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GRAVITACIÓN UNIVERSAL La astronomía es la más antigua de las ciencias. La cantidad y precisión de los datos astronómicos conseguidos desde épocas muy remotas, son realmente sorprendentes. Esto se debe, probablemente, a la influencia que los fenómenos celestes ejercían en la vida de los pueblos más antiguos. Así, la necesidad de establecer las épocas de siembra y de cosecha, y su relación con las posiciones del Sol, de la Luna y de las estrellas, llevó a los astrónomos de la Antigüedad a recabar un gran número de datos relacionados con los movimientos de tales astros. El modelo antiguo de los griegos. Los primeros intentos para explicar el movimiento de los cuerpos celestes se, deben a los griegos del siglo IV a. de C. Al tratar de reproducir los movimientos de dichos cuerpos, los astrónomos griegos establecieron un modelo en el cual la Tierra se situaba en el centro del Universo (teoría geocéntrica), y los planetas, así como el Sol, la Luna y las estrellas, se hallaban incrustados en esferas que giraban alrededor de la Tierra. Con este modelo se pudieron describir con aproximación razonable, los movimientos de los astros en el cielo. Al intentar ajustar mejor su modelo a los hechos observados, los griegos tuvieron que valerse de un gran número de esferas para explicar el movimiento de un solo planeta. Esto convirtió el universo griego antiguo en algo muy complicado, y durante muchos años se llevaron a cabo varios intentos para conseguir un modelo más sencillo. El sistema geocéntrico de Ptolomeo. De los sistemas ideados para la simplificación del antiguo modelo griego, el que obtuvo mayor éxito fue la teoría geocéntrica del gran astrónomo Ptolomeo, quien vivió en Alejandría en el siglo II d. de C., y era de origen griego.

Ptolomeo suponía que los planetas se movían en círculos cuyos centros giraban alrededor de la Tierra (Fig. 1). Además de ser éste un modelo más sencillo que el primitivo de los griegos, logró un mejor ajuste a los movimientos que se observaban en el cielo.

Debido a la razonable exactitud de las previ-siones que se hacían con el sistema de Ptolomeo, y como su teoría (que suponía a la Tierra en el centro del Universo) se adaptaba muy bien a las creencias religiosas de la Edad Media, sus ideas perduraron prácticamente durante trece siglos. Pero las sucesivas modificaciones introducidas en tal modelo para que se adaptara a las observaciones que se fueron acumulando durante ese largo periodo, acabaron por convertir el sistema tolomeico en otro también muy complicado. El sistema heliocéntrico de Copérnico. El astrónomo polaco Nicolás Copérnico presentó en el siglo XVI, un modelo más sencillo para sustituir el sistema de Ptolomeo. Siendo un hombre con una profunda fe religiosa, Copérnico creía que "el Universo debería ser más sencillo, pues Dios no haría un mundo tan complicado como el de Ptolomeo".

En el modelo de Copérnico, el Sol está en reposo, y los planetas, incluyendo la Tierra, giran alrededor de él en órbitas circulares (teoría heliocéntrica). Esta idea ya había sido propuesta por algunos filósofos de la Grecia antigua. Con su teoría heliocéntrica, Copérnico lograba una descripción de los movimientos celestes tan satisfactoria como la que se obtenía con el sistema de Ptolomeo, y con la ventaja de ser un modelo mucho más sencillo que el geocéntrico.

Pero un sistema en el que el Sol se considere inmóvil, y la Tierra se convertía en un planeta en movimiento como todos los demás, iba en contra de la filosofía aristotélica y las convicciones religiosas de la época. En virtud de ello, Copérnico tuvo gran renuencia a publicar sus ideas. El libro en el cual expuso su teoría causó grandes polémicas, y terminó por ser colocado en la lista de los libros prohibidos por la iglesia. EJERCICIOS 1. Describa en forma breve el modelo del Universo según los griegos de la remota Antigüedad. 2. a) ¿Qué entiende usted por "sistema geocéntrico"?

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b) ¿Cuáles son los modelos geocéntricos del Universo que presentamos en esta sección?

3. Cite dos causas por las cuales el sistema de Ptolomeo fuera aceptado por tanto tiempo. 4. a) ¿Qué es un sistema “heliocéntrico”?

b) ¿Cuál fue la razón alegada por Copérnico (citada en esta sección) para presentar su modelo en sustitución del de Ptolomeo?

c) ¿Por qué las ideas de Copérnico no fueron bien aceptadas en su época?

LEYES DE KEPLER Kepler y las observaciones de Tycho Brahe. Algunos años después de la muerte de Copérnico, el astrónomo danés Tycho Brahe comenzó a realizar un importante trabajo destinado a obtener mediciones más precisas de las posiciones de los cuerpos celestes. En su observatorio, muy bien equipado para su época, Tycho Brahe llevó a cabo durante casi 20 años, rigurosas observaciones de los movimientos planetarios, comprobando que el sistema de Copérnico no se adaptaba satisfactoriamente a tales mediciones.

Los datos obtenidos por Brahe, cuidadosamente tabulados, serían la base del trabajo que después de su muerte, desarrollara su discípulo, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630). Entusiasmado por la sencillez del sistema de Copérnico, Kepler creía en la posibilidad de realizar ciertas correcciones a dicho modelo, a fin de adaptarlo aún más a los movimientos celestes que se observan en realidad. Llevó a cabo su trabajo analizando cuidadosamente, con una gran habilidad matemática y durante casi 17 años, la enorme cantidad de datos obtenidos por su maestro. El trabajo de Kepler fue coronado por el éxito, pues logró descubrir las tres leyes del movimiento de los planetas, lo cual originó el nacimiento de la Mecánica Celeste. A continuación presentamos estas leyes del movimiento planetario. Primera ley de Kepler. La corrección del sistema de Copérnico, buscada por Kepler, se expresa a través de su primera ley. Sus estudios lo llevaron a concluir que, en realidad, los planetas se mueven alrededor del Sol, pero sus órbitas son elípticas y no circulares, como suponía Copérnico. Además, Kepler comprobó que el Sol se encuentra situado en uno de los focos de cada elipse (Fig. 2). De manera que:

Primera ley de Kepler: todo planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica, en la cual el Sol ocupa uno de los focos.

Cabe destacar que la órbita de un planeta no es una elipse tan alargada como indica la Fig. 2.

En realidad, las órbitas difieren muy poco de una circunferencia, y realmente es impresionante ver cómo las mediciones de Tycho Brahe pudieron ser tan exactas que hicieran posible al genial Kepler descubrir que dichas órbitas en realidad son elipses. Segunda ley de Kepler. Preocupado por conocer la velocidad de los planetas, Kepler pudo comprobar que se mueven con más rapidez cuando están más cercanos al Sol, y con más lentitud cuando están más alejados de este astro. En la Figura 3, por ejemplo, el planeta desarrolla mayor velocidad entre A y B que entre C y D.

Mientras el planeta se mueve desde A hasta B, la recta o radio focal que une al planeta con el Sol "describe" el área 1A . Al moverse de C a D,

dicha recta "describe" el área 2A (Fig. 3). Kepler comprobó que si el tiempo que tarda en ir desde A hasta B fuera igual al tiempo necesario para ir de C a D, entonces las áreas 1A y 2A serían iguales. Con base en esto formuló su segunda ley:

3

Segunda ley de Kepler: el radio focal que une a un planeta con el Sol “barre” áreas iguales en tiempos iguales.

Tercera ley de Kepler. Al continuar el estudio de las tablas de datos de Tycho Brahe, Kepler buscó establecer una relación entre los periodos de revolución de los planetas y los radios de sus órbitas (para simplificar este estudio, se supondrá que las trayectorias planetarias son circulares). Después de 10 años de intentarlo, Kepler descubrió una relación que se sintetiza en su tercera ley.

TABLA - 1

Planeta Período de revolución (T) en años

Radio de la órbita (r) (en u.a.)

2 3T /r

(en 2 3año /(U.A.)

Mercurio 0,241 0,387 1,002 Venus 0,615 0,723 1,000 Tierra 1,000 1,000 1,000 Marte 1,881 1,524 0,999 Júpiter 11,56 5,204 0,997 Saturno 29,6 9,58 0,996 Urano 83,7 19,14 1,000 Neptuno 165,4 30,2 0,993 Plutón 248 39,4 1,004 1 u.a. = 1 unidad astronómica = radio de la órbita terrestre

Para entender mejor esta ley, analicemos la Tabla 1. En la primera columna vemos que los

periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son muy distintos entre sí. Lo mismo sucede con los radios de sus órbitas (distancias de los planetas al Sol), presentados en la segunda columna de la tabla. Pero, por la tercera de ellas nos damos cuenta de que si elevamos a la segunda potencia

el periodo de revolución de cada planeta ( 2T ) y lo dividimos entre el cubo del radio de su órbita ( 3r ),

el cociente 2 3T /r tendrá el mismo valor para cualquier planeta (las pequeñas diferencias que se observan en la tercera columna de la Tabla 1 se justifican plenamente por errores experimentales). Este resultado, que es el contenido de la tercera ley de Kepler, se expresa matemáticamente por

2

3T

= Kr

donde K es una constante para todos los planetas. De esta relación obtenemos 2 3T = Kr es decir,

∝2 3T r . Podemos, entonces, enunciar la tercera ley de Kepler de la siguiente manera:

Tercera ley de Kepler: los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los radios de sus órbitas

Con el trabajo de Kepler, las leyes básicas del movimiento de los planetas habían sido

descubiertas, estableciéndose así las bases de la Mecánica Celeste. Pero lo que Kepler hizo fue describir este movimiento sin ocuparse de sus causas; en otras palabras, las leyes de Kepler constituyen la cinemática del movimiento planetario. En la próxima sección veremos cómo algunos años más tarde Newton, con base en los resultados de Kepler, elabora la mecánica del movimiento de los planetas y descubre una de las leyes fundamentales de la naturaleza: la de la Gravitación Universal. EJERCICIOS 5. ¿Cuál fue la principal fuente de información que permitió a Kepler descubrir sus leyes? 6. Recordando la primera ley de Kepler:

a) Haga un dibujo que muestre la forma aproximada de la trayectoria de un planeta cualquiera alrededor del Sol. ¿Cómo se denomina esta curva?

b) ¿Está situado el Sol en el centro de la órbita?

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7. La figura de este ejercicio representa la trayectoria de Mercurio alrededor del Sol. Sabiendo que la velocidad de este planeta es máxima al pasar por E, ¿Cuál de los puntos, B, C o D representa mejor la posición que el Sol ocupa?

8. Suponga que la elipse mostrada en la figura de este

ejercicio representa la trayectoria de Júpiter alrededor del Sol. Todas las áreas sombreadas son iguales entre sí.

a) Si Júpiter tarda un año en recorrer el arco¼AB , ¿cuál será el tiempo que tarda en recorrer cada uno

de los arcos »CD , »EF y ¼GH ?

b) Sean , , y1 2 3 4v v v vr r r r

, las velocidades de Júpiter en cada una de las posiciones mostradas en la figura. Coloque estas velocidades en orden decreciente de sus valores.

9. Al consultar la Tabla 1 responda lo siguiente:

a) ¿Qué es una unidad astronómica (1 u.a.)?

b) ¿Cuántas vueltas da la Tierra alrededor del Sol mientras Plutón sólo da una?

c) ¿Cuál es el valor de la constante K de la tercera ley de Kepler ( 2 3T /r = K ) que figura en la tabla?

10. a) Imagine que alguien le dice que se descubrió un pequeño planeta con un periodo T= 8,0 años,

y cuya distancia al Sol es r = 4,0 u.a. Si esto fuera verdad, ¿confirmarían tales datos la tercera ley de Kepler?

a) ¿Podría existir un planeta a una distancia r = 10 u.a. del Sol, y con un periodo T= 10 años?

¿Por qué? LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Introducción. Al estudiar el movimiento de los planetas con base en las leyes de Kepler, Newton observó que como describen órbitas alrededor del Sol, deben estar sujetos a una fuerza centrípeta, pues de lo contrario sus trayectorias no serían curvas. Al razonar de esta manera, Newton estaba admitiendo que sus leyes del movimiento también eran válidas para los cuerpos celestes. Este punto de vista iba en contra de la filosofía aristotélica, en la cual se creía que el movimiento de los astros estaba regido por leyes especiales, distintas de las que pueden comprobarse en relación con los movimientos producidos en la superficie de la Tierra.

En la Figura 4 se presenta un planeta en su órbita (supuestamente circular) alrededor del Sol. La fuerza F

r

representa la fuerza centrípeta que debe actuar sobre el planeta para mantenerlo en su trayectoria. Newton atribuyó esta fuerza a la existencia de una atracción del Sol sobre el planeta. En resumen, concluyó que

la fuerza centrípeta que mantiene a un planeta en su órbita, se debe a la atracción que el Sol ejerce sobre él.

Fuerza de atracción entre el Sol y un planeta. Basándose en sus leyes del movimiento, así como en los estudios de Kepler, Newton logró obtener la expresión matemática de la fuerza de atracción entre el Sol y un planeta. Designando por F

r esta fuerza, llegó a las conclusiones siguientes:

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1) F es proporcional a la masa m del planeta: ∝F m 2) F es proporcional a la masa M del Sol: ∝F M 3) F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r, entre el Sol y el planeta:

∝ 2F 1/r . De modo que podemos escribir

o bien∝ 2 2m M m M

F F = Gr r

donde G es una constante de proporcionalidad denominada constante de gravitación universal. La

expresión 2F = G mM/r nos dice que: la fuerza de atracción del Sol sobre un planeta es proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre ellos.

Gravitación universal Ahora vamos a describir el paso mas audaz del trabajo de Newton, el cual demuestra su extraordinaria capacidad de extrapolación, así como su gran intuición. Al analizar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra (Fig. 5), Newton se dio cuenta de que debía existir una fuerza de atracción de la Tierra sobre la Luna, análoga a aquella con la que el Sol atrae a los planetas. Según se dice, al observar una manzana desprenderse de un árbol concibió la idea de que su caída también debía ser causada por atracción de la Tierra. Reuniendo las ideas de que el Sol atrae a los planetas y la Tierra atrae a la Luna y a la manzana, Newton llegó a la conclusión de que la atracción observada debe ser un fenómeno general (universal), y manifestarse entre dos objetos materiales cualesquiera. En otras palabras, entre usted y un libro debe existir una fuerza de atracción, de la misma manera que existe entre usted y su compañero, ¡o entre el profesor y el pizarrón! Surgió así la idea de la Gravitación Universal, de que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza F

r, denominada fuerza

gravitacional, cuyo valor está dado por la misma expresión matemática de la fuerza entre el Sol y un planeta. Entonces, siendo 1m y 2m las masas de dos cuerpos separados una distancia r (Fig. 6),

habrá entre ellos una fuerza Fr

de atracción cuya magnitud está dada por

·1 22

m mF = G

r

Tenernos, por tanto:

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

·1 22

m mF = G

r

Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus rnasas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

La fuerza de atracción gravitacional entre dos objetos "comunes" existentes en la Tierra resulta ser muy pequeña, y Newton no pudo comprobar experimentalmente dicha atracción. Sólo cuando la interacción es entre dos masas muy grandes (como el Sol y los planetas) es posible apreciar la fuerza de atracción gravitatoria.

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Comprobación experimental de la Ley de Gravitación Universal. No fue sino hasta casi 100 años después de que Newton presentó sus trabajos, cuando se pudo comprobar en forma experimental que la gravitación es en realidad un fenómeno universal. El físico inglés Henry Cavendish, empleando una balanza de torsión (Fig. 7), realizó el siguiente experimento: equilibró cuidadosamente dos pequeñas esferas, de masas 1m y 2m en una barra horizontal. Al acercar a

estas masas dos esferas más grandes, 1M y 2M , Cavendish comprobó que la barra giraba, produciendo una torsión en el hilo muy fino que la sostenía. Este hecho mostró que realmente existe sana fuerza de atracción entre 1m y 1M , así como entre 2m y 2M (Fig. 7) como Newton había previsto.

Mediante la balanza de torsión, Cavendish logró medir la fuerza de atracción entre dos esferas, y así le fue posible determinar el valor de la constante de gravitación universal G. En el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), el valor de G es

2-11

2N · m

G = 6,67 · 10 kg

Notamos que el valor de G es muy pequeño, y a ello se debe que la atracción gravitacional entre dos objetos "comunes", de acuerdo con lo ya expresado, es prácticamente despreciable, y sólo se puede detectar con aparatos muy delicados, como el de Cavendish. EJEMPLO Medición de la masa de la Tierra. Al haber obtenido con una báscula de torsión el valor de G, Cavendish logró determinar la masa de la Tierra, como ahora vimos a describir.

Consideremos una partícula de masa m cercana a la superficie de la Tierra (que tiene masa M y radio R), según se indica en la Figura 8. La partícula m será atraída por la Tierra con una fuerza F

r, que es

el peso de dicha partícula. Newton había demostrado (usando el Cálculo Integral inventado por él), que en la atracción gravitatoria entre dos cuerpos esféricos todo sucede como si la masa de ellos estuviera concentrada en su punto central. Así que podemos imaginar la masa M concentrada en el

7

centro de la Tierra, y Ia fuerza F estará apuntando hacia dicho punto. Como la distancia de m, al centro de la Tierra es R (radio de esta última), podemos escribir, por la Ley de la Gravitación Universal,

2M · m

F = GR

Pero como F representa el peso de la partícula de masa m, tenemos, por la segunda ley de Newton: F = m · g

Al igualar estas dos expresiones para una misma fuerza, vemos que

2M · m

G = m · gR

donde 2g · R

M =G

Así pues, conociendo los valores de g, R y G, lograremos determinar el valor de M.

En la época de Newton, los valores de g y R se conocían con razonable precisión, pero Newton no sabía con exactitud el valor de G. Como Cavendish logró medir G, fue posible entonces calcular la masa de la Tierra, y por eso se dice que Cavendish fue quien por primera vez, "pesó" a la

Tierra en su balanza. Al sustituir en la expresión anterior, los valores 2g = 9,80 m/s 6R= 6,37 · l0 m y -11 2 2G = 6,67 · 10 N · m /kg obtenemos para la masa de la Tierra,

24M = 5,97 · 10 kg . EJERCICIOS 11. a) Usted sabe que los planetas describen órbitas alrededor del Sol. ¿Podría concluir, como hizo

Newton, que tiene que haber una fuerza que actúa sobre ellos? Explique.

b) Newton supo que debía existir un agente responsable de esta fuerza. ¿Cuál es?

12. La fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra vale, aproximadamente, 224 · 10 N . Diga cuál es el valor de esta fuerza suponiendo que:

a) La masa de la Tierra fuera tres veces mayor.

b) La masa del Sol fuese dos veces menor.

c) La distancia entre la Tierra y el Sol fuese dos veces mayor.

13. La ley de gravitación inicialmente fue establecida por Newton para expresar la fuerza de atracción

entre el Sol y los planetas. Explique por qué, posteriormente, pasó a ser denominada "Ley de la Gravitación Universal".

14. a) Para que se de cuenta de la pequeñez de la fuerza de atracción entre dos objetos "comunes",

calcule la fuerza con la que dos personas se atraen (gravitacionalmente). Para simplificar los cálculos, suponga que las masas de las personas son 1 2m = m = 100 kg , que la distancia entre

ellas es r = 1 m y considere que -10 2 2G = 10 N · m /kg .

b)Como los cuerpos celestes tienen masas enormes, la fuerza gravitacional entre ellos es muy grande (aun cuando la distancia que los separa es, también, enorme). A fin de comprobar lo anterior, calcule el valor aproximado de la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna,

considerando que -10 2 2G = 10 N · m /kg , masa de la Tierra 25TM = 10 kg , masa de la Luna

23LM = 10 kg y distancia de la Tierra a la Luna 8r = 10 m .

15. El experimento de la balanza de torsión permitió a Cavendish llegar a dos resultados de gran

importancia en la época. ¿Cuáles fueron dichas conclusiones?

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16. La figura de este ejercicio muestra un pequeño cuerpo de masa 1m situado a cierta

distancia de la Tierra (de masa 2m ). Para

calcular la fuerza Fr

de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre el cuerpo, ¿el valor de la distancia r deberá tomarse igual a OA, OC u OB?

Movimiento de los satélites Aun cuando no fue posible, sino hasta hace relativamente poco, colocar un satélite artificial alrededor de la Tierra, ya en el siglo XVII Newton tenía una idea clara de la manera en que podía hacerse. Pero no se disponía entonces de la fantástica tecnología necesaria para situar en órbita un satélite. Cómo se puede colocar un satélite en órbita. Para orbitar o poner en órbita un satélite, debe elevarse, mediante poderosos cohetes, hasta la altura h deseada (Fig. 9) El valor de h varía notablemente de un satélite a otro, y ello depende de muchos factores. Pero la altura no debe ser inferior a unos 150 km, para que en la región donde el satélite se moverá, la atmósfera esté totalmente enrarecida y, así, la fuerza de resistencia del aire no perturbe el movimiento del satélite.

Una vez alcanzada la altura deseada, el satélite, también por medio de cohetes, es lanzado horizontalmente con una velocidad v

r (Fig. 9). Como ya

sabemos, la Tierra ejerce sobre dicho satélite una fuerza Fr

de atracción, que alterará la dirección de la velocidad v

r haciendo que describa una trayectoria curvilínea. Muchas personas piensan,

equivocadamente, que a esa altura la fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite es nula o despreciable. Si esto fuese verdad, el satélite, una vez lanzado, con la velocidad v

r seguiría

moviéndose en línea recta con tal velocidad, y no entraría en órbita alrededor de la Tierra. Para que la trayectoria del satélite sea circular en torno de la Tierra, la velocidad horizontal v

r

deberá tener un valor determinado (que calcularemos más adelante). Lo anterior es porque la fuerza Fr

de atracción de la Tierra, tiene que proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para tal movimiento.

Una vez puesto en órbita, y si no existe perturbación alguna, el satélite seguirá girando indefinidamente alrededor de la Tierra. Cálculo de la velocidad del satélite. Vamos a hallar ahora la velocidad que debe impartirse a un satélite para que entre en órbita circular alrededor del centro de la Tierra. El radio orbital, r como muestra la Figura 9, esté dado por

r = R + h

donde R es el radio de la Tierra, y h , la altura del satélite. La fuerza F

r de atracción de la Tierra sobre el cuerpo orbitando, esta dada por

2Mm

F = Gr

donde m es la masa del satélite, y M la masa de la Tierra (recuerde que M puede suponerse concentrada en el centro del planeta). Como esta acción proporciona la fuerza centrípeta que lo

mantiene en órbita, podemos concluir que su valor es igual a 2mv /r , que es la expresión general de una fuerza centrípeta. Por tanto, tendremos

2

2mv Mm

= Gr r

donde

GMv =

r

9

Luego, si se nos proporciona la altura o distancia radial de un satélite en órbita, podremos calcular su velocidad, una vez que se conoce el valor de G y el de M Observe que tal velocidad no depende de la masa del satélite, y que cuanto mayor sea su radio orbital (o su altura) tanto menor será su velocidad. Periodo de revolución del satélite. El tiempo que el satélite tarda en dar una vuelta alrededor del centro de la Tierra es su periodo de revolución. Durante dicho tiempo, T, la distancia que el satélite recorre estará dada por 2pr (perímetro de su órbita circular). Entonces, como se trata de un movimiento uniforme, tendremos que

2pr=vT donde π2 r

T =v

Así pues, como ya sabemos calcular v , esta expresión nos permitiría determinar el periodo del satélite.

Satélite estacionario. Suponga que un satélite es colocado en órbita a una altura aproximada de 36.000 km sobre un punto del ecuador (Fig. 10). El radio de su órbita será r = R + h , y como el radio de la Tierra es, aproximadamente, igual a 6.000 km, tendremos para el radio de la órbita un valor de casi 42.000 km. Llevando este valor de r a la expresión v = GM/r , obtenemos para el satélite una velocidad v = 10.800 km/h , Conociendo esta cantidad, podremos calcular el periodo del satélite por la relación πT = 2 r/v . Realizando los cálculos encontramos que

T = 24 h observemos que este periodo de revolución es igual al de rotación de la Tierra sobre su eje, y esto vuelve muy

importante a tal satélite. Como se encuentra situado en el plano del ecuador terrestre (Fig. 10) y gira junto con la Tierra, ambos tardan lo mismo en dar una vuelta, a un observador en la superficie terrestre le parecerá que el satélite está inmóvil. Lo anterior es lo que sucede con los famosos satélites estacionarios del tipo llamado Intelsat, tan empleados en la actualidad en las telecomunicaciones mundiales.

Así, cuando usted presencia un programa "vía satélite", la señal de televisión se envía (antes de llegar a su aparato receptor) hasta el satélite, a casi 36.000 km de altura, y Iuego regresa a la Tierra. Esta señal es captada por estaciones especiales de recepción, y se puede difundir a diversas regiones de un país. Como las señales de televisión se propagan con la velocidad de la luz (300.000 km/s ), el tiempo que las señales tardan en ir hasta el satélite y regresar a la Tierra es muy corto. Por ello, es posible presenciar, por ejemplo, un juego de fútbol efectuado en Europa, prácticamente en el mismo instante en que se realiza en el estadio. EJEMPLO ¿Cuál es el valor de la velocidad horizontal que debe imprimirse a un objeto para que entre en órbita casi al ras de la superficie de la Tierra?

Esto significa que la altura del satélite sería nula (h = 0) y que el radio de su órbita tendría que ser el radio de la Tierra (r = R), como indica la Figura 12. El valor de v , resultaría muy grande,

pues sabemos que v es tanto mayor cuanto menor sea h . Al sustituir en v = GM/r los valores conocidos de G, M y R, encontramos que

3v = 7,9 · 10 m/s (o bien, 28.800 km/h) Con esta gran velocidad, el objeto encontraría una gran resistencia del aire, y probablemente,

dependiendo del material, se quemaría antes de desplazarse una distancia considerable. Además, usted podría citar varios factores que impedirían la realización del experimento. Pero no dude que, si

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se pudieran eliminar todos esos factores y se imprimiera correctamente a un objeto, la velocidad que calculamos arriba, esto lo haría entrar en órbita, como se sugiere en la Figura 12, y usted lo tendría de regreso, sin caer al suelo, después de dar una vuelta completa alrededor de la Tierra. EJERCICIOS 17. Las afirmaciones siguientes suelen ser hechas por personas que no conocen muy bien las leyes

de la Física. Presente argumentos que demuestren que estas afirmaciones no son correctas.

a) "La fuerza de atracción de la Tierra sobre un satélite artificial, es nula porque está muy alejado de su centro".

b) "Un cohete ya no será atraído por la Tierra una vez que llegue a regiones fuera de la

atmósfera terrestre". 18. Explique por qué un satélite debe colocarse en órbita en regiones más allá de la atmósfera

terrestre. 19. La fuerza de atracción de la Tierra sobre un satélite en órbita circular, proporciona la fuerza

centrípeta que debe actuar sobre el satélite. Entonces la atracción de la Tierra:

a) ¿Hace variar la dirección de la velocidad del satélite?

b) ¿Hace cambiar la magnitud de su velocidad? 20. Considere dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que

A Bm > m . Estos satélites están en una misma órbita circular alrededor de la Tierra, como muestra la figura de este ejercicio.

a) La velocidad de A, ¿es mayor, menor o igual que B?

b) El período de A, ¿es mayor. menor o igual que B?

21. Observe el satélite C, que también se muestra en la figura

del ejercicio anterior.

a) La velocidad de C, ¿es mayor, menor o igual que B?

b) El periodo de C, ¿es mayor, menor o igual que B? 22. La velocidad angular del movimiento de rotación de Júpiter es ( )ω π= /5 rad/h .

a) ¿Cuántas horas tarda Júpiter en dar una vuelta completa alrededor de su eje?

b) Imagine que existe en Júpiter un satélite estacionario empleado para telecomunicaciones. ¿Cuál será su periodo?

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Variación de la aceleración de la gravedad Conforme a lo visto en las leyes de Newton, experimentalmente se puede comprobar que el valor de la aceleración de la gravedad, g, varía de un punto a otro de la Tierra. Ya se ha dicho también que en la superficie de la Luna, el valor de g es mucho menor que en la Tierra, y en otros planetas la

aceleración gravitatoria no es igual a 29,8 m/s . Estas variaciones en el valor de g podrían entenderse, como veremos, por medio de la Ley de la Gravitación Universal. Expresión matemática de la acelera-ción de la gravedad. Consideremos un cuerpo, de masa m , situado a una distancia r del centro de la Tierra (Fig. 13). El peso de este cuerpo, por la segunda ley de Newton, está dado por

P = mg donde g es el valor de la aceleración de la gravedad en el punto donde se encuentra el cuerpo. Pero este peso P

r es la fuerza

de atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. Por la Ley de Gravitación Universal podemos, pues, escribir

2Mm

P = Gr

donde M es la masa de la Tierra (supuestamente concentrada en su centro). Si igualamos estas dos expresiones de P, tendremos

2Mm

mg = Gr

donde

2M

g = Gr

Así pues, llegamos a una expresión matemática que permite calcular la aceleración de la gravedad en un punto en las proximidades de la superficie terrestre, cuando conocemos G, la masa de la Tierra y la distancia de este punto al centro de ella.

Comentarios. Al analizar la ecuación 2g = GM/r , haremos algunas apreciaciones: 1. Obsérvese que el valor de la masa m del cuerpo no aparece en la ecuación, o sea, el valor de g no depende de m . Este resultado que se obtuvo inmediatamente de la Ley de Gravitación Universal, ya había sido observado en forma experimental por Galileo, algunos años antes de Newton, al comprobar que todos los cuerpos en caída libre descienden con la misma aceleración.

2. Por la expresión 2g = GM/r vemos que 2g=1/r , es decir, cuanto mis nos alejamos del centro de la Tierra, tanto menor es el valor de g. Así, el valor de g en lo alto de una montaña es menor que al pie de la misma. En este caso, la diferencia entre los dos valores de g es muy pequeña, pero si nos desplazamos lo suficiente hacia arriba de la superficie de la Tierra, notaremos una disminución considerable en g (véase Tabla 2).

TABLA 2

Altitud (km) g ( 2m/s ) 0 9.81 20 9.75 40 9.69 60 9.63 80 9.57 100 9.51 200 9.22

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3. Vamos a analizar ahora el valor de g en la superficie terrestre. En este caso, siendo R el radio de nuestro planeta, tendremos r = R, y por consiguiente,

2M

g = GR

Como la Tierra no es perfectamente esférica y el valor de R en el ecuador es mayor que en los polos, podemos concluir que la aceleración de la gravedad en el ecuador es, por tanto, menor que en los polos; es decir,

R (en el ecuador) > R (en los polos), luego g (en el ecuador) < g (en los polos).

Esta conclusión coincide con los resultados experimentales y aparecen en la Tabla 3. En realidad, las variaciones de g que se muestran en la tabla se deben, en parte, a la rotación de la Tierra. Este factor también contribuye a que la aceleración gravitatoria en el ecuador sea menor que en los polos.

TABLA 3

Variación de g con la latitud (al nivel del mar)

Latitud g ( 2m/s ) 0º 9,780 20º 9,786 40º 9,802 60º 9,819 80º 9,831 90º 9,832

Aceleración de la gravedad en la superficie de otros cuerpos celestes. La expresión

2g = GM/R que se emplea para calcular la aceleración gravitacional en la superficie terrestre, se puede utilizar también para determinar el valor de g en la superficie de cualquier otro cuerpo celeste. En este caso, M representa obviamente la masa de tal astro y R su radio. Observemos que la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta es proporcional a su masa, e inversamente proporcional al cuadrado de su radio. EJEMPLO Imaginemos un planeta que tuviese una masa 8 veces mayor que la de la Tierra, y cuyo radio fuera 2 veces mas grande que el terrestre. ¿Cuál sería el valor de g en este planeta?

Como ∝g M , concluimos que si sólo M varía, g sería 8 veces mayor que en la Tierra.

Puesto que ∝ 2g 1/R vemos que la influencia del radio es volver 4 veces menor el valor de g. Como g se multiplica por 8 (por la influencia de M y se divide entre 4 (por la influencia de R), es obvio que g quedará multiplicada por 2. Así, la aceleración de la gravedad en el planeta en cuestión sería:

2 2g = 2 · 9,8 m/s o bien, g = 19,6 m/s EJERCICIOS

23. En la Figura 13, el vector Pr

representa el peso del cuerpo de masa m .

a) ¿Cuál es la expresión matemática de P de acuerdo con la segunda ley de Newton?

b) ¿Cuál es la expresión matemática de P según la Ley de la Gravitación Universal?

c) Usando las respuestas de (a) y (b), muestre que podemos obtener la expresión 2g = GM/r la cual permite calcular el valor de g.

13

24. Los astronautas que descendieron en la superficie lunar comprobaron experimentalmente que la

aceleración de la gravedad en nuestro satélite, vale casi 21,6 m/s . Usando la expresión 2g = GM/R , calcule el valor de g en la Luna y compruebe si su respuesta concuerda con el

resultado que obtuvieron los astronautas. Considere los datos siguientes: -11 2 2G = 6,7 · 10 N · m /kg ; masa de la Luna, 22

LM = 7,4 · 10 kg y radio lunar, 6R = 1,7 · l0 m

h r = R + h g

0 R 10 2m/s R

4R

9R

Ejercicio 25

25. La expresión 2g = GM/r indica que la aceleración de la gravedad terrestre en un punto dado es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de tal punto al centro de la Tierra, Complete con la anterior información la tabla de este ejercicio, determinando los valores de g para cada una de las alturas h que se indican (R representa el radio de la Tierra).

26. Como vimos en el tema correspondiente a la Cinemática, los experimentos de Galileo

demostraron que todos los cuerpos en caída libre, caen con la misma aceleración. Explique por

qué la expresión 2g = GM/r concuerda con esta observación de Galileo. 27. Vimos que el valor de g en la superficie de la Tierra, varía con la latitud y con la altitud. Al

observar la Tabla 3 y saber que el valor de g en lo alto del Monte Everest (punto mis alto de la

superficie terrestre) vale casi 9,78 2m/s , responda:

a) ¿Encuentra usted que las variaciones de g en la superficie terrestre son grandes o pequeñas?

b) Entonces, ¿es aceptable considerar g = 9,8 2m/s en cualquier lugar de la superficie terrestre?

28.

a) La masa de Júpiter es casi 300 veces mayor que la de la Tierra. Si el radio de aquel planeta fuera igual al radio terrestre, ¿cuántas veces mayor que en la Tierra sería la aceleración gravitatoria en Júpiter?

b) El radio de Júpiter es casi diez veces mayor que el de la Tierra. Si la masa de dicho planeta

exterior (o sea, de los que están fuera de la órbita terrestre) fuera igual a la de la Tierra, ¿cuántas veces menor que en ésta sería la aceleración de la gravedad en Júpiter?

c) Aplicando sus respuestas de (a) y (b), diga cuántas veces mayor que en la Tierra es la

aceleración de la gravedad en Júpiter.

d) Luego entonces, ¿cuál es el valor aproximado de g en tal planeta?