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8/3/2019 Go Del

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Los fundamentos de la matemtica ylos teoremas de Gdel

Mario A. Natiello

Centre for Mathematical Sciences

Lund University

Sweden

Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.1/23

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Contenido

Trataremos los siguientes puntos: Qu cosa es la matemtica ?


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Contenido


La bsqueda de la certeza


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Contenido



El programa de Russell


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Contenido




El programa de Hilbert


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Contenido





Gdel o convivir con la incerteza


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Contenido





Gdel o convivir con la incerteza Lakatos y el progreso de la ciencia


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Contenido






Lecturas sugeridas.


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Contenido






Lecturas sugeridas.

FIN


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Qu cosa es la matemtica ? I

Discusin milenaria: Una ciencia experimental: La matemtica estudia

objetos determinados por la experiencia.

Una ciencia abstracta platnica: Los objetos delas matemticas existen en el mundo de las ideas,mientras los objetos del mundo real son slo un

plido reflejo de los objetos matemticos. Una ciencia que estudia las relaciones entre

objetos naturales una vez despojados de toda

propiedad contingente.


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Qu cosa es la matemtica ? II

Un ejercicio de lgica.

Un sistema de convenciones que facilita las

relaciones sociales, especialmente de naturalezapblica, y que a travs de los siglos hademostrado ser til, constituyendo uningrediente escencial de la diferencia entre lasupervivencia y la muerte.


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Qu cosa es la matemtica ? III

J. S. Mill: La matemtica es la ciencia emprica devalidez ms general.

Puede la afirmacin 3+ 2 = 5:

ser verificada experimentalmente? ser puesta a prueba? ser refutada?

El concepto de nmero como abstraccin de laexperiencia. El nmero 2 representa aquello que,segn nosotros, dos manzanas, dos personas, dos

hojas, dos metros, dos meses, etc., tienen encomn.

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La bsqueda de la certeza I

El siglo XIX represent un intento de generar rigor ycerteza en el edificio de las matemticas.

Peano: Organizar el conocimiento de los

nmeros naturales con un puado de axiomas yreglas (inspirado por el programa de Euclides): 0 es un nmero.

Todo nmero tiene un sucesor. 0 no es el sucesor de ningn nmero. Dos nmeros distintos no tienen jams el

mismo sucesor. Si una propiedad vale para el nmero 0 y cada

vez que vale para un nmero k, tambin valepara el sucesor de k, entonces vale para todos

los nmeros.


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La bsqueda de la certeza II

Es este sistema completo y consistente? Cmo estconcebido?

Conceptos elementales no definidos (nmero,

sucesor, propiedad). Axiomas: Verdades bsicas tenidas por

indudables y que no necesitan demostracin.

Reglas de inferencia lgica: Toda cosa es idntica a s misma. Una afirmacin matemtica es o cierta o falsa,

no hay una tercera opcin. Modus ponens, implicacin,


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La bsqueda de la certeza III

Grietas en el edificio: Los axiomas no son inamovibles. Algunos

axiomas se pueden substituir por otros sin perder

la consistencia. Las reglas lgico-matemticas pueden llevar a

conclusiones inesperadas. Cantor: No todos los

conjuntos infinitos son iguales, algunos sepueden contar (enumerar) y otros no.

Paradojas lgicas.


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La bsqueda de la certeza IV

La paradoja del barbero: En una isla hay un barbero que afeita slo a

todos los hombres de la isla que no se afeitan

a s mismos. Quin afeita al barbero?

Paradoja autoreferencial:

Esta afirmacin es falsa.Verdadera o falsa?

Recurrencia infinita: En una habitacin estntodos los cuadros que no contienen una imagende s mismos. Se puede pintar un cuadro de esahabitacin? Tendra ese cuadro una imagen de smismo ?

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Bertrand Russell y el logicismo

Principia Mathematica (con Whitehead, 1910-1913). Definir los conceptos bsicos de la matemtica

(Peano) en trminos de conceptos de la lgica.

Clases, clase vaca, nmero, operacionesaritmticas, etc.

Variables y conectivos (no, o, y, implica).

Teorema: Frmula vlida obtenida a partir de losaxiomas y las reglas del clculo lgico.

Objetivo: Liberar la matemtica de los problemas

que generan la paradoja del barbero y similares. Idea: Romper la cadena autoreferencial.



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Hilbert y el formalismo I

En 1899 Hilbert present un sistema axiomtico parala geometra.

Elementos bsicos (indefinidos), axiomas y reglas

de inferencia. Generacin rutinaria de las verdades del sistema

(demostrar los teoremas).

Los conceptos indefinidos conllevan la existenciade modelos o interpretaciones del sistema deaxiomas.

Un sistema de axiomas ser ms o menosaplicable a un dado contenido.

Todo lo que puede ser objeto de pensamiento

cientfico...entra en la esfera del mtodoaxiomtico.Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.11/23

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Hilbert y el formalismo II

Problema central: Es el sistema de axiomas independiente (mnimo,

o sea ningn axioma es redundante relativo al

grupo) ? Est el sistema libre de contradicciones ?

(Consistencia: Los teoremas T y T no pueden

ser ambos demostrados dentro del sistema deaxiomas)


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Una formalizacin de toda la matemtica: Todaslas afirmaciones matemticas deben ser escritasen un lenguaje formal preciso y manipuladassiguiendo reglas bien definidas.

Completitud: Una demostracin de que todas lasafirmaciones matemticas verdaderas pueden serdemostradas dentro del formalismo.

Consistencia: Una demostracin de que en elformalismo de la matemtica no se puedenobtener contradicciones. Esta prueba debe usar

preferiblemente razonamientos finitos acercade objetos matemticos finitos.


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El programa de Hilbert (cont.)

Conservacin: Una prueba de que cualquierresultado acerca de objetos reales obtenidorazonando acerca de objetos ideales (comoconjuntos no numerables) se puede demostrar sinusar objetos ideales.

Decidibilidad: Debe existir un algoritmo paradecidir la verdad o falsedad de cualquier

afirmacin matemtica.


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Hilbert y el formalismo III

Este programa slo puede ser llevado a caboparcialmente.

La consistencia de la geometra se puede reducir

a la consistencia de la aritmtica. La geometra euclideana es consistente (Tarski).

La lgica de primer orden es consistente (Gdel).

Muchas areas del conocimiento matemtico sehan organizado gracias a los esfuerzosaxiomticos.



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Gdel o convivir con la incerteza

Teorema 1: En cualquier sistema formal quecontenga la estructura bsica de la aritmtica(nmeros naturales, suma y multiplicacin) sepueden construir afirmaciones aritmticas queson verdaderas pero indemostrables dentro delsistema.O sea: Cualquier teora consistente

suficientemente amplia es incompleta. Teorema 2: Para cualquier sistema formal que

contenga la estructura bsica de la aritmtica, el

sistema contiene una afirmacin sobre la propiaconsistencia s y slo ses inconsistente.


i d d l

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Primer teorema de Gdel I

Consideremos los axiomas de Peano, la suma, elproducto y los smbolos bsicos de la lgica.

Asociar todos los elementos bsicos de la teora a

nmeros (p.ej.: 0 000,= 111, 333,1 222, etc.).

Los axiomas de la teora y los teoremas(afirmaciones verdaderas demostrables dentrodel sistema) tambin son nmeros (p.ej.:0 = 1 000333111222).

Las reglas lgicas y las demostraciones deteoremas son funciones que transformannmeros en nmeros.


P i d Gd l II

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Primer teorema de Gdel II

Esta afirmacin no es un teorema del sistema. Si la afirmacin fuera falsa, entonces sera un

teorema (demostrable dentro del sistema) y

adems falso: imposible. Si la afirmacin es verdadera, entonces no es un

teorema. O sea: Hay afirmaciones verdaderas queno se pueden demostrar.

A esta afirmacin tambin se le puede asignar unnmero, o sea que es un elemento vlido delsistema, pero ese nmero no es el nmero deGdel de ningn teorema del sistema.


C t i

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Comentarios

Un sistema tan amplio como los nmerosnaturales inevitablemente puede hacerafirmaciones acerca de s mismo.

En 1977 Paris and Harrington encontraron unaafirmacin acerca de los nmeros naturales quees indemostrable dentro del sistema de Peano.

Goodstein, Kruskal y Chaitin encontraron otrasvariantes.

Algunos piensan que ciertas conjeturas acerca delos nmeros naturales que hasta hoy no se hanpodido demostrar, son verdades Gdelianas (p.ej:Todo nmero par se puede escribir como la sumade dos nmeros primos (Goldbach)).


S d t d Gd l

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Segundo teorema de Gdel

Sea P la afirmacin indemostrable del primerteorema.

El primer teorema dice: Si el sistema es

consistente entoncesP

es indemostrable. Si el sistema es consistente y esta consistencia

fuera demostrable, de la demostracin del primerteorema se seguira que se ha demostrado laafirmacin P es indemostrable. Imposible.Luego, si el sistema es consistente, la consistenciano se puede demostrar dentro del sistema.

Si el sistema fuera inconsistente, cualquier cosa sepodra demostrar, inclusive que el sistema esconsistente(!).


C t i

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Comentarios

Se puede demostrar que el subconjuntoconsistente ms grande dentro del sistema dePeano no tiene ninguna cadena lgica quetermine en una contradiccin.

Esto es casiuna demostracin de la consistenciadel sistema de Peano, pero ms all no se llega.

Lmites a los programas de Hilbert y Russell.

Lmites a ciertos programas de InteligenciaArtificial: No todas las afirmaciones verdaderasson computables por mtodos automticos.



Lakatos el progreso de la ciencia

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Lakatos y el progreso de la ciencia

Cmo se organiza el conocimiento matemtico? La certeza absoluta ya no es un objetivo.

El conocimiento matemtico se construye y refina

artesanalmente, hasta remitirlo a un sistemabsico de axiomas.

La eleccin, funcionalidad y reconocimiento de

consistencia del sistema de axiomas va por cuentadel usuario.

No obstante la incerteza, la utilidad y precisin

de la matemtica superan cualquier otra creacinintelectual humana.



Referencias y material de lectura

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Referencias y material de lectura

Cmo seguimos leyendo? Wikipedia (buscar bajo Hilbert, Russell, Gdel,

etc.).

Libros de historia de la matemtica: Kline, Katz,etc.

Roger C. Lyndon, Notes on Logic, Van Nostrand,

1966. Imre Lakatos, Proofs and Refutations. The Logic

of Mathematical Discovery. Cambridge University

Press, 1976.



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