Gradiente Divergente y RotacionalSon vectores que indican la forma en que se distribuye espacialmente un campo. Si tomamos una variable, ya sea escalar (como la temperatura) o vectorial (como la velocidad) distribuida en un espacio, tenemos un campo, en el cual a cada punto le corresponde un valor de la variable. Pero adems del valor propio del campo, podemos analizar el entorno de cada punto viendo cmo vara esa regin. Los tres vectores gradiente divergente y rotacional, toman en cuenta dicho entorno. Sus valores en un punto dado no dependen del valor del campo EN el punto (ni en zonas alejadas) sino de cmo vara el campo en los alrededores muy prximos al l. EL GRADIENTE es un vector que indica en qu direccin aumentan, en mayor grado, los valores del campo. O sea que si te encontraras en un punto del espacio donde el campo tiene un valor cualquiera x, el gradiente en ese punto te dice la direccin en la cual vas a encontrar valores ms altos. Ojo, no seala hacia otro punto del espacio donde se encuentra el mayor valor de todos. Seala la direccin hacia donde ms aumenta, teniendo slo en cuenta los valores que rodean al punto dado. El mdulo del gradiente dice cunto aumenta en esa direccin. El gradiente se aplica a campos escalares (no vectoriales) como la distribucin de temperaturas en un cuerpo, y es siempre perpendicular a las lneas equipotenciales, como las isobaras o las isotermas. LA DIVERGENCIA se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en qu direccin las lneas de campo se encuentran ms separadas entre s, o sea la direccin hacia donde disminuye la densidad de lneas de campo por unidad de volumen. El mdulo de la divergencia indica cunto disminuye dicha densidad. La divergencia puede ser alta aunque el valor del campo sea muy bajo en ese punto. Una divergencia elevada indica que en esa zona el campo se est abriendo como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo est rotando uniformemente. EL ROTACIONAL o rotor es un vector que indica que tanto estn curvadas estn las lneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa regin las lneas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simtricamente si existe divergencia en ese punto) Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las lneas de campo son arcos, o sea que es una regin donde el campo se est curvando. La direccin del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.

la conservacin del momento cintico de un slido rgido en rotacin, indica que, en ausencia de momentos exteriores, conserva su momento cintico, I I = constante de modo que si I aumenta, disminuye, y si I disminuye, aumenta.

Es el tpico ejemplo de la patinador sobre hielo que, al girar sobre s misma, cuando recoge los brazos acercndolos a su cuerpo, es decir, cuando disminuye su momento de inercia, aumenta su velocidad angular, y cuando los extiende, es decir, cuando aumenta su momento de inercia, su velocidad angular disminuye.

Clculo de divergencias y rotacionalesContenido[ocultar]y y

y

y

y

1 Enunciado 2 Campo A o 2.1 Divergencia o 2.2 Rotacional 3 Campo B o 3.1 Divergencia o 3.2 Rotacional 4 Campo C o 4.1 Divergencia o 4.2 Rotacional 5 Campo D

1 EnunciadoPara los campos vectoriales1. 2. 3. 4.

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas. Cules son irrotacionales y cules solenoidales?

2 Campo A2.1 Divergencia

La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posicin, es

Para este mismo campo, en cilndricas, sustituyendo la expresin de dada en otro problema

y, en esfricas,

2.2 Rotacional

Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

en cilndricas

y en esfricas

Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.

3 Campo B3.1 Divergencia

Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,

En cilndricas este campo se escribe

y la divergencia

En esfricas el campo es

y la divergencia

3.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas,

En cilndricas

y en esfricas

De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.

4 Campo C4.1 Divergencia

Para el tercer campo, la divergencia en cartesianas

En cilndricas, aplicando los resultados del problema de clculo de gradientes

y el clculo de la divergencia da

y en esfricas

4.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas

En cilndricas

y en esfricas

5 Campo DPor ltimo, para el campo

calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.

Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema

y calculamos su divergencia

y su rotacional

Para pasar a esfricas, primero expresamos

en sus componentes cartesianas

A continuacin hallamos las diferentes componentes en esfricas

Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia

y, por ltimo, sumamos

Para el rotacional

Teniendo en cuenta que

puede verse que los tres resultados son coincidentes.

Clculo de gradientes

Contenido[ocultar]y y

1 Enunciado 2 Solucin o 2.1 Primer campo o 2.2 Segundo campo

1 EnunciadoPara los campos escalares1. 2.

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas.

2 Solucin2.1 Primer campo

El gradiente del primer campo, calculado en cartesianas es

Vemos que el resultado no es otro que el vector de posicin. Para calcularlo en cilndricas, empleamos la expresin de este campo que calculamos en otro problema.

Y, en esfricas,

De estos resultados obtenemos tres expresiones equivalentes para el vector de posicin

y, comparando las dos primeras,

2.2 Segundo campo

Para el segundo campo operamos de forma anloga, empleando las expresiones calculadas en otro problema

Categora: Problemas de fundamentos matemticos

1 Corriente de desplazamientoLa ley de Ampre, tal como se escribe en magnetosttica, es incompatible con la ley de conservacin de la carga en situaciones variables en el tiempo. Para completarla, es necesario introducir un nuevo trmino, denominado densidad de corriente de desplazamiento

de forma que la ley de Ampre pasa a ser la ley de Ampre-Maxwell

con validez general. En forma integral, esta ecuacin indica que la circulacin del campo magntico debe incluir un trmino asociado al flujo elctrico,

La condicin de salto para el campo magntico, en cambio, no se ve modificada

La ley de Ampre-Maxwell predice que los campos elctricos variables en el tiempo son fuente de campos magnticos. Combinada con la ley de Faraday, que predice el efecto inverso, se llega a que son posibles las ondas electromagnticas. Como consecuencia los campos elctrico y magntico se convierten en inseparables y pueden verse como componentes de un solo campo, denominado campo electromagntico.

2 Ecuaciones de MaxwellArtculo completo: Ecuaciones de Maxwell

Con la introduccin del trmino de la corriente de desplazamiento, el conjunto de cuatro ecuaciones para el campo electromagntico, conocidas como ecuaciones de Maxwell, junto con sus correspondientes condiciones de salto es el siguiente:Nombre Ley de Gauss Ecuacin Condicin

Ley de Faraday Ley de Gauss para el campo magntico Ley de Ampre-Maxwell

A su vez, se denominan ecuaciones homogneas a la ley de Faraday y la de Gauss para el campo magntico, e inhomogneas (porque aparecen las fuentes) a la de Gauss y la de Ampre-Maxwell. Por ltimo, dado que estas ecuaciones incluyen derivadas respecto al tiempo, deben ser suplementadas con las condiciones iniciales correspondientes.

Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de los campos electromagnticos producidos por densidades de carga y de corriente.

3 Ley de LorentzPara describir la accin de los campos electromagnticos sobre la materia, hay que aadir a las ecuaciones de Maxwell la ley para la fuerza. Para una carga puntual,

Esta ley se extiende a una distribucin de carga y de corrientes como

4 Ecuaciones de Maxwell en la materiaLa expresin anterior de las ecuaciones de Maxwell, aun siendo general, incluye trminos que a menudo son desconocidos a priori. La densidad de carga incluye la carga de polarizacin, mientras que la densidad de corriente incluye tanto la densidad de corriente de magnetizacin como la de polarizacin

Estas densidades pueden hacerse desaparecer de las ecuaciones definiendo los campos auxiliares y

De esta forma, las ecuaciones de Maxwell se expresan en una forma ms reducida

El subndice l indica que se trata de densidades libres. A menudo se omite este subndice y es la forma de las ecuaciones la que indica si se habla de densidad de carga libre o total. En medios materiales se denomina densidad de corriente de desplazamiento al vector

aunque incluye tanto la corriente de desplazamiento en el vaco como la corriente de polarizacin.

En esta versin las ecuaciones de Maxwell no son completas, sino que deben incluirse relaciones constitutivas que liguen unos campos con otros

5 Energa en un campo electromagntico. Teorema de Poynting 6 Expresin de las ecuaciones de Maxwell en funcin de los potenciales