Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A

INSTITUTO TECNOLÓGICOMETROPOLITANO

Institución Universitaria adscrita a laAlcaldía de Medellín

VICEDECANATURA DE CIENCIASPROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO

Guía de trabajo

TRABAJO-MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

Cálculo Integral 2009 - 2

ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo.

COMPETENCIAComprender y aplicar el concepto de integral indefinida y definida de funciones reales, para modelar y dar solución a problemas en distintos contextos.

INDICADOR DE LOGROUtiliza la integral definida para modelar una situación.

NOTAAsegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las definiciones para evitar ideas erróneas.

CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS

Trabajo

La palabra Trabajo se emplea en forma cotidiana para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para llevar a cabo una tarea. De física sabemos que si un objeto se mueve una distancia D a lo largo de una línea, mientras le proporcionamos una fuerza constante F en la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado es:

Unidades:Fuerza (F) = Newtons Fuerza (F) = LibrasDistancia (D) = mts Distancia (D) = PiesTrabajo (W) = Newtons*mts = Joules Trabajo (W) = Libras*pies

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La ecuación nos sirve solo cuando la fuerza F es constante ¿qué pasa cuando F

es variable?. Supongamos que el objeto se mueve a lo largo del eje x positivo de y y en cada punto entre y actúa una fuerza sobre el objeto donde

es una función continua. De esta manera, el trabajo realizado al mover el objeto desde hasta es

Momentos y Centros de Masa

El objetivo principal es determinar el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente, una placa delgada de cualquier forma dada, como en la siguiente figura.

Supóngase que tenemos dos masas de tamaños y que se colocan en un sube

y baja a distancias respectivas y del punto de apoyo (fulcro) y en lados opuestos

a él (ver figura). El sube y baja se equilibra si y sólo si

Ahora, supón que el sube y baja esta en un eje horizontal que tenga su origen en el fulcro, entonces la coordenada de es , la de es y la

condición de equilibrio quedaría

Los números y se denominan momentos de las masas y , con

respecto al origen.

Generalizando, el momento total (con respecto al origen) de un sistema de masas ubicados en los puntos a lo largo del eje x es la

suma de los momentos individuales; esto es

Por otro lado, no debemos esperar equilibrio en el origen, excepto en circunstancias especiales. Pero seguramente un sistema de masas se equilibrará en alguna parte. Ver la siguiente figura,

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El punto , que se denomina centro de masa, es el punto de equilibrio y está dado por

Nota: Es claro en la anterior figura que .

Ahora, describiremos un sistema de puntos materiales, cuyas masas son

, colocados en los puntos en el plano , ver

figura en particular,

Entonces, los momentos totales y respecto al eje y al eje , respectivamente,

están dados por

Luego las coordenadas del centro de masa se expresan en términos de los

momentos mediante las fórmulas

donde

Ahora consideramos el problema de encontrar el centro de masa (o centroide) de una lámina con densidad uniforme (homogénea) .

Consideremos la lámina homogénea acotada por y ,

con . Entonces el centro de masa (centroide) está en , donde

Ejemplo 1. ¿Cuánto trabajo se lleva a cabo al levantar un libro que pesa 1.2 kg desde el piso para colocarlo en un escritorio de 0.7 mts de altura?Solución.

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Sabemos que la fuerza ejercida es igual y opuesta a la ejercida por la gravedad, de modo que

Luego,

Ejemplo 2.¿Cuánto trabajo se efectúa al levantar un peso de 20 libras a 6 pies del piso?Solución.La fuerza es , entonces ft-lb

Nota: Peso es una fuerza y NO la masa del objeto.

Ejemplo 3.Se requiere una fuerza de 40 N para mantener estirado un resorte desde su longitud natural de 10 cm, hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se efectúa al estirarlo de 15 a 18 cm?Solución.Aplicamos la Ley de Hooke, la cual establece que la fuerza necesaria para

mantener un resorte estirado (o comprimido) unidades alargado (o acortado) de su

longitud natural está dado por

Cuando se estira de 10 a 15 cm, el estiramiento es de 5 cm = 0.05 mts. Es decir que, lo que implica que

Luego , y el trabajo efectuado al estirar el resorte de 15 a 18 cm es

Ejemplo 4.En los puntos 0, 1, 2 y 4, a lo largo del eje x, hay masas de 4, 2, 6 y 7 kilogramos, respectivamente. Encuentre el centro de masa.Solución.

Ejemplo 5.Calcula los momentos y el centro de masa del sistema de objetos cuyas masas son 3, 4 y 8 y están, respectivamente, en los puntos .

Solución.

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Donde . Entonces

Así, el centro de masa está en

Ejemplo 6.

Encuentra el centroide de la región limitada por y

Solución.En la siguiente figura hemos trazado esa región.

Luego, el centroide está en

Ejercicios.

1. Calcula el trabajo efectuado al empujar 8 m un automóvil, ejerciendo sobre él una fuerza constante de 900 N.

2. ¿Cuánto trabajo lleva a cabo un pesista al levantar 60 kg de pesas del piso hasta 2 m de altura?

3. Un resorte tiene 20 cm de longitud natural. Si se necesita una fuerza de 25 N para mantenerlo estirado 30 cm, ¿cuánto trabajo se requiere para estirarlo de 20 a 25 cm?

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4. Se precisan 2 J de trabajo para estirar un resorte desde su longitud natural de 30 cm hasta 42 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirarlo de 35 a 40 cm?

5. Las masas están en los puntos . Calcula los momentos y encuentra el

lugar del centro de masa del sistema.

a.

.

b.

.

6. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas dadas.

a.

b.

c.

Bibliografía

1. STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición. Bogotá: Thompson editores, 1999.

2. PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo diferencial e integral. Novena edición. México: Pearson: Prentice Hall Hispanoamericana, 2007.

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