Grupos Espaciales
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ngel Carmelo Prieto Colorado
Fsica de la Materia Condensada, Cristalografa y Mineraloga.Facultad de Ciencias.
Universidad de Valladolid.
Sntesis y Caracterizacin Estructural de los Materiales
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A. Carmelo Prieto Colorado
Asociacin de elementos de simetra: Nocin de grupo matemticoSimetra puntual: Grupos puntuales de simetra en dos dimensionesSmbolos de los grupos puntuales 2DSimetra translacional y lineas de deslizamientoGrupos espaciales mono y bidimensionales: Frisos y Grupos planosSmbolos de los grupos espaciales 1D y 2D
Tema 9
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A. Carmelo Prieto Colorado
3D
Ejes de Rotacin propios: n
Planos de Reflexin
Ejes de Rotacin impropios: n
3D
1
m
1
3D 2m
23D3 m 3
3D
4
m
4
3D
6
m
6
1D
y
2D
Centros de Rotacin: n
Lineas de Reflexin
1D
y
2D
1
m
1D
y
2D
2 1m
1D
y
2D3 m
1D
y
2D4
m
1D
y
2D
6
m
Elementos de simetra 1D, 2D y 3D
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A. Carmelo Prieto Colorado
Asociacin de ES, nocin de Grupo
Estructura de Grupo Matemtico
De todas las posibles combinaciones de elementos de simetra (1, n, n y m), compatibles con {T=pt} en el espacio bi y tridimensional, solo existen 10 y 32 posibles estructuras de grupo matemtico, respectivamente. Son los grupos puntuales cristalogrficos, denominados as porque dejan invariante un punto en el espacio. Ese punto invariante -comn a todos los elementos de simetra del grupo- se toma como centro u origen del sistema de referencia cristalogrfico.
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GSP; 2D
1 2 3 4 6
m 2mm 3m 4mm 6mm
A. Carmelo Prieto Colorado
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupos Espaciales monodimensionales: 1D
En el espacio mono dimensional solo son posibles elementos de simetra que impliquen repeticiones peridicas en una sola direccin o que impliquen a 1 coordenada. Por tanto, solo podremos considerar los puntos de rotacin de orden 1 y 2, junto con las lineas de reflexin m paralelas y perpendiculares a la direccin axial. Al tratarse de figuras que recubren el espacio hasta el infinito, compatibles con {T=ua} las lineas de reflexin m, pueden transformarse en lineas de deslizamiento, en la direccin axial, g.
Por consiguiente en 1D existirn solo 1 y 2, m y g
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupos Espaciales monodimensionales: 1D
De todas las posibles combinaciones de elementos de simetra (1,2,m y g), compatibles con {T=pt} en el espacio unidimensional, solo existen siete que presenten estructura de Grupo matemtico, respecto de la operacin producto, dando lugar a l o s 7 G r u p o s E s p a c i a l e s d e S i m e t r i a Monodimensional (GSE). Dejan invariante la direccin axial de repeticion peridica
GSE: (11; 12; 11m; 1m1; 2mm; 11g; 2mg)
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupo Espacial de Simetria, (11) E. de Simetra caracterstico: t, 1
t
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupo Espacial de Simetria, (12) E. de Simetra caracterstico: t, 1, 2
2
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupo Espacial de Simetria, (11m) E. de Simetra caracterstico: t, 1, m
m
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupo Espacial de Simetria, (1m1) E. de Simetra caracterstico: t, m, 1
mT T
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupo Espacial de Simetria, (2mm) E. de Simetra caracterstico: t, 1, 2, m
m
m
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupo Espacial de Simetria, (11g) E. de Simetra caracterstico: t, 1, g
g
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A. Carmelo Prieto Colorado
Grupo Espacial de Simetria, (2mg) E. de Simetra caracterstico: t, 1, 2, m, g
g
m
2
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE11
12
11m
1m1
2mm
11g
2mg
ES1
2
mT
mT
mm
g
mg
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE 2D: GSP 2D * T
GSE: Simetra espacialFiguras infinitas{T},{}
{Translacin}m
g = m x
2 = -1 3 4 6
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A. Carmelo Prieto Colorado
Simetria de las redes 2DElementos de simetria compatibles con las celdas fundamentales 2D
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A. Carmelo Prieto Colorado
17 GSE
Sistema cristalino GSP compatible con el SCCelda
FundalmentalGSE compatible
con la celdaOblicuo
ab; 90 1, 2 p p1, p2
Rectangularab; =90 1m, 2mm
ppm, p2mm
pg, p2mg, p2ggRectangularab; =90 1m, 2mm
c cm, c2mm
Cuadrado
a=b; =904, 4mm p
p4, p4mm
p4gmHexagonal
a=b; =120
3, 3m
6, 6mmp
p3, p31m, p3m1
p6, p6mm
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A. Carmelo Prieto Colorado
17 GSE: 2D
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2D
p1
p2
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2D
pm
pg
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2D
p2mm
p2mg p2gg
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2D
cm
c2mm
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2Dp4 p4mm
p4gm
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2D
p3 p31m p3m1
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2D
p6 p6mm
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p1
p1 / 1 / 1
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p2
p2 / 2 / 2,22
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: pm
pm / m / m
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: pg
pg / m / g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p2mm
p2mm / 2mm / 2,22,m,m
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p2mg
p2mg / 2mm / 2,22,m,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p2gg
p2gg / 2mm / 2,22,g,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: cm
cm / m / m,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: c2mm
c2mm / 2mm / 2,22,m,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p4
p4 / 4 / 4,42,43,44, 2,22
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p4mm
p4mm / 4mm / 4,42,43,44, 2,22,m,m,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p4gm
p4mm / 4mm / 4,42,43,44, 2,22,m,g,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p3
p3 / 3 / 3,32,33
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p31m
p31m / 3m / 3,32,33,m,m,m,g,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p3m1
p3m1 / 3m / 3,32,33,m,m,m,g,g,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: p6
p6 / 6 / 6,62,63,64,65,66,3, 32,33,2,22
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A. Carmelo Prieto Colorado
GSE: 2D
p6mm / 6 / 6,62,63,64,65,66,3, 32,33,2,22,m,g
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A. Carmelo Prieto Colorado
Algoritmo GSE 2D
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ngel Carmelo Prieto Colorado
Fsica de la Materia Condensada, Cristalografa y MineralogaFacultad de Ciencias
Universidad de Valladolid