Gráfica fuerza vs deformación para un elemento constituido con un material perfectamente elástico

Cuando se habla de respuesta se refiere a los desplazamientos y a las fuerzas internas.Por el principio de superposición podemos expresar los efectos totales como la suma de efectos de cargas parciales:

1 TIPOS DE APOYOS Y CONEXIONES

Parte del modelado van en la representación de los soportes o apoyos, estos nos proporcionan estabilidad impidiendo el movimiento.Los tipos de apoyo se clasifican por la cantidad de grados de libertad que restrinjan. Van desde los más simples que restringen un solo grado de libertad hasta los más complejos que restrinjan seis grados de libertad en el espacio.Los más simples son rodillos, superficies lisas, uniones con cables, apoyos basculantes, etc.Al segundo tipo, aquellos que restringen dos grados de libertad, pertenecen las articulaciones, las superficies rugosas, las rotulas, etc.Al tercer tipo y último en estructuras planas pertenecen los empotramientos

Diagramas de momentos

M+

P

w

Diagramas de cortante

V

APOYOS ELÁSTICOS

Se considera como un resorte donde la fuerza de reacción es proporcional a la deformación lineal o angular del apoyo. Entre estos tipos podemos considerar las zapatas sobre un lecho elástico constituido por el suelo de fundación.

ANALISIS DE ESTRUCTURAS RÍGIDASDefiniciónVigaUna viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas sonprincipalmente perpendiculares aleje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte (véaseFigura 1); si las cargas no son perpendiculares se produce algo defuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño.Figura 1. Flexión (a) y corte en vigas (b) y (c) (Nota: Según IngenieríaSimplificada. Para Arquitectos y Constructores. (p. 92) , por Parker, H. y Ambrose, J. 1995. México D.F., México: Editorial LIMUSA,S.A. de C.V.)PórticoSe conoce como pórtico al conjunto de vigas y columnas en el cual lasuniones son rígidas y su diseñoestá gobernado por flexión en las vigas y flexocompresión en lascolumnasEcuaciones de equilibrioEl equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura,lo cual implica que la resultantede las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; aldescomponer en un plano cada fuerza y cadapar en sus componentes rectangulares, se encuentra las condicionesnecesarias y suficientes para el equilibriode un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tresecuaciones siguientes:Σ = 0 x F ; Σ = 0y F ; Σ = 0 pto M (Ec. 1)

Articulación

Zapata que se puede modelar como un empotramiento para la columna o como una articulación dependiendo de las condiciones de restricción al movimiento brindadas por el suelo u otros elementos

  Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de lasfuerzas externas en las direcciones x yy , así como los momentos de las fuerzas externas están enequilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzasexternas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación alcuerpo rígido considerado (Beer yJohnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 10Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. MedinaEl uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial enun problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer lasfuerzas que se generan en los apoyos parahacer que la estructura este en equilibrio.Tipos de apoyosLos apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan laestabilidad a la viga y por lo general, seencuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en losapoyos que se generan son productos de lascargas aplicadas y se llamanreaccionesy equilibran las cargasaplicadas. Analíticamente estas reaccionesrepresentan las incógnitas de un problema matemático.Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden altipo de apoyo que se estáempleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).Reacciones formada por una fuerza de dirección conocidaLos apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son:rodillos,balancines, superficieslisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimientoen una dirección. Las reacciones deeste grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en lamagnitud de la reacción y se pueden dirigir enuno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

Tipos de vigasLas vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según sunúmero de reacciones en dosgrupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay unavariedad de formas que varían según el tipo yposición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos devigas isostáticas, mientras que lashiperestáticas pueden ser de 5 (véase Figura 4). La figura muestra enforma esquemática los diferentes tipos ytambién la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que sedeforma bajo la carga (Parker y Ambrose,1995).

  1 Condición requerida para la realización de un análisis estructural, alser la estabilidad el segundorequisito que debe cumplir una estructura.2 Estas ecuaciones se obtienen del estudio de la mecánica de lossólidos deformables o resistencia demateriales.3 Condición necesaria pero no suficiente para considerar que la vigasea estable.FUNDAMENTO TEÓRICOLas vigas son elementos estructurales sujetos principalmente a flexión.Consideremos la viga de la Figura 1 cuya sección transversal esprismática.Figura 1Viga en cantiliver sujeta a flexión.Analizando el diferencial de longituddsse puede establecer lasiguiente relación:(1)donde:k = Curvaturar = Radio de curvatura.dq = Incremento del ángulo de rotación q .

prismática.Figura 1Viga en cantiliver sujeta a flexión.Analizando el diferencial de longituddsse puede establecer lasiguiente relación:(1)donde:k = Curvaturar = Radio de curvatura.dq = Incremento del ángulo de rotación q .

Figura 1Viga en cantiliver sujeta a flexión.Analizando el diferencial de longituddsse puede establecer lasiguiente relación:(1)donde:k = Curvaturar = Radio de curvatura.dq = Incremento del ángulo de rotación

El ángulo de rotación q del eje longitudinal de la viga en cualquier punto m1es aquel comprendido entre el eje x y la tangente de la curvaelástica. Este ángulo es positivo en sentido dexógiro y negativo ensentido destrógiro.Si observamos ahora la Figura 2 podemos establecer que la primeraderivada de la deflexión con respecto a x es la pendiente de la curvaelástica.

También, podemos aseverar que el valor del diferencial de longituddses aproximadamente igual al del diferencialdx . De lo anterior reescribimos la Ecuación 1

Debido a lo pequeño del valor del ángulo de giro dentro de nuestrodiferencial, el valor de la tangente de dicho ángulo es el ángulo mismo.Esto nos lleva a establecer:(3)Derivando la expresión anterior con respecto a x y sustituyendo en laEcuación 2, tendremos:(4)

Una viga sujeta a flexión presentará dos componentes importantes ensu deflexión, la de corte y la de momento. En la mayoría de los casos,con excepción de las vigas donde la relación longitud-peralte espequeña, la aportación a la deformación por corte se desprecia. Parael cálculo de las deflexiones existen varios métodos de análisis talescomo: doble integración, área-momento, viga conjugada y trabajovirtual. Centraremos nuestra atención en dos métodos cuya aplicaciónes sumamente sencilla y rápida.Método del trabajo virtual.Supongamos que sobre el sistema elásticode la Figura 1 actúan varias fuerzas externas (Q1... Qn

). Sisimultáneamente sobre el sistema se aplica una carga unitaria (P=1)en el lugar donde se desea conocer la deformación. El principio detrabajo virtual establece que el trabajo externo es igual al trabajointerno.(8)donde:F=fuerzas internas en el sistema causadas por las fuerzas externasactuantes.f=fuerzas internas causadas por la carga virtual unitaria.e=deformación causada por el total de las fuerzas internas.

Derivación del teorema de trabajo virtual.Considerando solamente las fuerzas externas reales,(9)Sustrayendo la Ecuación 9 de la Ecuación 8, el resultado indica que ladeformación en el punto de interés es

igual a la sumatoria del productode las fuerzas internas causadas por una carga virtual unitaria y lasdeformaciones reales del sistema.(10)Para vigas sujetas a flexión, donde la deformación es causadaprincipalmente por efecto del momento flector actuante y en menor grado por la fuerza de corte, la expresión anterior se escribe como:(11)donde:m= Momento flector virtual.M= Momento flector real.v= Fuerza de corte virtual.V= Fuerza de corte real.E= Módulo de elasticidad.I= Momento de inercia de la sección transversal de la viga.A= Area de la sección transversal de la viga.G= Módulo de corte elástico o módulo de rigidez.L= Longitud de la viga.

La aplicación del método del trabajo virtual para obtener deflexionesen vigas se puede resumir de la siguiente manera:1.Encontrar las ecuaciones de momento y corte producidaspor las fuerzas reales.2.Remover las fuerzas reales y colocar una carga virtualunitaria en el lugar y la dirección donde se deseadeterminar la deflexión. Determinar las ecuaciones demomento y corte virtual.3.Calcular la deflexión utilizando la Ecuación 11. Un valor positivo indicará que la dirección de la deflexión es lamisma que la de la carga virtual, en caso contrario, ladirección es opuesta.Examinando la Ecuación 11, podemos inferir que la deflexión de unaviga aumentará si se aumenta su longitud o se incrementa la magnitudde las fuerzas actuantes, mientras que si su momento de inercia conrespecto al eje de flexión y el módulo elástico de material que laconforma se incrementan, esta tiende a disminuir.Método de la viga conjugada.Con este método se pueden encontrar giros y deflexiones mediante la resolución de los cortantes ymomentos de una "viga conjugada" sujeta a una carga elástica. Laanalogía entre la viga real y la conjugada se basa en la similaridadexistente entre la obtención de la ecuación de la curva elástica a partir de la curvatura y la obtención del momento a partir de la cargaaplicada y se sustenta en las equivalencias contenidas en la Tabla 1.Tabla 1Equivalencias que sustentan el método de la viga conjugada.

V i g a r e a l V i g a c o n j u g a d aC u r v a t u r a ( M / E I ) C a r ga ( q ) P e n d i e n t e ( q ) F u e r z a c o r t a n t e ( V ) D e f le x i ó n ( u ) M o m e n t o f l e c t o r ( M ) Las condiciones de frontera debidas a la fuerza en la viga real y aldesplazamiento en la viga conjugada deben también ser equivalentes.>

La carga elástica consiste en aplicar como carga el diagrama demomentos de la viga original dividido entre su rigidez a la flexión (EI).En la Figura 5 se ilustra gráficamente lo anterior.Figura 5Equivalencias entre la viga real y la viga conjugada.Una vez aplicada la carga elástica a la viga conjugada encontramos la pendiente de uncierto punto de la deformada de la viga real calculando el cortante en ese mismo punto en laviga conjugada. De manera similar, si deseamos la deflexión en un cierto punto debemoscalcular el momento flector de ese lugar en la viga conjugada.Si tomamos como convención el origen de la viga en su extremo izquierdo, el sentido positivo del eje xhacia la derecha y el sentido positivo del eje yhacia abajo entonces unadeflexión hacia abajo es positiva y una pendiente positiva corresponde a un giro de la vigaen el sentido de las manecillas del reloj.