MAGNETISMO

Física de Sistemas Complejos

Juan Carlos González Rosillo

Jaime Merchán Martínez

Cronología

• Tales de Mileto

• Maricourt

• Gilbert

• Coulomb

• Faraday

• Pierre Curie

• Weiss

• Goudsmit y

S. VI a.C

1269

1600

• Coulomb

• Poisson 1824

• Ampere, Gauss, Oersted, Biot y Savart

• Goudsmit y Uhlenbeck

• Brillouin y Von Bleck

• Heisenberg

• Neel

1824

S. XIX

1780

S. XX

¿Qué es el magnetismo?

ORDEN FERROMAGNÉTICO

• Momento magnético espontáneo

• Dependencia con la temperatura.

(Ley de Weiss-Curie)(Ley de Weiss-Curie)

cexternoTT

C

B

M

−==χ

T<Tc => Orden Ferromagnético

T>Tc => Ruptura del Orden Ferromagnético.

Magnetización como función de T

En vez de la ley de Curie, estudiamos el fenómeno con la expresión completa de Brillouin, que para spín ½ toma la forma:

Sustituyendo campo externo por el campo molecular

Definimos:

La expresión de Brillouin se reduce a:

M(T) para Níquel

ORDEN ANTIFERROMAGNÉTICO

• Spines ordenados antiparalelamente.

• Dependencia con la temperatura.

(Temperatura de Neel)

TEMPERATURAS INFERIORES A LA DE NEEL

Susceptibilidad perpendicular constante, independiente de la temperatura

¿Cómo son las excitaciones colectivas?

Idea intuitiva: Sólo un spín cambiado.

Realidad física: Ondas de spín: MagnonesRealidad física: Ondas de spín: Magnones

Energía fundamental en aproximación Hartree-Fock:(con todos los estados con )

FKK ≤

•Para rs > 5,45 domina la parte de canje

TRATAMIENTO MÁS FORMAL

HAMILTONIANO DE N ELECTRONES

Con conjuntos completos de números cuánticos de una sola partícula

Y los elementos de matriz V :

Expresados en función de las funciones de onda monoelectrónicas.

Separamos el Hamiltoniano en

Y aplicamos la aproximación “Tight-Binding”

: Hamiltoniano de una sola partícula

Con esta aproximación, la función de Bloch se puede expresar como:

Y utilizando la representación de Wannier, reescribimos

en función de los operadores de creación y destrucción fermiónicos y escribimos :

Energía de la banda en términosde los elementos de la matrizde transmisión.

Hamiltoniano de interacción

Con un razonamiento análogo, podemos escribir la interacción electrón-electrón así:

Siendo ahora V:Siendo ahora V:

La configuración ferromagnética (un electrón por nivel y todos con el mismo spín)favorece la parte de canje y minimiza la repulsión coulombiana. Y como es lógico,esta configuración es el ESTADO FUNDAMENTAL de un FERROMAGNETO.

Como ya hicimos en el tema anterior, podemos separar las contribuciones del hamiltonianode interacción en “directa” y de “canje”.

Para la parte DIRECTA, debe satisfacerse queReduciéndose el hamiltoniano a:

La parte del operador:

ENERGÍA DE LA INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA ENTRE LAS DENSIDADES DE CARGA LOCALES

La parte del operador:

Para la parte de CANJE, debe satisfacerse queEl hamiltoniano queda:

Transformando la parte del operador:

INTERPRETACIÓNFÍSICA DE

TÉRMINOS

Cuentan electrones con spín

Diferencia entre e- con spín

Provocan cambios de spín

Considerando la relación de conmutación

Se puede ver que los operadores y

cumplen las relaciones de conmutación del momento angular:

Y podemos identificar:

PODEMOS REEMPLAZAR LOS OPERADORES DE CREACIÓN Y DESTRUCCIÓNPOR OPERADORES DE SPÍN

Sumamos y restamos en la parte deloperador de canje, y podemos escribirlo de la forma:

-

con y

es el Hamiltoniano de Heisenberg

HAMILTONIANO DE HEISENBERGAñadiendo el término de Zeeman, y cambiando la notación de sitios,podemos escribir el hamiltoniano de Heisenberg de la siguiente manera:

•Punto de partida de la teoría del magnetismo

•Simetría esférica en ausencia de Hext.

•Estado fundamental => Simetría axial (Ruptura espontánea de la simetría)

OTROS HAMILTONIANOS MODELOA partir del hamiltoniano de Heisenberg, se derivan fundamentalmente tresmodelos de hamiltonianos:

1. Modelo anisotrópico de Heisenberg

2. Modelo de Ising (con Jij =0)

3. Modelo XY

ONDAS DE SPÍN EN FERROMAGNÉTICOS

•Objetivo: Analizar excitaciones de baja energía en el estado fundamental

•Visión clásica: Dipolos magnéticos localizados.

Movimiento de un dipolo

Movimiento coordinadode todos los dipolos

Ondas de spín oMAGNONES

Para un tratamiento más formal

Modelo de Heisenberg+

Aproximación Tight-Binding

Empleando podemos reescribir H:

Valor esperado del Hamiltoniano sin campo magnético externo:(Estado fundamental => )

Con N: número de posiciones en la cadena

ν: número de vecinos más próximosν: número de vecinos más próximos

• Operador subida sobre = 0

•

Dinámica del operador invidual Sj

Ecuación de movimiento(Ecuación de Bloch)

con

Para resolverlo:•Hext en eje z

Para resolverlo:

• Cerca del GS:(baja T)

ECUACIONES RESULTANTES

Combinando ambas ecuaciones con

Rep.Desacople de primeros vecinos

Rep.de Bloch

MOVIMIENTO DE PRECESIÓN EN TORNO A LA DIRECCIÓN DE ORIENTACIÓN DEL FERROMAGNÉTICO

FORMA CUANTIZADA MAGNÓN

TRANSFORMACIÓN DE HOLSTEIN-PRIMAKOV

Operadoresbosónicos

La ecuación de Sz se deriva de:

Sin cambiar las relaciones de conmutación entre los tres momentos angulares.Esto es lo que se llama “Transformación de Holstein-Primakov.

Desviaciones sobre el valor máximo S

Asumimos excitaciones de baja energía, tal que y expandimos

Relación unívocaOperadores

escaleraOperadoresbosónicos

Hamiltoniano de Heisenberg bajo de excitaciones de baja energía

Acoplamiento entreprimeros vecinosprimeros vecinos

(cambio de representación)

HAMILTONIANO PARA ONDAS DE SPIN EN FERROMAGNÉTICOS

Interacción a primeros vecinos+

Aproximación Tight-Bindingcos∝

EXCITACIÓN TÉRMICA DE UN MAGNÓN

¿Contribución alcalor específico?

Valoresperado de

Paso al continuo

Aproximacióna baja temperatura

cubo simple

Cambio de variable Integración en polares

Contribución magnónica a la energía térmica:

Contribución magnónica al calor específico:

COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL:

DISPERSIÓN MAGNÉTICA DE NEUTRONES

Dispersión magnética

Dispersión magnética magnética

ELÁSTICAmagnética

INELÁSTICA

Estructuramagnética

Espectro demagnones

Diagrama de difracción de neutrones

del Fe. Las reflexiones observadas

satisfacen la

regla de índices para una estructura BCC

Espectro magnón de una aleación FCC

de Co (92%Co-8%Fe) a temperatura

ambiente. La

línea continua representa la expresión

teórica de

dispersión, para vectores de onda

ka<<1

ONDAS DE SPÍN EN ANTIFERROMAGNÉTICOS

Conclusion: Existen varios sublattice con spines relativos opuestos

Ferromagnetos

ANTIFERROMAGNETOS

: Son los vectores de spin de las dos lattice

Cerca del GS Holstein-Primakoff

Energia del antiferromagneto

GS(?)

Representacion de Bloch

Transformación Boliubov

Reglas de conmutación de

bosones

Hamiltoniano Antiferromagnético

Energías de Magnones

Ferromagnetos

Antiferromagnetos

Ejemplo: Dispersion para MnF2

Energia del GS en Antiferromagnéticos

Energía de una configuración perfecta antiferromagnetica

Contribucion de k=0

∆E = EzMax – Ez

0 ≈

CONCLUSION: El GS no corresponde con nuestra idea primitiva de orden antiferromagnétos.

ORDEN FERRIMAGNÉTICO

DOS SUBCELDAS CON SPINES ORIENTADOS ANTIPARALELAMENTE Y DESCOMPENSADOS,LO QUE IMPLICA UN MOMENTO

MAGNÉTICO TOTAL NO NULO

EJEMPLO:

ESTRUCTURA ESPINELA

mineral espinela

MgAl2O4

8 posiciones tetraédricas: A

16posiciones octaédricas: BJAB > JAA , JBB

COMPORTAMIENTO DE LAS INTERACCIONES

Los campos medios de canje que actúan sobre las redes de spins A y B son:

con α,β γ g constantes positivas y donde los signos - ponen de manifiesto la

interacción antiparalela. La densidad de energía media de la interacción es interacción antiparalela. La densidad de energía media de la interacción es igual a:

Condiciones para minimizar energía:

TEMPERATURA DE CURIE Y SUSCEPTIBILIDAD