiene solución por ello se le llama inconsistente, no hay punto de
intersección, pues las rectas son paralelas.
4. ¿Cómo identificas en las ecuaciones a las rectas que son paralelas?
Ejemplo 3
Dado que cada quien ha ganado una partida, deciden realizar una tercera carrera, pero en esta ocasión sin ventajas.
Las ecuaciones son:
a) Dron de Karen � = 7� b) Dron de Pablo � = ____�
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
82
Como habrás notado la misma recta determina la distancia recorrida en cada instante de tiempo de ambos drones
1) Interpreta la situación 2) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
El sistema es Consistente, pues tiene infinitas soluciones, esto ocurre cuando las ecuaciones son equivalentes (mismas soluciones)
Las ecuaciones �� � = 2� ó 6� � 42� = 0 , son equivalentes a las de los drones.
3) Encuentra algunos puntos de ésta y verifica que se encuentran en la misma recta.
Ejemplo 4
Un análisis más completo lo encuentras en la actividad de Geogebra.org en la liga
https://www.geogebra.org/m/RF94HQn3
Ejercicio 2
Encuentra graficando, en los casos que sea posible la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales.
1) 1834
13
1
=−
−−=
yx
xy 2)
623
62
=−
−=
yx
xy 3)
2 4
2 3
x y
x y
− =
− = − 4 )
2 6 3
3 6 2
x y
y x
− = −
= − 5)
2 3
3 4
x y
y x
=−
=
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
83
Método de igualación
El método consiste en despejar la misma literal de ambas ecuaciones e igualar sus expresiones respectivas, para obtener una ecuación con una incógnita.
Ejemplo
Para el sistema de ecuaciones: � 3� � 6� = 4 … !1"2� + 9� = 7 … !2"
Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones
Despejamos � de ecuación 1 (e1) y de e2
3� � 6� = 4 2� + 9� = 7
3� = 6� + 4 2� = �9� + 7
� = #$%&' … !3" � = ()$%�
� … !4"
Se igualan los valores despejados y se simplifica la ecuación resultante.
Se igualan las partes derechas de cada ecuación.
6� + 43 = �9� + 72
Multiplicado por 6
6 *6� + 43 + = *�9� + 72 + 6
2!6� + 4" = 3!�9� + 7"
12� + 8 = �27� + 21
12� + 27� = 21 � 8
39� = 13
� = 1339
� = 13
El valor encontrado de una de las incógnitas, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra.
Sustituyendo � = -' ./ .1
3� � 6 *13+ = 4
3� � 2 = 4
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
84
3� = 4 + 2
� = 63
� = 2
La solución del sistema es � = 2 ; � = -'
Comprueba en las ecuaciones 1 y 2.
Ejercicio 3
Resuelve por el método de igualación
!1" �2� � 3� = 93� + 2� = 7 !2" � 7� + � � 4 = 04� � 2� � 1 = 0
Método de sustitución
El método consiste en despejar una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones y sustituirlo en la otra ecuación, de manera que se obtenga una ecuación con una incógnita, se resuelve y el valor obtenido se sustituye en alguna ecuación para obtener el valor de la otra incógnita, Finalmente para estar seguros de la solución se comprueba en ambas ecuaciones.
Ejemplo. Para el sistema de ecuaciones ( )5 4 12 1
3 2 8 (2)
x y
x y
− =
− =
L
L
Se despeja cualquiera de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones
Despejamos x de (1)
5 4 12
5 12 4
12 4(3)
5
x y
x y
yx
− =
= +
+= L
Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación, en este caso en (2) y se resuelve la ecuación resultante, para obtener el valor de una de las incógnitas.
Sustituimos (3) en (2)
3 *12 + 4�5 + � 2� = 8
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
85
36 + 12�5 � 2� = 8
Eliminando denominadores
5 *36 + 12�5 � 2�+ = 8!5"
36 + 12� � 10� = 40
12� � 10� = 40 � 36
2� = 4
� = 42
� = 2
El valor encontrado de una de las incógnitas se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra.
Sustituimos � = 2 en (1)
5� � 4!2" = 12
5� � 8 = 12
5� = 12 + 8
� = 205
� = 4
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones �5� � 4� = 123� � 2� = 8 , es � = 4; � = 2
Compruébalo en ambas ecuaciones.
Ejemplo (problema)
En un examen de opción múltiple, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas).
La calificación de un alumno es 8.05. Calcula el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.
Solución
Escribimos la calificación sobre 100 en vez de sobre 10:
8.05!10" = 80.5
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
86
Llamamos x al número de respuestas correctas, y al número de respuestas incorrectas.
Puesto que se deben contestar todas las preguntas, debe cumplirse la ecuación.
� + � = 100
Cada respuesta correcta suma 1 y cada incorrecta resta 0.5:
1 ⋅ � � 0.5 ⋅ � = 80.5
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones por sustitución:
Aislamos la x en la primera ecuación:
� + � = 100 � = 100 � �
Ahora sustituimos x en la segunda ecuación:
� � 0.5 ⋅ � = 80.5 !100 � �" � 0.5 ⋅ � = 80.5
Resolvemos la ecuación de primer grado:
100 � � � 0.5 ⋅ � = 80.5 100 � 80.5 = � + 0.5�
19.5 = 1.5� � = 19.51.5 = 13
Tenemos que el número de respuestas incorrectas es y = 13.
Fácilmente calculamos el número de respuestas correctas:
� = 100 � � = 100 � 13 = 87
Ejercicios 4
Resuelve por el método de sustitución
1" �7� + � = 153� + � = 7
2" �� + 10� � 24 = 03� � 2� � 8 = 0
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
87
3) Un niño realiza las siguientes observaciones sobre un parque infantil de pelotas:
• Hay pelotas verdes, rojas y amarillas. • El número de pelotas verdes más las pelotas rojas es cinco veces el número de las
amarillas. • El número de pelotas verdes es el triple que el de amarillas. • El total de pelotas amarillas y rojas asciende a 123.
Calcular la cantidad de pelotas de cada color.
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Para resolver un sistema de ecuaciones, principalmente cuando se tienen varias incógnitas,
podemos recurrir a encontrar sistemas de ecuaciones equivalentes: sistemas que tienen las
mismas soluciones. Analicemos la siguiente situación.
María fue al cine y compro 3 boletos, 2 bolsas de palomitas y un refresco, pagó $302; José
compró 2 boletos y 2 refrescos, pagó $210; Pablo tenía pases y sólo compró 1 bolsa de palomitas
y 2 refrescos, pagó $79. En otra ocasión, van al mismo cine, pues les dieron pases gratis,
haciendo los siguientes gastos: María fue al cine y compro 1 boleto y 2 bolsas de palomitas,
pagó $140; José compró 2 bolsas de palomitas y 2 refrescos, pagó $114; Pablo tenía pases y
sólo compró un refresco pagó $22. ¿Cuánto cuesta cada cosa y cómo se puede plantear los dos
sistemas de 3x3?
Si consideramos las incógnitas como:
x_ precio del boleto ($)
y_ precio de las palomitas ($)
z_ precio por refresco ($)
Revisa que cada situación se puede representar con los siguientes sistemas de 3x3, 3
ecuaciones con 3 incógnitas.
Primera situación
� 3� + 2� + � = 3022� + 2� = 210 � + 2� = 79
Segunda situación
� � + 2� = 140 2� + 2� = 114 � = 22
Los precios en la primera ocasión fueros de $70 la entrada, $35 las palomitas y $22 el refresco.
Verifica si los precios permanecieron en cada situación, si es así, los sistemas son equivalentes
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
88
Por ejemplo: De la ecuación 1 70+2(35) =140. Verifica las otras dos
La ecuación 2 _______________
La ecuación 3 _______________
El segundo sistema es un sistema triangular, mucho más fácil que el primero. El método de
resolución por sistemas de ecuaciones equivalentes consiste en obtener sistemas de ecuaciones
equivalentes, hasta obtener un sistema triangular que permita obtener la solución, con despejes
y sustitución regresiva.
¿Cómo obtener sistemas de ecuaciones equivalentes?
Método de obtención de un sistema triangular equivalente
Para ejemplificar el método y los pasos que se pueden efectuar, indicaremos lo que se puede hacer y lo realizaremos
1. Intercambiar ecuaciones. Intercambiamos la ecuación 1 por la 2 (.31 ↔ .32"
� 3� + 2� + � = 3022� + 2� = 210 � + 2� = 79 � 2� + 2� = 2103� + 2� + � = 302 � + 2� = 79
2. Cambiar una ecuación por una ecuación equivalente.
Cambiamos la ecuación 1 por -� 567�87839/�: 9 79 .36938ó/ 2, (ec1 ← -
� ∗ .32"
� 2� + 2� = 2103� + 2� + � = 302 � + 2� = 79 � � + � = 1053� + 2� + � = 302 � + 2� = 79
3. Cambiar una ecuación por una combinación lineal, es decir sumar ecuaciones
equivalentes y cambiar esta suma por alguna de ellas. La ec2 la cambiamos por !ec1 ← !�3" ∗ .31 + .32"
� � + � = 105 �� + � = �13 � + 2� = 79
Combinación lineal �3� � 3� = �315 + 3� + 2� + � = 302
�� + � = �13
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
89
Notan que ya se está obteniendo el sistema triangular, lo único que falta es que no aparezca la literal “y” en la tercera ecuación. Eso se obtiene con la combinación lineal, ec3 ← .32 + .33
� � + � = 105 �� + � = �13 3� = 66
Combinación lineal �� + � = �13 + � + 2� = 79
3� = 66
El sistema ahora es triangular, puede mejorarse aún más, con la siguiente combinación lineal:
ec2 ← !�1".32 y 9�.5áA ./ ec3 ← B-'C ∗ .3
� � + � = 105 � � � = 13 � = 22
Finalmente se aplica la sustitución regresiva, es decir se sustituye � = 22 en la ecuación 2, obteniendo � = 35 y ambos valores se sustituyen en la ecuación 1, para obtener � = 70.
Comprueba que los tres valores son la solución del sistema.
Ejercicio 5
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba que la solución satisface cada una de las ecuaciones.
1" � � + 2� + � = �6� + � � � = 2 2� + � = �7
3) � 2� � 2� + 4� = 2 � + 2� + � = 4 2� + � = 5
2" � �2� + 2� = �3 � + 2� = 3
4) � 2� + 2� = �23� + � + 2� = 7 � + � + 2� = 1
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
90
Ejercicio 6
Elige la solución correcta de cada sistema
1)
=−
=+
1325
63
yx
yx
A) 3
1
=
=
y
x B)
1
3
=
−=
y
x C)
1
3
=
=
y
x D)
3
1
−=
−=
y
x E)
1
3
−=
−=
y
x
2)
−=+−
−=+
2443
175
yx
yx
A) 3
4
−=
=
y
x B)
3
4
=
−=
y
x C)
4
3
−=
−=
y
x D)
4
3
=
=
y
x E)
3
4
=
=
y
x
3)
−=−
=+
7798
843
yx
yx
A) 5
4
=
=
y
x B)
5
4
=
−=
y
x C)
4
5
−=
−=
y
x D)
5
4
−=
−=
y
x E)
4
3
=
=
y
x
4)
=+−
=+
879
321115
yx
yx
A) 23
2
=
=
y
x B)
3
2
2
=
−=
y
x
C) 2
3
2
−=
=
y
x D)
22
3
=
=
y
x E) 23
2
−=
−=
y
x
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
91
Problemas que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales
A partir del siguiente problema, trata de identificar las relaciones que existen entre los datos que se te proporcionan y las incógnitas.
Ejemplo
En una papelería, un niño compró 5 plumas y 4 lápices pagando por ellos $ 30.00, otro niño compró 2 plumas y 6 lápices pagando $ 23.00. ¿Cuál fue el costo de cada pluma y cada lápiz?
Iniciamos la solución identificando las variables que vamos a utilizar y describiendo su significado en el modelo matemático, así:
� representa el costo de cada pluma ($)
� representa el costo de cada lápiz ($).
Construimos el modelo matemático que representa las relaciones descritas en el enunciado, quedando:
5� + 4� = 30
2� + 6� = 23
Resolvemos el sistema de ecuaciones, utilizando cualquier método, que en este caso será suma o resta, para lo cual multiplicamos a la primera ecuación por 3 y a la segunda por – 2 y sumamos las ecuaciones resultantes, obteniéndose:
!3"!5� + 4�" = !3"30
�2 !2� + 6�" = 23 ! �2"
15� + 12� = 90
�4� � 12� = �46
11� = 44
� = &&--
� = 4
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
92
Si ahora sustituimos el valor de 4x = en la segunda ecuación original, tenemos:
2 !4" + 6 � = 2
8 + 6� = 23
6� = 23 � 8
� = -D#
� = D�
Ahora sabemos que el costo de cada pluma fue de $ 4.00 y de cada lápiz $2.50
Ejercicio 7
Resuelve los siguientes problemas cuyo modelo es un sistema de ecuaciones lineales.
1) Un almacenista tiene dulces de $ 45.00 el kilogramo y otros de $ 70.00 el kilogramo, si quiere hacer una mezcla de 120 kilogramos cuyo costo sea de $ 55.00 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada clase de dulces tendrá que mezclar?
2) La suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 13. Si las cifras del número se invierten, el número resultante es 9 unidades menor que el número original. ¿Cuál es el número original?
3) El gerente de un teatro sabe que vendió 450 boletos para una función. Si cada boleto de adulto costó $ 150.00 y cada boleto de niño costó $ 40.00 y en total recaudó $ 45,500.0 ¿cuál fue el número de boletos de adultos y cuál el de niños que vendió?
4) Si el menor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la cuarta parte del otro ángulo agudo. ¿Cuál es la medida de cada uno de ellos?
5) Al final de las ventas del día un comerciante encontró que tenía $211.00 en monedas de $2.00 y $5.00, si en total fueron 59 monedas ¿Cuántas tiene de cada denominación?
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
93
Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes
Examen de opción múltiple
Instrucciones:
� Lee cuidadosamente cada pregunta.
� Escribe el número y la justificación de tu respuesta en una hoja aparte.
� El inciso anótalo en la plantilla.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1. Al resolver por sustitución el siguiente sistema de ecuaciones, la solución es:
�4 + 2� = 3�4� + 2� = 8
A) � = 2, � = 1 B) � = �2, � = �1 C) � = �1, � = 2
D) � = 1, � = 2 E) � = 1, � = �2
2. ¿Cuándo un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas no tiene solución?
A) Cuando las rectas se intersecan B) Cuando forman una sola recta
C) Cuando las rectas son paralelas D) Cuando las rectas son perpendiculares
E) Cuando una recta es creciente y la otra decreciente.
3. Oscar compró 4 chocolates y 6 paletas; pagó $78. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
Sea � el precio de los chocolates ($)
� el precio de cada paleta ($).
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A) � = $12, � = $5 es posible respuesta B) � = $9, � = $7 es posible respuesta
C) � = $6, � = $9 es posible respuesta D) � = $7, � = $9 es posible respuesta
E) tiene muchas soluciones.
4. Al resolver el sistema de ecuaciones �2� + 3� = 53� � 2� = 1 se tiene que el valor de � es:
A) � = 2 B) � = 1 C) � = �1 D) � = �2 E) � = 3
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
94
5. Si por el método de igualación eliminamos “�” en el sistema � � � � = 46�2� � 4� = 78 ; para
obtener una ecuación de primer grado con una incógnita, entonces ¿cuál de las siguientes
proposiciones corresponde a la ecuación?
A) �85 = 3� B) 7 = �3� C) 85 = 3� D) 7 = �3� E) 85 = ��
6. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene por gráfica la que se muestra en la
figura?
A) � � � 2� = 62� � 4� = 5
B) � � + � = 65� � 4� = 12
C) � 4� + 5� = �323� � 5� = 11
D) � � � 2� = 52� � 4� = 10
E) � � � � = 62� � 3� = 2
7. Si para rentar un automóvil se obtuvieron los siguientes presupuestos: en Renta-Car la renta
diaria es de $350, más $600 de cuota fija y en otra empresa es de $250 por la renta y la cuota
fija de $100. Identifica ¿cuál sistema de ecuaciones representa la situación?, considerando que � es la cantidad de días que se alquila el auto.
A) � � = 600� + 250� = 350� + 100 B) � � = 250� � = 350� C) � � = 600� � = 350�
D) � � = 350� + 600 � = 250� + 100 E) � � = 250� + 600� = 350� + 100
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
95
8. Aplica el método de sustitución, despeja � de la segunda ecuación del sistema siguiente e
identifica qué ecuación queda para obtener el valor de �?
� 3� + 2� = 6�6� + � = 3
A) – 6� + 6 � + 3 = 3 B) 3� + 2!6� + 3" = 6
C) – 6� + #('H� = 6 D) 3� + 2 B#('H
� C = 6 E) 3 B'($(# C + 2� = 6
9. ¿Cuál combinación lineal permite obtener un sistema de ecuaciones equivalente y triangular?
� � + 3� + � = 9 � � � = 2 3� + � = 4 A) �3!.31" + .33 B) 3!.32" + .33 C) �1!.31" + .33
D) �3!.32" + .33 E) -' !.33" + .32
10. Ana, Pablo y José fueron al establecimiento de “Copias y Copias”. Ana pidió 10 copias, 5
amplificaciones y 3 acetatos; Pablo pidió 5 copias, 2 amplificaciones y 3 acetatos y José 1
copia y 3 acetatos. Si pagaron $19, $8 y $9.60 respectivamente y Pablo olvido sacar 2 copias
y 3 acetatos. ¿Cuánto dinero necesita Pablo, para las copias y los acetatos demás?
A) $3.60 B) $10.20 C) $4.60 D) $3 E) $3.80
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
96
Respuestas a los ejercicios
Ejercicios 1
Ecuaciones Soluciones posibles
Gráficas
1) � + � � 2 = 0
(3,-1) (2,0) (1,1)
2) 3� + � = 5
(0,5) (1,2) (2,-1)
3) �4� = � � 2
(0,2) (-1,6) (1,-2)
4) 3� + 2� = 0 (-4,6) (-2,3) (0,0)
Ejercicios 2
Ecuación Solución Gráfica 1)
1834
13
1
=−
−−=
yx
xy
(3,-2)
2)
623
62
=−
−=
yx
xy
(3,1.5)
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
97
3) 2 4
2 3
x y
x y
− =
− = −
Sin solución
4) 2 6 3
3 6 2
x y
y x
− = −
= −
Soluciones infinitas
5) 2 3
3 4
x y
y x
=−
=
(0,0)
Ejercicios 3
1. (3,-1) 2. (0.5,0.5)
Ejercicios 4
1. (2,1) 2. (4,2) 3. 41 amarillas, 82 rojas y 123 verdes.
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
98
Ejercicios 5
1. � = 1, � = �2, � = �3 2. � = 1.8, � = 0.6 3. � = 2, � = 1, � = 0 4. � = 3, � = �4, � = 1
Ejercicios 6
1. C 2. A 3. B 4. A
Ejercicios ( Problemas)
1) � 45� + 70� = 55!� + �"� + � = 120 Solución: 72kg de $45 y 48 kg de $70
2) I 6 + � = 13 106 + � = 10� + 6 � 9 Solución: el número es 76.
3) I / + 9 = 450 1509 + 40/ = 45500 Solución: 250 adultos y 200 niños
4) 9 + J& = 90 Solución: ángulo menor: 18°, mayor: 72°
5) � � + � = 59 2� + 5� = 211 Solución: 28 de $2 y 31 de $5
Respuestas al examen de autoevaluación
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C D B A B D B D B
Recuerda justificar cada respuesta, en el examen extraordinario se te van a pedir los
desarrollos.
Referencias bibliográficas y de la WEB
99
Bibliografía básica y complementaria
Ángel, A. R. (2007). Álgebra Elemental. México: Pearson Educación.
Aponte, G., Pagán, E., & Pons, F. (1998). Fundamentos de Matemáticas básicas. México: Addison Wesley Logman.
Barnett, A. (1992). Precálculo. Álgebra, Geometría Analítica y Trigonometría. México: Limusa,
Carvajal, J. C. (2010). Álgebra. México, México: Mc Graw Hill.
Coto, A. (2011). Desarrolla tu agilidad mental. Lada de Langreo, Asturias: A. Coto.
Fuenlabrada de la Vega, S. (2007). Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill.
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Hit Espinosa, Fernando (2002). Funciones en contexto. México: Pearson Educación.
Smith, S., Charles, R., Dossey, J, Keedy, M. y Bittiinger, M. (2001). Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. México: Addison Wesley.
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