I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA PLAN DE ASIGNATURA

GUÍA DIDÁCTICA

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO: PA-01-01

VERSIÓN: 1.0

FECHA: 13-10-2011

PÁGINA: 1 de 7

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado:9º

Periodo: 3º

Docente: Esp. Blanca Rozo Duración: 10 HORAS GUIA 2

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR: Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Propone y resuelve problemas de aplicación relacionados con sucesiones, series,

progresiones aritméticas y geométricas.

EJE(S) TEMÁTICO(S): 1: SUCESIONES*DEFINICIÓN

2: SERIES

*DEFINICIÓN *PROPIEDADES DE LA SUMATORIA *SUMA DE LOS N–TÉRMINOS EN UNA SUCESIÓN

3: PROGRESIONES

*PROGRESIONES ARITMÉTICAS *PROGRESIONES GEOMÉTRICAS *PROBLEMAS DE

APLICACIÓN DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

ORIENTACIONES

1)Observación del trabajo individual y grupal, tanto en el aula como fuera de ella.

2) Entrega del cuaderno de trabajo para su corrección.

3) Valoración de la presentación de los informes escritos.

4) Pruebas escritas de evaluación del área pudiendo incluirse en ellas alguna cuestión relacionada con los contenidos

trabajados en el cuaderno.

EXPLORACIÓN

CONCEPTUALIZACIÓN

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SUCESIONES Y SERIES

Definición Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado

de infinitos números reales a 1, a2, a3, a4, a5,..., an,...

Cada uno de los números reales se llama término de la

sucesión.

Dada una sucesión { an }, se llama serie a la sucesión que

forman los siguientes términos: a1, a1+ a2, a1+ a2+ a3,

a1+ a2+ a3+ a4, …

El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11,

13,... es una sucesión de números reales. Al término:

an = 3 + 2(n-1) se le llama término general.

Consideremos la sucesión de término general

an = 3n + 2; 5, 8, 11, 14, 17, 20,...

Observamos que cada término de la sucesión es igual que

el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una

progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la

progresión.

SUCESIONES RECURRENTES O RECURSIVAS.

Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se

definen en función de los anteriores (definición inductiva

o recursiva).

FINITA O INFINITA

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una

sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números

impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde

vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en

order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre Una sucesión que se forma por la suma de los términos de

"alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí,

siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

EN ORDEN

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los

términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer

muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y

1s. El conjunto sería sólo {0,1}

LA REGLA

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el

valor de cada término.

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en

forma de ecuación, así: xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos

escribir: x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

EJEMPLO

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su

posición. La regla es xn = n2

DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN:

Por el término general

an= 2n-1

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

SERIES

Una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa

"súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros

términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo

{3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera

RECUERDA:Un ejemplo de sucesión recurrente es la SUCESIÓN DE

FIBONACCI, dada por

s1 = 1, s2 = 1, sn+2 = sn+1+sn (n " N),

cuyos primeros términos son

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, . . .

Los dos primeros términos son unos y los

demás se obtienen sumando los dos términos

anteriores.

Las sucesiones definidas por recurrencia

aparecen con frecuencia en cálculos con

ordenadores:

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una sucesión recibe el nombre de serie.

En la sucesión [an ] = { 1, 3, 5, … , 2 n - 1

, …} es

posible obtener las sumas parciales

{ Sn} = { S1 ,S2, S3,…}= {a1 , a1 + a2, a1 +a2 +a3, …},

definidas como

S1 = a1 = 1

S2 = a1 + a2 = 1 + 3 = 4

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 + an = 1 +3 +5 + … + 2n -1 = n2

denotada como ∑ , se llama Serie Infinita

EJEMPLOS

En una serie geométrica cada término se obtiene

multiplicando el anterior por una constante, llamada

razón r. En este ejemplo, r = 1/2:

CONSULTAR LAS PROPIEDADES DE LA

SUMATORIA DE SERIES

PROGRESIONES

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Las progresiones ari tméticas son suces iones de

números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es

igual al anterior más un número fijo llamado diferencia

que se representa por d . Ejemplo

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

El ejemplo {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o

progresión aritmética), porque la diferencia entre un

término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos

términos.

La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos

términos.

La regla es xn = 5n-2

CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL O

TERMINO ENÉSIMO

El término general de una progresión aritmética es aquel

en el que se obtiene cualquier término sumándole la

diferencia al término anterior. El término de una

de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de

la progresión. La fórmula del término general de una

progresión aritmética es:

an = a1 + (n - 1) · d

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término

inicial de una progresión aritmética es y la diferencia

común es , entonces el término -ésimo de la sucesión

viene dada por

, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se

toma como el cero.

n = 1, 2, 3,... si el término

inicial se toma como el primero.

8, 3, -2, -7, -12, ..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de

la progresión.

a n = a k + (n - k) · d a4= -7 y d = -5

an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS EN UNA

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos

números, es construir una progresión aritmética que tenga

por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar

m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

La progresión pedida es: 8, 3, -2, -7 , -12.

Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales

entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según

(III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3

Los términos a interpolar serán , , y

.

Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:

2, 5, 8, 11, 14

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SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA

PROGRESIÓN ARITMÉTICA .

Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos

Sea la progresión aritmética de diferencia d :

La suma de los siete primeros términos de la progresión

aritmética de término general an = 5n

Se comprueba que la suma de los términos primero y

último es igual a la suma de dos términos equidistantes a

éstos, e igual al doble del término central.

La suma de los términos en un segmento inicial de una

sucesión aritmética se conoce a veces como serie

aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas.

La suma de los n primeros valores de una sucesión finita

viene dada por la fórmula:

donde es el primer término y el último

Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros

múltiplos de 5? El resultado es inmediato:

a4= 24, k=4 y r=2.

más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en

cinco segundos. 1.- Si conocemos el 1

er término.

an = a1 · rn-1

3, 6, 12, 24, 48, ..

an = 3· 2n-1

= 3· 2n · 2

-1 = (3/2)· 2

n

2 .-Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término

de la progresión.

an = ak · rn-k

a4= 24, k=4 y r=2.

an = a4 · rn-4

an = 24· 2n-4

= (24/16)· 2n = (3/2) · 2

n Sumar los veinte primeros términos de la progresión:

-5, 4, 13, 22, 31, 40

solución:

S20 = (a1 + a20).d/2

La diferencia es d = 9

a20 = -5 + (20 - 1).9

a20 = -5 + 19·9 = 166

S20 = (-5 + 116).20/2 = 1610

Dada la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar

los términos comprendidos entre a24 y a36.

solución:

La diferencia es d = -5.

a24 = 8 + 23.(-5) = -107

a36 = 8 + 35.(-5) = -167

Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos. La suma pedida es

S13 = [(-120) + (-116)].13/2 = -1781

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada

término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija

r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2.

TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN

GEOMÉTRICA

an = a1 · r

n-1

an = ak · r

n-k

1.- Si conocemos el 1er término.

an = a1 · rn - 1

3, 6, 12, 24, 48, ..

an = 3· 2n-1

= 3· 2n · 2-1

= (3/2)· 2n

2.-Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término

de la progresión.

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an = a4 · r

n-4

an = 24· 2n-4

= (24/16)· 2n = (3/2) · 2

n

Una progresión geométrica está constituida por una

secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se

obtiene multiplicando el anterior por una constante

denominada razón o factor de la progresión. Se suele

reservar el término progresión cuando la secuencia tiene

una cantidad finita de términos mientras que se usa

sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si

bien, esta distinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con

razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

405 = 135 × 3

y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y

la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra

progresión

En una sucesión geométrica cada término se calcula

multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada

dos términos.

La regla es xn = 4 × 2-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en

un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total

encontramos el siguiente número de la sucesión.

an = ak · rn-k

La regla es xn = 4 × 2-n

TÉRMINO GENERAL.

Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1,

a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica:

a2 = a1 · r

a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2

a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r

3

Generalizando este proceso se obtiene el término general:

Sean términos de una progresión

geométrica de razón .

Entonces se cumple que:

Ejemplos:

¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6,

12,...?

La razón se obtiene dividiendo un término por el

anterior: r = 6 : 3 = 2.

¿Cuál es el quinto término de una progresión

geométrica en la que a1 = 2 y r = 3?

Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6,

18, 54, 162,...) multiplicando cada término por 3.

También se puede obtener directamente: a5 = a1 · r 5

- 1 = a1 · r

4 → a5 = 2 · 3

4 = 2 · 81 = 162

SUMA DE LOS PRIMEROS N TÉRMINOS DE UNA

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos

de una progresión geométrica:

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera

rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la

igualdad por la razón de la progresión r.

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una

progresión geométrica por la razón se obtiene el término

siguiente de esa progresión,

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Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

_______________________________

Sn r - Sn = - a1 + an r

o lo que es lo mismo,

Sn ( r - 1 ) = an r - a1

Si se despeja Sn,

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de

una progresión geométrica cuando se conoce el primer y

el último término de la misma. Si se quiere simplificar la

fórmula, se puede expresar el término general de la

progresión an como

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo

siguiente:

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos

consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber

el primer término a sumar y la razón de la progresión.

INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS EN UNA

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos

números, es construir una progresión geométrica que

tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar

m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3, 6, 12, 24 , 48.

El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º

es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8

primeros términos.

a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 · r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.

S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765

Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por

el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente.

Cuánto ha pagado por los libros.

a1= 1 r= 2; n = 20;

S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

GLOSARIO: Buscar el vocabulario desconocido y

escribirlo en el cuaderno.

CONSULTAR LAS PROPIEDADES DE LA

SUMATORIA DE SERIES

Ejercicios de progresiones aritméticas

1)El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el

sexto es 16. Escribir la progresión.

2)Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.

3)Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

4)El primer término de una progresión aritmética es -1, y el

décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los

quince primeros términos.

5)Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

6)Hallar la suma de los quince primeros números acabados

7)Hallar la suma de los quince primeros números pares

mayores que 5.

8)Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo

que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

9)El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm.

Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo

forman una progresión aritmética.

10)Calcula tres números en progresión aritmética, que

suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

Ejercicios de progresiones geométricas

1 . -El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º

es 48. Escribir la progresión.

2. -El 1er

término de una progresión geométrica es 3, y el 8º

es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8.

6. -Calcular el producto de los primeros 5 términos de la

progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

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en 5.

SOCIALIZACIÓN

1) Puesta en común del trabajo realizado en grupo e

individual.

2) Revisión y corrección de posibles dificultades.

3) Corrección de los talleres

4) Retroalimentación de procesos

5) Evaluación escrita.

3) Corrección de los talleres

COMPROMISO

Sucesiones y progresiones. Ejercicios

1) Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

1 2) 3)

4 ) 5 ) 6)

7) 8) 11. - Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.

12. - Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

13. - Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

14. - Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

15. -El 1er

término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8

primeros términos.

16. - El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.

17. - Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

18. -Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º.

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES Esp.Blanca Rozo Blanco LIC,YAIRA LICETH

RINCON

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

DD

08

MM

08

AAAA

2012 DD MM AAAA DD MM AAAA