Guia Circunferencia Res

COLEGIO IGNACIO RODRIGUEZ GALVAN Gua repaso de Circunferencia II medio

ANGULO SEMINSCRITO: Su vrtice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda

C u r s o : Matemtica

Material N 16 GUA TERICO PRCTICA N 13

UNIDAD: GEOMETRA

NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS

DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que estn a la distancia r del punto O.

RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de sta (OA ).

CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia (DE).

DIMETRO: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC ).

SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQHJJG

).

TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto ( ). T punto de tangencia.

TMHJJG

ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de

ella ( pCE).

NGULO DEL CENTRO: Es todo ngulo interior cuyo vrtice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ( DOE). (

NGULO INSCRITO: Es todo ngulo cuyo vrtice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de sta ( GHF). (

cuerda

dimetro

secante

tangente

radio

T

arco C A

Q P

B

D E

O

M

F

H

G

O D

E

0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r) O

r

EJEMPLO

1. Cul(es) de las siguientes opciones es falsa?

A) El dimetro de una circunferencia es el doble de su radio B) La mayor cuerda de una circunferencia es el dimetro C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes D) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ngulos del centroE) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ngulo del centro que subtiende dicho arco.

TEOREMA

Todo ngulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ngulo del centro que subtiende el mismo arco.

EJEMPLOS

1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que pBA # pDC y qAED + pCB = 3pBA . Entonces, la medida del ( x es

A) 45 B) 60 C) 72 D) 84

3

E) 90

pDE = ( DOE = D

O: centro de la circunferencia

E

D 0

C

A B

D

E 0

A B

D

E

B

E D 0

A

O D

E

C B

A

D O

x

D

E

E = 12

D

fig. 1

2. AC y BE son dimetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si ( AOB = 2 BOC,entonces el BDC mide

((

O

C

D E

B A

A) 30 B) 35 C) 45

fig. 2 D) 600 E) 120

TEOREMA

Todos los ngulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.

A

B

E D

D = E

TEOREMA

Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

C

A O

( ACB = 90

O: centro de la circunferencia B

TEOREMA La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Q O

P

r AQP tangente en P QP OP

EJEMPLOS

1. En la figura 1, (TPQ = 140 y (PRQ = 15. Cunto mide el (PQT?

T R

P Q

A) 15 B) 20

fig. 1 C) 25 D) 30 E) 35

4

EN TU CUADERNO

1. Calcula el valor del ngulo pedido en cada caso.

192 | Unidad 5

Ejemplo 2 Si = 50 y = 60, cunto mide el ngulo x? El dibujo est desproporcionadointencionalmente. La solucin debe fundamentarse en las ideas.

Si se dibuja el radio que une el centro O con el vrtice del ngulo x,los tringulos que se forman son ambos issceles, cuyos ngulos basalesson y , ya que ngulos opuestos por el vrtice son iguales. Adems, como ambos tringulos formados son issceles, se tiene la relacin:

!x = + Por lo tanto, !x = 50 + 60 = 110.

a. c. e.

b. d. f.

O

O

O O O

O

x

75

132

120

21

136

x

O38

Si un ngulo del centro y un ngulo inscrito subtienden el mismo arco de circunferencia, la medidadel ngulo inscrito es la mitad de la medida del ngulo del centro.

No depende de las medidas de otros ngulos. Esto se cumple tanto si el centro de la circunferencia est dentro o fuera del ngulo inscrito. Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es un ngulo recto.

EN RESUMEN

Circunferencia | 193

Unidad 5

g. h. i.

O36

OA B

25 A B

C

O

2. En la circunferencia de centro O, los arcos BC, CD, DE, EF, FG, GH y HI son congruentes. Si el nguloBAI = 84, determina la medida del ngulo COH.

3. En la figura, AC es un arco de circunferencia de centro P, donde !ACB = 45. Determina qu tipo detringulo es el APB.

4. En la figura, ABCDEF es un hexgono regular. Determina la medida de .

A O

O

B CD

E

F

G

HI

PCA

B

EF

D

CB

A

AB es dimetro AB es dimetro

1. Calcula la medida de los ngulos , y marcados en cada caso.

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. El ngulo semiinscrito mide la mitad del arco que subtiende.

EN RESUMEN


Unidad 5

EN TU CUADERNO

43

50

94

OO

A

BC

A C

AB ! BCO

O

B

D

O

O

EF

D

CB

A

126

256

A

132

B

C

O

T

ABCDEF es hexgono regular.

61

73


Unidad 5

g. h. i.

O36

OA B

25 A B

C

O

2. En la circunferencia de centro O, los arcos BC, CD, DE, EF, FG, GH y HI son congruentes. Si el nguloBAI = 84, determina la medida del ngulo COH.

3. En la figura, AC es un arco de circunferencia de centro P, donde !ACB = 45. Determina qu tipo detringulo es el APB.

4. En la figura, ABCDEF es un hexgono regular. Determina la medida de .

A O

O

B CD

E

F

G

HI

PCA

B

EF

D

CB

A

AB es dimetro AB es dimetro

268 | Solucionario

Pgina 189

1. a. c.

b. d. El radio mide 18 cm.

Pgina 1921. a. = 150 d. = 68

b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21

Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90

2. !COH = 120

3. El !APB es issceles rectngulo.

4. = 60

Pgina 1951. a. = 43

b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120

Pgina 196 (Mi progreso)1. a. ngulo inscrito, ngulo del centro

b. ngulo del centro, ngulo inscrito, ngulo semi-inscrito.

c. ngulo del centro, ngulo del centro, ngulo semi-inscrito.

2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100

3. Pregunta abierta.

Pgina 1981. a. = 39

b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60

Pgina 200

1. a. PC = c. PC = 6

b. PC = 9

2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2

3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2

Pgina 202

1. a. x = b. x = 9

2. a. PC = 8 c. PC = 21

b. BA = 13 d. PA = 6

3. a. PB = 9 c. PD = 3

b. OC = d. PA = 8

Pgina 204

1. a. x = b. x = 12 c. r = 6

2. a. PA = 8 c. PC = 12 e. CB = 8b. PA = 6 d. PB = 5

3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8

b. CB = 30 d. OB = 5


Pgina 205 (Mi progreso)

1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =

2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40

152

152

115

472

192

152

Unidad 5 Circunferencia

256pi

43pi

4715pi

268 | Solucionario

Pgina 189

1. a. c.


Pgina 1921. a. = 150 d. = 68

b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21

Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90

2. !COH = 120


4. = 60

Pgina 1951. a. = 43

b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120




2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100


Pgina 1981. a. = 39

b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60

Pgina 200

1. a. PC = c. PC = 6

b. PC = 9

2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2

3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2

Pgina 202

1. a. x = b. x = 9

2. a. PC = 8 c. PC = 21

b. BA = 13 d. PA = 6

3. a. PB = 9 c. PD = 3

b. OC = d. PA = 8

Pgina 204

1. a. x = b. x = 12 c. r = 6


3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8

b. CB = 30 d. OB = 5



1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =

2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40

152

152

115

472

192

152


256pi

43pi

4715pi

268 | Solucionario

Pgina 189

1. a. c.


Pgina 1921. a. = 150 d. = 68

b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21

Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90

2. !COH = 120


4. = 60

Pgina 1951. a. = 43

b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120




2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100


Pgina 1981. a. = 39

b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60

Pgina 200

1. a. PC = c. PC = 6

b. PC = 9

2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2

3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2

Pgina 202

1. a. x = b. x = 9

2. a. PC = 8 c. PC = 21

b. BA = 13 d. PA = 6

3. a. PB = 9 c. PD = 3

b. OC = d. PA = 8

Pgina 204

1. a. x = b. x = 12 c. r = 6


3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8

b. CB = 30 d. OB = 5



1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =

2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40

152

152

115

472

192

152


256pi

43pi

4715pi

268 | Solucionario

Pgina 189

1. a. c.


Pgina 1921. a. = 150 d. = 68

b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21

Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90

2. !COH = 120


4. = 60

Pgina 1951. a. = 43

b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120




2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100


Pgina 1981. a. = 39

b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60

Pgina 200

1. a. PC = c. PC = 6

b. PC = 9

2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2

3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2

Pgina 202

1. a. x = b. x = 9

2. a. PC = 8 c. PC = 21

b. BA = 13 d. PA = 6

3. a. PB = 9 c. PD = 3

b. OC = d. PA = 8

Pgina 204

1. a. x = b. x = 12 c. r = 6


3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8

b. CB = 30 d. OB = 5



1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =

2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40

152

152

115

472

192

152


256pi

43pi

4715piRespuestas:

ANGULO INTERIOR: Es el ngulo formado por la intercepcin de dos cuerdas cualesquiera, su vrtice se ubica en el interior de la circunferencia.

La medida del ngulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia

ANGULO EXTERIOR: Es el ngulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vrtice se ubica fuera de la circunferencia.

La medida del ngulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia

268 | Solucionario

Pgina 189

1. a. c.


Pgina 1921. a. = 150 d. = 68

b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21

Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90

2. !COH = 120


4. = 60

Pgina 1951. a. = 43

b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120




2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100


Pgina 1981. a. = 39

b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60

Pgina 200

1. a. PC = c. PC = 6

b. PC = 9

2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2

3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2

Pgina 202

1. a. x = b. x = 9

2. a. PC = 8 c. PC = 21

b. BA = 13 d. PA = 6

3. a. PB = 9 c. PD = 3

b. OC = d. PA = 8

Pgina 204

1. a. x = b. x = 12 c. r = 6


3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8

b. CB = 30 d. OB = 5



1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =

2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40

152

152

115

472

192

152


256pi

43pi

4715pi

Respuestas:

1. Calcula la medida de los elementos pedidos en cada una de las figuras siguientes.

a. c. e.

b. d. f.

EN TU CUADERNO

198 | Unidad 5

Un ngulo interior a una circunferencia puede definirse como el ngulo formado por dos cuerdasque se cortan.

Un ngulo interior mide la semi-suma de los arcos que subtiende. Un ngulo exterior de una circunferencia es aquel cuyo vrtice est en el exterior de la circunferencia

y cuyos lados son secantes o tangentes. Un ngulo exterior mide la semi-diferencia de los arcos que subtiende.

EN RESUMEN

En el caso del ngulo exterior, PBC nos muestra que x = .Como los ngulos y son ngulos inscritos, que miden la mitaddel arco que subtienden, entonces, = y = y luego,x =

O

OO O

75

31

117121

37

15

35

O

8743

113O

A

B

33

71

P

x

B

A

C

D

AB es dimetro.

DC!

2AB!

2D AC B DC AB! ! ! !

2 2 2 =

( )

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