Guía 95: Cónica dinámicas y espaciales

CH-FyA-0511

Guía 95: Cónica dinámicas y espaciales

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Guía

95 Meta 31

GRADO 10

GUÍA DEL ESTUDIANTE

CÓNICAS DINÁMICAS

Y ESPACIALES

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 95

Julio Cesar Galarcio Del Toro, IED Puerta de Oro

Tania Jennifer Navarrete Santiago, IED Puerta de Oro

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Carmen Yaneth Sanchez Portilla, Colegio Los Colorados

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

http://www.grupolema.org/

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9

Guía

95 GRADO 10

CÓNICAS DINÁMICAS Y ESPACIALES

GRADO 10 - META 32 - PENSAMIENTO MÉTRICO ESPACIAL

Guía 94

(Duración 13 h)

• Coordenadas, rectas, distancias y

ángulos en el plano cartesiano

• Problemas de distancia, velocidad

y aceleración en situaciones

cotidianas

• Trigonometría: Leyes de seno y

coseno

• Utiliza la noción de semejanza

entre triángulos para comprender

que la razón de dos lados de un

triángulo rectángulo permanece

constante aunque el triángulo se

agranda o se reduce.

• Utiliza las razones trigonométricas

entre las longitudes de dos lados

para determinar el medida de uno de

los ángulos agudos.

• Utiliza las razones trigonométricas

entre la longitud de un lado y la

medida de un ángulo agudo para

determinar la longitud de otro lado

del triángulo.

Guía 95

(Duración 13 h) ACTIVIDAD 1

• Secciones cónicas: parábola,

elipse, hipérbola.

• Construcción de cónicas en

plastilina; construcción de elipse con

pita.

ACTIVIDAD 2

• Ecuaciones de, parábolas y elipses

Guía 96

(Duración 13 h)

• Hipérbolas (ecuaciones)

• Aplicaciones de parábolas, elipses

e hipérbolas (antenas parabólicas,

trayectorias elípticas y

hiperbólicas, etc).

META DE APRENDIZAJE N. 32 Explico fenómenos dinámicos usando cónicas (círculo, elipse, parábola, hipérbola): trayectorias de planetas,

máquinas elípticas, formas de antenas, reflexión de ondas y galería de susurros, entre otras; infiero propiedades

de las distancias entre puntos del espacio y cortes de sólidos y planos; con círculos, mido longitudes y ángulos

(conversión radianes-ángulos, sectores circulares); con la trigonometría, mido lados de triángulos rectángulos, así

como lados de cualquier triángulo (leyes del seno y coseno); abordo problemas de ángulos y distancias en mapas;

mido distancia, velocidad y aceleración, las relaciono y las uso en situaciones de movimiento en mi vida. Así,

comprendo la utilidad de medir distancias rectas y curvas en mi entorno

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PREGUNTAS ESENCIALES:

Actividad 1: ● ¿Cómo explicarías la ubicación de tu colegio con respecto a tu barrio utilizando coordenadas cartesianas? ● Alguna vez has observado el lanzamiento de tiro libre en un partido de fútbol,¿Qué trayectoria describe el

balón?

● ¿Qué figuras cónicas asocias a objetos que hallamos en nuestro entorno? Actividad 2:

● ¿Que figura cónica posee una galería de susurros, y para qué sirve? ● La tierra está en constante movimiento alrededor del sol describiendo un movimiento elíptico, ¿Cómo crees que

se puede obtener la distancia mínima y máxima entre el sol y la tierra?

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE Actividad 1:

● Identifico las secciones cónicas a partir de los diferentes cortes hechos a un cono

● Describo y diferencio las características de las figuras cónicas a partir de sus ecuaciones.

Actividad 2:

● Relaciono y aplico los diferentes procedimientos matemáticos en la solución de ejercicios que involucran

ecuaciones y gráficas de las secciones cónicas.

● Propongo soluciones a situaciones tipo prueba SABER a partir de las características presentes en las

ecuaciones de figuras cónicas.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 95

GRADO 10

ACTIVIDAD

1

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ACTIVIDAD 1: CALCULEMOS ESPACIOS

Conozcamos la relación que tienen las figuras cónicas con los elementos de nuestra vida.

A) Activando saberes previos

En la guia 94 aprendimos el procedimiento para ubicar puntos en el plano, calcular la distancia

entre dos puntos y la distancia entre un punto y una recta. Así que es momento que practiquemos

lo aprendido resolviendo estas actividades:

1.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-5, 3) y P2 (4, 3).

2.- Representar y calcular la distancia entre los puntos (−2,6) y (−5,2) del plano.

3.- Calcula la distancia del punto P(2, -1) a la recta r de ecuación 3x+4y=0

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) Relacionemos las matemáticas con nuestro entorno

¿Sabías que las cónicas son unas curvas que aparecen en más situaciones cotidianas de las que podemos

imaginar? Observa y analiza las siguientes imágenes, en ellas apreciamos diferentes curvas, pero cada una

tiene nombre y características especiales identificadas en el área de las Matemáticas. ¿Reconoces algunas

de ellas?


GUÍA 95

GRADO 10

ACTIVIDAD

1

7

Tomado de https://www.bluradio.com/tecnologia/ciencia/asi-es-el-

telescopio-mas-grande-de-colombia

Tomado de https://www.ejemplos.co/15-ejemplos-de-movimiento-

eliptico/

https://www.shutterstock.com/es/image-vector/roller-coaster-ride-

theme-park-illustration-1129725269/

B.1) Construyendo Figuras a partir de un cono

Observa detenidamente de izquierda a derecha las secuencias que se muestran en el siguiente recuadro,

después de revisarlas y observar el video que se te sugiere, construye las secciones cónicas utilizando

plastilina y una espátula o tarjeta plástica.

https://www.bluradio.com/tecnologia/ciencia/asi-es-el-telescopio-mas-grande-de-colombia

https://www.bluradio.com/tecnologia/ciencia/asi-es-el-telescopio-mas-grande-de-colombia

https://www.ejemplos.co/15-ejemplos-de-movimiento-eliptico/

https://www.ejemplos.co/15-ejemplos-de-movimiento-eliptico/


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GRADO 10

ACTIVIDAD

1

8

PASO 1

Moldeando la plastilina,

construyo el cono como se

muestra.

Recordemos:

El cono: Es el cuerpo de revolución

obtenido al hacer girar un

triángulo rectángulo alrededor de

uno de sus catetos.

PASO 2

Con ayuda de la espátula o la

tarjeta plásticas realiza un

corte horizontal al cono como lo

muestra la imagen.

Observemos que al realizar el

corte la intersección resultante

es un círculo y contorno lo

conocemos como circunferencia.

Podemos apreciar el círculo y su

contorno la circunferencia.

PASO 3

Realizamos un corte inclinado

sin cortar la base.

Observamos que luego del corte

realizado, tenemos una elipse

Podemos ver en detalle el corte

realizado en el siguiente gráfico:

PASO 4

Con ayuda de la Tarjeta o la

espátula realiza un corte al

cono paralelo a la generatriz

como lo muestra la imagen.


GUÍA 95

GRADO 10

ACTIVIDAD

1

9

Realizamos el corte inclinado,

pero esta vez asegurándonos de

que si corte la base.

De tal modo que obtenemos dos

cortes que nos muestran

parábolas, como se puede ver en la

imagen.

PASO 5

Con ayuda de la espátula o la

tarjeta plástica realiza un

corte al cono paralelo a la

altura del cono o realiza un

nuevo corte vertical a la parte

restante del cono como lo

muestra la imagen.

En detalle podemos observar que

el corte realizado nos genera una

hipérbola.

Como resultado final obtenemos

las curvas de la Hipérbola como se

muestra en la imagen:

Para complementar puedes

observar el video siguiendo el

link:

https://www.youtube.com/wat

ch?v=dZkNLFUYn7o

llamado secciones cónicas en

Youtube.

Observa con tus compañeros el siguiente video

https://www.youtube.com/watch?v=EFPPrRjiWw8&feature=youtu.be

Ahora discute con ellos la siguiente pregunta ¿Es el sol el foco de una

elipse en el Universo?

Definición Algebraica de Cónicas: Son el conjunto de curvas formadas por ecuaciones de dos variables y

de segundo grado, las cuales son la parábola, la elipse, y la hipérbola.

https://www.youtube.com/watch?v=dZkNLFUYn7o

https://www.youtube.com/watch?v=dZkNLFUYn7o

https://www.youtube.com/watch?v=EFPPrRjiWw8&feature=youtu.be


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ACTIVIDAD

1

10

Definición Geométrica de Cónicas: Son el resultado de los cortes de un plano en un cono tridimensional.

Dependiendo de la inclinación en el corte del plano, se puede obtener una circunferencia, una parábola, una

elipse o una hipérbola

1 2 3

Parábola: Es el lugar

geométrico de los puntos

en el plano, tales que

equidistan de un punto fijo

llamado foco, y de una

recta llamada Directriz.

Elipse: Es el lugar

geométrico de los puntos en

el plano, tales que la suma de

las distancias a dos puntos

fijos llamados focos, es

constante.

Hipérbola: Es el lugar

geométrico de los puntos en el

plano, tales que la diferencia de

las distancias de cualquiera de

ellos a dos puntos fijos llamados

Focos es constante. Esta

diferencia es la distancia mayor

menos la distancia menor,

siempre.

MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos un poco más acerca de La parábola


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ACTIVIDAD

1

11

Elementos de la Parábola

Eje Focal: es una recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

Vértice: Es el punto de corte del eje focal con la parábola.

Distancia P: Longitud que hay entre el foco y el vértice, y del vértice a la directriz.

Lado Recto: Segmento rectilíneo perpendicular al eje focal que corta al foco, (AB = lado recto).

Piensa...

1. ¿Para qué sirve la parábola en la vida real?

Se recrea un aula de clase en donde La profe Clara le muestra a los estudiantes algunas

de las tantas aplicaciones que tiene la parábola, muestra como es necesario conocer la

parábola para construir satélites y la importancia que tiene la reflexión de la parábola

para el uso de esta en las antenas de televisión, como esta misma propiedad se utiliza

también se utiliza en hornos solares; además como sus propiedades contribuyen para

poder crear telescopios, linternas, faros y otros elementos.

2. ¿Qué aplicaciones en la vida real tiene la parábola?

B.2) Construyendo la Elipse con la ayuda de “pita”


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ACTIVIDAD

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12

A continuación, observa el siguiente video el cual te guiará para conocer mejor los

elementos de la elipse y te ayudará a construir una figura similar, utilizando clavos,

pita o lana, marcador y cartulina. https://www.youtube.com/watch?v=P- PhOy9F7Sg

Observa el paso a paso de izquierda a derecha:

PASO 1

Una vez terminado de observar

el video toma un octavo de

cartulina y ubica dos puntos,

los cuales serán los focos de la

elipse, en línea recta

horizontal a una distancia de

20 centímetros el uno del otro,

como se muestra a

continuación.

PASO 2

Ahora toma un pedazo de lana que

mida 30 centímetros y amarralos a

los clavos, así:

PASO 3

Toma un lápiz, esfero o

marcador delgado y con

la ayuda de la lana

sostenida por los clavos

traza la elipse.

PASO 4

Identifica y señala en la elipse

que acabas de crear, los

elementos de esta.

https://www.youtube.com/watch?v=P-PhOy9F7Sg




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ACTIVIDAD

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13

MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos un poco más acerca de La Elipse

Elementos de la Elipse

Focos: Son los puntos medios de la elipse y el centro de toda su geometría, ya que de ellos parten todos

los demás elementos de la figura.

La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos siempre es constante, normalmente se

denotan con las letras F y F’.

Eje Focal: También conocido como eje mayor, es una recta horizontal que atraviesa la elipse tocando los

dos focos y formando dos vértices. Divide la figura en 2 partes iguales.

Vértices: Son los 4 puntos donde los ejes focal y secundario se interceptan con la elipse.

Centro(0): Es el lugar donde se cruzan los ejes focal y secundario, aunque también puede precisarse como

el punto medio entre los 2 focos de una elipse.

Distancia Focal: Es la distancia existente entre los 2 focos de una elipse. Suele denotarse como 2C. Al

mismo tiempo, C es la distancia semifocal, que va desde uno de los focos hasta el centro.

Eje Mayor: Corresponde a la distancia entre el centro y uno de los lados de la elipse (vértice) unidos con

una línea recta horizontal.

Su valor es la suma de las distancias de un punto cualquiera a los focos dividido entre 2, de la forma a

= (d1 + d2) / 2, donde a es el semieje mayor y d la distancia de un punto de la elipse a un foco.

Eje Menor: El semieje menor es el opuesto del semieje mayor. Este cruza la elipse de forma vertical

pasando por el centro y tocando la figura en 2 puntos.

https://www.lifeder.com/elementos-elipse/

https://www.lifeder.com/elementos-elipse/


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ACTIVIDAD

1

14

MINI - EXPLICACIÓN: La circunferencia

Partiendo de la elipse, podemos construir una circunferencia, de los dos segmentos cuyas longitudes son a

y b, dibujamos dos circunferencias con centro en el origen de coordenadas O. Por los puntos A y B trazar

rectas perpendiculares a los ejes de coordenadas, la

intersección de estas rectas es un punto P que pertenece

a la elipse.

Puedes interactuar cambiando la configuración de los

elementos de la figura en este enlace

https://www.geogebra.org/m/z9vQ5ctE


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ACTIVIDAD

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15

Observa detenidamente siguientes las imágenes y haciendo uso de diferentes tonalidades de colores,

resalta las partes en las que consideres fue empleada una circunferencia

1. Después de mirar las imágenes en las cuales identificaste las circunferencias, responde las

siguientes consignas:

a. ¿Son útiles las circunferencias en el arte? Justifica tu respuesta.

b. ¿En qué contextos pueden resultar útiles las circunferencias? Justifica tu respuesta.

MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos un poco más acerca de La Hipérbola

Elementos de la

hipérbola

Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).

Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.

Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.

Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.

Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal

y el transverso.

Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).


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ACTIVIDAD

1

16

Distancia focal: es la distancia 2C entre focos. También se denota como F1F2.

Eje real: es la distancia 2a entre vértices.

Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las

relaciones entre semiejes.

Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:

Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.

Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen

un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman

interiores (I) y los otros exteriores (Ex).

Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz

de los dos radios vectores del punto Pi.

PROBLEMAS Y JUEGOS DE REFUERZO:

Sigue el orden de la imagen de la rutina de aprendizaje tun

1 - tun 2 - tun 3 y soluciona el crucigrama


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ACTIVIDAD

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17

Horizontales

1. Está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto.

3. Recta fija que dista de un punto que se mueve en el plano con igual longitud al foco.

7. Es la razón entre su distancia focal y su eje mayor.

9. Es el eje paralelo al eje focal y no toca a la hipérbola en ningún punto.

11. Es la distancia más pequeña situada entre las intersecciones de la elipse con los ejes.

12. Rectas que pasan por el centro de la hipérbola.

14. Es el eje comprendido entre los vértices de la hipérbola.

15. es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la suma de sus distancias

a dos puntos fijos, es siempre igual a una constante.

16. Es el grupo de figuras geométricas que se forman al cortar de manera paralela a la base, perpendicular,

oblicua y paralela a un lado de un cono.

17. Es el eje en donde se localizan los focos.

Verticales

2. Segmento de recta que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.

4. Se define como una curva plana y ordenada cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.

5. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la

diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad

constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

6. Conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.


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ACTIVIDAD

1

18

8. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que su distancia de una recta

fija, es siempre igual a su distancia de un punto fijo.

10. Es la distancia más grande situada entre las intersecciones de la elipse con los ejes.

13. Puntos en donde se cortan las secciones cónicas con los ejes.

https://repositorio.iberopuebla.mx/bitstream/handle/20.500.11777/2000/Flores%20Torres%2C%20Samuel.pdf?s

equence=2&isAllowed=y

C) Resuelve y practica

¿Cuáles de las siguientes imágenes corresponden a una aplicación de la elipse en la vida real? Coloca una X

https://contenidosparaaprender.colombiaaprende.edu.co/G_10/M/SM/SM_M_G10_U04_L04.pdf

https://contenidosparaaprender.colombiaaprende.edu.co/G_10/M/SM/SM_M_G10_U04_L04.pdf


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ACTIVIDAD

1

19

RECURSOS DIGITALES PARA TRABAJAR CON CONICAS

Contesta las siguientes preguntas referidas a la construcción de la grafica

de una parábola, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente enlace

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c12_para

bola_constr.html

1. ¿Qué tipo de curva describe el punto P (activa su traza para

comprobarlo)?

2. ¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?

3. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?

4. Define la parábola como lugar geométrico.

Contesta las siguientes preguntas referidas a la construcción de la grafica

de una elipse, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente enlace

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c4_elipse

_constr.html

1. ¿Qué tipo de curva describe la traza de P?

2. ¿Qué representan los segmentos morados?


4. Define la elipse como lugar geométrico.

Contesta las siguientes preguntas referidasa a la construcción de la grafica

de una circunferencia, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente

enlace

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c1_circun

f_constr.html


2. ¿Qué tipo de curva describe P en su movimiento? Compruébalo: activa

el trazo de P y vuelve a moverlo.

3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto C? ¿Y la medida de r?

4. ¿Qué cumplirán las coordenadas (x,y) del punto P?

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c12_parabola_constr.html

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c12_parabola_constr.html


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ACTIVIDAD

1

20

Contesta las siguientes preguntas referidasa a la construcción de la grafica

de una circunferencia, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente

enlace

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c7_hiper

bola_constr.html

1. ¿Qué tipo de curva describe la traza de P?

2. ¿Qué representan los segmentos verde y lila?


4. Desliza ahora el punto P'

5. Define la hipérbola como lugar geométrico.

Dirigete al enlace que se te presenta https://www.geogebra.org/m/ZdAJXFFu

y explora deslizando los puntos, comenta con tus compañeros que tipo de figura

cónica descubriste.

https://www.geogebra.org/m/ZdAJXFFu


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ACTIVIDAD

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D) Resumen

Secciones Cónicas: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un

cono con un plano que no pasa por su vértice. Según como

corte el plano al cono tendremos:

● Hipérbola: El plano forma con la base un

ángulo mayor que el que forma la generatriz.

● Parábola: El plano es paralelo a la

generatriz.

● Elipse: El plano forma con la base un ángulo

menor que el que forma la generatriz.

● Circunferencia: El plano es paralelo a la

base.


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ACTIVIDAD

1

22

E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Evi-

den-

cias

1.

2.

Evidencias actividad 1:

1. Identifica las secciones cónicas a partir

de los diferentes cortes hechos a un

cono.

2. Describe y diferencia las características

de las figuras cónicas a partir de sus

ecuaciones.

i) auto-diagnóstico.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ii) Valoración individual

1. Señala el nombre de las cónicas que se mencionan

en esta guía: ● Cono

● Círculo

● Hipérbola

● Circunferencia

● Elipse

● Parábola

2. Indica si las siguientes frases son verdaderas o

falsas:

● El círculo se obtiene cortando el cono por un

plano paralelo a su base.

● La parábola se obtiene al cortar con un plano

paralelo al suelo.

● El balón de rugby es una elipse.

3. En el caso de los chorros y las gotas de agua que

salen de los caños de las

numerosas fuentes que

podemos encontrar en las

ciudades. El desplazamiento

bajo la acción de la atracción

gravitatoria de la Tierra

permite obtener bonitos

arcos.

¿Qué forma tienen esos chorros? _____________

1. Usa una cámara fotográfica y tómale dos fotos a los objetos que tengan forma de secciones cónicas que

puedas apreciar en tu entorno.

2. Dado que has visto que es muy común encontrar elementos de forma cónica, como herramientas, como

utensilios de cocina, muebles, instrumentos musicales, artes, en la naturaleza, etc… ¿Cuál consideras que

es la importancia de las secciones cónicas en la vida diaria?

3. Hagan una lista de otros objetos que tengan forma de las diferentes secciones cónicas.

http://objetos.ciersur.co/LO/M_G10_U04_L02/M_G10_U04_L02/Material/SM_M_G10_U04_L02.pdf

http://objetos.ciersur.co/LO/M_G10_U04_L02/M_G10_U04_L02/Material/SM_M_G10_U04_L02.pdf


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ACTIVIDAD

2

23

ACTIVIDAD 2: IDENTIFICANDO LAS CÓNICAS

A PARTIR DE SU ECUACIÓN

En esta sección aprenderemos a trabajar con las ecuaciones de la parábola y la elipse.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Hay varias formas de estudiar las cónicas:

Se pueden estudiar como lo hicieron los griegos como lo has visto en las figuras anteriores, en términos

de intersecciones del cono con planos. En Grecia, en la época de Platón se consideraba que la

circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola procedían de la intersección de un cono con un plano.

Dichas cónicas tienen en común a la ecuación general de segundo grado

Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y.

Sin embargo, las estudiaremos como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad

geométrica.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de grado 2 con una incógnita. Se expresa de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +

𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ϵ R y 𝑎 ≠ 0.

Una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es completa si el valor de la constante b y c es

diferente de cero. La solución de una ecuación cuadrática completa se puede obtener factorizando,

completando cuadrados o utilizando la fórmula general.

Fórmula general: las soluciones de una ecuación que tiene la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 están dadas por la

expresión:

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎


GUÍA 95

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

24

PRACTICA

En la actividad 2 de la guía 84 aprendimos a trabajar con las gráficas de la ecuaciones de segundo grado

de la forma 𝑥2.

1. Apoyándote en el Software de Matemáticas Geogebra te invitamos a graficar las siguientes ecuaciones:

A. f(x) = 𝑥2

B. f(x) = 2𝑥2 +3

C. f(x) = -𝑥2 + 2x + 1

D. f(x) = 5𝑥2 -1

E. f(x) = -0.5𝑥2 - 2x +4

F. f(x) = 𝑥2 - x

2. Observa y compara detenidamente las gráficas de las funciones anteriores ¿En qué se parecen?

3. La funciones utilizadas son de la forma: y= a𝒙𝟐 +bx+c. El valor de a puede ser positivo o negativo,

NUNCA nulo a.

3.1. ¿Qué sucede con la gráfica cuando a es positivo?

3.2. ¿Qué sucede con la gráfica cuando a es negativo?

4. Determine algebraicamente el vértice de las funciones (A), (B) y (C).

4.1. Compare este resultado con el valor que se presenta en las gráficas.

4.2. Tomando como referente la gráfica (A), diga cuál es el eje de simetría de cada gráfica.

5. Si se toman dos puntos de la gráfica que estén a la misma distancia del eje X (o sea que tengan el mismo

valor en Y), ¿cómo es la distancia de esos puntos con respecto al eje de simetría? Explique.

6. Menciona tres situaciones distintas que puedan ser modeladas o representadas gráficamente mediante

una parábola.

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.


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GRADO 10

ACTIVIDAD

2

25

B) Ecuación Canónica y General

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos (x,y) que

satisfacen:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Donde las letras en mayúsculas (A, B, C, D, E y F) representan a constantes.

Para identificara una cónica de una ecuación general de segundo grado utilizaremos el “indicador”, que se

representa de la siguiente manera:

𝐼 = 𝐵2 − 4𝐴𝐶

Como se muestra en la fórmula, los valores que debemos tomar en cuenta, serán las constantes A, B y C,

respetando los signos que contengan. Los criterios que debemos tomar en cuenta, se dividirán en dos

casos:

● Caso 1: cuando B=0, es decir, 𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Es parábola si: A = 0 ó C = 0.

Es circunferencia si: A = C.

Es elipse si: A y C deben de ser diferentes y positivos.

● Caso 2: cuando B es diferente de cero, es decir, toma un valor numérico y está presente en la

ecuación general de segundo grado, 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Es parábola si: 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 = 0


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Es elipse si: 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 < 0

Tomado de https://blog.unitips.mx/anal%C3%ADtica-c%C3%B3nicas-gu%C3%ADa-de-temas-para-el-

examen-

unam#:~:text=Es%20circunferencia%20si%3A%20A%3DC,y%20C%20tienen%20signos%20contrari

¿Qué tanto sabes?

Determinar el tipo de cónica que representa cada ecuación:

1. 𝟐𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟕 = 𝟎

2. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒 = 𝟎

3. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos las diferentes ecuaciones de la Parábola

1. Parábola con V(0,0) ; abre a la derecha 5. Parábola con V(h,k) ; abre a la derecha

Ecuación:𝑦2 = 4𝑝𝑥

Foco: F(p,0)

Directriz D: x = - p

Eje: Y =0

Ecuación:(𝑦 − 𝑘)2 =

4𝑝(𝑥 − ℎ

Foco: F(p+h,k)

Directriz D: x = -

p+h

Eje: Y =k

2. Parábola con V(0,0) ; abre a la izquierda

6. Parábola con V(h,k) ; abre a la izquierda

Ecuación:𝑦2 = -4px

Foco: F(-p, 0)

Directriz D: x = p

Eje: Y =0

Ecuación:(𝑦 − 𝑘)2 =

−4𝑝(𝑥 − ℎ)

Foco: F(-p+h, k)

Directriz D: x = p+h


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Eje: Y =k

3. Parábola con V(0,0) ; abre hacia arriba 7. Parábola con V(h,k) ; abre hacia arriba

Ecuación: 𝑥2 = -4py

Foco: F(0,p)

Directriz D: y = -p

Eje: X =0

Ecuación: (𝑥 − ℎ2 =

4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Foco: F(h,p+k))

Directriz D: y = -p+k

Eje: X =h

4. Parábola con V(0,0) ; abre hacia abajo 8. Parábola con V(h,k); abre hacia abajo

Ecuación: 𝑥2 = -4py

Foco: F(0, -p)

Directriz D: y = p

Eje: X =0

Ecuación: (𝑥 − ℎ)2 =

−4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Foco: F(h, -p+k)

Directriz D: y = p+k

Eje: X =h

Aplica:

Encuentra la ecuación canónica de la parábola utilizando la información dada.

PASO 1: Observa el ejemplo.

Eje focal paralelo al eje Y que tiene por vértice el punto (3, 2) y su

distancia focal es 5.

De acuerdo con los datos sabemos que: (h, k) = (3, 2)

p = 5

entonces, (𝑥 − 3)2 = 4 (5) (𝑦 − 2) Aplicamos ecuación: (𝑥 − ℎ)2 = 4 𝑝 (𝑦 − 𝑘)

(𝑥 − 3)2 = 20 (𝑦 − 2)

PASO 2: Resuelve el siguiente ejercicio con ayuda de tu profesor:


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● Vértice = (0, 0) distancia focal = 2

PASO 3: Ahora coloca en práctica lo aprendido y soluciona:

a. Vértice = (-3, -4) y distancia focal 1

b. Vértice = (1, -4) distancia focal 3

Ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje Y

Tiene la forma: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0. Y puede obtenerse a partir de la ecuación canónica.

Escribe la ecuación general de la parábola en los siguientes ejercicios, teniendo en cuenta los datos dados.

PASO 1: Observa el ejemplo.

Vértice el punto (5,3) su distancia focal es 3.

En primer lugar escribimos la ecuación canónica de la parábola:

(𝑥 − 5)2 = 4 (3) ( 𝑦 − 3)

Luego realizamos las operaciones indicadas.

𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 12 ( 𝑦 − 3)

𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 12 𝑦 − 36

𝑥2 − 10𝑥 − 12 𝑦 + 61 = 0

PASO 2: Resuelve el siguiente ejercicio con ayuda de tu profesor:

● Vértice = ( -2, 0) y distancia focal = 1

PASO 3:Coloca en práctica resuelve:

a) Vértice = (5, 4) y distancia focal = 4

b) Vértice = (3, -2) y distancia focal 3

4


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MINI - EXPLICACIÓN

Conozcamos las diferentes ecuaciones de la Elipse

1) Elipse Horizontal con C(0,0)

Ecuación Canónica:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Vértices:

𝐴2 = (−𝑎,0) ; 𝐴1 = (𝑎,0)

𝐵2 = (0, −𝑏) ; 𝐵1 = (0, 𝑏)

Focos:

𝐹2 = (−𝑐,0); 𝐹1 = (𝑐,0)

Directrices: 𝐷1 𝑦 𝐷2 𝑥 = ± 𝑎

𝑒= ±

𝑎2

𝑐

Eje mayor: Y=0

Eje menor: X=0

2) Elipse Horizontal con C(h,k)


(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Vértices:

𝐴2 = (−𝑎 + ℎ, 𝑘) ; 𝐴1 = (𝑎 + ℎ, 𝑘)

𝐵2 = (ℎ, −𝑏 + 𝑘) ; 𝐵1 = (ℎ, 𝑏 + 𝑘)

Focos:

𝐹2 = (−𝑐 + ℎ, 𝑘); 𝐹1 = (𝑐 + ℎ, 𝑘)


𝑒+ ℎ = ±

𝑎2

𝑐+ ℎ

Eje mayor: Y=k

Eje menor: X=h

3) Elipse Vertical con C(0,0) Ecuación Canónica:

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Vértices:

𝐴2 = (0, −𝑎) ; 𝐴1 = (0, 𝑎)

𝐵2 = (−𝑏,0) ; 𝐵1 = (𝑏,0)

Focos:

𝐹2 = (0, −𝑐); 𝐹1 = (0, 𝑐)


𝑒= ±

𝑎2

𝑐


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Eje mayor: X=0

Eje menor: Y=0

4) Elipse Vertical con C(h,k)


(𝑥ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

Vértices:

𝐴2 = (ℎ, −𝑎 + 𝑘) ; 𝐴1 = (ℎ, 𝑎 + 𝑘)

𝐵2 = (−𝑏 + ℎ, 𝑘) ; 𝐵1 = (𝑏 + ℎ, 𝑘)

Focos:

𝐹2 = (ℎ, −𝑐 + 𝑘); 𝐹1 = (ℎ, 𝑐 + 𝑘)


𝑒+ 𝑘 = ±

𝑎2

𝑐+ 𝑘

Eje mayor: X=h

Eje menor: Y=K

Halla la ecuación canónica de las siguientes elipses: Observa el ejemplo dado para guiarte.

a. Con eje mayor paralelo al eje X que tiene por centro el punto (3, -2), su eje mayor mide 4 su eje

menor 3.

Identifiquemos la información que nos dan:

(h, k) = (3, 2)

2a = 4

2b = 3

(𝑥 − 3 )2

22

+(𝑦 + 2 )2

(32

)2 =1


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b. Indica la ecuación de la elipse que tiene eje mayor paralelo al eje Y, cuyo centro es el punto (-1, 1),

su eje mayor mide 10 y su eje menor 6.

c. Centro = (0, -3), eje mayor paralelo al eje X, longitud del eje mayor = 5, longitud del eje menor 1.

PROBLEMAS Y JUEGOS DE REFUERZO:

1. En el software de Matemáticas Geogebra, Teniendo presente la definición de elipse como lugar

geométrico, prueba que 𝑥 2

𝑎2+𝑦2

𝑏2=1 es la ecuación de una elipse con centro en el origen del sistema de

coordenadas, eje focal coincidiendo con el eje “x”, focos F(c, 0) y F’(-c, 0), semieje mayor igual a “a”

y semieje menor igual a “b”.

2. Determina la ecuación de la elipse de centro en el origen, foco en (0,3) y semieje mayor igual a 5.

Utilizando Geogebra verifica tu respuesta.

3. Es hora de competir...

Reúnete con un compañero para colocar en práctica qué tan ágil son para reconocer las ecuaciones con su

respectiva cónica, ganará aquel que tenga más aciertos.

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 𝒚 + 𝟏𝟎 = 0

𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 = 0

𝟏𝟔(𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟒(𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟔𝟒

𝒙𝟐=𝟏

𝟒y

𝒙 𝟐

𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐=1

(𝒙 +𝟒)𝟐

𝟗+

(𝒚+𝟐)𝟐

𝟒=1

(𝒙 − 𝟏)𝟐 = 𝟒(𝒚 + 𝟏)𝟐


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C) Resuelve y practica

Completa según los conocimientos adquiridos:

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de

la siguiente elipse:

𝑥2+4𝑦2 = 16 .

➢ Obtenemos ecuación canónica de:

𝑥2+4𝑦2 = 16 𝑥2

16+

𝑦2

4=1

➢ Eje _______

➢ Obtenemos el valor del semieje ____

𝑎2=16 a =

➢ Y así encontrarás sus vértices

A (4,0) A’ ( , 0)

➢ Eje _______

➢ Obtenemos el valor del semieje ____

𝑏2=4 b =

➢ Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

B ( , ) B’( , )

➢ Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

𝑐 = √16 − 4 𝑐 = 2 √3

y con éste, localizar los focos

𝐹 (2 √3,0) 𝐹′ ( , )


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➢ Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal el semieje mayor

e =

➢ Gráfica

En el software de Matemáticas geogebra, grafica las

siguientes ecuaciones de elipses:

a. 𝑥2

52+

𝑦2

32=1

b. 𝑥2= 4y

c. (𝑥+1)2

16+

(𝑦 − 3)2

4=1

RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

CON BASE A LA INFORMACIÓN

Al cortar un cono de manera transversal y en forma

oblicua con un plano se logra obtener alguna cónica

como hemos visto anteriormente. Si el corte se

hiciera de forma longitudinal, con el plano

perpendicular a la base y pasando por el centro de

ella como se muestra en la imagen, ¿cuál sería la

figura resultante si la altura y el diámetro del cono

es h?

A. Una parábola.

B. Una circunferencia de radio h/2.

C. Un triángulo de base y altura h.

D. Una elipse de eje mayor h.

0bserva la siguiente gráfica:

Si la circunferencia se desplaza 3 unidades

hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo,

¿cuál de las siguientes coordenadas

pertenece a la nueva circunferencia?

A. (4,-2)

B. (0,2)

C. (5,-2)

D. (-2,-3)


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34

¿Cuál sería la figura resultante si se cortara un

cilindro con las mismas condiciones?

A. Una elipse de eje mayor h.

B. Un cuadrado de lado h.

C. Un rectángulo de lados h y 2h.

Una circunferencia de radio mayor h.

¿Cual es la ecuación que representa la

circunferencia?

A. (x-2)2+(y-4)2=16

B. (x-4)2+(y-2)2=16

C. (x+4)2+(y+2)2=16

D. (x+2)2+(y+4)2=16

D) Resumen

https://sites.google.com/site/pfmpesquer/3-geometria-analitica

https://sites.google.com/site/pfmpesquer/3-geometria-analitica


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https://sites.google.com/site/aswdafhhjwefjk/3-1-conjunto-de-numeros-reales/3-2/3-3-ecuaciones-

cuadraticas/3-4-geometria-analitica/3-4-1-mapas-conceptuales

E) Valoración

Con el fin de que valores lo que aprendiste en la actividad Nº 2, te invitamos a realizarla:

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias

1.

2.

Evidencias actividad 1:

1. Relaciona y aplica los diferentes procedimientos

matemáticos en la solución de ejercicios que

involucran ecuaciones y gráficas de las secciones

cónicas.

ii) Valoración individual

Responde verdadero o falso según cada

proposición:

1) La ecuación canónica de la parábola con

eje focal paralelo al eje es 𝑥2= 4py

________________.

2) la gráfica Parábola con V(0,0) ; abre a

la izquierda es de la forma

https://sites.google.com/site/aswdafhhjwefjk/3-1-conjunto-de-numeros-reales/3-2/3-3-ecuaciones-cuadraticas/3-4-geometria-analitica/3-4-1-mapas-conceptuales

https://sites.google.com/site/aswdafhhjwefjk/3-1-conjunto-de-numeros-reales/3-2/3-3-ecuaciones-cuadraticas/3-4-geometria-analitica/3-4-1-mapas-conceptuales


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ACTIVIDAD

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36

2. Propone solución a situaciones tipo prueba SABER

a partir de las características presentes en las

ecuaciones de figuras cónicas.

i) Me auto - diagnóstico

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

_____________.

________________.

3) ¿Bajo ciertas condiciones la parábola

se puede transformar a Circunferencia?

________________.

Problemas:

1. Determina el foco, la directriz, la longitud del lado recto el gráfico de la parábola 𝑦2= 18x

2. Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de

abscisas, sabiendo que pasa por el punto P(10, -4) y que su eje mayor es igual al doble del menor.

Guía 95: Cónica dinámicas y espaciales

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