Grficos para variables cuantitativas

Para las variables cuantitativas, consideraremos dos tipos de grficos, en funcin de que para realizarlos se usen las frecuencias (absolutas o relativas) o las frecuencias acumuladas:

Diagramas diferenciales: Son aquellos en los que se representan frecuencias absolutas o relativas. En ellos se representa el nmero o porcentaje de elementos que presenta una modalidad dada.

Diagramas integrales: Son aquellos en los que se representan el nmero de elementos que presentan una modalidad inferior o igual a una dada. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas, lo que da lugar a grficos crecientes, y es obvio que este tipo de grficos no tiene sentido para variables cualitativas.

Segn hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas. Vemos a continuacin las diferentes representaciones grficas que pueden realizarse para cada una de ellas as como los nombres especficos que reciben.

1.-Grficos para variables discretas

Cuando representamos una variable discreta, usamos el diagrama de barras o de bastones cuando pretendemos hacer una grfica diferencial. Las barras deben ser estrechas para representar el que los valores que toma la variable son discretos. El diagrama integral o acumulado tiene, por la naturaleza de la variable, forma de escalera. Un ejemplo de diagrama de barras as como su diagrama integral correspondiente estn representados en la figura (1)

Ejemplo

Se lanzan tres monedas al aire en 8 ocasiones y se contabiliza el nmero de caras, X, obtenindose los siguientes resultados:

Representar grficamente el resultado.

Solucin: En primer lugar observamos que la variable X es cuantitativa discreta, presentando las modalidades:

Ordenamos a continuacin los datos en una tabla estadstica, y se representa la misma en la figura (1)

Figura 1: Diagrama diferencial (barras) e integral para una variable discreta. Obsrvese que el diagrama integral (creciente) contabiliza

el nmero de observaciones de la variable inferiores o iguales a cada punto del eje de abscisas.

xi ni fi Ni Fi

0 1 1/8 1 1/8

1 3 3/8 4 4/8

2 3 3/8 7 7/8

3 1 1/8 8 8/8

n=8 1

Interpretacin

Interpretacin con respecto a la frecuencia absoluta simple ( )

En una ocasin no se obtuvieron caras

En tres ocasiones se obtuvo una cara

En tres ocasiones se obtuvo dos caras

En una ocasin se obtuvo tres caras

Interpretacin con respecto a la frecuencia absoluta acumulada ( )

En 4 ocasiones se obtuvo una cara (se obtuvo una cara y no se obtuvo cara

En 7 ocasiones se obtuvo 3 caras(no se obtuvo cara, se obtuvo1 cara y se obtuvo 2 caras)

En 8 ocasiones se obtuvo 6 caras(no se obtuvo cara, se obtuvo1 cara , se obtuvo 2 caras y se obtuvo 3 caras)

Ejemplo

Clasificadas 12 familias por su nmero de hijos se obtuvo:

Nmero de hijos (xi) 1 2 3 4

Frecuencias (ni) 1 3 5 3

Comparar los diagramas de barras para frecuencias absolutas y relativas. Realizar el diagrama acumulativo creciente.

Solucin: En primer lugar, escribimos la tabla de frecuencias en el modo habitual:

Variable F. Absolutas F. Relativas F. Acumuladas

xi ni fi Ni

1 1 0,08 1

2 3 0,25 4

3 5 0,42 9

4 3 0,25 12

12 1

Con las columnas relativas a xi y ni realizamos el diagrama de barras para frecuencias absolutas, lo que se muestra en la figura (2) Como puede verse es idntico (salvo un cambio de escala en el eje de ordenadas) al diagrama de barras para frecuencias relativas y que ha sido calculado usando las columnas de xi y fi. El diagrama escalonado (acumulado) se ha construido con la informacin procedente de las columnas xi y Ni.

Figura 2: Diagramas de frecuencias para una variable discreta

Interpretacin

Interpretacin con respecto a la frecuencia absoluta simple ( )

Una familia tiene 1 hijo

Tres familias tienen 2 hijos

Cinco familias tienen 3 hijos

Tres familias tiene 4 hijos

Interpretacin con respecto a la frecuencia absoluta acumulada ( )

Una familia tiene 1 hijo

Cuatro familias tienen 3 hijos(1hijo+2hijos)

Nueve familias tienen 6 hijos(1hijo+2hijos+3hijos)

Doce familias tiene 10 hijos(1hijo+2hijos+3hijos+4hijos)

EJERCICIOS

1.-El nmero de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

Construir la tabla de distribucin de frecuencias y grafique.

2.-Las calificaciones de 50 alumnos en Matemticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Construir la tabla de distribucin de frecuencias y grafique

3. Un dentista observa el nmero de caries en cada uno de los 100 nios de cierto colegio. La informacin obtenida a parecer resumida en la siguiente tabla: completar la tabla y graficar

Nmero de caries

0 25 0.25

1 20 0.2

2 x z

3 15 0.15

4 y 0.05

3.- En una empresa de telefona estn interesados en saber cul es el nmero de aparatos telefnicos (incluidos telfonos mviles) que se tiene en las viviendas. Se Hace una encuesta y, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas: 2 2 1 5 3 4 4 4 4 4 4 3 3 5 5 3 5 4 2 4 Construir la tabla de frecuencias y graficar

2.-Grficos para variables continas

Cuando las variables son continuas, utilizamos como diagramas diferenciales los histogramas y los polgonos de frecuencias.

Un histograma Es una grafica de barras rectangulares verticales juntas, se construye a partir de la tabla estadstica, representando sobre cada intervalo, un rectngulo que tiene a este segmento como base. El criterio para calcular la altura de cada rectngulo es el de mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas (o relativas) de cada intervalo y el rea de los mismos.

El Polgono de frecuencias Es una grafica poligonal cerrada, se construye fcilmente si tenemos representado previamente el histograma, ya que consiste en unir mediante lneas rectas los puntos del histograma que corresponden a las marcas de clase. Para representar el polgono de frecuencias en el primer y ltimo intervalo, suponemos que adyacentes a ellos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia nula, y se unen por una lnea recta los puntos del histograma que corresponden a sus marcas de clase. Obsrvese que de este modo, el polgono de frecuencias tiene en comn con el histograma el que las reas de las grficas sobre un intervalo son idnticas. Vanse ambas grficas diferenciales representadas en la figura (3)

El diagrama integral para una variable continua se denomina tambin polgono de frecuencias acumulado, y se obtiene como la poligonal definida en abscisas a partir de los extremos de los intervalos en los que hemos organizado la tabla de la variable, y en ordenadas por alturas que son proporcionales a las frecuencias acumuladas. Dicho de otro modo, el polgono de frecuencias absolutas es una primitiva del histograma. Vase la parte inferior de la figura(3), en la que se representa a modo de ilustracin los diagramas correspondientes a la variable cuantitativa continua expresada en la tabla siguiente:

Intervalos ci ni Ni

0 -- 2 1 2 2

2 -- 4 3 1 3

4 -- 6 5 4 7

6 -- 8 7 3 10

8 - 10 9 2 12

12

Figura 3: Diagramas diferenciales e integrales para una variable contina.

Ejemplo

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla

intervalos [50,60> 55 8 8

[60,70> 65 10 18

[70,80> 75 16 34

[80,90> 85 14 48

[90,100> 95 10 58

[100,110> 105 5 63

[110,120> 115 2 65

Histograma y polgono de frecuencias

Polgono de frecuencias acumulado,

EJERCICIOS N2 Hacer las graficas de los siguientes ejercicios

1.-Los ingresos quincenales en dlares de 45 personas son

63 89 36 49 56 64 59 35 78 43 53 70 57 62 43 68 62 26 64 72 52 51 62 60 71 61

55 59 60 67 57 67 61 67 51 81 53 64 76 44 73 56 62 63 60

Construir una distribucin de frecuencias de 8 intervalos

2.- Supongamos que hemos recogido informacin sobre el consumo de protenas en una

muestra de 20 nios entre 1 y 6 aos de edad. Los datos son los siguientes

21 25 35 22 18 24 21 23 16 23 27 17 26 19 29 20 19 20 23 22

3.- construir un cuadro de distribucin de frecuencias si los datos representan los pesos (en

kg) de 42 trabajadores del hospital X

57.0 58.5 62.5 66.0 70.0 74.5 78.0 81.5 65.0 68.5 60.0 59.4 61.0 68.0 73.5 77.5 58.3

65.0 69.5 77.0 58.5 71.0 67.0 69.5 73.5 62.5 64.0 75.0 60.0 62.5 69.0 96.0 73.0 63.0

64.0 68.5 66.5 65.5 66.5 67.0 66.0 66.0

4.- Se registra el tiempo en minutos que utilizan 30 alumnos para ejecutar una tarea

resultando lo siguiente

21.3 15.8 18.4 22.7 19.6 15.8 26.4 17.3 11.2 23.9 26.8 22.7 18.0 20.5 11.0 18.5 23.0

24.6 20.1 16.2 8.3 21.9 12.3 22.3 13.4 17.9 12.2 13.4 15.1 19.1

Tabla: Principales diagramas segn el tipo de variable.

Tipo de variable Diagrama

V. Cualitativa Barras, sectores, pictogramas

V. Discreta Diferencial (bastones o barras)

Integral (en escalera)

V. Continua Diferencial (histograma, polgono de frecuencias)

Integral (diagramas acumulados)