Gradiente y Derivada Direccional

Cátedra Matemática del PIT

Propósito de la Unidad

• Hallar y usar las derivadasdireccionales de una funciónde dos variables.

• Hallar el gradiente de unafunción de dos variables.

• Utilizar el gradiente de unafunción de dos variables enaplicaciones.

• Hallar las derivadasdireccionales y el gradiente defunciones de tres variables

Derivada Direccional

Suponer que se está en la colina de la figura 1 yse quiere determinar la inclinación de la colinarespecto al eje z. Si la colina está representadapor 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) se sabe cómo determinar lapendiente en dos direcciones diferentes: lapendiente en la dirección de y está dada por laderivada parcial 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 , y la pendiente en ladirección de x está dada por la derivada parcial𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 .

Para determinar la pendiente en un punto deuna superficie, se definirá un nuevo tipo dederivada llamada derivada direccional. Sea 𝑧 =𝑓(𝑥, 𝑦) una superficie y 𝑃(𝑥0, 𝑦0) un punto en eldominio de 𝑓, como se muestra en la figura 2. La“dirección” de la derivada direccional está dadapor un vector unitario

𝒖 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝒊 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝒋

y

z

x

Superficie

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑓𝑖𝑔. 1

Derivada Direccional

Fig. 2

Fig. 3

donde 𝜃 es el ángulo que forma el vector con eleje x positivo. Para hallar la pendiente deseada,se reduce el problema a dos dimensionescortando la superficie con un plano vertical quepasa por el punto P y es paralelo a u como semuestra en la figura 3 Este plano vertical cortala superficie formando una curva C. Lapendiente de la superficie en en (x0,y0,f(x0,y0) ladirección de u se define como la pendiente de lacurva C en ese punto.

De manera informal, se puede expresar lapendiente de la curva C como un límite análogoa los usados en el cálculo de una variable. Elplano vertical utilizado para formar C corta elplano xy en una recta L, representada por lasecuaciones paramétricas,

Derivada Direccional

𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜃

de manera que para todo valor de t, el Q(x,y) se encuentra en la recta L. Para uno de los puntos P y Q, hay un punto correspondiente en la superficie.

(x0,y0,f(x0,y0)) Punto sobre P.

(x,y,f(x,y)) Punto sobre Q.

Como la distancia entre P y Q es

(𝑥 − 𝑥0)2−(𝑦 − 𝑦0)

2= (𝑡𝑐𝑜𝑠𝜃)2−(𝑡𝑠𝑒𝑛𝜃)2

= 𝑡

Derivada DireccionalSe puede escribir la pendiente de la recta secante que pasa por (x0,y0,f(x0,y0)) y (x,y,f(x,y)) como

𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝑡=𝑓(𝑥0 + 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦0 + 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝑡

Por último, haciendo que t se aproxime a 0, se llega a la definición siguiente:

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

Sea f una función de dos variables x y y, y sea u = 𝑐𝑜𝑠𝜃i+ 𝑠𝑒𝑛𝜃j un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u que se denota

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = lim𝑡→0

𝑓(𝑥 + 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 + 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑡

Siempre que este límite exista.

Derivada DireccionalSi f es una función diferenciable de x y y,entonces la derivada direccional de f en ladirección del vector unitario u = 𝑐𝑜𝑠𝜃i+ 𝑠𝑒𝑛𝜃j es

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃.

Ejemplo I: Hallar la derivada direccional:

Hallar la derivada direccional de

𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥2 −1

4𝑦2, Superficie.

En (1,2) en la dirección 𝑢 = cos𝜋

3𝑖 + sen

𝜋

3𝑗

Dirección.

Fig. 4

Derivada Direccional

Solución: Como 𝑓𝑥y 𝑓𝑦 son continuas, 𝑓es diferenciable y se puede aplicar la definición de derivada direccional:

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃.

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = (−2𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜃 + (−𝑦

2)𝑠𝑒𝑛𝜃.

Evaluando en 𝜃 =𝜋

3, x = 1 y y = 2 se obtiene

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = (−2)𝑦

2+ (−1)(

3

2)

= −1 − (3

2)

= -1.8666

Derivada Direccional

Ejemplo 2. Halla una derivada direccional

Hallar la derivada direccional

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑦; Superficie.

En (1,𝜋

2) en la dirección v = 3i - 4j

Solución: Como 𝑓𝑥y 𝑓𝑦 son continuas, 𝑓es diferenciable y se puede aplicar la definición de derivada direccional. Se comienza por calcular un vector unitario en la dirección de v.

𝒖 =𝒗

𝒗=

𝟑

𝟓𝒊 −

𝟑

𝟓𝒋 = 𝑐𝑜𝑠𝜃i+ 𝑠𝑒𝑛𝜃j

Usando este vector unitario, se tiene𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (2𝑥2𝑐𝑜𝑠2𝑦) (𝑠𝑒𝑛𝜃).

𝐷𝑢𝑓 1,𝜋

2= (2𝑠𝑒𝑛𝜋)(

3

5) + (2𝑐𝑜𝑠𝜋)(−

4

5)

= 𝟎𝟑

𝟓+ (−𝟐)(−

𝟒

𝟓)

=8

5

Solución apoyada en el tutorial de Maplesoft

Fig. 5

Derivada Direccional

El gradiente de una función de dos variablesEl gradiente de una función de dos variables esuna función vectorial de dos variables.Esta función tiene múltiples aplicacionesimportantes.

DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNAFUNCIÓN DE DOS VARIABLESSea z = f (x,y) una función de x e y tal que 𝑓𝑥y𝑓𝑦 existen. Entonces el gradiente de f, denotadopor 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 , es el vector

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

𝛻𝑓 se lee como “nabla ”. Otra notación para elgradiente es grad En la figura 4 hay queobservar que para cada (x,y), el gradiente𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 es un vector en el plano (no un vectoren el espacio).

Derivada Direccional

Ejemplo 3. Hallar el gradiente de la función.

Hallar el gradiente de f(x,y) = y*lnx + xy2 en el punto (1,2)

Solución: Utilizando

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝑦

𝑥+ 𝑦2 y 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 + 2𝑥𝑦

Se tiene

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑦

𝑥+ 𝑦2 𝑖 + (𝑙𝑛𝑥 + 2𝑥𝑦)j

En el punto (1,2) el gradiente es

𝛻𝑓 1,2 =2

1+ 22 𝑖 + 𝑙𝑛1 + 2 1 2 𝑗

= 6i + 4j

Solución apoyada en el tutorial de Maplesoft

Forma Alternativa de la Derivada Direccional

FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

Si f es una función diferenciable de x y y entonces la derivada direccional de f en

la dirección del vector unitario u es:𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 . 𝒖

Ejemplo: Hallar una derivada direcciona usando 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦

Hallar la derivada direccional de

f(x,y) = 3x2-2y2 en (-3

4, 0) en la dirección P(−

3

4, 0) a Q(0,1)

Solución

Se puede escribir en la dirección PQ = v = 0 +3

4𝒊 +

1 − 0 𝒋

= 3

4𝑖 + 𝑗

Y un vector unitario en esta dirección es

𝒖 =𝒗

𝒗=𝟑

𝟓𝒊 +

𝟒

𝟓𝒋

Fig. 6

Derivada Direccional

Como 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗 = 6xi-4yj, el gradiente en (−

3

4, 0) es

𝐷𝑢𝑓(−3

4,0) = 𝛻𝑓 −

3

4, 0 . 𝑢

= −9

2𝑖 + 0𝑗 .

𝟑

𝟓𝒊 +

𝟒

𝟓𝒋

= −27

10

Aplicaciones del gradienteSe ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en unpunto de una superficie. En muchas aplicaciones, se deseasaber en qué dirección moverse de manera que crezca másrápidamente. Esta dirección se llama la dirección de mayorascenso, y viene dada por el gradiente, como se establece enel teorema siguiente.

Solución apoyada en el tutorial de Maplesoft

Calculo de la Derivada Direccional usando Hoja de Trabajo

Propiedades del Gradiente

• Sea 𝒇 diferenciable en el punto (x,y).

• Si 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝒖

• La dirección de máximo incremento de 𝑓 esta dada por 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 . El valor máximo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦

• La dirección de mínimo incremento de 𝑓 esta dada por − 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 . El valor mínimo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es -𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 .

Propiedades del Gradiente

Para visualizar una de las propiedades delgradiente, imaginar a un esquiador quedesciende por una montaña. Si 𝑓 𝑥, 𝑦denota la altitud a la que se encuentra elesquiador, entonces −𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 indica ladirección de acuerdo con la brújula que debetomar el esquiador para seguir el camino dedescenso más rápido. (Recuérdese que elgradiente indica una dirección en el plano xyy no apunta hacia arriba ni hacia abajo de laladera de la montaña.)

Otra ilustración del gradiente es latemperatura 𝑇 𝑥, 𝑦 en cualquier punto𝑥, 𝑦 de una placa metálica plana. En este

caso, 𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 da la dirección de máximoaumento de temperatura en el punto 𝑥, 𝑦como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Hallar la dirección de máximo incremento

La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica es:

T(x,y) = 20 – 4x2-y2

Donde x,y se mide en centímetros. ¿En qué dirección crece más rápidamente la temperatura en el punto (2,3)? ¿Cuál es el ritmo de crecimiento?

Solución: el gradiente es

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

= -8xi – 2yj.

Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por

𝛻𝑇 2,−3 = −16𝑖 + 6𝑗

Y la tasa de incremento es 𝛻𝑓 2,−3 = 256 + 36

= 292

= 17.09°C/por centímetro

EL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVELEl gradiente es un vector normal a las curvas de nivel.Si 𝒇 es diferenciable en 𝑥0, 𝑦0 ≠ 0,entonces 𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 es normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por 𝑥0, 𝑦0 .Ejemplo: Hallar un vector normal a una curva de nivel.Dibujar la curva de nivel que corresponde a c = 0 para la función dada por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 y hallar un vector normal a varios puntos de la curva.Solución La curva de nivel c = 0 para está dada por0 = y – senxy = senx

Vector gradiente y curvas de nivel

como se muestra en la figura 6 Como el vector gradiente de 𝒇 en (x,y) es𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

= - cos xi + j

se puede utilizar el teorema 13.12 para concluir que es normal a la curva de nivel

en el punto (x, y). Algunos vectores gradiente son:

𝛻𝑓 −𝜋, 0 = 𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓(−2𝜋

3, −

3

2) =

1

2𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓(−𝜋

2, −1) = 𝑗

𝛻𝑓 −𝜋

3, −

3

2= −

1

2𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓 0,0 = −𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓𝜋

3,3

2= −

1

2𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓𝜋

2, 1 = 𝑗

Vector Gradiente y Curvas de Nivel

Calculo del Gradiente apoyado en Maplesoft

Calculo de la Derivada Direccional usando Hoja de Trabajo

Funciones de Tres Variables

Las definiciones de derivada direccional y gradiente se puedenextender de manera natural a funciones de tres o más variables.Como a menudo pasa, algo de la interpretación geométrica sepierde al generalizar funciones de dos variables a funciones de tresvariables. Por ejemplo, no se puede interpretar la derivadadireccional de una función de tres variables como una pendiente.Las definiciones y propiedades de la derivada direccional y delgradiente de una función de tres variables se dan en el resumensiguiente.

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DETRES VARIABLESSea 𝑓 una función de x, y y z, con derivadas parciales de primerorden continuas. La derivada direccional de 𝑓 en dirección de unvector unitario u = ai + bj + ck está dada por:

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑏𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑐𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Propiedades del Gradiente de Tres Variables

El gradiente se define como:

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝒊 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝒋 +𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝒌

Las propiedades del gradiente son:

1. 𝑫𝒖 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝜵𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 . 𝒖

2. Si 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝒖

3. La dirección de máximo incremento de 𝑓 esta dada por 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . El valor máximo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 es 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧

4. La dirección de mínimo incremento de 𝑓 esta dada por − 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . El valor mínimo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 es - 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 .

El Gradiente y Los Campos Vectoriales

Un campo vectorial sobre una región planaR es una función F que asigna un vectorF(x,y) a cada punto en R.

Un campo vectorial vectorial sobre unaregión sólida Q en el espacio es unafunción F que asigna un vector F(x,y,z) acada punto en Q. El gradiente es unejemplo de campo vectorial. Algunosejemplos físicos comunes de camposvectoriales son los campos de velocidades,los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas.

El Gradiente y los Campos Vectoriales

Un campo de velocidades describe elmovimiento de un sistema de partículas en elplano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 7muestra el campo vectorial determinado poruna rueda que gira en un eje. Los vectoresvelocidad los determina la localización de suspuntos iniciales: cuanto más lejano está unpunto del eje, mayor es su velocidad. Otroscampos de velocidad están determinados porel flujo de líquidos a través de un recipiente opor el flujo de corrientes aéreas alrededor deun objeto móvil

Fig.7

Fig.8

El gradiente y los campos vectoriales

Los campos gravitatorios los define la leyde la gravitación de Newton, que estableceque la fuerza de atracción ejercida en unapartícula de masa m 1 localizada en (x, y, z)por una partícula de masa m 2 localizadaen (0, 0, 0) está dada por

F(x,y,z)−𝐺𝑚1𝑚2

𝑥2+𝑦2+𝑧2𝒖

donde G es la constante gravitatoria y u esel vector unitario en la dirección del origena (x, y, z). En la figura 9 se puede ver que elcampo gravitatorio F tiene las propiedadesde que todo vector F(x, y, z) apunta hacia elorigen, y que la magnitud

Fig.9

El gradiente y los campos vectoriales

de F(x, y, z) es la misma en todos los puntosequidistantes del origen. Un campo vectorial conestas dos propiedades se llama un campo de fuerzascentral. Utilizando el vector posición

𝑟 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌

para el punto (x, y, z), se puede expresar el campogravitatorio F como

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 =−𝐺𝑚1𝑚2

𝑟 2 𝑢.

Los campos de fuerzas eléctricas se definen por laley de Coulomb, que establece que la fuerza ejercidaen una partícula con carga eléctrica 𝑞1localizada en(x, y, z) por una partícula con carga eléctrica 𝑞2localizada en (0, 0, 0) está dada por

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑐𝑞1𝑞2𝒓 2 𝒖

El gradiente y la ecuación del plano tangente

Sea F diferenciable en un punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) de la superficie dada por F(x,y,z) = 0 tal que 𝛻𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ≠ 0.

Al plano que pasa por P y es normal a 𝛻𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) se le llama plano tangente a S en P.

A la recta que pasa por P y tiene la dirección de 𝛻𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) se le llama recta normal a S en P.

Si F es diferenciable en (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0), entonces una ecuación del plano

tangente a la superficie dada por F(x,y,z) = 0 en (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) es:

𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)( 𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)( 𝑦 − 𝑦0) + 𝐹𝑧(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)( 𝑧 − 𝑧0)=0

El gradiente y su relación con el método de los multiplicadores

de Lagrange

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones que satisfacen las hipótesis delteorema de Lagrange, y sea 𝑓 una función que tiene unmínimo o un máximo sujeto a la restricción 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐.Para hallar el mínimo o el máximo de 𝑓, seguir los pasosdescritos a continuación.1. Resolver simultáneamente las ecuaciones𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =𝜆∆𝑔(𝑥, 𝑦) y 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐. resolviendo el sistema deecuaciones siguiente.

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝜆𝑔𝑥 𝑥, 𝑦𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜆𝑔𝑦 𝑥, 𝑦

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐.

2. Evaluar 𝑓 en cada punto solución obtenido en el primerpaso. El valor mayor da el máximo de 𝑓 sujeto a larestricción g(x,y) = c y el valor menor da el mínimo de 𝑓sujeto a la restricción 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐.

Multiplicadores de Lagrange a través en Maplesoft

Derivada Direccional

Conocidos: 𝑓 𝑥, 𝑦 , el punto P x, y y la dirección dada por un vectorv = 𝑥i+𝑦j 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃.

Conocidos: 𝑓 𝑥, 𝑦 , dirección dada por 𝑑𝑜 puntos P x, y 𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 y

la 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 . 𝒖

Conocidos:𝑓 𝑥, 𝑦 o el𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 y el punto P x, y se aplican las ecuaciones: 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 y 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es - 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 .Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de las derivadas direccionales.

Conocidos:𝑓 𝑥, 𝑦 o el𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 y el punto P x, y se aplican las ecuaciones: 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 y 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es - 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 .Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de las derivadas direccionales.

Gradiente

Conocidos: 𝑓 𝑥, 𝑦 y un punto P(x,y) se aplica la ecuación 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

Conocidos: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 y un punto P(x,y,z) se aplica laecuación 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

Aplicaciones importantes:Multiplicadores de Lagrange: 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜆∆𝑔(𝑥, 𝑦) y 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐.Ecuación del plano tangente: 𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)( 𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)( 𝑦 −𝑦0) + 𝐹𝑧(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)( 𝑧 − 𝑧0)=0

Conocidos: 𝑓 𝑥, 𝑦 o el 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 y el punto P x, y se aplican las ecuaciones: 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 y 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 es - 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 .Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de las derivadas direccionales.

Mentefacto de la Unidad

Los grandes espíritus siempre han encontrado una violenta

oposición de parte de mentes mediocres.

Albert Einstein