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Tema:

Calculo mecnico: Flechas y Tensiones.

I. OBJETIVOS.

Que el estudiante simule la influencia de la variacin de las condiciones ambientales en los valores dela tensin mecnica de los conductores y cables de tierra.

Que el estudiante se familiarice con la determinacin y el uso de la plantilla de flechas, principalmentepara las condiciones extremas de operacin.

II. INTRODUCCIN.

Los conductores de las lneas elctricas generalmente son cables, en su mayor parte heterogneos, es decir,que estn formados por grupos de conductores de diferentes materiales (combinacin de conductores de

aluminio y acero, cobre y acero, etc.).

Por tanto, el clculo mecnico de stos conductores debe hacerse en funcin del mdulo de elasticidad y del

coeficiente de dilatacin, correspondientes a la proporcin en que se encuentren el aluminio y el acero (stos

valores son proporcionados por el fabricante).

Las influencias atmosfricas que determinan el comportamiento mecnico de los cables (modificando la tensin

mecnica que se dio a los mismos cuando se tensaron) son principalmente:

Las variaciones de la temperatura ambiente, que por efecto de contraccin o dilatacin alteran lalongitud de stos, hacindola mayor o menor.

Si la temperatura aumenta, la longitud del cable se alarga (aumentando su flecha) y su tensinmecnica disminuye.

Si la temperatura disminuye, la longitud del cable disminuye (disminuyendo su flecha) y su

tensin mecnica aumenta.

La fuerza que ejerce el viento sobre los conductores, que acta como una sobrecarga, ya que alsumarse con el propio peso del cable hace que el efecto sea el de un aumento aparente de dicho peso.

La fuerza que ejerce la escarcha (hielo) sobre los conductores,supone otra sobrecarga, de accinvertical, que se superpone al peso propio del cable, sta condicin se aplica a zonas geogrficas de

baja temperatura.

Resulta, por tanto, indispensable tomar en cuenta las modificaciones que sufre el conductor por temperatura o

sobrecarga para conocer si para cualquier situacin se han de cumplir las prescripciones reglamentarias de

aislamiento y montaje.

Todas las modificaciones que se deban prever en el funcionamiento mecnico de las lneas se reflejan en una

relacin entre ellas, que se llama Ecuacin de Cambio de Estado.

Dos criterios generales se utilizan para el clculo de tensiones y flechas:

La curva de la catenaria,en donde se asume que la masa del conductor estuniformemente distribuidaa lo largo de la longitud del arco descrito por dicho conductor la tensin mnima en el cable esten el

Facultad de Ingeniera.

Escuela de Elctrica.

Asignatura: Dise

o deLneas de Transmisin.

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2-

1

t2- t

1

E =

a2

24[ w22

t2

2-

w1

2

t1

2 ]

punto ms bajo y la tensin mxima esten los puntos de apoyo. La tensin en cualquier punto del

cable consta de dos componentes: una horizontal(que es uniforme a lo largo del cable) y una vertical

(que varia desde cero en el punto ms bajo del cable hasta un valor mximo en los soportes). Lo

anterior significa que la tensin total en el cable es variable.

La curva de la parbola,se asume que la masa del cable estuniformemente distribuida a lo largo deuna lnea horizontal que depende de los puntos de soporte del cable. La ecuacin matemtica del cable

es la de una parbola.

Los resultados de ambos mtodos son similares cuando la relacin flecha-vano es pequea, sin embargo, la

diferencia en los resultados llega a ser considerable a medida que la flecha aumenta. Por tanto, para vanos

largos en donde la flecha es ms grande, se tendruna diferencia entre ambos mtodos.

El mtodo de la parbola, ms sencillo, se limita a relaciones flecha-vano menores que 0.05 y el mtodo de la

catenaria para relaciones entre 0.05 y 0.20. Difcilmente se encontrarn relaciones mayor a 0.20.

La Ecuacin de Cambio de Estado se define como:

Ecuacin 5.1: Ecuacin de Cambio de Estado.

Donde:

: coeficiente de dilatacin lineal del conductor [ C ].

2: temperatura final del conductor [ C ].

1: temperatura inicial del conductor [ C ].

t2: tensin final en el conductor [ kg ].

t1: tensin inicial en el conductor [ kg ].E: mdulo de elasticidad del conductor [ kg / mm2].

: seccin transversal del conductor [ mm2].

a: longitud del vano [ m ].

w2: peso por unidad de longitud final del conductor [ kg / m ].

w1: peso por unidad de longitud inicial del conductor [ kg / m ].

Una plantilla de curvas de flechas es utilizada para determinar grficamente en un plano de planta y perfil la

localizacin y altura de las estructuras, puesto que a travs de sta es posible:

Mantener el libramiento a tierra adecuado, lo mismo que el libramiento en cruzamientos.

Prever el balanceo excesivo de los aisladores y el levantamiento de las estructuras.

El uso adecuado de las limitaciones mecnicas de las estructuras de soporte.

Lograr economa en el diseo.

La plantilla de flechas consta de las siguientes curvas como mnimo:

Curva fra o curva de flechas mnimas verticales.Generalmente se elabora para temperatura de 15 C sin sobrecargas y para condiciones de flecha

inicial. sta curva se utiliza para revisar el levantamiento de las estructuras (tensin vertical) y el

balanceo en la cadena de aisladores.

Curva caliente o curva de flechas mximas verticales.

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En forma general se elabora a 60 C sin sobrecargas, es decir, sin hielo y sin viento y para condiciones

de flecha final. sta curva se utiliza para localizar la posicin de las estructuras, revisar libramientos,

revisar balanceo en la cadena de aisladores y altura de las estructuras en los planos de planta y perfil.

Curva de tierra.

Consiste en una curva paralela a la curva caliente, desplazada de

sta la distancia del libramiento atierra.

Curva de pie de apoyo.sta se traza paralela a la curva caliente, desplazada una distancia igual a la altura que hay desde el

suelo hasta el punto de engrape del conductor interior y es utilizada para determinar la ubicacin de las

estructuras.

Planteamiento de la ecuacin de la flecha.

Un conductor de peso uniforme, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B situados a la misma altura, forma

una curva llamada catenaria. La distancia f entre el punto ms bajo situado en el centro de la curva y la

recta AB, que une los apoyos, recibe el nombre de flecha. Se llama vano a la distancia "a" entre los dos

puntos de amarre A y B.

Figura 5.1.

Los postes debern soportar las tensiones TAy TBque ejerce el conductor en los puntos de amarre.

La tensin T = TA= TBdependerde la longitud del vano, del peso del conductor, de la temperatura y de

las condiciones atmosfricas.

Para vanos de hasta unos 500 metros podemos equiparar la forma de la catenaria a la de una par bola, lo cual

ahorra unos complejos clculos matemticos, obteniendo, sin embargo, una exactitud ms que suficiente.

La catenaria deberemplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000 metros de longitud, ya que

cuanto mayor es el vano menor es la similitud entre la catenaria y la parbola.

Calculamos a continuacin la relacin que existe entre la flecha y la tensin. Para ello representamos el

conductor de un vano centrado en unos ejes de coordenadas:

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y =x

2P

2 TO

y =f ; x =a

2

Figura 5.2.

Consideramos un trozo de cable OC que tendrun peso propio PLaplicado en el punto medio y estarsometido

a las tensiones TOy TCaplicadas en sus extremos.

Tomando momentos respecto al punto C tendremos:

Ecuacin 5.2

Por lo tanto el valor de y ser:

Ecuacin 5.3

Si llamamos P al peso unitario del conductor, el peso total del conductor en el tramo OC, que hemos llamado PL,

serigual al peso unitario por la longitud del conductor.

Por lo tanto admitiendo que:

Ecuacin 5.4

y sustituyendo esta expresin en la Ecuacin 5.3, resulta que:

Ecuacin 5.5

Si ahora consideramos el punto A correspondiente al amarre del cable en vez del punto C, tendremos que:

Ecuacin 5.6

Por lo tanto al sustituir queda:

Ecuacin 5.7

PL

x

2=T

Oy

y =x P

L

2 TO

PL=P x

f =P a

2

8 TO

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TO=

P a2

8 f

Podemos despejar el valor de la tensin TO y tendremos que :

Ecuacin 5.8

La Ecuacin 5.7 nos relaciona la flecha fen funcin de la tensin TO, del peso unitario del conductor Py de la

longitud del vano a.

Si comparamos la Ecuacin 5.7 con la ecuacin de la catenaria:

Ecuacin 5.9

Podremos observar la complejidad de sta y como se demostrara en el desarrollo de la gu a, los resultados

sern prcticamente iguales (para ciertos valores de vanos).

Nos interesa trabajar con la tensin TAen lugar de la empleada hasta ahora TO. Observamos el tringulo de

fuerzas compuesto por TO, TAy PL:

Figura 5.3.

Y aplicando el Teorema de Pitgoras tenemos:

Ecuacin 5.10

En los casos prcticos que se nos presentan en las lneas areas de alta tensin, el valor del ngulo formado

por TOy TAes muy pequeo, por lo que podemos asegurar que TOTA. Esto equivale a afirmar que la tensin a

lo largo del conductor es constante.

f =TO

P[Cosh a P2 TO

- 1 ]

TA2

=TO2

P

a

2

2

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III. MATERIAL Y EQUIPO.

No. Cantidad Descripcin

1 1 Computadora con MATLAB 5.3

2 1 Disco flexible3 1 Gua de laboratorio

Tabla 5.1.

IV. PROCEDIMIENTO.

Paso 1. Con un conductor HAWK calculamos las flechas para distintos vanos con un coeficiente de seguridad

de 4. El conductor HAWK presenta una tensin de rotura de 8820 kg y un peso unitario de 0.975 kg/m. Las

ecuaciones a utilizar son las correspondientes al calculo de flecha por el mtodo de la parbola (Ecuacin 5.7) y

por el mtodo de la catenaria (Ecuacin 5.9).

Ecuacin 5.7

Ecuacin 5.9

Donde:

f: es la flecha.

P: es el peso del cable por unidad de longitud.

TO: es la tensin de diseo.

a: es el vano.

Los valores que sustituimos son:

Paso 2. Elabore un programa en MATLAB que calcule la flecha por los mtodos de la catenaria y parbola para

diferentes valores de distancia entre apoyos (vano), adems que calcule su respectivo porcentaje de error

(tomando como referencia la flecha obtenida con la catenaria). Los diferentes valores de vano que utilizara

aparecen en la Tabla 5.2.

% Calculo de flechas %

disp('Calculo de flecha por el metodo de la parabola y de la catenaria')

b=input('Cual es la tension de rotura del cable a utilizar [ kg ]: ');

P=input('Cual es el peso del cable por unidad de longitud [ kg / m ]: ');

n=input('Cual es el factor de seguridad a utilizar en su diseo: ');

T=(b/n);

a=input('Cual es el valor del vano: ');

f =P a

2

8 TO

f =T

O

P[Cosh a P2 TO

- 1 ]

T =Q

n=

8820

4=2205 kg ; P =0 .975 kg / m

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fp=((P*a*a)/(8*T));

fc=((T/P)*(cosh((a*P)/(2*T))-1));

c=((fc/fp)-1)*100;

disp('La flecha por el metodo de la parabola es igual a:'),fp

pause(7)

disp('La flecha por el metodo de la catenaria es igual a:'),fc

pause(7)

disp('El porcentaje de error en el calculo es de:'),c

Paso 3. Con los valores obtenidos con la ejecucin del programa anterior, proceda a llenar la Tabla 5.2:

Vano ( m )Flecha por el

Mtodo de la parbola ( m )

Flecha por el

Mtodo de la catenaria ( m )% de error

100200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Tabla 5.2.

Paso 4. Sabemos que si la temperatura aumenta, la longitud del cable se alarga (aumentando su flecha) y su

tensin mecnica disminuye y si la temperatura disminuye, la longitud del cable disminuye (disminuyendo su

flecha) y su tensin mecnica aumenta.

Paso 5. Hacer un programa en MATLAB que nos ayude a verificar la influencia de las condiciones ambientales

(en este caso la temperatura1) sobre la tensin a la cual esta sometida el conductor. Asuma un factor de

seguridad de 3 y un vano de 200 metros.

% Calculo de la tension %

disp('Calculo de la tension del conductor')

f=input('Cual es el valor de la flecha [ m ]: ');P=input('Cual es el peso del cable por unidad de longitud [ kg / m ]: ');

n=input('Cual es el factor de seguridad a utilizar en su diseo: ');

a=input('Cual es el valor del vano: ');

T=((P*a*a)/(8*f));

1El anlisis se harde manera indirecta, es decir, se utilizara la ecuacin del calculo de flecha por el mtodo de la Parbola

para el calculo de la tensin del conductor.

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Q=(T*n);

disp('El valor de la tension en kg es de:'),T

if Q < 8820

disp('El cable que ha escogido en su diseo es el ideal')

else

disp('P R E C A U C I O N')

disp('El conductor que ha elegido en su diseo cumple con las caracteristicas electricas')

disp('pero no con las caracteristicas mecanicas')

disp('E L I J A O T R O C O N D U C T O R')

end

Flecha

( m )

Tension ( kg )

0.25

0.50

0.75

1

1.25

1.50

1.75

2

Tabla 5.3.

V. INVESTIGACIN Y EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS.

1. Grafique y explique la variacin de la flecha con respecto al vano (para ambos mtodos).

2. Para que valores de vanos es admisible utilizar el mtodo de la parbola como una buena aproximacin

del mtodo de la catenaria.

3. Explique una alternativa para el calculo de la tensin en funcin de la variacin de la temperatura de

forma directa y no de forma indirecta como la realizada en el laboratorio.

4. Qusignifica el nmero 8820 en el segundo programa del calculo de la tensin?.

5. Grafique y explique la variacin de la tensin con respecto a la flecha.

6. Cules son los valores permitidos para flechas y vanos?. Comente acerca de los resultados obtenidos

en la Tabla 5.2.

7. Qu sucede con el anlisis en cuanto a calculo de flechas y tensiones cuando los apoyos no se

encuentran al mismo nivel?.

8. Cmo se distribuyen los esfuerzos en los apoyos cuando stos no se encuentran al mismo nivel?.

Presentar los programas realizados en un disco.

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VI. BIBLIOGRAFA.

Luis Maria Checa.Lneas de Transporte de Energa.

1988 Marcombo Boixareu Editores.

JosMiguel Valencia & Otto Tvez.Elaboracin de una herramienta asistida por computadora para el diseo elctrico y el calculo de

tensiones.

Tesis de Ingeniera Elctrica.

Harper, Gilberto Henrquez.

Tcnicas Computacionales en Sistemas Elctricos de Potencia.

Limusa, 1986.