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LOS ACEPTORES DE LENGUAJES:

Comprobación de pertenencia: La comprobación de pertenencia responde al problema de verificar si una palabra wdada está incluida en el lenguaje que genera una gramática G. Este problema es de

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en el lenguaje que genera una gramática G. Este problema es de fundamental importancia al encarar el diseño de la etapa de análisis de cualquier programa traductor de lenguajes.

Se puede afirmar que este problema siempre tiene solución para los lenguajes de tipo 1 o LDC, y por jerarquía de Chomsky para los lenguajes de tipo 2 o LIC y los lenguajes de tipo 3 o LR.Sin embargo, para los lenguajes de tipo 0 o LI no existe un algoritmo general que permita comprobar la pertenencia de una palabra w a un lenguaje generado por una gramática irrestricta.

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LOS ACEPTORES DE LENGUAJES:

La dificultad que se presenta en las GI es la permisividad de reglas compresoras. El problema se plantea cuando se desea obtener todas las palabras de longitud menor o igual a N. En este caso las

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todas las palabras de longitud menor o igual a N. En este caso las secuencias intermedias que se van obteniendo en el proceso de derivación pueden disminuir de longitud, entonces no se sabrá con seguridad cuando terminar este proceso y de esta forma entrar en un posible lazo infinito.

Este inconveniente se relaciona con el llamado “PROBLEMA DE LA PARADA DE LA MT” (The Halting Problem), que con stituye el primer problema sin solución algorítmica demostrable.

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PROBLEMA DE LA PARADA DE LA MT:

La MT fue ideada en la década de 1930 por el matemático inglés Alan Mathison Turing , con el objetivo de responder al problema central de la Teoría de la Computación. Este problema consiste en encontrar formas de representación de procesos, de manera tal que siempre sea posible

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de representación de procesos, de manera tal que siempre sea posible decir si el proceso se puede representar algorítmica-mente o no. En otras palabras, la tesis de Turing pretendía demostrar que no todo problema bien definido tiene una solución algorítmica.

Para ello supuso que su modelo era una forma de representación de la solución algorítmica de un problema. Codificó esta máquina y la colocó como entrada de otra MT, a la cual se conoce como Máquina Universal de Turing (MUT), que debía ser capaz de determinar si la MT codificada se detendría o no ante cualquier secuencia de entrada.

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PROBLEMA DE LA PARADA DE LA MT:

La MUT se considera como un modelo de modelos, ya que nos permitiría analizar el comportamiento de otra MT.

La prueba realizada por Turing , que se conoce como “el problema de parada o detención de la MT” (The Halting Problem), consistió en suponer una MT1 que

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detención de la MT” (The Halting Problem), consistió en suponer una MT1 que recibe como secuencia de entrada la codificación de otra máquina MT0 y determinar si ésta se va a detener o no para cualquier entrada válida de la misma. De tal modo que también será capaz de hacerlo para la codificación de si misma, es decir que podrá determinar si MT1 se detendrá para cualquier secuencia de entrada. Luego supuso una MT2 que se detiene si MT0 no lo hace y viceversa. Esto se puede lograr haciendo que MT2 entre en un ciclo infinito cuando MT0 se detiene.

Bajo estas suposiciones ¿qué sucede si MT2 trabaja sobre la codificación de si misma?. Pues sucederá que MT2 se detendrá si MT2 no se detiene y no se detendrá si MT2 se detiene. O sea una contradicción total.

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PROBLEMA DE LA PARADA DE LA MT:

Este simple razonamiento demuestra por el absurdo, que tal máquina no puede existir. Lo que a su vez equivale a decir que “el problema de la parada de la máquina de Turing” no puede ser resuelto algorítmicamente.

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parada de la máquina de Turing” no puede ser resuelto algorítmicamente.

Utilizando el problema de la parada de la MT como referencia, se ha probado que otros problemas son también insolubles. Entre los más conocidos, tenemos los siguientes:

� El problema de la equivalencia de las gramáticas libres de contexto.

� La ambigüedad de las GLC.

� La comprobación de pertenencia para gramáticas sin restricciones.

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LOS ACEPTORES DE LENGUAJES:

Para demostrar que siempre es posible resolver el problema de comprobación de pertenencia para GDC, GIC y GR, vamos a definir el siguiente algoritmo constructivo:

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definir el siguiente algoritmo constructivo:

Dada una G = ⟨⟨⟨⟨ΣΣΣΣN, ΣΣΣΣT, P, S⟩⟩⟩⟩ y una palabra wde longitud N:

1)T0 = { S }

2)Tk = Tk-1 ∪∪∪∪ { ββββ / |ββββ| ≤≤≤≤ N ∧∧∧∧ ∃ ∃ ∃ ∃ α∈α∈α∈α∈Tk-1 ∧∧∧∧ αααα ⇒⇒⇒⇒ ββββ }

3)Repetir 2) hasta que: (Tk==Tk-1) o (w∈∈∈∈Tk)

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LOS ACEPTORES DE LENGUAJES:

Veamos a continuación un ejemplo de aplicación de este algoritmo con la GDC vista anteriormente y la palabra “abbc”:

G = ⟨⟨⟨⟨ ΣΣΣΣ , ΣΣΣΣ , P, S ⟩⟩⟩⟩

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G = ⟨⟨⟨⟨ ΣΣΣΣN , ΣΣΣΣT , P, S ⟩⟩⟩⟩ΣΣΣΣN = { S, T, B, D } ΣΣΣΣT = { a, b, c }P: 1) S → → → → T , 2) DB →→→→ BD , 3) D →→→→ c , 4) T →→→→ aTBD , 5) T →→→→ abD , 6) bB →→→→ bb

T0 = { S }T1 = { S, T }T2 = { S, T, aTBD, abD }T3 = { S, T, aTBD, abD, aTBc, abc }T4 = T3

Como vemos el algoritmo se detiene con un resultado negativo en cuanto a la comprobación de pertenencia de “abbc”

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Conociendo a Alan Mathison Turing:

Alan Mathison Turing nació en 1912, y muy pronto mostró una extraordinaria intuición científica. Mientras su padre se hallaba en Madrás, trabajando para el Indian Civil Service, Turing ganó numerosos premios escolares, y luego

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Service, Turing ganó numerosos premios escolares, y luego una beca que le llevaría al King's College de Cambridge. Fue aquí cuando empezó a interesarse seriamente por los problemas de lógica matemática.

En 1931, el matemático checo Kurt Godel descubrió que había teoremas matemáticos que eran verdaderos aún cuando no se pudiesen probar.Ante esto, Alan Turing se puso a investigar aquellos que sí podían ser probados. Quería intentar demostrar la vieja idea de que las matemáticas no son un arte misterioso, sino una ciencia exacta regida por reglas lógicas. Para hacerlo, ideó una máquina imaginaria capaz de realizar de manera totalmente mecánica los procesos que normalmente llevaría a cabo un matemático.

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Conociendo a Alan Mathison Turing:

Había una máquina para cada proceso; así, había una máquina que sumaba, otra que multiplicaba, etc. Estas máquinas acabarían por recibir el nombre de "Máquinas de Turing". Básicamente, lo que quería era hacer una lista de los problemas que una máquina sería capaz de resolver siguiendo reglas lógicas. Si

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problemas que una máquina sería capaz de resolver siguiendo reglas lógicas. Si esta lista abarcaba todos los problemas matemáticos, entonces su tesis quedaría demostrada, y con ella la teoría de la computabilidad. Tras estudiar con detenimiento el funcionamiento de sus máquinas, concluyó que era posible diseñar un artilugio único capaz de cumplir las funciones de cualquier otra máquina de Turing. A ésta se le llamó la "Máquina Universal de Turing".Al estallar la Segunda Guerra Mundial, Turing fue reclutado por la Escuela de Códigos y Cifrados del gobierno británico. Las actividades que realizaba consistían de manera primordial en descifrar el código militar alemán ENIGMA. Para ello desarrolló el invento más secreto de dicha guerra: el COLOSSUS, primer ordenador electromecánico del mundo.

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Conociendo a Alan Mathison Turing:

Más adelante, sería destinado a USA con el fin de crear unos códigos seguros para las comunicaciones transatlánticas entre los países aliados.Acabada la guerra, Turing colaboró en la construcción del ENIAC. Posteriormente recibió el encargo de empezar a trabajar en la construcción de un

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Posteriormente recibió el encargo de empezar a trabajar en la construcción de un ordenador totalmente británico, destinado al National Physical Laboratory, y que recibiría el nombre de ACE (Automatic Computing Engine). Esta máquina tardó mucho tiempo en ser construida, pero era superior a ENIAC en muchas características. Frustrado por el lento avance, dimitió y se fue a vivir a Manchester, colaborando en el proyecto del MARK I, el ordenador de la universidad. Al mismo tiempo, era asesor de la compañía Ferranti, colaborando en la construcción de los primeros ordenadores fabricados en Gran Bretaña. En 1952, Turing fue juzgado por “indecencia grave” debido al reconocimiento público de su homosexualidad. Sometido a un tratamiento hormonal que al cabo de un año lo dejó impotente y obeso, en 1954 terminó con su vida al morder una manzana envenenada. Oficialmente se consideró como un suicidio.

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MÁQUINA DE TURING (MT):

La Máquina de Turing es un modelo matemático abstracto que representa la solución de cualquier problema algoritmico y en particular resuelve el problema de aceptación de lenguajes de tipo 0 o irrestrictos. Fue propuesto por el científico inglés ALAN MATHISON TURING.

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Fue propuesto por el científico inglés ALAN MATHISON TURING.Para su mejor comprensión lo representaremos con el siguiente esquema:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ e1 e2••• ••• en-1 en ∆∆∆∆•••• ••••

Cinta Infinita

Control

Cabezal de Lec./Esc.0 1

2X

3.. .E

stad

os

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MÁQUINA DE TURING (MT):

El modelo dispone de una cinta infinitadividida en casilleros que pueden contener un símbolo cada uno. Un cabezal de lectura y escritura sobre la cinta. Un control que puede

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lectura y escritura sobre la cinta. Un control que puede responder de distintas formas según el estadoen el que se encuentre.

Al comienzo la cinta esta llena de espacios en blanco (∆∆∆∆) y se escribe la palabra que se desea analizar (ei), el cabezal está en la posición del primer símbolo de dicha palabra; en cuyo caso se dice que el control se encuentra en el estado inicial.

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MÁQUINA DE TURING (MT):

A partir de ese estado inicial el modelo comienza a funcionar realizando las siguientes acciones:

1) LEE un símbolo

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1) LEE un símbolo2) De acuerdo al ESTADO ACTUALy al símbolo leído:

a) ESCRIBE otro símbolo (que puede ser el mismo)b) MUEVE el cabezal un lugar hacia la derecha o izquierda

(eventualmente no se mueve) c) Transiciona a un NUEVO ESTADO(que puede ser el mismo)

3) Repite 1) y 2) hasta que se llega a alguno de los llamados ESTADOS FINALES , en cuyo caso se dice que la palabra escrita inicialmente es ACEPTADA . O hasta que se llega a un estado en el que no está definida una transición para el símbolo leído, en cuyo caso se dice que se produce un BLOQUEO de la MT y la secuencia de entrada es RECHAZADA.

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MÁQUINA DE TURING (MT):

Definición formal de una MÁQUINA DE TURING:

MT = ⟨⟨⟨⟨ Q , ΣE , ΣA , q0 , F , f ⟩⟩⟩⟩

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MT = ⟨⟨⟨⟨ Q , ΣE , ΣA , q0 , F , f ⟩⟩⟩⟩

Q : Conjunto finito y no vacío de estados.

ΣE: Alfabeto de símbolos de entrada.

ΣA: Alfabeto de símbolos auxiliares (incluye a “∆∆∆∆”).

q0 : Estado inicial (perteneciente a Q)

F : Conjunto de estados finales (incluido en Q)

f : Función de control o transición.

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MÁQUINA DE TURING (MT):

La función de transición se define como:

f : (Q-F) x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) ⇒⇒⇒⇒ Q x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) x {I,N,D}

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f : (Q-F) x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) ⇒⇒⇒⇒ Q x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) x {I,N,D}donde los símbolos I, N y D representan los movimientos del cabezal de lectoescritura sobre la cinta, hacia la izquierda, nulo y hacia la derecha respectivamente.

El dominio no incluye a F, es decir que los estados finales son de parada. Todos los símbolos se pueden leer y escribir, pero inicialmente solo hay espacios en blanco y una secuencia de símbolos de entrada.

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MÁQUINA DE TURING (MT):

De acuerdo a la hipótesis de Turing, el lenguaje universal

ΣΣΣΣE* , queda dividido en tres subconjuntos:

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E

� Todas las palabras aceptadas por la MT.

� Todas las palabras rechazadas por la MT.

�Aquellas palabras que hacen que la MT no se detenga, o sea que no se aceptan ni se rechazan.

ΣΣΣΣE*

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MÁQUINA DE TURING (MT):

Representación formal de la función de transición:

Tabla de Transición

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Tabla de Transición

Grafo de Transición

msq’eqMov.Sím.Sal.Est.Nue.Sím.Ent.Est.Act.

Fq0 q’q(e,s,m)

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MÁQUINA DE TURING (MT):

En ambos casos se representa cada pareja estímulo/ /reacción, compuesta por el par (estado actual, símbolo de entrada) y la terna (estado nuevo, símbolo de salida, movimiento) respectivamente.

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Un aspecto importante a tener en cuenta en cada modelo aceptor de lenguaje, es la característica deterministao no-deterministade las funciones de control. Que se refiere a la posibilidad de que dicha relación tenga o no varias alternativas de transición para un mismo estímulo. Es decir que se dice determinista cuando se trata estrictamente de una función desde el punto de vista matemático.

En el caso de la MT se puede afirmar que se trata de un modelo DETERMINISTA por naturaleza. Es decir que para toda MT no-determinista existe una MT determinista equivalente.

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EJEMPLO DE MT:

MT= ⟨⟨⟨⟨ Q , ΣE , ΣA , q0 , F , f ⟩⟩⟩⟩

Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

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Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

ΣΣΣΣE = { a, b } ΣΣΣΣA = { ∆∆∆∆ }

q0 = 1 F = { 8 }

Esta MT acepta el lenguaje Palíndromo sobre el alfabeto de símbolos {a, b}.

La función de control f es determinista y se representa con su tabla y grafo de transición.

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EJEMPLO DE MT:

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EJEMPLO DE MT:G

RA

FO

DE

TR

AN

SIC

IÓN

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GR

AF

O D

E T

RA

NS

ICIÓ

N

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CONFIGURACIÓN DE UNA MT:

Una descripción instantánea de una MT requiere las siguientes especificaciones:

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� Estado actual de la MT.� Contenido de la cinta.� Posición del cabezal.

Esta terna se conoce como CONFIGURACIÓN de la MT y vamos a representar con la secuencia de símbolos que hay en la cinta antes de la posición del cabezal (i), seguida del estado actual (qk ), seguida de la secuencia que hay desde la posición del cabezal y delimitada por espacios en blanco: ∆∆∆∆c1...ci-1qkci...cn∆∆∆∆

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SECUENCIA DE CONFIGURACIÓN DE UNA MT:

Con el objetivo de representar la respuesta de una MT ante una secuencia de entrada, vamos a definir el operador ├─ de transformación directa de una configuración en otra:

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de transformación directa de una configuración en otra: C1 ├─ C2 , que implica el pasaje de la configuración C1 a la configuración C2 mediante la aplicación de la función de transición una sola vez; y en caso de que se realicen varios pasos se indica con la nomenclatura: C1 ├─* C2

Una sucesión de varias configuraciones consecutivas se llama SECUENCIA DE CONFIGURACIÓN de la MT.

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LENGUAJE ACEPTADO POR UNA MT:

Se define el lenguaje aceptado por una MT como el conjunto de palabras que partiendo de una configuración inicial, llegan a una configuración que contiene un estado

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inicial, llegan a una configuración que contiene un estado final de la MT. Formalmente se representa como:

L(MT) = {w / w∈Σ∈Σ∈Σ∈ΣE* ∧∧∧∧ ∆∆∆∆q0w∆∆∆∆├─ * ∆β∆β∆β∆β1qFββββ2∆∆∆∆ ∧∧∧∧ qF ∈∈∈∈ F }

Por otro lado, todas las palabras que partiendo de una configuración inicial llegan a una configuración donde se produce un bloqueo; se dice que son rechazadas por la MT.

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EJEMPLO DE SECUENCIA DE CONFIGURACION:

Consideremos el ejemplo de MT anterior y las palabras:w1 = aba , w2 = bb , w3 = λ λ λ λ , w4 = ab

Las secuencias de configuración correspondientes serían:

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Las secuencias de configuración correspondientes serían:

1) ∆∆∆∆1aba∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆2ba∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆b2a∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆ba2∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆b3a∆∆∆∆├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆4b∆∆∆∆∆∆∆∆├─ ∆∆∆∆4∆∆∆∆b∆∆∆∆∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆1b∆∆∆∆∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆5∆∆∆∆∆∆∆∆├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆6∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆8∆∆∆∆∆∆∆∆ final/acepta

2) ∆∆∆∆1bb∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆5b∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆b5∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆6b∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆7∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆1∆∆∆∆∆∆∆∆├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆8∆∆∆∆ final/acepta

3) ∆∆∆∆1∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆8 final/acepta

4) ∆∆∆∆1ab∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆2b∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆b2∆∆∆∆ ├─ ∆∆∆∆∆∆∆∆3b∆∆∆∆ bloqueo/rechazo

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ a b a ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

1

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ b a ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

2

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ b a ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

2

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ b a ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

2

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ b a ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

3

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ b ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

4

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ b ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

4

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ b ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

1

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

5

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

6

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EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE LA MT:

∆∆∆∆ ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆•••• ••••

8

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MT COMO TRANSFORMADOR DE SECUENCIAS:

Se puede ver a la MT como un modelo general de procesamiento de datos, capaz de realizar cualquier transformación sobre una secuencia inicial y obtener una

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transformación sobre una secuencia inicial y obtener una secuencia final que cumpla ciertas condiciones.

La secuencia inicial se puede interpretar como los datos de entrada y la secuencia final como los datos de salida o resultado de un problema algorítmico.

Vamos a ver a continuación algunos ejemplos sencillos de cálculos matemáticos utilizando como modelo a la MT.

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EJEMPLOS DE MT CALCULADORA:

1) El sistema de numeración unario utiliza secuencias de símbolos “1” para representar los números enteros positivos y la palabra vacía “λλλλ” para el número cero.

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positivos y la palabra vacía “λλλλ” para el número cero.

Número Decimal Número Unario

0 λλλλ1 1

2 11

3 111

4 1111

5 11111

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EJEMPLOS DE MT CALCULADORA:

1.1) MT que incrementa un número unario:

Q = { 1, 2, 3 } , ΣΣΣΣA = { ∆∆∆∆ } , ΣΣΣΣE = { 1 } , q0= 1 , F= { 3 }

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Q = { 1, 2, 3 } , ΣΣΣΣA = { ∆∆∆∆ } , ΣΣΣΣE = { 1 } , q0= 1 , F= { 3 }

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EJEMPLOS DE MT CALCULADORA:

1.2) MT que suma dos números unarios separados por ∆∆∆∆:

Q = { 1, 2, 3, 4, 5 } , ΣΣΣΣA = { ∆∆∆∆ } , ΣΣΣΣE = { 1 } , q0= 1 , F= { 5 }

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EJEMPLOS DE MT CALCULADORA:

2) MT que incrementa en uno un número binario natural:

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , ΣΣΣΣA= {∆∆∆∆} , ΣΣΣΣE= {0, 1} , q0= 1 , F= {7}

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Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , ΣΣΣΣA= {∆∆∆∆} , ΣΣΣΣE= {0, 1} , q0= 1 , F= {7}

Para comprender la lógica que utiliza este modelo se puede asociar con los estados los siguientes nemotécnicos:

1:Inicio 2:Suma 3:Con acarreo 4:Sin acarreo

5:Desborde 6:Retorno 7:Final

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EJEMPLOS DE MT CALCULADORA:

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AUTÓMATA LINEALMENTE LIMITADO (ALL):

El Autómata Linealmente Limitado es una MT que tiene restringida la longitud de su cinta, la cual se limita a la longitud de la secuencia de entrada inicial. Este modelo matemático abstracto representa la solución del problema de aceptación de lenguajes de tipo 1 o LDC.

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del problema de aceptación de lenguajes de tipo 1 o LDC. Para su mejor comprensión lo representaremos con el siguiente esquema:

⟨⟨⟨⟨ e1 e2••• ••• en-1 en ⟩⟩⟩⟩

Cinta Finita

Control

Cabezal de Lec./Esc.0 1

2X

3.. .E

stad

os

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AUTÓMATA LINEALMENTE LIMITADO (ALL):

El modelo es idéntico a la MT, salvo que dispone de una cinta finita . Al comienzo se escribe en la cinta la palabra que se desea analizar (ei), el cabezal de lecto-escritura se encuentra

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desea analizar (ei), el cabezal de lecto-escritura se encuentra sobre la posición del primer símbolo de dicha palabra; en estas circunstancias se dice que el control se encuentra en el estado inicial. Automáticamente se coloca en los extremos de esta secuencia los símbolos especiales “⟨⟨⟨⟨” y “ ⟩⟩⟩⟩” a la izquierda y derecha respectivamente, los mismos actúan como límites para el desplazamiento del cabezal; de tal modo que no se puede desplazar más a la izquierda de “⟨⟨⟨⟨” ni más a la derecha de “⟩⟩⟩⟩”.

GRAMÁTICAS Y MODELOS MATEMÁTICOS

U.T.N. – F.R.T. S. y S. de los L.

AUTÓMATA LINEALMENTE LIMITADO (ALL):

Definición formal de un Autómata Linealmente Limitado:

ALL = ⟨⟨⟨⟨ Q , ΣE , ΣA , q0 , F , f ⟩⟩⟩⟩

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ALL = ⟨⟨⟨⟨ Q , ΣE , ΣA , q0 , F , f ⟩⟩⟩⟩

Q : Conjunto finito y no vacío de estados.

ΣE: Alfabeto de símbolos de entrada.

ΣA: Alfabeto de símbolos auxiliares (incluye a “⟨⟨⟨⟨” y a “ ⟩⟩⟩⟩”).

q0 : Estado inicial (perteneciente a Q)

F : Conjunto de estados finales (incluido en Q)

f : Función de control o transición.

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AUTÓMATA LINEALMENTE LIMITADO (ALL):

La función de transición se define como:

f : (Q-F) x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) ⇒⇒⇒⇒ Q x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) x {I,N,D}

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f : (Q-F) x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) ⇒⇒⇒⇒ Q x (ΣΣΣΣE∪Σ∪Σ∪Σ∪ΣA) x {I,N,D}

El dominio no incluye a F, es decir que los estados finales son de parada. Todos los símbolos se pueden leer y escribir, pero inicialmente solo está la secuencia de símbolos de entrada delimitada por los símbolos “⟨⟨⟨⟨” y “ ⟩⟩⟩⟩”.

f(q , ⟨⟨⟨⟨ ) = (q’ , ⟨⟨⟨⟨ , D)

f(q , ⟩⟩⟩⟩ ) = (q’ , ⟩⟩⟩⟩ , I)

∀∀∀∀ q ∈∈∈∈ (Q-F)

∧∧∧∧ q’∈∈∈∈ Q

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En el caso de los ALL y en correspondencia con el algoritmo constructivo de comprobación de pertenencia para LDC, el

lenguaje universal ΣΣΣΣ * , queda dividido en dos subconjuntos:

AUTÓMATA LINEALMENTE LIMITADO (ALL):

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lenguaje universal ΣΣΣΣE* , queda dividido en dos subconjuntos:

Es decir que para todo LDC existe un ALL que es capaz de aceptarlo y a la vez rechazar a su complemento.

ΣΣΣΣE*

�Todas las palabras aceptadas por el ALL.

�Todas las palabras rechazadas por el ALL.

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Representación formal de la función de transición:

Tabla de Transición

AUTÓMATA LINEALMENTE LIMITADO (ALL):

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Tabla de Transición

Grafo de Transición

msq’eqMov.Sím.Sal.Est.Nue.Sím.Ent.Est.Act.

Fq0 q’q(e,s,m)

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En ambos casos se representa cada pareja estímulo/ /reacción, compuesta por el par (estado actual, símbolo de entrada) y la terna (estado nuevo, símbolo de salida, movimiento) respectivamente.

AUTÓMATA LINEALMENTE LIMITADO (ALL):

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(estado nuevo, símbolo de salida, movimiento) respectivamente.

Al igual que todos los modelos, la relación de transición puede ser determinista o no-determinista.

Algunos autores afirman que el ALL es DETERMINISTA por naturaleza, es decir que para todo ALL no-determinista existe un ALL determinista equivalente. Otros lo ponen en duda, lo cierto es que hasta el momento no se pudo demostrar lo contrario.

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ALL = ⟨⟨⟨⟨ Q , ΣE , ΣA , q0 , F , f ⟩⟩⟩⟩

Q = { I, A, B, C, D, F }

EJEMPLO DE ALL:

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Q = { I, A, B, C, D, F }

ΣΣΣΣE = { a, b } ΣΣΣΣA = { ⟨⟨⟨⟨ , ⟩⟩⟩⟩ , X }

q0 = I F = { F }

Este ALL acepta el lenguaje IGUAL sobre el alfabeto {a, b}, que contiene todas las palabras con igual cantidad de un símbolo que del otro.

La función de control f es determinista y se representa con su tabla y grafo de transición.

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EJEMPLO DE ALL:

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EJEMPLO DE ALL:G

RA

FO

DE

TR

AN

SIC

IÓN

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GR

AF

O D

E T

RA

NS

ICIÓ

N

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EJEMPLO DE ALL:

Los conceptos de CONFIGURACIÓN, SECUENCIA DE CONFIGURACIÓN y LENGUAJE ACEPTADO por un ALL, son los mismos que los de una MT.

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ALL, son los mismos que los de una MT.

En este ejemplo de ALL tenemos las siguientes secuencias de configuración para las palabras: w1 = ab , w2 = b

1) ⟨⟨⟨⟨Iab⟩⟩⟩⟩ ├─ A⟨⟨⟨⟨Xb⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨BXb⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨XBb⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨CXX ⟩⟩⟩⟩├─ C⟨⟨⟨⟨XX ⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨IXX ⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨XIX ⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨XXI ⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨XDX ⟩⟩⟩⟩├─ ⟨⟨⟨⟨DXX ⟩⟩⟩⟩ ├─ D⟨⟨⟨⟨XX ⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨FXX ⟩⟩⟩⟩ final/acepta

2) ⟨⟨⟨⟨Ib ⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨bI ⟩⟩⟩⟩ ├─ ⟨⟨⟨⟨Db⟩⟩⟩⟩ bloqueo/rechaza