Dinámica del Sólido

Índice

1. Sólido con eje fijo 2

1.1. Cinemática del SEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Introducción a la dinámica del SEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Ecuaciones de la dinámica del SEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. Regularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Reacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.1. Equilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6. Ejes permanentes de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7. Ejes espontáneos de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Sólido con punto fijo 6

2.1. Cinemática del SPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Introducción a la dinámica del SPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Ecuaciones de la dinámica del SPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1. Caso General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2. Caso de tensor cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Caso de Euler-Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1. Primera fase de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2. Análisis cualitativo de la estabilidad de las rotaciones . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.3. Segunda fase de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.4. Casos particulares asociados a condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.5. Casos particulares asociados a características másicas . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.6. Interpretación de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5. Sólido pesado con punto fijo (O 6≡G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6. Caso de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6.1. Reducción a cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6.2. Análisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6.3. Casos del sólido de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.4. Movimientos estacionarios del trompo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Sólido libre 26

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Sistema de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

1. Sólido con eje fijo

1.1. Cinemática del SEF

θ

θ

O

O′

G

G′

x

y

z ≡ z1

x1

y1

R

R1

F

MO

Geometría: OO′ = h~k, OG′ = (~k · OG)~kCampo de velocidades y aceleraciones del sólido:

ω01(t) = θ ~k ⇒ α01(t) = θ ~k

vO01(t) = 0 ⇒ γO01(t) = 0

vG01CV S=

vO01 + ω01 ∧OG = ω01 ∧ (OG′ +G′G)= θ(~k ∧G′G)

γG01CAS=

γO01 + α01 ∧OG+ ω01 ∧ (ω01 ∧ OG) = θ(~k ∧G′G)− θ2G′G

1.2. Introducción a la dinámica del SEF

Se pretende estudiar el problema mecánico de un sólido con un eje fijo (eje de puntos fijos).

Sistemas de referencia:

Ox1y1z1: Ejes inerciales (referente del movimiento) Sólido 1Oxyz: Ejes cuerpo (con Oz ≡ Oz1) Sólido 00/1 Movimiento de interés

Incógnitas:

1 GDL: θ [1]Rótula ideal en O: R [3]Cojinete oscilante en O′: R1 (R1 ⊥ ~k) [2]

2

Fuerzas directamente aplicadas:

Resultante: F (θ, θ, t)

Momento en O: MO(θ, θ, t)

1.3. Ecuaciones de la dinámica del SEF

Ecuaciones generales:

ECM: mγG01 = F + R + R1

EMC:dHO

dt

∣∣1= MO +OO′ ∧ R1

Cinética:

HO = ¯IO . ω01

dHO

dt

∣∣1=dHO

dt

∣∣0+ ω01 ∧ HO = ¯IO . α01 + ω01 ∧ ¯IO . ω01 =

= θ ¯IO . ~k + θ2(~k ∧ ¯IO . ~k) = θ IO,~k

+ θ2(~k ∧ IO,~k

) (IO,~k

= ¯IO . ~k Vector de inercia)

m[θ(~k ∧G′G)− θ2G′G

]= F + R + R1 (1)

θ IO,~k

+ θ2(~k ∧ IO,~k

) = MO +OO′ ∧ R1 (2)

1.4. Movimiento

Multiplicando la ecuación (2) escalarmente por ~k obtenemos:

MO · ~k +(OO′ ∧ R1) · ~k = θ IO,~k · ~k = θ IO,~k (IO,~k = IO,~k · ~k Momento de inercia)

θ =MO(θ, θ, t) · ~k

IO,~k

= F (θ, θ, t) t = t0 : θ = θ0 , θ = θ0 (Problema de Cauchy)

1.4.1. Regularización

IO,~k

↑ ⇒ θ ↓ → lımIO,~k

→∞θ ≃ CTE

La regularización de un sólido giratorio significa aumentar el momento de inercia respecto al ejede giro (añadiendo volantes de inercia) con objeto de limitar el valor de la aceleración angular.

1.5. Reacciones

Premultiplicando (2) vectorialmente por ~k se obtiene:

θ ~k ∧ IO,~k

+ θ2~k ∧ (~k ∧ IO,~k

) = ~k ∧ MO + h~k ∧ (~k ∧ R1) = ~k ∧ MO + h[

(~k · R1)~k − R1

]

Despejando se tiene:

R1 =1

h

[~k ∧ MO − θ ~k ∧ I

O,~k− θ2(I

O,~k~k − I

O,~k)]

(3)

3

Despejando de (1) obtenemos:

R = −F − R1 +m[θ(~k ∧G′G)− θ2G′G

](4)

1.5.1. Equilibrado

Posiciones de equilibrio: aquellos valores θ∗ para los que abandonando el sólido en reposo (θ = 0)tenemos valores nulos de aceleración angular (θ = 0):

θ∗ : MO(θ∗, 0, t) · ~k = 0, ∀t ≥ t0

Las reacciones en equilibrio se obtienen particularizando (3) y (4) con θ = θ∗, θ = 0, θ = 0:

R1 =~k ∧ MO

h

∂R1

∂θ= 0 (5)

R = −F −~k ∧ MO

h

∂R

∂θ= 0 (6)

Regímenes de funcionamiento de las máquinas giratorias:

Transitorio : |θ| ≫ 0 (periodos de arranque y parada: TT1 y TT2)

Estacionario : |θ| ≃ 0 (periodo de funcionamiento nominal u óptimo: TE)

Lo habitual es que TT1 + TT2 ≪ TE, por lo interesa eliminar los términos que más contribuyen acargar las reacciones en régimen estacionario, es decir, los términos en θ2 de (3) y (4).

Eliminación de los términos en θ2 de (3):

IO,~k

~k = IO,~k

⇔ ~k ∧ IO,~k

= 0 ⇔ ~k es DPI en O ≡ Oz (eje de giro) es principal de inercia

Pero además desaparece el término en θ, luego se obtiene:

R1 =~k ∧ MO

hdonde

∂R1

∂θ=

1

h(~k ∧ ∂MO

∂θ) 6= 0 al contrario que en (5)

Eliminación de los términos en θ2 de (4):

GG′ = 0 ⇔ G ∈ Oz ⇔ Oz (eje de giro) es central

Pero también desaparece el término en θ, luego se obtiene:

R = −F −~k ∧ MO

hdonde

∂R

∂θ= −∂F

∂θ− 1

h(~k ∧ ∂MO

∂θ) 6= 0 al contrario que en (6)

Equilibrado de un sólido giratorio es hacer que el eje de giro sea central y principal de inerciapara minimizar las reacciones de ligadura. Con ello se consigue que las expresiones que proporcionanlas reacciones dinámicas tengan la misma definición matemática que la de los casos de equilibrio(aunque no las mismas dependencias).

1.6. Ejes permanentes de rotación

Si se satisface que:

Oz es DPI en O

MO = 0

4

Entonces se tiene que R1 = 0, θ = CTE.

No hace falta el cojinete oscilante porque no se necesita reaccionar. Se quita y obtenemos unsólido con punto fijo (SPF) girando a velocidad angular constante alrededor de Oz, denominado eje

permanente de rotación (EPR).

1.7. Ejes espontáneos de rotación

Si se satisface que:

Oz es EPR.

Oz es eje central.

F ≡ 0.

Entonces se tiene que R = 0, θ = CTE.

No hace falta la rótula porque no se necesita reaccionar. Se quita y obtenemos un sólido libre (SL)girando a velocidad angular constante alrededor de Oz, llamado eje espontáneo de rotación (EER).

5

2. Sólido con punto fijo

2.1. Cinemática del SPF

ψ

ψ

θ

θ

ϕ

ϕ

O

G

x

y

z ≡ z3

x1

y1

z2 ≡ z1

x2 ≡ x3

y2

y3

R

LN

F

MO

Velocidades angulares de las rotaciones asociadas a los ángulos de Euler

ω03 = ϕ~k = ϕ~k3

ω32 = θ~ı2 = θ~ı3

ω21 = ψ ~k1

Geometría de vectores

~ı2 = cosϕ~ı− sinϕ~

~k1 = sin θ~3 + cos θ~k3

~3 = sinϕ~ı+ cosϕ~

Proyectando la velocidad angular en ejes 0:

ω01 = ω03 + ω32 + ω21 = ϕ~k + θ[cosϕ~ı− sinϕ~] + ψ[sin θ(sinϕ~ı+ cosϕ~) + cos θ~k] =

= ψ sin θ sinϕ+ θ cosϕ︸ ︷︷ ︸

p

~ı+ ψ sin θ cosϕ− θ sinϕ︸ ︷︷ ︸

q

~+ ψ cos θ + ϕ︸ ︷︷ ︸

r

~k

pqr

=

sin θ sinϕ cosϕ 0sin θ cosϕ − sinϕ 0

cos θ 0 1

︸ ︷︷ ︸

[A]

ψ

θϕ

∣∣A

∣∣ = − sin θ

Si∣∣A

∣∣ 6= 0 ⇒

ψ

θϕ

=

[A∗]T

|A|

pqr

6

α01 =dω01

dt|1 =

dω01

dt|0 +(((((ω01 ∧ ω01 = p~ı + q ~+ r ~k

Proyectando la velocidad angular en ejes 3:

ω01 = ω03 + ω32 + ω21 = ψ(sin θ~3 + cos θ~k3) + θ~ı3 + ϕ~k3 =

= θ︸︷︷︸

P

~ı3 + ψ sin θ︸ ︷︷ ︸

Q

~3 + ψ cos θ + ϕ︸ ︷︷ ︸

R

~k3

PQR

=

0 1 0sin θ 0 0cos θ 0 1

︸ ︷︷ ︸

[B]

ψ

θϕ

∣∣B

∣∣ = − sin θ

Si∣∣B

∣∣ 6= 0 ⇒

ψ

θϕ

=

[B∗]T

|B|

PQR

Proyectando la velocidad angular 3/1 en ejes 3:

ω31 = ω32 + ω21 = ψ(sin θ~3 + cos θ~k3) + θ~ı3 = P~ı3 +Q~3 + (R− ϕ)~k3

α01 =dω01

dt|1 =

dω01

dt|3 + ω31 ∧ ω01 = P ~ı3 + Q~3 + R~k3 +

∣∣∣∣∣∣

~ı3 ~3 ~k3P Q R− ϕP Q R

∣∣∣∣∣∣

=

= (P +Qϕ)~ı3 + (Q− Pϕ)~3 + R~k3

2.2. Introducción a la dinámica del SPF

Se pretende estudiar el problema mecánico de un sólido con un punto O fijo.

Sistemas de referencia:

Ox1y1z1: Ejes inerciales (referente del movimiento) Sólido 1Oxyz: Ejes principales de inercia del sólido en O (ejes cuerpo) Sólido 00/1 Movimiento de interés

Incógnitas:

3 GDL: ψ, θ, ϕ [3]Rótula ideal en O: R [3]

Fuerzas directamente aplicadas:

Resultante: F (ψ, θ, ϕ, ψ, θ, ϕ, t)

Momento en O: MO(ψ, θ, ϕ, ψ, θ, ϕ, t)

7

2.3. Ecuaciones de la dinámica del SPF

ECM: mγG01 = F + R

EMC:dHO

dt

∣∣1= MO (Sin incógnitas de ligadura)

2.3.1. Caso General

Geometría de masas:

¯I=

O(Oxyz)

A 0 00 B 00 0 C

Cinética:

HO = ¯IO . ω01

ddt→ dHO

dt

∣∣1=dHO

dt

∣∣0+ ω01 ∧ HO = ¯IO . α01 + ω01 ∧ (IO . ω01)

Ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo:

ω01 = p~ı+ q ~+ r ~k

α01 = p~ı+ q ~+ r ~k

p = ψ sin θ sinϕ+θ cosϕ (7)

q = ψ sin θ cosϕ−θ sinϕ (8)

r = ψ cos θ + ϕ (9)

Acciones directamente aplicadas:

MO =Mx~ı +My ~+Mz~k

Operaciones:

ω01 ∧ (IO · ω01) =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~kp q rAp Bq Cr

∣∣∣∣∣∣

Ecuaciones de Euler (EMC):

Ap+ (C − B)qr =Mx (10)

Bq + (A− C)pr =My (11)

Cr + (B − A)pq =Mz (12)

que, en vista de las dependencias de las componentes de la velocidad angular y de los momentos,constituyen un sistema de 3 EDO de segundo orden en ψ, θ, ϕ, que habrá de ser integrado, trassustituir las ecuaciones (7-9), con las siguientes condiciones iniciales para conocer el movimiento:

t = t0 :

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0 (p = p0, q = q0, r = r0)

Las fuerzas de ligadura se calculan, una vez conocido el movimiento del SPF, despejándolas dela ECM.

8

2.3.2. Caso de tensor cilíndrico

Sistemas de referencia:

Ox3y3z3: Referencia de Résal (tensor cilíndrico) Sólido 30/1 Movimiento de interés

Ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo:

ω01 = ψ ~k1 + θ~ı2 + ϕ~k = ψ(sin θ~3 + cos θ~k3) + θ~ı3 + ϕ~k3 =

= θ︸︷︷︸

P

~ı3 + ψ sin θ︸ ︷︷ ︸

Q

~3 + (ψ cos θ + ϕ)︸ ︷︷ ︸

R

~k3 = P~ı3 +Q~3 +R~k3

ω31 = θ~ı2 + ψ ~k1 = θ~ı3 + ψ sin θ~3 + ψ cos θ~k3 = P~ı3 +Q~3 + (R − ϕ)~k3

Geometría de masas:

¯I=

O(Ox3y3z3)

A 0 00 A 00 0 C

Cinética:

HO = ¯IO . ω01 = AP~ı3 + AQ~3 + CR~k3ddt→

dHO

dt

∣∣1=dHO

dt

∣∣3+ ω31 ∧ HO = AP ~ı3 + AQ~3 + CR~k3 +

∣∣∣∣∣∣

~ı3 ~3 ~k3P Q R− ϕAP AQ CR

∣∣∣∣∣∣

Acciones directamente aplicadas:

MO =Mx3~ı3 +My3 ~3 +Mz3~k3

Ecuaciones de Euler:

AP +Q[(C − A)R + Aϕ] =Mx3

AQ− P [(C − A)R + Aϕ] =My3

CR =Mz3

que, en vista de las dependencias de las componentes de la velocidad angular y de los momentos,constituyen un sistema de 3 EDO de segundo orden en ψ, θ, ϕ, que habrá de ser integrado, trassustituir las ecuaciones que determinan las componentes de la velocidad angular, con las siguientescondiciones iniciales para conocer el movimiento:

t = t0 :

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0 (p = p0, q = q0, r = r0)

9

2.4. Caso de Euler-Poinsot

Se caracteriza por: MO ≡ 0EMC→ HO = CTE

Hipótesis simplificativa:

A ≥ B ≥ C

Ecuaciones de Euler:

Ap+ (C − B)qr = 0 (13)

Bq + (A− C)pr = 0 (14)

Cr + (B − A)pq = 0 (15)

Para conocer el movimiento hay que resolver el sistema formado por las ecuaciones (7-9, 13-15) conlas siguientes condiciones iniciales:

t = t0 :

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0 (p = p0, q = q0, r = r0)

Fases de integración:

1. El SEDO (13-15) se puede concebir como de primer orden en p, q, r. Obtenemos p, q, r comofunciones del tiempo integrando el SEDO (13-15).

2. Introduciendo la solución anterior en el SEDO (7-9) o en otro similar, obtenemos por integraciónψ, θ, ϕ como funciones del tiempo.

2.4.1. Primera fase de integración

Se pretende obtener p(t), q(t), r(t) de las ecuaciones de Euler.

En primer lugar, se obtienen dos integrales primeras por combinaciones de las mismas.

Combinación p(13)+q(14)+r(15):

App+Bqq + Crr = 0 =1

2

d(Ap2 +Bq2 + Cr2)

dt

∫

→ Ap2 +Bq2 + Cr2 = C1 (16)

Combinación Ap(13)+Bq(14)+Cr(15):

A2pp+B2qq + C2rr = 0 =1

2

d(A2p2 +B2q2 + C2r2)

dt

∫

→ A2p2 +B2q2 + C2r2 = C2 (17)

Significado físico de (17):

HO = Ap~ı+Bq~+ Cr~k = CTE|·|2→ |HO|2 = A2p2 +B2q2 + C2r2 = |CTE|2 = C2

Significado físico de (16):

T =1

2ω . ¯IO . ω =

1

2(Ap2 +Bq2 + Cr2)

EE→ dT

dt= R ·vO +

MO · ω = 0∫

→ T = CTE =C1

2Substitución de constantes de integración por homogeneidad:

C2 = D2Ω2 ≥ 0

C1 = DΩ2 ≥ 0

D =C2

C1=

|HO|22T

(dimensiones de momento de inercia)

Ω =C1√C2

=2T

|HO|(dimensiones de velocidad angular)

10

Integrales primeras:

A p2 +B q2 + C r2 = D Ω2 (18)

A2p2 +B2q2 + C2r2 = D2Ω2 (19)

Son un sistema algebraico lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas: p2, q2, r2.

Para resolver el problema vamos a despejar dos de ellas en función de la tercera, en nuestro casoserán p = p(q), r = r(q), que sustituiremos en (14) para obtener una EDO de primer orden con laque calcular q(t).

Combinación A(18)-(19):

D(A−D)Ω2 = B(A−B)︸ ︷︷ ︸

≥0

q2 + C(A− C)︸ ︷︷ ︸

≥0

r2 ≥ 0 ⇒ D ≤ A (20)

Combinación (19)-C(18):

D(D − C)Ω2 = A(A− C)︸ ︷︷ ︸

≥0

p2 +B(B − C)︸ ︷︷ ︸

≥0

q2 ≥ 0 ⇒ D ≥ C (21)

Combinación (19)-B(18), que usaremos mas adelante:

D(D −B)Ω2 = A(A−B)︸ ︷︷ ︸

≥0

p2 − C(B − C)︸ ︷︷ ︸

≥0

r2 (22)

Luego:

C ≤ D ≤ A

Despejando p de (21):

p(q) = ±√

B(B − C)

A(A− C)︸ ︷︷ ︸

kp

√√√√√

D(D − C)

B(B − C)Ω2

︸ ︷︷ ︸

f2

−q2 (23)

A 6= C (tensor no esférico), B 6= C (tensor no cilíndrico), A 6= 0, B 6= 0 (sólido no degenerado)

Despejando r de (20):

r(q) = ±√

B(A− B)

C(A− C)︸ ︷︷ ︸

kr

√√√√√

D(A−D)

B(A− B)Ω2

︸ ︷︷ ︸

g2

−q2 (24)

A 6= C (tensor no esférico), A 6= B (tensor no cilíndrico), A 6= 0, B 6= 0 (sólido no degenerado)

Despejando de la ecuación (14):

dt = − Bdq

(A− C)pr⇒ sign(q) = −sign(p)sign(r)

Introduciendo las soluciones (23) y (24) en la ecuación anterior e integrando entre la situacióninicial y una genérica se obtiene la siguiente cuadratura:

⇒√

(A−B)(B − C)

AC︸ ︷︷ ︸

kq

(t− t0) = ±∫ q

q0

dq√

(f 2 − q2)(g2 − q2)(25)

El segundo miembro es una integral elíptica, por contener la raíz de un polinomio de cuatro grado.Una vez calculada q(t) de (25) se introduce en (23) y en (24) para obtener p(t) y q(t).

11

2.4.2. Análisis cualitativo de la estabilidad de las rotaciones

Aprovechando el tipo de cuadratura del segundo miembro podemos utilizar el análisis cualitativopara estudiar la estabilidad de las rotaciones. Teniendo en cuenta que el denominador es de la forma√

E − V (q) se tendrá que:

NIVEL ENERGÉTICO E = f 2g2 f 2g2 ≥ 0

POTENCIAL: V (q) = (f 2 + g2)q2 − q4 f 2 + g2 ≥ 0

RAÍCES: q∗ = 0 (doble),±√

f 2 + g2

PUNTOS CRÍTICOS: qmax = ±√

f 2 + g2

2Vmax =

(f 2 + g2)2

4qmin = 0 Vmin = 0

TENDENCIAS EXTREMAS: q → ±∞ V → −∞

E ,

V

ANALISIS CUALITATIVO DEL MOVIMIENTO DEL SOLIDO DE EULER-POINSOT

zona permitida

zona prohibidazona prohibida

q

0

0

E = f2g2

Vmax = (f2+g2)2

4

−

√

f2 + g2

−

√

f2+g2

2

−max(f, g) −mın(f, g) mın(f, g) max(f, g)

√

f2+g2

2

√

f2 + g2

De la figura se desprende que se satisface la siguiente relación:

−mın(f, g) ≤ q(t) ≤ mın(f, g)

12

2.4.3. Segunda fase de integración

Conocidas las funciones p(t), q(t), r(t) se trata de calcular las funciones ψ(t), θ(t), ϕ(t).

Elijamos el referente inercial del movimiento de forma que:

~k1 =HO

|HO|En estas condiciones se tiene que:

HO = DΩ~k1 = DΩ(sin θ sinϕ~ı+ sin θ cosϕ~+ cos θ~k) = Ap~ı+Bq~+ Cr~k

Por componentes:

Ap = DΩ sin θ sinϕ (26)

Bq = DΩ sin θ cosϕ (27)

Cr = DΩcos θ (28)

De (28) se tiene fácilmente que:

θ(t) = arc cos(Cr(t)DΩ ) (29)

Dividiendo (26) entre (27) se tiene fácilmente que:

ϕ(t) = arctan(Ap(t)Bq(t)

) (30)

Para sacar ψ(t) hay que hacer un mayor esfuerzo, porque no interviene en las ecuaciones (26-28).Habrá que obtenerlo de las ecuaciones de la cinemática del SPF.

En primer lugar eliminamos θ mediante la combinación sinϕ(7) + cosϕ(8) y despejamos ψ:

ψ =p sinϕ+ q cosϕ

sin θ

p sinϕ se saca multiplicando p(26) y despejando del segundo miembro:

p sinϕ =Ap2

DΩ sin θ

q cosϕ se saca multiplicando q(27) y despejando del segundo miembro:

q cosϕ =Bq2

DΩ sin θ

sin θ se saca despejando de la combinación (26)2 + (27)2:

sin θ =

√

A2p2 +B2q2

DΩSustituyendo todo se tiene:

ψ =Ap2 +Bq2

DΩ sin2 θ= DΩ

Ap2 +Bq2

A2p2 +B2q2= DΩ

DΩ2 − Cr2

D2Ω2 − C2r2

∫

→

ψ(t)− ψ0 = DΩ

∫ t

t0

DΩ2 − Cr2(t)

D2Ω2 − C2r2(t)dt (31)

Nótese que ψ > 0 por la elección del momento cinético.

13

2.4.4. Casos particulares asociados a condiciones iniciales

Caso D=A

O

ω01 = Ω~ı

x1

y1

z1 ≡ x

LN

y

z

ψ(t)

FASE 1:

q(t)(20)= r(t)

(20)= 0

p(t)(21)= ±Ω

⇒ ~ω01 = Ω~k1 = ±Ω~ı

ANÁLISIS CUALITATIVO:

f 6= 0

g = 0

⇒

E = 0

V = f 2q2 − q4

⇒

⇒ q = 0 mínimo relativo del potencial

FASE 2:

θ(t)(29)= ±π/2

ϕ(t)(30)= ±π/2

ψ(t)(31)= Ωt + ψ0

CONCLUSIONES:

Ox eje permanente de rotación estable.

Caso D=C

O

ω01 = Ω~k

x1

y1

z1 ≡ z

x

y

ψ(t) + ϕ(t)

FASE 1:

p(t)(21)= q(t)

(21)= 0

r(t)(20)= ±Ω

⇒ ~ω01 = Ω~k1 = ±Ω~k

ANÁLISIS CUALITATIVO:

f = 0

g 6= 0

⇒

E = 0

V = g2q2 − q4

⇒

⇒ q = 0 mínimo relativo del potencial

FASE 2:

θ(t)(29)= 0, π( 6 ∃LN)

ψ(t) =?

ϕ(t) =?

ψ(t)± ϕ(t)(9)= Ωt + ψ0 ± ϕ0

CONCLUSIONES:

Oz eje permanente de rotación estable.

14

Caso D=B

(22) : A(A− B)p2 − C(B − C)r2 = 0

Condiciones iniciales : A(A−B)p20 − C(B − C)q20 = 0

ANÁLISIS CUALITATIVO:

f 2 = Ω2

g2 = Ω2

⇒

E = Ω4

V = 2Ω2q2 − q4

⇒

⇒ q = ±Ω máximos relativos del potencial

Subcaso p0 = r0 = 0

O

ω01 = Ω~

x1

y1

z1 ≡ y

x

z

LN

ψ(t)

FASE 1:

q(t)(20−21)= ±Ω

p(t)(23)= r(t)

(24)= 0

⇒ ω01 = Ω~k1 = ±Ω~

FASE 2:

θ(t)(29)= π/2

ϕ(t)(30)= 0, π (solución doble)

ψ(t)(31)= Ωt + ψ0

CONCLUSIONES:

Oy eje permanente de rotación inestable.

Subcaso p20 + r20 6= 0

FASE 1:p

r= ±

√A(B−C)C(A−B)

= p0r0, f 2 = g2 = Ω2

p(t)(23)= sign(p0)

kpΩ

cosh[n(t− t0)]

q(t)(25)= sign(q0) Ω tanh[n(t− t0)]

r(t)(24)= sign(r0)

krΩ

cosh[n(t− t0)]

kp =

√

B(B − C)

A(A− C)kr =

√

B(A− B)

C(A− C)

n = kqΩ = Ω

√

(A− B)(B − C)

AC

FASE 2:

ψ(t)(31)= BΩ

BΩ2 − Cr2

B2Ω2 − C2r2

θ(t)(29)= arc cos(

Cr

BΩ)

ϕ(t)(30)= arctan(

Ap

Bq)

CONCLUSIONES:

El eje instantáneo recorre en eje ligados al sólido el plano r0x− p0z = 0 y tiende asintóticamentea ser el eje Oy.

lımt→∞

p(t)q(t)r(t)

=

0sign(q0)Ω

0

lımt→∞

ψ(t)θ(t)ϕ(t)

=

∞π/20

15

2.4.5. Casos particulares asociados a características másicas

Caso A=B=C (Sólido con tensor esférico en el punto O)

Solución:

GM ¯IO = A ¯U Cinética HO = ¯IO . ω01 = A ω01

EMCdHO

dt|1 = A

dω01

dt|1 = 0 ⇒ ω01(t) = (ω01)0

CONCLUSIONES:

La recta soporte de la velocidad angular inicial permanece fija en el espacio (eje permanente derotación). Las axoides degeneran en esa misma recta.

Caso A=B (Sólido con tensor cilíndrico respecto al eje Oz)

Ecuaciones:(15)→ r = r0(18 ó 19)→ p2 + q2 = k2

Solución (en este caso las dos fases de integración no están desacopladas):

θ(t)(29)= arc cos(

Cr0DΩ

) = θ0

ψ(t)(31)=

DΩ

A⇒ ψ(t) = ψ0 +

DΩ

At

ϕ(t)(9)= r0(1−

C

A) ⇒ ϕ(t) = ϕ0 + r0(1−

C

A)t

p(t)(7)=

DΩ

Asin θ0 sin(ϕ(t))

q(t)(8)=

DΩ

Asin θ0 cos(ϕ(t))

CONCLUSIONES:

El movimiento puede considerarse como composición de dos rotaciones puras uniformes:

ω01 = ω03 + ω31 | ω01| = CTE

ω03 = ϕ0~k |ω03| = CTE → RPU alrededor del eje giratorio Oz

ω31 = ψ0~k1 |ω31| = CTE → RPU alrededor del eje fijo Oz1

Caso de cuerpo prolato (A>C)

ψ > 0

ϕ > 0

E.I.R

.

z

z1

HO ω

ψ

θ

ϕ

Caso de cuerpo oblato (A<C)

ψ > 0

ϕ < 0

E.I.R

.

z z1

HO

ωψ

θ

ϕ

16

2.4.6. Interpretación de Poinsot

Elipsoide de inercia en los ejes cuerpo (Oxyz):

EI : Ax2 +By2 + Cz2 = 1Implícita⇒ F (x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 − 1 = 0 (32)

Eje instantáneo de rotación (paramétricas en ejes cuerpo):

EIR : O; ω Paramétricas⇒ (x(λ, t), y(λ, t), z(λ, t)) = λ(p(t), q(t), r(t)) (33)

Polos: M,M ′ = EIR ∩ EI

λ = ± 1√D Ω

⇒ rM =p~ı+ q ~+ r ~k√

D Ω, rM

′

= −p~ı + q ~+ r ~k√D Ω

(34)

Normal al elipsoide en un punto P (xP , yP , zP ):

NP =1

2∇F (xP ) = AxP~ı+ByP~+ CzP~k (A(xP )2 +B(yP )2 + C(zP )2 = 1) (35)

Plano tangente al elipsoide en un punto P del mismo (ecuación implícita):

ΠP : NP · (x− xP ) = 0 ⇒ NP · x = NP · xP

(AxP~ı +ByP~+ CzP~k) · (x~ı+ y~+ z~k) = NP · xP = A(xP )2 +B(yP )2 + C(zP )2 = 1

AxPx+ByPy + CzP z = 1 (36)

Versor normal al plano tangente:

~nP =NP

|NP | =AxP ~ı +ByP ~+ CzP ~k

√

A2(xP )2 +B2(yP )2 + C2(zP )2(37)

Plano tangente al elipsoide en el polo M del mismo:

ΠM : Apx+Bqy + Crz =√D Ω (38)

Versor normal al plano tangente en el polo M :

~nM =Ap~ı+Bq~+ Cr~k

√

A2p2 +B2q2 + C2r2=

HO

D Ω⇒ d~nM

dt|1 =

1

D Ω

dHO

dt|1 = 0 ⇒ ~nM = CTE

Distancia del punto fijo O al plano tangente en el polo M :

d(O,ΠM) = OM︸︷︷︸

rM

·~nM =(Ap2 +Bq2 + Cr2)

D Ω√D Ω

=D Ω2

D Ω2√D

=1√D

= CTE = d(O,ΠM)

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

M

O

π′

E.I.R.

M ′

ω

π

HO

Demostración:

Elipsoide de inercia

El plano tangente en el polo:

1. Mantiene su versor director

2. Mantiene su distancia al punto fijo

Luego puede considerarse como un plano fijo delespacio asociado al referente inercial del movi-miento.

vM01 = vO01

︸︷︷︸

Fijo

+ω01 ∧ OM︸ ︷︷ ︸

ω01 ‖ OM

= 0

Por consiguiente, el movimiento del elipsoide sobre el plano tangente al mismo en el polo es unmovimiento de sólidos en contacto sin deslizamiento.

17

Curvas generadas por los polos:

POLODIA Lugar geométrico que describe el polo en el elipsoide de inercia (ejes cuerpo)

HERPOLODIA Lugar geométrico que describe el polo en el plano tangente al elipsoide en el polo(ejes inerciales)

Ecuaciones de la Polodia:

POLODIA ≡ AXOIDE MÓVIL ∩ ELIPSOIDE DE INERCIA

Ecuaciones paramétricas : (x(t), y(t), z(t)) =1√D Ω

(p(t), q(t), r(t))

Integrales primeras (Relaciones dinámicas):

A p2 +B q2 + C r2 = D Ω2

A2p2 +B2q2 + C2r2 = D2Ω2

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores los valores de p, q, r de las ecuaciones paramétricasobtenemos dos cuádricas cuyas matrices asociadas son definidas positivas, que definen por intersecciónla Polodia:

D Ω2(A x2 +B y2 + C z2) =DΩ2 1 Elipsoide de Inercia

D Ω2(A2x2 +B2y2 + C2x2) =D2Ω2 Elipsoide extraño

Multiplicando por D la primera y restándola de la segunda obtenemos:

A(A−D)x2+B(B −D)y2+C(C −D)z2= 0 Cono

Ax2+ By2+ Cz2= 1 Elipsoide de Inercia

La Polodia es la intersección de las dos superficies anteriores.

Formas características de la polodia:

D = A : y = z = 0, x = ± 1√A

Par de vértices opuestos del elipsoide

B < D < A : Cortando el cono por planos x = CTE (0 < CTE < 1√A) :

Elipses que rodean al eje Ox que aproximan a las polodiasPolodias cerradas que rodean al eje Ox

D = B : A(A−B)x2 = C(B − C)z2

Cono degenerado en par de planos que contienen al eje OyPolodias cerradas que cortan al eje Oy

C < D < B : Cortando el cono por planos z = CTE (0 < CTE < 1√C) :

Elipses que rodean al eje Oz que aproximan a las polodiasPolodias cerradas que rodean al eje Oz

D = C : x = y = 0, z = ± 1√C

Par de vértices opuestos del elipsoide

18

2.5. Sólido pesado con punto fijo (O 6≡G)

ψ

ψ

θ

θ

ϕ

ϕ

O

G

x

y

z ≡ z3

x1

y1

z2 ≡ z1

x2 ≡ x3

y2

y3

R

LN

F

MO

Fuerza directamente aplicada: PesoP = mg : g = CTE en 1 (campo paralelo y uniforme).

Elección de sistema de referencia inercial:

~k1 = − g

|g|

MFE

O = OG ∧ −mg~k1 =

= −mg

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~kξ η ζ

sin θ sinϕ sin θ cosϕ cos θ

∣∣∣∣∣∣

=

= −mg

η cos θ − ζ sin θ cosϕζ sin θ sinϕ− ξ cos θsin θ(ξ cosϕ− η sinϕ)

Ecuaciones de Euler:

Ap+ (C − B)qr = mg(ζ sin θ cosϕ− η cos θ)

Bq + (A− C)pr = mg(ξ cos θ − ζ sin θ sinϕ)

Cr + (B − A)pq = mg sin θ(η sinϕ− ξ cosϕ)

Integrales primeras:

1. Integral de la energía:Solo el peso realiza trabajo respecto al referente inercial y es una fuerza potencial

dT = −dV ⇒ T + V = E

T =1

2ω01 .

¯IO . ω01 =1

2[Ap2 +Bq2 + Cr2]

V = mgzG1 = mg OG · ~k1 = mg[ξ sin θ sinϕ+ η sin θ cosϕ+ ζ cos θ]

1

2[Ap2 +Bq2 + Cr2] +mg[ξ sin θ sinϕ+ η sin θ cosϕ+ ζ cos θ] = E (39)

2. Conservación del momento cinético según la vertical:

dHO

dt|1 = MFE

O

(·~k1)⇒ ~k1 ·dHO

dt|1 =

d(~k1 · HO)

dt|1 = ~k1 · MFE

O = ~k1 · (OG ∧ −mg~k1) = 0 ⇒

⇒ HO · ~k1 = CTE

sin θ(Ap sinϕ+Bq cosϕ) + Cr cos θ = K (40)

19

2.6. Caso de Lagrange

Condiciones del caso de Lagrange:

1. Sólido pesado con punto fijo O, donde O 6≡ G

2. Tensor de inercia cilíndrico en O respecto a Oz: A = B

3. G ∈ Oz (eje central y principal de inercia): ξ = η = 0, ζ > 0

Particularización de la altura del centro de masas:

zG1 = ζ cos θ

Particularización de las ecuaciones de la Dinámica:

(39)→ A[p2 + q2] + Cr2 + 2mgζ cos θ = 2E (41)(40)→ A sin θ(p sinϕ+ q cosϕ) + Cr cos θ = K (42)(15)→ r = r0 (43)

2.6.1. Reducción a cuadraturas

De las ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo se tiene:

p2 + q2 = ψ2 sin2 θ + θ2

p sinϕ+ q cosϕ = ψ sin θ

r = ψ cos θ + ϕ

Sustituyéndolas en las ecuaciones de la Dinámica (41-43):

ψ2 sin2 θ + θ2(41)= (

2E

A− C

Ar20)−

2mgζ

Acos θ = α− a cos θ (≥ 0, ∀θ alcanzable) (44)

ψ sin2 θ(42)=

K

A−CAr0 cos θ = β − br0 cos θ (45)

ψ cos θ + ϕ(43)= r0 = r0 (46)

donde:

r0 es una constante dependiente solamente de las condiciones iniciales;

a = 2mgζ

A> 0, b = C

A≥ 0 son constantes dependientes solamente de las características másicas;

α = 2EA

− CAr0, β = K

Ason constantes que dependen tanto de las condiciones iniciales como de las

características másicas.

20

Transformando las ecuaciones (44-46) se tiene:

(45) → ψ =β − br0 cos θ

sin2 θ(47)

(44)(47)→ θ2 sin2 θ = (α− a cos θ) sin2 θ − (β − br0 cos θ)

2 (48)

(46)(47)→ ϕ =

r0(b− 1) cos2 θ − β cos θ + r0sin2 θ

(49)

Cambio de variable para quitar inconvenientes de las razones trigonométricas:

u = cos θ SENTIDO FÍSICO (0 ≤ θ ≤ π ⇒ −1 ≤ u ≤ 1)

u = −θ sin θ = −θ√1− u2 ⇒ θ = − u√

1− u2

θ2 sin2 θ = u2 ψ =dψ

duu ϕ =

dϕ

duu

Reducción a cuadraturas:

CV(47)→ (

du

dt)2 = (α− au)(1− u2)− (β − br0u)

2 = f(u) ⇒ (50)

t− t0 = ±∫ u

u0

du√

f(u)(51)

CV(48)→ dψ

du= ± β − br0u

(1− u2)√

f(u)⇒ (52)

ψ − ψ0 = ±∫ u

u0

(β − br0u)du

(1− u2)√

f(u)(53)

CV(49)→ dϕ

du= ±r0(b− 1)u2 − βu+ r0

(1− u2)√

f(u)⇒ (54)

ϕ− ϕ0 = ±∫ u

u0

(r0(b− 1)u2 − βu+ r0)du

(1− u2)√

f(u)(55)

21

2.6.2. Análisis cualitativo

(du

dt)2 = E − V (u) = f(u) ⇒

E = 0V (u) = −f(u)

V (u) = −(α − au)(1− u2) + (β − br0u)2 (Polinomio cúbico) (56)

Zona

Movimiento

uu1 u2 u3

−1 1

V (−1) V (1)

V (u)

E = 0

Representación del diagrama energético

1. Tendencias extremas

V (u)u→±∞≈ −au3 ⇒

⇒

lımu→∞

V (u) = −∞lım

u→−∞V (u) = ∞

2. Raíces: ∃ui(α, β, r0, a, b) ∈ R | V (ui) = 0Por el T. F. Algebra (i = 1, . . . , 3).Supongamos que u1 ≤ u2 ≤ u3

3. Localización de las raíces:

V (1) = (β − br0)2 ≥ 0

V (−1) = (β + br0)2 ≥ 0

u1, u2 ∈ [−1, 1] ⇒ u1 < u < u2 (Zona permitida con sentido físico)

u3 ∈ [1,∞[ ⇒ u3 < u (Zona permitida sin sentido físico)

V ′(u1) ≤ 0, V ′(u2) ≥ 0, V ′(u3) ≤ 0

Visualización del movimiento del trompo de Lagrange:

Referencia estroboscópica Ox3y3z3:

ω03 = ϕ~k Rotación propia: visualización trivial

ω31 = ψ~k1 + θ~ı2 Precesión y Nutación: visualización con movimiento del punto traza

Punto Traza ≡ Oz ∩ Esfera(O;R = 1) rT (ψ, θ) = sin θ sinψ~ı1 − sin θ cosψ~1 + cos θ~k1

Inversión del movimiento de Precesión.

La precisión cambiaría de sentido cuando ψ = 0 si hubiera cambio real de signo de ψ:

ψ(u∗) = 0 ⇒ u∗ =β

br0

u∗ ∈ [u1, u2] (zona real del movimiento) ⇔ V (u∗) ≤ 0 ⇔ (α− au∗)(1− (u∗)2) ≥ 0

22

2.6.3. Casos del sólido de Lagrange

1. |u∗| > 1 ⇒ u∗ 6∈ [u1, u2]

2. |u∗| < 1

A. u∗ > αa

⇒ V (u∗) > 0 ⇒ u∗ 6∈ [u1, u2]

B. u∗ = αa

⇒ V (u∗) = 0

V (u) = −(u∗ − u)[a(1− u2)− (br0)

2(u∗ − u)]

V ′(u∗) = a[1− (u∗)2

]> 0

⇒ u∗ = u2

C. u∗ < αa

⇒ V (u∗) < 0 ⇒ u∗ ∈ ]u1, u2[

3. |u∗| = 1 (Trazas en los polos)

A. u∗ = 1 ⇔ β = br0 (Traza en polo norte)

V (u) = −(1− u)[(α− au)(1 + u)− β2(1− u)

]

V ′(1) = 2(α− a)

a. α > a ⇒ V ′(1) > 0 ⇒ u∗ = u2 = 1 raíz simple

b. α = a ⇒ V ′(1) = 0 ⇒ V ′′(1) = 2(β2 − 2a) raíz múltiple (TROMPO DORMIDO)

1) β2 > 2a ⇒ V ′′(1) > 0 ⇒⇒ u∗ = u1 = u2 = 1 raíz doble (mínimo, ESTABLE)

2) β2 = 2a ⇒ V ′′(1) = 0, V ′′′(1) = −6a 6= 0 ⇒⇒ u∗ = u1 = u2 = u3 = 1 raíz triple (inflexión, TRANSICIÓN)

3) β2 < 2a ⇒ V ′′(1) < 0 ⇒⇒ u∗ = u2 = u3 = 1 raíz doble (máximo, INESTABLE)

c. α < a ⇒ V ′(1) < 0 ⇒ u∗ = u3 = 1 6∈ [u1, u2] raíz simple

B. u∗ = −1 ⇔ β = −br0 (Traza en polo sur)

V (u) = −(1 + u)[(α− au)(1− u)− β2(1 + u)

]

V ′(−1) = −2(α + a)(44),cos θ=−1

≤ 0

a. α + a > 0 ⇒ V ′(−1) < 0 ⇒ u∗ = u1 = −1 raíz simple

b. α + a = 0 ⇒ V ′(−1) = 0 ⇒ V (u) = (1 + u)2[a(1− u) + β2]V ′′(−1) = 2(β2 + 2a) > 0 ⇒ u∗ = u1 = u2 = −1 raíz doble (mínimo, ESTABLE)u3 = 1 + β2/a > 1 raíz simple

23

∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

> 1 u∗ /∈ [u1,u2]−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

< 1

α > au∗ u∗ ∈ [u1,u2]−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*

α < au∗ u∗ /∈ [u1,u2]−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*

α = au∗ u∗ = u2

[

V ′(u∗) = a(

1−u∗2)

> 0]

−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*

∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

= 1

u∗ = +1

V ′(1) =2(α−a)

α > a θ(1) =√

α−a−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

α < a u= 1 imposible, pues T < 0−1 0 1

Vef(u)

uu1 u2 u3

α = a

b2r20 >2a

Trompo

dormido

estable−1 0 1

Vef(u)

u

u1=u2 u3

b2r20 =2a

Transicion:

ω∗ =2C

√

Amgζ−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2=u3

b2r20 <2a

Trompo

dormido

inestable−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2=u3

u∗ =−1

V ′(1) =−2(α+a)

α+a> 0−1 0 1

Vef(u)

uu1u2 u3

α+a= 0−1 0 1

Vef(u)

u

u1=u2 u3

Cuadro 11.1: Resumen de casos en el solido de Lagrange

24

2.6.4. Movimientos estacionarios del trompo de Lagrange

Son aquellos para los que qj = CTE (j = 1, . . . , 3)

Ecuaciones de Euler del movimiento (44 - 46)

ψ2 sin2 θ+θ2 =α−a cos θψ sin2 θ =β −br0 cos θψ cos θ + ϕ=r0

Como θ es la única coordenada generalizada que interviene en las ecuaciones anteriores, solopuede haber soluciones estacionarias para θ = CTE, θ = 0, luego las condiciones iniciales de unmovimiento estacionario serán: t = 0 : θ = θ0, θ = 0, ψ = ψ0, ϕ = ϕ0

Despejando los valores de las constantes dependientes de las condiciones iniciales:

α = ψ20(1− u20) + au0 (57)

β = ψ0(1− u20) + br0u0 (58)

r0 = ψ0u0 + ϕ0 (59)

Evolución de u = cos θ

u2 = f(u)ddt→ 2uu = f ′(u)u

u20 = f(u0) = 0, u0 =1

2f ′(u0) = 0

Imponiendo la nulidad de la pendiente del potencial:

V (u) = −(α− au)(1− u2) + (β − br0u)2

V ′(u) = a(1− u2) + 2u(α− au)− 2br0(β − br0u)

V ′S(u0) = a(1− u20) + 2u0[ψ

20(1− u20)− a

(u0 − u0)]− 2br0[ψ0(1− u20) + br0(u0 − u0)]

(1− u20)[a+ 2u0ψ20 − 2br0ψ0] = 0 (60)

Casos:

1. u0 = ±1 Trompos dormidos

2. 2u0(1− b)ψ20 − 2b ϕ0 ψ0 + a = 0 Precesión regular

Despejando las velocidades angulares:

ψ0 =2bϕ0 ±

√

4b2ϕ20 − 8a(1− b)u0

4u0(1− b)(dos raíces si (ϕ0)

2 > 2a1− b

b2u0 : u0(1− b) ≥ 0)

ϕ0 =a

2b︸︷︷︸

n

1

ψ0

+ u01− b

b︸ ︷︷ ︸

m

ψ0

ω∗√

u0(1−b)

ϕ0

ψ0

u0 > 0

b< 1: Prolato

b> 1: Oblato

ψr0

ψl0

si m ≈ 0 ⇒ ψl0 =

n

ϕ0Precesión Lenta

si n ≈ 0 ⇒ ψr0 =

ϕ0

mPrecesión Rápida

25

3. Sólido libre

3.1. Introducción

ψ

ψ

θ

θ

ϕ

ϕ

O

G

xG

yG

zG ≡ z2

x

y

z ≡ z3

x1

y1

z1

x2 ≡ x3

y2

y3

LN

F

MG

ξ

η

ζ

Sistemas de referencia

Ox1y1z1: Referente inercialGxGyGzG: Ejes ligados al centro de masasGxyz: Ejes cuerpo principales y centrales

Incógnitas

GDL: qj (j = 1, . . . , 6) = ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ [6]

Fuerzas exteriores

Fuerzas exteriores de ligadura: No hayFuerzas exteriores directamente aplicadas(Reducción al centro de masas G):

F (ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) = X1~ı1 + Y1 ~1 + Z1~k1

MG(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) =Mx~ı+My ~+Mz~k

Cinemática:

Posición: OG = ξ~ı1 + η ~1 + ζ ~k1

Velocidad: vG01 = ξ~ı1 + η ~1 + ζ ~k1

Aceleración: γG01 = ξ~ı1 + η ~1 + ζ ~k1

Velocidad angular: ω01 = p~ı+ q ~+ r ~k

Aceleración angular: α01 = p~ı+ q ~+ r ~k

Cinética:

Momento cinético : HG = Ap~ı+Bq~+ Cr~k

Derivada HG :dHG

dt

∣∣∣1= Ap~ı+Bq ~+ Cr~k + (C −B) qr~ı+ (A− C) pr~+ (B − A) pq ~k

Ecuaciones generales:

ECM: mγG01 = F [3]

EMC:dHG

dt

∣∣∣1= MG [3]

MG = 0 Caso Euler-PoinsotMG 6= 0 Caso General

3.2. Sistema de ecuaciones diferenciales

Ecuaciones de cantidad de movimiento (Newton)

X1(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) = mξ (61)

Y1(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) = mη (62)

Z1(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) = mζ (63)

Ecuaciones de momento cinético (Euler)

Mx(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) = Ap+ (C − B)qr (64)

My(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) = Bq + (A− C)pr (65)

Mz(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, t) = Cq + (B − A)pq (66)

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Ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo

p = ψ sin θ sinϕ+θ cosϕ (7)

q = ψ sin θ cosϕ−θ sinϕ (8)

r = ψ cos θ + ϕ (9)

Condiciones iniciales:

t = t0 :

ξ = ξ0, η = η0, ζ = ζ0, ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0

ξ = ξ0, η = η0, ζ = ζ0, p = p0, q = q0, r = r0

El sistema formado por las 9 ecuaciones (61, 62, 63, 64, 65, 66, 7, 8, 9) está fuertemente acopladoy no queda más remedio hay que resolver simultáneamente las nueve ecuaciones, salvo situacionesparticulares de dependencia sencilla.

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