GUÍA DOCENTE MatemácasAvanzadas - UAH

GUÍA DOCENTE

Matemá cas Avanzadas

Grado enIngeniería Informá ca

Universidad de Alcalá

Curso Académico 2020/2021

2º Curso – 1er Cuatrimestre

Aprobada en Junta de Escuela el día 24 de junio de 2020

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GUÍA DOCENTE

Nombre de la asignatura: Matemáticas Avanzadas Código: 780013 Titulación en la que se imparte:

Grado en Ingeniería Informática

Departamento y Área de Conocimiento: Departamento Ciencias de la Computación

Carácter: Básica Créditos ECTS: 6 Curso y cuatrimestre: Segundo Curso / Primer Cuatrimestre

Profesorado: José Enrique Moráis San Miguel Consultar en la página web del departamento

Horario de Tutoría: El horario de Tutorías se indicará el primer día de clase

Idioma en el que se imparte: Español

1a. PRESENTACIÓN La asignatura de Matemáticas Avanzadas es una asignatura obligatoria que pertenece a la materia de Matemáticas. Objetivos:

• Conocer los contenidos: conceptos básicos de aritmética entera y modular, y sus aplicaciones, la teoría básica de polinomios y cuerpos finitos (base de la teoría de códigos), las principales técnicas de interpolación y cálculo de varias variables.

• Adquirir herramientas y destrezas para realizar los problemas de forma adecuada.

• Usar el lenguaje matemático de forma correcta. • Relacionar los conceptos matemáticos con los informáticos. • Conocer y aplicar los algoritmos propios del contenido de la asignatura. • Conocer y aplicar algún método de encriptación en clave pública. • Valorar positivamente la utilización de aplicaciones informáticas para

agilizar los cálculos de la resolución de problemas. • Valorar la modelización y la resolución de problemas concretos

relacionados con los contenidos de la asignatura Prerrequisitos y Recomendaciones Se recomienda haber superado las asignaturas de Fundamentos Matemáticos y Estructuras Discretas, que se imparten en el primer curso.

1b. PRESENTATION


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The Course “Matemáticas Avanzadas” is a basic course. Objectivs: At the end of the Course the student shoul be able to:

• Know the basic concepts on modular and integer arithmetics, the basic theory of polynomial rings and finite fields and their applications. K

• Know the main interpolation techniques and the fundamentals of several variables Calculus.

• Acquire the tolos and skills to solve problems on above mentioned topics. • Use the mathematical language in a proper manner. • Relate the mathematical concepts with those on Computer Science. • Know and apply the algortihms developed in the Course. • Know and apply a public key criptographic system. • Consider the impact of computational packages in order to solve faster

certain problems. • Modele and solve concrete problems applying the different concepts

presented in the Course. Although it is not mandatory, it is strongly recommended to have passed the first semester course “Fundamentos Matemáticos” and the second semester course “Estructuras Discretas”.

2. COMPETENCIAS Competencias generales: CG8 Conocimiento de las materias básicas y tecnologías, que capaciten para el aprendizaje y desarrollo de nuevos métodos y tecnologías, así ́como las que les doten de una gran versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones. CG9 Capacidad para resolver problemas con iniciativa, toma de decisiones, autonomía y creatividad. Capacidad para saber comunicar y transmitir los conocimientos, habilidades y destrezas de la profesión de Ingeniero Técnico en Informática. Competencias específicas: CIB3 Capacidad para comprender y dominar los conceptos básicos de matemática discreta, lógica, algorítmica y complejidad computacional, y su aplicación para la resolución de problemas propios de la ingeniería. CI6 Conocimiento y aplicación de los procedimientos algorítmicos básicos de las tecnologías informáticas para diseñar soluciones a problemas, analizando la idoneidad y complejidad de los algoritmos propuestos. Resultados de aprendizaje:


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• RA1 Comprender, manejar y analizar algoritmos clásicos y computacionalmente eficientes en aritmética entera.

• RA2 Comprender y manejar conceptos básicos de la teoría de números elemental. Aplicar la aritmética modular al estudio de la primalidad y la factorización de números enteros.

• RA3 Describir un método de encriptación de clave pública teniendo en cuenta la razón computacional de su funcionamiento.

• RA4 Comprender la estructura de los anillos de polinomios y de los cuerpos finitos.

• RA5 Entender la importancia de la interpolación en problemas prácticas y su aplicación en problemas informáticos.

• RA6 Comprender la necesidad del uso de funciones en varias variables. Comprender la forma de extender los conceptos asociados al cálculo en una variable a varias variables.

• RA7 Aplicar la integración en varias variables a la resolución de problemas prácticos propios de la titulación.

3. CONTENIDOS Bloque 1. Aritmética entera y modular. Tema 1. Aritmética entera.

1.1. Los números enteros. 1.2. Divisibilidad. 1.3. Máximo común divisor y algoritmo de Euclides. 1.4. Algoritmo extendido de Euclides y resolución de ecuaciones diofánticas. 1.5. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética.

Tema 2. Aritmética modular. 2.1 Relaciones de equivalencia. 2.2 Congruencias en Z módulo n. 2.3 Aritmética modular. 2.4 Ecuaciones y sistemas de congruencias.

2.5 Aplicaciones del cálculo de congruencias: Sistema criptográfico de clave pública RSA.

Bloque 2: Polinomios, cuerpos finitos e interpolación. Tema 3. Polinomios.


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3.1. Anillo de polinomios. 3.2. Polinomios con coeficientes en un cuerpo.

3.3. Polinomios con coeficientes en Zp (p primo). Tema 4. Cuerpos finitos.

4.1. Cuerpo finito. 4.2. Grupo aditivo de un cuerpo finito. 4.3. El grupo multiplicativo de un cuerpo finito es cíclico 4.4. Existencia de cuerpos finitos de orden pr (p primo) 4.5. Existencia de un cuerpo finito de cada orden.

Tema 5. Interpolación.

5.1. Introducción a la interpolación de funciones.

5.2. Interpolación de Taylor y acotación del error. 5.3. Interpolación clásica de Lagrange: método de los coeficientes indeterminados.

5.4. Método de Lagrange para la interpolación polinómica.

5.5. Método de Newton. 5.6. Acotación del error de la interpolación polinómica de Lagrange. 5.7. Interpolación de Hermite.

Bloque 3. Funciones de varias variables. Tema 6. Funciones reales de varias variables.

6.1. Continuidad y límites. 6.2. Derivadas parciales. 6.3. Diferencial total. 6.4. Derivadas direccionales. 6.5. Plano tangente. 6.6. Derivación implícita.

Tema 7. Máximos y Mínimos.

7.1. Extremos relativos, extremos absolutos y condicionales. 7.2. Método de Lagrange.

Tema 8. Integración de funciones de varias variables.

8.1. Introducción y conceptos fundamentales. 8.2. Cálculo práctico. 8.3. Cambio de variable. 8.4. Cálculo de áreas y volúmenes.


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Bloques de contenido (se pueden especificar los temas si se considera necesario)

Total de clases, créditos u horas

Aritmética entera y modular Aritmética entera. Aritmética modular 14 horas

Polinomios cuerpos finitos e interpolación Polinomios. Cuerpos finitos. Interpolación 22 horas

Funciones de varias variables Funciones reales de varias variables. Máximos y mínimos.Integración de funciones de dos variables

20 horas

(*) incluye EPC (pruebas de evaluación continua)

4. METODOLOGÍAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.-ACTIVIDADES FORMATIVAS

En el proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos anteriormente reseñados se emplearán algunas de las siguientes actividades formativas:

• Clases Teóricas. • Clases Prácticas: resolución de problemas. • Clases Prácticas: laboratorio. • Tutorías: individuales o grupales.

Además se podrán utilizar, entre otras, las siguientes actividades formativas:

• Trabajos individuales o en grupo: realización, exposición y debate científico. • Asistencia a conferencias, reuniones o discusiones científicas relacionadas con la materia.

Se podrán emplear las Tecnologías de la Información y la Comunicación como apoyo a las actividades formativas (uso de Internet, foros y correo electrónico, materiales disponibles en las plataformas de teleformación, etc.). 4.1. Distribución de créditos (especificar en horas)

Número de horas presenciales: 56 horas + 4 horas examen evaluación Número de horas del trabajo 90


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propio del estudiante: Total horas 150

4.2. Estrategias metodológicas, materiales y recursos didácticos

Estrategias metodológicas

Clases presenciales

Sesiones teóricas: presentación de conceptos y fórmulas en el aula. Sesiones prácticas de problemas: aplicación conceptos y fórmulas aprendidos a la resolución de problemas. Sesiones prácticas de laboratorio: utilización de aplicaciones informáticas en la resolución de problemas. Actividades y presentaciones orales: presentación por parte de los alumnos a sus compañeros y al profesor de trabajos realizado individualmente o en grupo. Pruebas parciales: durante el curso el profesor propondrá diversas pruebas parciales para revisar la adquisición de conocimientos y la aplicación de los mismos.

Trabajo autónomo del alumno

Realización de actividades: ejercicios, trabajos, resúmenes, esquemas,….

Preparación de trabajos, individualmente o en grupo.

Consulta de fuentes y recursos bibliográficos o electrónicos.

Estudio independiente.

Materiales y recursos


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Software matemático Bibliografía de referencia

5. EVALUACIÓN: Procedimientos, criterios de evaluación y de calificación

Los estudiantes se acogerán a los procedimientos de evaluación según lo articulado en el titulo 2 (art. 9 y 10) de la Normativa de Evaluación de los Aprendizajes de la UAH.

En todo caso, preferentemente se ofrecerá a los alumnos un sistema de evaluación continua que tenga características de evaluación formativa, de manera que sirva de realimentación en el proceso de enseñanza-aprendizaje por parte del alumno. Para ello se establecen los siguientes procedimientos de evaluación.

Criterios de Evaluación

Los Criterios de Evaluación deben atender al grado de adquisición de las competencias por parte del estudiante. Para ello se definen los siguientes criterios: CE1: Dominio de la aritmética entera y de los algoritmos usuales y computacionalmente eficientes en la misma CE2: Dominio y comprensión de la aritmética modular y su aplicación al estudio de la factorización y la decisión sobre la primalidad. de los métodos de recuento. Resolución de problemas de recuento. CE3: Comprensión del funcionamiento del algoritmo de encriptación de clave pública RSA. CE4: Uso y comprensión de los anillos de polinomios y de los cuerpos finitos. CE5: Dominio de diversas formas de interpolación polinomial. CE6: Dominio de los conceptos básicos del Cálculo en Varias Variables. CE7: Uso y comprensión de la integración a varias variables y aplicación de la misma a problemas prácticos. Instrumentos de Calificación.


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Esta sección indica los instrumentos de evaluación que serán aplicados a cada uno de los criterios de Evaluación.

1. Pruebas de Evaluación Intermedia (PEI 1): Consistente en la resolución de problemas prácticos y teóricos de los conocimientos sobre razonamientos lógicos y métodos de recuento.

2. Pruebas de Evaluación Intermedia (PEI 2): Consistente en la resolución de problemas prácticos y teóricos de los conocimientos sobre recurrencias, teoría de grafos y probabilidad discreta.

3. Entregable, trabajo de la asignatura (En): El trabajo de la asignatura consiste en la realización periódica de problemas prácticos en las clases de laboratorio y su posterior presentación.

4. Prueba de Evaluación Final (PEF) consistente en la resolución de problemas prácticos y teóricos de lógica, recuento, grafos y probabilidad discreta.

Criterios de Calificación

Esta sección cuantifica los criterios de evaluación para la superación de la asignatura.

1) Convocatoria Ordinaria: Evaluación Continua

En la convocatoria ordinaria – evaluación continua la relación entre los criterios, instrumentos y calificación es la siguiente.

Competencias Resultado Aprendizaje

Criterio de Evaluación

Instrumento de Evaluación

Peso en la calificación

CG8, CG9, CIB3, CI6 RA1-RA4 CE1–CE4

PEI1 40%

E1 10%

CG8, CG9, CIB3, CI6 RA5-RA7 CE5-CE7

PEI2 40%

E2 10%

Como criterio general, aquellos alumnos en convocatoria ordinaria que no se presenten a todas las pruebas de evaluación intermedia se considerarán No Presentados.

2) Convocatoria Ordinaria: Evaluación Final





CG8, CG9, CIB3, CI6 RA1-RA7 CE1-CE7 PEF 100%


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3) Convocatoria Extraordinaria





CG8, CG9, CIB3, CI6 RA1-RA7 CE1-CE7 PEF 100%


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6. BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía Básica • Rosen, K.: "Matemática discreta y sus aplicaciones". Ed. McGraw-Hill, 2004. • Dorronsoro, J., Hernández, E.: "Números, grupos y anillos". Addison-Wesley,

1996. • Burden, R.L., Faires, J.D.: "Análisis Numérico". Grupo Editorial

Iberoamericana, 2001. • Demidovich, B.P., Maron, I.A.: "Cálculo Numérico • Fundamental". Paraninfo ,1998. • Gastinel, N.: "Análisis Numérico Lineal". Reverté, 1975. • Larson, R., y otros: "Cálculo (Volumen II) ", 1999.

Bibliografía Complementaria • von zur Gathen, J., Gerhard, J.: "Modern Computer Algebra". Cambridge

University Press, 1999. • Bach, E., Shallit, J.: "Algorithmic Number Theory" MIT Press, 1996. • Garding, L., Tambour, T.: "Algebra for Computer Science" Springer-Verlag,

1988. • Rosen, K.H.: "Elementary Number Theory and its applications" Addison-

Wesley,2000. • Plybon, B.F.: "An introduction to Applied Numerical Analysis" PWS-KENT

Publishing Company, 1992. • Scheid, F., Di Costanzo, R.: "Métodos Numéricos". Mc Graw Hill, 1991. • Allen Smit, W.: "Análisis Numérico". Prentice Hall Hispanoamericana, 1989. • Spiegel, M. R.: "Cálculo superior", MacGraw-Hill, 1999. • Burgos, J.: "Cálculo Infinitesimal varias variables". Ed. McGraw-Hill, 2007.


NOTA INFORMATIVALa Universidad de Alcalá garantiza a sus estudiantes que, si por exigencias sanitarias lasautoridades competentes impidieran la presencialidad total o parcial de la actividaddocente, los planes docentes alcanzarían sus objetivos a través de una metodología deenseñanza-aprendizaje y evaluación en formato online, que retornaría a la modalidadpresencial en cuanto cesaran dichos impedimentos.

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