Guía 4 - Adición en El Conjunto Q
8
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” I BIM – ARITMÉTICA – 2DO. AÑO Federico Villarreal nació el 3 de agosto de 1850 en Túcume, departamento de Lambayeque (Perú). A los 14 años fue cajero en una empresa algodonera, pero no dejó sus estudios que lo llevarían a ser profesor. A los 20 años obtuvo el título de preceptor el cual le permitió dirigir la escuela oficial de Túcume de 1870 a 1874, entre 1875 y 1876 dirigió un colegio de instrucción media en la ciudad de Lambayeque, enseño allí matemáticas y ocupó en él el cargo de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primara en Lambayeque. La experiencia de Villarreal como maestro elemental señaló sólo una primera etapa. Su vocación de matemático bullía desbordando su enseñanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba con tan sólo 23 años descubrió un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Entre 1877 y 1880 estudió ciencias matemáticas en la Facultad de Ciencias de UNMSM graduándose como bachiller en 1879 con la tesis: “Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras”, y como licenciado con la tesis: “Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros” (1880). En 1881 se graduó de doctor en ciencias matemáticas mediante la tesis: “Clasificación de Curvas de Tercer Grado”, se le otorgó la medalla de oro por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el Perú. Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias de la UNMSM en 1880, donde dictó su primer curso: Astronomía; luego en esa misma casa de estudios se encargó de los cursos: Revisión de Matemáticas, Mecánica Racional, Geodesia y Teoría General de Motores y Máquinas. Por su gran prestigio y sus dotes profesionales e intelectuales, llegaría a ser decano de la Facultad de Ciencias en dos oportunidades: de 1903 a 1917 y luego de 1919 a 1923. Siguió estudios en la Escuela Nacional de Ingenieros desde 1882 hasta graduarse de ingeniero civil y de minas en 1886. En este centro enseñó los cursos de física, cálculo infinitesimal, teoría de caminos, puentes y ferrocarriles, topografía y luego los cursos de Resistencia de Materiales e Hidráulica. También fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890) en donde enseñó los cursos de: Cosmografía, Trigonometría Esférica, Construcción de Cartas Topográficas y Cálculo de Probabilidades. Fundó la Revista de Ciencias de 1897. F. Villarreal participó activamente formando parte del consiguiente sanmarquino en la Guerra con Chile, específicamente en la Resistencia de Chorrillos y en la Batalla de Miraflores (enero de 1881) donde fue distinguido con el grado de subteniente. En 1893 se enroló en la Guardia Nacional y en 1884 fue nombrado primer jefe del batallón “Defensores de la Patria”. También incursionó en la política. En 1871 fue presidente de la Junta Directiva del Partido Civil en el distrito de Muchumi (Lambayeque). Posteriormente, en el año 1892 fue elegido senador suplente de su departamento. Más tarde, fue elegido nuevamente senador de Lambayeque, actuando en las legislaturas de 1913 y 1914 en donde alcanzan mucha significación sus discursos sobre la “Ley de Enfiteusis” y sobre la “Ley Relativa a los Bancos Hipotecarios”. Fue uno de los iniciadores de la ley que estableció el examen de ingreso a la universidad. COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 50
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adición ene le conjunto
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6
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1
3
2
=
+
=
+
COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCEI BIM ARITMTICA 2DO. AO5
3
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5
2
Federico Villarreal naci el 3 de agosto de 1850 en Tcume, departamento de Lambayeque (Per). A los 14 aos fue cajero en una empresa algodonera, pero no dej sus estudios que lo llevaran a ser profesor. A los 20 aos obtuvo el ttulo de preceptor el cual le permiti dirigir la escuela oficial de Tcume de 1870 a 1874, entre 1875 y 1876 dirigi un colegio de instruccin media en la ciudad de Lambayeque, enseo all matemticas y ocup en l el cargo de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primara en Lambayeque.
La experiencia de Villarreal como maestro elemental seal slo una primera etapa. Su vocacin de matemtico bulla desbordando su enseanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba con tan slo 23 aos descubri un mtodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera.
Entre 1877 y 1880 estudi ciencias matemticas en la Facultad de Ciencias de UNMSM gradundose como bachiller en 1879 con la tesis: Frmulas y mtodos que deben completarse en matemticas puras, y como licenciado con la tesis: Efectos de la Refraccin sobre el Disco de los Astros (1880). En 1881 se gradu de doctor en ciencias matemticas mediante la tesis: Clasificacin de Curvas de Tercer Grado, se le otorg la medalla de oro por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su poca, quien a la vez, se constituye en el primer matemtico profesional del siglo XX en el Per.
Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias de la UNMSM en 1880, donde dict su primer curso: Astronoma; luego en esa misma casa de estudios se encarg de los cursos: Revisin de Matemticas, Mecnica Racional, Geodesia y Teora General de Motores y Mquinas. Por su gran prestigio y sus dotes profesionales e intelectuales, llegara a ser decano de la Facultad de Ciencias en dos oportunidades: de 1903 a 1917 y luego de 1919 a 1923.
Sigui estudios en la Escuela Nacional de Ingenieros desde 1882 hasta graduarse de ingeniero civil y de minas en 1886. En este centro ense los cursos de fsica, clculo infinitesimal, teora de caminos, puentes y ferrocarriles, topografa y luego los cursos de Resistencia de Materiales e Hidrulica. Tambin fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890) en donde ense los cursos de: Cosmografa, Trigonometra Esfrica, Construccin de Cartas Topogrficas y Clculo de Probabilidades. Fund la Revista de Ciencias de 1897.
F. Villarreal particip activamente formando parte del consiguiente sanmarquino en la Guerra con Chile, especficamente en la Resistencia de Chorrillos y en la Batalla de Miraflores (enero de 1881) donde fue distinguido con el grado de subteniente. En 1893 se enrol en la Guardia Nacional y en 1884 fue nombrado primer jefe del batalln Defensores de la Patria.
Tambin incursion en la poltica. En 1871 fue presidente de la Junta Directiva del Partido Civil en el distrito de Muchumi (Lambayeque). Posteriormente, en el ao 1892 fue elegido senador suplente de su departamento. Ms tarde, fue elegido nuevamente senador de Lambayeque, actuando en las legislaturas de 1913 y 1914 en donde alcanzan mucha significacin sus discursos sobre la Ley de Enfiteusis y sobre la Ley Relativa a los Bancos Hipotecarios. Fue uno de los iniciadores de la ley que estableci el examen de ingreso a la universidad.
Villarreal tambin posea una notable cultura filosfica de manifiesta preferencia por la corrientes mecanicistas propias de aquella poca y sostenidas entre otros por Wronski, corrientes que parecan tener la posibilidad de lograr una sntesis entre la filosofa y la Mecnica Celeste como sistema de descripcin causalista del equilibrio universal cualesquiera que fuera la estructura y consistencia del Universo.
AO
ACONTECIMIENTOS
3500 a.C.
Los Egipcios y Caldeo Asirios ya tienen conocimiento de la adicin.
747 a.C.
Los babilonios comienzan a calcular las fechas.
600 a.C.
La escuela pitagrica usaban el baco para sumar.
1150
Los hindes tenan una forma poco prctica para sumar.
1350
Los Quipucamayocs usaron el baco en el Imperio Incaico
1489
El signo (+) es usado por primera vez para indicar exceso por el alemn WIDMAN, al publicar un libro de aritmtica.
El trabajo y la perseverancia son los ojos del xito
ADICIN DE FRACCIONES HOMOGNEAS
Observa el siguiente ejemplo:
Otra forma:
5
3
5
1
2
5
1
5
2
=
+
=
+
PRCTICA
a)
=
+
=
+
5
5
3
5
4
b)
4
7
1
7
7
3
=
+
=
+
c)
=
+
=
+
5
5
4
5
2
d)
9
9
9
4
9
7
=
+
=
+
e)
10
10
10
3
10
2
10
8
=
+
+
=
+
+
ADICIN DE FRACCIONES HETEROGNEAS
Observa el siguiente ejemplo:
=
+
+
6
7
5
7
3
2
PASO N 1
M.C.M. (3, 5, 6) = 30
PASO N 2
=
+
+
=
+
+
30
35
42
20
6
7
5
7
3
2
AHORA PRCTICA T
2
1
3
2
5
4
+
+
PASO N 1
M.C.M. (5, 3, 2) = 30
PASO N 2
=
+
+
=
+
+
30
2
1
3
2
5
4
Sigamos, observa:
6
7
6
3
4
2
1
3
2
=
+
=
+
PROPIEDADES DE LA ADICIN
1) Conmutativa
6
4
6
2
6
2
6
4
+
=
+
6
6
=
6
6
2) Asociativa
+
+
=
+
+
5
1
5
2
5
4
5
1
5
2
5
4
5
6
+
5
1
=
5
4
+
5
3
5
7
=
5
7
1. Completa:
A) Aquella fraccin cuyos denominadores son diferentes se llaman _________________
B) Aquella fraccin cuyos denominadores son iguales se llaman __________________
2. Relaciona:
A)
5
6
5
4
-
(
2
11
B)
2
3
2
8
+
(
10
4
-
C)
10
15
10
11
-
(
5
2
-
3. Aplicando la propiedad conmutativa resuelve:
A)
6
3
6
2
+
B)
3
2
5
7
+
C)
9
3
4
6
+
4. Aplicando la propiedad asociativa resuelve:
A)
5
2
5
3
5
4
+
+
B)
5
6
7
2
9
3
+
+
C)
9
6
7
3
5
4
+
+
5. Aplicando el mtodo practicar resuelve:
A)
7
3
5
2
+
B)
4
2
9
6
+
C)
3
2
5
1
+
6. Marcar con V F segn sea el caso:
A) En la suma homogneas se halla el MCM
( )
B) En la suma heterogneas se halla el MCM
( )
7. Marca con X las Fracciones Homogneas
3
9
,
4
2
,
4
8
,
7
6
,
7
2
,
9
8
,
7
4
8. Marca con X las Fracciones Heterogneas
3
1
,
2
1
,
8
7
,
8
6
,
9
2
,
9
3
,
7
6
,
5
2
9. Une con flechas
A) Conmutar significa ( cambiar de
posicin
B) Asociar significa ( agrupar
10. Une con flechas
A) Homogneas (
7
3
,
5
2
B) Heterogneas (
9
2
,
9
4
11. Aplicando el mtodo asociativo resuelve:
A)
5
4
7
3
6
2
+
+
B)
7
2
10
1
9
3
+
+
C)
12
4
19
3
17
1
+
+
12. Aplicando el mtodo prctico resuelve
A)
7
3
5
2
+
B)
7
3
9
6
+
C)
3
2
5
1
+
13. Efectuar las siguientes operaciones:
A)
4
3
7
2
4
3
+
+
=
B)
5
3
5
1
5
1
8
3
+
+
=
C)
9
7
9
8
9
3
+
+
=
14. Efectuar:
A)
10
420
10
350
10
100
+
+
=
B)
12
12
12
144
12
120
+
+
=
C)
90
900
100
600
90
450
+
+
=
15. Efectuar:
A)
700
1400
500
1500
60
480
+
+
=
B)
5
25
2
144
5
155
+
+
=
C)
9
7
4
3
9
5
4
13
+
+
+
=
1. Coloca una (X) a la respuesta correcta:
En la suma de fracciones heterogneas es necesario hallar el MCD?
2. Resolver:
4
1
3
6
1
5
+
a) 64/12b) 68/12c) 72/12
d) 14/12e) N.A.
3. Efectuar las siguientes operaciones:
3
1
3
18
3
1
3
+
+
a) 29/5b) 29/4c) 29/3
d) 28/5e) 26/4
4. Coloca V F segn corresponda:
a)
3
5
,
3
2
F. Homogneas ( )
b)
3
6
,
3
3
F. Heterogneas ( )
c)
7
5
,
7
2
F. Nula ( )
5. Efectuar:
=
+
+
+
4
7
4
8
4
6
4
5
a) 25/4b) 27/4c) 28/4
d) 29/4e) N.A.
6. Efectuar:
3
2
3
5
+
a) 6/3b) 5/3c) 7/3
d) 8/3e) N.A.
7. Desarrollar:
1
3
1
5
5
1
3
+
+
a) 142/15b) 143/15c) 144/15
d) 145/16e) N.A.
8. Efectuar:
10
30
10
100
5
20
5
15
+
+
+
=
a) 20/5b) 10c) 4
d) 25/5e) N.A.
9. Coloca V F segn convenga
A)
7
4
,
5
3
F. Homognea( )
B)
5
7
,
5
6
F. Heterognea( )
C)
5
6
5
7
+
F. Homognea( )
RESOLVER:
10.
3
66
3
1
4
6
2
1
+
+
=
11.
5
25
12
144
4
29
4
26
+
+
+
=
12.
100
600
5
525
6
48
+
+
=
13.
-
+
9
3
15
4
5
1
=
14.
7
59
7
48
7
14
7
28
+
+
+
=
15.
10
50
20
640
150
300
20
640
+
+
+
=
NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 4SEGUNDO AO
ADICIN EN EL CONJUNTO Q
Solo tiene que dividir el MCM con el denominador y multiplicarlos con el Numerador.
No
Si
Tarea Domiciliaria
N 4
Curiosidades Matemticas
El smbolo . para la multiplicacin fue utilizado por Thomas Marriot pero quien lo populariz fue Leibniz.
Ejercicios de Aplicacin
Conmutar significa cambiar de posicin.
Tambin lo puedes hacer as:
EMBED Equation.3
esto solo es posible cuando los denominadores son primos entre s.
Curiosidades Matemticas
El origen de los signos + y no se conoce con certeza. Hay varias opiniones. Una de ellas supone que surgieron de las marcas hechas con tiza en las cajas de mercaderes, por los comerciantes alemanes del siglo XV, para indicar las diferencias de peso en ms o menos segn un patrn establecido.
x
0
600 a.C.
3500 a.C.
Curiosidad Matemtica
La divisin centesimal se invent con el sistema mtrico decimal o finales del siglo XVIII.
747 a.C.
Asociar significa Agrupar
1489
1150
(
(
(
Curiosidades Matemticas
Paolo Ruffini, matemtico italiano (1765 - 1822) public su famosa regla en 1804. esencialmente coincide con la publicada en 1819 por el ingls W.G. Hornes. Antecedentes de esta regla se han encontrado en trabajos de matemticos chinos en el siglo XIII.
x
x
Recuerda:
F. Heterogneas son aquellas que poseen diferentes denominadores
Recuerda:
F. Homogneas son aquellas que tiene el mismo denominador.
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
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COLEGIOS TRILCE: SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENADpto. de Publicaciones
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