Geometria Cepre Uni

ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

CEPRE-UNI GEOMETRA 1

GEOMETRA

TRINGULOS

1. DEFINICIN:SiA,B yCson tres puntos nocolinealesentonces la uninde lossegmentosAB ,BC y AC sedenominatringuloysedenotacomoABC.

ABC AB BC AC D = /A,ByCsonpuntosnocolineales

1.1. VrticesyLados

Vrtices:Soncadaunode lospuntosA,ByC.

Lados:Sonlossegmentos AB, BCyAC.

1.2. ngulosdeunTringuloTodo tringulo determina tres ngulos.As el tringulo ABC determina losngulos ABC, BCA y BAC, los culesse denominan ngulos o ngulosinternosdeltringuloABC.

Unnguloexternodeuntringuloeselnguloadyacenteysuplementariode un ngulo del tringulo, es decir es cada uno de los ngulos quedeterminaunparlinealconunngulointernodeltringulo

Ejemplo: BCQ

1.3. InterioryexteriordeuntringuloEl interior de un tringulo es el conjunto de todos los puntos que soninteriores a cada uno de los ngulos del tringulo. El exterior de untringuloeselconjuntodetodoslospuntosquenoestnnieneltringuloniensuinterior.

A C

B

AC

B

Q



1.4. PermetrodeltringuloEslasumadelaslongitudesdelostresladosdeltringuloyesdenotadacomo2p.

2p=a+b+c

Elsemipermetroesdenotadacomopyesiguala

a b cp

2 + +

=

2. CLASIFICACINDELOSTRINGULOS

2.1. SegnsusladosTringuloequilterosisustresladossoncongruentes.Tringuloisscelessislotienedosladoscongruentes.Tringuloescalenosiningnpardesusladossoncongruentes.

2.2. SegnsusngulosTringulorectngulo,sitieneunngulorecto.Tringulooblicungulo,sinotieneunngulorecto.Si los tres ngulosson agudos, se llama tringulo acutngulo, si unodesusngulosesobtuso,sellamatringuloobtusngulo.

A C

B

c a

b

Tringuloequiltero

Tringuloissceles

Tringuloescaleno

Tringuloacutngulo

Tringulorectngulo

Tringuloobtusngulo



3. LNEASNOTABLES

3.1Al turaSegmento perpendicular a un lado del tringulo trazado desde el vrtice

opuestohasta larectaquecontieneadicho lado.ElOrtocentroeselpuntodeinterseccindelasalturas(odesusprolongaciones)deuntringulo.

3.2. MedianaSegmentocuyosextremossonunvrticedeltringuloyelpuntomediodellado opuesto. Se denomina Baricentro al punto de interseccin de lasmedianasdeuntringulo.

M:PuntomediodeAC .BM : medianarelativa

allado AC .

3.3. MediatrizRecta perpendicular a un lado del tringulo en su punto medio. SedenominaCircuncentroalpuntodeinterseccindelasmediatricesdelosladosdeuntringulo.

M:PuntomediodeAC . L :mediatrizdellado AC .

3.4. BisectrizinteriorSegmentodeunabisectrizdeunngulodeun tringulo, cuyosextremosson el vrtice del ngulo y un punto del lado opuesto. Se denominaIncentro al, punto de interseccin de las bisectrices interiores de untriangulo.

BH: alturarelativaalladoAC.

A CH

B

A

B

CH

M

B

CA

L B

CAM



BD : bisectrizinteriorrelativaalladoAC .

3.5. BisectrizexteriorSegmento de una bisectriz de un ngulo externo de un tringulo cuyosextremossonelvrticedelnguloy unpuntode la rectaquecontieneallado opuesto. Se denomina Excentro al punto de interseccin de lasbisectricesdedosngulosexternosyunngulointernomideuntringulo.

BE : bisectrizexteriorrelativaaAC .

3. TEOREMASFUNDAMENTALES

3.1. TeoremadeladesigualdadtriangularEn todo tringulo la longitud de un lado es menor que la suma de laslongitudesdelosotrosdoslados.

a



3.2. TeoremadecorrespondenciaEn todo tringulo al lado demayor longitud le corresponde el ngulo demayormedida.Elreciprocodesteteoremaesverdadero.

a>c >

3.3. TeoremadelasumadelasmedidasdelosngulosinternosLa sumade lasmedidas de los tres ngulos internos de un tringulo es180.

180 a + b + q =

3.4. TeoremadelnguloexternoLamedidadeunnguloexternodeuntringuloesigualalasumadelasmedidasdelosngulosinternosnoadyacentesalnguloexterno.

q = a + b

3.5. TeoremadelasumadelasmedidasdelosngulosexternosEn todo tringulo la suma de las medidas de los ngulos externosconsideradosunoporvrticees360.

360 a + b + q =

a

B

CA

ac

b

a

B

CA q

b

a

B

CA

q

b

a

B

CA q

b



CONGRUENCIADETRINGULOS

Dos figurassoncongruentessitienenlamismaformayelmismotamao.Enelcasodelostringulossetienelasiguientedefinicin.

1. DEFINICIN:Dos tringulos son congruentes si sus lados y ngulos son respectivamentecongruentes, de tal modo que a lados congruentes le correspondan nguloscongruentesyviceversa.

EnlafiguralostringulosABCyDEFsoncongruentes,locualsedenotacomo:

ABC DEF D @ D

yseleetringuloABCcongruenteconeltringuloDEF.AB DE A D

ABC DEF BC EF B E

AC DF C F

@ @

D @ D @ @

@ @

Estanotacinnosoloexpresalacongruenciadelostringulossinoademscules la congruencia. Es decir, el orden de los vrtices establece unacorrespondenciaentreellos:A D B E y C F Deahqueesposibleestablecerunacorrespondenciaentresuslados.AB DE, BC EF y AC DF yentresusngulosinternosA D, B E y C F

OBSERVACIONES:

a) Si ABC DEF D @ D ,entonces ACB DFE D @ D .b) Si ABC DEF D @ D ,esfalsoque ABC DFE D @ D .c) La congruencia de tringulos es una relacin reflexiva, simtrica y

transitiva.

E

D F

c

b

a

B

A C

c

b

a



2. POSTULADOYTEOREMASDELACONGRUENCIAParadeterminarlacongruenciadedostringulossloesnecesarioestablecerlacongruenciadetreselementosloscualesdebenestarenunordendeterminadoy por lo menos uno de ellos tiene que ser un lado. Se presenta el siguientepostulado.

2.1. Postulado (congruencia LAL): Si dos tringulos tienen ordenadamentecongruentesdosladosyelngulocomprendidoentrelosdoslados,entonceslostringulossoncongruentes.

Si:

AB DE

A D BAC EDF

AC DF

@

@ D @ D @

2.2. Teorema (congruencia ALA): Si dos tringulos tienen ordenadamentecongruentes un lado y los ngulos adyacentes a este lado, entonces lostringulossoncongruentes.

Si:A D

AC DF ACB DFE

C F

@

@ D @ D @

b

a

E

D Fb

B

A C

a

b

B

A C

E

D Fb



DEMOSTRACIN:

. Supongamosque AB @ DE.

. SiAB>DE,seaQ AB talqueAQ DE @ .

. QAC EDF D @ D (LAL)m QCA m EFD = = b

. Estocontradiceelpostuladodelaconstruccindeunngulo,entoncesABnoesmayorqueDE

. SiAB



DEMOSTRACIN:

. Por el postulado de la construccin de un nguloAG /m HAC m EDF $ = = q uuur

.. SeaH AG / AH DE @

uuur

CAH FDE D @ D CH EF @

. LostringulosBAHyBCHsonissceles m ABC m AHC =

. AHC ABC D @ D

ABC DEF \ D @ D

2.4. Corolario(congruenciaLLA)Sidostringulostienenordenadamentecongruentesdosladosyelnguloopuesto al mayor de stos dos lados, entonces los tringulos soncongruentes.

B

A C

H

G

q

c

c

b

a

a

b

E

D F q

c a

E

D F

ac

B

A C

ac



SiAB DE

BC EF ABC DEFBC AB

A D

@ @ D @ D

> @

DEMOSTRACIN:

. DEF : D a > b

. Supongamosque AC @ DE

. Si AC DF < ,seaQ DF talque AC DQ @

. ( ) BAC EDQ LAL D @ D BC EQ =

. QEF D isscelesm EQF = b

. DEF D pornguloexterior b > a

. Locualesunaconcentracinconlaprimeraafirmacin.

. SiAC>DF,prosiguiendodelamismamaneraeneltringuloABCsellegaalamismacontradiccin.

. Porlotanto AC DE @ .

. PorelcasoLLLABC DEF D @ D

E

D F a

Q

b b

a Q

b

cc

b

B

A C a

a



3.APLICACIONESDELACONGRUENCIADETRINGULOS

3.1 TeoremadelaMediatrizTodo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos delsegmento.

DEMOSTRACIN

L:mediatrizdeAB y P L " PDQAP=PB

AMP BMP(LAL) AP=PB

3.2. TeoremaEntodotringuloissceleslaalturarelativaalabase,estambinuna medianayuna bisectrizinterior.

DEMOSTRACIN

ABC D isscelesdebase ACyBHalturarelativaalabaseAC

PDQ BH :medianaybisectrizinterior.

AHB CHB(congruenciaLLAM) AH=HC(BHmediana)y

mABH=mCBH(BHbisectrizinterior)

3.3. TeoremadelabisectrizTodopuntodeunabisectrizdeunnguloequidistadelosladosdelngulo.

DEMOSTRACIN

OP bisectrizdel AOB yPOP

PDQ AP=PB

OQA OBQ(congruenciaALA) QA=QB

A C

a

B

a

H

M l l A B

P

L

a a

aa

l l

OQa

l

l

90 a 90 a

A

B

P a a



3.4. TeoremadelospuntosmediosTodarectatrazadaporelpuntomediodeunladodeuntringuloparalelaaotrolado,intersectaaltercerladoensupuntomedio.

DEMOSTRACIN

BM=MAy L//AC PDQ BN=NC

Sea CQ MB m AMC=mMCQy

mQMC=mMCAMAC CQB(congruenciaALA)

AM=QC MNB QNC(congruenciaALA)

BN=NC

3.5. TeoremadelabasemediaEn todo tringulo una basemedia es paralela al tercer lado ysu longitud es lamitaddelalongituddedicholado.

DEMOSTRACIN

MN :basemedia

PDQ MN//AC yAC

MN2

=

SeaCQ MB m MBC=mNCQ= y

mAMC=mMCQ=+BMN CQN(congruenciaALA)

MN=NQ=ayCQ=MB AMC QCM(congruenciaLAL)

m ACM=mQMC= MN//AC yAC=MQ=2a

AC

MN2

=

3.6. Teoremadelamenormedianaeneltringulorectngulo

Obs:Elsegmentoqueunelospuntosmediosdedosladosdeun

tringulosedenominabasemedia.

2a

aa Q

+

A

B

C

M N

q b

q

b

b

l l

l

L

A

B

C

M N Q



La longituddelamedianarelativaalahipotenusadeun tringulorectnguloesigualalamitaddelalongituddelahipotenusa.

DEMOSTRACIN

BM :medianarelativaaAC

PDQAC

BM2

=

SeaMN AByAM=MC BN=NC

TeoremadelaMediatriz BM=MC

AC

BM2

=

4.TRINGULOSRECTNGULOSNOTABLESSonaquellostringulosrectngulosqueconociendolamedidadeunodesus

ngulosagudosseconocetambinlaraznentrelaslongitudesdesuslados.

.TRINGULORECTNGULO .TRINGULORECTNGULONOTABLEDE45 NOTABLEDE30Y60

.TRINGULORECTNGULONOTABLEDE15Y75

.TRINGULOSRECTNGULOS(demedidasdengulosagudosaproximados)

DE37Y53 DE53/2

DE37/2

a2

45a

a45 a

a

a3

60

30

37/23a

a

37

53

3k

5k4k

h=a

53/2

2b

b

15

h

4a

a(62) a(6+2)

N

AM

C

B

l

l l



PROBLEMASRESUELTOS

1 .EnuntringuloABCsetrazanlabisectrizinterior BMylaceviana CT,lascualesse

intersecanenR.SimMRC=2mRCMymRCB=mBAC,entoncesla mRCM

es

A)45 B)30 C)36D)50 E)42

Resolucin

MRC:pornguloexterior2 =+ (1)

ABC: +2+ + =180 2(+ )+ =180(2)

(1)en(2):2(2)+ =180

Porlotanto=36

2. EnelexteriordeuntringuloABCyrelativo AC seubicaelpunto.SiAB=AD,mBAC=50,mCAD=10ymACB=30,entonceslam ACDes.

A)16 B)20 C)10 D)15 E)25

Resolucin

AHB notable(30y60) AC=2AH=2

AHB ARD(LAL) mARD=90

TeoremadelaMediatrizAD=DC

ADC issceles

x=10

3. Enun tringulo isscelesABC,mABC=120,en AC seubicaelpuntoRysetrazanexteriormentelostringulosisscelesAPRyCQR.SimAPR=mRCQ=120,demuestrequemPBQ=60.

2

T

M

B

CA

R

R50 30

10

10

H

D

B

CA x

a

a a



Demostracin.APRisscelesAR=a 3RQCisscelesRC=b 3ABCisscelesAB=BC=a+bAMPequilteroMP=aQNCequilteroQN=bPMB PRQ BNQ(LAL)

PB=BQ=PQ PBQequiltero

Porlotantom PBQ=60

4. EnelinteriordeuntringuloisscelesABC(AB=BC),seubicaelpuntoItalquemAIB=90yBC=2(IN).SiNeselpintomediodeACy laprolongacindeNIintersectaaBCenM,entonceslamNMCes

A)75 B)60 C)45 D)36 E)120

Resolucin

AIB IQ mediana IQ=AQ=QB=a

ABC QN BaseMedia QN=ay QN//BC

IQNequiltero mQNI=60

QN//BC x=60

5.Enuntringulo ABC(AB=BC)seubicaelpuntoTexterioryrelativoaCA,Mesel

puntomediode BC,AC= 2MT,mCBA=4mCAT ymATC=90.Entoncesla

mCAT es.

A)18 B)20 C)10 D)15 E)30

Resolucin ADCDLmediana

DL=b

ABC MLbasemedia ML AB yML=a

60

ax

a

a

a

a

Q

N

I

A C

B

M

a 3 b 3120

b

b

a

b

ba

a

a

a b

120

120

303030 30

M

N

B

C

PQ

RA

4

a

a

M

L

B

Cbbb2

902 902

a

2a



mMLD=902

MLDnotable(45) a=b

ABC :equiltero4 =60=15

6. En el interior de un tringuloABCse ubicael puntoD, tal que AB=BC=AD,mABC=2BADymBCD=2mCAD.EntonceslamDACes

A)10B)30 C)18 D)20 E)40

Resolucin

DelafiguraABCissceles:mACD=AMCpornguloexterior:mBMC=2BCMissceles:MC=BC

MH=HB=aADCpornguloexterior:mADM=

AMDissceles DC=MB=2a ALB CHB(ALA)

DL=BH=a DLCnotable(30)

=30.(1)BHC:2+=90(2)De(1)y(2):

=10

PROBLEMASPROPUESTOS

1. Enlafigura,BP=QC.Hallex.

A)30

B)36

C)40

D)45

E)60

a

M

2a

a

a

2

2

B

D

CA L

H

x

C

B

20

40

40

A Q

P



2. En un tringulo issceles ADB (BD = AD) se traza la ceviana AQ y en suprolongacin se ubica el punto C tal que BC = CD. Si mCBD = 11 ymQNI=38,entonceslamCQDes

A)41 B)36 C)46 D)48 E)52

3. EnelexteriordeuntringulorectnguloABCyrelativoa AC seubicaelpuntoD,tal que mADC = 90 y AD = AB + CD. Si AB = 10 u y mBAD = 60,entonceslalongituddeAC(enu)es

A)10 B)10 3 C)20 D)10 2 E)15

4. Se tieneun tringulo ABC, AB BC a = = ,dondea pertenece a los naturales, unarecta secante intersecta a los lados AB y BC en F y E respectivamente y a laprolongacin de AC en D, si la m ADF m ABC > , AD a = y EF 3 = . El mnimovalorenterodelalongituddelsegmentoDEes:

A)a4 B)a2 C)a1 D)a+1 E)a+2

5. Enlafigura,lostringulosABDyQBCsoncongruentes.EntonceslamedidadelnguloBACes

A)54

B)76

C)75

D)72

E)80

6.EnuntringuloABC,NesunpuntodeBC ,Mesunpuntode AC talqueAM=MN.Si

mACN=2mNBAymBAN=2mNAM,entonceslamedidadelngulo MNC es

A)30 B)36 C)40 D)45 E)60

7.EnuntringuloABC(AB=BC),mABC=100,ensuinteriorseubicael puntoMtalquemMAC=30ymMCA=20.Entoncesla mMBAes

A)18 B)20 C)10 D)15 E)30

8.EnuntringuloABC,enlaprolongacindelaceviana AQ seubicaelpuntoD.SimCBD=3mBCA=3mBDA,mBAC=2mBDA,AC=CDyQD=2AB+BQ,entonceslamedidadelnguloBDAes



A)12 B)18 C)10 D)20 E)16

Bibliografa

1. Encyclopedia Britnica Inc., Benton, W., Publisher (1952). The thirteen Books ofEuclidselements.1stedition.EditorialEncyclopediaBritnica.TheUnitedStatesofAmerica.

2. Moise, E. (1964). Elementary Geometry. 1 edicin. Editorial Addison WesleypublishingcompanyInc.TheUnitedStatesofAmerica.

3. Helfgott,M.(1992).GeometraPlana.EditorialEscuelaActivaS.A.LimaPer4. Vega, F. (1961). MatemticaModerna 4. Editorial Colegio Militar Leoncio Prado.

LimaPer

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