GRAFOS CON ENERGÍA MÁXIMA

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE CIENCI AS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

POSTGRADO DE MATEMÁTICAS

GRAFOS CON ENERGÍA MÁXIMA

D ERWIS 0. RIVAS

TRABAJO DE GRADO

PARA ÜPTAR AL GRADO DE

MAGISTER 8CIENTIAE EN MATEMÁTICAS

MÉRIDA-VENEZUELA

2006

Agradecimiento

Mi más sincero agradecimiento para el Prof. Juan Pablo Rada, quien además de ser un reconocido investigador, ha demostrado tener una excelente capacidad para enseñar, ya que con su paciencia y dedicación el proceso enseñanza-aprendizaje se logró en el menor tiempo y con muy buenos resultados.

Al CDCHT ya que con su aporte hizo posible la investigación y elaboración del presente manuscrito. A Imael Peña, Franklin Camacho y Leonel Mendoza gracias por la colaboración en las consultas y sugerencias. Por último, a todas aquellas personas que siempre tuvieron hacia mi un aliento de esperanza.

Dedicatoria

A Lila mi amada esposa

,

lndice general

Introducción

l. Grafos

2. Espectro de un grafo 2 . 1 . Definición y propiedades básicas 2 .2 . Teorema de los coeficientes para grafos

3. Espectro de grafos especiales 3 . 1 . Grafos regulares . . . . . . . 3 .2 . Grafos bipartitos . . . . . . 3 .3 . Grafos con pocos autovalores .

41:. Grafos Fuertemente Regulares 4 . 1 . Definición y Propiedades 4 .2 . Espectro . . . . . . . . . . . . . . . 4 .3 . Clase de Grafos Fuertemente Regulares

4.3.1. Grafos Cuadrado Latinos . 4 .3 .2 . Cuadrados Generalizados .

5. Grafos con energía máxima 5 . 1 . Energía de un grafo . . . 5 .2 . Grafos con energía máxima .

Bibliografia

11

1

8 8

13

18 18 24 26

28 28 33 39 39 42

47 47 52

67

Introducción

Sea G un grafo con conjunto de vérticeti Ve = { v1, . . • , vn} y conjunto de aristas Ec. La matriz de adyacencia de G es la matriz A = ( aii) definida como sigue

y el polinomio característico y los autovalores de G son el polinomio característico y los autovalores de A, respectivamente. Si

son los autovalores de G, entonces la energía de G, denotada por E ( G) , se define como

n E ( G) = L 1 Ai 1 .

i=l

El concepto de la energía de un grafo tiene su origen en la química. Para aquellos grafos que, en la teoría orbital molecular de Hückel, representan el esqueleto de átomos de carbonos, la energía se relaciona con la energía 1r-electrón total. Para mayor detalles sobre esta teoría referimos al libro [10,11].

( 1 (

(-�- C --- H 11.

Figura 1: Grafo Molecular

II

. ---

III

En el año 1971 [2], B . McClelland publicó las primeras cotas inferiores y superiores de la energía de un grafo. Este trabajó significó un cambio importante en el rumbo de la teoría. Hasta entonces, el interés principal de los investigadores consistía en estudiar identidades de la energía, pero después del artículo de McClelland, comenzó el estudio de la aproximación y desigualdades de la energía de un grafo.

En el Teorema 5 .5 de este trabajo, presentamos la demostración de la célebre desigualdad de McClelland que establece que si G es un grafo con n vértices. m aristas y A es la matriz de adyacencia de G, entonces

J2m + n (n- 1) jdet (A)I� :::; E (G):::; -/2mn Desde el año 1971, aparecieron numerosos artículos [6, 13, 16-19, 21 ,22] sobre aproximaciones y orden de la energía, dependiendo de distintos invariantes del grafo. Pero sorprendentemente, fue en el año 1999 [8] cuando aparecieron por primera vez cotas de la energía que dependían exclusivamente del número de aristas del grafo. Además, los autores en ese trabajo caracterizan los grafos que alcanzan las cotas dadas. Específicamente, entre todos los grafos que tienen m aristas, la energía mínima la alcanzan los grafos completos bipartitos (más algunos vértices aislados) y la energía máxima los grafos que son suma directa de aristas aisladas (más algunos vértices aislados) . Este resultado aparece en el Teorema 5 .6 de este trabajo. Surgía naturalmente la pregunta ¿existen cotas inferiores y cotas superiores "óptimas·· de la energía dependientes sólo del número de vértices?. Una respuesta parcial a este problema apareció en un artículo de I. Gutman [12]: Sea G un grafo con n vértices (sin vértices aislados) . Entonces 2 Jn"=l :::; E ( G). La igualdad ocurre si, y sólo si. G es el grafo estrella de n vértices (ver Teorema 5. 7) .

Podemos ver en el resultado anterior de I . Gutman, que falta la cota superior de la energía de un grafo dependiente sólamente del número de vértices. El problema de encontrar tal cota se conoce como el problema de identificación de los grafos con energía máxima. Según Ivan Gutman [ 12]: "encontrar y caracterizar los grafos con energía máxima es uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la energía de grafos". En el año 2001, los matemáticos J. Koolen y V. Moulton [15] identificaron los grafos con energía máxima: si G es un grafo con n vértices entonces E ( G) :::; � (1 + y'n) . La igualdad se cumple si, y sólo si, G es un grafo fuertemente regular con ciertos parámetros. La demostración de este hecho la presentamos en el Teorema 5 . 12 .

Es evidente a lo largo del trabajo de Koolen y Moulton la importancia de los grafos fuertemente regulares, en el problema de identificación de los grafos con energía máxima. Por esta razón. dedicarnos un capítulo completo (Capítulo 4) al estudio de estos grafos. Después de definir y presentar algunos ejemplos (Sección 4.1), en el Teorema

IV

4. 14 describimos con precisión el espectro de un grafo fuertemente regular, luego estudiamos algunas propiedades espectrales de estos grafos. Particularmente importante en el estudio de los grafos con energía máxima son los cuadrados generalizados . Se trata de un tipo de estructura de incidencia cuyo grafo de puntos asociado es un grafo fuertemente regular con parámetros convenientes. Los grafos de puntos asociados a otro tipo de estructuras de incidencia, las geometrías semiparciales, se discuten en conexión con los grafos de energía máxima.

Con el fin de hacer una exposición autocontenida, desarrollamos en los primeros capítulos algunos temas importantes dentro de la teoría espectral de grafos. Por ejemplo, en el Teorema 2.13. damos una demostración del teorema de coeficientes para grafos, también conocido como el Teorema de Sachs. que relaciona los coeficientes del polinomio característico de un grafo con propiedades estructurales del grafo. Este resultado tiene innumerables aplicaciones en la teoría espectral de grafos. Basándonos en este teorema y otras propiedades espectrales, en el Capítulo 3 estudiamos el espectro de algunas clases especiales de grafos: grafos regulares, bipartitos y los que llamamos grafos con pocos autovalores. La fuente de información que usamos en la teoría espectral de grafos son los libros de Biggs [20] , Brouwer [1 J Cvetckovic, Doob y Sachs [5], y Godsil y Royle [3].

En conclusión, realizamos en este trabajo una revisión sobre un tema importante y de actualidad en la teoría de la energía de grafos: el problema de identificación de grafos con energía máxima.

Capítulo

[]

Grafos

Un grafo G consiste de un conjunto de vértices Va y un conjunto de aristas Ea, donde una arista es un par no ordenado de vértices distintos de G. Escribiremos xy en lugar de { x, y} para denotar una arista. Si xy es una arista de G, decimos que los vértices x y y son adyacentes. Un vértice el::i incidente con una arista si es uno de lol::i vérticel::i de la arista. El grado de un vértice x es el número de aristas de G incidentes a x. Usualmente lo denotamos por dx.

Proposición 1.1 Sea G un grafo con m aristas. Entonces

L dx = 2m xEVc

Demostración. Como cada arista tiene dos vértices incidentes. la suma de los grados es exactamente dos veces el número de aril::itas. 1

Es frecuente describir un grafo por medio de un diagrama en el que los vértices se representan por puntos, y las aristas por líneas que unen los puntos.

Ejemplo 1.2 Consideremos el grafo G definido por los conjuntos Va = {a , b, e, d} y Ea = { ab, ac, ad, be}. Una r·epr·esentación de G se muestr-a en la figur-a.

G b

a, __ _ e

• d

Dos grafos G y H son isomorfos si existe una biyección VH que satisface

xy E Ea{::? <p (x) <p (y) E EH

En este caso decimos que <p es un isomorfismo de G en H. Normalmente tratamos a grafos isomorfos como si fueran iguales.

1

Grafos 2

Un grafo H es un subgrafo del grafo G si

Si VH = Va entonces decimos que H es un subgrafo generador de G. Si F � Ea entonces G- F es el subgrafo de G obtenido a partir de G, eliminando todas las aristas de F. Es claro que H es un subgrafo generador de G si, y sólo si, H = G - F, para algún F �Ea. Un subgrafo H de G es un subgrafo inducido si dos vértices de VH son adyacentes en H si, y sólo si, son adyacentes en G. Si W � Va entonces denotamos por G- W al subgrafo de G obtenido a partir de G, eliminando todos los vértices de W junto con las aristas incidentes. Se deduce fácilmente que H es un subgrafo inducido de G si, y sólo si, H = G - W para algún W �Va.

Ejemplo 1.3 En la siguiente figura H es un subgrafo generador de G y F es un subgrafo inducido de G.

G H F

·--- -------------· • •

Un camino 1r que une los vértices u y v de un grafo G es una sucesión de vértices

tal que Ui-!Ui es una arista de G, para todo i = 1, . . . , k. En este caso, decimos que 1r

tiene longitud k (el número de aristas en la sucesión) . Cuando u = v decimos que 1r es un camino cerrado y si además los vértices ui ( i = O, . . . , k - 1 ) son distintos entonces decimos que 1r es un ciclo de G (de longitud k) . La distancia entre dos vértices u y v de G, denotada por d (u, v), es la longitud del camino más corto entre u y v. El diámetro de G es el máximo del conjunto { d (u, v) : u, v E Va}.

Ejemplo 1 .4 En la Figura 1 . 1 el camino v2v3v4v2 es un ciclo de longitud 3 en el grafo G, mientras que vov1v2v3 constituye un camino de longitud 3 . La distancia d(v1 , v4) = 2 .

Si existe un camino entre dos vértices cualesquiera de G entonces decimos que G es conexo. De lo contrario, G es disconexo. Un subgrafo de G maximal con respecto a la propiedad de ser conexo, se llama una componente conexa de G.

Un grafo conexo sin ciclos es un árbol. Un árbol con n vértices tiene n- 1 aristas.

Grafos 3

V o

G • v3

v2 ·- --o v,

Figura 1.1:

Proposición 1.5 Si G es un grafo conexo con n vértices y m aristas entonces m2:n - l .

Demostración. Este resultado es consecuencia directa del hecho de que si G es conexo y xy es una arista perteneciente a un ciclo de G, entonces el grafo G - xy es también conexo. 1

En lo que sigue recordamos algunas clases de grafos que serán de nuestro interés en este trabajo.

Ejemplo 1.6 El camino de n vértices, denotado por Pn, es el grafo con conjunto de vértices { v1, v2, ... , vn} y conjunto de aristas { vivi+1 : i = 1 , . . . , n - 1 } .

Figura 1.2: El grafo P5

-�.----. V 5

Ejemplo l. 7 El ciclo de n vértices, denotado por Cn , es el grafo con conjunto de vértices { v1 , v2, ... , vn} y conjunto de aristas { vivi+l : i = 1, . . . , n - 1} U { v1 vn} .

Figura 1.3: El Ciclo C5

Ejemplo 1.8 El grafo completo Kn es el grafo con n vértices que cumple con la siguiente propiedad: cualesquiera dos vértices distintos están unidos con una arista.

Grafos

Figura 1.4: Los grafos completos K4 y K 5

, . ( n ) n (n - 1) Observamos que el numero de anstas de Kn es 2 =

2 .

4

Los dos últimos ejemplos tienen una propiedad en común: todos los vértices tienen el mismo grado; en el ciclo Cn todos los vértices tienen grado 2, mientras que en el grafo completo Kn, todo::; los vértices tienen grado n - l.

Ejemplo 1.9 Un grafo G es regular si todos los vértices tienen el mismo grado. Si el grado de todos los vértices es k, entonces se dice que G es k-regular. Por ejemplo, Cn es 2-regular, Kn es (n - 1)-regular.

Proposición 1.10 Sea G un grafo de n vértices y m aristas. Si G es regular entonces todos los vértices tienen grado 2;:'.

Demostración. Supongamos que G es regular de grado k, entonces cada vértice de G tiene el mismo grado k, lo que significa que

n L di = nk . i=l

Por otro lado, de la Proposición 1.1 tenemos que n

L di = 2m. i=l

De ambas igualdades se deduce que G es regular de grado 2;:'. 1

Otra clase de grafos que será de gran importancia a lo largo del trabajo son los grafos bipartitos.

Ejemplo 1.11 Un grafo G es bipartito si existe una partición de Va

Va = Vi u V2 y Vi n V2 = 0 tal que cada arista de G tiene un vértice en Vi y el otro en V2 . La siguiente figum muestra un grafo bipartito.

Grafos 5

Figura 1 . 5: Un grafo bipartito

Existe un criterio muy útil para determinar cuando un grafo es bipartito.

Proposición 1.12 Un grafo G es bipartito si, y sólo si, G no contiene ciclos de orden impar.

Demostración. Supongamos que G es un grafo bipartito con bipartición V1, V2 y consideremos un ciclo de longitud l

Asumamos que v1 E Ví, v2 E V2, V3 E V1 y a:-:;í suce:-:;ivamente. Notemos que vi E Vr si y sólo si i es impar. Como v1 E V1 y v1v2 · · · V¡ es un ciclo entonces V¡ E V2 y por lo tanto l no puede ser impar.

Recíprocamente, supongamos G no contiene un ciclo de longitud impar. Sin perdida de generalidad, podemos asumir que G es conexo. Fijemos un vértice v E Ve y definamos los conjuntos

Ví = {u d( U, V) es impar} (es claro que V1 =/= 0) V2 =Ve- Vr.

Notemos que Ví U V2 = Va, Ví n V2 = 0 y además no existe una arista que una vértices de Ví con vértices de V2, de lo contrario existiría un ciclo en G de longitud impar, una contradicción. Por lo tanto, G es bipartito. 1

En particular, los árboles son grafos bipartitos porque no tienen ciclos de orden impar (no tienen ciclos) .

Una clase especial de grafos bipartitos son los grafos completos bipartitos.

Ejemplo 1. 13 Un grafo G es completo bipartito si existe una partición de Ve

Grafos 6

•

Figura 1.6: K2,3 Y Kl,5

tal que si u E vl y V E v2 entonces existe una arista uv de G. Si Vi tiene p vértices y V2 tiene q vértices entonces denotamos G = Kp,q· En la Figura 1.6 mostramos a K2,3 y Kl,5·

El grafo completo bipartito K1,n se llama el grafo estrella.

Proposición 1.14 Un grafo bipartito conexo con diámetro menor o igual que 2 es un grafo completo bipartito.

Demostración. Sea G un grafo bipartito con Vi U V2 = Ve y Vi n V2 = 0, x un vértice en Vi y y un vértice en V';. Demostraremos que xy E Ec. Como G es conexo existe un camino 1r (de longitud mínima)

Teniendo en cuenta que las aristas de G tienen un vértice en V1 y el otro en V2, se deduce que

y así sucesivamente. Por lo tanto, si u1 =1= y, al ser u2 =1= y, sería 1r un camino de longitud mayor o igual a 3, una contradicción. Esto implica que u1 = y 1

Ahora introducimos dos operaciones entre grafos bien conocidas . Sean G1 y G2 dos grafos . Definimos la suma directa de G1 y G2, denotada por G1 EB G2, al grafo que tiene conjunto de vértices

y conjunto de aristas

Grafos

Si k es un entero positivo entonces kC = C EB C EB · · · EB C. k veces

Es claro que si C1 , . . . , Cs son las componentes conexas de C entonces

7

La segunda operac10n es unaria: si C es un grafo entonces el complemento de C, denotado por ce, tiene como conjunto de vértices

Vcc = Ve

y dos vértices de ce son adyacentes si, y sólo si, u y v no son adyacentes en C .

•

• o- -- _.

-- -- - --·

Figura l. 7: G rafo y su com plemento

Capítulo

Espectro de un grafo

2.1. Definición y propiedades básicas

Definición 2. 1 La matriz de adyacencia de un grafo G con vértices { v1 , . . . , vn} y aristas E c, es una matriz A = ( aij) n x n cuyas entradas se definen de la siguiente manera:

a·. = { 1 si vivj E E c �3 O si vivj rf_ E c

Es claro que A es una matriz real y simétrica. Además, por definición. la traza de A es igual a cero (los elementos sobre la diagonal son todos cero) . Notamos que la matriz de adyacencia de un grafo depende de las etiquetas que se colocan a los vértices; si cambiamos las etiquetas de los vértices, la nueva matriz se obtiene a partir de la inicial a través de una permutación de filru; y columnas (en particular, las matrices son semejantes) . Por esta razón, estamos más interesados en las propiedades espectrales de A, que son invariantes bajo semejanza.

Ejemplo 2.2 Consideremos el grafo

cuyos vértices ha sido etiquetados de dos rnanems distintas, tal como se muestra en la siguiente figura.

• 3

1 o-

' 4

4 o-

Sus matrices de adyacencia son respectivamente

o 1 o

n A= o 1 y A'= 1 o

1 o

8

'2

•s

u 1 1

n o o o o o o

Espectro de un grafo 9

Claramente las matrices A y A' no son iguales. Sin embargo,

A'= p-1AP

u o 1

D donde P = o o es una matriz de permutación. 1 o o o

Definición 2.3 Definimos el polinomio característico de G, denotado por ci>c (x), al polinomio característico de A. Es decir,

ci>c (x) = Jx!- Al, donde I es la matriz identidad. El espectro de G es el espectro de A. Por el hecho de que la matriz A es real y simétrica se tiene que los autovalores son números reales. Si los distintos autovalores de A son

con multiplicidades

respectivamente, entonces el espectro de G usualmente se escribe como

Claramente m1 + · · · + mt = n. Ejemplo 2.4 Retomando el grafo G presentado en el ejemplo anterior,

la matriz de adyacencia de G es

G

1 ·- -- ..

Figura 2.1:

-. 3

• 4

Entonces el polinomio característico de G es

y su espectro es

A continuación presentamos algunas propiedades básicas de la matriz de adyacencia y el espectro de G.

Recordemos que la suma directa G1 EB G2 de los grafos G1 y G2 es el grafo que tiene

Proposición 2.5 Sean G1 y G2 grafos. Entonces

Demostración. Sean A1 y A2 las matrices de adyacencia de los grafos G1 y G2, respectivamente. Podemos ordenar los vértices de G1 EB G2 de tal manera que la matriz de adyacencia A de G1 EB G2 tome la forma

Entonces

Jx! _ Al = 1 xl - A1 O

O xl - A2 Jx! - A1JJxi - A2 l = c1 (x) c2 (x) .

1

En particular, el polinomio característico de un grafo es el producto de los polinomios característicos de sus componentes conexas.

Las potencias de la matriz de adyacencia tiene información sobre los caminos en un grafo.

Pro�osición 2.6 Sea G un grafo con matriz de adyacencia A. Sea k un entero positivo y a�7 la entrada ij de la matriz A k . Entonces a� ) es el número de caminos de longitud k entTe el vértice vi y el véTtice vi .

Demostración. La demostración la hacemos por inducción en k, siendo trivial el caso k = l. Supongamos que se cumple para k 2: l . Denotemos por aii el elemento ij de la matriz A. Entonces escribiendo Ak+l = AkA obtenemos

n (k+l) - '""' (k) -aij - 6 aip aPi -

p=l p:vpvi E Ea

(k ) aip .

Por hipótesis inductiva, para cada p tal que VpVj E Ea, a¡; ) es el número de caminos de longitud k entre los vértices vi y Vp· Entonces ¿ a�; ) cuenta exactamente los

p:VpVjEEa caminos de longitud k + 1 entre vi y Vj· 1

Proposición 2. 7 Si un grafo conexo G tiene exactamente m autovalores distintos entonces su diámetro es menor o igual a m - l.

Demostración. Supongamos por el absurdo que G tiene diámetro s 2: m. Sean i, j vértices de G tales que d (u, v ) = s. Entonces , por la proposición anterior , a�7 ) = O para todo k < s y a�; ) =f. O. Por otra parte, sean

los m autovalores distintos. Como la matriz de adyacencia A de G es diagonalizable, el polinomio minimal de A tiene la forma

En consecuencia,

y, por lo tanto,

11 (x) (x - -\1) (x - -\2 ) · · · (x- Am) xm + blxm-l + b2xm-2 + . . . + bm .

para todo t entero no negativo. En particular , para t = s - m 2: O obtenemos

Como a¡; ) = O para todo k < s se concluye de la relación anterior que aW = O, una contradicción. 1

Si A= (aij) es una matriz n x n, recordamos que la traza de A, denotada por tr (A), tie define como

n

tr (A) = L aii· i=l

Es decir, la traza de A es la suma de las entradas de la matriz que están sobre la diagonal. Es bien sabido que la traza es invariante bajo semejanza. Es decir, si A y B son matrices semejantes entonces tr (A)= tr (B) .

Proposición 2.8 Sea G un grafo con n vértices, m aristas y autovalores

Entonces n 1. ¿ .. \=O;

i=l n

2. I: >.¡=2m; i=l

n 3. L ).i).k = -m. i<k

Demostración.

l . Sea A la matriz de adyacencia de G. Como A es semejante a una matriz diagonal D = diag (Al, ... , An), entonces

n

O= tr(A) = tr(D) = L ).i· i=l

2. Supongamos que A = p-l D P, donde D = diag ( A1, . . . , AJ. Entonces para todo entero k � 1 tenemos que

Luego, n n

La;;)= tr (Ak) = tr (Dk) =LA�. i=l i=l

Por otra parte. se sigue de la Proposición 2.6 que a�7) es igual al número de caminos cerrados de longitud k del vértice i . En particular, cuando k = 2, a�i) = di , el grado del vértice i . Por lo tanto,

n

n n n

¿;..¡ = ¿a�i) = Ldi = 2m. i=l i=l i=l

3. Por la parte 1., ¿ Ai = O. En consecuencia, por la parte 2. i=l

2.2.

n

i=l n n

i=l i<k n

De aquí se deduce que ¿ AiAk = -m. i<k

n n

i=l i=l n

i<k

Teorema de los coeficientes para grafos

1

Siguiendo la exposición de Biggs, en esta sección presentamos el teorema de los coeficientes para un grafo [ 20]. Este resultado relaciona los coeficientes del polinomio caractertístico de un grafo G con la estructura de G.

Definición 2.9 Un grafo G se dice que es elemental si cada una de sus componentes es una arista (K2) o un ciclo (Cr)· Un subgrafo elemental generador de G es un subgrafo elemental de G que contiene todos los vértices de G. Si G tiene n vértices, m aristas y e componentes, el rango de G y el ca-rango de G son respectivamente, r ( G) = n - e y s ( G) = m - n + c. Supongamos que A es un grafo elemental con n vértices, m aristas y e componentes. Sea e¡ el número de ciclos de longitud l y e el número de componentes K2 de A. Entonces

n = 2e + L lcz , l

m e + ¿lc1, l

e e + l:c1• l


Luego s (A) = m- n + e = ¿ c1. Esto es , el ca-rango de un grafo elemental es igual al l

número de sus componentes que son ciclos.

Ejemplo 2. 10 Los subgrafos elementales generadores del grafo K4 son:

1. Las siguientes aristas independientes

cada uno de estos subgrafos tiene r = 2 y s = O .

2. Los siguientes 4-ciclos

·- -. . cada uno de estos subgrafos tiene r = 3 y s = 1

Teorema 2.11 (Harary) Sea G un grafo con matriz de adyacencia A. Entonces

det (A) = I) -1r(A) · 2s(AJ

A

donde la suma es tomada sobre el conjunto de los subgrafos elementales generadores A de G.

Demostración. Usaremm; la expamúón del determinante de A :

det (A) = L sgn ('rr) al,71"1 · · • an,1l"n 7rESn

Supongamos que 7r E Sn es tal que sgn (1r) a1,71"1 · · · an,1l"n -::/= O. Entonces 7r no deja fijo ningún elemento de { 1 , . . . , n} y, en consecuencia, 7r admite una descomposición (única) como producto de ciclos disjuntos, cada uno de longitud mayor o igual a 2. Cada ciclo ( i j ) de longitud 2 de 7r significa que aii = aii = 1 y, por lo tanto, {vi, Vj} es una arista de G. Cada ciclo (pqr · · · t) de longitud mayor que 2 significa que apq = aqr = · · · = atp = 1 y así, { Vp, vq, Vn . . . , vt} es un ciclo de G. De esta manera 1r determina un subgrafo elemental generador A71" de G. Definamos entonces la función

{ subgrafos elementales } \{!: {1r E Sn: sgn (7r) al,7rl'··an,1fn-::/= O} ---4 d d G genera ores e


por W (1r) = A1r· A continuación determinaremos sgn (1r) en térmi nos de A1r· Supongamos ahora que hay e1 ciclos de longitud l en 1r. Entonces

n = L le1 = L le1 + L le1 = L le1 + l par 1 impar l par

(2k¡ + 1) e¡ . l impar

15

Luego, si denotamos por Ne y N0 el número de ciclos pares e impares de 1r, respectivamente, obtenemos

N0 = L e¡ = n - L le¡ - L (2k¡ ) e¡ ¡ impar l par ¡ impar

lo que demuestra que n = N0 mod (2) . Pero entonces

y, así concluimos que

sgn (1r) = ( -It" = ( -lf(A") .

Sea A es un subgrafo elemental generador de G con componentes

Si definimos a 1r como el producto de los ciclos disjuntos · · · (ij ) · · · (pqr .. . t) · · · es claro que sgn (1r) a1,7r1 · · · an,1rn =1 O y W (1r) = A . También la permutación 1!"1 = · · · (ij ) ··· (t . . . rqp) · · · satisface sgn (1r') a1,1r'1 • · · an,1r'n =1 O y W (1r') = A . Es decir, por cada ciclo de A existen " exactamente" dos permutaciones en

{ 7r E Sn : sgn ( 7r) a1,1r1 · · · an,1rn =1 O}

cuya imagen bajo W es A . Pero el número de ciclos de A es s (A ) , por lo tanto, w-1 {A } tiene exactamente 2s(A) elementos. En consecuencia, {1r E Sn: sgn (1r) a1,7r1 · · · an,1rn =1 O} = U w-1 {A } (unión disjunta) ,

A donde A recorre todos los subgrafos elementales generadores de G. Puesto que sgn (1r) = (-lf(A) para todo 1r E w-1 {A } obtenemos finalmente que

det (A) = L sgn (1r) a1,1r1 • · • an,1rn = L ( -It(A) · 2s(A)

{7rESn:sgn(7r)al,rrl· .. an,rrn;éO} A 1

Ejemplo 2. 12 En el ejemplo anterior determinamos los distintos subgrafos elementales generadores del grafo completo K4. Ahora usaremos el teorema de Harary para determinar el determinante de la matriz A de adyacencia del grafo K4.

det(A) = 3 (-1 )22° + 3 (-1 )321 = -3 .


Si H es un sub grafo inducido de G con conjunto de vértices VH, entonces sabemos que H = G- W, donde W = Va /VH = { Vi1, ... , vi k}, es decir, H se obtiene eliminando los vértices vii y aristas incidentes. Entonces claramente, la matriz de adyacencia AH de H se obtiene a partir de Aa eliminando las filas y columnas Íj de Aa. Por lo tanto, AH es un principal menor de Aa de orden n-k= JVHI· Recíprocamente, si Bes un principal menor de Aa de orden n-k, obtenido eliminando las filas y columnas i1, . . . , ik de Aa, entonces B es la matriz de adyacencia del sub grafo inducido G - { Vi1, • • • , Vik} de G. En consecuencia, tenemos una correspondencia biyectiva entre los subgrafos inducidos de G con i vertices y los principales menores de A de orden i.

Teorema 2.13 (Sachs, 1964) Sea G un grafo y gi el conjunto de todos los subgrafos elementales de G con i vértices. Si

n;. ( ) n + n-1 n-2 "'-'G X = X C1X + C2X + · · · Cn-1X + Cn

entonces para cada i = 1, ... , n, ( -l)i

Ci = L ( -1r(AJ. 2s(Al. AEQ;

Demostración. Sea A la matriz de adyacencia de G. Es bien conocido de la teoría de matrices que para cada i = 1 , . . . , n,

k ( -1)i ci = L det (Ai)

j=l

donde A1, . . . Ak son todos los principales menores de A de orden i. Por el párrafo anterior, cada Ai es la matriz de adyacencia de un subgrado inducido Hi de G con i vértices, y además, estos son todos los subgrafos inducidos de G con i vértices . Por otra parte, gi = 1-l1 U 1-l2 U · · · U 1-lk (unión disjunta) . donde 1-li es el conjunto de todos los subgrafos elementales generadores de Hj. Luego, por el Teorema 2.11,

k k ( -1/ Ci = L det (Ai) = L L ( -1r(AJ. 2s(AJ = L ( -1r(AJ. 2s(AJ

j=l

1

Observación 2.14 En la práctica, quizás es más útil usar la fórmula

Ci = L ( -1)p(A)2s(A) (2.1) AEQ;

donde p(A) es el número de componentes que tiene A. En efecto,

( - 1 r(A)+i = ( -1 )P(A} para todo A E (k Esto ocurre porque

r(A) + i = [i - p(A) ] + i = 2i - p(A) = p(A) mod2. Observamos que en la fórmula 2.1, para calcular ci debemos hallar para cada A E gi

p(A) = el número de componentes de A y

s(A) = el número de componentes de A que son ciclos.

17

Ejemplo 2.15 Consideremos nuevamente el grafo completo K4 y usemos el Teorema de Sachs para calcular su polinomio característico. Para ello es necesario determinar todos los subgrados elementales de K4.

1. Evidentemente 91 = 0. Por lo tanto

2. Los subgrafos elementales de K4 con dos vértices son las 6 aristas independientes presentes en el grafo.

Para cada arista A tenemos que p(A) = 1 y s(A) = O . En consecuencia

c2 = 6( - 1) 12° = -6.

3. Los subgrafos elementales de K4 con tres vértices son los siguientes 3-ciclos. _, .

. -- -- ·

Para cada 3-ciclo A tenemos p(A) = 1 y s(A) = l. Así

C3 = 4( -1)121 = - 8.

4. Los subgrafos elementales de K4 con cuatro vértices son los subgrafos mostrados en el Ejemplo 2.1 O. Por lo tanto,

C4 = 3( - 1)22° + 3( -1) 1 21 = 3 - 6 = -3.

Por lo tanto, el polinomio característico de K4 es <PK4(x) = x4 - 6x2 - 8x - 3 = (x - 3)(x + 1) 3.

Capítulo

Espectro de grafos especiales

3.1. Grafos regulares

Comenzamos analizando el espectro de los grafos regulares. Recordamos que un grafo G es k-regular si todos sus vértices tienen grado k.

Proposición 3. 1 Sea G un grafo k-regular. Entonces

1 . k es un autovalor de G;

2. La multiplicidad de k es el número de componentes conexas de G;

3. Cualquier autovalor A E G satisface /.X/ :S: k.

Demostración.

l. Sea A= (aij) la matriz de adyacencia de G. Como G es k-regular, en cada fila o columna de A hay exactamente k unos, es decir,

n

para todo i = 1, . . . , n . Consideremos el vector u= (1, 1, ... , 1)

T. Entonces ( n n n )

T

Au= L al,j , ¿a2,i•···· L an,j = (k,k, ... ,k)T

=ku. j=l j=l j=l

Esto demuestra que k es un autovalor de G.

2 . Sea x = (x 1, x2 , ... , Xn)

T un vector no nulo tal que Ax = kx. Sea Xj una entrada

de x tal que

Entonces

kxi = (Ax)i = L xi i:v,vJEEa

18

Espectro de grafos especiales 19

y, por la desigualdad triangular,

En consecuencia,

L lxi 1 = k lxi 1 . i:v;vjEEc

La igualdad 2: lxil = k lxil implica que lxil = lxil para todo i = 1, ... , n,

i:v;VjEEc

ya que lxil � lxil para todo i = 1, ... , n. La igualdad i:v;vjEEc i:v,VjEEc

implica que todos los Xi tienen el mismo signo. Así, Xi = Xj para todo i = 1, . .. , n. Por lo tanto, demostramos que xi = Xj para todo i : vivi E Ec. Ahora si suponemos que G es conexo procedemos del mismo modo hasta demostrar que todas las entradas de x son iguales. Esto demuestra que x es un múltiplo escalar de u y, en consecuencia, el espacio de autovectores asociados al autovalor k tiene dimensión l. Esto es, k tiene multiplicidad l. En el caso que G sea disconexo, entonces G es suma directa de sus componentes conexas (regulares). Luego, k es autovalor de multiplicidad 1 en cada una de las componentes y, por la Proposición 2.5 , la multiplicidad de k es el número de componentes de G.

3 . Sea A un autovalor de G con autovector asociado x = (x1, x2 , . . . , Xn) T. Supongamos nuevamente que

lxil � lxil, para todo i = 1, ... , n.

Entonces

AXj = (Ax)i = L xi i:v;vjEEc

y así

L Xi �klxil· i:v;vjEEc

Como lxil f= O entonces IAI �k.


1 Veamos una clase especial de grafos regulares, cuyo espectro se puede calcular usando técnicas de la teoría de matrices.

Definición 3.2 (Matriz Circulante) Una matriz S de tamaño n x n es una matriz circulante si sus entradas satisfacen si,j = Sl,j-i+1, donde los subíndices se r-educen módulo n y, por lo tanto, pertenecen al conjunto { 1, . . . , n}.

Se desprende inmediatamente de esta definición que una matriz circulante queda completamente determinada por la primera fila.

Ejemplo 3.3 La matriz

M= ( i ! H ) 3 4 5 1

es una matriz circulante determinada por la fila ( 1 , 3, 4 , 5).

Definición 3.4 G es un grafo cir-culante si sus vértices se pueden ordenar de tal manera que la matriz de adyacencia es una matriz circulante.

Proposición 3.5 Sea (O, a2 , . . . , an) la pr-imera fila de la matriz de adyacencia A de un grafo circulante G. Entonces los autovalores de G son

donde w = e2�·.

n ' - '"' (j-1)r - O 1 1 Ar -� ajw , r - , , . . . , n -

j=2

Demostración. Sea W la matriz circulante con primera fila (0, 1 , . . . , 0) . Entonces es fácil ver que

n A= ¿ ajwj-1.

j=2

Como A es un polinomio en la matriz W y los autovalores de W son

1 2 n-1 , w, w , ... , w 2rri

donde w = en-, se deduce que los autovalores de A son n

\ - '"' (j-1)r - O 1 1 Ar - � ajw , r - , , . . . , n - . j=2

1

Espectro de gra fos especiales 21

Ejemplo 3.6 El grafo completo Kn es un grafo circulante. La primera fila de su matriz de adyacencia es (0, 1, 1, ... , 1). Se sigue de la proposición anterior que los autovalores de Kn son

n-1

n \ - '""' (j -1 )r - Ü 1 1 Ar - � w , r - , , . .. , n - .

j=2

Como ¿ wjr = O para todo r = 1, 2, ... , n - 1, se obtiene que j=O

( n - 1 -1 ) CY (Kn) =

1 n - 1 ·

En nuestro próximo resultado presentamos un criterio que nos permite decidir si un grafo es regular a partir de su espectro. Para esto necesitamos introducir el cociente de Rayleig h. En lo que sigue, (-, · ) denota el producto interno usual definido sobre en.

Definición 3. 7 Sea A una matriz n x n hermitiana, x =F O un vector columna n x l. El número

(x, Ax) (x, x)

se conoce como el cociente de Rayleigh.

Si x = (x1 , x2 , . .. , Xn) T y A = (aij) entonces es fácil ver que

(x, Ax) (x, x)

n n L L aijXiXj i=1 j=1

Lema 3.8 Sea A una matriz hermitiana n x n con autovalores

Entonces

, { (x, Ax) } .-\1 = max (x, x)

: x =F O .

Además, el máximo se alcanza en y si, y sólo si, y es un autovector asociado a ,\1.

Espectro de grafos especiales

Demostración. Como A es hermitiana, existe una matriz unitaria U tal qu e

A= UDU*

donde D = diag (A1 , ... , An) es una matriz diagonal. Entonces

(x, Ax) (x, U DU*x) = (U*x, DU*x) n n

L Ai J(U*x)il2 � A1 L J(U*x)iJ2 . i =l i=l

Como U es unitaria, n L J (U*x)il2 = IJU*xiJ2 = IJxiJ2 = (x, x).

i =l En consecuencia,

(x, Ax) � A1 (x, x)

y, por lo tanto, si x i= O entonces (7, A�) � A1 . Sea y un autovector asociado a A1

X, X

Entonces

Esto demuestra que

(y, Ay) = (y, )qy) = (y, A1 Y) = A1 (y, y) (y, y) (y, y)

.

\ , { (x, Ax) } /\1 = max (x, x)

: x i= O .

22

Para ver la segunda parte, supongamos que A1 = (�,A�), donde y i= O. Entonces por y, y

lo visto anteriormente, n n

(y, Ay) = L Ai J (U*y)il2 �Al L J (U*y)il2 =Al (y, y) i=l i=l

y, en consecuencia, n n

L Ai J(U*y)il2 =Al L J (U*y\J2 . i =l i=l

Espectro de grafos especia les 23

Esto implica que n

L (-Xr - Ai) I(U*y)il2 =O. i=l

Como (,\1- Ai) � O para todo i , concluimos que para cada i = 1 , . . . , n

-X1 = ,\i o (U*y)i = O.

Por lo tanto, para todo i = 1, . .. , n

Así,

DU*y = -XrU*y.

Multiplicando por U ambos lados obtenemos

U DU*y = ,\1 U U* y o equivalentemente,

Esto demuestra que y es un autovector asociado a ,\1. 1

Proposición 3.9 Sea G un grafo de n vér·tices y m aristas. Supongamos que ,\1 es el mayor autovalor de G. Entonces

2m -�,\1 n

Además, 2:;" = ,\1 si, y sólo si, G es regular.

Demostración. Sea u= ( 1 , 1, . . . , 1) T. Si di es el grado del vértice vi entonces n n n

(u, Au) L: L:aiJ ¿di 2m i=l j=l i=l (u, u) n n n L:1

i=l Se sigue del lema anterior que 2;; � ,\1. Si G es regular entonces, por la Proposición 3.1, ,\1 = 2m. Recíprocamente, si 2m = ,\1 n n 2m (u, Au) entonces -= ( ) = ,\1 y, por el lema anterior, u es un autovector asociado a n u, u ,\1. Es decir,

2m Au= -u. n

Esto implica que di = 2:;" para todo i, y así, G es regular de grado ,\1 = 2;;. 1

3.2. Grafos bipartitos

Recordemos que un grafo G es bipartito si existe un partición de Va

tal que toda arista de G tiene un vértice en Ví_ y el otro en V2. En el Capítulo 1 demostramos que un grafo es bipartito si, y sólo si, G no tiene ciclos de orden impar. A hora presentamos una nueva caracterización de los grafos bipartitos pero en términos de su espectro.

Decimos que el espectro de G es simétrico con respecto al origen si satisface la siguiente propiedad: si A es un autovalor de G con multiplicidad m>. entonces -A también es un autovalor de multiplicidad m>..

Proposición 3. 10 Un grafo G es bipartito si, y sólo si, G tiene espectro simétrico con respecto al origen.

Demostración. Por el Teorema de Sachs, el polinomio característico de G es

donde

(- 1 )ici = L (-1r(A) . 2s(A) AEQ;

para cada i = 1 , .. . , n , y gi el conjunto de todos los subgrafos elementales de G con i vértices. Si G es bipartito entonces G no tiene ciclos de orden impar. En consecuencia, todos los subgrafos elementales de G tienen un número par de vértices y así, todos los coeficientes con subíndice impar en a (x) son cero. Se deduce que

a (x) = xn + c2xn-2 + C4Xn-4 + · · · = x8p (x2) donde 6 = O o 1 , y p es un polinomio. Por lo tanto, el espectro de G es simétrico con respecto al origen.

Recíprocamente, si el espectro de G es simétrico con respecto al origen entonces el polinomio característico de G tiene la forma

donde 6 = O o 1 , y p es un polinomio. Es decir, los coeficientes con subíndice impar son cero. Esto implica que el grafo no tiene ciclos de longitud impar, de lo contrario, tornando g la menor longitud entre los ciclo impares de G, se tiene que los únicos

subgrafos elementales de G con g vértices son precisamente los ciclos de longitud g . En consecuencia,

(-1)9c9 = L (-1Y(A) · 2s(A) = -2h =1= o AE99

donde hes el número de ciclos de G de longitud g . Esto demuestra que G es un grafo bipartito. 1

Una clase particular de grafos bipartitos son los grafos completos bipartitos Kp,q·

Ejemplo 3.11 El espectro de Kp,q es

rJ(K ) = ( VfX¡ O -y'PC¡ ) p,q 1 p + q - 2 1 .

En efecto, podemos ordenar los vértices de Kp,q de tal manera que la matriz de adyacencia de Kp,q tome la forma

donde J es la matriz (p + q) x (p + q) con 1 en todas las entradas. Como la matriz A tiene exactamente dos filas linealmente independientes, el rango de A es 2. Luego, por el Teorema de la Dimensión,

p + q = dim (ker A) + 2

y, en consecuencia, la multiplicidad algebraica del O es p + q - 2. Se deduce de aquí que el polinomio característico de Kp,q se expresa como

Kp,q (x) = xp+q-2 (x2 + c2) .

Por el Teorema de Sachs, -c2 es igual a pq (el número de aristas de Kp,q}· Así, VfX¡ y -y'PC¡ son autovalores de multiplicidad l.

Ejemplo 3.12 Un caso particular de los grafos completos bipartitos es la estrella K1,nPor el ejemplo anterior tenemos que

o n -1 -Jrí) 1 .

Estos ejemplos ilustran el hecho de que el espectro de un grafo bipartito es simétrico con respecto al origen .


3.3. Grafos con pocos autovalores

Sea G un grafo que tiene todos sus vértices aislados. Entonces es claro que c!Jc (x) = xn

y, en consecuencia, O es el único autovalor de G (de multiplicidad n ) . El recíproco también es cierto.

Proposición 3. 13 G tiene sólo un autovalor si, y sólo si, G consiste de vértices aislados.

Demostración. Supongamos que G tiene un sólo autovalor A. Como la suma de los autovalores es O, entonces nA = O y así, A = O. Teniendo en cuenta que la matriz de adyacencia A es diagonalizable, se deduce que el polinomio minimal es

f-l (x) = x - A = x.

Por lo tanto, A = O. Esto implica que todos los vértices de G son aislados. 1

Consideremos a hora la situación en que el grafo G tiene exactamente dos autovalores diferentes.

Proposición 3.14 G tiene dos autovalores A1 > A2 con multiplicidades m1 y m2, respectivamente, si, y sólo si, G es suma directa de m1 grafos completos de orden A1 + l. En este caso, A2 = - 1 y m2 = m1A1 .

Demostración. Al ser A diagonalizable, tenemos que el polinomio minimal de G es

En consecuencia,

(3. 1 )

Se deduce de a quí que para todo k = 1 , .. . , n

Por la Proposición 3.9, G es un grafo regular de grado -A1A2 . Como el grado de un grafo regular es el mayor autovalor, entonces -A1A2 = A1 y así, A2 = -1 . Por el hecho de que la suma de los autovalores es cero,

y esto implica que m2 = m1A1 . De nuevo por (3 . 1 ), si dos vértices no son adyacentes entonces no existe un camino de longitud 2 que los une. Esto implica que todos los vértices de una componente conexa son adyacentes, es decir, son grafos completos.


Como G es regular de grado A1 , entonces es claro que cada componente de G es K_x1+l · Más aun,

Por lo tanto, G es suma directa de m1 copias de K_x1+l · 1

Cuando un grafo G tiene tres autovalores diferentes, la situación es má.s complicada.

Proposición 3. 15 Sea G un grafo bipartito con autovalores A1 > A2 > /\3 y multiplicidades m1 , m2 y m3, respectivamente. Entonces A3 = -A1, A2 = O, m3 = m1, y G es suma directa de m1 grafos completos bipartitos Kp;,q, donde piqi = Ai, i = 1, . . . , m1, y

m¡

m2 - 2: (Pi + qi - 2) vértices aislados. i=l

Demostración. Si G es bipartito entonces, por la Proposición 3.10, el espectro es simétrico. Por lo tanto, A1 = -A3, A2 = O y m1 = m3. Por la Proposición 2.7, el diá.metro de G es menor o igual que dos. Por la Proposición 1.14, cada componente conexa de G es un grafo bipartito completo o un vértice aislado. Sean Kpi,q1 las componentes conexas bipartitos completos, donde j = 1, . . . , k . Recordemos que el espectro de KP. q· es

] ' ]

-.¡p;q;) 1 .

En consecuencia, para cada j, A1 = Vf5j?ij o, e quivalentemente, p1q1 = Ai. Ademá.s, k es la multiplicidad de A1 , es decir, k= m1 . Por otra parte, la multiplicidad del O es

k m2 = h + L (Pj + qj - 2)

j=l

donde hes el número de vértices aislados de G. Así termina la demostración. 1

Capítulo

Grafos Fuertemente Regulares

4.1. Definición y Propiedades Definición 4.1 (Grafos fuertemente regulares) Sea G un grafo no completo. Diremos que G es fuertemente regular con parámetros (n, k, a, e) si tiene n vértices, es k-regular, todo par de vértices adyacentes tiene a vecinos comunes y todo par de vértices no adyacentes tiene e vecinos comunes.

Ejemplo 4.2 Un ejemplo sencillo de este tipo de grafos se tiene con C5, el cual es 2-regular, cualquier par de vértices adyacentes no tiene vecinos comunes (a = O) y cualquier par de vértices no adyacentes tiene exactamente un vecino común (e = 1) . Este grafo es fuertemente regular con parámetros (5, 2, O , 1) .

Figura 4.1: Ciclo Cs

Ejemplo 4.3 Otro ejemplo de este tipo de grafos es el Grafo de Petersen

't

Figura 4.2: Petersen

ya que se trata de un grafo fuertemente regular con parámetros ( 10, 3, O , 1 ) .

28

Grafos Fuertemente Regulares 29

Los parámetros (n, k, a , e) de un grafo C fuertemente regular no son independientes. Entre ellos, es posible establecer ciertas relaciones por medio de un simple cálculo. Veamos, to do vértice v E C tiene exactamente k vecinos y n - k - 1 no vecinos. De modo que podemos contar de dos maneras diferentes el número de aristas entre los vecinos y no vecinos de v . En cada uno de los k vecinos de v tenemos a vértices que son adyacentes a v y k - a - 1 vér tices no adyacentes a v, para un total de

k (k - a - 1 ) aristas.

Por otro lado, en cada uno de los n - k - 1 no vecinos de v tenemos e vértices que son adyacentes a v para un total de

c(n - k - 1 ) aristas.

En ambos casos contamos el mismo número de aristas, por lo tanto

k (k - a - 1) = (n - k - l)c. ( 4 . 1 )

La siguiente proposición establece una interesante relación entre un grafo fuertemente regular y su complemento.

Proposición 4.4 Si C es un grafo fuertemente regular con parámetros (n, k, a, e) entonces su complemento ce es fuertemente regular con parámetros (n, k', a', e') , donde

k' n - k - 1 a' n - 2 - 2k + e e' n - 2k + a

Demostración. Por ser C k-regular, todo vértice v E C tiene exactamente k vecinos. De modo que todo V E ce tiene exactamente n - (k + 1) = n - k - 1 vecinos. Por lo tanto, k' = n - k -- l .

Sean u , V dos vértices adyacentes en ce, entonces u y V no son adyacentes en c, como C es fuertemente regular existen e vecinos comunes a u y v lo que significa que u y V en ce no son adyacentes a e vértices. Por otro lado, por ser c regular, u y V SOn adyacentes, cada uno, a otros k vértices lo que implica que U y V en Ce no son adyacentes a 2k vértices. Por lo tanto, todo par de vértice o a dyacenteo en ce tienen n - 2 - (2k - e) = n - 2 - 2k + e vecinos comunes. Es decir a' = n - 2 - 2k + c.

Sean u , V dos vértices no a dyacentes en ce, entonces u y V son adyacentes en c, como G es fuertemente regu lar existen a vecinos comunes a u y v lo que significa que u


y V en ce no son adyacentes a a vértices. Por otro lado, por ser c regular, u y V son adyacentes, cada uno, a otros k v ért ices lo que impl ica que u y ?J en ce no son adyacentes a 2k vért ices. Por lo tanto . to do par de vért ices no a dyacentes en ce t ienen n - (2k - a) = n - 2k + a vec inos comunes. Es dec ir e' = n - 2 - 2k + c.

Ejemplo 4.5 El ciclo C4 es un grafo fuertemente regular de parámetros ( 4, 2, O, 2) . Su complemento, el grafo 2K2 es también fuertemente regular con parámetros (2, 1 , O, 0) , pero no es conexo.

Figura 4.3: El ciclo C4 y su complemento.

Ejemplo 4.6 El grafo de Petersen es un grafo conexo fuertemente regular con parámetros ( 10, 3 , O, 1 ) y su complemento

.. � ..

\ · .\

Figura 4.4:

también es conexo fuertemente regular con parámetros ( 10, 6, 3, 4) .

El s igu iente teorema caracter iza los grafos disconexos fuertemente regulares.

Teorema 4. 7 Sea G un grafo fuertemente regular con parámetros (n, k, a, e) . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(a) C es disconexo.

(b) e = O.

(e) a = k - l .


(d} G es isomorfo a k�1Kk+l ·

Demostración . (a) :::? (b) Supongamos que G es disconexo. Sea G1 una componente conexa de G. Entonces cualquier vértice de G1 no tiene vecinos comunes con vér tices que no están en G1. En consecuencia e = O. (b) ::::} (e) Si e = O entonces de la ecuación (4. 1) se tiene

k (k - a - 1 ) = O y así a = k - l.

(e) ::::} (d) Su pongamos a = k - l . Queremos probar que G es la unión d isjunta de grafos com pletos de orden k + l. Para ello, sean u y v dos vér tices en la misma com ponente de G. Entonces existe un camino uw1w2 · · · WnV que conecta a u y v . Como u y w1 son adyacentes, ellos tienen k - 1 vecinos comunes. Si w1 =1- v entonces w1 tendría k + 1 vecinos comunes, una contradicción. Así, w1 = v y, por lo tanto, cada com ponente es Kk+l· (d) ::::} (a) es o bvio. 1

Como consecuencia inmediata del Teorema 4. 7 o btenemos el siguiente resultado:

Corolario 4.8 Si G es un grafo fuertemente regular con parámetros (n, k, a, e) , donde e ;:::: 1 , entonces G es conexo.

Proposición 4.9 Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G fuertemente regular con parámetros (n, k, a, e) , entonces A verifica

A 2 + (e - a) A + (e - k) I = cJ, (4.2)

donde J es la matr·iz n x n con todas las entradas 1. Demostración . Teniendo en cuenta la Pro posición 2.6 consideraremos los siguientes casos:

(a) Supongamos i =1- j y vi, Vj son adyacentes. Como G es fuertemente regular vi, vi tienen a vértices comunes. Con lo cual

(A2 )ij + (e - a)Aij + (e - k)Iij = a + e - a = e = cJiJ ·

(b) Su pongamos i =1- j y vi , Vj no son adyacentes. Por ser G fuertemente regular vi y Vj tienen e vértices comunes. Con lo cual

(e) Supongamos i = j. En este caso usamos la regularidad del grafo para a firmar que la entrada (i, i) de A2 es k, la de A es O y la I es l. Por lo tanto

(A2) ij + (e - a)Aij + (e - k)Iij = k + e - k = e = cJij ·

Grafos Fuertemente Regu lares 32

1 La siguiente proposición constituye el recíproco de la proposición anterior

Proposición 4.10 Sea G un grafo no completo con n vértices. Si A2 es una combinación lineal de A, I y J, donde J es la matriz n x n con todas las entradas 1, entonces G es fuertemente regular.

Demostración. Supongamos que

A2 = pA + ql + rJ.

La entrada (i , i) de las matrices A, I y J son respectivamente, 0, 1 y 1, de modo que

(A2)ii = PAi + qlii + rJii = q + r.

Lo que significa que el grafo G es ( q + r)- regular.

Sean Vi , Vj vértices adyacentes en G . Entonces en la entrada ( i , j )

(A2 )ij = pAij + qlij + rJij = p + r,

lo que significa que por cada par de vértices vi , Vj adyacentes en G tenemos p + r caminos no cerrados de longitud 2 que inician en vi y terminan en Vj . Por lo tanto, vi , Vj tienen p + r vecinos comunes.

Sean Vi , Vj vértices no adyacentes en G . Entonces en la entrada ( i , j)

(A2)ij = pAij + qlij + rJij = r,

lo que significa que por cada par de vértices vi , Vj no adyacentes en G tenemos r caminos no cerrados de longitud 2 que inician en vi y terminan en Vj . Por lo tanto, vi , Vj tienen r vecinos comunes. En consecuencia G es un grafo fuertemente regular. 1

Observación 4.11 La Proposición 4.g y 4 .10 también puede expresarse de la siguiente manera: Un grafo G no completo con matriz de adyacencia A es fuertemente regular si y sólo si la matr-iz A2 se puede escribir como combinación lineal de las matrices A, I, J.

Los siguientes grafos constituyen una familia de grafos fuertemente regulares.

Definición 4.12 (Grafo Conferencia) Diremos que un grafo fuertemente regular con parámetros (n, k , a , e) es un grafo conferencia si sus parámetros verifican

n = 4c + 1, k = 2c, a = e - l .

Es decir un grafo conferencia es un grafo fuertemente regular- con paTárnetr-os ( 4c + 1 , 2c, e - 1 , e) .


Ejemplo 4.13 El Ciclo C5 es un grafo conferencia. En efecto, se trata de un grafo fuertemente regular con parámetros (5 , 2, O, 1) donde sus parámetros verifican

• n = 4c + 1 == 4( 1 ) + 1 = 5 .

• k = 2c = 2(1 ) = 2 .

• a = e - 1 = 1 - 1 = O .

4.2. Espectro

El espectr o de un graf o fuertemente regular se describe en el siguiente teorema

Teorema 4.14 Sea G un gmfo fuertemente r-egular- con par-ámetros (n, k, a, e) . Las siguientes afirmaciones se cumplen:

(a) Los autovalores de G son k, A1 y A2, donde A1 , A2 son las raíces de la ecuación

x2 + (e - a) x + (e - k) = O.

(b} G es disconexo si y sólo si k = A1 si y sólo si A2 = -1 . En este caso la multiplicidad r del autovalor k es el número de componentes de G y la de A2 = -1 es n - r .

(e) Si G es conexo las multiplicidades de los autovalores k , A1 , A2 son 1, m1 y m2 respectivamente, donde

( d} Si A1 ,A2 tienen la misma multiplicidad entonces G es un grafo conferencia y

A _ -1 + Vn . 1 - 2 '

Demostración . (a) C om o G es k-regular del Teorema 3 . 1 , k es un autoval or de G con aut ovect or u = ( 1 , 1 , . . . , 1 )T . Sea z un autovector de A c on aut oval or A =1- k. Como u y z s on autovectores c on aut oval ores distint os ell os son ortogonales. Se sigue de la ecuación ( 4 .2) que

A 2 z + (e - a) Az + (e - k) I z = e] z = O

y n os queda la ecuación cuadr ática

x2 + (e - a) x + (e - k) = O.

G rafos Fuertemente Regulares 34

Lo que significa que los autovalores de A diferentes de k son las soluciones de dicha ecuación cuadrática. Claramente las soluciones vienen dadas por

A - (a - e) + J]5 O . 1 - 2 > ,

donde D = (a - c)2 + 4(k - e) .

(a - e) - JD A2 = 2 < O

(b) Como k es un autovalor de A con autovector u entonces de la ecuación (4.2) tenemos

Por otro lado

A2u + (e - a)Au + (e - k)Iu cJu k2 + (c - a)k + c - k en.

• >.,>., � [ (a - c)2 + v'Dl ¡ (a - c)

2- v'Dl � e - k.

, , _ (a - e) + JD (a - e) - JD _ • /\1 + /\2 - + - a - c. 2 2

De modo que

Como (k - A2) =1= O se sigue del Teorema 4.7

G es disconexo {::} e = O {::} k = A1 .

Por otra parte, teniendo en cuenta que A1 + A2 = a - e se deduce que

Nuevamente por el Teorema 4.7

G es disconexo {::} G = k:l Kk+l ·

La multiplicidad de k en Kk+l es 1 , luego la multiplicidad de k en G es k:l , el número de componentes de G . (e) Como G es conexo del Teorema 3 . 1 la multiplicidad de k es 1 , en consecuencia

(4.4)

Por otro lado, la suma de los autovalores es la traza de A la cual es cero. así

(4. 5)

G rafos Fuertemente Regulares

Claramente la solución del sistema

viene dado por

{ m1 + m2 = n - 1 m1 .\1 + m2.\2 = -k

A2 (n - 1) + k m1 = - , , ; /\1 - /\2 (d) Supongamos m1 = m2 entonces de las ecuaciones (4.4) y (4.5) se deduce

n - 1 mi = m2 = -2-

y también

Como .\1 + .\2 = a - e entonces usando las ecuaciones ( 4 .6) y ( 4. 7) tenemos

1 k = 2 (n - 1 ) (e - a) .

Puesto que O < k < n - 1 se sigue que

1 O < - (n - 1 ) (e - a) < n - 1 2

35

(4.6)

(4 .7)

lo que implica O < e - a < 2 donde e - a es un entero. Por lo tanto, necesariamente

e - a = l .

Usando este resultado tenemos

1 k = 2 (n - 1 ) .

Al sustituir (4 .9) en la ecuación (4. 1) obtenemos

� (n - 1 ) [� (n - 1 ) - a - 1] � (n - 1 ) [� (n - 1 ) - a - 1]

(n - 1 ) [� (n - 1 ) - a - 1] 1 - (n - 1) - 1 2

k - 1

(4.8)

(4 .9)

e [n - � (n - 1) - 1] 1 2e [2n - (n - 1 ) - 2]

e(n - 1 )

a + e a + e

Grafos Fuertemente Regu lares

ahora usando e - a = 1 obtenemos

k = 2c.

1 1 Como e = 2, k entonces de (4.9) e = 4 (n - 1) es decir

n = 4c + l .

De las ecuaciones (4 .8) , (4. 10) y (4. 1 1) se sigue que G es un grafo conferencia. Por otro lado,

entonces

D = (a - c)2 + 4(k - e) = ( - 1 ) 2 + 4(2c - e) = 1 + 4c = n

A A - -1 ± yn 1, 2 - 2

o

36

(4. 10)

( 4. 1 1 )

1

Observación 4.15 Durante el desarrollo de la demostración del Teorema 4. 14 se establecieron las siguientes identidades para un grafo fuertemente r-egular- con par-árnetms (n, k , a, e)

Así como los autovalores de un grafo fuertemente regular se expresan en términos de sus parámetros, veremos que también sus multiplicidades se pueden expresar en función de sus parámetms. Observemos que A1 - A2 = VJ5, entonces

Por lo tanto

A2 ( n - 1 ) + k -1 [ [ ( a - e ) - �]( n - 1 ) + k]

A1 - A2 A1 - A2

--� [( (a - e) - vD) (n - 1) + 2k]

-- -1- [(a - c) (n - 1 ) - vD(n - 1) + 2k] 2Vl5

--� [ - (n _ 1 ) + 2k + (a � (n - 1) ]

.

m1 = � [(n _ 1 ) _ 2k + (a - c) (n - 1) ] .

2 v'J5


n d _ A1 (n- 1 ) + k vsan o m2 - , A se puede probar de la misma manera que -"1 - 2

m2 = � [(n _ 1 ) + 2k + (a - c) (n - 1 ) ] .

2 Vl5

37

Estos resultados nos indican que dado un conjunto de parámetros podemos calcular m1 y m2 usando estas ecuaciones. Si los resultados no son enteros, entonces no puede tratarse de los parámetros de un grafo fuertemente regular. Por otro lado, estos resultados nos muestran una forma de determinar el espectro de un grafo fuertemente regular conociendo únicamente sus par-ámetr-os.

Ejemplo 4.16 El grafo C5 es un grafo conferencia con parámetros (5, 2, O, 1 ). Entonces

• D = 5

• A¡ = -1 + J5 2

- 1 - J5 • A2 = ---·

2

• m1 = � [4 _ 2(2) + (-1 ) (4) ] = 2 2 J5

• m2 = � [4 + 2(2) + ( - 1) (4) ] =

2 2 J5

su espectro es ( 2 - 1 + J5 - 1 - J5 ) cr(C5 ) = 2 2 · 1 2 2

Ejemplo 4.17 El grafo de Peter-sen tiene par-ámetr-os ( 10, 3, O, 1 ) . Entonces

• D = (a - c)2 + 4(k - e) = (O - 1)2 + 4(3 - 1 ) = 1 + 8 = 9 • A¡ = (a-c)+v'D = O - 1 + 3

= 1 2 2

(a - e) -- vÍJ) O - 1 - 3 • A2 = = = -2

2 2

• m1 = � [( n _ 1 ) _ 2k + (a - e) ( n - 1) ] = � [9 _ 6 - 9 ] = 5 2 Vl5 2 3 "


• m2 = ! [(n - 1) + 2k + (a - c) (n - 1) ·] = ! [9 + 6 - 9 .] = 4 2 JD 2 3

el espectro del grafo de Petersen es

Terminamos esta sección con el siguiente teorema.

38

Teorema 4.18 Un grafo conexo k-regular con exactamente tres autovalores distintos es fuertemente regular. Demostración . Primero, como G tiene tres autovalores diferentes entonces G no es un grafo completo. Por otra parte, como A es diagonalizable, el polinomio minimal de A es

donde .A1 y .A2 son los otros autovalores de A. Se sigue que

q(A) = (A - k l)p( A) = O,

donde p (A) = (A -- .A1I) (A - .A2J) . En particular, cada columna de p(A) pertenece al ker (A - k!) . Como G es k-regular conexo, dim [ker ( A - k!)] = 1 , generado por u = ( 1 , 1 , . . . , 1 )T . Por lo tanto, cada columna de p(A) tiene todas las entradas iguales. Además, al ser p(A) una matriz simétrica , se concluye que

p(A) = rJ para algún r . Esto implica que A 2 es una combinación lineal de A, I y J y, en consecuencia, G e s fuertemente re gular por la P roposición 4.10. 1


4.3. Clase de Grafos Fuertemente Regulares

En el desarrollo de la sección anterior hemos presentado una clase de grafos fuertemente regulares, nos referimos a los grafos conferencia, que están determinados por la multiplicidad de sus autovalores. Continuamos en esta sección presentando otras familias de grafos fuertemente regulares que nos servirán de referencia en los grafos de energía máxima.

4.3. 1 . Grafos Cuadrado Latinos El propósito de esta sección es definir qué es un grafo cuadrado Latino y establecer algunas de sus propiedades. Para ello iniciemos con la siguiente definición.

Definición 4. 19 (Cuadrado Latino) Un cuadrado Latino de orden n es una matriz L de orden n x n cuyas entradas son elementos de un conjunto de símbolos N = { 1, 2, . . . , n} tal que cada símbolo aparece exactamente una única vez en cada fila y en cada columna. Ejemplo 4.20 En la Definición 3. 2 definimos una matriz circulante. Efectivamente una matriz circulante S = ( 1 , 2, . . . , n) es un Cuadrado Latino de orden n. Ejemplo 4.21 Consideremos el conjunto de símbolos N = { 1 , 2, 3} los siguientes arreglos son ejemplos de cuadrados latinos de orden 3

Dado un cuadrado Latino L = (lij ) de orden n x n, consideremos el conjunto

VL = { ( i, j, lij ) : 1 :::; i, j :::; n} . El grafo GL cuyo conjunto de vértices es VL , y donde dos vértices son adyacentes si. y sólo si, ellos coinciden en la primera, segunda o tercera componente se conoce como el Grafo Cuadrado Latino.

( 1 2 3 ) Ejemplo 4.22 El cuadrado Latino L2 = 3 1 2 2 3 1

cuya representación puede observarse en la Figura 4 . 5.

tiene asociado el grafo G L2


(1 ,2,2) ( 1 ,3,3)

Figura 4.5: Grafo Cuadrado Latino asociado a L2

Como puede notarse el grafo G L2 tiene 9 vértices, es 6-regular, cada par de vértices adyacentes tiene 3 vecinos comunes y cada par de vértices no adyacentes tiene 6 vecinos comunes. Es decir, se trata de un grafo fuertemente regular con parámetros (9, 6, 3, 6) . En todo grafo cuadrado Latino se pueden apreciar estas características puesto que, en general, un grafo cuadrado Latino es un grafo fuertemente regular con parámetros (n2 , 3(n - 1 ) , n , 6) . Esta afirmación es precisamente el siguiente teorema.

Teorema 4.23 Dado un cuadrado Latino L de orden n x n, el grafo G L es fuertemente TegulaT con paTárnetTOs ( n2 , 3( n - 1 ) , n, 6) .

Demostración. Claramente I VL I corresponde al número de entradas en la matriz L de orden n x n, por lo tanto I VL I = n2 . Todo vértice v = ( i , j , lij) es adyacente a todo vértice de la forma (i , r, lir) con r = 1 , . . . , n - 1 (están en la misma fila de L) como también es adyacente a todo vértice de la forma ( r, j, lr;; ) con r = 1 , . . . , n - 1 (están en la misma columna de L) lo que significa que v tiene hasta ahora n - 1 + n - 1 = 2n - 2 vértices adyacentes. Por otro lado la entrada lij tiene n - 1 posibilidades de aparecer nuevamente en el menor Lij (la matriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j ) lo que indica que v es adyacente, también, a otros n - 1 vértices distintos de los anteriores. En conclusión v tiene 3n - 3 = 3(n -- 1 ) vértices adyacentes. Lo que prueba que GL es un grafo regular de grado 3(n - 1 ) . Sean u , v dos vértices adyacentes en G L entonces

donde Ui = vi para algún i . Tenemos las siguientes posibilidades


l. Supongamos v1 = u1 = r (estamos en una fila r de L). Es decir

u = (r, j, lrj) ; v = (r, p , lrp) donde 1 :S p, j :S n Por lo tanto, u y v tienen n - 2 vecinos comunes en la misma misma fila. Ahora, en la columna j hay una única entrada con valor lrp ; en la columna p hay una única entrada con valor lrj · Estos dos vértices son vértices comunes a u y v. Por lo tanto, u y v tienen n - 2 + 2 = n vértices comunes.

2. El caso v2 = u2 = s (estamos en una columna s de L) es análogo al anterior.

3. Supongamos u3 = v3 , digamos

u = (i , j, lij ) y v = (r, s , lrs) donde lij = l1.s = b. Notamos que i i- r y j i- s . Primero, es claro que hay otras n - 2 entradas en el arreglo L con valor b; los vértices asociados son comunes a u y v . Los otros dos vértices comunes a u y v son (r, j, lr1 ) y (i , s, lis ) . Así, u y v tienen n vecinos comunes.

En cualquiera de las tres posibilidades se verifica que todo par de vértices adyacentes tienen n vecinos comunes. Finalmente, sean u, v dos vértices no adyacentes, entonces

U = (i , j, lij ) ; V = (r, s , lrs) · Los vértices u y v tienen dos vecinos comunes que corresponden a los vértices (i , s , lis) y (r, j, lrj ) · Ahora, en la columna j (resp. s) existe una única entrada con valor lrs ( resp. lij ) . Estos vértices son comunes a u y v. Análogamente. considerando las filas. En conclusión, u y v tienen exactamente 6 vértices comunes. 1

Como consecuencia directa del Teorema 4.23 y la Observación 4 . 15 se tiene el siguiente corolario.

Corolario 4.24 Si G L es el grafo asociado a un cuadrado Latino L de orden n entonces su espectro viene dado por

O" = ( 3(n1- 1 ) n - 3 -3 ) 3(n - 1) (n - 1 ) (n - 2)

·

Grafos Fuertemente Regula 1•es 42

4.3.2. Cuadrados Generalizados Es el momento de presentar otra familia de grafos fuertemente regulares. Para ello es conveniente conocer el término Estructura de Incidencia.

Una Estructura de Incidencia consiste en un conjunto de puntos P, un conjunto de rectas .L (disjuntas de P) y una relación I � P x .L llamada incidencia. Si el par (p, L) pertenece a la relación se dice que p y L son incidentes. La terna I = (P, .L, !) es una Estructura de Incidencia.

Ejemplo 4.25 Consideremos un conjunto de puntos P = { 1 , 2, . . . , 10} y un conjunto de rectas .L = { L1 , L2 , L3, L4} representados en el plano de la siguiente manera

L4

L1 L2 '\'\ \ / L3

\ / / 9 �· .......... ... . . 3,:/. \ / ', / 1 0 . / sx:

5 / .\ / / 7' / 1 "', / 6 '\ / 1

. 1 /

y definamos la r-elación I = { (p, L) p está sobTe L} . Entonces el punto 2 y la recta L1 son incidentes, mientras que el punto 7 y L3 no lo son.

Definición 4.26 (Grafo Incidencia) El Grafo Incidencia GI de una estructura de incidencia I es el grafo cuyo conjunto de vértices es P U .L y donde dos vértices son adyacentes si y sólo si ellos son incidentes.

Ejemplo 4.27 El Grafo Incidencia GI de la estructura de incidencia del Ejemplo 4 .25 es

Como puede notarse el grafo incidencia GI es un grafo bipartito, esto no es casualidad. Directamente de la definición de grafo incidencia puede notarse que el grafo es bipartito. El recíproco de esta afirmación también es válido. En efecto, dado cualquier grafo bipartito podemos definir una estructura de incidencia estableciendo que las dos partes


de la partición del conjunto de vértices corresponden al conjunto de puntos y conjunto de rectas respectivamente. y usamos la adyacencia para definir la incidencia.

Los cuadrados generalizados corresponden a una interesante familia de estructuras de incidencia.

Definición 4.28 (Cuadrado Generalizado) Un espacio lineal parcial es una estructura de incidencia en la que cualquiera dos puntos son incidentes con a lo sumo una recta. Un cuadrado generalizado es un espacio lineal parcial que verifica las siguientes condiciones:

(a) Dada cualquier recta L y un punto p no perteneciente a L, existe un único punto p' sobre L tal que p y p' son colineales.

(b) Hay puntos no colineales y rectas no concurrentes.

La primera condición define ésta estructura, mientras que la segunda condición descarta la posibilidad de que todos los puntos estén sobre una misma recta y todas las rectas se intersectan en un sólo punto.

Ejemplo 4.29 La Figura 4 .6 muestra un ejemplo de un cuadrado generalizado.

L5

L6

L7

L 1 L2

¡ 1 :

1 2

5 6

9 , 1 0 '

L3 L4 : !

-� PJ--->¡--

7 8

11 12

Figura 4.6: Cuadrado Generalizado

El grafo de puntos de un cuadrado generalizado es el grafo cuyo conjunto de vértices son los puntos del cuadrado y dos vértices son adyacentes si y sólo si dos puntos son colineales. Por ej emplo, el grafo de puntos del cuadrado generalizado del Ej emplo 4.29 (Figura 4.6) corresponde al siguiente grafo .


" r

"

- � ... J

• • - -ti 8 7

. •

• ,

44

Como podemos observar se trata de un grafo fuertemente regular con parámetros ( 12, 5, 2, 2 ) . Este resultado no es accidental. como veremos más adelante, el grafo de puntos de un cuadrado generalizado es un grafo fuertemente regular.

Definición 4.30 (Orden de un Cuadrado Generalizado) Si toda recta contiene s + 1 puntos y todo punto pertenece a t + 1 rectas entonces el cuadrado generalizado es de orden ( s , t ) .

Ejemplo 4.31 El cuadrado generalizado

L 1 L2 L3

L4 i

L5

t ts 1 ! L6 . " 9 ,J !8

1 1

tiene orden (2, 1 ) ya que toda recta contiene 3 puntos y todo punto pertenece a 2 rectas. Su gmfo de p·untos es un gmfo fuertemente r-egular- con par-ámetros (9, 4, 1 , 2) (ver Figura 4. 1)

9 ' • ! 2

"' 8 !

. 3 7 (

- � 6 ,_ .- 4

Figura 4.7:


Teorema 4.32 Sea X el grafo de puntos de un cuadrado generalizado de orden (s, t) . Entonces X es un grafo fuertemente regular con parámetros

((s + I ) (st + 1) , s(t + 1 ) , s - 1 , t + 1 ) . Demostración. Sea L una recta del cuadrado. Cada punto que no está en L es colineal con exactamente un punto p sobre L. Por lo tanto, hay st puntos que no están en L y que son colineales con el punto p (el factor t en st se debe a que sobre el punto p pasan t rectas sin contar la recta L) . Como L contiene exactamente s + 1 puntos entonces tenemos en total s t(s + 1) puntos que no están en L. De modo que si agregamos los s + 1 puntos que están sobre L tenemos en total

st(s + 1) + s + 1 = (s + I) (st + 1 ) puntos en el cuadrado

lo que prueba que el número de vértices es (s + I ) (st + 1 ) . Cualquier punto p del cuadrado pertenece a t + 1 rectas y cada recta contiene s + 1 puntos, lo que significa que cada vértice del grafo tiene s (t + 1 ) vértices adyacentes. Por lo tanto X es regular de grado s ( t + 1 ) . Sean u, v dos vértices adyacentes en X, entonces u, v son puntos del cuadrado que pertenecen a la misma recta. Como cada recta contiene s + 1 puntos entonces u, v tienen s + 1 - 2 = s - 1 vecinos comunes, es decir a = s - l . Sean u , v dos vértices no adyacentes en X , entonces u , v son puntos del cuadrado no colineales. Esto significa que v es colineal con exactamente un punto de cada una de las (t + 1) rectas que pasan por u. Se sigue que u y v tienen t + 1 vecinos en común, es decir e = t + l . 1

Terminamos esta sección con el siguiente resultado.

Corolario 4.33 Si X es el grafo de puntos de un cuadrado generalizado de orden (s , t) , entonces el espectro de X viene dado por ( s(t + 1) s - 1

O"(.X) = 1 st(s + 1 ) (t + 1 ) s + t

-t - 1 s2 (st + 1 )

s + t ) Demostración. Usando el Teorema 4.32 y el Teorema 4 . 14 (a) se obtienen los siguientes resultados

• k = s (t + 1 ) . • D = (s - 1 - t - 1 )2 + 4 [s(t + 1) - t - 1] = s2 + 2st + t2 = (s + t)2 .

s - 1 - t - 1 + J(s + t)2 2s - 2 • ..\1 = = -- = S - 1 2 2 .

Grafos Fuertemente Regu l21res

S - 1 - t - 1 - V (S + t) 2 -2t - 2 • ,\2

= = = -t - l . 2 2

46

Ahora usando la parte (e) del Teorema 4.14 se obtienen las multiplicidades de los respectivos autovalores, esto es 1 , m1 , m2 donde

=

( -t - 1) [ (S + 1) ( st + 1 ) - 1] + S ( t + 1) ( t + 1 ) [ (S + 1 ) ( st + 1) - 1 - S j s - 1 + t + 1 s + t

(t + 1 ) (s2t + st) st(s + 1) (t + 1 )

s + t s + t

(s - l) [(s + 1 ) (st + 1) - 1] + s(t + 1) (s - 1) [s2t + s + st] + st + s s - 1 + t + 1 s + t

s3t + s2 s2 (st + 1)

s + t s + t

1

Capítulo

Grétfos con energía máxima

En este capítulo introducimos el concepto de energía de un grafo, tema central de este trabajo. Uno de los problemas actuales en esta teoría consiste en encontrar cotas de la energía en términos de invariantes del grafo, por ejemplo, en términos del número de vértices o el número de aristas. En la primera sección hacemos una revisión de algunos resultados importantes en esta dirección. Luego, en la sección siguiente, discutimos un artículo reciente de Koolen y Moulton [15] , donde obtienen cotas superiores de la energía de un grafo en términos de sólo el número de vértices. Además, encuentran familias de grafos donde la energía se alcanza, es decir, los grafos con energía máxima. Este artículo resuelve un problema planteado desde hace muchos años en la teoría de la energía [1 2] .

5. 1 . Energía de un grafo Definición 5.1 La energía de un grafo G se define como la suma de los valores absolutos de sus autovalores. Esto es,

E (G) = L /-\ / .XE<7(G)

A continuación vemos algunos ejemplos de cómo se calcula la energía de un grafo empleando la definición.

Ejemplo 5.2 En el Ejemplo 3. 6 vimos que el espectro del grafo completo Kn es

Por- lo tanto, su energía es

( n - 1 - 1 ) C7(Kn) =

1 n - 1 ·

n E(G) = L /-\i / = 2n - 2.

i=l

47

Grafos con energía máxima 48

Ejemplo 5.3 El grafo �K2 tiene espectro

PoT lo tanto, su energía es

Ejemplo 5.4 En el Ejemplo 3. 12 se mostró que la estrella G con n vértices tiene espectro - ( vn=r o -vn=I )

o-( G) - 1 n - 2 1 · Así su energía es

E( G) = 2Jn=l.

Ahora comenzamos el estudio de las cotas de la energía con la célebre desigualdad de McClelland.

Teorema 5.5 (McClelland, 1971) Sea G un grafo con n vértices y m aristas. Si A es la matriz de adyacencia de G, entonces

V 2m + n (n - 1 ) ldet Al � :S E (G) :S V2Tnn Demostración. Supongamos que el espectro de G es

Consideremos los vectores

U = ( 1 , 1 , . . . , 1 ) Y X = ( 1 A 1 1 , . · · , 1 An 1 ) ·

Al aplicar la desigualdad de Cauchy Schwarz, se deduce

n n ¿ I Ai l :S .;n ¿ 1 Ai l 2 = vnv'2m i=l i=l

n donde tomamos en cuenta la relación ¿ ¡ ,\ 1 2 2m. Esto demuestra que

i=l E ( G) :S v'27Tffi.

Grafos con energía máxima

Por otro lado,

(E (G))2 (� ¡,�; ¡) '

= � ¡,�¡ ¡' + 2 � ¡,�; ¡ ¡,\, ¡

2m + n (n - 1 ) [n (n2_ 1 ) L 1 /\ I I .Xk ll · •<k

49

El término n(n2_ 1 ) :C I .Xi i i .Xk l corresponde a la media aritmética de los n{n2-I ) términos

•<k { I.Xi i i .Xk l : 1 :S i < k :S n}. La media geométrica de este conjunto es

Puesto que la media geométrica no supera la media aritmética,

y así se obtiene el resultado

E (G) 2:: V 2m + n (n - 1 ) !det A l � .

1 La desigualdad de McClelland puede considerarse como el inicio de la teoría de las desigualdades de la energía. A partir de ese momento, aparecieron en la literatura matemática y química un gran número de trabajos con diferentes cotas para la energía [6 , 13 , 16-19, 21 ,22] . Sin embargo, hace relativamente poco tiempo se descubrieron cotas de la energía que dependen sólamente del número de aristas m. De hecho, se encuentran los valores extremos de la energía en la clase de todos los grafos que tienen exactamente m aristas.

Teorema 5.6 (Caporossi, Cvetkovié, Gutman y Hansen, 1999) Sea G un grafo con m aristas. Entonces

2yim ::; E ( G) ::; 2m.

Además,

1 . E ( G) = 2 yfrn si, y sólo si, G es un grafo completo bipartito más algunos vértices aislados;

2. E ( G) = 2m si, y sólo si, G consiste de m aristas aisladas con algunos vértices aislados.

Demostración. Supongamos que G tiene n vértices y su espectro es

De la Proposición 2.8 tenemos que

Por lo tanto,

(E (G) )2 i<k i<k

2m + 2 1 -ml = 4m.

Así,

E (G) 2: 2vm.

Observamos que si E (G) = 2..¡m entonces se deduce de (5 . 1 ) que

Esto implica que o bien

o bien

¿ >-i>-k = ¿ i>-i>-k i · i<k i<k

(5 . 1 )

Teniendo en cuenta que >. 1 > O y 2:::�=1 >.i = O es fácil ver que la primera situación no puede ocurrir, mientras que el segundo caso implica >.1 = ->.2 y >.j = O para todo j 2: 3. En consecuencia G es bipartito por la Proposición 3.10 y es bipartito completo más algunos vértices aislados por la Proposición 3.15.


Para ver la otra desigualdad, supongamos primero que G no tiene vértices aislados. Entonces di 2:: 1 para todo vértice i = 1 , . . . , n de G. En consecuencia,

n 2m = L di 2:: n.

i=l

Se sigue de la desigualdad de McClelland que

E ( G) :::; .J2rmi :::; v'2m2m = 2m. (5.2) Si G tiene vértices aislados entonces consideramos el grafo G* obtenido a partir de G eliminando los vértices aislados. Como los vértices aislados aportan O en la energía de un grafo, deducimos que

E (G) = E (G* ) :S 2m. Si E (G) = 2m entonces se deduce de (5.2) que 2m = .J2rmi y así, n = 2m pero esto ocurre sólo si G es m copias de K 2 . 1

Llegado a este punto es natural preguntarse sobre cotas de la energía que dependan exclusivamente del número de vértices n. El siguiente teorema responde parcialmente a esta pregunta.

Teorema 5. 7 Sea. G un grafo con n vér-tices sin vér-tices aislados. Entonces

2Jn-=1:::; E (G)

Además, E ( G) = 2Jn'=l si, y sólo si, G es la estr-ella de n vér-tices.

Demostración. Supongamos primero que G es conexo . Si G tiene m aristas entonces, por la Proposición 1 . 5 , m 2:: n - l . Luego, por el Teorema 5.6,

2vn=I' :S 2yrn :S E ( G) (5.3)

En el caso general, sean G1 , . . . , GP las componentes conexas de G con n1 , . . . , np vértices, respectivamente. Como G no tiene vértices aislados, ni 2:: 2 para todo i = 1 , . . . , p. Entonces

E (G) � t E (G;) 2 2 (t )n; - 1) 2 1 (t,vn; - 1)

' � 2 t, (n; - 1 ) + 2�VnJ=IVn, - 1

•


Para cada uno de los p(p;ll sumandos de L Jnj - 1)nk - 1 se tiene que j<k

Así,

2 ¿ �vnk - 1 ;::: p (p - 1 ) . j<k

En consecuencia,

E (G) ;::: 2Jn - p + p (p - 1 ) = 2Vn - 1 + (p - 1 )2 ;::: 2Vn=l.

52

Para la segunda parte del teorema, si E (G) = 2Jn-l entonces se sigue de (5.3) que 2y'm = E ( G) y m = n - l . Por lo tanto, se sigue del teorema 5.6 que G es un grafo bipartito completo que satisface m = n - 1 , es decir, G es la estrella de n vértices. 1

5.2. Grafos con energía máxima

Como podemos ver en el Teorema 5. 7, falta la cota �uperior óptima para la energía de un grafo, que dependa sólamente del número de vértices. El problema de encontrar tal cota se conoce como el problema de identificar los grafos de n vértices con energía máxima. Según Ivan Gutman [ 12] , encontrar y caracterizar los grafos con energía máxima era uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la energía de grafos. En el año 2001 , los matemáticos J. Koolen y V. Moulton [15] finalmente descubrieron una cota �uperior dependiente exclusivamente del número de vértices n . Además pre�entaron una familia infinita de grafos con energía máxima. El objetivo de esta sección es presentar los resultados de Koolen y Moulton.

Teorema 5 .8 (Koolen y Moulton, 2001) Si 2m ;::: n y G es ·un grafo con n vértices y m aristas, entonces la desigualdad

(5.4)

se cumple. Más aun, la igualdad en (5.4) se alcanza si, y sólo si G es alguno de los siguientes grafos: �K2 , Kn o un grafo conexo fuertemente regular con dos autovalores

no triviales, ambos con valor absoluto J [2m - e:) 2] 1 ( n - 1 ) .


Demostración. Consideremos los autovalores de G

Del Teorema 3 .9 tenemos

n

De la Proposición 2 .8 tenemos L >.¡ = 2m lo que implica i=l

n

O � L >.¡ = 2m - >-i . i=2

Y así -hm � )q � hm.

Ahora aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores

y usando la ecuación (5 . 6) obtenemos que

n

I: 1>-i l 2vn=l i=2' i=2

(n - 1 ) t l �\ 1 2 = J(n - 1 ) (2m - .XI ) . i=2

Sumando )..1 a ambos lados de la desigualdad obtenemos

E(G) � -X1 + J(n - 1 ) (2m - -Xr) .

Consideremos la función

F(x) = x + J(n - 1 ) (2m - x2)

definida para todo x E [-J2m, V2ffi] Afirmación 1: F decrece en el intervalo [ �' V2m] . En efecto,

F'(.:c) = J(n - 1 ) (2m - x2) - x(n - 1 ) (n _ 1 i= O) . J(n - 1 ) (2m - x2)

53

(5 .5)

(5. 6)

(5. 7)


En consecuencia, F' (x) � O si J(n - 1 ) (2m - x2 ) � x (n - 1 ) equivalentemente, si

Esto indica que la función F decrece para todo x E [ �' V2m] . Usando (5 .6) , (5 .5) y el hecho de que 2: � 1 tenemos la siguiente cadena de desigualdades

(5 .8)

Esto prueba que 2"'' y .-\1 pertenecen al intervalo donde F es decreciente, en consecuencia n

( 2m) 2m E(G) � P(.XI) � F --;;-- = --;;-- + (5.9)

Así

(5. 10)

Probemos la segunda parte del teorema.

l. Supongamos que G = �K2 , entonces su energía es

n . E( 2K2) = n (ver EJemplo 5.3) (5 . 1 1)

Por otro lado , el grafo � K2 tiene n vértices y � aristas. Al sustituir estos valores

en la expresión 2: + J ( n - 1 ) [2m - e:) 2] obtenemos

� + f - 1) [n - (�) '] = l + )(n - 1 ) (n - 1 ) = 1 + n - 1 = n. (5 .12)

De ( 5 . 1 1 ) y (b . 12) se sigue que si G = �K2 entonces


2. Supongamos G = Kn, entonces su energía viene definida por

E(G) = 2n - 2 (ver Ejemplo 5.2)

Por otro lado, el grafo Kn tiene n vértices y ( � ) aristas

rn = ( n ) = n! = n(n - 1 ) (n - 2) ! = n(n - 1 ) 2 2 ! (n - 2) ! 2 (n - 2) ! 2 ·

55

Sustituyendo estos valores en la fórmula 2,';' + J ( n - 1 ) [2m - ( 2,';') 2] obtenemos

2n 2n(n - 1 )

+ (n - !) [ 2n(n2- 1 ) - en(�n

- ! ) ) '] n - 1 + J(n - 1 ) [n(n - 1 ) - (n - 1 )2] n - 1 + J(n - 1 )2 [n - n + 1] n - 1 + n - 1 = 2n - 2 = E(Kn) .

3. Supongamos que G es un grafo fuertemente regular con dos autovalores no

triviales, ambos con valor absoluto J [2m - (2,7') 2] / (n - 1 ) .

El espectro de G es

o-(G) = ( k J [2m - (2,';')2] / (n - 1 ) -J [2m - (2;;' ) 2] j(n - 1 ) ) � 1 m1 mz

donde k = Zm . n

Por lo tanto

E(G)

2;:' + (m1 + m,) [2m - (�) } (n - 1 )

2;:' + (n - 1 ) [2m - (�) '] j(n - !)

2;:' + (n - 1 ) [2m - e::)']


Recíprocamente, supongamos que

En virtud de (5 .9) (2m) F --:;;: = E(G) = F(>\1 ) ·

Por ser F estrictamente decreciente en el intervalo [ �' J2m J ,

En virtud del Teorema 3.9, el grafo G es regular de grado 2;; .

Por otro lado, E(G) = F(>.l) y (5 .6) implica

En consecuencia

E(G) >.1 + .j(n - 1 ) [2m - >-i]

>-1 + �j2m - >-i

�¡ + �� ¡ .

n � (x, u) = � / Ai / = �� >.; = 1 /x / 1 1 /u / 1 .

56

(5. 13)

La igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz ocurre cuando los vectores son linealmente dependientes. Así, existe a tal que

lo que significa que / Ai / = a para todo i = 2, . . . , n. Sustituyendo en (5 . 13 ) tenemos

(n - 1 )a = .j(n - 1 ) (2m - >.i)

Grafos con energía máxim,¡

y así

Por lo tanto

Sea

[2m - e:) '] j(n - 1) para todo i � 2, . . . , n .

A = [2m - e:) '] j (n - 1 ) .

Hemos reducido a las siguientes posibilidades:

57

l. G tiene dos autovalores con igual valor absoluto. En cuyo caso tenemos el espectro

2m -, A, A, . . . . >., -A, -A , . . . , -A n

m¡ donde 2m = )\ . Usando el Teorema 3 . 14 n

donde cada Gi es completo de orden A + l. En este caso A = 1 y m1 = m2 . En consecuencia, m 1 + m2 = n implica m1 = i y así

n 2

2. G tiene dos autovalores con diferente valor absoluto. En este caso el espectro es

2m - , -A, -A, . . . ' -A . � n-1 1

Nuevamente por el Teorema 3 . 14

G = K2;;'+1

donde n - 1 = = 2;;' , esto es, n = 2;;' + 1 y así G = Kn.


3. G tiene tres autovalores distintos, esto es

2m [2m - e:) '] / (n - 1 ) , [2m - e:) '] / (n - 1 ) . n

En virtud del Teorema 4 .18 se sigue que G es un grafo fuertemente regular. 1

Observación 5.9 Claramente la condición 2m � n presente en la hipótesis del Teorema 5. 8 se verifica en grafos sin vértices aislados. De hecho, si G no tiene vértices aislados entonces el grado di de cada vértice satisface di � l . En consecuencia, 2m = L:�=l di � n .

En el siguiente ejemplo mostraremos una familia infinita de grafos fuertemente regulares donde la energía alcanza su valor máximo.

Ejemplo 5.10 Consideremos un grafo conexo fuertemente regular con parámetros (n, k, a , e) donde a = c. Entonces por el Teorema 4. 14 los autovalores de G son

k = 2m n

y � ± V --;; - c.

Colocando a = e en la relación k(k - a - 1) = (n - k - l )c obtenemos

y, en consecuencia,.

2: e: - 1 ) e = --'-'--__;__:.::.....__.;_

n - I

2m _ 2m - ( 2;;') 2 - - e - ----'-=-'--

n n - 1 Se sigue del Teorema 5. 8 que la energía de G alcanza el valor máximo posible.

Por el Teorema 4 . .5'2, si X es el grafo de puntos de un cuadrado generalizado de orden (s , t ) , entonces X es un grafo fuertemente regular con parámetros

( (s + l ) (st + 1 ) , s (t + 1 ) , s - 1, t + 1 ) .

En particular, tomando s = t + 2 obtenemos una familia infinita de grafos fuertemente regulares con parámetros

( (t + 3) (t + 1 )2 , (t + 2) (t + 1 ) , t + 1, t + 1 ) .


Para cada t � 1 se tiene un grafo de energía máxima. Por ejemplo, en el caso t = 1 , tenemos un grafo fuertemente regular con parámetros ( 16 , 6, 2 , 2) . Este grafo proviene

del cuadrado gener-alizado

16

15 , �- �

• ;_ 1 ! 14 : ' ' l·· -

l -

.,. '

12 -l

11

L5

_,

·�. 10

L1

--- - , _ -� -- ; - •"'\: -· -·· 3

L2 L3 L4

. '

-� 7

.2 . 3 -f--5 j s L6 __ ._ • f

L7 ---�0-------."-- -h-LB 13

• " ," l" En el Teorema 5 .5 vimos la cota superior de McClelland: si G es un grafo con n vértices y m aristas entonces

E(G) � �.

En el próximo resultado comparamos esta cota con la obtenida por Koolen y Moulton en el Teorema 5 .8 .

Teorema 5.11 Sea G un gmfo con n vértices y m aristas y supongamos que 2m � n . Entonces

(5. 14)

La igualdad se cumple si, y sólo si 2m = n. En este caso, G = �K2.


Demostración. Consideremos nuevamente la función

F(x) = x + J(n - 1 ) (2m - x2 )

la cual es decreciente en [ �' v2mn] . Un cálculo simple muestra que

Como F es decreciente en [ �' v'2mn J y � � 2;:' (ya que 2m 2: n) , entonces

2m = - + n

Probemos la segunda parte de este teorema.

Supongamos que

Entonces F ( �) = F (2;:') y por ser la función F inyectiva, se sigue

y esto implica 2m == n.

60

Recíprocamente, supongamos que 2m = n. Entonces al sustituir en las cotas de Moulton-Koolen y McClelland obtenemos

2: + F 1 ) ¡2m _ e: rJ � 1 + v' ( n _ 1 ) ( n _ 1 ) � 1 + n _ 1 � n

Por lo tanto ambas cotas son iguales. 1


El teorema anterior demuestra que la cota de Koolen y Moulton mejora a la cota de McClelland.

Ahora iniciamos el estudio de las cotas de la energía de un grafo que dependen sólo del número de vértices del grafo .

Una primera cota de este tipo se puede calcular como consecuencia de la desigualdad de McClelland. De hecho, si G es un grafo con n vértices y m aristas entonces m � n(n2-l) y así

E(G) � � � J2 n(n2- l) n = nJn=l.

Es decir, E(G) � nvn=I.

A continuación usamos la desigualdad (5 .4) para mejorar esta cota, obteniendo así el resultado principal de este trabajo.

Teorema 5.12 (lVIoulton-Koolen) Si G es un grafo con n vér-tices, entonces

n E(G) � 2"(1 + vn) .

La igualdad se cumple si y sólo si G es un grafo fuertemente regular con parámetros ( n + v'n n + 2 vn n + 2v'n) n, 2 ' 4 ' 4 ·

Demostración. Supongamos que G es un grafo de n vértices y m aristas.

Si 2m � n entonces

Consideremos la función de m

definida en el intervalo [o, �2 ] (observemos que m � n(�-l) � �2 ) .

Estudiemos los extremos locales de esta función. Es fácil verificar que


Al resolver la ecuación

3_ + (n - 1 ) (n2 - 4m) = 0 n n2j(n - 1 ) [2m - (2:) 2]

obtenemos como soluciones

n2 + nfo m = y 4 n2 - nfo m = . 4

62

(5 . 15)

Ahora calculamos las imágenes de los extremos del intervalo donde la función está definída y las imágenes de los puntos críticos:

g(O) = O g (n22 ) = n g ( n2+;fo) = � � ( 1 + vn) g ( n2-�ty'ñ) = �¡ ( 1 + vn) - Vn

Claramente, la mayor imagen se obtiene cuando m = n2+;fo . Por lo tanto, el máximo absoluto % ( 1 + JT�) se alcanza cuando m = n2+;fo . En consecuencia

(5. 16)

Si n E(G) = '2 (1 + vn)

entonces por (5 . 16)

Como 2m 2 n entonces por el Teorema 5.8 se sigue que G es un grafo fuertemente regular con parámetros (n, k, a, e) y autovalores

2m n


e n2+nv'n omo m = 4 los autovalores son

n + fo 2

1 ± - fo. 2

En particular, la regularidad del grafo es n+2v'n .

Por otro lado, ± � ,¡n son soluciones de la ecuación

x2 + (e - a) x + e - k = O.

Por lo tanto, Si x = �Vn obtenemos la ecuación

1 1 1 -ev'n - -afo + e - k + -n = O 2 2 4

Si x = - � v'n obtenemm; la ecuación

1 1 1 --ev'n + -afo + e - k + -n = O 2 2 4 Sumando las ecuaciones (5. 17) y (5. 18) obtenemos

1 2e - 2k + -n = O 2

sustituyendo k = �+2vn se deduce que

n + 2fo e = 4 .

Ahora sustituimos e en la ecuación ( 5 . 17) y obtenemos a = n+�v'n . En conclusión, el grafo G es fuertemente regular con parámetros

( n + v'n n + 2y'n n + 2fo) n, 2 ' 4 ' 4 ·

Supongamos ahora que 2m :S n. Usando el Teorema 5.6

E(G) � 2m � n.

Como n :S � ( 1 + vn) para todo n 2 1 se deduce

n E(G) � 2 (1 + vfn).

63

(5 . 17)

(5. 18)


1

Es natural preguntarse ¿Será posible construir grafos fuertemente regulares con n vértices y parámetros

( n + vn n + 2yn n + 2yn) ? n, 2 ' 4 ' 4 · (5 . 19)

Koolen y Moulton en su trabajo demuestran la existencia de tales grafos, bai::iándose en la teoría de las geometrías semiparciales [14] . Entrar en los detalles de esta teoría es tema para otro trabajo. Sin embargo, damos a continuación una idea general de como obtener una familia infinita de grafos fuertemente regulares que satisfacen (5 . 19) .

El concepto de geometrías semiparciales fue introducido por Debroey y Thas en el año 1978 [9] . Una geometría semiparcial (SPG) es una estructura de incidencia S = (P, 1:-, I) que verifica los siguientes axiomas:

l . Cada punto es incidente con t + 1 (t > 1 ) rectas y dos puntos distintos son incidentes con a lo sumo una recta.

2. Cada recta es incidente con s + 1 ( s > 1 ) puntos y dos rectas distintas son incidentes con a lo sumo un punto.

3. Si dos puntos no son colineales, entonces existen f..L (J.L > O) puntos colineales con ambos.

4. Si un punto p y una recta L no son incidentes, entonces existen O o o: (o: � 1) puntos que son colineales con p e incidentes con L.

En este caso diremos que se trata de una geometría semi parcial con parámetros (s , t . o: , ¡..t) .

Ejemplo 5. 13 Definamos como P el conjunto de vértices de u n grafo G k-regular. Sea 1:- el conjunto

1:- = {CP : p E P} donde Cp es el conjunto de vértices adyacentes a p . Si I es la relación natural de incidencia entonces S = (P, 1:-, I) es ·una geometría sernipar'Cial con par-ámetros t = s = o: = k - 1 y f..L == (k - 1) 2 . En efecto, por ser G k-regular todo vértice de G tiene k vecinos lo que significa que toda linea de la SPG es incidente con k puntos. Es decir, s + 1 = k lo que implica s = k - l . Así mismo por ser G k-regular cada punto de la SPG es incidente a k rectas y por lo tanto t + 1 = k . Sean p y L un punto y una recta no incidentes. Por p pasan k rectas que intersectan a L (por ser G k-regular}, lo que significa que existen k - 1 puntos colineales con p e incidentes con L . En consecuencia o: = k - l . Por último, supongamos que p1 y p2 son dos puntos no colineales en SPG.


Por el punto p1 pat:an k rectas y ninguna contiene a p2, así mismo, cada recta contiene k - 1 puntos (excluyendo a p1). Por lo tanto, por cada uno de estos puntos existen k - 1 puntos colineales con p1 e incidentes con una recta L que contiene a p2 (gracias a la regularidad del grafo), de modo que p1 y p2 tienen (k - 1 ) (k - 1 ) puntos colineales a ambos. Es decir ¡1 = (k - 1)2 .

El ¡;iguiente ejemplo es un caso particular de esta ¡;ituación.

Ejemplo 5. 14 Consideremos el grafo C5 etiquetado de manera como se muestra en la figura 5. 1 . Supongamos que el conjunto P es el conjunto de vértices de Cs y definamos 1: = { Cp : p E 'P} donde Cp es el conjunto de vértices adyacentes a p . Si I es la relación natural de incidencia entonces S = (P, 1:, I) es una geometría semiparcial con parámetros ( 1 , 1 , 1 , 1 ) . En efecto, cada CP se define como

C1 = {2 , 3 } , Cz = { 1 , 5 } , c3 = { 1 , 4 } , c4 = {3 , 5 } , Cs = {2, 4}

y fácilmente puede comprobarse que se veTifican los cuatTo axiomas de la definición de SPG.

2 •

1 • , s

Figura 5 . 1 :

Ahora, definimos el grafo de puntos asociado a una geometría semiparcial al grafo que tiene como vértices los puntos de la geometría semiparcial . Dos vértices son adyacentes si, y sólo si, los puntos correspondientes son colineales. Es fácil ver que el grafo de puntos asociado a una geometría semiparcial con parámetros (s , t , a, p,) es un grafo fuertemente regular con parámetros

( (t + l ) s ( 1 + t (s - a + 1) )

) 1 + 11

, (t + 1 ) s , s - 1 + t (a - 1) , p,

En el año 1983, J.A. Thas [ 14] presenta un método para construir geometrías semiparciales, a partir de la estructura asociada a lo que se llama un SPG regulus, estructuras

Grafos con energía máxim¡, 66

provenientes de la geometría proyectiva finita. Detalles sobre esta teoría se puede encontrar en [7] . En particular, Thas construye geometrías semiparciales con parámetros

para cada entero m :2: l . Se deduce de lo anterior que el grafo de puntos asociados a estas geometrías semiparciales son fuertemente regulares com parámetros

donde T = 2m+I . Pero entonces, por la Proposición 4.4. su complemento es un grafo fuertemente regular con parámetros

Observamos que si n = 4T2 entonces

y

n + Vn 4T2 + 2T ( ) --

2-'-- =

2 = T 2T + 1

n + 2fo = 4T2 + 4T = T ( T + 1 ) . 4 4

Así, obtenemos una familia infinita de grafos que satisfacen (5 . 19) .

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