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Graduado en Ingeniería Aeroespacial

Mecánica Clásica

Cinemática de la Partícula

Jesús Peláez Álvarez

CAMPUSDE EXCELENCIAINTERNACIONAL

Mecánica Clásica. Edición 2011/2012. c© by Jesús Peláez Álvarez MC

Kinematics of the ParticlePage: 1/13

September 2, 2011

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

• Una característica esencial del movimiento es larelatividad del mismo; si un sistema se mueve, lasdistancias de sus puntos a los de una determinadareferencia cambian con el tiempo. Es preciso es-pecificar la referencia adoptada a fin de evitar am-bigüedades.

• Ejemplo: un tren se mueve con velocidad con-stante sobre una vía rectilínea. Un viajero dejacaer un objeto por una ventanilla; la trayectoriaque observa, despreciando la resistencia del aire,es una línea recta. La trayectoria que observauna persona situada enfrente de la vía sobre laque circula el tren es una parábola. Este ejemplomuestra que las características y propiedades delmovimiento de un objeto dependen del sistema dereferencia desde el que se observa.

• El ámbito natural en el que se producen losmovimientos que estudia la cinemática es el espa-cio euclídeo tridimensional. Elementos clave deestos espacios son las referencias cartesianas.

SISTEMAS DE REFERENCIA

x

y

z

x

y

z�r

�i

�j�k

O

P

FIGURA 2.1: Posición del punto P enla referencia �

Se utilizarán referencia cartesianasrectangulares, definidas sobre basesortonormales. Una vez fijada unareferencia � = {O;�i, �j, �k} cadapunto P del espacio queda determi-nado por tres coordenadas, (x, y, z),que son las coordenadas del vector�r =

−−→OP en la base (�i, �j, �k)

�r = x�i+ y�j + z�k.

Dicho vector recibe el nombre devector posición, o también ra-diovector, del punto P . Estaecuación constituye la expresiónformal de la biyección existente entre los puntos del espacio afín � ylos vectores de R

3. Cada punto P tiene un único conjunto de coorde-nadas (x, y, z), y cada conjunto de coordenadas (x, y, z) esta asociado aun único punto P de �. La referencia � se denomina, también, referenciaOxyz. Con esta notación se indica el origen de la referencia y el nombreque reciben las coordenadas que se miden a lo largo de sus tres ejes.




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SÓLIDO RÍGIDO

• En Mecánica se llama sólido rígido, o simplemente sólido, a todo sistemamaterial cuyos puntos mantienen invariables sus distancias mutuas. Los pun-tos geométricos de un espacio euclídeo satisfacen esta propiedad; se comportan,por tanto, como los puntos de un sólido ideal que ocupara todo el espacio. Porello, el espacio en el que se mueve un partícula recibe el nombre de sólido dereferencia. No confundir con los sistemas coordenados o referencias carte-sianas rectangulares. En un sólido de referencia dado hay muchos sistemascoordenados diferentes.

• En la naturaleza no existen sólidos rígidos. Bajo la acción de una fuerza,cualquier objeto material experimenta una deformación y las distancias relati-vas entre sus partículas se alteran. Dependiendo del material y de la fuerza, ladeformación puede ser imperceptible o suficiente para producir su rotura. Elsólido rígido es un modelo ideal y nunca altera su forma incluso cuando sesomete a fuerzas de intensidad elevada.

• Una barra cilíndrica, por ejemplo, de acero, de un metro de longitud y 1 cm2

de sección, cuando se estira con una fuerza de 10000 Nw experimenta, aprox-imadamente, un alargamiento de 0.5 mm. Si la barra fuese de material menosrígido la deformación sería mayor.

• El modelo de sólido rígido se adapta perfectamente a objetos que experimen-tan deformaciones pequeñas cuando se mueven, como la barra de acero delejemplo anterior. En otros casos, la falta de rigidez del objeto puede provocarefectos importantes y es necesario desarrollar análisis más complejos.

REPOSO Y MOVIMIENTO

• En Cinemática del Punto se analiza el movimiento de unapartícula respecto de una referencia � seleccionada previa-mente; se denomina posición del punto material M, en el in-stante t, al punto geométrico de la referencia que, en el instantet, coincide con el punto material M . Así pues, la posición deM es un punto de la referencia �.

• Se dirá que el punto material M está en reposo respecto dela referencia �, si su posición no cambia con el tiempo; encaso contrario, se dirá que el punto M está en movimiento. Portanto, cuando una partícula se mueve su posición cambia con eltiempo.

• Estas definiciones se extienden sin dificultad a sistemas departículas. Así, un sistema está en reposo respecto de una ref-erencia � si, y sólo si, todas sus partículas están en reposo re-specto de �. Si al menos una partícula está en movimiento, sedirá que el sistema está en movimiento respecto de�.




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CAMBIO DE SISTEMA COORDENADO

Considérese un punto P del espacio y dos referencias cartesianas rectangulares:� = {O;�i, �j, �k} y �1 = {O′; �u1, �u2, �u3}. ¿Qué relación existe entre lascoordenadas (x, y, z) y las (x1, x2, x3) del mismo punto P ?

Se necesitan los siguientes datos: 1) las coordenadas (ξ, η, ζ) del punto O′ en lareferencia Oxyz −−→

OO′ = ξ�i + η�j + ζ �k

y, 2) las coordenadas de los versores (�u1, �u2, �u3) en la referencia Oxyz

�u1 = q11�i+ q21

�j + q31�k

�u2 = q12�i+ q22

�j + q32�k

�u3 = q13�i+ q23

�j + q33�k

⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒ [�u1, �u2, �u2] = [�i, �j, �k]Q

donde la matriz Q es

Q =

⎛⎝q11, q12 , q13q21, q22 , q23q31, q32 , q33

⎞⎠

De la ecuación vectorial

−−→OP =

−−→OO′ +

−−→O′P (�r =

−−→OO′ + �ρ)

se deducen trivialmente las ecuaciones buscadas:(xyz

)=

(ξηζ

)+ Q

(x1x2x3

)(2.1)

x

y

zx1x2

x3�i �j

�k

�u1�u2

�u3

O

O′

P

�r

�ρ

FIGURA 2.2: Cambio de sistema coordenado

La matrizQ que interviene es la matriz de cambio de base entre las bases(�i, �j, �k) y (�u1, �u2, �u3) de las referencias Oxyz y O′x1x2x3. Ambasbases son ortonormales y la matriz Q es ortogonal, esto es, satisface larelación:

QT ·Q = I ⇔ Q−1 = QT




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TRAYECTORIA

x

y

z

x(t)

y(t)

z(t)

O

M , t

FIGURA 2.3: Trayectoria. Ecuacioneshorarias del movimiento de M .

Trayectoria: el lugar geométricode las posiciones ocupadas por elpunto M en los sucesivos instantesde tiempo. La trayectoria es un ele-mento geométrico (una curva) ligadaal sólido de referencia en el que semueve la partícula. Si se cambia desistema coordenado, la trayectoria nocambia, aunque, obviamente, sus ecua-ciones paramétricas cambiarán.En ocasiones se introducen sistemasde coordenadas móviles respecto delsólido de referencia. En tal caso,es imprescindible considerar el sis-tema móvil como un sólido diferentedel sólido de referencia, pues hay dosmovimientos diferentes en juego. La partícula M describirá trayectorias diferentesen ambos sólidos y es preciso distinguirlas con claridad.

ECUACIONES HORARIAS

El movimiento deM respecto de la referenciaOxyz está determinado si se conocenlas tres coordenadas de su posición en cada instante de tiempo t:

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

o en forma condensada �r = �r(t) (2.2)

Las ecuaciones (2.2) se denominan ecuaciones horarias del movimiento; inter-vienen en el análisis, bien como dato conocido de partida, bien como incógnitafundamental a determinar.

LEY HORARIA

Además de las ecuaciones horarias, hay otras alternativas para de-scribir el movimiento de M . En efecto, las ecuaciones (2.2) con-stituyen la representación paramétrica de una curva, y si en ellas serealiza un cambio de parámetro definido por la ecuación

t = ϕ(u) o su inversa u = ψ(t) (2.3)

adoptan la forma

x = f(u), y = g(u), z = h(u) (2.4)

y constituyen una representación paramétrica diferente de la mismacurva. Es posible describir el movimiento de la partícula mediante lasecuaciones (2.3) y (2.4).El movimiento se separa, entonces, en sus dos elementos constitutivosesenciales: por una parte la trayectoria (dada por (2.4)) y, por otraparte, la ley horaria (dada por (2.3)). La ley horaria expresa la formaen que el móvil recorre su trayectoria, esto es, si lo hace despacio odeprisa, si oscila o no, etc.Si se fija la trayectoria (2.4), se obtienen movimientos diferentes cam-biando la ley horaria (2.3). La trayectoria es independiente de laley horaria y no se altera cuando ésta cambia. Los elementos delmovimiento que gozan de esta propiedad, se denominan elementosgeométricos. La trayectoria es, pues, un elemento geométrico delmovimiento. El parámetro u, independientemente de su significado,si es que lo tiene, representa una coordenada intrínseca de la trayecto-ria.Las ecuaciones horarias constituyen una representación paramétricade la trayectoria, privilegiada, desde el punto de vista de la Cin-emática, al utilizar el tiempo como parámetro.




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VECTOR VELOCIDAD

Sea �r(t) = x�i+ y�j+ z�k el vector posición de la partículaM respecto dela referencia Oxyz. Se supondrá que las ecuaciones horarias �r = �r(t) delmovimiento de M son conocidas.Se define la velocidad instantánea deM en el instante t, como la derivadatemporal de su vector posición �r(t). Por tanto se tendrá:

�v(t) = x�i+ y�j + z �k (2.5)

Nos adherimos a la costumbre de situar un punto · encima de una variablepara indicar su derivada temporal. En (2.5) se sigue ya este convenio y enella las variables x, y, z simbolizan las derivadas

x =dx

dt(t), y =

dy

dt(t), z =

dz

dt(t)

La velocidad instantánea, o el vector velocidad o, simplemente, la ve-locidad de la partícula, es una propiedad local del movimiento y cambiacon la partícula a lo largo de su trayectoria. Si se cambia el sistema coor-denado �v no cambia, aunque sus coordenadas cambiarán. El origen de �ves la posición de M en el instante t, su recta de acción es la tangente a latrayectoria en M , su sentido el del movimiento y su módulo se obtiene de(2.5)

v =√x2 + y2 + z2

Para llegar a (2.5) se ha ha derivado el vector posición �r(t) considerandoconstantes los versores (�i, �j, �k) de Oxyz. De dicha derivada temporalse dice que es la derivada en la referencia Oxyz o, también, la derivadaefectuada por un observador ligado a Oxyz.

Si se dispone del movimiento a través de la trayectoria —en función de unparámetro u— y de la ley horaria la velocidad está dada por

�v(t) =d�r

dt=d�r

du(u) u

El vectord�r(t)

du, tangente a la trayectoria en M , en general no es unitario.

Si el parámetro u es un parámetro longitud de arco, se tendrá

�v(t) =d�r

dt=d�r

ds(s) s = s �t (2.6)

ahora bien, al ser el vector �t unitario se deduce que

v = s (2.7)

Este resultado evoca la definición elemental de velocidad (el espacio recor-rido dividido por el tiempo invertido), salvo que ahora el espacio ha demedirse a lo largo de la trayectoria seguida por M . La ecuación (2.6)muestra que las coordenadas intrínsecas de �v, esto es, las coordenadasen el triedro intrínseco (�t, �n, �b), son (s, 0, 0). Obviamente s y �t son el-ementos geométricos del movimiento, pues no dependen de la ley horariacon la que se desarrolle.En (2.7) se supone que �v y �t tienen el mismo sentido. En movimientoscon puntos de parada —una oscilación armónica en una recta— si se obligaa que �v y �t tengan el mismo sentido, �t sufriría discontinuidades en lospuntos de parada. Es preferible fijar un sentido para �t, mantenerlo duranteel movimiento, y admitir que en (2.7) s puede ser negativa; v no sería,entonces, el módulo de la velocidad sino su valor algebraico, esto es, elmódulo con un signo que indica el sentido de �v.




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HODÓGRAFA

Si los diferentes vectores velocidad se trasladan paralelamente a símismos hasta que su punto de aplicación coincida con el origen Ode la referencia, sus extremos describen una curva que recibe elnombre de hodógrafa de velocidades o, simplemente, hodógrafa.Las ecuaciones paramétricas de la hodógrafa son

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Aunque el espacio en el que se sitúa la hodógrafa es el de la ref-erencia Oxyz, para evitar confusiones suelen introducirse unosejes Oxyz que coinciden con los ejes de la referencia Oxyz. Deesta forma sobre el eje Ox se miden longitudes y sobre el Ox ve-locidades. En ocasiones la referencia Oxyz se denomina espaciohodógrafo.La hodógrafa hereda algunas propiedades del movimiento. Porejemplo, si la trayectoria es plana, la hodógrafa es una curva plana.El recíproco, sin embargo, es falso, esto es, el hecho de que lahodógrafa sea una curva plana no lleva aparejado que la trayectorialo sea. Un ejemplo de esta situación se tiene en una hélice circu-lar que se recorre con velocidad constante. La hodógrafa es unacircunferencia, por tanto es plana, mientras que la trayectoria es al-abeada. En ocasiones, si se conoce la hodógrafa se pueden deducirpropiedades interesantes del movimiento.

x, x

y, y

1

12

3

4

4

O

Hodógrafa

FIGURA 2.4: Hodógrafa de velocidades




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ACELERACIÓN

La aceleración instantánea de M en el instante t se define como laderivada temporal del vector velocidad �v(t), y como la derivada se-gunda del vector posición �r(t). Por tanto, se tendrá

�γ(t) = x�i+ y�j + z �k. (2.8)

La aceleración instantánea, el vector aceleración o, simplemente, laaceleración deM , es una propiedad local de la trayectoria. Es un vectorde la referencia Oxyz en la que se mueve el punto y se considera ligadoa la posición de M en la que se calcula. Si se parte de las componentesintrínsecas de �v = s �t se tendrá

�γ =d

dt(s �t) = s �t+ s �t

pero, de acuerdo con la primera fórmula de Frenet

d

ds�t = k �n ⇒ �t = sk �n

siendo k la curvatura de la trayectoria en la posición ocupada por lapartículaM . Se tiene así

�γ(t) = s �t+ s2k �n = v �t+ v2k �n. (2.9)

Por tanto, las componentes intrínsecas de la aceleración son (v, v2k, 0).La aceleración está contenida en el plano osculador, pues no tiene com-ponente según la binormal a la curva. Presenta, sólo, una componentetangencial γt = s = v y una componente normal γn = s2k = v2k.

La aceleración es la derivada temporal de la velocidad, y mide el cam-bio de la velocidad cuando el tiempo cambia. El vector �v tiene módulov, dirección y sentido �t. Por consiguiente, �v cambiará si cambia sumódulo v o su dirección �t. Los cambios en el módulo v se traducenen aceleración tangencial de la partícula. Los cambios en la direc-ción �t se traducen en aceleración normal (dirigida siempre hacia laconcavidad).

M�γ

�t

�n

�b

�γt = s�t

�γn = v2k �n

FIGURA 2.5: Componentes intrínsecas de �γ




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MOVIMIENTOS PLANOS EN COORDENADAS POLARES

Algunos movimientos planos se describen mejor por medio de coordenadas polares enel plano del movimiento. Por ejemplo, cuando existe simetría de revolución alrededorde un eje.Sea �r =

−−→OM el vector posición de la partícula M que se mueve en el plano Oxy de

una referencia Oxyz. Se tomarán coordenadas polares (r, θ) dentro de dicho plano: elpolo coincide con O, la distancia polar r es r = |�r| y el ángulo polar θ se mide desdeel semieje positivo de Ox.Se introducirá una referencia móvil Ox1y1z1, que acompaña a M durante sumovimiento, y cuyo plano Ox1y1 coincide con Oxy. Los ejes Oz y Oz1 coinciden;el eje Ox1 coincide en dirección y sentido con el radio vector �r =

−−→OM, y el eje Oy1 se

elige de forma que Ox1y1z1 tenga la misma orientación que Oxyz.El movimiento de interés es el deM respecto de Oxyz, y no el movimiento relativo a lareferencia auxiliar Ox1y1z1. Este último es un sencillo movimiento unidimensional enel que M describe el eje Ox1; recibe el nombre de movimiento radial, o movimientorelativo al radiovector.Los versores en las direcciones Ox1 y Oy1 se denominan, usualmente �ur y �uθ y estánligados con los versores del triedro fijo por las relaciones

�ur = +cos θ�i+ sin θ�j, �i = cos θ�ur − sin θ�uθ (2.10)

�uθ = − sin θ�i+ cos θ�j, �j = sin θ�ur + cos θ�uθ (2.11)

de las que se obtienen, trivialmente, las relaciones

d�ur

dθ= �uθ,

d�uθ

dθ= −�ur (2.12)

que facilitan la derivación de los versores �ur y �uθ.

Ox

y

z ≡ z1

M

x1

y1

�ur�uθ

θr

FIGURA 2.6: Coordenadas polares en el plano Oxy

La clave del análisis consiste en: 1) usar las coordenadas (r, θ)para definir la posición de M y, 2) expresar las magnitudesvectoriales que intervienen en el movimiento del punto M , enla base {�ur, �uθ} de la referencia móvil.En coordenadas polares (r, θ), las ecuaciones horarias delmovimiento de la partícula, a partir de las cuales pueden obten-erse todas las características del movimiento, son

r = r(t), θ = θ(t)




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VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Derivando el vector posición �r = r(t)�ur se obtiene el vector velocidad:

�v =d�r

dt=

d

dt(r�ur) = r �ur + r

d�ur

dt= r �ur + rθ

d�ur

dθ= r �ur + rθ�uθ

mediante sus coordenadas en la base móvil {�ur, �uθ}. La componente r �ur sedenomina velocidad radial, y la rθ�uθ velocidad transversal.Si es V al ángulo que �v forma con el radiovector �r, se tendrá

r =dr

dt= v cos V, rθ = r

dθ

dt= v sinV

en donde v = s representa el módulo de la velocidad. A partir de ellas seobtienen las clásicas fórmulas de geometría

ds2 = dr2 + r2dθ2, tanV =rdθ

dr

que proporcionan: i) la primera forma fundamental del plano en coordenadaspolares, y ii) la dirección de la tangente a la trayectoria de M .La hodógrafa es una curva plana y sus coordenadas polares son: v, la distanciapolar, y ϕ el ángulo polar. El ángulo que �v forma con el eje Ox es θ + V . Encoordenadas polares, las ecuaciones paramétricas de la hodógrafa son

v = v(t), ϕ = θ(t) + V (t)

y la curvatura de la trayectoria es

k =dϕ

ds=

dθ

ds+

dV

ds.

O x

y

M

x1

y1

�ur�uθ

θr

�t

�n

�γV

�v

FIGURA 2.7: Componentes intrínsecas

La aceleración �γ del móvil resulta ser

�γ =d�v

dt= (r − rθ2)�ur +

1

r

d

dt(r2θ) �uθ

Se denominan aceleración radial y aceleración transversal a las compo-nentes de �γ según �ur y �uθ, respectivamente. No confundirlas con las com-ponentes intrínsecas (tangencial y normal) que se obtienen proyectando sobreel triedro (�t, �n):

�t =r

v�ur +

rθ

v�uθ, �n = −rθ

v�ur +

r

v�uθ

γt = �γ · �t, γn = �γ · �nAquí v es la velocidad de la partícula.




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VELOCIDAD Y ACELERACIÓN AREOLAR

Sean O un punto fijo del espacio y C la curva descrita por un móvil M ; elarea elemental encerrada por la curva C y dos radiovectores consecutivos deM—con origen en O— es el módulo del vector

d �A =1

2�r × (�r + d�r) =

1

2�r × d�r

perpendicular al plano determinado por los radiovectores. Al area |d �A| es elarea barrida por el radio vector �r =

−−→OM en el desplazamiento elemental d�r.

Se define la velocidad areolar de M respecto de O como

�var =d �A

dt=

1

2�r × d�r

dt=

1

2�r × �v

Es un vector perpendicular al plano definido por �r y �v, cuyo módulo mide elarea barrida por el radio vector �r en la unidad de tiempo. La aceleraciónareolar de M respecto de O, de significado obvio, se define como

�γar =d�var

dt=

1

2�r × �γ

Estos conceptos son útiles en el estudio de movimientos planos en coordenadaspolares; la velocidad areolar respecto del polo O es un vector perpendicular alplano del movimiento

�var =1

2�r × {r�ur + rθ �uθ} =

1

2r2θ(�ur × �uθ) módulo var =

1

2r2θ

OM

�r

�r + d�r

d �A = 12(�r × d�r)

d�r

O

M

�var =12�r × �v

�r

�v

FIGURA 2.8: Velocidad areolar

La aceleración areolar del puntoM respecto del polo O es

�γar =d

dt(1

2r2θ)(�ur × �uθ)

Si se usan coordenadas cartesianas en Oxy

�var =1

2(xy − xy)�k, �γar =

1

2(xy − xy)�k




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MOVIMIENTOS CENTRALES

El movimiento deM es central si la recta soporte de su aceleraciónpasa, constantemente, por un punto fijoO (polo del movimiento): laaceleración pasa por O. Se toma una referencia Oxyz con origenen O. Para este tipo de movimientos la aceleración areolar es nulay, como consecuencia, la velocidad areolar es constante

�γar =1

2�r × �γ = �0 ⇒ �var =

1

2�r × �v =

1

2�c

Si la constante �c es nula, la trayectoria es una recta que pasa porO(demuéstrese). Si �c �= �0, la trayectoria está contenida en un planoque pasa por O, definido por la posición y velocidad iniciales. Enefecto, multiplicando escalarmente por �r los dos miembros de laecuación �r × �v = �c, se deduce

�r · (�r × �v) = �r · �c ⇒ �r · �c = 0

ecuación de un plano que pasa por el origen O y es ortogonal alvector �c. Este último está determinado por las condiciones ini-ciales

�c = �r0 × �v0

En un movimiento central la trayectoria es plana, el plano en elque está contenida pasa por el poloO y está definido por las condi-ciones iniciales (�r0, �v0). Por ello, el análisis se realiza dentro delplano y se usan coordenadas polares con polo en O.

LEY DE ÁREAS

El que la velocidad areolar sea constante se expresa mediante la ecuación

r2dθ

dt= c = 2var (ley de áreas)

donde c se llama constante de las áreas y es el doble del módulo de la velocidadareolar. El area barrida por el radiovector

−−→OM, en la unidad de tiempo, se mantiene

constante o, si se prefiere, el área barrida es proporcional al tiempo empleado enbarrerla.Si c = 0, θ = 0 y θ = θ0: la trayectoria es una recta que pasa por O. Si no se anula,entonces θ mantiene su signo, y a lo largo del movimiento el giro de M es siempreen el mismo sentido.La constante de áreas c es el módulo del vector �c = �r × �v, por tanto

c = rv sen V = vd

siendo d = r sen V la distancia del polo O a la tangente: en un movimiento centralla velocidad v es inversamente proporcional a la distancia de la tangente al polo.




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FÓRMULAS DE BINET

Si la trayectoria de M está dada, conocer su velocidad en un in-stante no implica, en modo alguno, conocer la ley horaria. Es obvioque distintas leyes horarias pueden tener en común la velocidad enun instante. Por ejemplo, la circunferencia de centro el origen yradio a puede recorrerse con las dos leyes horarias

s1 = aωt, s2 = a (eωt − 1), s1(0) = s2(0) = aω

que, siendo distintas, comparten la velocidad inicial (t = 0).Sin embargo, si la trayectoria, excepción hecha de las rectas quepasan porO, es recorrida con un movimiento central, y se conocela velocidad en un punto, entonces la ley horaria está determinaday, con ella, la velocidad en los restantes puntos de la trayectoria.En efecto, sea �vA la velocidad conocida de M en el punto �rA dela trayectoria; de la ley de áreas se deduce

�r × �v = �c ⇒ r2θ = c

donde �c = �rA × �vA es un vector constante y conocido, no nulo,ortogonal al plano del movimiento.Si la trayectoria r = r(θ) es conocida, c es conocida y de la ley deáreas se deduce la ley horaria:

t =1

c

∫ θ

θ0

r2(θ) dθ.

La velocidad adopta la forma

�v =dr

dθθ �ur + rθ �uθ = c{ 1

r2dr

dθ�ur +

1

r�uθ} ⇒ �v = c{− d

dθ(1

r)�ur +

1

r�uθ}

Así, �v depende de dos factores; el primero, c, es función, sólo, de las condicionesiniciales, mientras que el segundo depende, sólo, de la trayectoria. Esta ecuaciónrecibe el nombre de primera fórmula de Binet y, frecuentemente, se expresa enforma escalar

v2 = c2{( ddθ

(1

r))

2

+ (1

r)2

}La aceleración también está determinada en todos los puntos de la trayectoria. Paraver esto, si se deriva en la expresión de �v se tiene

�γ =d�v

dt= θ

d�v

dθ=

c

r2· c{d

2(1r)

dθ2− 1

r}�ur ⇒ �γ = −c

2

r2{d

2(1r)

dθ2+

1

r} �ur

ecuación en la que c2 representa la dependencia de �γ con las condiciones iniciales;los restantes elementos dependen solamente de la trayectoria. Cuando se escribe enla forma

γ = −c2

r2(d2

dθ2(1

r) +

1

r)

recibe el nombre de segunda fórmula de Binet.Las dos fórmulas de Binet no son independientes. En efecto, están relacionadas porla ecuación

γ =d

dr(1

2v2)

que es válida salvo en trayectorias circulares de centro el origen, r = cte (de-muéstrese).




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EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Un punto describe una trayectoria plana con una aceleración de mó-dulo constante, aω2, y dirección variable que forma, con una dirección fija delplano, el doble del ángulo que la velocidad forma con esa dirección. Hallar latrayectoria y la ley horaria del movimiento del punto.

Ejercicio 2.- Una partícula material se mueve respecto de una referencia carte-siana rectangular Oxyz satisfaciendo las siguientes condiciones: i) su hodógrafaes el paralelo intersección con el plano z = (aΩ/2) de la esfera de ecuaciónx2+ y2+ z2 = a2Ω2, ii) su aceleración normal es constante y de valor (

√3/2)aΩ2,

iii) en el instante considerado como inicial el punto se encuentra en la posición(a√3/2, 0, 0), con una velocidad ortogonal al radiovector. Determinar las ecua-

ciones horarias del movimiento de la partícula.

Ejercicio 3.- Una partícula se mueve con velocidad areolar constante respecto deun punto, y las componentes normal y tangencial de su aceleración son en todoinstante iguales. Calcular su trayectoria, y ley horaria.

Ejercicio 4.- Cuatro moscas ocupan, en un instante determinado, los vértices de uncuadrado de lado 2a. Si cada una de las moscas está persiguiendo a la siguiente ytodas tienen la misma velocidad, hallar las trayectorias que describen.(E.T.S.I. de Caminos, 1966)

Ejercicio 5.- Determinar la trayectoria de un móvil sabiendo que es plana y que lascomponentes, tangencial y normal de la aceleración son constantes.

Ejercicio 6.- Una partícula M describe un movimiento central respecto a un puntoO, de tal manera que su velocidad vale v = kr siendo r la distancia que lo separade O. Si inicialmente se encuentra a una distancia a de O con velocidad v0 normala OM , se pide: 1) Ecuaciones horarias del movimiento de M , 2) Trayectoria, 3)Aceleración total, tangencial y normal, 4) Radio de curvatura de la trayectoria, 5)Hodógrafa del movimiento.

Ejercicio 7.- Un barquero pretende cruzar de la orilla izquierda a la derecha de unrío, de anchura h y cuyas aguas discurren con una velocidad constante v. La barcaestá dotada de un motor que le comunica una velocidad constante u respecto al aguay dirigida según su eje longitudinal. Con objeto de alcanzar el punto O de la orilladerecha el barquero orienta constantemente la barca hacia dicho punto, es decir,maneja convenientemente el timón para que en todo momento la prolongación deleje longitudinal de la barca pase por O.Se supondrá para los apartados 1) a 4) que inicialmente la barca se encuentra enel punto A situada en la perpendicular trazada por O a los márgenes del río. Sepide: 1) Determinar la hodógrafa del movimiento de la barca respecto a tierra, 2)Calcular la trayectoria de la barca respecto a tierra, 3) Determinar la condición quedeba cumplir u para que la barca llegue efectivamente a O, 4) Calcular el tiempoque tarda el barquero en cruzar el río en el supuesto que se cumpla u = 2v, 5)Determinar el punto B de la orilla izquierda del que debe partir el barquero conobjeto de que, cumpliendo las condiciones especificadas en el enunciado y en elsupuesto u = 2v, llegue a O en un tiempo mínimo.(E.T.S.I. Aeronáuticos, Septiembre 1969)

Ejercicio 8.- Consideremos un plano horizontal y un sistema de referencia ortog-onal Oxy en el mismo. Un hombre parte del punto O y recorre el eje Ox con unavelocidad constante v. Un perro parte del punto (0, a) con una velocidad constantev/k y persigue al hombre de tal forma que en todo momento su vector velocidad vadirigido hacia donde se encuentra éste.Averiguar la trayectoria seguida por el perro y estudiar en qué casos llegará a alcan-zar al hombre.(E.T.S.I. de Caminos, 1962).

Ejercicio 9.- Un punto se mueve en el plano Oxy con velocidad de módulo con-stante (v0) y con aceleración normal igual a v02/ε(s + s0), siendo s la longitud dearco recorrida y ε y s0 dos constantes. En el instante inicial, s = 0 y la veloci-dad es según el eje Ox. Determinar la trayectoria del punto y la ley horaria delmovimiento.



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