Guía 70: Manejando grandes datos
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Guía 70: Manejando grandes datos
CH-FyA-0486
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Guía
70 Meta 24
GRADO 7
GUÍA DEL ESTUDIANTE
MANEJANDO GRANDES
DATOS
3
Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 70
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Francy Paola González Castelblanco
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Guía
70 GRADO 7
MANEJANDO GRANDES DATOS
GRADO 7 - META 24 - PENSAMIENTO ALEATORIO
Guía 70
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Población y variable estadística
• Muestras representativas y no
representativas
ACTIVIDAD 2
• Partición e intervalos
• Histogramas
• Polígonos de frecuencia
ACTIVIDAD 3
• Máximos y mínimos en gráficas de línea
• Tendencias de cambio
Guía 71
(Duración 13 h)
• Conteo usando árboles
• El principio de multiplicación
para conteos
• Experimentos multi-paso
• Eventos simples y eventos
compuestos
• Probabilidad de un evento
Guía 72
(Duración 13 h)
• Análisis de histogramas
• Medidas de tendencia en datos
agrupados
• Análisis de juegos de probabilidad
• Juegos justos y sesgados
• Simulación de experimentos
aleatorios mediante juegos
META DE APRENDIZAJE N. 24
Analizo muestras representativas de poblaciones de variables como frecuencias de lectura, gastos en la
canasta familiar, entre otras, usando tablas de frecuencias, histogramas, polígonos de frecuencias y otras
representaciones donde agrupo datos; calculo medidas de tendencia central (moda, mediana y promedio). Hallo
la probabilidad de un evento compuesto en experimentos de uno o más pasos, la represento con ayuda de
tablas y diagramas de árboles, y la expreso como fracción, decimal o porcentaje. Así, aprendo a generar nueva
información general a partir de información simple y cotidiana.
PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 70: ● ¿Por qué es importante que una muestra aleatoria sea representativa? ¿Cómo puedo tomar muestras
representativas? ● Si tengo muchos datos numéricos, ¿cuál es la mejor forma de analizarlos?
● ¿Cómo puedo analizar cambios de tendencias numéricas a partir de gráficas de datos?
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 70
● Comprendo qué es una muestra representativa ● Describo ejemplos de muestras representativas ● Explico por qué una muestra no es representativa ● Categorizo datos numéricos en intervalos disjuntos. ● Expreso datos agrupados usando un histograma. ● Analizo datos a partir de un histograma.
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● Relaciono un histograma con un polígono de frecuencia. ● Construyo un polígono de frecuencia y lo comparo con un histograma. ● Identifico aumentos y disminuciones usando un polígono de frecuencia.
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ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 1: MUESTRAS REPRESENTATIVAS
Aprendamos qué es una muestra representativa de una población, qué es una muestra sesgada,
cómo se puede elegir una muestra representativa y por qué es importante hacerlo.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
● En un ESTUDIO ESTADÍSTICO medimos
una característica que varía en una población.
● La VARIABLE es lo que vamos a medir:
○ Es cuantitativa, si es un número:
peso, edad, # de hijos, temperatura,
altitud, etc.
○ Es cualitativa, si no es un número:
color de cabello, comida favorita, etc.
● La POBLACIÓN es el conjunto de
cosas a medir (ej: personas).
● Como la población es grande, nos
enfocamos en recoger datos de una
MUESTRA (conjunto más pequeño de
miembros de la población).
● Los DATOS son los valores que medimos en la
muestra (1 por cada elemento de ella).
PRACTICA
i) Para cada pregunta, decide si harías un
estudio estadístico o no para responderla:
¿Cuál es la estatura de Pablo en pies?
¿Cómo varían los pesos de los pájaros
de un bosque?
¿Cuáles son las frutas favoritas de los
habitantes de mi departamento?
¿Cuál es el área superficial de una caja
cúbica, si su lado mide 3,4 cm?
¿Cuál es el costo habitual de una piña
en Polonia?
ii) Completa la frase:
“Si queremos medir una __________ en
una _________, podemos seleccionar una
_____________ específica y recolectar
_____________ que representamos con
gráficas. Así podemos concluir tendencias
de toda la ____________, a partir de la
iii) En cada caso, identifica la variable y la población, y
elige una muestra posible.
• En una empresa internacional se quieren conocer
los pasatiempos preferidos de sus empleados.
Variable: _______________________________.
Población: _______________________________.
Una posible muestra: ______________________
_______________________________________.
• Queremos conocer los principales gustos musicales
de los estudiantes de bachillerato de un colegio.
Variable: _______________________________.
Población: _______________________________.
Una posible muestra: ______________________
_______________________________________.
• Se quiere saber el porcentaje estimado de familias
de una comuna que tiene más de un computador.
Variable: _______________________________.
Población: _______________________________.
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_________. Todo lo anterior es lo que
llamamos _____________________.”
Una posible muestra: ______________________
_______________________________________.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
B) Conceptos: muestras representativas
Exploremos: ¿El promedio de libros es correcto?
Antes de comenzar, discute en clase: ¿Qué libros te gusta leer? ¿Por qué crees que leer es
importante? ¿Crees que lees más o menos libros que el promedio de las personas?
Quieres saber cuántos libros al año en promedio leen los estudiantes de Fe y
Alegría en grados 7 a 10, para fomentar la lectura como pasatiempo.
La VARIABLE es:
“número de libros que lee un estudiante al año”.
Decides tomar a los 40 miembros del Club de Lectura de Fe y Alegría (esta es
tu MUESTRA ALEATORIA) y preguntarles cuántos libros leen al año.
Descubres que el promedio es de 5.2 libros al año.
Le muestras tu estudio estadístico a un amigo: él te dice que tu muestra está
sesgada, porque te concentraste en una parte de la población que NO representa
de forma equilibrada los gustos por la lectura de los estudiantes: ¡Solo
encuestaste a personas que aman leer!
“Tu muestra NO
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Responde: representa a la
población”
a) ¿Cuál es la población en la situación de arriba?
b) ¿Crees que el promedio obtenido se acerca al promedio real de tu población? Explica tu pensamiento.
c) Si debes tomar de nuevo una muestra de cerca de 40 estudiantes que represente mejor a la población,
¿cómo lo harías? Explica con tus palabras.
Mini-explicación: Muestra representativa
MUESTRA
REPRESENTA-
TIVA DE UNA
POBLACIÓN
Supongamos que tomamos una muestra de una población para medir cierta variable.
Esta muestra es una MUESTRA REPRESENTATIVA (o JUSTA) si esta se parece a
la población en las características relacionadas con la variable que estudiamos. La
muestra debe ser igual de diversa (y en proporciones similares) que la población. Por
eso decimos que la muestra representa adecuadamente a la población.
• A una muestra no representativa también la llamamos MUESTRA SESGADA.
• Incluso si una muestra es grande, esta puede no ser representativa si no es
suficientemente variada y no tiene en cuenta toda la diversidad de la población.
En el caso anterior, la muestra que tomamos NO es representativa, pues nos centramos en una colección
de estudiantes que leen muchos más libros que el resto: los hábitos de lectura de los miembros de Club no
son representativos de los hábitos generales de todos los estudiantes.
Hubiera sido mejor tomar una muestra al azar de 40 estudiantes. Incluso mejor, tomar una muestra de
10 estudiantes al azar por cada grado (para asegurarnos de recoger datos de todos los grados).
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Utiliza la estrategia de la Escalera que se muestra en el gráfico.
Pide información a tu profesor.
Paso 1: Ejemplo: Cartucheras
Una compañía de cartucheras desea innovar en
sus productos, para lo cual quiere escoger en la
institución Fe y Alegría una muestra de 90
estudiantes de grados 2 a 11. A este grupo de
personas se les regalará una cartuchera para
demostrar la calidad de los productos en un
ambiente natural como es el colegio, y se les
preguntará que califiquen, de 1 a 5, cuánto les
gusta la cartuchera.
En este caso tenemos:
- POBLACIÓN: Estudiantes de todos los grados de Fe y Alegría.
- VARIABLE: Calificación de la cartuchera (un valor decimal de 1 a 5).
Estos son ejemplos de muestras no representativas (sesgadas) y muestras representativas:
Muestras NO representativas
• Elegir solo estudiantes de grados 10 y 11:
Esta muestra es sesgada al no tener en cuenta los gustos de
estudiantes de grados menores, que pueden ser muy
distintos de los de los grados 10 y 11.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
• Elegir a los 90 estudiantes todos hombres: esto no sería
representativo porque estaríamos ignorando lo que opinan las
mujeres sobre la cartuchera.
HOMBRES MUJERES
Muestras representativas
• Muestreo aleatorio: significa elegir las 90
personas al azar. Al ser aleatorio y ser un
número grande (90), esperamos que queden
hombres y mujeres balanceados, y
estudiantes de todos los rangos de grados.
• Balance entre grados y hombres y mujeres:
elegir para cada grado de 2 a 11, 9 personas:
4 hombres y 4 mujeres. Esto asegura
diversidad en las características de los
estudiantes de la muestra.
• Elegir al azar 45 personas que ya tienen
cartuchera, y otras 45 personas que no
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• Elegir solo estudiantes que no usan cartuchera: esta
elección tiene un sesgo y el resultado de la encuesta no sirve
para llegar a conclusiones que aplican a toda la población.
tienen cartuchera. Esto nos da diversidad en
nuestra muestra que puede ser significativa.
Paso 2: Completa este ejemplo: ¿Cuánto se paga en un supermercado?
Queremos ver las tendencias de compra en el supermercado de un familiar,
y quisieras saber cuánto dinero gasta típicamente un comprador del mismo.
Vas a elegir una muestra de unas 40 personas que sea representativa.
Completa la siguiente tabla:
Estudio estadístico: Analizar cómo se distribuyen estadísticamente los
montos que pagan los clientes del supermercado.
Población: ?
Variable: ?
Tipo de variable: Numérica
Tus amigos te dan varias opciones de muestras. Para cada una, decide si sería una muestra
representativa, justificando el por qué a tus amigos. Además, inventa tú mismo una forma representativa
de “muestrear” (muestrear simplemente significa conseguir una muestra de datos):
Muestra ¿Es representativa? Mi justificación
Encuestar a clientes que tienen hijos. NO Es posible que haya un sesgo ya que los
clientes con hijos probablemente gasten
más dinero que los que no tienen hijos.
Encuestar a los clientes que mercan
los fines de semana.
NO ?
Encuestar aleatoriamente a unos 10
clientes por día, durante una semana,
en horas al azar.
SÍ ?
Encuestar solo a clientes que pagan en
la caja rápida (menos de 10 artículos). ? ?
Tu idea de muestra: … ? ? ?
Paso 3: 1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y en grupos de 4)
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Individualmente piensa en un posible estudio estadístico, con una población de tu interés, donde
estudies una variable cualitativa. Menciona una muestra que podría ser representativa y una que no
sería representativas. Escríbela en una tabla en una hoja separada.
Después, comparte tus respuestas con otro estudiante. Intercambien las tablas.
Ahora tú estarás a cargo de explicar lo que hizo tu compañero.
Después, júntense con otra pareja y compartan sus creaciones, dándose retroalimentación.
¡Debes exponer las ideas de tu compañero! (A ver si realmente las entendiste). Finalmente,
busquen a su profesor para dialogar y compartir sus creaciones, aclarando los conceptos.
C) Resuelve y practica
1) Te preguntas cuál es la red social más popular
entre los adolescentes en Colombia. Para ello,
quieres entrevistar a 200 personas.
Da un ejemplo de una muestra representativa y
otro ejemplo de una muestra sesgada. Explica tus
respuestas.
2) Visitas cierta playa del
Pacífico colombiano y quieres
clasificar los tamaños de rocas
que encuentras en pequeñas,
medianas y grandes. No puedes
analizar a todas las piedras,
solo algunas.
i) ¿Cuántas piedras aproximadamente elegirías
para tu muestra?
ii) Describe cómo seleccionarías una muestra
representativa, que te permita darte una buena
idea de cómo varían los tamaños.
3) Te preocupa el alto nivel de azúcar en algunas
5) El Sesgo del superviviente
Lee el siguiente artículo:
https://www.euribor.com.es/2020/07/01/el-
sesgo-del-superviviente/ Explica qué relación tiene lo que allí se describe
con las muestras sesgadas.
PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY
Tema: Muestreo y encuestas
Mira los videos y responde las preguntas:
https://es.khanacademy.org/math/probability/
study-design-a1
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bebidas y quieres hacer un estudio de la cantidad
de gramos por litro en las distintas bebidas que
venden en las tiendas.
Para ello, decides tomar una muestra de 45
bebidas de la misma marca.
¿Tu muestra es representativa? Explica.
4) Al parecer algunas bicicletas de cierta compañía
nacional tienen defectos en sus frenos y te han
contratado para investigar. Decides preguntarle a
varios usuarios que llevan varios años con su
bicicleta y concluyes que menos del 3% tiene
problemas de frenos. ¿Cuál es el problema con tu
conclusión? Explica.
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D) Resumen
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ No entiendo
los conceptos
(TODAVÍA)
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Comprendo qué
es una muestra
representativa
Describo
ejemplos de
muestras
representativas
Explico por qué
una muestra no es
representativa
ii) Preguntas de comprensión
1) ¿Qué tipo de muestra sirve para
concluir cosas sobre la población?
[ ] muestra representativa.
[ ] muestra sesgada.
2) Si hacemos un muestreo aleatorio, por
lo general obtendremos una...
[ ] muestra representativa.
[ ] muestra sesgada.
3) En una muestra representativa de datos
numéricos, el promedio de la muestra...
[ ] Debe ser igual al promedio de la
población.
[ ] Puede ser distinto al promedio de la
población, pero esperamos que sea cercano.
4) Dado un estudio estadístico, ¿cuántas
muestras representativas existen?
[ ] Hay muchas posibles en general.
[ ] Solo hay posible.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
Quieres vender almuerzos en tu barrio y te gustaría saber cuál sería el tipo de comida preferida por
las personas de tu barrio o comunidad.
a) Se te ocurre ir a una cafetería especializada en comida de Brasil y encuestar a sus comensales. ¿Cuál
es el problema con esto?
b) Describe cómo podrías tener una muestra representativa.
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ACTIVIDAD 2: AGRUPANDO DATOS NUMÉRICOS
Aprendamos a agrupar datos numéricos en intervalos de la misma longitud y a representarlos
usando HISTOGRAMAS (similares a un diagrama de barras), que nos permiten ver cómo se
distribuyen los datos. También aprenderás las distintas formas que puede tener un histograma.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
● Un INTERVALO es un conjunto de números entre un valor y cierto otro valor. Por
ejemplo:
○ El intervalo cerrado-cerrado [9, 12] tiene los números entre 9 y 12, incluyendo
a 9 y a 12. Por ejemplo: 9, 10, 11,93, 12 (hay infinitos valores).
○ El intervalo cerrado-abierto [9, 12) tiene los números entre 9 y 12, incluyendo
a 9 pero NO al 12. Por ejemplo: 9, 10, 11,93, 11,999 (hay infinitos valores).
○ El intervalo abierto-cerrado (9, 12] tiene los números entre 9 y 12, sin incluir a
9 pero SÍ al 12. Por ejemplo: 9,01, 9,8, 10, 11,94, 12 (hay infinitos valores).
● Puedo dividir a un intervalo en varios intervalos, partiéndolo en pedazos. Por ejemplo:
○ El intervalo [1, 7) mide 6, y lo puedo partir en [1,4) y [4,7) (cada uno mide 3).
● La FRECUENCIA de un dato es la cantidad de veces que aparece en el conjunto. Por ejemplo:
○ Si el conjunto de datos es 5, 6, 6, 6, 8, 8, 10 (hay 7 datos):
■ La frecuencia de 5 es 1, la frecuencia de 6 es 3, la frecuencia de 8 es 2 y la
frecuencia de 10 es 1. La MODA en este caso es 6.
PRACTICA
i) Lista 3 números que pertenezcan al
intervalo [70, 71) y 3 números que NO
pertenezcan a [70, 71).
ii) ¿Cómo dividirías a [3, 15) en 4 intervalos
cerrados-abiertos de la misma longitud?
Dibújalos en la recta.
iii) ¿Cómo dividirías al intervalo [1, 9) en
varios intervalos, cada uno de longitud 2?
Dibújalos en la recta.
iv) Podemos partir [0, 9) en 3 intervalos más
pequeños: A = [0, 3), B = [3,6) y C = [6,9).
v) Crea un conjunto de datos
con 12 datos tal que:
3 tenga una frecuencia de 2,
1 tenga una frecuencia de 4,
2 tenga una frecuencia de 1,
4 tenga una frecuencia de 0 y
0 tenga una frecuencia de 3.
Puedes incluir otros números.
Para ello completa esta tabla
(ubica los números en orden
creciente):
# Frecuencia
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Para cada uno de estos valores del intervalo
[0,9), dí en cuál de los intervalos A, B, C está:
8 , 3 , 4 , 0 , 3,01 , 5,87 , 6 , 7
2.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
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B) Conceptos: Histogramas
¿Cuántos dulces hay por cada paquete?
Antes de comenzar discute en clase: Cuando ves un anuncio de un producto que promete algo,
¿cómo puedes saber si es verdadero, usando las matemáticas? Da varios ejemplos.
Dulces “Estrellita” dice que sus paquetes tienen 130 dulces cada
uno. Decides investigar y tomas una muestra de 4 paquetes.
El primero tiene 130 dulces, el segundo también, pero el tercero
solo tiene 126, y el cuarto tiene solo 118.
Informas tu descubrimiento a la empresa. Ellos notan su error, pero garantizan
que la gran mayoría de paquetes tiene entre 125 y 135 dulces. Irás a la fábrica
para tomar una MUESTRA REPRESENTATIVA y verificarlo.
Tomas una MUESTRA REPRESENTATIVA de 30 bolsas (con bolsas en lugares distintos de la fábrica, y
sabores distintos). Estos son los datos que obtienes de la cantidad de
dulces en cada bolsa:
120 117 131 124 117 133 105 129 134 154 132 118 134 132 132
131 131 130 129 109 129 126 131 134 130 144 122 124 134 137
Para comprender estos datos, primero hallas el mínimo y máximo valor:
105 y 154. El rango es 49 (154 − 105), luego podría haber mucha
VARIACIÓN en las cantidades.
30 datos son muchos. Decides AGRUPARLOS en INTERVALOS para entender mejor. Estos no pueden
tocarse (es decir, son DISJUNTOS), y deben cubrir a todos los datos. Para que todo sea más fácil, todos
los intervalos medirán el mismo largo.
Primero, decides que la AMPLITUD (es decir, la longitud) de cada intervalo sea 10. Hubieras podido
escoger, por ejemplo un número menor, y obtendrías más intervalos más pequeños.
Eliges los siguientes intervalos cerrados-abiertos. Como puedes ver, todos tienen 10 de largo:
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● A: [105, 115) : “mayor o igual que 105 y menor que 115.”
● B [115, 125) : “mayor o igual que 115 y menor que 125.”
● C: [125, 135) : “mayor o igual que 125 y menor que 135.”
● D: [135, 145) : “mayor o igual que 135 y menor que 145.”
● E: [145, 155) : “mayor o igual que 145 y menor que 155.”
Verifica que todos tus datos están dentro de [105, 155).
Ej: la bolsa con 106 dulces está en el intervalo A, la de 115 dulces en el B, la de 129 dulces en el C, etc.
Contamos las FRECUENCIAS de cada intervalo, es decir, cuántos datos hay (incluyendo repetidos).
Por ejemplo, el intervalo B tiene los datos 115, 117, 117, 118, 122 y 124, así que su
frecuencia es 7. Si sumas las frecuencias de las 5 categorías A−E, el resultado debe ser
30, ya que comenzaste con N = 30 datos. Compruébalo, hallando las frecuencias.
Después, haces una gráfica para graficar, usando barras, las frecuencias de los intervalos, que están
ordenados. Este diagrama se llama HISTOGRAMA. En el eje horizontal vemos los intervalos que elegimos,
ordenados. El eje vertical nos da las frecuencias, representadas por barras. La altura de cada barra es
proporcional a la frecuencia de datos del intervalo.
Responde:
a) Usando el histograma, completa esta tabla de
frecuencias:
Intervalo Frecuencia (“cuántos datos”)
Frecuencia relativa
(Frecuencia / 30)
A = [105, 115) 2 2
3 (66.6%)
B = [115, 125) ? ?
C = [125, 135) ? ?
D = [135, 145) ? ?
E = [145, 155) ? ?
Suma: ? 100%
b) ¿Qué porcentaje de las bolsas de tu muestra contienen entre 125 (inclusive) y 135 (sin incluir) dulces?
c) ¿Cuáles son tus conclusiones sobre la DISTRIBUCIÓN de los datos? (Recuerda que te prometieron que
“la gran mayoría de paquetes de la fábrica tiene entre 125 y 135 dulces”) ¿Se te ocurre alguna afirmación
más certera que la que te dijeron? Explica tu respuesta y compárala con la de tus compañeros.
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d) Si hubieras hecho un histograma con 10 categorías, ¿cuál sería la amplitud de cada categoría?
¿Obtendrías las mismas conclusiones que en c)? [Ayuda: intenta dibujar el histograma primero: su primer
intervalo es [105, 110).]
MINI-EXPLICACIÓN: Histograma
HISTOGRAMA Un histograma es una gráfica parecida a una gráfica de barras, que nos muestra la
distribución de muchos datos numéricos, agrupados en varios intervalos (típicamente
de la misma amplitud), que escogemos. Los intervalos deben cubrir todos los datos y
no sobreponerse entre sí. Estos pueden ser todos de la forma [a, b), o todos de la
forma (a, b].
● En el eje horizontal ubicamos los intervalos en orden creciente;
● Encima de cada intervalo, dibujamos una barra cuya altura representa el
número de datos que pertenecen a dicho intervalo;
● Usamos una escala en el eje vertical adecuada para poder leer las alturas de
las barras.
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Ejemplo: Calificando un cuento
Un amigo tuyo encuestó a 14 personas de la clase para conocer cómo calificaron
ellos cierto cuento colombiano de 1 a 5 (donde 1 = pésimo ; 5 = excelente).
Tú disfrutaste el cuento, pero queremos saber qué opinó el resto. Estos son los
14 resultados, en orden ascendente: 1,6 ; 1,6 ; 1,7 ; 2 ; 2,1 ; 2,2 ; 3,9 ; 4,1 ; 4,3 ; 4,4 ; 4,7 ; 4,8 ; 4,9 ; 5.
- Paso 1: Ordena los datos, con repeticiones (si hay): ¡Afortunadamente, ya están ordenados!
- Paso 2: Halla el mínimo dato y el máximo dato, para saber el intervalo que partiremos en intervalos más
pequeños: min = 1,6 ; max = 5. Vamos a trabajar entre 1,6 y 5 (ya veremos cómo).
- Paso 3: Crea los intervalos para agrupar los datos (cuántos, de qué amplitud, y si son (abiertos,
cerrados] o [cerrados, abiertos) ). Elijamos una amplitud de 0,5 (½), y usemos intervalos de tipo (a,b]:
comenzamos en 1,5 (para poder meter a 1,6 en el primer intervalo). Así, hacemos:
(1,5 , 2], (2 , 2,5], (2,5 , 3], (3 , 3,5], (3,5 , 4], (4 , 4,5], (4,5 , 5,0] (7 intervalos).
- Paso 4: Agrupa los datos: esto lo podemos hacer de muchas formas. Por ejemplo, con rayas separadoras:
1,6 1,6 1,7 2 | 2,1 2,2 | | | 3,9 | 4,1 4,3 4,4 | 4,7 4,8 4,9 5
▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼
(1,5 , 2] (2 , 2,5] (2,5 , 3] (3 , 3,5] (3,5 , 4] (4 , 4,5] (4,5 , 5,0]
- Paso 5: Cuenta cuántos datos hay en cada
intervalo y haz el histograma: las frecuencias
son: 4, 2, 0, 0, 1, 3, 4 (es importante no
saltarse intervalos, así tengan 0 datos).
Para verificar sumamos 4+2+0+0+1+3+4 = 14,
que es la cantidad de datos. Nos queda este
histograma:
- Paso 6: Lee el histograma (interpreta y
analiza lo que nos dice):
● La última barra nos dice que 4 personas adoraron el cuento (calificación entre 4,5 y 5,0).
● Al parecer hay dos grupos de personas: a quienes les gustó el cuento (8 personas, calificación de
más de 3,5) y los que creen que es un mal cuento (6 personas, calificación de menos de 2,5). No
hay un punto medio (es decir, personas que creen que el cuento es regular.
● El histograma tiene forma de “camello”, con dos “jorobas”: una con 2 barras, otra con 3 barras.
● El promedio de los datos (puedes verificar) es de 3,4 aproximadamente, pero no hay datos
cercanos a este valor. Así que en este caso el promedio no representa bien los datos, y el
histograma nos dice más sobre lo que pensaron los lectores.
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GUÍA 70
GRADO 7
ACTIVIDAD
2
21
Completa este ejemplo: Distribución de precios de un alimento
El promedio de precios de cierto alimento en distintas tiendas es de 12 500 pesos. Quieres saber cuánto
varía el precio y vas a seleccionar una muestra de 12 de estos alimentos.
a) ¿Cómo lograrías que tu muestra fuera representativa? Explica brevemente tus ideas.
b) Supongamos que obtienes estos precios en pesos: 13 000, 11 600, 11 900, 12 000, 12 300, 12 300, 14 400, 12 400, 12 900, 13 100, 12 500, 12 400
Realiza estos pasos
para construir un
histograma de los
datos anteriores:
● Organiza los
datos en orden creciente.
● Crea intervalos cerrados-abiertos de tamaño (largo) 600, comenzando con [11 600, 12 200).
Detente cuando ya hayas cubierto a todos los datos. Identifica tus intervalos en la recta arriba.
● Completa esta tabla para agrupar y contar los datos. Verifica que listaste todos los datos.
Intervalo [11 600, 12 200) [12 200, 12 800) ? ? ?
Datos 11 600
11 900
12 000
? ? ? ?
¿Cuántos? 3 ? ? ? ?
● Usa la tabla para dibujar tu histograma.
c) Lee el histograma. Esto significa responder, por ejemplo:
● ¿Qué forma tiene? (¿Dos jorobas? ¿Una sola “montaña”? ¿Otra forma visual?)
● ¿Hay algún dato que parezca alejarse mucho del resto y no ser muy representativo?
● ¿Qué puedes concluir sobre cómo varían y se distribuyen los precios? ¿Hay alguna tendencia?
● Recuerda el promedio que te dijeron al inicio de 12 500. ¿Este promedio parece ser una buena
forma de resumir lo que hallaste o no? ¿Por qué?
Tu turno (individual, en parejas y después en grupos de 4)
Tomen 2 dados. Recojan 35 datos así: cada vez lanzan 2 dados y calculan el producto. Antes de
recoger los datos, piensen cuál es el mínimo y máximo posible y dividan el rango en intervalos
(escojan cuántos). Predigan de forma individual cuántos datos van a quedar en cada intervalo.
Luego del experimento, comparen su predicción entre ustedes y con los resultados, y describan
la forma del histograma. ¿Tiene sentido esta forma? ¿Por qué?
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GRADO 7
ACTIVIDAD
2
22
Júntense con otra pareja y compartan lo que hicieron. Usando los 70 datos que tienen juntos, hagan un
nuevo histograma, poniéndose primero de acuerdo en los intervalos que usarán.
Finalmente, expongan su trabajo conversando con su profesor. Usen el vocabulario matemático
aprendido.
C) Resuelve y practica
1) Divide al intervalo [10, 34) en 6 intervalos
cerrados-abiertos de la misma amplitud y dibújalos en
la recta numérica.
2) En un histograma, ¿qué representa la altura de cada
barra? Si sumamos estas alturas, ¿qué número
obtenemos? Explica.
3) Elabora un histograma para estos datos: 51, 54, 57, 58, 61, 62, 63, 65, 66, 66, 67, 67, 70, 70, 73,
74, 77, 77, 80.
¿Qué forma tiene tu histograma?
4) Elabora un histograma para estos datos: 0, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 11, 12, 13, 15, 18, 18, 20, 23, 26, 28,
31, 36, 37, 41, 46, 53.
¿Qué forma tiene tu histograma?
5) Elabora un histograma para estos datos: 2, 4, 5, 7, 7, 9, 10, 11, 11, 13, 14, 14, 16, 17, 18, 18, 20, 20, 21,
23, 23.
¿Qué forma tiene tu histograma?
6) Considera los siguientes datos sobre la cantidad de
personas en cada uno de 20 hogares:
4 hogares de 2 personas, 6 hogares de 3 personas, 5
hogares de 4 personas, 2 hogares de 5 personas, 2
hogares de 7 personas y 1 hogar de 10 personas.
a) ¿Cuántos datos hay?
b) Haz dos histogramas:
• uno con intervalos de amplitud 2 (inicia con [2, 4));
• otro con intervalos de amplitud 4. ¿Cómo se
comparan estos histogramas? ¿Es posible construir
uno de ellos conociendo el otro?
7) Considera el siguiente histograma, en donde el
primer intervalo es [-4, -2):
a) Construye un conjunto de datos del cual
podría provenir dicho histograma (hay muchas
respuestas posibles).
b) Viendo solo el histograma, ¿cuál sería un
estimado razonable para el promedio de los 20
datos? Verifica tu estimado, calculando el
promedio de tu conjunto de datos.
8) Considera los siguientes 80 datos:
-1,-1,-1,-1,-1, -1,-1,-1,-1,-1, -1,-1,-1,-1,-1, -1,-1,-1,-1,-1,
-1,-1,-1,-1,-1, -1,-1,-1,-1,-1, -1,-1,-1,-1,-1, -1,-1,-1,-1,-1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2.
Para representar estos datos, ¿usarías un
histograma o crees que basta un diagrama de
barras? Explica la razón de tu decisión.
PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY
Tema: Histogramas y diagramas de tallo y hoja
Mira los videos y responde las preguntas
https://es.khanacademy.org/math/ap-
statistics/quantitative-data-ap
Un histograma es una representación gráfica de
datos por medio de barras de diferentes alturas. En
un histograma cada barra agrupa números en rangos.
Las barras más altas muestran que más datos entran
en ese rango. Un histograma muestra la forma y
distribución de datos de muestra continuos.
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ACTIVIDAD
2
23
D) Resumen
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ACTIVIDAD
2
24
E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ No entiendo
los conceptos
(TODAVÍA)
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Categorizo datos
numéricos en
intervalos
disjuntos
Expreso datos
agrupados usando
un histograma
Analizo datos a
partir de un
histograma
ii) Preguntas de comprensión
1) Un histograma sirve para representar...
[ ] solo datos numéricos.
[ ] datos numéricos y también cualitativos.
2) Un histograma es útil cuando hay…
[ ] pocos datos.
[ ] muchos datos.
3) Al hacer un histograma es mejor…
[ ] Tener varios grupos (intervalos), pero
no demasiados.
[ ] Tener muchos grupos (entre más,
mejor).
4) Si conocemos el histograma…
[ ] Podemos obtener el conjunto de datos
leyendo el histograma.
[ ] No podemos necesariamente obtener el
conjunto de datos solo a partir del
histograma.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
Supongamos que Beatriz recogió 60 datos e hizo
este histograma (a la derecha) con 8 intervalos:
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ACTIVIDAD
2
25
Otra persona hizo un histograma
para los mismos datos, pero con solo 4 intervalos. ¿Cuál de los siguientes histogramas (A, B, C) podría
ser? Justifica tu respuesta.
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ACTIVIDAD
3
26
ACTIVIDAD 3: MIDAMOS CAMBIOS
Aprendamos a construir un polígono de frecuencia dado un histograma, practiquemos cómo usarlo
para analizar CAMBIOS visualmente y analicemos las limitaciones de un polígono de frecuencia.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
● El cambio del valor X al valor Y se define como C = Y − X.
○ Este cambio puede ser positivo, negativo, o cero (si no hay cambio).
■ Si el cambio es positivo, decimos que hay CRECIMIENTO
■ Si el cambio es negativo, decimos que hay DECRECIMIENTO.
○ Es importante el orden en la resta.
○ Ejemplos:
■ El cambio de 2 a 7 es 5. ■ El cambio de 3 a 2 es −1 (cambio negativo)
■ El cambio de 45 a 45 es 0 (no hay cambio)
● Un GRÁFICO DE LÍNEA nos muestra varios puntos en un plano de coordenadas, unidos por
segmentos de rectas. A partir del gráfico de línea podemos analizar cambios de valores,
típicamente con respecto a cambios en el tiempo.
PRACTICA
i) Encuentra el cambio entre:
• 5 y 12
• 2,2 y 3,8 • 9 y 0
• −1,3 y −2,1
ii) El cambio entre 4,1 y X es 8,1.
¿Cuánto vale X?
iii) El cambio entre Z y 12,3 es 7,6.
¿Cuánto vale Z?
iv) De X a 60 hay un crecimiento de 4,5.
De 60 a Y hay un decrecimiento de 3,1.
¿Cuál es el cambio de X a Y?
v) Observa la tabla de
temperaturas de una ciudad
durante entre 8 y 9 am.
a) Completa la tabla con los
cambios en cada intervalo dado de
tiempo. Recuerda usar signos.
Intervalo Cambio de
temperatura
8:00 a 8:20
8:20 a 8:40
8:40 a 9:00
Hora Temperatura
en grados C
8:00 14,1
8:10 16,3
8:20 19,3
8:30 18,7
8:40 20,5
8:50 23,0
9:00 23,4
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ACTIVIDAD
3
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b) Estima el cambio aproximado de temperatura entre
8:25 y 8:45.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
B) Conceptos: Polígonos de frecuencia
Exploremos: Entradas a Panaca
(De un histograma a un polígono de frecuencia)
Antes de comenzar discute en clase: ¿Conoces parques nacionales o turísticos? ¿Qué has
hecho allí? ¿Por qué te parece que los parques son importantes para la comunidad?
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ACTIVIDAD
3
28
Panaca te consulta para analizar los ritmos de entrada al parque
Panaca en las mañanas de los sábados, para saber los momentos
del día en que se necesita más personal para atender visitantes.
Conseguimos la siguiente tabla de frecuencias de personas que
ingresan al parque durante la mañana de un sábado, según rangos
de horas, y el histograma correspondiente a la tabla:
Rango de hora Frecuencia (# de
personas)
Histograma:
[ 9 am − 9:30
am) 44
[ 9:30 am − 10
am) 56
[ 10 am − 10:30
am) 71
[ 10:30 am − 11
am) 97
[ 11 am − 11:30
am) 110
[ 11:30 am - 12 pm) 94
Con este histograma construimos una gráfica llamada
POLÍGONO DE FRECUENCIAS, así:
● Para cada barra hallamos el valor medio de su
intervalo. Este valor representa a todos los
valores agrupados en el intervalo.
● En cada barra ubicamos un punto en el “techo”
de la barra (centrado). Este representa la
información de la barra.
○ La coordenada horizontal del punto es
el valor medio del intervalo.
○ La coordenada vertical del punto es la
altura de la barra (frecuencia).
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ACTIVIDAD
3
29
● Ubicamos puntos extremos con coordenada vertical
0, cerca de las barras de los extremos, para indicar
que NO hay datos fuera del rango inicial.
● Unimos los puntos y formamos un polígono.
● Finalmente quitamos las barras.
Ya no hay rangos de horas, sino horas.
El polígono de frecuencia da una información muy parecida a la del histograma, pero es un poco más simple
pues ya no estamos pensando en intervalos de valores, sino valores. Por ejemplo, había 44 valores entre
9:00 y 9:30; ahora nos imaginamos que todos esos valores son iguales a 9:15.
Con el diagrama de frecuencia podemos calcular cambios. En este caso son cambios en cantidad de
personas entrando según la hora. Por ejemplo:
• Entre las 9:15 y las 9:45, el número de entradas aumentó en 12 (56 − 44).
• Sin incluir extremos, el segmento de mayor pendiente es de 10:15 a 10:45. El cambio es +26 (97−71).
Responde:
a) ¿Cómo usarías la información del polígono de frecuencia para ayudarle al parque a distribuir su
personal de atención de visitas en la entrada?
b) ¿Por qué crees que elegimos que cada punto se ubicara horizontalmente en el centro de cada barra y no
en uno de sus extremos?
c) Considera un segmento de recta de un polígono de frecuencia. ¿Qué significa que la pendiente de este
sea positiva? ¿Negativa? ¿Cero?
MINI-EXPLICACIÓN
POLÍGONO
DE
FRECUENCIA
Un polígono de frecuencia es una gráfica estadística formada por un polígono (uno de cuyos lados es un
segmento horizontal) que está compuesto por distintos puntos y segmentos de recta que los une y sirve para
representar datos agrupados que vienen de un histograma. Cada punto representa todos los datos agrupados
en una barra del histograma. La altura del punto representa la frecuencia de la barra.
La ventaja de un polígono de frecuencia es que es más simple que un histograma porque cambia un intervalo
por un único valor (el punto medio del intervalo), y por eso es más conveniente para analizar cambios. La
desventaja es que perdemos la información visual del intervalo, pero si sabemos el contexto, podemos
reconstruir el histograma.
● Un polígono de frecuencia es un caso particular de diagrama de puntos.
● El histograma y su polígono de frecuencia asociado tienen la misma forma visual.
● Entre más intervalos tenga el histograma, el polígono de frecuencia es más preciso pues tiene más
puntos.
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ACTIVIDAD
3
30
Ejemplo: Duración de ciertas frutas
El polígono de frecuencias de la derecha muestra la duración,
en días, de cada guanadilla (una nueva fruta) antes de dañarse.
Concluimos que:
i) Se analizaron 2 + 5 + 14 + 17 + 13 + 4 + 2 = 57 frutas.
ii) Solo 2 frutas se dañaron luego de 6 días. El resto de frutas
aguantó más de 6 días. iii) El aumento en frecuencia más grande entre puntos seguidos
es el de 9 días a 12 días, con un cambio de 9.
Completa este ejemplo: Construyamos un polígono de frecuencia
Supongamos que recogimos 268 datos sobre el número de días que distintas
personas tardaron en recuperarse de cierta enfermedad, agrupados en
intervalos que presentamos en la tabla de frecuencias que se muestra a la
derecha. La amplitud de cada intervalo es igual 3.
Por ejemplo: 25 personas tardaron de 7 a 9 días en recuperarse.
En la tabla hay 10 intervalos 𝐴𝑖 ,en donde i va de 1 a 10. Para cada intervalo
𝐴𝑖 , llamamos 𝑓𝑖a la frecuencia de ese intervalo. Ejemplos:
● si i = 1, entonces 𝐴𝑖 = [4,7) y 𝑓𝑖 = 12. Es decir: 𝑓1 = 12. ● 𝐴2 = [7,10) y 𝑓2 = 25.
● 𝐴10 = [31,34) y 𝑓10 = 29.
En este ejemplo queremos construir el histograma y el polígono de
frecuencias a partir de la tabla.
Intervalo i 𝑓𝑖 [4, 7) 12
[7, 10) 25
[10, 13) 54
[13, 16) 36
[16, 19) 12
[19, 22) 5
[22, 25) 17
[25, 28) 33
[28, 31) 45
[31, 34) 29
TOTAL 268
Este es el histograma correspondiente a la tabla:
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ACTIVIDAD
3
31
a) ¿Cuántos puntos tiene el polígono de frecuencia? (no olvides que ponemos siempre dos puntos
extra con altura cero)
b) Completa la siguiente tabla que da las posiciones horizontal (x) y vertical (y) de los puntos del
polígono de frecuencias:
Punto i
i Intervalo i 𝒇𝒊 Coordenada x Coordenada y
0 [1,4) 0 2,5 0
1 [4, 7) 12 5,5 12
2 [7, 10) 25 8,5 25
3 [10, 13) 54 54
4 36 14,5
5 12
6 5
7 17
8 33
9 45
10 29
11 [34, 37) 0
TOTAL 268
c) Usa esa tabla para dibujar el polígono de frecuencia y describe qué forma tiene.
d) Usando el polígono de frecuencia, halla el cambio entre 5.5 y 7.5. ¿Hay aumento o disminución?
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ACTIVIDAD
3
32
C) Resuelve y practica
1) Considera el siguiente histograma:
a) ¿Cuántos datos se usaron para hacer el histograma?
b) Elabora un polígono de frecuencia a partir del histograma.
No olvides los dos puntos extra con altura 0.
2) A partir de cada tabla de frecuencia dada, haz un polígono de
frecuencia. [Nota: puedes hacer primero el histograma o hacer
de una vez el polígono de frecuencia.]
a) Total de datos: 49
Intervalo (2, 4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] [12,14)
Frecuencia 5 8 14 12 7 3
b) Total de datos: 42
Intervalo [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7)
Frecuencia 17 9 0 0 4 12
c) Total de datos: 196
3) Supongamos que tienes un
histograma con 5 intervalos de
amplitud 6, y el primero es [11, 17).
La barra más alta es la de la mitad,
con altura 85.
El histograma representa a 200
datos y el máximo dato es 45.
a) ¿Cuántos puntos tiene el polígono
de frecuencia? Da sus coordenadas
horizontales.
b) ¿Cuál es el punto más alto del
polígono de frecuencia? Da su
coordenada (X, Y). Justifica tu
respuesta.
4) Trabaja con el gráfico de línea
que hiciste en el problema 1).
Responde:
a) De los segmentos de recta, ¿cuál
es el de mayor pendiente? ¿y el de
menor pendiente?
b) A partir de a), halla el mayor
aumento de frecuencia de un punto
al siguiente, y la mayor disminución
de frecuencia de un punto al
siguiente. Verifica tu respuesta
hallando todos los cambios de
frecuencia de un punto al siguiente
punto.
5) Elige dos polígonos de rfecuencia
de internet u otra fuente, que
tengan al menos un aumento. Para
cada gráfico, encuentra el mayor
aumento entre un punto y el
siguiente.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
3
33
Intervalo [-1, 2) [2, 5) [5, 8) [8, 11) [11,14) [14, 17) [17, 20)
Frecuencia 2 6 11 21 45 51 60
PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY
Tema: Polígonos de frecuencia
Mira los videos y responde las
preguntas Polígonos de frecuencia (practica)
D) Resumen
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ACTIVIDAD
3
34
E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ No entiendo
los conceptos
(TODAVÍA)
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Relaciono un
histograma con
un polígono de
frecuencia
Construyo un
polígono de
frecuencia y lo
comparo con un
histograma
Identifico
aumentos y
disminuciones
usando un polígono
de frecuencia
ii) Preguntas de comprensión
1) Un polígono de frecuencia sirve...
[ ] solo para datos numéricos.
[ ] para datos numéricos y también
cualitativos.
2) El punto (x, y) = (4, 7) en un polígono de
frecuencia nos dice que...
[ ] hay 7 datos con valor cercano a 4.
[ ] hay cerca de 7 datos con valor de 4.
3) La suma de las alturas de los puntos en
un polígono de frecuencia es igual a…
[ ] El rango del conjunto de datos.
[ ] El tamaño del conjunto de datos.
4) Si conocemos el polígono de frecuencia…
[ ] Podemos obtener el conjunto de datos
leyendo el polígono de frecuencia.
[ ] No podemos necesariamente obtener el
conjunto de datos solo a partir del
polígono de frecuencia.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
Se realizó un concurso de escritura rápida en ruso. Los
resultados se ven en la tabla a la derecha. Hubo un empate en
el 1er lugar pues 2 participantes escribieron el mismo número
máximo de palabras.
a) ¿Cuántos estudiantes participaron en el concurso?
b) Haz un diagrama de línea para representar la información
de la tabla.
c) ¿Cuál fue como mínimo el número de palabras escritas de
cada uno de los participantes que ganaron el concurso?
d) ¿Cuál fue como mínimo la diferencia de # de palabras
entre el primer puesto del concurso y el último puesto del
concurso? Explica (puedes dar varios ejemplos).
# de palabras
escritas
# de
estudiantes
0-10 1
11-20 2
21-30 8
31-40 12
41-50 4
51-60 2
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