GUÍA CódigoMGF - 03-R011

AREA: MATEMÁTICAS PERIODO Grado: Octavo

PROFESOR: ADRIANA CASTAÑO J. II Guía N° 1

 CLASE DE GUIA: CONCEPTUAL

LOGROS:

Aplique los algoritmos necesarios para hallar el producto de expresiones algebraicas a través de los distintos productos notables

INTRODUCCIÓN

En Matemáticas, se le da el nombre de productos notables a aquellos productos que se ajustan a reglas fijas y que se obtienen al elevar un binomio a la segunda y/o a la tercera potencias. Tal es el caso de los binomios a + b y a - b , que al elevarlos a las potencias mencionadas obtenemos los siguientes productos notables:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Y se llaman productos notables porque son invariables. La operación de elevar al cuadrado un binomio resulta fácil y sencilla pero debemos tener muy presente el manejo correcto de los signos; y recordar siempre que cuando se multiplican signos iguales (positivo y positivo, o negativo y negativo) el resultado será positivo, y que cuando lo hacemos con signos contrarios, el resultado será siempre negativo.

AHORA CONOCERas LAS REGLAS PARA RESOLVER ESTOS PRODUCTOS NOTABLESSUMA O DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUADRADO Para ello vamos a introducir el siguiente tema con una experiencia en

donde vas a necesitar los siguientes materiales: Cartulina, Escuadras, Lápiz, Tijeras

1. Construye un cuadrado de 20 cm de lado 2. Escribe una expresión que represente el

área de dicho cuadrad

3. Descompón el cuadrado en: un cuadrado de lado y dos rectángulos de

longitudes y . como lo muestra la

figura.

4. Recorta las figuras resultantes y halla el área de cada una de ellas.

5. Halla el área del cuadrado mayor uniendo el área de cada figura

resultante.

¿Qué puedes concluir?

OBSERVA QUE SUCEDE:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)² = a2 - 2ab + b2

Este esquema se resume en la siguiente regla:REGLA

La suma de un binomio al cuadrado es igual al primer término elevado al cuadrado más dos que multiplica al producto del primero y el segundo término del binomio más el segundo término al cuadrado. La diferencia de un binomio al cuadrado, da el mismo resultado, pero el segundo término de la respuesta 2ab es negativo.

Veamos ahora como se aplica en casos particulares.

ANALIZA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS:

(3x + 2y)2 = (3x)2 + 2(3x) (2y) + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2

(x - 8)2 = x² - 2(x)(8) + 8² = x2 – 16x + 64

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“EL MAYOR DESCUBRIMIENTO DE CADA GENERACIÓN,

ES QUE EL SER HUMANO PUEDE CAMBIAR SU VIDA, CAMBIANDO SUS ACTITUDES MENTALES”.

ALBERT SCHWEITZER.

SUMA O DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUBOPara el caso del binomio al cubo tenemos también una regla que debes aprender para poder resolver los ejercicios rápidamente. Así como en el aparte anterior vimos como se resolvían los binomios al cuadrado, analiza Ahora la siguiente regla y luego ponla en práctica.

REGLA

La suma de un binomio al cubo es igual:

1. El primer término del binomio elevado al cubo.

2. Más tres veces el producto del primer término elevado al cuadrado por el segundo término.

3. Más tres veces el producto del primer término por el cuadrado del segundo término.

4. Más el cubo del segundo término del binomio

ATENCIÓN

La regla anterior simbólicamente la representaremos así:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Para el caso de que el binomio sea negativo usaremos:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

ANALIZA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS:

(2x – 3y)3 = (2x)3 – 3(2x)2 .(3y) + 3(2x) (3y)2 – (3y)3

= 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3

(m + 3)3 = m3 + 3(m) 2 (3) + 3(m) (3)2 + (3)3

= m3 + 9m2 + 27m + 27

LA SUMA DE UN BINOMIO POR SU DIFERENCIA (a + b)(a – b)Para representar la suma por diferencia, utilizaremos un rectángulo de largo "a + b" y ancho "a - b". Considere dos trazos a = 15cm y b= 5 cm1. Construyo un cuadrado de longitud

2. Agrega a este cuadrado un rectángulo de lados a y b:

3. Responde:a. ¿Qué figuras se forma?b. ¿Cuál es la longitud de los lados de este rectángulo?

4. De la figura que te resultó, recorta un rectángulo de lados "a" y "b" (en sentido horizontal), como lo indica el siguiente esquema.

Quedando

5. Recorta ahora el cuadrado de lados "b" que se formó.

6. Escribe las longitudes de los lados del nuevo rectángulo resultante

7. Halla el área de la nueva figura.8. ¿Qué puedes concluir?

ANALIZA

(a + b) (a – b)

Por simple inspección quedaría (a + b) (a – b) = a2 – b2

REGLA

La suma de un binomio por su diferencia es igual al primer término del binomio al cuadrado MENOS el segundo término del binomio al cuadrado.

EJEMPLO:(m – n) (m + n) = m2 – n2

(x + y) (x – y) = x2 – y2

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La diferencia de un binomio al cubo SE HACE IGUAL PERO COLOCANDO LOS SIGNOS ALTERNADOS: + , -, + , -

PRODUCTO DE LA FORMA (x ± a) (x ± b)REGLA

El producto de un binomio de la forma (x ± a) por el binomio de la forma (x ± b) es igual a:1. El cuadrado del término común, más 2. El producto del término común por la suma

algebraica de los no comunes, más3. El producto de los términos no comunes

EJEMPLO:

(x + 2) (x -3) = x2 + x(2 -3) + (+2)(-3) = x² - x – 6

(b – 5)(b + 8) = b² + b(-5 + 8) + (-5)(+8) = b² + 3b - 40

TRIANGULO DE PASCALUn método práctico para desarrollar potencias de la suma o resta de dos cantidades consiste en construir el llamado triángulo de Pascal. Ten presente lo importante es que mediante el triángulo conocemos los coeficientes de los términos del desarrollo de cada potencia del binomio, observa:

Estos valores los llevamos a los desarrollos del binomio y éstos quedan así:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a² +2ab + b2

(a + b)3 = a3 +3 a² b + 3ab² + b3

(a + b)4 = a4 +4 a3 b + 6 a ² b2 + 4 a b3 + b4

ACTIVIDADNos dirigimos al aula inteligente para observar en diapositiva la representación Geométrica del los diferentes productos notables estudiados hasta el momento y los restantes como:

En Colombia, hay 2,5 millones de niños trabajadores. Se considera que en Bogotá, una cuarta parte de los niños es población económicamente activa (trabajadores) y de éstos, uno de cada tres está obligado a trabajar.

Con la anterior información responde las preguntas de la 1 a la 3

1. En Colombia hay aproximadamente 40 millones de habitantes. Los niños trabajadores representan aproximadamente

A. el 25% de los habitantes de ColombiaB. entre el 2,5% y 4% de los habitantes de Colombia.C. el 6,2% de los habitantes de ColombiaD. entre el 1% y 3% de los habitantes de Colombia

2. Si en Bogotá hay aproximadamente 450.000 niños trabajadores, el número aproximado de niños que viven en Bogotá es

A. 150.000 B. 300.000 C. 1.350.000 D. 1.800.000

3. De un grupo de 300 niños trabajadores que viven en Bogotá, el número de niños obligados a trabajar es deA. 75 B. 100 C. 200 D. 225

4. Una fábrica procesadora de papel y cartón produce a la semana 1.500 cajas de cartón del mismo tamaño, trabajando al mismo ritmo. ¿Cuántas cajas producirán en cinco semanas y media? (cada semana consta de seis días laborales)

A. 7.500 cajas B. 8.250 cajas C. 8.500 cajas D. 9.250 cajas

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Completa en tu libreta el triangulo de pascal para las potencias de 5 al 10

5. Cinco excursionistas disponen de alimento para 9 días comiendo cuatro raciones diarias. Si demoran 12 días en llegar a su destino. ¿Cuántas raciones deben consumir por día para que les alcancen las provisiones?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. En una dulcería tienen 9 empleados que, trabajando 8 horas, hacen y empacan 150 cajas de dulces. ¿Cuántas horas tardarán 12 empleados en hacer y empacar un pedido de 375 cajas?A. 16 horas B. 15 horas C. 14 horas D. 13 horas

LOS SIGUIENTES TEMAS SE CONSULTARAN Y SE SOCIALIZARAN EN CLASES COLECTIVAS

División sintética o regla de Ruffini. Teorema del residuo. Cocientes notables. Distintos casos de cocientes notables.

RECURSOS

Textos del bibliobanco. Cuadernos. Internet. Cartulina. Tejera. Cinta de enmascarar

AUTOEVALUACIÓN

A continuación aparecen los indicadores de logro. Marco con X en la columna de la S si el logro indicado está superado o X en la columna de PS si está en proceso.

Esta guía será socializada el día _______________

CONSULTA BIBLIOGRÁFICA.DELTA 8. EDITORIAL NORMA.

ALGEBRA DE BALDOR

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S PSHe comprendido todos los puntos básicos sugeridos.En caso que sea negativa la respuesta a la pregunta anterior, señalo aquellos en los que tuve dificultad.Establezco y justifico mis respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso resolver adiciones y sustracciones con expresiones algebraicas.Aplico los algoritmos necesarios para hallar el producto de expresiones algebraicas a través de los distintos productos notables.