Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
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8/18/2019 Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
1/12
MATEMATICA II
Equipo de Docentes 1
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 12
x3
6
5x
9
3x2
b) 6
x25
6
1x2x2
c)
d) 7
−
x
+
=
2. Halla “x”
5
1
5
245
20
56
49
12 2
2
2
2
2
x
x x
x x
x x
x
x x
3. Halla el valor de “ x “ en:
3441
2
1
11
1
11
242242
2
2
x x x x x x
x x
x
x
x
x
x
4. Resuelve:
b54
x b4
7
bx
5
x b23
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
ab
baax
a
xb
b
a x 2)(32
Si a y b son de cero.
6. Si a y b son diferentes de cero, resuelve:
1
x
b1
a
b
x
a1
b
a
7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
56
204411)
2
2
2
22
x x
x x
x x
x x xa
41
451033)
2
2
2
22
x x
x x
x x
x x xb
334
22
2411)
3
2
22
22
x x x
x x
x x
x x xc
x x x
x
x x
x x xd
43
4222)
233
222
8. La señora María Pérez Pérez desea dar como
anticipo de herencia a sus tres hijos la suma de$15000 de modo que el primero reciba $500
más que el segundo y éste $200 más que el
tercero. ¿Cuánto le tocará al primer hijo?
9. Las edades de una madre y 2 hijos suman 60
años. Halla la edad del menor de los hijos,
sabiendo que el mayor tiene 3 veces la edad del
menor y la madre el doble de la suma de sus
hijos.
61x2)1x3(
321x2
23
Ecuaciones Lineales
-
8/18/2019 Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
2/12
MATEMATICA II
Equipo de Docentes 2
1. Dado los siguientes sistemas de ecuacioneshallar los valores de x e y en cada caso.
97
23
65
33
) x
y
y x
a
4
51
4
33
) x
y
y x
b
72
112
3
) y
x
y x
c
1
2)
23
3
x y
x yd
x y
x y
y x
e
3
52
753
17
)
y x
y x
f
34
44
3)
28242
321
34
1
2
1
)
y x y
x y
g
32
21
31
36
13
3
1
2
1
) y x
y x
h
2. Halla los valores de x e y, en:
41
41
y x
131
5
x
y
y
3. Resolver el sistema:
x y
x 42
1
42
y x y
6
1
3
4
3
2
4. Resolver los siguientes sistemas lineales,
indicando si es compatible (determinado o
indeterminado) ó incompatible, usando el
método de reducción.
a)
223
36
y x
y x
b)
64
432
y x
y x
c)
1,04,03,0
6,15,02,0
y x
y x
d)
6423
2363
y x
y x y x
5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales por el método de reducción.
a)
3
2
94
132
y x
y x
b)
y x
y x
34
44
3
c) 64
432 y x
y x
6. Dividir el número 1000 en dos partes, tales que
si de los 5/6 de la primera se resta ¼ de la
segunda, se obtiene 10. Calcular la segunda
parte.
7. Un profesor le dice a su alumno: el doble de mi
edad, aumentado su mitad, en sus 2/5, en sus
3/10 y en 40; suma 200 años. ¿Cuántos añostengo?
Sistemas de Ecuaciones
-
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MATEMATICA II
Equipo de Docentes 3
1. Resuelve empleando la fórmula general.
a) x² + 5x + 2 = 0
b) 3x² + 7x + 2 = 0
c) 4x² - 20x + 25 = 0
d) 122
1 2 qq
2. Resuelva las siguientes ecuacionescuadráticas:
a) 12423 2 x)x(xx
b) 50x1)2x(xx 33 2
c) 8x-x6xx 22 62
d) (a - 1) x² + 2ax + (a + 1) = 0
e) ax² + (a + 1) x + 1 = 0
3. Halla los valores que puede tomar “m” para
que la siguiente ecuación tenga solución
única.
(m + 5) x2 + 3mx - 4 (m -5) = 0
4. Determina el valor de k sabiendo que laecuación tiene una sola solución real. Además
halla las raíces
7x2 - 1 = 8kx2 - 2kx
5. En la ecuación 014
522 k
xk x
, determine los valores de k para que tenga
una sola solución única.
6. Determina el valor de k sabiendo que la
ecuación tiene solución única. Además, halla
las raíces: 4x² - 1 = 6kx² - 3kx
7. Señala qué valor debe tomar m para que la
ecuación 0582 m xm xm tenga raíces iguales.
8. Determinar el valor de m de tal manera que la
ecuación de segundo grado: x2 – 2(m2 -
4m) x + m4 = 0; tenga sus dos raícesiguales. Halle además dichas raíces
9. Si la ecuación: 0242 22 kxkx x x tiene solución única, determine el valor de
“K”.
10.Determine los valores de “n” en la ecuación:
09)2(22 nn x Sabiendo que tiene raíz única.
11.La ecuación nxn x x 2462 tiene
raíces iguales.
12.Halle el valor de ,1333 23 mmm A
siendo “m” la suma de los valores de “n “.
13.Halle el valor de “m” para que la ecuación:
9x2 – mx + 1 = 0 tenga raíces iguales.(m < 0 )
14.Siendo: x1 y x2 las raíces de la ecuación:
2x2
+ 3x - 5 = 0, halle:21
11
x x E
15.Calcule los valores que puede tomar “K” en
0222 K Kx x para que lasiguiente ecuación cuadrática tenga raíces
iguales .Además calcule el valor de las raíces
de la ecuación cuadrática utilizando el mayor
valor de K.
16.Calcule los valores que puede tomar “n” en
04622 n xn x para que lasiguiente ecuación cuadrática tenga raícesiguales .Además calcule el valor de las raíces
de la ecuación cuadrática utilizando el menor
valor de n.
17.Calcule los valores que puede tomar “m”
01364 2 mx xmen para que
la siguiente ecuación cuadrática tenga raíces
iguales .Además calcule el valor de las raícesde la ecuación cuadrática.
Ecuaciones Cuadráticas
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MATEMATICA II
Equipo de Docentes 4
1. Halle el conjunto solución de:
a) 212
61
31 x x x
b) 124
3
3
1
x
x x
2. Encuentre el conjunto solución de:
a) 2/121
82
x
x
b) x x
x 2
4
3
c) 1346
93
x
x
3. Halle el conjunto solución en cada caso:
a) 010xx2 2
b) 02xx3 2
c) 072xx2
d) 022 x x
4. Resuelva e indique el menor valor entero
que puede tomar x :
a) 6 − 5 − 39 < 0
b) 2 4 0 x x
c) 0362 x
d) 3 − 5 − 2 ≥ 0
e) 10 11 − 6 ≥ 0
f) 21 − 31 4 > 0
g) 4 − 12 9 ≤ 0
h) 49 84 36 > 0
i) ( − 1) 3( 1) ≤ 2 − ( 3)
j) ( − 8)( 2) 5 >
( − 5)( − 1)
5. Halle B A , en:
3
1412
2
3/
x x
x Z x A
49
2
134/
2 x
R x B
6. Halle Q – R, en:
1
23
12/
x x
x R xQ
2;222/ x R x R
7. Determine N M , si
1
1
11/
2 x x
x
x
x R x M
12632/ x x x R x N
8. En un taller de carpintería, se fabricó una ciertacantidad de sil las de las que se vendió 38
quedando más de la tercera parte. Si luego se
fabrican 8 más y en seguida se venden 10
quedan menos de 19 sil las. ¿Cuántas sil las se
fabricaron?
9. En un salón del 1er ciclo de Cibertec, hay
tantos alumnos que si al triple se le aumenta 5
resulta no menor de 93; y si al doble se le
disminuye 1, dicha cantidad resulta ser menor
de 61. ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón de
clase?
10. Determine el conjunto solución de:
3224
13
2)
2
2
x x x x
x xa
01527459
) 22
22
x x x x
x xb
418
4
9)
22
2
x x
x xc
07642
9253)
22
22
x x x x
x x xd
0658
245145)
22
22
x x x
x x x xe
12
18
12
4)
22
2
x x
x
x x
x x f
Desigualdades e Inecuaciones
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MATEMATICA II
Equipo de Docentes 5
Matrices
11. Hallar el conjunto solución en:
044
2)
01610
4033)
0183
932)
0152
4362)
032121616)
020964
7152)
32
2
2
22
2
22
2
22
2
2
22
22
x x x
x x f
x x
x x xe
x x
x x xd
x x
x x xc
x x x xb
x x x x
x x xa
12. .- Un técnico ensambla cierta cantidad de CPU.Vendió la mitad de la cantidad ensamblada y le
queda menos de 5 CPU. Luego ensambla 8 CPU
más y vende 3 quedándole más de 9. ¿CuántasCPU ensambló en total?
13. En un salón del primer ciclo de Cibertec, hay
tantos alumnos que si al triple se le aumenta 5
resulta mayor de 101; y si al doble se ledisminuye 7, dicha cantidad resulta ser menor
de 61. ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón de
clase?14. Se desea saber el menor número de
postulantes que rinden el examen para ser
tutor de Matemática I en Cibertec. Se conoce
que el doble del número de postulantes
disminuido en 23 es menor que 93 y que al
retirarse 13 quedaron más de las tres cuartas
partes del número inicial de postulantes
15. 4.- Un técnico ensambla cierta cantidad de
CPU. Vendió la mitad de la cantidad
ensamblada y le queda menos de 4 CPU. Luegoensambla 10 CPU más y vende 3 quedándole
más de 10. ¿Cuántas CPU ensambló en total?
1. Escriba explícitamente las siguientes matrices y
halle: 3A+B, 2B-5C y AB.
jibb Bb
jaa Aa
ijij
i
ij xij
2/)
2/)
43
33
2. Escribe explícitamente la matriz B y halle 5A-B,
3B-A y BD2
ji sii j
ji si ji
ji si ji
bb B ji x ji
,
,
,
/23
D=
32
21
3. Se tienen las matrices:
32001 M
3
2
4
1
0
N
Halle NM
4. Resolver las siguientes ecuaciones:
14
03
2
3)
4
4
32
2)
vu y x
vu y xb
y
y
x
xa
0124
1102)
91
164
12
3)
2
2
z w
y xd
vu
y xc
-
8/18/2019 Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
6/12
MATEMATICA II
Equipo de Docentes 6
5. Si: iccC ji ji /32 ,
,/23
jibb B ji x ji
22
22 A
Resuelva la ecuación matricial BC A X T 2
y dar como respuesta la traza de X.
6. Si T
z
y
x
3108
002
013
201
, calcule
E = z
xy
7. SI A = B, halle la TRAZA de la matriz X = A + 2C
Donde:
y x B
y x A
1
32;
61
3
C=
y x
y x
2
2
8. Si jiaa A ji ji /22 ,
ji si j
ji siibb B ji x ji ,1
,1/22
21
10C
Determine la matriz22 BC A X
9. Si A = B; halle la traza de la matriz X, en:
X = 2A - C Donde:
y x
z B
y x A
1
39;
61
32 ; C=
y x
y z
2
10. Si jiaa A ji ji 2/22 ,
ji si j
ji si ji
ji sii
bb B ji x ji ,
,
/22
21
10C
Determine la matrizT AC B X
11. Si A = B; halle el producto de los elementos de
la Diagonal principal de la matriz:T C A X 2
Donde:
92
03;
92
06 y x B
y x A
C=
x y
y x
3
42
12. Si jiaa A ji ji 2/22 ,
ji si j
ji si ji ji sii
bb B ji x ji
1
,,1
/22
02
21C
Determine la matriz2
C AB X
13. Si A = B, halle el producto de los elementos de
la Diagonal Secundaria de la matriz,
C A X T 2 Donde:
42
32;
40
22
y x B
y x A
C=
x y
y x
-
8/18/2019 Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
7/12
MATEMATICA II
Equipo de Docentes 7
Determinantes
1. Calcula el determinante en cada caso:
Sol. Det A = 16
Sol. Det A =30
Sol. Det A =0
Sol. Det A =0
Sol. Det A =0
2. Halle la solución de los siguientes sistemas de
ecuaciones util izando la regla de Cramer:
2
1,
2
1
2/1
1242
0
) solución
z x
z y x
z y x
a
}1,2,1{
0
32
12
)
solucion
z x
y x
z y x
b
}3,0,3{
32
32
1243
)
solucion
x z
z y
z y x
c
}1,3,2{
32
6
432
)
solucion
z y x
z y x
z y x
j
3. Halle Det (A) , si A = B
Siendo A =
43
42;
3
1 y B
x
z y x
4. Calcular:
22
7
2
2722||
x
x A
132
453
125
||
B
5. Calcular:
12537
37125
6. Resolver en “x”
5
231
22
142
x
7. Calcular:
nmnm
nmnm
8. Determinar el valor de “x” para que se cumpla
que: 72 B A
Si
1
173
x x
x A y
0321 x B
:= A
1 -1 2
3 1 4
0 -2 5
:= A
2 -8 2
0 3 6
0 0 5
:= A
2 -8 24 -16 4
4 5 5
:= A
5 -6 7
0 0 0
1 4 3
:= A
5 0 7
3 0 6
1 0 3
-
8/18/2019 Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
8/12
MATEMATICA II
Equipo de Docentes 8
9. Sean las matrices , 31
22
A
jibquetal b B ji x ji 22
Si se sabe que: 2C AB B A ,obtengael determinante de la matriz C.
10.Si jiaa A ji ji /22 ,
ji si j
ji si ji
ji sii
bb B ji x ji
1
,
,1
/22
02
11C
Determine la matriz AC B X 2
11.Determina el valor de X positivo en la siguiente
ecuación: 0
251
142
32192
x x
x
12.Sean las matrices
30
21
C
, 1
2
w z
y x A
ji si ji
ji si jibquetal b B ji x ji ,
,.
22
Si se sabe que: BC B A obtenga el valor del
determinante .w z
y x
13.Sean las matrices
.
w z
y xC ,
12
01
A
ji si j
ji siibquetal b B ji x ji ,1
,1
22
Si se sabe que: , AC B A T obtenga el
determinante de la matriz C.
14.Sean las matrices:
A =
238
04
00
x
x
; B =
12
2 x x;
C =.
400
311
811
En la siguiente ecuación obtenga el valor de x, si:
08 C B A
15.Utilizando la Regla de Cramer, resuelva el
Sistema de Ecuaciones que se presenta:
x z
y x
z y
a
462
24
12
)
31
2
10
)
x y
z y x
z y x
b
223
12
32
)
z x
y x
z y
c
63
567
105,0
)
y x
z y
z x
d
30523
34752
38645
)
z y x
z y x
z y x
e
633
1025
1132
)
z y
z y x
z y x
f
-
8/18/2019 Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
9/12
MATEMATICA II
Equipo de Docentes 9
Geometría Analítica
1. Calcule la distancia entre los siguientes
puntos.
a) A(-2;5) y B(8;-3)
b) M(-3;-4) y N(5;6)
c) C(-3;0) y B(0;12)
d) A(1;-5) y B(-8;6)
2.
Los vértices de un triángulo son los puntosP (- 3;-2), Q (7; 4) y R (1; 14). Halla su área, la
longitud de sus medianas y la pendiente de
cada una de sus lados.
3. Se tiene el triángulo ABC donde A (0,0), B (3,4)
y C (-4,8).
Halle:
a) El área de la región poligonal
b) La longitud de la mediana relativa al vértice A.
4. Probar que el triángulo ABC, A (3,5); B (-4,2) y
C (-1,-5) es rectángulo y hallar su área.
5. Sea el triángulo ABC con coordenadas A (4,4),
B (-2.1) y C (1,-2). Determinar las coordenadas
del baricentro y área en dicho triangulo.
6. Determine la pendiente de las rectas y
determinar si son paralelas o perpendiculares:
a) A (8; 10), y B (-2; 4).
b) M(-1, -2), y N(2, 4)
7. Si la recta L1 que contiene a los puntos
A(a ,2) y B (0, 2 a) es paralela a la recta L2 que
contiene a los puntos C (-a ,3) y D (1,-2a),
Hallar el valor de “a”
8. Dados los vértices de un triángulo ABC: A(2,4),
B(1,2) y C(3,0). Encuentre el área y el
baricentro del triángulo ABC.
9. Los vértices del paralelogramo ABCD, en
sentido antihorario, son A (0; 0), B (4; 4), C (2;
6) y D. Determine:
a) Las coordenadas del punto de intersección
de las diagonales del paralelogramo.
b) La pendiente de la diagonal BD.
10. Dado el triángulo de vértice M (1,-3) ; N(3,5) ;
P(-3,1). Halle:
a) Los puntos medios de los lados del
triángulo MNP
b) El baricentro del triángulo formado por los
puntos medios del triángulo MNP.
11. La sala de conferencia de Cibertec tiene la
forma de un CUADRADO de vértices:
A(2,4); B(7,3); C(6,-2); D(1,-1). Determine:
a) El área de la sala de conferencia de Cibertec
b) El perímetro de la sala de conferencia de
Cibertec
12. Los segmentosOP y MN
son
perpendiculares, y tienen por coordenadas:
M(-1,-5), N(3,3); O(0,y); P(2,-2). Determine el
valor de “y”.
-
8/18/2019 Guía de Ejerc y Problemas Matemática II_Última Versión2
10/12
MATEMATICA II
Equipo de Docentes 10
13. Dado el triángulo de vértice A (-2,1) ; B(4 , -1) ;
C(8 , 3). Halle:
a) Los puntos medios de los lados BC y AC
b) La distancia entre los puntos medios
hallados.
14. El patio de Cibertec tiene la forma de un
RECTÁNGULO de vértices: A(-1,3), B(5,0), C(7,4),
D(1,7). Determine:
a) El área del patio de Cibertec
b) El baricentro del triángulo formado por los
vértices ABC
c) El perímetro del patio de Cibertec
15. Si los segmentos DE y AB son paralelas, y
tienen por coordenadas: A(-1,-6), B(x, 2); D(1,2);
E(3,6). Determine el valor de “x”.
16. Si los segmentos PQ y MN son paralelas, y
tienen por coordenadas: M(-4,2), N(4,6); P(-1,-3);
Q(8,y). Determine el valor de “y”.
17. Dado el triángulo ISÓSCELES de vértice A(x, 0) ;
B(3,7) ; C(6,2), donde la hipotenusa es el lado BC
y el vértice A está en el Eje X . Hallar “x”
18. La siguiente gráfica es un paralelogramo de
vértices A= (0;0) ; B=(6;2) y D(2;6).Determine:
a) Las coordenadas del punto medio de la
diagonal BD.
b) Las coordenadas del vértice C
c) La pendiente del lado AD.
19. La siguiente gráfica es un triángulo de vértices
A= (0;0) ; B=(6;0) y C(3;6).Determine:
a) Las coordenadas del baricentro del
triángulo ABC.
b) Las coordenadas del punto medio del
segmento BC.
c) La pendiente del lado AB.
20. La siguiente gráfica es un triángulo de vértices
A= (0;0) ; B=(6;2) y C(2;6).Determine:
a) La longitud del lado AB
b) Las coordenadas del punto medio M.
c) La pendiente del lado AB.
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MATEMATICA II
Equipo de Docentes 11
Funciones: Dominio y Rango
1. Dadas las relaciones, hallar el valor de las
incógnitas para que sea una función ydeterminar su dominio y rango de la función.
a) 2/;2/);4,(;)4,3(;)2,(;)32,3( y x x y x x y x f
b) );();3,2(;)2,3(;)0,2(;)14,3( y x y x y x y x f
c) )3;2();2,(;)5,2(;)7,(;),2( bababbba f
d)
)10,5(;)53,3(;)15,7(;)2,3( 2
K k k k k f
2. Dadas las funciones:
4,7,5,6,3,3,6,1,)2;3(,4;5 f
3,7,2,5,5,1,7,2,)5,3(,3;6 g Calcule:
a) El dominio y rango de cada una de ellas
b)
)2(
)1()1(
g
g f E
3. Dada la función:
5,43
53,1
3,15
2
)(
x si x
x si x
x si x
f X , halle:
)4()7(
)0()3()9(
f f
f f f E
4. Determine el dominio de las siguientes
funciones :
a)23
2)(
x x g b)
x
x xh
25
23)(
c)82
3)(
2
x x xh d) x xr 3)(
e) 24)( x xh f) 5)( 2 x x f
g) x x x g 2)( h) x
x g 1
)(
5. Determine el dominio de las siguientes
funciones
a)1
12
)(
x
x g X b)
2
53)(
2
x
x xh
c)9
5
)(
x
f X
d)2)( 9
3
x f
X
e) x
x x x f
45)(
2
f)22
)( 232 x x x x f X
6. Determine el dominio de la siguientes funciones
a) 4103
23
9
1)(
2
2
52
x
x
x x
x x
x x f
b) 162
124
3
3)(
2
22
5
x
x
x
x x
x
x x f
c) 6
21532
13)( 25
2
2
x
x x x
x x
x x f
d) 6
2
1
4
3
2)(
2
2
3
2
x x
x
x
x
x
x x f
7. Dadas las siguientes funciones )()( x x g y f
definidas en los Reales como:
212 2 x x f y
2
3212
x x g ,
Calcule:
30
12
f g g f
E
8. Resolver:
32
)3()3(:
)2(:) 2
x
x f x f Adevalor el Halle
x x x f Sia
3
)2()2(:
5)3(:) 2
x
x f x f M devalor el Halle
x x f Sib
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MATEMATICA II
Equipo de Docentes 12
)1()(
1:
)1(:) 2
x f x f
x M devalor el Halle
x x x f Sic
)1()1(1:
)12(:) 2
x f x f x M devalor el Halle
x x f Sid
9. Encuentra el dominio y rango de la siguientes
funciones y realiza el bosquejo de su gráfica:
a) 13)( x x f , 57 x
b) 23)( 2 x x f , 5;2 x
c) 4,3,52)( x si x x f
d) 10,4,5)( x x f
e) 51,35)( x x x f
10. Determinar el dominio, el rango y esbozar la
gráfica de las siguientes funciones:
,6,12
5,,3
1,3,124
4,1,34
)(
2
x x
x
x x
x x x
x f
7,2,42
3,,6
2,0,13
)(
x x
x
x x
x f
4,1,3102
4,12,4
6
1,4,231
)(
2 x x x
x x
x x
x f
284
203
044
)(2 x si x x
x si x
x si
x f
644
3234
212
)(
2
x si
x si x
x si x
x f
23
7242
2013
)(
x si
x si x
x si x
x f
6,2
64,163
40,2
)(
2 x si x x
x si x
x si
x f