TEORIA DE GRAFOS

¿ Que es un Grafo?

Un GRAFO es un conjunto de nodos o vértices (V) y

un conjunto de aristas (E), donde cada arista

relaciona a un par de nodos pertenecientes a V.

La estructura algebraica para los grafos es G=(V,E).

Existen dos tipos de Grafos:

GRAFO DIRIGIDO

GRAFO NO DIRIGIDO

GRAFO DIRIGIDO

Un GRAFO DIRIGIDO G consiste de un conjunto V de vértices y un conjunto E al conjunto de aristas del grafo.

Los vértices de un grafo dirigido pueden usarse

para representar objetos y los enlaces relaciones entre los objetos, ejemplo de ello que los vértices pueden representar ciudades y los enlaces vuelos aéreos entre ciudades.

Un enlace es un par ordenado de vértices (v, w), donde v es la cola y w corresponde a la cabeza del enlace.

a b

c d

V={a, b, c, d}

E={(a,c), (a,b), (b,c),

(b,d), (c,d)} v w

GRAFO NO DIRIGIDO

• Sea G un Grafo no Dirigido,

donde G=(V,E) y V

corresponde al conjunto de

vértices y E al conjunto de

aristas del grafo.

• Un Grafo no Dirigido se

diferencia de un Grafo Dirigido

debido a que cada arista en E

es un par no ordenado de

vértices. Si (v,w) es una arista

no dirigida (v,w) = (w,v).

a b

c d

V={a, b, c, d}

E={(a,c),(c,a),(a,b),(b,a)

(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),

(c,d),(d,c)}

COSTOS

Grafo Dirigido

Etiquetado Grafo No Dirigido

Etiquetado

Los enlaces tanto para los grafos Dirigidos como No

Dirigidos tienen un costo (valor), por lo tanto son grafos

etiquetados.

a b

c d

a b

c d

20

30 25

15

40 40

a b

c d

a b

c d

20

30 25

15

REPRESENTACION LOS GRAFOS

Un grafo Dirigido o No-Dirigido se puede representar

mediante:

Matriz de Adyacencia

Lista de Adyacencia

Arreglos para la Lista de Adyacencia.

Sea el siguiente Grafo Dirigido:

Donde: V={1,2,3,4} E={(1,2),(2,3), (,3,1), ((4,2),(3,4)}

2

1

3

4

MATRIZ ADYACENTE

casootroen

Ejisijia

0

),( 1],[

Sea: E={( 1 , 2 ), ( 2 , 3), (3 , 1 ), ( 4 ,2),( 3 , 4 )}

0010

1001

0100

0010

a

La Matriz Adyacente A de un Grafo G=(V,E) tiene V*V elementos y se define como:

Fila Columna

2

1

3

4

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MATRIZ DE ADYACENCIA

• VENTAJAS: Se puede determinar en un tiempo

fijo y constante si un enlace(arco) pertenece o no al grafo.

Es fácil determinar si existe o no un arco o enlace, solo se debe posicionar en la matriz.

Es fácil determinar si existe un ciclo en el grafo, basta multiplicar la matriz por ella misma n veces hasta obtener la matriz nula(no hay ciclos) o bien una sucesión periódica de matrices(hay ciclo)

• DESVENTAJAS:

Se requiere un almacenamiento |v|*|v|. Es decir O(n2).

Solo al leer o examinar la matriz puede llevar un tiempo de O(n2).

LISTA ADYACENTE

La lista de adyacencia para un vértice v es una lista enlazada de todos los vértices w adyacentes a v. Un grafo puede ser representado por |v| listas de adyacencias, una para cada vértice.

=

1

2

2 3

=

3 4

3

2 1

3 4

4

= 2

=

Lista de

Adyancencia Grafos

Vértices

VENTAJAS Y DESVENTAJAS

DE LAS LISTAS DE ADYACENCIA

• VENTAJAS: La lista de adyacencia requiere

un espacio proporcional a la suma del número de vértices más el número de enlaces(arcos). Hace buen uso de la memoria.

Se utiliza bastante cuando el número de enlaces es mucho menor que O(n2)

• DESVENTAJAS: La representación con lista de

adyacencia es que puede llevar un tiempo O(n) determinar si existe un arco del vértice i al vértice j, ya que pueden haber O(n) vértices en la lista de adyacencia. Para el vértice i.

UTILIZACION DE ARREGLOS

PARA LA LISTA DE ADYACENCIA

21

3 4

Grafos

1

2

4

3

Vertices

2

3

0

4

0

2

0

3

0

Arreglo de

Lista

Adyacente

Se utilizan los arreglos para implementar la Lista de Adyacencia:

EJERCICIOS

Para los siguientes Grafos Dirigidos y No Dirigidos, calcular su:

• Matriz de Adyacencia

• Lista de Adyacencia

Construya la Matriz de adyacencia del siguiente

grafo no dirigido:

1

3

5

8

Ejercicio 1

Construya la Matriz de adyacencia del siguiente

Grafo Dirigido:

1

4

2

3

Ejercicio 2

a b

c d

a b

c d

8

30 15

15

40 40

a b

c d

a b

c d

120

10 5

15

Ejercicio 3 Ejercicio 4

A partir de las siguientes Matrices,

construir sus respectivos Grafos si es

que es posible.