Guía didáctica de: Estadistica Capítulo 3 y 4 · Estadistica Capítulo 3 y 4 Coordinador: Lic....

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

Guía didáctica de:

Estadistica Capítulo 3 y 4

Coordinador:

Lic. Orlando Adalid Tróchez

Tegucigalpa, M.D.C. Junio del 2014

PARTE I. INFORMACIÓN GENERAL

1.1 Presentación de la guía

La presente guía didáctica ha sido preparada para estudiantes que cursan la asignatura

de Estadística , del Sistema de Educación a Distancia matriculados en la carrera de

Administracion de Empresas Agropecuarias, la cual versa sobre el capítulo 3

ESTADÍSTICOS PARA DESCRIBIR EXPLORAR Y COMPARAR DATOS

Capitulo 4 “PROBABILIDAD ”

La intención de esta guía es que el estudiante pueda utilizarla para afianzar sus

conocimientos sobre este tópico y además le permita poder interactuar con su profesor

tutor en la tutoría en línea que se desarrollará el 21 y 22 de Junio del 2014.

Nuestro objetivo como docentes es que le podamos abordar los contenidos de una

forma más comprensible para su óptimo aprovechamiento y aprendizaje de cada uno

de los temas que comprende la unidad.

1.2 Objetivos de la guía

1. Brindar al estudiante de Estadística una herramienta que permita afianzar el

conocimiento de los contenidos de los capítulos capítulo 3 y 4, por medio de

explicaciones comprensibles y sencillas.

2. Que el estudiante adquiera solvencia y pueda desarrollar el proceso enseñanza

aprendizaje mediante un aprendizaje autónomo e independiente, con apoyo del

texto.

3. Preparar al estudiante para que pueda enfrentarse al examen del segundo parcial

con solvencia y seguridad en los contenidos.

1.3 Metodología

El desarrollo metodológico de cada contenido se basa en seguir paso a paso cada uno

de los temas, iniciar con lo simple para ir avanzando a lo más complejo a medida que se

avanza en el conocimiento.

Se desarrollan ejemplos tipo, que servirán de guía para poder realizar problemas

propuestos en el presente material, los cuales podrá realizar el estudiante para

corroborar conocimientos y aprendizaje, además le servirá para realizar la tarea a

distancia que comprende dicha temática.

El estudiante puede apoyarse en los diferentes recursos que se encuentran en varias

instancias, como ser la biblioteca, profesionales egresados que conozcan el tema,

Internet, buscar bibliografía secundaria de otros autores, reunirse con sus compañeros y

compañeras para apoyarse mutuamente en la solución de los problemas, en particular,

poder trabajar colaborativamente.

1.4 Presentación

Esta guía lleva adjunta una, Guía de ejercicios la que deberá ser presentada a su

profesor tutor (a) resuelta el 05 / 06 de Julio del 2014 en horarios de tutoría.

1.5 EVALUACION

La evaluación de los estudiantes se realizará en base a los criterios

establecidos en la planificación de la asignatura, de trabajo enviado por el

estudiante a su profesor Tutor:

1. Participación en debates trabajos realizados a distancia

Bibliografía: Triola, Mario. (2009). Estadística. Décima edición. Pearson educación, México, 2009. Guía metodológica de clase (contenidos capítulos 3 y 4).

CAPITULO 3

ESTADÍSTICOS PARA DESCRIBIR EXPLORAR Y COMPARAR DATOS

3-3 Medidas de variación Concepto clave Esta sección es una de las más importantes de todo el libro, pues presenta el tema de la variación, un concepto muy relevante en estadística. Primero lea la parte 1 de forma rápida y obtenga una comprensión general de las características de la variación. Luego, aprenda a usar el conjunto de datos para calcular los valores del rango y la desviación estándar. Después lea la parte 2 y trate de comprender la regla práctica del intervalo para interpretar valores de desviación estándar; también trate de comprender el razonamiento que subyace en la fórmula de la desviación estándar. Las medidas de variación, son las medidas que indican que tan cerca o separados se encuentran los datos, con respecto a la media aritmética.

Formula para encontrar la desviación estándar o desviación típica (para observaciones muéstrales)

S =√ 𝜀 𝑥−𝑥 2 .𝑓

𝑛−1

S= desviación estándar de la muestra

X= elementos u observaciones (punto medio)

X= media aritmética

n= número total de elementos

Formula para encontrar la desviación estándar o desviación típica (observaciones poblacionales)

σ= √𝜀 𝑥−𝜇 2 .𝐹

𝑁

σ= desviación estándar de la población

x= punto medio (elementos u observaciones)

μ= media de la población

N= numero total de elemento de la población

F=frecuencia absoluta

Varianza poblacional Fórmula para encontrar la varianza poblacional:

σ²= 𝜀 𝑥−𝜇 2 .𝐹

𝑁

Coeficiente de variación (se denota por C.V) Es una medida relativa de dispersión que relaciona la desviación estándar y la media aritmética, se expresa como porcentaje

C.V=𝑆

𝑋 (100 %)

Rango de un conjunto de datos. Rango = dato mayor – dato menor.

Aplicación de las medidas de dispersión para datos no agrupados. Ejm tiempo en minutos de espera de cuatro alumnos, previo a la matricula de la Universidad Autónoma de Honduras. Minutos (5,6,8,9). Se le pide: calcular la varianza, desviación estándar, coeficiente de variación y el rango.

Solución: primer paso encontrar la media aritmética (× ).

X = (5,6,8,9)= 5+6+8+9

4=

28

4 = 7

X = 7

Interpretación: el tiempo promedio de espera de los cuatro alumnos

previo a la matricula de la UNAH es de 7 minutos.

Calcular varianza (𝜎²)

σ²= 5−7

2+ 6−7

2+ 8−7

2+(9−7)²

4 =

−2 2+ −1 2+ 1 2+(2)²

4

σ²=4+1+1+4

4 =

10

4 = 2.5

σ²= 2.5 varianza

Calculo de la deviación estándar (σ). La deviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza entonces la desviación es igual a:

σ= √2.5 = 1.58→ deviación estándar

Calcular el coeficiente de variación (c.v)

c.v = 𝜎

𝑥 (100%)=

1.58

7 (100%) = 71.43%

c.v = 71.43%

Rango = dato mayor – dato menor. Rango = 9-5=4 Rango = 4

Aplicación de las medidas de dispersión

para datos agrupados a partir de una distribución de frecuencias

Ejm (niveles de cotinina de 40 fumadores)

Cotinina F X

F.X (x-x) (x-x)² (x-x)².F

0-99 11 49.5 544.5 -127.5 16,256.25 178,818.75

100 199 12 149.5 1794 -27.5 756.25 9,075

200 299 14 249.5 3493 72.5 5,256.35 73,587.50

300 399 1 349.5 349.5 172.5 29,756.25 29,756.25

400 499 2 449.5 899 272.5 7,4256.25 148,512.50

Total 𝜀 40 𝜀 7080 𝜀 439,750.00

De la presente tabla determine: La varianza.

Desviación estándar.

Coeficiente de variación

Solución: primer paso encontrar la media aritmética

X= 𝜀 𝐹.𝑋

𝑁 =

7080

40 = 177 → Media aritmética

Calculo de varianza

σ² = 𝜀 𝑥−𝑥 2 .𝐹

𝑁 = 𝜀

439,750

40 = 10,993.75

σ² = 10,993.75→ Varianza

Calculo de la desviación estándar (σ) La desviación estándar es igual a raíz cuadrada de la varianza

σ = 10,993.75

σ =104.85 Interpretación de la deviación estándar La desviación estándar, mide la variación entre los valores. Los valores cercanos a la media indican una desviación estándar pequeña, entre mas bajo es el valor indica que los datos están bien distribuidos y si el valor es alto significa que los datos están mas dispersos entre si.

Coeficiente de variación (C.V)

C.V =𝜎

𝑋 (100%)

C.V =59.23%

Regla empírica para datos con distribución normal (o 68-95-99.7) Otra regla útil para interpretar los valores de una desviación estándar es la regla empírica. Esta regla establece que las siguientes propiedades se aplican a conjuntos

de datos con una distribución aproximadamente normal. (Véase la figura 3-4). _ Aproximadamente el 68% de todos los valores están dentro de una desviación estándar de la media. _ Aproximadamente el 95% de todos los valores están dentro de 2 desviaciones estándar de la media. _ Aproximadamente el 99.7% de todos los valores están dentro de 3 desviaciones estándar de la media.

Figura 3.4

99% Dentro de tres desviaciones estándar

95% Dentro de dos deviaciones estándar

68% Dentro de una

deviación estándar

-3 S -2 S -1S X 1S 2 S 3 S

EJEMPLO Puntuaciones de CI Las puntuaciones de CI tienen una distribución

normal, con una media de 100 y una desviación estándar de 15. ¿Qué porcentaje de las puntuaciones se ubican entre 70 y 130? SOLUCIÓN La clave para resolver este problema consiste en reconocer que

70 y 130 están exactamente a 2 desviaciones estándar de la media de 100, como se indica abajo, 2 desviaciones estándar = 2s = 2(15) = 30 Por lo tanto, 2 desviaciones estándar de la media equivalen a 100 _ 30 = 70, O 100 ±30 = 130 La regla empírica nos indica que aproximadamente el 95% de todos los valores están dentro de dos desviaciones estándar de la media, de manera que el 95% de todas las puntuaciones de CI se encuentran entre 70 y 130. Sugerencia: Las dificultades para aplicar la regla empírica suelen surgir de la confusión al interpretar frases tales como “dentro de 2 desviaciones estándar de la media”. Deténgase aquí y revise el ejemplo anterior hasta que el significado de la frase quede claro. Además, observe las siguientes interpretaciones generales de ese tipo de frases.

Frase Significado

Dentro de 1 desviación estándar de la media

Entre (x-s) y (x +s)

Dentro de 2 desviaciones estándar de la media

Entre (x-2s) y (x+2s)

Dentro de 3 desviaciones estándar de la media

Entre (x-3s) y (x+3s)

. 3.4 MEDIDAS DE P0SICION RELATIVA Concepto clave Esta sección presenta medidas que resultan útiles para comparar valores de

diferentes conjuntos de datos o para comparar valores dentro del mismo conjunto de datos. El concepto más importante de esta sección es la puntuación z, por lo que debemos comprender el papel que desempeña (para comparar valores de distintos conjuntos de datos) y desarrollar nuestra capacidad para convertir valores de datos en puntuaciones z. También estudiaremos los cuartiles y percentiles, que se utilizan para comparar valores dentro del mismo conjunto de datos. Puntuaciones z

Una puntuación z (o valor estandarizado) se calcula convirtiendo un valor a una escala estandarizada, como se establece en la siguiente definición. Utilizaremos ampliamente las puntuaciones z en el capítulo 6 y en capítulos posteriores, ya que son muy importantes. Definición Una puntuación z (o valor estandarizado) es el número de desviaciones estándar que un valor x se encuentra por arriba o por debajo de la media. Se calcula utilizando las siguientes expresiones:

Muestra Población

Z = X-X Z = X-μ S σ

Ejemplo.(comparación de estatura).Con una estatura de 75 pulgadas. El profesor Antonio fue el mas alto de la escuela. Con una estatura 85 pulgs. Juan Escobar, es el jugador más alto del equipo de futbol. ¿Quién es relativamente más alto, el profesor Antonio de la escuela Honduras o Juan Escobar entre los jugadores del equipo?.la estatura media de los profesores de la escuela, es de 71.5 pulgadas, con una desviación estándar de 2.1 pulgadas. Los jugadores a desviación estándar de 3.3 plgs. Para estandarizar estos valores. Se usa la fórmula de “Z”.

Z= x-μ σ Solución

Profesor Antonio Z= x-μ = 75 – 71.5 = 1.67 σ 2.1 Z= 1.67 Juan Escobar Z = x-μ = 85 – 80 = 1.52 σ 3.3 Z = 1.52 Este ejemplo ilustra la forma en que se utilizan las puntuaciones Z Para comparar valores, aun cuando sean de distinta población

Interpretación.

La estatura del profesor, está a 1.67 desviaciones estándar por arriba de la media, mientras que la estatura del jugador Juan Escobar esta a 1.52, desviaciones estándar por arriba de la media. La estatura del profesor entre todos los maestros de la escuela es relativamente mayor que la estatura del jugador entre los compañeros del equipo de futbol. Puntuaciones Z y Valores Infrecuentes Los valores infrecuentes, son puntuaciones menores que menos dos y puntuaciones mayores que dos o sea, puntuaciones < -2 o Puntuación Z> 2. Y son valores comunes los que están entre -2≤ z y puntuaciones ≤ 2 .o sea, son valores comunes los que están entre

menos dos y dos

Valores infrecuentes Valores comunes valores infrecuentes -3 - 2 -1 0 1 2 3

Ejemplo una puntuación Z de 2, indica que un valor esta a 2 desviaciones estándar por encima de la media. Una puntuación Z de menos 3, indica que un valor esta a 3 desviaciones estándar por debajo de la media. Los Cuartiles, percentiles y deciles, también son medidas de posición relativa, pero se definen de forma distinta, son útiles para comparar valores, dentro del mismo conjunto. Los cuartiles se denotan por Q1, Q2, Q3 Los cuartiles dividen a la distribución de datos en tres,Q1=25, Q2=50,Q3=75 Los percentiles se denotan por (P) P1=0.01, o 1 %, P2 =0.02 o 2 %…P 99=99 o 99 %

Los percentiles dividen a la distribución de datos en 99 Un percentil, corresponde a un centésimo. Los deciles, se denotan por (D ) D1=10, D2=20…D9=90. Los decidles, dividen a la distribución de datos en 9, Un decil, corresponde a un decimo El proceso para calcular percentiles que corresponde a un valor particular X, es sencillo tal como se indica en la siguiente expresión Percentil del valor X= Numero de valores menores que X (100) Observación. Para calcular estas medidas, los datos o valores deben estar

ordenados de la forma siguiente. Niveles de cotinina de 40 fumadores

87 103 112 121 123 130 131 149 164 67

163 173 198 208 210 222 227 234 245 250

253 265 266 277 284 289 290 313 477 492

Ejemplo. Calcule el percentil correspondiente al nivel de cotínina

Percentil 112 = № de valores menores que 112

№ total de valores (100)

Solución: hay 12 valores menores que 112 por lo tanto:

percentil 112 = 12

40 (100) = 30

Nota: el resultado se redondea al entero próximo mas cercano cuando sea

necesario

Interpretación: el nivel de cotonina de 112 es el percentil 30.

Este ejemplo muestra como convertir un valor muestral dado a su percentil correspondiente. Existen diversos métodos para el procedimiento inverso de convertir un percentil en el valor correspondiente del conjunto del datos.

Notación: n= № total de valores K= percentil utilizado L=localizador que da la posición de un valor Pk=percentil K-eximo

Ejemplo Calcular el valor del percentil 68, P68

Solucion En este cálculo utilizamos K = 68, ya que estamos tratando de obtener el valor del percentil 68,n = 40 porque son 40 valores o datos que posee la tabla

L =𝐾

100 .n =

68

100 (40) = 27.2 ~ 28

El valor de P68 es el valor 28, contamos hacia arriba desde el valor mínimo el valor 28 es 234→es decir, P68 = 234.

Ejemplo calcular el valor de Q1 observamos que Q1 = 25 y este es igual a P25

entonces K =25, n=40

Solución

L =𝐾

100 (n) =

25

100 (40) = 10

El P25 = 86.5 O Q1 = 86.5

CAPITULO 4

PROBABILIDAD

4.2 FUNDAMENTOS

DEFINICIONES Probabilidad: En general la probabilidad es la posibilidad de que algo ocurra. La aplicación de la

probabilidad tiene aplicación en todos los aspectos de la vida: en la ciencia, comercio educación, comunicaciones, etc. Aunque separados, la Probabilidad y la Estadística son campos de la Matemática relacionados entre si. Se afirma que “la probabilidad es el vehículo de la estadística”, es decir que, de no ser

por las leyes de la Probabilidad, la Estadística no seria posible. La idea de la probabilidad está asociada con el azar o aletoriedad. Por ejemplo cuando una

persona juega al naipe o las cartas, primero se asegura de que las cartas estén bien barajadas para garantizar que ninguna carta o cartas tengan un lugar especial en la baraja y asegurar que cada carta tiene la misma oportunidad de encontrarse en cualquier parte de la baraja. Suceso: Es el conjunto de resultados de un experimento. Es un subconjunto del espacio muestral. Suceso Simple: Es un resultado o suceso que ya no puede desglosarse en componentes mas

simples. Espacio Muestral o Espacio de Sucesos: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento (sucesos simples).

Probabilidad de un suceso: Es un numero fraccionario comprendido entre 0 y 1, formado con el

numero de resultados favorable como numerador (s) y el numero total de resultados como

denominador (n), se denota como: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es cero (0) y la probabilidad de un suceso que

se tiene la certeza que ocurrirá es uno (1).

Notación de probabilidades:

P: Representa una probabilidad

A, B, C: Representan sucesos específicos.

P(A): Es la probabilidad de que ocurra A. Se lee P de A.

Probabilidad Esperada: Es la probabilidad asignada supuestamente a un suceso antes de

verificarse.

Probabilidad Observada: es la frecuencia relativa asignada a un suceso o dato ya realizado.

METODOS PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD

Existen diferentes formas para calcular la probabilidad de un suceso, sin embargo en esta guía

nos limitaremos a utilizar tres métodos.

Método 1

Calculo clásico de la probabilidad

Un procedimiento dado tiene n sucesos simples distintos y cada uno de esos sucesos simples

tiene la misma posibilidad de ocurrir. Si el suceso A puede ocurrir en s de estas n formas,

entonces P(A) se calcula de la forma siguiente:

P(A) = numero de formas en que puede ocurrir A = s

numero de sucesos simples diferentes n

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado?

Solución: Hay s = 3 números pares entre {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n = 6 posibles casos, de modo que:

P(A) = s/n = 3/6 = 1/2 = 0.5

Método 2

Calculo de la probabilidad por frecuencias relativas

Realice un experimento varias veces y cuente las veces que el suceso A ocurre en realidad, con

base con esos resultados reales, P(A) se calcula de la forma siguiente:

P(A) = numero de veces que ocurrió A

numero de veces que se repitió el experimento

Ejemplo: Se lanzo al aire 10 veces una moneda de 50 centavos y 4 veces cayo escudo.

Solución: Cuando se lanza al aire una moneda de 50 centavos se tienen dos resultados posibles;

que caiga cara o escudo, entonces P(A) se calcula de la forma siguiente:

P(escudo) = 4/10 = 2/5 = 0.4

Método 3

Calculo de la probabilidad subjetiva

La probabilidad del suceso A se calcula con base en el conocimiento de las circunstancias

relevantes.

Ejemplo: Cuando se trata de estimar la probabilidad de que llueva mañana.

Solución: los meteorólogos (pronosticadores de las condiciones del tiempo) usan su

conocimiento para calcular un estimado de la probabilidad.

Observaciones:

1. La suma de todas las probabilidades de un experimento (espacio muestral) es igual a 1.

2. Antes de calcular una probabilidad se debe establecer el espacio muestral.

Ejercicios prácticos

1. Calcule la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire resulte cara.

Solución: Espacio muestral [cara, escudo], la probabilidad de cara es ½ (0.5) y la probabilidad de

escudo es ½ (0.5) entonces, P(cara) = 1/2 = 0.5

2. Calcule la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire resulte cara.

Solución: Espacio muestral [1, 2, 3, 4, 5, 6], la probabilidad de cada número es de 1/6 (uno de

seis) entonces: P(4) = 1/6 = 0.1666 = 0.17

3. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire resulten 2 caras?

Solución: Espacio muestral [(c, c) (c, e) (e, c) (e, e)], el primer par dentro del paréntesis se lee:

que la primera moneda sea cara y que la segunda moneda sea cara, el segundo par dentro del

paréntesis se lee: que la primera moneda sea cara y que la segunda moneda sea escudo y así

sucesivamente, la probabilidad de cada par es de 1/4 (uno de cuatro pares) entonces: P(c, c) =

1/4 = 0.25

4. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire resulten 1 cara y 1 escudo?

Solución: Espacio muestral [(c, c) (c, e) (e, c) (e, e)], entonces: P(1c y 1e) = 2/4 = 0.5.

Observación:

El resultado es 2/4 porque la pregunta no condiciona el orden de los suceso, sin embargo si los

condicionara a que la primera moneda sea cara y la segunda sea escudo, la respuesta seria:

Espacio muestral [(c, c) (c, e) (e, c) (e, e)], entonces: P(c, e) = 1/4 = 0.25.

5. Calcule la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire por lo menos una sea escudo.

Solución: Espacio muestral [(c, c) (c, e) (e, c) (e, e)], entonces: P(al menos un escudo) = 3/4 =

0.75.

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados resulten 2 seis?

Solución: Espacio muestral [(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5)

(2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3)

(5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)], el primer par dentro del paréntesis se lee:

que el primer dado sea 1y que el segundo dado sea 1, el segundo par dentro del paréntesis se

lee: que el primer dado sea 1y que el segundo dado sea 2 y así sucesivamente, la probabilidad de

cada par es de 1/36 (1de 36) entonces: P(6, 6) = 1/36 = 0.02777 = 0.03.

7. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados resulten las sumas de las caras igual a 5?


(2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3)

(5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)], entonces: P(suma de caras = 5) = 4/36 =

0.1111111 = 0.11.

8. ¿Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados resulte al menos un 4?


(2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3)

(5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)], entonces: P(al menos uno sea 4) = 11/36 =

0.30555556 = 0.31.

Sucesos Complementarios

Definición: El complemento de un suceso A, denotado por Ā consiste en todos los resultados

posibles en los que el suceso A no ocurre.

Ejemplo: En un partido de futbol se pueden 3 resultados, ganar, empatar o perder, la probabilidad

de cada uno de ellos es de 1/3. Si la probabilidad de ganar es P(ganar) = 1/3, entonces cual es la

probabilidad de no ganar?

Solución: Espacio muestral [ganar, empatar, empatar], entonces:

P(no ganar) = P(empatar o perder) = 2/3 = 0.6666 = 0.67

Observaciones:

P(A) se lee “P de A”

P(Ā), se lee “P de A complemento”

P(A) + P(Ā) = 1

P(Ā) = 1- P(A)

P(A) = 1- P(Ā)

Ejemplo: Si P(A) = 0.5832 entonces P(Ā) = 1 – 0.5832 = 0.4168.

4.3 REGLA DE LA SUMA

DEFINICIONES

La Regla de la suma: Es un método que se utiliza para calcular probabilidades que pueden

expresarse de la forma P(A o B), es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que

ocurra el suceso B (o de que ambos ocurran), como único resultado de un procedimiento. Para

calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B, primero debemos obtener el

número total de maneras en que puede ocurrir A y de maneras en que puede ocurrir B, pero

calculamos ese total sin contar cada resultado más de una vez, a estos se les llama sucesos

compuestos.

Suceso compuesto: Es un suceso que combina dos o mas sucesos simples.

Notación de la regla de la suma: P(A o B) = P(en un solo ensayo, ocurre el suceso A u ocurre el suceso B o ambos ocurren)

Regla formal de la suma: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B), donde P(A y B) denota la

probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo como resultado de un experimento.

La regla formal de la suma se presenta como una fórmula, pero no se recomienda el uso

irreflexivo de fórmulas. En general, es mejor comprender el espíritu de la regla y utilizar esa

comprensión por medio de la Regla intuitiva.

Regla intuitiva de la suma: Para obtener P(A o B), calcule la suma del número de formas en que

puede ocurrir el suceso A y el número de formas en que puede ocurrir el suceso B, sumando

de tal manera que cada resultado se cuente sólo una vez. P(A o B) es igual a esa suma, dividida

entre el número total de resultados en el espacio muestral. P(A o B) = P(A) + P(B)

Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes: Es cuando ambos sucesos no pueden ocurrir al

mismo tiempo. Es decir que los sucesos disjuntos no se traslapan.

Sucesos complementarios aplicando la regla de la suma: P(A o B) = P(A) + P(Ā) = 1, los

sucesos A y Ā, son disjuntos o mutuamente excluyentes, porque es imposible que un suceso y su

complemento ocurran al mismo tiempo.

Observaciones

La regla de la suma se simplifica cuando A y B son disjuntos (no pueden ocurrir

simultáneamente), de manera que P(A y B) se convierte en cero. Es importante que considere lo

siguiente:

1. Para calcular P(A o B), primero debemos asociar el uso de la palabra “o” con la suma.

2. Considere si los sucesos A y B son disjuntos; es decir, ¿pueden ocurrir al mismo tiempo? Si no

son disjuntos (es decir, si pueden ocurrir al mismo tiempo), asegúrese de evitar un conteo doble

cuando se suman las probabilidades de cada uno.

3. Cuando calcule P(A o B), no necesariamente debe calcular el valor de P(A) + P(B) - P(A y B).

Ejemplo:

RESULTADOS DE EXÁMENES SOBRE EL CONSUMO DE MARIHUANA

¿Los sujetos realmente consumen marihuana?

Si No

Resultado de prueba positivo

(La prueba indica que la marihuana está

presente)

119

(verdadero positivo)

24

(falso positivo)

Resultado de prueba negativo


ausente)

3

(falso negativo)

154

(verdadero negativo)

La tabla anterior muestra los resultados de una muestra de 300 individuos que se sometieron a un

examen para determinar si consumen marihuana o no, cuyos resultados fueron los siguientes: en

los datos horizontales, 143 sujetos dieron positivo en la prueba, de los cuales 119 realmente

consumen marihuana y 24 no la consumen; 157 dieron negativo en la prueba, de los cuales 3

realmente consumen marihuana y 154 no la consumen, mientras que en los datos verticales, 122

consumen marihuana y 178 no la consumen.

De acuerdo con la tabla anterior:

1. Calcule la probabilidad de seleccionar a un sujeto un resultado de prueba positivo o que

consume marihuana, si elige al azar a una de las 300 personas que fueron examinadas.

Solución: Según la tabla hay 146 sujetos que tuvieron resultado de prueba positivo o consumen

marihuana (143 que dieron positivo mas 3 que dieron falso negativo pero que realmente

consumen marihuana). Es importante señalar que a los 122 que realmente consumen marihuana

se le restaron los 119 que también dieron positivo, quedando los 3 considerados.

P(resultado positivo de la prueba o consumo de marihuana) = 146/300 = 0.48666 = 0.487

Comprobación: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) = (143/300 + 122/300) – 119/300 = 265/300 –

119/300 = 146/300 = 0.487

2. Determine si los siguientes sucesos son disjuntos o mutuamente excluyentes, A: elegir a un

sujeto con un resultado de prueba negativo; B: elegir a un sujeto que no consume marihuana.

Solución: según la tabla hay 157 sujetos con resultado de prueba negativo y 178 sujetos que no

consumen marihuana. El suceso de elegir a un sujeto con un resultado de prueba negativo y

elegir a un sujeto que no consume marihuana, pueden ocurrir al mismo tiempo (ya que existe 154

sujetos con resultados de prueba negativo y que no consumen marihuana), como esos eventos se

traslapan o sea que pueden ocurrir al mismo, concluimos que: los sucesos no son disjuntos o

mutuamente excluyentes.

3. Calcule la probabilidad de seleccionar a un sujeto con un resultado de prueba negativo o que

no consume marihuana, si elige al azar a una de las 300 personas que fueron examinadas.

Solución: Según la tabla hay 181 sujetos que tuvieron resultado de prueba positivo o consumían

marihuana (157 que dieron negativo y 24 que dieron falso positivo o sea que realmente no

consumen marihuana). Es importante señalar que a los 178 que no consumen marihuana se le

restaron los 154 dieron negativo, quedando los 24 considerados.

P(resultado negativo de la prueba o no consumo de marihuana) = 181/300 = 0.60333 = 0.603

Comprobación: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) = (157/300 + 178/300) – 154/300 = 335/300 –

154/300 = 181/300 = 0.603.

4.4 REGLA DE LA MULTIPLICACION

DEFINICIONES

La Regla de la multiplicación: Es un método que se utiliza para calcular probabilidades que

pueden expresarse de la forma P(A y B), es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso A en un

primer evento y que el suceso B ocurra en un segundo evento. Si el resultado del primer suceso A

afecta de alguna forma la probabilidad del segundo suceso B, es importante ajustar la

probabilidad de B para que refleje la ocurrencia del suceso A.

Notación de la regla de la multiplicación: P(A y B) = P(el suceso A ocurre en un primer evento

y el suceso B ocurre en un segundo evento). Notación de la probabilidad condicional: P(B\A) representa la probabilidad de que el suceso B

ocurra después de suponer que el suceso A ya ocurrió.

P(B\A) se lee “B dado A” o “el suceso B ocurre después de que el suceso A ya ocurrió.

Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no

afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Si A y B no son independientes se dice que son

dependientes.

Regla formal de la multiplicación: P(A y B) = P(A) * P(B\A)

La regla formal de la multiplicación se presenta como una fórmula, pero se recomienda el uso de

la Regla intuitiva.

Regla intuitiva de la multiplicación: para obtener P(A y B), calcule la probabilidad de que el

suceso A ocurra en un ensayo y el suceso B ocurra en el siguiente ensayo, después multiplique la

probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B, pero asegúrese de que la probabilidad

del suceso B toma en cuenta la ocurrencia previa del suceso A.

Observaciones

1. Para calcular P(A y B), primero debemos asociar el uso de la palabra “y” con la multiplicación.

2. Si A y B son independientes, P(B\A) es lo mismo que P(B).

3. Sin reemplazo quiere decir que una vez ocurrido el primer evento (A), para calcular el segundo

evento (B) se debe restar al total de sujetos que se practicaron el examen, el sujeto

seleccionado en el primer evento.

Ejemplo:

RESULTADOS DE EXÁMENES SOBRE EL CONSUMO DE MARIHUANA

¿Los sujetos realmente consumen marihuana?

Si No



presente)

119

(verdadero positivo)

24

(falso positivo)



ausente)

3

(falso negativo)

154

(verdadero negativo)

De acuerdo con la tabla anterior.

1. Si se eligen al azar dos sujetos que se practicaron el examen, calcule sin reemplazo, la

probabilidad de que la primera persona seleccionada, tenga un resultado de prueba positivo y

que la segunda tenga un resultado de prueba negativo.

Solución:

Primera selección: P(resultado de prueba positivo) = 143/300, porque hay 143 sujetos que

resultaron positivos (119 + 24) y el total de sujetos es 300.

Segunda selección: P(resultado de prueba negativo) = 157/299, porque hay 157 sujetos que

resultaron negativos (3 + 154) y como es con reemplazo, después de la primera selección de un

sujeto con resultado de prueba positivo, quedan 299 sujetos.

P(el primer sujeto tiene un resultado de prueba positivo y el segundo sujeto tiene un resultado de

prueba negativo) = 143/300 * 157/299 = 0.477 * 0.525 = 0.250425 = 0.25

2. Si se eligen al azar dos sujetos que se practicaron el examen, calcule sin reemplazo, la

probabilidad de que la primera persona seleccionada, realmente consume marihuana y que la

segunda no consuma marihuana.

Solución:

Primera selección: P(realmente consume marihuana) = 122/300, porque hay 1223 sujetos que

realmente consumen marihuana (119 + 3) y el total de sujetos es 300.

Segunda selección: P(no consumen marihuana) = 178/299, porque hay 178 sujetos que no

consumen marihuana (24 + 154) y como es con reemplazo, después de la primera selección de

un sujeto con resultado de prueba positivo, quedan 299 sujetos.

P(el primer sujeto realmente consume marihuana y el segundo sujeto no consumen marihuana) =

122/300 * 178/299 = 0.407 * 0.595 = 0.242165 = 0.24.

SEGUNDA TAREA A DISTANCIA

Fecha de entrega 05 y 06 de Julio 2014

1. Dado el siguiente conjunto {7, 5, 2, 4, 3, 6, 4} calcular: la varianza, desviación estándar y

coeficiente de variación.

2. Dado el siguiente conjunto {62, 53, 49, 75, 58, 68, 53} calcular: la varianza, desviación

estándar y coeficiente de variación.

3. Los siguientes datos corresponden al salario por hora en lempiras de 50 trabajadores,

calcular: la varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

SALARIO POR

HORA LPS.

Nº

OBREROS

42 – 45 10

46 – 49 12

50 – 53 15

54 – 57 8

58 – 61 5

TOTAL 50

4. Calcule la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire resulte escudo.

5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 en el lanzamiento de un dado?

6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7 en el lanzamiento de un dado?

7. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una urna que contiene 2 bolas rojas,

5 amarillas y 3 azules, sea bola roja.

8. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja, esta sea un 9.

9. Calcule la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire la primera sea un escudo.

10. Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados las sumas de sus caras 7.

11. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire al menos una sea cara?

RESULTADOS DE PRUEBAS DE EMBARAZO

¿La mujer está embarazada?

Si No


(indico embarazo)

80

3


(no indico embarazo)

5

11

12. Suponiendo que de entre 99 mujeres que se practicaron la prueba de embarazo, se

selecciona una al azar, aplicando la regla de la suma, calcule la probabilidad de:

a) seleccionar a una mujer que está embarazada o que tuvo un resultado positivo.

b) seleccionar a una mujer que tuvo un resultado negativo o que no esta embarazada.

13. si se eligen al azar dos de las 99 mujeres que se practicaron la prueba de embarazo,

aplicando la regla de la multiplicación, calcule sin reemplazo la probabilidad de que:

a) La primera mujer seleccionada, tenga un resultado de prueba positivo y que la segunda

tenga un resultado de prueba negativo.

b) La primera mujer seleccionada, esté embarazada y que la segunda no esté embarazada.

Guía didáctica de: Estadistica Capítulo 3 y 4 · Estadistica Capítulo 3 y 4 Coordinador: Lic....

Documents

Transcript of Guía didáctica de: Estadistica Capítulo 3 y 4 · Estadistica Capítulo 3 y 4 Coordinador: Lic....