Guía 72: Analizando Histogramas y juego de probabilidades

1

Guía 72: Analizando Histogramas y juego de

probabilidades

CH-FyA-0488

2

Guía

72 Meta 24

GRADO 7

GUÍA DEL ESTUDIANTE

ANALIZANDO HISTOGRAMAS

Y JUEGOS DE PROBABILIDAD

3

Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 72

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica


Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea


http://www.grupolema.org/

4

Guía

72 GRADO 7

ANALIZANDO HISTOGRAMAS Y

JUEGOS DE PROBABILIDAD

GRADO 7 - META 24 - PENSAMIENTO ALEATORIO

Guía 70

(Duración 13 h)

• Población y variable estadística

• Muestras representativas y no

representativas

• Partición e intervalos

• Histogramas

• Polígonos de frecuencia

• Máximos y mínimos en gráficas de

línea

• Tendencias de cambio

Guía 71

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Conteo usando árboles

• El principio de multiplicación para

conteos

ACTIVIDAD 2

• Experimentos multi-paso

• Eventos simples y eventos

compuestos

• Probabilidad de un evento

Guía 72

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Análisis de histogramas

• Medidas de tendencia en datos

agrupados

ACTIVIDAD 2

• Análisis de juegos de probabilidad

• Juegos justos y sesgados

• Simulación de experimentos

aleatorios mediante juegos

META DE APRENDIZAJE N. 24

Analizo muestras representativas de poblaciones de variables como frecuencias de lectura, gastos en la canasta

familiar, entre otras, usando tablas de frecuencias, histogramas, polígonos de frecuencias y otras

representaciones donde agrupo datos; calculo medidas de tendencia central (moda, mediana y promedio). Hallo

la probabilidad de un evento compuesto en experimentos de uno o más pasos, la represento con ayuda de tablas

y diagramas de árboles, y la expreso como fracción, decimal o porcentaje. Así, aprendo a generar nueva

información general a partir de información simple y cotidiana.

PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 72:

● ¿Cómo podemos analizar críticamente la información estadística que leemos? ● ¿Qué elementos puedo analizar en un histograma, más allá de la lectura explícita de los datos?

● ¿Cómo puedes saber si en un juego de azar tienes la mismas posibilidades de ganar que tus oponentes? ● ¿Cómo podemos usar juegos para simular distintos experimentos del azar?

5

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 72

● Comprendo información explícita de una tabla o gráfica estadística ● Analizo información en detalle de una tabla o gráfica estadística ● Voy más allá de una tabla o gráfica estadística, haciendo preguntas críticas y autocorrigiendo mi análisis

● Entiendo y describo la condición de victoria en un juego de azar ● Comparo distintas representaciones de juegos de azar (un árbol, una tabla o un área) ● Decido si un juego de azar es justo o sesgado, y justifico por qué

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

6

ACTIVIDAD 1: ANALICEMOS UN CONJUNTO DE DATOS

A TRAVÉS DE UN HISTOGRAMA

Aplicaremos lo que sabemos sobre histogramas para analizar un conjunto de datos y para

comparar dos conjuntos de datos en cuanto a rangos, forma de la distribución, posibles centros y

datos atípicos. También practicaremos cómo ir más allá de lo que nos dice el histograma.

A) RECORDEMOS: DATOS AGRUPADOS Y MEDIDAS DE TENDENCIA

RECUERDA QUE...

● Un conjunto de datos numéricos agrupados se puede representar de muchas formas, por ejemplo con:

Una tabla de frecuencia

(“cuántos por categoría”)

Un polígono de frecuencia (a partir del histograma;

las barras ahora son puntos)

Un histograma (una barra por categoría; su altura

es la frecuencia de la categoría)

Un diagrama circular (para ver fácilmente el

porcentaje por categoría)

● Para analizar un conjunto de datos numéricos, podemos mirar lo siguiente:

○ ¿Dónde están los datos? (máximo, mínimo y rango). La palabra rango a veces se usa para

indicar el intervalo [min, max], y a veces para la longitud o amplitud de este intervalo.

○ ¿Qué valor único podría resumir o representar a la gran mayoría de los datos?

Moda: el valor, si

existe, que más se

repite. A veces

pueden haber 2 o

más modas.

Promedio (media aritmética): si se

equilibran los datos sin que cambie

la suma de ellos, cuál es el valor de

equilibrio? (suma de datos, dividida

entre cantidad de datos)

Mediana: valor a “mitad de camino”

al ordenar los datos, si hay un número

impar. Si hay un número par de datos,

tomamos el valor en el medio de los

dos datos más centrales).

○ ¿Cómo se distribuyen los datos?

■ Ejemplos (a partir de ver un histograma, por ejemplo):

● Montaña: hay un grupo donde se acumulan los datos.

● Dos jorobas: dos grupos grandes separados que acumulan juntos a la mayoría de los datos.

● Horizontal: ningún grupo es mucho más grande que otros. La distribución es uniforme.

PRACTICA


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

7

i) Considera el siguiente conjunto de 10 datos:

1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 7, 7.

Calcula el mínimo (MIN), el máximo (MAX), el

promedio (p), la mediana (ME) y la moda (MO),

y ordena estos valores, dibujándolos en una

recta numérica.

ii) Considera el siguiente conjunto de 12 datos: 1, 1, 2, 455, 456, 458, 460, 461, 463, 467, 469, 471.

a) Verifica que el promedio es 347 y la moda es 1.

b) ¿Por qué el promedio y la moda en este caso no son

buenos valores para representar lo que nos dicen los

datos?

c) Crees que la mediana puede ser más adecuada?

Explica tus ideas.

B) Conceptos

Exploremos: Estaturas de los colombianos y colombianas

Un investigador quiso analizar cómo son las estaturas de personas adultas en una cierta

región del país, por lo que en el año 2016 tomó una muestra de 500 hombres, y otra muestra

de 500 mujeres, midiendo sus estaturas en centímetros (cm).

Después de agrupar los datos para cada género, generó estos 2 histogramas:


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

8

▶Paso 1: Comprender la información explícita

¿Qué nos

muestran

los

gráficos?

• Cada gráfico nos muestra la distribución de personas según su estatura. Nos dan

intervalos de a 5 cm, y para cada uno nos dice cuántas personas tienen una estatura

dentro de ese rango.

• En cada gráfico: el eje vertical nos da la partición del rango en intervalos de la misma

amplitud, con medidas en cm. El eje horizontal nos da las alturas de cada barra, que

representan # de personas.

¿Qué NO

muestran?

¿Lo

podríamos

hallar o al

menos

estimar?

• Las gráficas NO muestran datos individuales. Si los quisiéramos, tendríamos que

pedírselo a quien realizó las gráficas.

• No se menciona explícitamente cuántos datos hay, pero si sumamos las alturas de las

barras en cada gráfica podemos hallarlo fácilmente (500 en cada una).

• Las gráficas NO muestran el promedio, la moda, ni la mediana de los datos. ¡Piensa cómo

podrías estimar el promedio y la mediana! (La moda realmente no se puede.)

• No nos dan las frecuencias combinadas (es decir, hombres y mujeres juntos), pero esto

lo podemos construir a partir de los histogramas, ya que sus intervalos son del mismo

tipo (de 5 en 5, comenzando o terminando en múltiplos de 10).


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

9

▶ Paso 2: Examinar la información en detalle

¿Qué

puedes

concluir

sobre las

estaturas

de los

hombres?

• Rango: Todas las estaturas están entre 140 y 200 cm. El

rango de los datos es [140,200) (o un intervalo algo más

pequeño). Suponiendo que la muestra es representativa, va

a ser muy poco probable (pero posible) encontrar un

hombre en la población (la región del país) cuya estatura

sea menor que 140 cm o mayor o igual que 200 cm.

• Barra más alta: la de [170, 175), esta mide 111, que es un

poco más del 20% de 500. Así, poco más del 20% de los

hombres miden alrededor de 175,2 cm.

• Forma: La forma del histograma es de “montaña”, con pico

en [170, 175). Es una distribución simétrica

(aproximadamente) con respecto a dicha barra (como un espejo). Esta simetría nos dice

que esa barra es un centro, por lo cual es plausible que el promedio de los datos esté en

ese rango.

• Mayoría: Dado que 63+94+111+92+66 = 426 (que es cerca del 85% de 500), cerca del

85% de los hombres tienen una estatura en el rango [160, 185). Así, solo hay un 15% de

probabilidad que si seleccionamos un hombre al azar, su estatura no esté en este rango.

¿Cómo

comparas

las dos

gráficas?

• Rangos: el rango del histograma de los hombres es [140,

200) y el de las mujeres es [130, 195). Son rangos

similares en amplitud.

• Formas: ambos histogramas tienen forma aproximada de

montaña simétrica, lo que nos dice que tienen tendencias

similares y ambas tienen un centro. Esto es razonable,

pues estamos midiendo estaturas en humanos.

• Centros: el centro del histograma de hombres parece ser

alrededor de 172,5 cm, mientras que el centro de

histograma de mujeres parece ser alrededor de 160 cm.

Esta es una diferencia de 12,5 cm.

• Variaciones: ambos conjuntos de datos tienen una variación o dispersión similar.

▶ Paso 3: Ir más allá (¿qué te llamó la atención? ¿qué más quisieras saber?)

Ejemplos:


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

10

● ¿Cómo se eligió cada muestra? ¿Es representativa?

● El histograma de las mujeres tiene una barra que me llama la atención: la de [190, 195). ¿Por qué

hay 11 mujeres tan altas? ¿Tal vez son jugadoras de baloncesto? Son datos atípicos en el conjunto.

● ¿Cómo se comparan estos datos con datos de toda la población colombiana? Lee este artículo: https://www.eltiempo.com/archivo/documento/CMS-

13128617#:~:text=Dentro%20de%20los%20principales%20hallazgos,148%2C5%20y%20171%20cm.

“... la talla promedio del hombre colombiano adulto es de 172 cm, y se encuentra en un nivel de normalidad

entre los 159 y 186 cm. Mientras, la mujer colombiana promedio debe medir 160, y se considera normal en

un rango entre los 148,5 y 171 cm.”

Responde: A partir del histograma de las mujeres:

a) Realiza la primera parte del paso 2 (¿qué puedes concluir sobre las estaturas de las mujeres?).

b) La MODA de los datos es imposible de conocer solo con el histograma, e incluso imposible de

aproximar. Explica por qué.

c) El PROMEDIO de los datos es imposible de conocer con exactitud solo con el histograma, pero por lo

menos lo podemos aproximar de la siguiente forma:

- Primero, hacemos un diagrama de líneas a partir del histograma. Ahora sí tenemos 500 datos (no son los

datos originales, pero sí son una buena aproximación).

- Luego sumamos los 500 datos y dividimos entre 500. Este es un promedio aproximado.

Usando este método, calcula el promedio aproximado y analiza si es razonable.

d) La MEDIANA de los datos es imposible de conocer con exactitud solo con el histograma, pero se puede

aproximar. ¿Se te ocurre cómo hacerlo usando el histograma? ¡Házlo!

MINI-EXPLICACIÓN

ANALIZAR UN

CONJUNTO DE

DATOS CON UN

HISTOGRAMA

Supongamos que nos dan un histograma que representa cierto conjunto de datos y

queremos analizar al conjunto de datos usando el histograma. Para ello podemos

seguir los siguientes 3 pasos:

▶ Paso 1: Comprender la información explícita: Entender muy bien cómo leer el

histograma y hacer preguntas si algo no se entiende, o parece contradictorio. Es fácil

a veces malinterpretar la información (en cuanto a unidades, lo que se mide, etc).

Además, conocer la fuente y el año.

▶ Paso 2: Examinar la información en detalle: Esto significa leer valores numéricos,

identificar el rango, las amplitudes, la barra más alta y las más bajas; identificar la

forma del histograma y cómo interpretar esto en la situación que estamos.

https://www.eltiempo.com/archivo/documento/CMS-13128617#:~:text=Dentro%20de%20los%20principales%20hallazgos,148%2C5%20y%20171%20cm.

https://www.eltiempo.com/archivo/documento/CMS-13128617#:~:text=Dentro%20de%20los%20principales%20hallazgos,148%2C5%20y%20171%20cm.


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

11

▶ Paso 3: Ir más allá: Preguntarse: ¿qué me llamó la atención? ¿Qué más quisiera

saber? Cuestionar críticamente la información dada, incluso proponerse buscar

información complementaria.

PROYECTO

GRUPAL APLIQUEMOS LO APRENDIDO

Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en un proyecto para analizar conjuntos de datos a

partir de un histogramas:

Instrucciones:

1. Elijan 1 tema de interés para hacer el análisis estadístico, donde la variable sea numérica.

Aquí hay algunas ideas:

Estatura de los padres

y madres de nuestro

colegio o barrio, en cm.

Precio de camisetas en

distintos almacenes, en

COP.

Peso de distintas

piedras en una playa o

en un parque, en g.

Duración de canciones

de cierto género

musical, en segundos.

Cantidad relativa de

azúcar en comidas y

bebidas de tiendas y

supermercado, en g.

Tiempo de lectura de

un párrafo específico

de un libro por varias

personas, en segundos.

Volumen de distintas

cajas en una tienda o

fábrica, en cm3.

Área de distintas

ciudades de cierto país,

en km2.

2. Consigan 2 histogramas relativos a dos poblaciones similares, de acuerdo al tema elegido. Por

ejemplo: “duraciones de canciones de salsa” y “duraciones de canciones de cumbia”.

Los histogramas los pueden buscar en internet, pero mucho mejor si ustedes mismos recogen los

distintos datos. Pueden utilizar MICROSOFT EXCEL, GOOGLE SHEETS, u otro programa (pide

indicaciones a tu maestro).


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

12

3. Completen los 3 pasos indicados para analizar cada conjunto de datos usando los histogramas:

▶ Paso 1: Comprender la información explícita.

▶ Paso 2: Examinar la información en detalle.

▶ Paso 3: Ir más allá.

Sigan el ejemplo al inicio de la actividad, pero pueden agregar nuevos descubrimientos al análisis

que hagan. Escriban sus hallazgos en una cartelera para pegar en el salón.

4. Comparen los dos histogramas (semejanzas y diferencias).

5. Presenten su cartelera a otros compañeros, exponiendo lo que analizaron.


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

13

Ejemplo: formas básicas de un histograma

Estudiemos en detalle algunas formas posibles de un histograma y lo que estas nos dicen sobre la

distribución de los datos y su variación.

Considera los siguientes estudios estadísticos:

E1: se midieron los tiempos de carrera de varios

atletas profesionales en 100 metros planos.

E2: se midieron los volúmenes reales de líquido en

varias botellas del mismo tamaño de una empresa.

E3: se midieron la hora a la que una persona iba a

cierto restaurante abierto de 10 am a 11 pm.

E4: con una ruleta del 1 al 100, se registraron los

resultados obtenidos por varias personas.

Para cada estudio se

hizo un histograma y

los siguientes fueron

los resultados, pero

NO están en el mismo

orden de los estudios

arriba, ni tienen

indicados los números

ni unidades. Observa:

Intentemos emparejar E1 − E4 con a − d, según los datos que recogimos y las formas de

los histogramas.

E1: Como se miden tiempos de atletas, que están muy bien entrenados, no esperamos mucha variación en

los datos. Es decir, el rango debe ser pequeño. Esperamos que muy pocos atletas logren los mejores tiempos,

y muy pocos atletas logren los peores tiempos, con el resto de atletas en la mitad.

- Así que buscamos una montaña apeñuscada. La gráfica es la d (aunque c también es plausible).

E2: se espera muy poca variación de botella en botella. Además como hay estándares de calidad, esperamos

que la mayoría de botellas tengan el mínimo posible, y algunas pocas tengan algo más de líquido. Las botellas

con menos líquido del estipulado han sido retiradas por control de calidad.

- Así, buscamos media montaña apeñuscada, con su pico o cima a la izquierda.

La gráfica más plausible es la c (aunque d también podría ser, si no hubo control de calidad).


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

14

E3: El restaurante abre de 10 am a 11 pm. Esperamos dos picos de comensales: hacia el mediodía (almuerzo)

y hacia las 7 u 8 pm (cena). Entonces hay mucha variación en los tiempos, con pocas frecuencias en la mitad

(entre 3 y 6 pm).

- Así, buscamos una forma con dos montañas separadas. La gráfica es la b.

E4: La probabilidad de sacar cualquier número en la ruleta es el mismo, así que hay mucha variabilidad en

las frecuencias de los grupos, y que las barras tengan alturas muy similares.

- La gráfica es la a.

Completa este ejemplo: ¿Cuál será la forma?

Para cada conjunto de datos, pensemos en cómo sería la forma de su histograma

al agrupar en intervalos y justifiquemos por qué. Para ello, completa la siguiente

tabla:

Conjunto de datos Distribución y variación en los datos y

forma del histograma

Un posible dibujo del

histograma

E5: Se registraron las

horas de salida de las

personas durante y después

de un concierto musical.

Esperamos que alguna poca gente salga antes

de acabarse el espectáculo, la gran mayoría

salga unos pocos minutos después del final, y

unos pocos se queden más tiempo conversando.

E6: Se registraron las

edades de todos los

asistentes a una fiesta

infantil de un niño de 6

años.

Esperamos muchos niños pequeños (por

ejemplo, entre 4 y 8 años) y muchos adultos

(sus padres). Así que esperamos un histograma

con mucha variabilidad y dos montañas

separadas.

?

E7: En una cena, cada

persona se sirvió agua en un

vaso de cartón. Se registró

el porcentaje al que cada

persona llenó el vaso.

?

?


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

15

1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y después en grupos de 4)

Individualmente piensa en un posible conjunto de datos. Descríbelo, identifica qué tanto podría

variar, y qué forma posible tendría el histograma. Dibuja la forma del histograma (no tienes que

poner números). Dibújalo en una hoja separada.

Después, comparte tu descripción del conjunto de datos con otro estudiante, pídele adivinar la

forma de tu histograma y luego muéstralo. Discutan sus ideas (es posible argumentar que hay

más de una forma posible. (También deberás adivinar la forma del histograma que él dibujó a

partir de su conjunto de datos.)

Intercambien sus dibujos. Ahora tú estarás a cargo de explicar lo que hizo tu compañero.

Después, júntense con otra pareja y compartan sus histogramas, dándose retroalimentación.

¡Debes exponer las ideas de tu compañero! (A ver si realmente las entendiste). Finalmente,

busquen a su profesor para dialogar y compartir sus creaciones, aclarando los conceptos.


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

16

C) Resuelve y practica

1) Considera el siguiente conjunto de datos, que

indican volúmenes, en cm3, de ciertas piedras:

2 2,1 2,1 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,6 2,6

2,7 3 3 3,3 3,5 3,7 4,1 4,2 4,5 5,1

Haz un histograma para representar estos datos y

analízalo utilizando los pasos 1, 2 y 3 descritos en la

Mini-explicación de la actividad. Es decir:

▶ Paso 1: Comprender la información explícita.

▶ Paso 2: Examinar la información en detalle.

▶ Paso 3: Ir más allá.

2) Estás estudiando la posibilidad de organizar un

servicio escolar para acortar los tiempos de viaje de

algunos estudiantes, pues escuchas que muchos

estudiantes se demoran más de una hora y media en

llegar a la escuela.

Haces una encuesta eligiendo una muestra

representativa de 100 estudiantes y creas esta tabla

de frecuencias acumuladas:

Duración del trayecto de

la casa a la escuela

¿Cuántos estudiantes?

Menos de 15 minutos 2







Según esto, ¿cuántos estudiantes tienen un

tiempo de trayecto en el intervalo [15, 30)?

Explica.

b) A partir de la Tabla dada, completa esta

tabla de frecuencias por intervalos

“separados” (disjuntos), así:

Intervalo de tiempo Frecuencia

[0, 15) 2

[15, 30) 3

[30, 45)

[45, 60)

[60, 75)

[75, 90)

[90, 105)

c) Haz un histograma a partir de la tabla

anterior y analízalo usando los pasos 1-3.

En particular, responde la pregunta inicial.

3) Observa este histograma:


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

17

a) Según la tabla, 2 estudiantes se demoran una

cantidad de minutos en el intervalo [0, 15), y 5

estudiantes se demoran una cantidad de minutos en

el intervalo [0, 30).

Analiza e interpreta este histograma. ¿Qué

conjunto de datos podría estar midiendo?

(Puedes elegir los intervalos que quieras).

D) Resumen


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

18

E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien

pero quiero

más práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Comprendo

información

explícita de una

tabla o gráfica

estadística

Analizo

información en

detalle de una

tabla o gráfica

estadística

Voy más allá de

una tabla o

gráfica

estadística,

haciendo

preguntas

críticas y

autocorrigiendo

mi análisis.

ii) Preguntas de comprensión 1) V/F: El promedio siempre es la mejor

medida del centro de un conjunto numérico de

datos.

[ ] Verdadero.

[ ] Falso.

2) Si un histograma tiene dos jorobas

separadas, entonces...

[ ] el promedio es una medida de tendencia

adecuada.

[ ] el promedio NO es una medida de

tendencia adecuada.

3) Si un histograma tiene forma de montaña

simétrica, entonces

[ ] el promedio es una medida de tendencia

adecuada.

[ ] el promedio NO es una medida de

tendencia adecuada.

4) Si un conjunto de datos se obtiene al azar

lanzando un “dado” de 100 caras y hacemos el

histograma, entonces este probablemente...

[ ] tendrá forma plana de meseta (pocos

cambios en alturas de las barras).

[ ] tendrá forma de montaña.

(Verifica las respuestas con tu docente)

iii) Resuelvo un problema Decides jugar al tiro al blanco. Decides lanzar el dardo 200 veces, anotando la

DISTANCIA al centro de la diana (es decir, 0 significa que le diste a todo el

centro). Luego agrupas los datos y hacer un histograma.

a) Dibuja el histograma como te lo imaginarías (entre más detalles, mejor). Explica

cómo llegaste a tu gráfica.

b) Si alguien analiza tu histograma, ¿qué podría concluir acerca de tu consistencia y

precisión en este juego? Explica. [Puedes buscar o preguntar por el significado de las palabras

“consistencia” y “precisión”.]


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

19

ACTIVIDAD 2: SIMULEMOS Y JUGUEMOS JUEGOS DE PROBABILIDAD

Analicemos juegos de 1 o de 2 jugadores en donde influye el azar, y apliquemos lo que sabemos

para encontrar la probabilidad teórica de ganar de cada jugador. Esto lo usaremos para decidir

si el juego es justo, o está sesgado. Además, crearemos juegos justos y sesgados.

A) Recordemos: Equiprobabilidad; Experimentos multi-paso

RECUERDA QUE...

● En un experimento de azar equiprobable, todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad.

○ La probabilidad de un evento cualquiera es igual a FAVORABLE / TOTAL, en donde

FAVORABLE es el tamaño del evento y TOTAL es el tamaño del espacio muestral.

○ En experimentos MULTI-PASO, lo primero que podemos hacer es un árbol para visualizar el

espacio muestral (sus resultados posibles).

PRACTICA

i) Lanzas dos dados de 6 caras y calculas el máximo valor

M.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que M sea igual a 1?

b) Cuál es la probabilidad de que M sea mayor que 4?

ii) Lanzas dos dados de 6 caras y calculas el producto

entre ellos, P.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que P sea igual a 24?

d) Cuál es la probabilidad de que P sea un cuadrado

perfecto? (si no sabes lo que un cuadrado

perfecto es, búscalo en internet u otra fuente.)

iii) Lanzas tres monedas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que NO

todas caigan en lo mismo?

iv) Seleccionas un número al azar entre los

siguientes 8:

1

3 ;

1

2 ;

1

4 ;

1

6 ; 2 ; 0,98 ;

1

8 ; 4,25.

Multiplicas ese número por 6. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener un número entero?


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

20

B) Conceptos: probabilidad de ganar

Exploremos: ¿Quién tiene más chances de ganar?

Vamos a considerar varios juegos y a analizar qué jugador tendría más probabilidad de ganar (o si ambos

tienen la misma probabilidad). ¡Lee esta actividad con otra persona, ya que van a jugar durante ella!

Nota: también puedes jugar en modo solitario, simplemente eligiendo alguno de los jugadores.

▶ Juego #1: Pares Vs Impares

2 jugadores (Jugador 0 y jugador 1).

El jugador 0 se pide los números pares, el

otro jugador los impares. En cada turno se

lanza un dado: según la paridad del

resultado, el jugador correspondiente

gana 1 punto.

Por ejemplo, si cae 5, entonces el jugador

que se pidió a los impares gana 1 punto.

Se juega al primero que llegue a 3 puntos.

¡Jueguen este juego varias veces!

Análisis

¿Creen que este juego es justo, o algún

jugador tiene más probabilidad de ganar?

(Piensen y discutan antes de leer abajo)

R: Los resultados posibles en cada turno

son 1, 2, 3, 4, 5, 6. Como hay igual

cantidad de pares que de impares, la

probabilidad P de que el jugador 0 gane 1

punto es igual a P = 3

6=

1

2, y la

probabilidad Q de que el jugador 1 gane 1

punto es igual a Q = 1

2.Como cada nuevo

turno es independiente del turno anterior,

y cada turno es justo, concluimos que el

juego es justo.

¿Cómo modificarían el juego para que

quede sesgado? Es decir, no justo.

▶ Juego #2: Iguales Vs. Distintos

2 jugadores (Jugador 0 y jugador 1).

En cada turno se lanzan 2 dados:

● Si los dados caen en el mismo valor, el jugador 0

gana 1 punto.

● Si los dados caen en valores distintos, el jugador 1

gana 1 punto.

primero que llegue a 3 puntos.

¡Jueguen este juego varias veces!

Análisis

¿Creen que este juego es justo, o algún jugador tiene más

probabilidades de ganar?

(Piensen y discutan antes de leer abajo)

R: En cada turno hay 36 (6×6) resultados posibles:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

De esos resultados posibles, solo 6 son favorables para el

jugador 0 ( (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) y (6,6)). Así, este

jugador tiene probabilidad P = 6

36=

1

6de ganar en cada

turno (muy baja). El otro jugador tiene probabilidad Q =

1 −1

6=

5

6de ganar en cada turno. Cada nuevo turno es


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

21

R: Una forma sería que un jugador tuviera

más de 3 valores (por ejemplo 1, 2, 3 y 4).

Entonces en cada turno ganaría 1 punto

con probabilidad de4

6=

2

3> 0,5, por lo

que tendría mayores chances de ganar.

independiente del turno anterior y cada turno es sesgado a

favor del jugador 1, así que el juego es injusto.

¿Cómo modificarían el juego para que quede justo?

R: Una forma sería que el jugador 0 gana 1 punto si la suma

de los dados es par (y de lo contrario el jugador 1 gana 1

punto). ¡Jueguen y verifiquen que este es un juego justo!

MINI-EXPLICACIÓN

JUEGOS

JUSTOS Y

SESGADOS

Un juego de azar entre 2 o más jugadores es JUSTO si todos los jugadores tienen la

misma probabilidad de ganar. En este caso, y si hay k jugadores, cada uno tendrá

probabilidad de ganar de 1

𝑘.

Un juego que no es justo es SESGADO. En este caso, no todos los jugadores tienen la

misma probabilidad de ganar. Por ejemplo, un juego de 4 jugadores donde las

probabilidades de ganar de los jugadores sean 35%, 35%, 20% y 10% respectivamente.


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

22

Ejemplo: El juego de supervivencia

Este es un juego solitario. Necesitas un dado para jugarlo.

● Lanzas un dado: si sacas 1, pierdes automáticamente.

● De lo contrario, vuelves a lanzar: si sacas 1 o 2, pierdes

automáticamente. De lo contrario, ganas el juego.

Ejemplifiquemos algunos juegos: > lanzas y sacas 2. Sobrevives. Vuelves a lanzar y sacas 1. ¡Perdiste!

> lanzas y sacas 6. Sobrevives. Vuelves a lanzar y sacas 2. ¡Perdiste!

> lanzas y sacas 2. Sobrevives. Vuelves a lanzar y sacas 3. ¡Ganaste!

¿Es este juego justo o sesgado? Y si es sesgado, ¿es a favor o en

contra del jugador?

Antes de continuar, juega este juego 20 veces y anota qué

porcentaje de las veces ganaste. Vamos a ver si esa probabilidad

que observas se asemeja a la probabilidad teórica.

Observemos el siguiente TRUCO para pensar en este juego: el

juego es equivalente a lanzar dos dados numerados (dado #1 y

dado #2): si dado #1 cae en 1, ni tenemos que mirar el otro dado

(ya perdimos). De lo contrario, miramos el dado #2 y ganamos si

cae en 3 o más (de lo contrario, perdemos).

Con el truco, podemos dibujar un árbol para representar este

juego y calcular la probabilidad de ganar.

El árbol de la derecha muestra los 36 resultados posibles, de los

cuales 20 son favorables, como se ve. Calculamos:

Probabilidad de ganar = 20

36=

5

9; como

5

9>

5

10,entonces el juego

está ligeramente sesgado a favor del jugador. Como 5

9es cerca de

0,55, en cada juego tienes 55% de chance de ganar. Es decir, de cada 20 juegos, esperas ganar 11. ¿Fue

esto lo que ocurrió en tu experimento? (Si ganaste menos de 11 juegos, ¡mala suerte!)

Completa este ejemplo: el juego de las monedas tercas

Juguemos el siguiente juego: tenemos 2 monedas. Vamos a ganar si logramos que todas queden en sello.


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

23

● Lanzamos las 2 monedas.

○ Si todas caen en sello,

ganamos automáticamente.

○ Si todas caen en cara,

perdemos automáticamente.

○ Si no, lanzamos de nuevo la

moneda que NO cayó en

sello:

■ Si todas caen en sello,

ganamos.

■ De lo contrario,

perdemos el juego.

Queremos averiguar la probabilidad de

ganar.

Nos inventamos este truco: simulamos

el juego lanzando tres monedas (#1,

#2, #3), en donde #1 y #2

representan el primer lance, y #3

representa el segundo lance en caso de que se necesite. Así, hay 8 resultados posibles.

Completa la información de este árbol que nos indica en qué casos gana el jugador.

Usando el árbol, calcula la probabilidad de ganar y verifica que el juego es justo.

Finalmente, interpreta esta otra forma de razonar sobre el problema:

Primero, considera el experimento aleatorio de “lanzar dos monedas”.

Completa los porcentajes de cada uno de los 3 eventos, de modo que

sumen 100%. En este dibujo:

● El área del cuadrado grande es 1 (es decir, 100%)

El área del cuadrado C C es 25% ya que la probabilidad de obtener C C

es de un cuarto

● .


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

24

Ahora revisa el siguiente diagrama y completa la última explicación. Compara el último dibujo con el árbol.

¿Puedes encontrar la relación entre cada región del cuadrado y cierto conjunto de nodos finales del

árbol?

Tu turno: El juego de supervivencia extrema

Considera esta variante del juego anterior:

Necesitas un dado para jugarlo.

● Lanzas un dado:

○ si sacas 1, pierdes automáticamente.

○ De lo contrario, vuelves a lanzar:

■ si sacas 1 o 2, pierdes automáticamente.

■ De lo contrario, vuelves a lanzar:

● si sacas 1, 2 o 3 pierdes

automáticamente.

● Si sacas más de 3, ganas el juego.

a) Juega el juego varias veces

para comprenderlo.

b) Predice: ¿Crees que el juego es

justo, o está sesgado? Si crees

que está sesgado, ¿cuál estimas

que es la probabilidad de ganar?

c) Sigue el razonamiento del

ejemplo anterior para calcular de

forma exacta la probabilidad de

ganar, y compara con tu respuesta

en la parte b).


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

25

C) Resuelve y practica

1) Considera la siguiente región que está en una

cuadrícula de 4 x 4:

Hay dos jugadores. Uno representa la parte

blanca, otro la parte sombreada.

Se selecciona al azar un punto dentro de la región.

Según donde caiga, ganará el jugador

correspondiente.

¿Es este un juego justo? Explica por qué.

2) Considera este juego de dos jugadores: Cada

uno usa un dado de 6 caras numeradas del 1 al 6:

• El jugador 1 lanza un dado y le suma 1.

• El jugador 2 lanza un dado y le suma 2.

Si el valor del jugador 2 es mayor al del jugador 1,

el jugador 2 gana. De lo contrario (incluyendo que

tengan el mismo valor), el jugador 1 gana.

a) Juega este juego varias veces para entenderlo.

b) Haz un árbol de todos los resultados posibles en

el juego.

c) ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? ¿O es

este un juego justo?

3) Considera este juego de dos jugadores: Cada

uno usa un dado de 6 caras numeradas del 1 al 6:

• El jugador 1 lanza un dado.

• El jugador 2 lanza un dado y le resta 1.

Si obtienen el mismo valor, ambos vuelven a lanzar,

hasta que un jugador obtenga un valor mayor que

el del otro jugador, en cuyo caso este primero

gana.


b) ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? ¿O es


4) Considera esta nueva versión de Piedra, papel o

tijera. Se comienza igual: ambos jugadores

seleccionan al azar una de las siguientes: piedra,

papel o tijera.

• El jugador 1 gana si ambos jugadores eligen lo

mismo.

• De lo contrario, el jugador 2 gana.




5) Reto: Considera este juego de dos jugadores:

• El jugador A lanza dos dados y los suma.

• El jugador B lanza un dado y le suma 3,5.

Gana quien tenga mayor valor.




[ayuda: este es un juego con 6 x 6 x 6 = 216

resultados posibles (con repeticiones). Usa Excel u

otro progama para resolverlo si puedes. De lo

contrario, puedes hacer 6 tablas, cada una de 6x6,

y luego unir toda la información].


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

26

D) Resumen


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

27

E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo

los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprend

í muy

bien el

tema

Entiendo y

describo la

condición de

victoria en un

juego de azar

Comparo

distintas

representacio

nes de juegos

de azar (un

árbol, una

tabla o un

área)

Decido si un

juego de azar

es justo o

sesgado, y

justifico por

qué

ii) Preguntas de comprensión

1) Supón un juego de 3 jugadores, donde uno de

los jugadores tiene 30% de chance de ganar.

Este juego:

[ ] es necesariamente sesgado.

[ ] puede ser justo (habría que conocer la

probabilidad de ganar de cada uno de los demás

jugadores).

2) Considera este juego solitario:

Una bolsa tiene 12 fichas rosadas, 3 fichas

rojas y 9 verdes. Sacamos una ficha al azar y

ganamos exactamente en el caso de que NO

salga una rosada. Este juego es:

[ ] justo.

[ ] sesgado.

3) Para que un juego de 5 jugadores sea

sesgado:

[ ] Es necesario que algún jugador tenga más de

50% de chances de ganar.

[ ] Es suficiente que algún jugador tenga menos

del 20% de chances de ganar.

4) Considera este juego solitario:

Lanzas 4 monedas y ganas si y solo si salen

exactamente 2 caras. Este juego es:

[ ] justo.

[ ] sesgado. (Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema Vas a crear un juego JUSTO de 3 jugadores (Héctor, Camila y Pedro), usando una moneda y un dado.

Completa sus reglas:

Se lanza una moneda y un dado al tiempo.

● Si sale cara y además un valor menor que 5, Héctor gana.

➢ …

➢ …


GUÍA 72

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

28

Guía 72: Analizando Histogramas y juego de probabilidades

Documents

Transcript of Guía 72: Analizando Histogramas y juego de probabilidades