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I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO:PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 07-04-2014

PÁGINA: 1 de 11

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: OCTAVO

Periodo: SEGUNDO – GUIA 1

Docente: Duración:

15horas

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR:

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

Resuelve situaciones problemas que requieren el uso de expresiones algebraicas.

EJE(S) TEMÁTICO(S):

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA

“La matemática: el inconmovible Fundamento de todas las Ciencias y la generosa Fuente de Beneficios para los

asuntos humanos.” ( Isaac Barrow)

”

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía.

Sigue las instrucciones del docente.

Resuelve las actividades en el cuaderno.

Aclara tus dudas.

EXPLORACIÓN

Resuelve el crucinúmero, descubriendo las incógnitas indicadas en las referencias horizontales y verticales, y completar

las casillas correspondientes.

1 2 3 4

5

6 7

8 9

10 11 12

13 14

15 16

Horizontales:

1. Número que sumado a 3 da como resultado 18.

2. Año del descubrimiento de América.

5. Número al que restándole el triple de 7, es igual al cuadrado de 20.

6. Número cuya tercera parte, sumada a 8, da por resultado 21.

8. Número cuya mitad es igual a la raíz cuadrada de 81.

10. Número que sumado a 25, da por resultado el cuadrado de 10.

11. Número que dividido entre 8 da 103 como cociente exacto.

13. 1 unidad, 2 decenas, 3 centenas.

15. Número de grados que mide un ángulo recto

16. Raíz cuadrada de 2500

Verticales:

1. Número que sumado a 1, es igual a la raíz cuadrada de 121.

2. Número de meses del año.




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3. Número cuyo doble es igual a 828.

4. Raíz cuadrada de 40.000.

5. El cuadrado de 7.

6. El cubo de 6, más el cuadrado de 13.

7. El cuadrado de 12.

8. Año de la revolución Francesa.

9. Año del nacimiento de la república de Bolivia.

12. Raíz cuadrada de 441.

14. Raíz cúbica de 1.000.

CONCEPTUALIZACIÓN

EL LENGUAJE DEL ALGEBRA

El álgebra es una de las ramas de las matemáticas capaz de expresar simbólicamente diversas generalizaciones y de

resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. En ella, se utilizan las letras como representación de relaciones

aritméticas. Por ejemplo, para expresar el área de un triángulo, el lenguaje aritmético sólo da casos concretos para un

valor específico. Sin embargo, utilizando el lenguaje algebraico, se puede dar una representación más general para

cualquier valor de la base y la altura como se muestra a continuación:

.

A

Las expresiones algebraicas son utilizadas en ciencias como la Química o la física. Otras ciencias como la economía y

la administración, utilizan expresiones algebraicas para determinar variables como: el costo y la útil entre otras.

Por ejemplo, el costo de producir cierto número de artículos está dada expresión mx + b, donde m representa el costo

por unidad de cada artículo, x el número de artículos y b los costos fijos.

h

b

10cm

8cm

Lenguaje aritmético Lenguaje algebraico

𝐴 = 40 𝑐𝑚2 𝐴 =

𝑏 × ℎ

2

Este tipo de expresiones formadas por númerosy letras relacionadas ,

una o varias operaciones matemáticas, reciben el nombre de

expresiones algebraicas.

En una expresión algebraica, aquellas magnitudes que representan

cantidades conocidas o determinadas se denominan constantes; y

aquellas magnitudes que representan cantidades desconocidas cuyo

valor puede cambiar, se denominan variables.

CLAVE Matemática




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El siguiente cuadro muestra la clasificación de las expresiones algebra.

CLASIFICACIÓN DEFINICIÓN

Racionales

Son expresiones algebraicas que no presentan ningún variable bajo el

signo radical. Estas expresiones pueden enteras o fraccionarias.

Enteras. No presentan ninguna variable en su denominador.

Por ejemplo, 5x2y; 2

3xy3

Fraccionarias. El denominador presenta alguna varia

Por ejemplo, 5

𝑥 ;

𝑥−3

𝑦+5

Irracionales

Son expresiones algebraicas en las que aparece alguna variable bajo el

signo radical.

Por ejemplo, √3𝑥; 4𝑥 + √3𝑥 + 1

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Encontrar una expresión algebraica para cada caso. Luego, determinar su clasificación.

a. La razón entre un número y el triple de otro.

b. La raíz cuadrada de la suma de los cubos de dos números.

c. La segunda potencia de la suma de tres números.

d. El área de un trapecio isósceles.

SOLUCIÓN

a. Si los números son x y y , respectivamente, la razón entre el primer número y el triple del segundo se representa

mediante la expresión:

x

3y Expresión racional fraccionaria.

b. Si los números son m y n, la expresión que representa la raíz cuadrada de la suma de los cubos de dichos números

es:

√𝑚3 + 𝑛3Expresión irracional.

c. Si los números son a, b y c, la segunda potencia de la suma de tres números está dada por la expresión

(a + b + c)2Expresión racional entera.

e. Si Bes la base mayor del trapecio, bla base menor y h.la altura, el área queda determinada por

(B+b)h

2expresión racional entera

MONOMIOS

Características de los monomios

Definición

Un monomio es un producto indicado de factores numéricos y literales.

Por ejemplo, las expresiones -7a2b3, 5x3, -3

4m2n5son monomios.




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Elementos de un monomio

Signo: es el símbolo que indica si el monomio es positivo (+) o negativo (-). Si el monomio es positivo, suele

omitirse el símbolo que le precede.

Por ejemplo, 3x 4yz son monomios positivos y -7x5; -2

3 mn son monomios negativos.

Coeficiente numérico: es la parte numérica presente en un monomio. Por ejemplo, en la expresión -13xy2, 13 es el

coeficiente. Si el monomio carece de parte numérica, su coeficiente es 1. Así, en el monomio ab2el coeficiente es

1.

Parte literal: es la variable o conjunto de variables presentes en un monomio.

Por ejemplo, en el monomio 3m2n5, m2n5es la parte literal.

Grado: puede ser de dos clases, relativo o absoluto.

Grado relativo o con relación a una letra: es el exponente de dicha letra. Por ejemplo, en el monomio -8m7n2, el

grado con relación a m es 7 y con relación a n es 2.

Grado absoluto: es la suma de los exponentes de las variables presentes en el monomio. Por ejemplo, en el monomio

21x5y3, el grado absoluto es 8.

EJERCICIO RESUELTO

Escribir, en cada caso, tres monomios que cumplan con las condiciones dadas.

a. Coeficiente numérico negativo y dos variables.

b. Coeficiente numérico 5 y tres variables.

c. Coeficiente racional negativo y grado 4 con respecto a x.

d. Coeficiente irracional positivo, tres variables y grado absoluto 13.

SOLUCION

a. -3m4n7;-7xy5; -11a2b2

b. 5x2y4z6; 5abc; 5mn2p3

c. −3

5X2Y; −

7

2X4YZ2; −

15

4X4Z4

d. √2X2 Y5Z6√5a6y3Z4√11m10n2p

CLASIFICACION DE LOS MONOMIOS

1. Los monomios se pueden clasificar en homogéneos y heterogéneos.

Homogéneos: Dos o más monomios son homogéneos si tienen el mismo grado absoluto.

Heterogéneos: Dos o más monomios son heterogéneos si tienen diferente grado absoluto.

Ejercicio resuelto

1. Identificar las partes de los siguientes monomios:

3x4y8; -5m5n; √3m6n6

Monomio Coeficiente Parte

Literal Grado absoluto

Grado con

respecto a

3x4y8 3 x4y8 12 x es 4

y es 8

-5m5n -5 m5n 6 m es 5

n es 1

√𝟑m6n6

√𝟑 m6n6

12

m es 6

n es 6




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2. Teniendo en cuenta la tabla anterior, determinar un par de monomios homogéneos y un par de monomios

heterogéneos.

SOLUCIÓN

Los monomios 3x4y8y √3m6n6son homogéneos, pues tienen el mismo grado absoluto. Los monomios -5m5n y 3x4y8son

heterogéneos, pues tienen diferente grado absoluto.

Valor numérico de un monomio

El valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al remplazar sus variables por valores numéricos y

después realizar las operaciones indicadas.

Ejercicio resuelto

Encontrar el valor numérico de los siguientes monomios para x=2; y = -3, z = 7.

a. x2z

b. 5x3yz

SOLUCIÓN

Si x = 2, y = -3, z = 7, se tiene

a. x2z = (2)2(7) = (4)(7) = 28

b. 5x3y z=(5)(2)3(-3)(7) = 5(8)(-3)(7)=-840

POLINOMIOS

Definición

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios. Los monomios que

conforman un polinomio, reciben el nombre de términos del polinomio.

Según el número de términos, los polinomios se clasifican en:

• Binomios: expresión algebraica que consta de dos términos únicamente.

Por ejemplo, expresiones como 2a + 3b y 5x2y — 3z2 son binomios.

• Trinomios: expresión algebraica que consta de tres términos únicamente.

Por ejemplo, expresiones como 3x + 4y + 7z y -a - ab + 8b son trinomios.

EJERCICIO RESUELTO

Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son monomios, binomios o trinomios. En cada caso, indicar el

coeficiente numérico y la parte literal de cada término:

a. 5a2b - 7ab2 b. 6x2 + 5xy - 9y2 c. -7x3y4z d.3

4m2n2 + 5a

SOLUCION

R E CO RD A R QUE…

• Toda base negativa elevada a un exponente par, es una potencia positiva.

• Toda base negativa elevada a un

exponente impar, es una potencia negativa.




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Expresión No.de

términos Clasificación Términos Coeficientes Parte literal

5a2b — lab2

2

Binomio

5a2b

5 a2b

-7ab2 -7 ab2

6x2+5xy - 9y2 3

Trinomio

6x2 6 x2

5xy 5 xy

-9y2 -9 y2

-7x3y4z 1 Monomio

-7x3y4z -7 x3y4z

3

4m2n2+5a 2 Binomio

3

4m2n2 4

3

4 m2n2

5a 5𝑎 a

GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio puede ser de dos clases:

Grado absoluto: es el grado del término de mayor grado absoluto.

Por ejemplo, el polinomio 2x3 - 5x2 + 3x - 11, es de grado 3.

Grado relativo o con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

Por ejemplo, en el polinomio x4y - 3x3y2 + 7xy3 + 9, el grado con relación a x es 4 y con relación a y es 3.

Si un polinomio presenta una sola variable, su grado absoluto estará dado por el mayor exponente de dicha variable.

Por ejemplo, en el polinomio 5x4- 8x3 + 9x2, el mayor exponente de la variable es 4; por lo tanto, es un polinomio

de grado 4.

Determinar el grado absoluto y el grado con relación a x de los siguientes polinomios:

a. x2y2 - 9x3y5 b. x3y2 + 5x2y - 3xy5 c. 9m3n + 5m8n3 - 1

2m7n7

Expresión Términos Grado absoluto Grado absoluto del

polinomio

Grado con respecto a

una variable

x2y2 - 9x3y5 x2y2 4

8 Con respecto a x 3 -9x3y5

8

x3y2 + 5x2y -3xy5

x3y2 5

6 Con respecto a y 5 5x2y 3

-3xy5 6

9m3n + 5m8n3 - 1

2m7n7

9m3n 4

14

Con respecto a m 8

5m8n3 11

1

2m7n7 14

TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO

El término independiente de un polinomio es el término de grado 0 con relación a una letra; es decir, es el término

que no posee dicha letra; Por ejemplo, en el polinomio 6x2 — 5x + 2, el término independiente es 2, pues 2x° = 2.

CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS




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Polinomio ordenado

Un polinomio puede ser expresado de manera ordenada de acuerdo con el exponente de una de sus variables. Si el

exponente de dicha variable disminuye, se dice que el polinomio está ordenado de forma descendente.

Por ejemplo, el polinomio x5y + 3x3y5 —11x2y2 — 5xy3es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a la

variable x. Pero si el exponente de dicha variable aumenta, se dice que el polinomio está ordenado de forma ascendente.

Por ejemplo, el polinomio 3 + xy2 + 7x3y4 - 13x2y5 + 4x4y7es un polinomio ordenado en forma ascendente respecto a la

variable y.

Polinomio completo

Un polinomio es completo con respecto a una letra, cuando esta contiene todos los exponentes sucesivos desde el número

0 hasta el mayor exponente, con la condición de que los coeficientes de cada término en el polinomio sean diferentes de

0.

Por ejemplo, el polinomio -9x5 + 6x4 - 8x3 + I9x2 + 5x - 8 es un polinomio completo con respecto a x, pues todos los

exponentes de esta letra son consecutivos de 0 a 5. Además, sus coeficientes son diferentes de 0

Polinomio opuesto

El opuesto de un polinomio se obtiene al cambiar de signo todos los coeficientes de sus términos.

Por ejemplo, el polinomio -7a4 + 9x2 - 2x + 10 es el opuesto del polinomio 7a4 - 9x¿ + 2x - 10.

EJERCICIOS RESULETOS

Ordenar el siguiente polinomio en forma descendente respecto a x. Luego, determinar si es un polinomio completo e

identificar su término independiente 2x3 - 5x + x2 - 5x4+ 3

SOLUCION

El polinomio 2x3 - 5x + x2 - 5x4 + 3 ordenado en forma descendente se expresa como -5x4 + 2x3 + x2 - 5x + 3. Este

polinomio es completo por tener todos los exponentes sucesivos de 0 a 4. Su término independiente es 3.

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

El valor numérico de un polinomio, es el resultado que se obtiene al remplazar las variables de cada uno de sus términos

por valores numéricos y realizar las operaciones indicadas.

Encontrar el valor numérico del polinomio a2 - 2b3, si

a= 9, b= -2, c= 3

4

a2 - 2b3= (9)2 - 2(-2)3 = 81 - 2(-8) = 81 + 16 = 97

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

1. Expresar de forma algebraica.

El cuadrado de un número aumentado en 1.

Cinco veces un número menos 8.

El número siguiente a un múltiplo de 5.

Un número impar.

Las tres octavas partes de un número elevado al cubo.

La mitad del triple del número m.

Un número elevado a una potencia par.




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La suma de dos números consecutivos.

La raíz cuadrada del triple de un número.

2. Relacionar cada magnitud con su expresión algebraica.

1. El perímetro de un cuadrado. a. ( ) x2h

2. El área de un triángulo. b. ( ) 2πr

3. La longitud de una circunferencia. c. ( ) 2x +2y

4. El volumen de un cubo. d.( ) 3x

5. El perímetro de un triángulo equilátero, e. ( ) πr2

6. El área de un pentágono regular. f. ( ) 4x

7. El área de un círculo. g. ( ) x3

8. El volumen de un paralelepípedo, h. ( ) 1

2 bh

de base cuadrada.

9. El perímetro de un rectángulo. i. ( ) 5

2 bh

3. Escribir una expresión algebraica para determinar el área de la figura.

Marcar con ✓ las expresiones algebraicas irracionales.

𝒙𝟐 +𝒚𝟐

𝟐

√𝟖𝒙𝟑

𝟓−

𝟏𝟏

𝟑 𝒎𝟒𝒏𝟐 −

𝒎𝒏

𝟒+ 𝟏 √𝒂𝟐 − 𝟏

𝟑

raíz cúbica del doble del cuadrado de x. El producto de dos números consecutivos dividido entre menos

tres

La raíz cuadrada de un número

4. Encerrar las expresiones algebraicas que son monomios.

a. -6x2y3z4 b. a + b c. 2,7mn2p d. - x4y8m12 d. 5k3 - 4k2 + 3k – 6 e. 3

5 𝑎2 + √2𝑥 −

1

4 f.

√3

2ℎ4𝑘5

5. Escribir en una tabla el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado absoluto de cada monomio.

a. 0,3a4𝑏7 b. -√5 𝑚𝑛 c. -8x2y4z7 d. −√2

3 h5k8 e. m11n15 f.

1

5k2m

6. Escribir Verdadero (V) o falso (F). Justificar la respuesta

a) El monomio 23x2 es o grado 3.

b) mn4es una expresión algebraica que no tiene coeficiente numérico

c) El grado absoluto de un monomio se obtiene sumando los exponentes de las variables que lo conforman.

d) −3

4 𝑎2𝑏2𝑐es un monomio que tiene tres variables, coeficiente racional negativo y su grado absoluto es 10.

7. Encerrar los grupos de monomios que son homogéneos.

a) 7m4n; 5mn4

b) 15ab; -8b2; 3a2

c) 3x3y2z




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d) 15ab; -8b2; 3a2

e) √2 k;−𝑘2;√5 k

8. Hallar un monomio homogéneo y otro heterogéneo al monomio dado

Monomio Homogéneo Heterogéneo

- 7x3y4z

0,8a4b8cl2d2

25WllZ8y

-m5n7p13

-ab2c3 8

6,142?3df15

9. Calcular el área de la figura si 𝑥 =1

3 y 𝑦 = 2

10. Completar la tabla.

POLINOMIO VARIABLES COEFICIENTES TERMINOS CLASES DE

POLINOMIOS

GRADO

ABSOLUTO

DE UN

POLINOMIO

GRADO

RELATIVO

2x2 - 3xy + y3

−4

5𝑎2 − √3𝑎3 +𝑎4-2

7b3c4 - 8b5

11. Escribir un polinomio que cumpla las condiciones dadas.

a) Binomio, grado absoluto 7 y una variable.

b) Grado absoluto 17, 4 términos, variables x, y, z. El grado relativo respecto a y es 1.

c) Trinomio, grado absoluto 15, variables m, n, p, q, r. El grado relativo respecto a m es 3 y respecto a p es 7.

d) Grado absoluto 20, 5 términos, variables a, b, c, d, f, coeficientes racionales, grado relativo respecto a b es 4 y respecto a c es

un número múltiplo de 3.

e) Binomio, grado absoluto 11, variables h, k, m.

12. Escribir V, si la afirmación es verdadera, o F, si es falsa. Justificar la respuesta.

a) El grado absoluto de un polinomio no puede ser uno.

b) El grado absoluto de un polinomio se obtiene sumando los grados relativos de las variables que la integran.

c) El grado absoluto de un binomio puede ser cero.

d) Si el grado relativo de una variable es tres, entonces, el grado absoluto es un número mayor que tres.

e) Un polinomio de cuatro variables no puede tener grado absoluto 3.

f) Si el grado absoluto de un término es uno, entonces, el polinomio tiene una sola variable.

13. Escribir un polinomio completo para cada caso a) Siete términos con coeficientes enteros y término dependiente racional. b) Término independiente entero, nueve términos y variable W c) Cuatro términos, variable n y con coeficientes enteros negativos. d) Término independiente racional negativo, dos términos y variable x. e) Cinco términos, variable y y término independiente entero positivo.

14. Encerrar los polinomios que están ordenados en forma decreciente respecto a b

a. 7z8b + 4z7b2 - 2z6b3 - I2z4b4 + 15z3b5

b. 3b11w-2b9w2 - 4b7w3 - b5w4 + 9b3d5

2𝑦3

6𝑥




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c. 2

5a4b5 -

2

3a4b4 +

3

5 a3b3 +

8

7 a3b2- 4a5b

15. Escribir los términos que faltan en cada caso. Cada polinomio de tal forma que no se altere el orden ascendente o

descendente del mismo.

a) m - □ + □ + 5m4 - 8m5- □ + □ - □

b) . -a8- □ + □ - □ + 13a4 + □ - □ - □

c) □ - a8b2 + □ - □ + a4b5- □ (respecto a y)

16. Unir cada polinomio con su opuesto

a) -x2 + xy - x3y2 -y3 ( ) -x2 - xy - x3y2 -y3

b) x2 + x3y2- xy +y3 ( ) x2 + xy + x3y2 +y3

c) -x2 - xy - x3y2 -y3 ( ) x2 - xy - x3y2 - y3

d) -x2 + xy +x3y2 +y3 ( ) x2 - xy + x3y2 +y3

e) x2 + xy - x3y2 +y3 ( ) -x2 +xy - x3y2 - y3

17. Reduce los términos semejantes

SOCIALIZACIÓN

Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas.




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COMPROMISO

Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas

determinadas por el docente.

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

YAIRA LIZETH RINCON

RODRIGUEZ

AURA ALEXANDRA

URIBE

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

DD

07

MM

04

AAAA

2014

DD

MM

AAAA

DD MM AAAA

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