Geometria Semana 13

UNMSM GeometríaSEMANA 13

GEOMETRÍA DEL ESPACIO I

1. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 4 puntos no coplanares.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 4 E) 6

RESOLUCIÓN

Z: Número de planos

RPTA.: D

2. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 20 puntos y 40 rectas.

A) 2 720 B) 2 820 C) 2 630 D) 2 650 E) 2 550

RESOLUCIÓN20 Puntos 1 140

40 Rectos 78020 Puntos y 40 rectas 20 x40 800

2 720

RPTA.: A

3. De las siguientes proposiciones Indicar verdadero (V) o falso (F)

* Tres puntos determinan siempre un plano.

* Dos rectas determinan siempre un plano.

* Una recta y un punto exterior a ella.

* Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. A) VVVV B) FFFF C) VVFFD) FFVV E) FVFV

RESOLUCIÓN* (F) Porque 3 puntos colineales no

determinan un plano.* (F) Porque 2 rectas que se cruzan no

determinan un plano.* (V) Determinación de planos.* (V) Por recta perpendicular a un

plano.RPTA.: D

4. En la siguiente figura, la arista del cubo mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo?

A) B)

C) D)

E)

RESOLUCIÓNLlevando los arcos LMNP y ALPD a un plano se tiene la figura:

SAN MARCOS 2013 CUESTIONARIO DESARROLLADO

N

C

DA

L

M

B

P

UNMSM Geometría

Pitágoras

RPTA.: D

5. En un cubo, la distancia de un vértice al centro de la cara

opuesta es . Calcule la

longitud de su arista

A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 6m

RESOLUCIÓN

1)

……………………………………

2) Pitágoras ( ABO)

……………………………

3) en

a = 2mRPTA.: B

6. En el cubo mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas .

A) 30°B) 37° C) 45°D) 53° E) 60°

RESOLUCIÓN

1) Trazar: // 2L

2) El Triángulo ABC es equilátero porque sus lados son diagonales del cuadrado.

RPTA.: E


II

I

2L1L

II

I

2L1L

3L

C

A

x

N

P

A D2

2

L

2

M

4

6a

bb

BO

A

UNMSM Geometría7. En el tetraedro regular mostrado,

calcule la medida del ángulo que forman las rectas .

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 90°

RESOLUCIÓN

1) Trazar las alturas AHyDH de las caras ABC y DBC.

2) 2L es perpendicular al plano ADH porque es perpendicular a

.

3) es perpendicular a que está contenida en el plano ADH.

RPTA.: E

8. Por un punto exterior a una recta. ¿Cuántas perpendiculares a dicha recta se pueden trazar?

A) una B) dos C) tresD) infinitas E) cero

RESOLUCIÓN

1) P es un punto exterior a la recta L.2) Por P se traza un plano H

perpendicular a la recta L.3) L es perpendicular a todas las

rectas contenidas en el plano H. Por P pasan infinitas rectas

contenidas en el plano H.RPTA.: D

9. En una circunferencia de centro “O” y cuyo diámetro mide 6 cm. Por O se levanta una perpendicular OF al plano que contiene a la circunferencia, OF = 4 cm. Calcule la distancia de F a cualquier recta tangente a dicha circunferencia.

A) 4 cm B) 5 cm C) 6 cmD) 7 cm E) 8 cm

RESOLUCIÓN

1) Dato OF = 4 cm


L

T3 O

4

F

1L

2L

1L

2L

H

C

D

A

B

H

P

L

UNMSM Geometría2) radio =

3) L es una recta tangente a la

circunferencia

4) Por teorema de las 3

perpendiculares

Luego FT es la distancia de F

a

5) FOT Pitágoras

FT = 5 cmRPTA.: B

10. Calcule la medida de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide L.

A) B) C)

D) E)

RESOLUCIÓN

1) “O” es el circuncentro del triángulo ABC

…………………………………

……2) AOD: Pitágoras

……………………………….

3) en

RPTA.: D

11. Sea “P” un punto exterior al plano que contiene a un rectángulo ABCD, PA = 15, PC = 20, PB = 7. Calcule PD

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 25

RESOLUCIÓN

Teorema de la mediana

Igualando

x = 24RPTA.: D

12. En un triangulo rectángulo ABC recto en B, AB = 6 y BC= 8. Por su incentro I, se levanta la perpendicular IH al plano que contiene dicho triángulo, siendo IH = 3. Calcule HC

A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 10


UNMSM GeometríaRESOLUCIÓN

1) ABC Teorema de Porcelet

6 + 8 = 10 + 2rr = 2 ....................................

2) r + z = 8 2 +z == z = 6 .. ................

3) Por teorema de las 3 perpendiculares

porque plano ABC y

4) Pitágoras

………………………………

5) en

………………..…………

6) HFC Pitágoras ……………….………

7) y en

x = 7RPTA.: C

13. En la figura, P, Q y R son planos paralelos y y son rectas alabeadas, AB = 3, BC = 4, DE = x - 1, EF = x + 2. Calcule x.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN

Teorema de Thales

x = 10 RPTA.: E

14. El área de la región triangular ABC es 50 por se traza un plano que forma un diedro de 60º con el plano del triángulo. ¿Calcule el área de la proyección de dicha región sobre el plano?

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN


UNMSM Geometría

Incógnita Área (AHC) 1) Por teoría

Área (AHC)= Área (ABC) cos 60°

Área (AHC)=

RPTA.: C

15. Un folder de dimensiones 4u y 8u se halla abierto según muestra la figura; el ángulo que forman las caras entre si mide 120°. Calcule PQ.

A) B)

C) D)

E)

RESOLUCIÓN

Pitágoras PAQ

RPTA.: B

16. Se tiene un ángulo triedro trirrectángulo de vértice O. Sobre sus aristas se toman las longitudes OA = OB = OC = 8. Calcule la medida del diedro BC.

A) Arc cos

B) Arc cos

C) Arc cos

D) Arc cos

E) Arc cos


UNMSM GeometríaRESOLUCIÓN

Área (BOC)= Área (ABC) cos

RPTA.: E

17. En la figura, P - ABC es un ángulo triedro trirrectángulo

. Calcule el área de la región triangular ABC.

A) B)

C) D)

E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

18. Calcule el área de la superficie de un icosaedro regular cuya arista mide .

A) B) C)

D) E)

RESOLUCIÓN

a: medida de la arista del icosaedro.

S: Área de la superficie del icosaedro regular.

Dato

2)


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RPTA.: D

19. Calcule el número de vértices de un poliedro convexo formado por 60 triángulos y 80 cuadriláteros.

A) 60 B) 88 C) 92 D) 112 E) 140

RESOLUCIÓN1) Teorema de Euler C +V = A + 2….

2) ………………..…

3) ………

4) y en

140 + V = 250 + 2

V = 112RPTA.: B

20. En el cubo mostrado, calcule la distancia entre las rectas y

, si = AB = .

A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

RESOLUCIÓN

1) ABC Pitágoras

……………………………………….

2) ECD Pitágoras

………………………..

3) en

…………………………………...4) ECD OHD

Elevando al cuadrado

………………………………...

5) y en

x = 1RPTA.: A


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