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Gua docente de la asignatura
Asignatura Geometra de Variedades
Materia Geometra y Topologa
Mdulo
Titulacin Mster en Investigacin en Matemticas
Plan 431 Cdigo 52384
Periodo de imparticin Primer Semestre Tipo/Carcter Optativa
Nivel/Ciclo 3 Curso 2016-17
Crditos ECTS 6
Lengua en que se imparte Espaol / Apuntes en ingls
Profesor/es responsable/s Javier Finat Codes
Datos de contacto (E-mail, telfono)
Despacho A340, Facultad de Ciencias [email protected], Lab 2.2, Edificio I+D, Parque Cientfico, Tfno 983 184398
Horario de tutoras Lunes 13h 14h 30m y Mircoles 13h - 14h 30m
Departamento lgebra, Anlisis, Geometra y Topologa
Asignatura: Nombre de la asignaturaMateria: Indicar el nombre de la materia a la que pertenece la asignaturaMdulo: En el caso de que la titulacin est estructurada en Mdulo/Materia/Asignatura, indicar el nombre del mdulo al quepertenece la asignatura. Titulacin: Nombre de la titulacin a la que pertenece la asignatura.Plan: N identificativo del planNivel/ ciclo: Grado/ Posgrado (Master Universitario/ Doctorado)Crditos ECTS: N de crditos ECTSLengua: Idioma en el que se imparte la asignatura.Profesores: Profesor o profesores responsables de la asignaturaDatos de contacto: Requerido al menos el correo electrnico del profesor o profesores responsables de las asignaturas.Horario de tutoras: Enlace a la pgina web donde se encuentra el horario de tutoras.Departamento: Departamento responsable de la asignatura.Cdigo: Cdigo de la asignaturaTipo/ Carcter: FB: Formacin Bsica / OB: Obligatoria / OP: Optativa / TF: Trabajo Fin de Grado o Master / PE: prcticasExternasCurso: Curso en el que se imparte la asignatura
Universidad de Valladolid1 de 13
mailto:[email protected]

1. Situacin / Sentido de la Asignatura
1.1 Contextualizacin
Los problemas ms relevantes para variedades m-dimensionales M son la Caracterizacin y la Clasificacin.
Ambos problemas son muy difciles para dimensin m arbitraria, incluso para el caso no-singular. Una
estrategia habitual consiste en superponer estructuras adicionales (de tipo diferencial, algebraica, analtica) al
soporte topolgico de la variedad y calcular invariantes asociados a dicha estructura. Las estructuras ms
simples son fibrados vectoriales o, con ms generalidad, fibrados topolgicos o fibraciones. Otras estructuras
interesantes estn dadas por recubrimientos, haces o foliaciones. Todas ellas presentan algn tipo de
trivialidad topolgica local. En todos los casos es importante calcular invariantes ligados a dichas estructuras
que sean computables y faciliten la discriminacin entre diferentes tipos de variedades.
La comparacin entre variedades (descritas inicialmente en trminos de parametrizaciones locales) se lleva a
cabo utilizando morfismos que extienden la nocin de aplicacin entre variedades de clase r. Por ello, la
caracterizacin y clasificacin va ligada a la construccin de morfismos y el estudio de sus propiedades dentro
de cada categora considerada. Desde un punto de vista topolgico, los casos ms relevantes corresponden a
la categora de objetos y morfismos continuos (que se abordan en las Topologas General y Algebraica) o, por
el contrario, suaves (cuyo estudio corresponde a la Geometra Diferencial).
Sobre variedades algebraicas proyectivas complejas no-singulares es posible aplicar todos los mtodos
procedentes de la Geometra Diferencial, Algebraica o Analtica Compleja. Por ello, las estrategias habituales
consisten en desarrollar una pequea introduccin a los mtodos y herramientas caractersticas de dichas
Geometras. La fuente de inspiracin para buena parte de los desarrollos realizados procede de una extensin
de la Geometra Diferencial de Variedades Reales al caso Complejo; este enfoque se ampla en Geometra
Algebraica reemplazando el cuerpo complejo por un cuerpo algebraicamente cerrado de caracterstica cero y,
en una fase posterior por un cuerpo de caracterstica arbitraria. Sin embargo, para fijar ideas en esta asignatura
slo se consideran los casos real y complejo.
A mediados del siglo XX se desarrollan diferentes estrategias para cada uno de los marcos geomtricos
comentados (diferencial, algebraico, analtico). La introduccin de estructuras topolgicas (fibrados y haces,
sobre todo) y el clculo de invariantes asociados a dichas estructuras (diferentes tipos de cohomologa),
proporcionan el lenguaje apropiado para abordar y resolver problemas similares en diferentes contextos. Por
ello, el primer problema a resolver consiste en mostrar una herramienta general que permita pegar (es decir,
hacer compatibles) abiertos y morfismos locales para construir y comparar variedades mediante morfismos en
la categora apropiada con invariantes computables (usando mtodos cohomolgicos, p.e.). Una vez
desarrollado este primer mdulo, a continuacin de desarrollan captulos especficos para cada una de las
geometras mencionadas (diferencial, algebraica, analtica compleja)., presentando algunos de los resultados
ms relevantes desarrollados en el ltimo cuarto del siglo XX en relacin con los problemas de caracterizacin
y clasificacin.
El caso correspondiente a curvas algebraicas proyectivas complejas es el ms sencillo y proporciona un banco
de pruebas para abordar extensiones al caso de superficies o, con ms generalidad slidos tridimensionales
(threefolds). Uno de los tipos ms interesantes de superficies en los que confluyen todas las herramientas
comentadas corresponde a las superficies K3 que se describen en diferentes contextos, debido a sus
excelentes propiedades. El estudio de threefolds presenta an muchos problemas abiertos, por lo que slo se
comenta tangencialmente, incluyendo algunas referencias al contexto algebraico (programa de Mori) y al
contexto topolgico diferencial (programa de Thurston).

1.2 Relacin con otras materias
Esta materia est relacionada con Anlisis de Varias Variables y Funciones Analticas de una Variable
Compleja, que proporcionan la versin local de los resultados a extender en en Geometra de Variedades. A
mayores, tiene relacin con todas las asignaturas del rea de Geometra y Topologa, as como sus
aplicaciones a otras reas de conocimiento. El desarrollo y la utilizacin de herramientas procedentes sobre
todo de la Geometra Diferencial, la Topologa Algebraica y las Funciones Analticas de Varias Variables
Complejas configuran un espacio de encuentro entre todas estas materiales.
De manera ms especfica y en relacin con aplicaciones externas, las variedades Algebraicas Proyectivas
Complejas no-singulares se han revelado como una fuente de inspiracin para una gran cantidad de
desarrollos en Fsica Terica, dando soporte a las Teoras de Unificacin entre las interacciones fuerte, dbil y
electromagntica. Las Teoras de Gran Unificacin proponen una cuantizacin del modelo gravitatorio. Una de
las propuestas ms interesantes para llevar a cabo dicha Gan Unificacin se apoya en Supercuerdas cuyo
soporte est dado por las curvas racionales de cierto tipo de variedades algebraica proyectivas complejas que
se presentan en esta asignatura. Sin embargo, no se presupone ningn conocimiento previo de cuestiones
relacionadas con los diferentes tipos de interaccin o con las teoras de unificacin que slo se comentan como
ilustraciones o motivaciones externas para algunos de los desarrollos presentados.
No obstante, buena parte de los desarrollos de la Geometra de Variedades han tenido lugar de forma
independiente y al margen de desarrollos similares en Fsica Terica; este fenmeno es similar al desarrollo
simultneo del Clculo Tensorial en Variedades y de la Relatividad General a finales del s.XIX y principios del
s.XX. Como ilustracin, se comentarn algunas conexiones que ilustran el alcance de algunos de los
conceptos abstractos introducidos en esta materia.
1.3 Prerrequisitos
La Geometra de Variedades es una extensin al caso global de los mtodos de Anlisis Diferencial y Clculo
Integral sobre espacios cartesianos reales o complejos. De forma complementaria, la Geometra de Variedades
utiliza nociones bsicas de la Topologa Conjuntista y de la Topologa Algebraica, incluyendo aspectos
ydesarrollos de la homotopa y (co)homologa que se comentan con ms detalle en la asignatura.
Es conveniente tener un conocimiento slido de Geometra Diferencial de Variedades Reales, incluyendo las
nociones de Fibrado Tangente y Cotangente, as como las herramientas de Clculo Diferencial e Integral sobre
Variedades, incluyendo Complejo Diferencial Exterior, Cohomologa de DeRham y versin geomtrica del
Teorema de Stokes. Un resumen clsico se puede encontrar en el libro de Warner citado en la Bibliografa; una
aproximacin ms prctica que incluye varios tipos de cohomologa se puede ver en el libro de Bott y Tu.

2. Competencias
2.1 Generales
Cdigo DescripcinCG1 Conocimiento del mtodo cientfico.
CG2 Competencia para aplicar los conocimientos adquiridos.
CG3 Capacidad crtica, de anlisis y sntesis, y capacidad de interpretacin.
CG4 Competencias metodolgicas.
CG5 Capacidad para valorar la originalidad y creati

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