UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERA CIVIL

Tarea N 5

Operacin de Embalse de Riego con Programacin Dinmica Estocstica

Alumno: Jos Miguel Gonzlez.

Profesor: Marcelo Olivares.

Auxiliar: Jannik Haas.

Fecha Entrega: 2 de Junio, 2014

Contenido 1 INTRODUCCIN ........................................................................................................................... 3

2 ENUNCIADO ................................................................................................................................. 4

Primera parte .................................................................................................................................. 4

Segunda parte ................................................................................................................................. 4

3 OBJETIVOS ................................................................................................................................... 4

4 METODOLOGA ............................................................................................................................ 4

5 RESULTADOS ............................................................................................................................... 6

5.1 Rutina Matlab ...................................................................................................................... 6

5.2 Optimizacin y Simulacin .................................................................................................. 9

5.2.1 Modificacin del cdigo .............................................................................................. 9

5.2.2 Simulacin ................................................................................................................. 10

6 ANLISIS Y CONCLUSIONES ....................................................................................................... 12

7 BIBLIOGRAFA ............................................................................................................................ 13

1 INTRODUCCIN

Un gran nmero de problemas en la planificacin, produccin, programacin, transporte, finanzas y el diseo de ingeniera requiere que las decisiones sean toman en presencia de incertidumbre (Sahinidis 2004), en respuesta a esto, en el rea de las matemticas se ha avanzado en tcnicas de programacin matemtica que ayudan a los gestores, a tomar decisiones en aras de optimizar los recursos que tienen a disposicin para obtener el mayor beneficio econmico asociado a una actividad.

La programacin dinmica estocstica es una teora matemtica que hace frente a los procesos de toma de decisiones, dividindolos en mltiples etapas, esta teora fue acuada por Bellman en 1957 y en la actualidad es ampliamente utilizada para resolver problemas donde la incertidumbre juega un papel importante en la toma de decisiones.

Debido al gran tamao de los problemas, los cuales se traducen en esfuerzos computacionales, la filosofa central del enfoque es reducir al mnimo las etapas de clculo que requieren evaluaciones puntuales discretas, por tal motivo el uso de polinomios ortogonales son especialmente tiles en la aplicacin de mtodos de aproximacin para el clculo iterativo de la funcin de costo fututo en un horizonte infinito, debido a sus propiedades de convergencia superiores sobre polinomios estndar (Howitt et al. 2002)

2 ENUNCIADO

Primera parte Descargue el demo compecon de M&F con las rutinas Matlab. Obtenga el archivo .m para demdp10. Presione el botn (Run) y vea los resultados de caja negra.

Segunda parte Adapte el cdigo de GAMS del modelo de crecimiento econmico de M&F para el problema de gestin de agua. Considere los siguientes supuestos:

Las funciones de beneficio inmediato estn dadas por 11 + 2( )

2, donde 1 =3.0 , 1 = 0.6 , 2 = 5.0 2 = 0.5.

Los limites inferior y superior de almacenamiento en el embalse son 6 y 9 (cientos de millones de metros cbicos)

La distribucin de probabilidad (lognormal) de los volmenes afluentes est representada por:

Tabla 1. Caudales y Distribucin de Probabilidad

P(Q) 0,1587 0,1498 0,0928 0,0987 0,0987 0,0928 0,1498 0,1587

Q 51.801 0,1218 0,0349 0,0187 0,0053 0,0029 0,0008 0,000019

3 OBJETIVOS

Adaptar el cdigo de GAMS del modelo de crecimiento econmico de M&F para el problema de gestin de agua y con el determinar los coeficientes de los polinomios de Chebychev.

Utiliza la funcin de valor futuro y resolver el problema con volmenes iniciales entre 6 y 9 (cientos de millones de metros cbicos), a intervalos de 0.5, y para cada condicin inicial obtener la entrega para riego, el valor del producto marginal de riego, el valor marginal del agua almacenada, el volumen final y el derrame esperado.

4 METODOLOGA En los siguientes diagramas se muestra la metodologa a utilizar adaptada de (Howitt et al. 2002). La cual sirvi para resolver el problema de gestin de agua utilizando polinomios de Chebychev y el planteamiento de Bellman conjuntamente.

Figura 1. Coeficientes de Chebychev

Figura 2. Funcin Objetivo SDP

por cada nodo del polinomio J

Valor iteracin del bucle (n pasos)

Valor de funcin futuro y Coeficientes de Chebychev

Inicialice Con

Valor Funcin Inmediato W(Xt, ut)

Nodos para: Evaluacin de estado y Valores estocsticos de afluentes

Probabilidades de afluentes sobre K Valores de nodo estocstico

Defina la Variable de estado en [-1,1] intervalos

Nivel de variable de estado in el tiempo t, Xt

Blucle ptimo de control

Entregas y estados ptimos, Funcin Valor total

Inicialice Con

Valor Funcin Inmediato W(Xt, ut)

Funcin Chebyshev para el valor esperado de la variable de estado

Valores de afluentes estocsticos (Ft)

Limites superior e inferior sobre Estado y entregas

5 RESULTADOS

En la siguiente seccin se presentan los resultados obtenidos en la solucin del problema de gestin de agua.

5.1 Rutina Matlab

A continuacin se presentan los grficos que se obtuvieron al correr la rutina de Matlab.

Figura 1. Poltica de Irrigacin ptima

La figura 1 muestra la poltica de operacin ptima para el ejemplo simulado, en este caso a

medida que aumenta el nivel del agua la entrega para el riego es mayor, esto se puede observar

en igual en la parte dos del presente trabajo.

Figura 2. Valor de la Funcin

La figura anterior muestra el beneficio total del agua en el embalse y se observa que esta

disminuye a medida que el nivel del agua en el embalse aumenta, esto se debe a que a mayor

oferta de agua el precio del agua disminuye.

Figura 3. Funcin de Precios Sombra

Figura 4. Aproximacin Residual

Figura 5. Trayectoria de Estado Esperado

Figura 6. Trayectoria de Poltica Esperada

5.2 Optimizacin y Simulacin En esta seccin se presentan los resultados de la optimizacin (coeficientes de Chebychev) y los resultados de la simulacin (Entregas, derrames, Costos marginal del agua de riego y costo marginal del agua embalsada).

5.2.1 Modificacin del cdigo Las modificaciones que se le realizaron al modelo de crecimiento econmico se centraron esencialmente en la ecuacin de Bellman y en las restricciones del problema, adems de incluir los caudales y las probabilidades, estas modificaciones se pueden observar en las siguientes lneas del cdigo adjunto y adems se presentan a continuacin: 40-47, 51-60, 114-119, 125-135 y 137-158. Ecuacin de Bellman

= {(11 + 2( )

2) + [ (

(+1, ))]

}

Sujeto a = + + +1 = + +1 9 0 0 6 En las modificaciones presentadas anteriormente se defini una variable de vertimientos en la ecuacin de estado, la cual impone una penalidad obligando a que estos sean mnimos, no se le adiciono esta penalidad por vertimientos a la ecuacin de Bellman debido a que esta no modificaba las entregas optimas y si influa negativamente en el costo del agua como se podr ver ms adelante en la grfica 4. De las modificaciones realizadas al cdigo se obtuvieron los coeficientes de Chebychev que se presentan en la tabla 2, adicionalmente a estos se presentan unos coeficientes obtenidos de trabajos anteriores. Como se puede ver hay una diferencia en dichos coeficientes por tal motivo la parte dos del trabajo se realiz con los coeficientes obtenidos en trabajos anteriores, y se insiste en que la obtencin de los coeficientes del autor del presente informe se cree que son vlidos, debido a que las modificaciones presentadas anteriormente, son las misma que se implementaron para la simulacin de la siguiente seccin y se encontraron valores razonables como se muestra posteriormente.

Tabla 2. Coeficientes de Chebychev

a1 a2 a3 a4 a5

Trabajos Anteriores

103.617000 2.758000 -0.362000 0.112000 -0.041000

GAMS 102.643000 0.107000 -0.049000 -0.008000 -0.005000

5.2.2 Simulacin La simulacin del embalse se dividi en dos partes a saber: con penalidad por derrame en la ecuacin de Bellman y sin penalidad en la ecuacin de Bellman. En las siguientes tablas se presentan los resultados a las simulaciones mencionadas anteriormente.

Tabla 3. Simulacin Con Penalidad por Derrame

Volumen Inicial

Entrega W

Derrame Sp.

Volumen Final

Beneficio Futuro Agua

Beneficio Actual Agua

Beneficio Total Agua

Cost. Mar Agua Riego

Cost. Mar Agua Embal.

6.0 0.00 0.35 6.50 101.35 12.25 100.35 11.63 4.83

6.5 0.21 0.35 6.79 102.29 13.58 102.53 9.10 3.76

7.0 0.41 0.35 7.09 103.07 14.52 104.17 7.59 2.95

7.5 0.59 0.35 7.41 103.71 15.23 105.46 6.92 2.40

8.0 0.76 0.35 7.74 104.28 15.86 106.60 6.93 2.10

8.5 0.90 0.35 8.10 104.84 16.43 107.67 7.40 2.06

9.0 1.04 0.35 8.46 105.38 16.97 108.69 8.27 2.28

Tabla 4. Simulacin Sin Penalidad por Derrame

Volumen Inicial

Entrega W

Derrame Sp

Volumen Final

Beneficio Futuro Agua

Beneficio Actual Agua

Beneficio Total Agua

Cost Mar Agua Riego

Cost Mar Agua Embal.

6.0 0.00 0.35 6.50 101.35 12.25 103.46 11.27 4.93

6.5 0.23 0.35 6.77 102.24 13.73 105.75 8.89 3.77

7.0 0.41 0.35 7.09 103.07 14.52 107.28 7.72 2.91

7.5 0.59 0.35 7.41 103.71 15.23 108.57 7.08 2.33

8.0 0.76 0.35 7.74 104.28 15.86 109.71 7.01 2.05

8.5 0.90 0.35 8.10 104.84 16.43 110.78 7.33 2.06

9.0 1.04 0.35 8.46 105.38 16.97 111.81 7.99 2.37

Como se puede observar en las tablas presentadas anteriormente la penalidad impuesta en la funcin objetivo por el derrame no modifica las entregas ptimas ni minimiza los derrames desde el embalse y si afecta negativamente el beneficio total del agua. Esta disminucin del beneficio total del agua en este caso es de 3.5 rdenes de magnitud, debido a que la penalidad que se implemento es de 10 veces el derrame esperado el cual como se puede observar en las tablas 3 y 4 es de 0.35 en cada simulacin modificando el volumen inicial del embalse. En las siguientes graficas se presentan los costos marginales del agua para riego y del agua embalsada para cada volumen final del embalse, como se puede observar en los dos casos cada vez que hay ms agua en el embalse para el siguiente periodo el valor de la misma disminuye y lo mismo ocurre con el agua de las entregas para riego, esto se debe a que a mayor agua almacenada, mayor es la disponibilidad de la misma y esta deja de ser ms valiosa en el mercado porque hay mayor oferta. Tambin en el grafico 3 se observa que a menor volumen disponible las entregas son mayores y esto se debe simplemente a que hay poca capacidad de almacenamiento en el embalse y para evitar prdidas por derrame se hace una entrega mayor al riego. En el grafico 4 se presenta el Beneficio total del agua para cada volumen inicial, est aumenta en funcin del volumen inicial y esto se debe a que con menor capacidad de almacenamiento del embalse se realizan mayores entregas al riego y se obtiene un mayor beneficio.

Grafico 1. Costo Marginal de Agua en el Embalse

Grafico 2. Costo Marginal de Agua de Riego

Grafico 3. Entregas Para Riego

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

5.50 6.50 7.50 8.50 9.50

Co

sto

Mar

gin

a A

gua

Emb

alse

Vol Final

Cost Mar Agua EmbalseSin Penalidad

Cost Mar Agua EmbalseCon Penalidad

4.005.006.007.008.009.00

10.0011.0012.0013.00

5.50 6.50 7.50 8.50 9.50Co

sto

Mar

gin

al A

gua

Rie

go

Vol Final

Cost Mar Agua Riego SinPenalidad

Cost Mar Agua RiegoCon Penalidad

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

Entr

ega

Par

a R

iego

Vol Inicial

Entrega W SinPenalidad

Entrega W ConPenalidad

Grafica 4. Beneficio Total del Agua

Se puede observar en esta ltima grafica la variacin del costo total del agua debido a la penalidad impuesta en la funcin objetivo por los derrames y se observar cmo se mencion anteriormente que el agua vale menos cuando se impone la penalidad. 6 ANLISIS Y CONCLUSIONES De acuerdo a lo presentado anteriormente se puede observar que para este caso la penalidad por vertimiento en la funcin objetivo lo nico que genera es una disminucin del beneficio total del agua sin importar de que est disminucin se puede evitar quitando esta penalidad, lo anterior debido a que la capacidad del embalse no es suficiente para almacenar el primer afluente y fsicamente est obligado a verter, si se observa las tablas 2 y 3 los vertimientos y las entregas son iguales en los dos casos lo cual ratifica lo dicho. En este caso los vertimientos solo se podran evitar con una disminucin en el lmite de almacenamiento inferior que en este caso es 6 (cientos de millones de metros cbicos).

Como se puede observar anteriormente los costos marginales del agua embalsada y del agua para riego, disminuyen a medida que se aumenta el volumen inicial del embalse, esto se debe a que a mayor volumen inicial

De las grficas 1 y 2 se observa que a mayor volumen embalsado el costo marginal del agua para riego y del agua embalsada disminuye, esto se debe como se mencion anteriormente a que hay una mayor disponibilidad de agua para un siguiente periodo, por tal motivo el costos disminuye porque hay mayor oferta.

Las entregas para riego y el beneficio total del agua aumentan cada ver que el volumen inicial es mayor, esto se debe a que a para este ejemplo el beneficio del agua est en funcin de las entregas de riego y cada vez que el volumen inicial del embalse es ms alto se generan mayores entregas para riego lo cual se traduce en mayores beneficios.

Como se puede observar en el archivo Tarea_5.xlsx, las simulaciones con los coeficientes de Chebychev obtenidos en este trabajo, arrojan mayores valores de beneficio total del agua, esto se puede atribuir a que en el cdigo trabajado en GAMS no se le incluyo la penalidad por derrames en la funcin objetivo, lo cual se explic anteriormente.

98.00100.00102.00104.00106.00108.00110.00112.00114.00

5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

Ben

efic

io T

ota

l Agu

a

Vol Inicial

Benefi Total Agua SinPenalidad

Benefi Total Agua ConPenalidad

7 BIBLIOGRAFA

Howitt, R. et al., 2002. Using Polynomial Approximations to Solve Stochastic Dynamic Programming Problems: or A Betty Crocker Approach to SDP . , p.25.

Sahinidis, N. V., 2004. Optimization under uncertainty: state-of-the-art and opportunities. Computers & Chemical Engineering, 28(6-7), pp.971983. Available at: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0098135403002369 [Accessed April 28, 2014].