GEOMETRIA- TRIANGULOS Y CUADRILATEROS

- Valorar la diferenciación clara delas características básicas de trián-gulos y cuadriláteros.

- Estimar el reconocimiento de la im-portancia que tiene el triángulo, co-mo figura geométrica en el ámbitocientífico, tecnológico y decorativo.

- Apreciar las posibilidades creativasque en el recubrimiento del planomuestran tanto el triángulo equiláte-ro como las formas cuadradas.

- Valorar la creatividad e imaginaciónen la invención de estructuras mo-dulares con redes triangulares y conmallas cuadradas.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Aprender a construir triángulos,recordando su clasificación y pro-piedades fundamentales.

• Aprender a construir cuadriláteros,recordando su clasificación, carac-terísticas y propiedad fundamental.

• Saber hacer construcciones con laprecisión que requieren los trazados,utilizando la escuadra, el cartabóny el compás.

• Iniciarse en el fabuloso mundo delas estructuras modulares, sus dise-ños y posibilidades decorativas conredes triangulares y cuadradas.

Triangulomio08.qxd 19/4/04 20:37 Página 93

1TRIÁNGULOSSon figuras planas limitadas por tres rectas que se

cortan dos a dos. También puede definirse comopolígonos de tres lados.

Los puntos donde se cortan las rectas se llamanvértices y los segmentos que los unen, lados.

- Los vértices se designan por letras mayúsculas.En las figuras adjuntas: A, B y C .

- Los lados se pueden nombrar de dos formas:como segmentos de extremos los vértices o conla letra minúscula correspondiente al vérticeopuesto. Así: a = BC ; b = AC ; c = AB .

- Los ángulos se nombran con la misma letra quesu vértice, sobre la que se antepone el símboloque indica ángulo. Así: A ; B ; C .

- En todo polígono, y como tal en el triángulo, sepueden considerar los ángulos interiores (forma-dos en su interior entre dos lados adyacentes)y los ángulos exteriores (como aquéllos forma-dos por un lado cualquiera y la prolongación deun lado adyacente). La suma de los ángulos in-terior y exterior de un mismo vértice es 180°.

Propiedades fundamentales«La suma de los ángulos interiores de un triángu-lo vale 180°». Esto es: A + B + C = 180°.

Como consecuencia de esta propiedad:

- Un triángulo no puede tener más de un ángu-lo recto o un ángulo obtuso.

- En un triángulo rectángulo los dos ángulosagudos son complementarios (suman 90°).

- El ángulo exterior de un triángulo es igual a lasuma de los dos ángulos interiores no adya-centes.

«Un lado siempre debe ser menor que la sumade los otros dos (a < b+c ), y mayor que su dife-rencia ( a > b - c )» .

«En un triángulo, a mayor lado se opone, siem-pre, mayor ángulo».

94

La geometría como soporte del proceso creativo

a = b = c a = b = c a = b = c

A

C

B A

C

B A

C

B

A = 90º

b

c

a b

c

a

C < 90ºB < 90ºA < 90º

A > 90º

b

c

a

A

1 2 3

CLASI F ICACIÓN Y DE NOM I NACIÓN DE LOS TRIÁNG U LOS

PROPIEDADES FUNDAM ENTALES

SEGÚN SUS ÁNGULOS

SEGÚN SUS LADOS

Oblicuángulos

EquiláteroLos tres lados iguales.

IsóscelesSólo dos lados iguales.

EscalenoTodos los lados desiguales.

A B

C

b

c

ab

c

a

A B

C C

A B

b

c

a

A B

C

A B

C C

B

b

c

a b

c

a b

c

a

A + B + C = 180º a < b + c ; a > b - c A > B > C a > b > c

RectánguloUno de los ángulos es recto.Los lados que lo forman sellaman catetos y su opuestohipotenusa.

AcutánguloSus tres ángulos son agudos.

ObtusánguloTiene un ángulo obtuso.

1

2

3

AB

C

s r

AB

C

ba

c

t

Ángulo exterior

Ángulo interior

08. Triangulo-Cuadrado (P).qxd 26/4/04 16:34 Página 94

95

Triángulos y cuadriláteros

DIVIS IONES INTERNAS DEL TRIÁNG U LO EQU I LÁTE RO

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNG U LOS

Se dibuja AB = a y se traza su media-triz, obteniendo el punto medio M.

A partir de M y sobre la mediatriz,se tranporta la magnitud h corres-pondiente a la altura, obteniendo eltercer vértice C.

•

•

BA

C

c

a

A B

C

lado

DATO

TRAZADO DE UN TRIÁNGULOEQUILÁTERO DADO EL LADO

lado

Se toma como base AB = c.

Con centro en el vértice A se traza unarco de radio el lado b, y con centroen el vértice B otro arco de radio a.

La intersección de ambos arcos de-termina el tercer vértice C.

•

•

•

A B

C

b a

c

TRAZADO DE UN TRIÁNGULODADOS LOS TRES LADOS

DATOSa

bc

DATOS

TRAZADO DE UN TRIÁNGULORECTÁNGULO DADO UN

CATETO Y LA HIPOTENUSA

c

a

C

BA

h

M

Se dibuja el segmento AB = c, y se tra-za una perpendicular por el extremo A.

Con centro en B y radio a se traza unarco que corta a la perpendicular ante-rior en C. Uniendo A, B y C, se obtieneel triángulo rectángulo.

•

•

TRAZADO DE UN TRIÁNGULOISÓSCELES DADA LA BASE

Y LA ALTURA

DATOSa

h

Se dibuja un segmento AB = lado.

Con centro en los vértices A y B setrazan arcos de radio AB que se cor-tan en el punto C.

La unión del vértice A con B y C defi-ne el triángulo equilátero.

•

•

•


2CUADRILÁTEROSSon figuras planas limitadas por cuatro rectas que

se cortan dos a dos, determinando unos segmen-tos que son los lados del cuadrilátero. Los puntosdonde concurren los lados contiguos se llamanvértices. En los cuadriláteros aparece la diagonal,segmento que une dos vértices no consecutivos.

En definitiva, los cuadriláteros son figuras poli-gonales cerradas compuestas por cuatro lados,cuatro vértices y dos diagonales.

Los vértices se nombran consecutivamente conletras mayúsculas (A, B, C, D ) y los lados con mi-núsculas (a, b, c, d ) de manera que del vértice Aparta el lado a, del B el lado b, etc.

Los cuadriláteros, como cualquier polígono demás de tres lados, pueden ser de dos tipos:

• Convexos: aquellos cuyas diagonales quedandentro de la superficie poligonal; es decir, cuan-do el polígono queda situado en un mismo semi-plano respecto a las rectas que definen sus lados.Sus ángulos interiores son menores de 180°.

• Cóncavos: aquellos que no poseen las propie-dades o características anteriores. Dentro de es-te tipo de polígonos se consideran como taleslos cuadriláteros cuyos lados se entrecruzan,tomando el nombre de cuadriláteros entrelaza-dos o cruzados.

Propiedad fundamental«La suma de los ángulos interiores de un cuadri-

látero es igual a la suma de los ángulos de los dostriángulos interiores que lo componen». Esto es:2 x 180° = 360°.

TRAPECIOS

Cuadriláteros con sólo dos lados opuestos paralelos (bases), siendo su altura la distancia entre ambos.

RectánguloLados no paralelos desiguales.Ángulos: dos de 90°.Diagonales (d1 y d2 ) desigualesy no perpendiculares.

•••

Lados no paralelos iguales.Ángulos iguales dos a dos.Diagonales (d) iguales formandocualquier ángulo.

•••

IsóscelesLados no paralelos desiguales.Ángulos desiguales.Diagonales (d1 y d2 ) desigualesformando cualquier ángulo.

•••

Escaleno

a

h

b

c

A

D C

B

d 1 d2

c

B

c

b

a

d

CD

A

h d 1

d2

CD b

BA a

CLASI F ICAC IÓN Y DE NOM I NACIÓN DE LOS CUADRI LÁTE ROS CONVEXOS

PARALELOGRAMOS

Cuadriláteros que tienen los lados opuestos paralelos dos a dos.

aA

CD

d

B

O

A

D

B

C

O

d

CuadradoLados iguales.Ángulos de 90°.Diagonales (d) igualesy perpendiculares.

•••

h

CD

A B

d 1

d2

O

CD

BA

O

a

b

d1

d2

RectánguloLados iguales dos a dos.Ángulos de 90°.Diagonales (d ) igualesy no perpendiculares.

•••

Lados iguales dos a dos.Ángulos opuestos iguales.Diagonales (d1 y d2 ) desi-guales y no perpendiculares.

•••

Rombo RomboideLados iguales.Ángulos opuestos iguales.Diagonales (d1 y d2 ) des-iguales y perpendiculares.

•••

TRAPEZOIDES

En general, tanto sus ladoscomo sus ángulos son to-dos diferentes. Además,sus diagonales son distin-tas y, en general, puedenformar cualquier ángulo.

Trapezoide

A B

D

CSe trata de un trapezoidesingular: sus lados soniguales dos a dos, y dosde sus ángulos opuestosrectos (90°). Sus diago-nales son distintas y per-pendiculares.

DeltoideA C

B

D

Nombre que toma todo cuadrilátero que no tiene los lados opuestos paralelos.

b

A

C

B

d

c

a

D

bdiagonal

96


Convexo Cóncavo

A

B

C

D

r

C

D

A

r>180°

B


DIVIS IONES INTE RNAS DE L CUADRADO

CONSTRUCCIÓN DE CUADRI LÁTE ROS

Se dibuja el segmento diagonal AC = dy se traza la mediatriz, determinando supunto medio O centro del cuadrado.

Con centro en O y radio d/2 se trazauna circunferencia que corta a la media-triz en B y D. La unión de ambos puntoscon A y C dibujan el cuadrado.

•

•

Se dibuja AB = a y por sus extremosse trazan perpendiculares, sobrelas que se transportan la magnituddel lado b, obteniendo los otrosdos vértices C y D del rectángulo.

El segmento CD, paralelo a AB,termina por dibujar el rectánguloABCD buscado.

•

• Se dibuja el segmento diagonalAC = d1 y, a continuación, se trazala mediatriz para definir el centroO del paralelogramo.

Con centro en O y radio d2 /2 sedeterminan los otros dos vérticesB y D que, unidos con A y C, di-bujan el rombo buscado.

•

• Se comienza por dibujar el seg-mento AB y una recta paralela rdistante una altura h.

Con centro en A y B se trazan dosarcos de radio la diagonal d, quecorta a la recta r en los puntos Cy D, vértices que unidos con A yB definen el trapecio isósceles.

•

•

D C

A B

b

a

A C

D

B

O

D

A

C

B

d

a

h

r

TRAZADO DE UN CUADRADOA PARTIR DE SU DIAGONAL

DATOd

DATOS

TRAZADO DE UNRECTÁNGULO DADOS SUSDOS LADOS DESIGUALES

a

b

DATOS

TRAZADO DE UN TRAPECIOISÓSCELES DADA SU BASE,LA DIAGONAL Y LA ALTURA

a

d

h

TRAZADO DE UN ROMBODADAS SUS DIAGONALES

DATOS d1

d2

OA C

B

D

d2 2/

97

Triángulos y cuadriláteros


3

VOCABULARIO

• Mosaico Técnica para revestir paredes, pavimentos y bóvedas que se carac-teriza por su durabilidad y resistencia. Se realiza acoplando sobre unfondo de cemento fresco fragmentos de piedra, vidrio, cerámica,etc., en forma de pequeños azulejos multicolores llamados «teselas».

• Lacería Conjunto de líneas o tallos que se entrecruzan y forman lazos de tra-zado geométrico. Es típica de la decoración islámica y mudéjar.

• Módulo Elemento que pertenece a un conjunto en forma repetida.

98


REDES MODULARES BÁSICASLa subdivisión de un triángulo equilátero o un

cuadrado en partes iguales, mediante el trazadode rectas equidistantes entre sí y paralelas a suslados, nos ofrece el ejemplo más simple y elemen-tal de estructura o red modular, esto es, deestructura o malla formada por submódulos dela figura de partida: el triángulo equilátero y elcuadrado.

Todo submúltiplo así obtenido es un módu-lo, término que en la acepción moderna sirve pa-ra indicar una forma (elemento base) o conjuntounitario de piezas que se repiten en una construc-ción de cualquier tipo, haciéndola más fácil, regu-lar y cómoda.

La red de líneas que subdividen regularmente lasuperficie modular toma el nombre de parrilla oretícula de referencia siendo, por tanto, ambosconceptos términos sinónimos.

Red básica triangular equiláteraEn esta estructura la parrilla resulta ser tridirec-

cional y la red sugiere inmediatamente la posi-bilidad de determinar varios módulos (rombos, tra-pecios isósceles y hexágonos regulares) derivadosdel módulo base (el triángulo equilátero).

Las posibilidades creativas son enormes. Tan só-lo debes dejar libre tu mente e ir investigando conla agrupación de formas modulares como las des-critas, a modo de teselas.

Red básica cuadradaUna vez conseguida la red modular con el

interlineado deseado, estamos en disposiciónde realizar infinidad de composiciones: se par-te de diseñar un módulo que podemos repetirhasta cubrir la red. Las formas modulares obte-nidas pueden decorarse de diferentes maneras,consiguiendo, de este modo, sensaciones plás-ticas diferentes, incluso cambiando únicamentelos colores. También puedes conseguir efectosutilizando solamente blanco y negro.

= = = =

60°

=

=

=

=

60°

60°60°

60°

60°

R E D M O D U L A R D E T R I Á N G U LO S E Q U I L Á T E R O S

= = = =

=

=

=

=

90°90°

90° 90°

R E D M O D U L A R D E C U A D R A D O S

Módulos en la red triangular equilátera y algunas organizaciones compositivas.

Algunas modulaciones con base en la red cuadrada.

Lacería sobre una base triangular equilátera.Composición modular sobre una red cuadrada.


nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

19Triá

ngulo

s ycu

adrilá

tero

s

1

TRIÁNGULOS: CONSTRUCCIÓN Y POSIBILIDADES CREATIVAS

3

2

1. Construye un triángulo escaleno del que se conocenlos tres lados de magnitudes:

a = 56 mm. ; b = 74 mm. ; c = 95 mm.

2. Trazar un triángulo rectángulo conocidos dos lados:

a (hipotenusa) = 108 mm. y c = 98 mm.

3. Construye un triángulo equilátero de lado AB.

A continuación, recuerda los ejemplos que se mues-tran en la lámina y en el apartado de la teoría «Divisio-nes internas del triángulo equilátero», donde se anali-zan diversas posibilidades mediante trazados lineales.

¡Obsérvalos e intenta crear tu propio diseño!

b

c

c

a

a

A

A A B

B

B

c

c

1 TRIÁNGULO ESCALENO 3 DIVISIONES INTERNAS DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO:POSIBILIDADES CREATIVAS

2 TRIÁNGULO RECTÁNGULO

C

ab

C

b

a

C


VERIFICACIÓN

1. ¿Cómo se nombran los vértices de un triángulo? ¿Y los lados?

2. ¿Cuáles son las tres propiedades fundamentales de los triángulos?

3. ¿Cómo pueden ser los triángulos en función de sus lados? ¿Y en función de sus ángulos?

1. ¿Cómo se nombran los vértices de un triángulo? ¿Y los lados?

- Los vértices de un triángulo se designan a través de letras mayúsculas: A, B, C.

- Los lados del triángulo se pueden nombrar de dos formas diferentes: como segmentos de extremoslos vértices o con la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto: a = BC; b = AC; c = AB.

2. ¿Cuáles son las tres propiedades fundamentales de los triángulos?

1ª. La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º.

2ª. Un lado siempre debe ser menor que la suma de los otros dos: a < (b + c) ; y mayor que su di-ferencia: a > (b – c).

3ª. En un triángulo, a mayor lado se opone siempre mayor ángulo.

3. ¿Cómo pueden ser los triángulos en función de sus lados? ¿Y en función de sus ángulos?

• En función de sus lados un triángulo puede ser:

- Equilátero: tiene todos sus lados iguales.

- Isósceles: posee dos lados iguales.

- Escaleno: tiene todos sus lados desiguales.

• En función de sus ángulos un triángulo puede ser:

- Rectángulo: cuenta con un ángulo de 90º.

- Acutángulo: todos sus ángulos son menores de 90º.

- Obtusángulo: tiene un ángulo mayor de 90º.

Los triángulos acutángulos y obtusángulos se engloban bajo el nombre de oblicuángulos.

VERIFICACIÓN

A B

C

c

ab

100


2 RECTÁNGULO

3 MOSAICO1 DISEÑO DE UN MÓDULO CUADRADO

nombre y apellidos


20Triá

ngulo

s ycu

adrilá

tero

s

1

CUADRILÁTEROS: CONSTRUCCIÓN Y POSIBILIDADES CREATIVAS

3

2

1. Construye un cuadrado de lado AB = 72 mm. A conti-nuación, realiza el sencillo diseño que muestra el mode-lo adjunto y coloréalo a tu gusto.

2. Construye un rectángulo de lado mayor AB = 88 mm.y diagonal d = 102 mm.

3. La ilustración muestra un mosaico decorativo realizadocon base en una estructura cuadrada. Te proponemosque lo reproduzcas, en el cuadrado inferior, previa re-presentación de la malla cuadrada. Además, si lo de-seas, puedes añadir nuevas subdivisiones que muestrenotras posibilidades creativas.

A

a

d

A

B

B

Modelo

D C

d

a


VERIFICACIÓN

1. ¿Cuál es la propiedad fundamental de los cuadriláteros?

2. Indica el nombre de cada uno de los paralelogramos que se muestran a laderecha y señala la relación entre sus diagonales.

3. ¿Cuándo se dice que un cuadrilátero es cóncavo?

A

D

B

C

O

d

A B

D C

a

d

O

h

d 1 O

A B

CD

A B

CD

a

bO

b

d2

d1

d2

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

RomboDiagonales desiguales yperpendiculares.

RomboideDiagonales desiguales yno perpendiculares.

1. ¿Cuál es la propiedad fundamental de los cuadriláteros?La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de losángulos de los dos triángulos interiores que lo componen; esto es:

2 x 180º = 360º.

2. Indica el nombre de cada uno de los paralelogramos que se muestrana la derecha y señala la relación entre sus diagonales.

3. ¿Cuándo se dice que un cuadrilátero es cóncavo?Un cuadrilátero es cóncavo cuando cuenta con algún ángulo interior mayorde 180º. O, dicho de otro modo, cuando una recta que lo atraviese puedacortarlo en más de dos puntos.

VERIFICACIÓN

CuadradoDiagonales iguales yperpendiculares.

RectánguloDiagonales iguales yno perpendiculares.

102


nombre y apellidos


21Triá

ngulo

s ycu

adrilá

tero

s

1

DISEÑOS SOBRE REDES TRIANGULARES Y CUADRADAS

3

2

1. Dada la base modular triangular, emplea tu imaginaciónpara crear dos composiciones modulares diferentes,utilizando los ejemplos que te mostramos, combinandouno, dos o tres de ellos.

2. Al igual que en el caso anterior, debes combinar las pie-zas mostradas para crear dos composiciones modularesdistintas, en este caso de base cuadrada. Tanto en esteejercicio como en el anterior debes colorear el resultadobuscando la máxima expresividad.

2

FORMAS MODULARES EN LA RED TRIANGULAR

FORMAS MODULARES EN LA RED CUADRADA

1


GEOMETRIA- TRIANGULOS Y CUADRILATEROS

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