UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

FACULTAD DE INGENIERA

APUNTES DE GEOMETRA ANALTICA

SEMESTRE 2013-2

PROF. ING. ALICIA PINEDA RAMREZ

Geometra Analtica

GEOMETRA ANALTICA

MTODO DE EVALUACIN

La exencin se otorgar a los alumnos que acrediten el curso con calificacin aprobatoria mnima de siete (7).

Para poder presentar los exmenes correspondientes a cada parte del curso, el alumno deber entregar las series correspondientes a los captulos que comprenda cada examen. Esta serie tiene un valor del 10% + la calificacin del examen.

Se dejarn tareas, su promedio tendr un valor del 20%, NO SE ACEPTAN TAREAS ATRASADAS. Lectura de dos libros, que se evaluaran solo con CALIFICACIN APROBATORIA. En caso de no quedar exentos se tendr la posibilidad de presentar los dos exmenes finales,

siempre y cuando su asistencia a clases sea del 70%. El primer final ser promediado con parciales y con el promedio de las calificaciones de las tareas que se dejen a lo largo del curso. Para este promedio se considerarn los siguientes porcentajes.

Examen final 50%

Exmenes parciales 40%

Tareas 10%

ESCALA DE CALIFICACIONES

0.0 5.9 --- 5

6.0 6.4 --- 6

6.5

6.6 7.4 --- 7

7.5

7.6 8.4 --- 8

8.5

8.6 9.4 --- 9

9.5

9.6 10 --- 10

En caso de no aprobar el primer examen final, la calificacin correspondiente ser la obtenida en el segundo examen final.

Geometra Analtica Los oyentes sern evaluados con el segundo examen final colegiado. FECHAS DE EXAMENES PARCIALES Y FINALES:

1er. Parcial: Temas 1, 2 y hasta subtema 3.3, 1 al 6 de marzo de 2013

2do. Parcial: Temas 3.4 al 3.6 y 4 del 17 al 19 de abril de 2013

3er. Parcial: Temas 5 y 6, del 22 al 24 de mayo de 2013

FINALES

1er. Final: 31 de Mayo de 2013, 10:30 hrs.

2do. Final: 7 de Junio de 2013, 10:30 hrs.

Geometra Analtica BIBLIOGRAFA

1. Bell E.T. Historia de las Matemticas, Fondo de cultura econmica, 1995

2. Castaeda De I.P., rik Geometra analtica en el espacio, Facultad de Ingeniera, UNAM, 2003

3. Solis U., Rodolfo et al Geometra Analtica, Limusa-Facultad de Ingeniera, UNAM, 1999

4. Swokowski, Earl Clculo con geometra analtica, Cengage Learning, 2007

5. Lehmann, Charles Geometra Analtica, Limusa, 2008

6. Solis U., Rodolfo et al Antecedentes de Geometra Analtica, Trillas- Facultad de Ingeniera 1990

CAPTULOS:

1. Introduccin a la Geometra Analtica 2. Curvas en el plano polar 3. lgebra vectorial 4. La recta y el plano en el espacio 5. Curvas en el espacio 6. Superficies

Geometra Analtica

I. INTRODUCCIN A LA GEOMETRA ANALTICA.

I.1 Breve historia. Geometra Euclidiana y geometras no Euclidianas.

I.2 Introduccin al sistema de coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio de tres

dimensiones.

En un espacio de dos dimensiones (plano), los puntos estn definidos por una pareja ordenada de

nmeros reales; tienen dos coordenadas. Pueden representarse geomtricamente en un plano

determinado por dos ejes perpendiculares llamados coordenados, que se cortan en un origen

comn. Denominados ejes X y Y.

A la distancia desde el eje Y a cualquier punto del plano, se le llama abscisa del punto. A la

distancia desde el eje X a cualquier punto del plano se le llama ordenada del punto. Las dos

distancias juntas son llamadas coordenadas del punto y se representa como (x,y). La abscisa es

positiva cuando el punto est a la derecha del eje Y, y negativa cuando est a la izquierda. La

ordenada es positiva cuando el punto se localiza arriba del eje X y negativa cuando se localiza

abajo. A cada punto en el plano le corresponde una pareja ordenada de valores.

Al sistema descrito, se le conoce como sistema cartesiano en el espacio de dos dimensiones.

Principio cartesiano: Un sistema coordenado rectangular en el plano que establece una

correspondencia uno a uno entre cada punto del plano y una pareja ordenada de nmeros reales.

Este principio implica que a cada punto en el plano le corresponde una y slo una pareja ordenada

de nmeros reales y, recprocamente, a cada pareja ordenada de nmeros reales le corresponde

uno y slo un punto en el plano.

La posicin de un punto en un plano se define por medio de las dos distancias de ste a dos ejes

que se cortan y que, normalmente son perpendiculares entre s.

En el espacio de tres dimensiones, un punto se determina mediante sus distancias a tres planos

perpendiculares dos a dos y que se llaman planos coordenados. Las distancias del punto a estos

planos se denominan coordenadas del punto.

Geometra Analtica

II. Curvas en el plano polar

2.1 Sistema de coordenadas polares. Simetra de puntos en coordenadas polares.

Para ciertas curvas y tipos de lugares geomtricos el uso de coordenadas polares presenta algunas

ventajas sobre las coordenadas rectangulares.

En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posicin relativa con respecto a una

recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama eje polar; el punto fijo se llama polo.

P

Para el punto P en el plano coordenado, se designa su longitud con r y el ngulo entre AOP. La

posicin del punto P con relacin al eje polar y al polo es determinada cuando se conocen r y .

Estas dos cantidades se llaman coordenadas polares del punto P; en particular, r se llama radio

vector y ngulo polar. Las coordenadas polares se indican de la siguiente manera (r, ). La lnea

recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama el eje a 90.

El ngulo polar se mide como en trigonometra considerando el eje polar como lado inicial y el

radio vector como lado final del ngulo, es decir al partir del eje polar hacia el radio vector; se

considera positivo o negativo segn el sentido seguido, sea opuesto al de las manecillas del reloj o

el mismo.

Un par de coordenadas polares (r, ) determina uno y solamente un punto en el plano

coordenado. Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunvoca entre cada

punto del plano y un par de nmeros reales, esta correspondencia no es nica en el sistema polar,

porque un punto puede estar representado por uno cualquiera de un nmero infinito de pares de

coordenadas polares.

Se tomara el radio vector de un punto particular como positivo y su ngulo polar comprendido

entre cero y el ngulo positivo ms pequeo menor que 360, de manera que la variacin de los

valores de est dada por: . A este par se le llamar par principal de

coordenadas polares del punto.

El ngulo polar puede expresarse en grados o radianes.

Geometra Analtica Simetra de puntos en coordenadas polares.

Si la curva es simtrica con respecto al eje polar entonces para cada punto P existe un punto P,

tambin de la curva, tal que el segmento PP es bisecado perpendicularmente por el eje polar.

Si M es el punto medio del segmento PP de los tringulos rectngulos OPM y OPM se deduce que

las coordenadas de P son (r, - ) y (-r, - ). Se tiene dos pruebas de simetra con respecto al eje

polar. Que la ecuacin polar dada no vare al remplazar por o al remplazar por - y r por

r. Si se remplaza (r, ), por (r, - ), la curva es simtrica con respecto al eje polar.

La simetra con respecto al eje polar existe tambin si las sustituciones indicadas cambian a la

ecuacin dada en una ecuacin equivalente.

Teorema:

a) Si se remplaza por y el resultado es equivalente a la ecuacin original, la grfica

es simtrica respecto al eje polar.

b) Si se remplaza por - y el resultado es equivalente a la ecuacin original, la grfica

es simtrica respecto al eje copolar.

c) Si r se remplaza por r y el resultado es equivalente a la ecuacin original, la grfica es

simtrica respecto al polo.

2.2 Transformacin de coordenadas cartesianas a polares y de polares a cartesianas.

Las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de

cualquier punto del lugar geomtrico. Se obtienen relaciones particularmente simples cuando

el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente, con el origen y la

parte positiva del eje X del sistema rectangular.

Dado un punto P que tenga por coordenadas rectangulares (x,y) y por coordenadas polares

(r, ), las relaciones quedan:

os

a

Despejando:

os

Geometra Analtica Entonces la representacin de la pareja (x,y) en coordenadas polares queda:

P(r cos , r sen )

r r sen

r cos

En tales condiciones al vector de magnitud r y ngulo de inclinacin , le corresponden las

componentes (r cos , r sen ). La magnitud de un vector e un nmero no negativo, sin embargo

para efecto de estructurar el sistema polar de referencia, se puede interpretar la magnitud

negativa de un vector, como sigue:

Si r

Geometra Analtica

os( )

os ( )

Que ser la ecuacin polar de la recta.

Algunos casos particulares de la ecuacin polar de la recta:

Si la recta contiene al polo, se ve que p=0 y no est definida. Por otra parte para cualquier punto

P(r, ) que pertenezca a la recta, r coincide con la recta y resulta ser el ngulo que la misma

forma con la parte positiva del eje polar. Por lo que ser suficiente conocer el ngulo que forma

con parte positiva del eje polar, lo cual lleva a la expresin:

Esta ecuacin polar de la recta contiene al polo.

Si se tiene una recta paralela al eje polar que contiene el punto P(r1, 1), se observa que

p r se

Por ser perpendicular al eje polar, as que sustituyendo valores en la ecuacin general de la recta,

se tiene:

( )

(

)

Pero os

Entonces

Ecuacin polar de la recta paralela al eje polar y que contiene el punto P

(r1, 1).

El caso de la ecuacin de la recta normal al eje polar y que contiene el punto P (r1, 1).

Para este caso: p = r1 cos , =0

Sustituyendo en la ecuacin general de la recta en coordenadas polares se tiene:

os( )

os( )

Ecuacin polar de la recta normal al eje polar y que contiene al punto P (r1, 1).

Ecuacin polar de las cnicas.

Geometra Analtica Ecuacin polar de la circunferencia, de radio a y centro en (h, k) cuya ecuacin cartesiana es:

( ) ( )

Misma circunferencia pero referida al sistema de coordenadas polares, la relacin que existe entre

las coordenadas cartesianas y polares del centro de la circunferencia est dada por las siguientes

expresiones:

os

Y la relacin entre las coordenadas cartesianas y polares de un punto cualquiera de la

circunferencia est dada por:

os

Se llega a la expresin:

os( )

Conocida como ecuacin general polar de la circunferencia con radio a y centro de coordenadas

(c, ).

Ecuacin polar de la parbola, la elipse y la hiprbola.

Estas curvas se obtienen a partir de las caractersticas comunes que guardan entre ellas, se

obtendr una expresin general llamada Ecuacin Polar de las Cnica, de la cual se obtendrn las

expresiones particulares correspondientes a la parbola, la elipse y la hiprbola.

La cnica es el conjunto de todos los puntos contenidos en un plano, tales que la distancia no

dirigida de cada punto a un punto fijo est en razn constante a la distancia no dirigida a una recta

fija que no contiene al punto fijo. La razn constante se llama excentricidad y se simboliza con e.

En una cnica donde un foco coincide con el polo, su eje focal coincide con el eje polar y la

directriz del foco est a la izquierda de ste.

Entonces:

r= e (p + cos ), desarrollando r (1 e cos )=ep

Ecuacin de una cnica en la cual un foco coincide con el polo, su eje focal coincide

con el eje polar y la directriz est a la izquierda del foco; y representa a una parbola, una elipse o

una hiprbola, dependiendo de que respectivamente.

Geometra Analtica

Para el caso en que, la directriz es una recta normal al eje polar, su ecuacin ser:

Si la cnica un foco coincide con el polo, su eje focal coincide con el eje polar, pero la directriz est

a la derecha del foco considerado, entonces la ecuacin es:

y su directriz tiene por

ecuacin:

Cuando un foco coincide con el polo, el eje focal de la cnica coincide con el eje copolar, y la

directriz es paralela al eje polar, la ecuacin de la cnica ser:

y como directriz la

recta de ecuacin:

El signo positivo corresponder al caso de que la directriz est situada arriba del polo, y el signo

negativo corresponde a la directriz situada abajo del polo.

Cardioides, lemniscatas, rosas de n ptalos.

Las grficas de ecuaciones en coordenadas polares se pueden trazar ubicando punto por punto,

como en el caso de las coordenadas rectangulares.

Toda grfica tiene sus valores de y por lo regular los valores de fuera de este

intervalo no producen nuevos puntos.

La grfica se obtiene partiendo de una tabla de valores de r y .

Hay varios tipos de ecuaciones en coordenadas polares a cuyas grficas se les han dado

nombres especiales.

Las grficas de ecuaciones de las formas:

r = a sen n y r = a cos n

donde n es un entero positivo mayor que 1, se llaman curvas de trbol. La grfica de una curva

de trbol est formada por lazos cerrados igualmente espaciados, que parten del origen. El

nmero de lazos, hojas o ptalos, depende del entero n. Si n es impar, hay n hojas; si n es par

hay 2n hojas.

Aplicando los criterios de simetra. Si se remplaza r con r, la ecuacin:

no establece simetra con respecto al polo. Pero al sustituir a

por 180 + da ( ) ( ) , que resulta que la grfica es

simtrica con respecto al polo.

De la misma manera se ve que la curva es simtrica con respecto a la recta vertical (eje

copolar) , pues al sustituir por r por r y por : ( ) .

Not que fallan los criterios para simetra polar y para simetra con respecto a la recta

vertical.

Geometra Analtica Como se tienen las tres simetras, solo se necesita determinar la grfica en el primer

cuadrante y despus usar las simetras para graficar toda la curva.

Adems si r= 0 se encuentra que =0, 90, 180, 270, se obtendr una grfica llamada trbol

de cuatro hojas debido a su aspecto.

r= cos 3

Graficando r = 1+cos .

La ecuacin puede graficarse fcilmente en coordenadas rectangulares mediante la suma de

ordenadas. La curva representada se llama cardioide que quiere de ir semeja e a u

oraz es u aso espe ial de u a urva ms general llamada caracol, cuya forma es r=a +

b sen , o r=a+b cos . Si , se tiene un cardioide. Un caracol se reconoce fcilmente por la forma de su ecuacin.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

y

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Geometra Analtica

En este caso la ecuacin tiene dos valores de r para cada en los intervalos de

mientras que no tiene valor alguno cuando

. Se obtendrn dos

lazos para

. De igual manera se obtienen ambos lazos por segunda vez para

. Y no hay puntos de la grfica en el segundo o cuarto cuadrante. A la curva obtenida se le llama

lemniscato. En trminos generales la ecuacin es: os

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Geometra Analtica

2.4 Anlisis de una curva representada por una ecuacin polar.

El anlisis de la ecuacin de una curva comprende los siguientes puntos:

1.- Determinacin de las intersecciones de la curva con el eje polar y con el eje copolar.

2.- Estudio de la simetra de la curva, respecto al eje polar, al eje copolar y al polo.

3.- Estudio de la extensin de la curva

4.- Clculo de las coordenadas de algunos puntos de la curva

5.- Representacin grfica de la curva

6.- Transformacin de la ecuacin polar a una en coordenadas cartesianas.

El anlisis de una ecuacin polar requiere de ciertas precauciones, que no son necesarias cuando

se hace el anlisis de una ecuacin en coordenadas rectangulares. Un punto en el sistema

rectangular tiene un solo par de coordenadas, pero un punto en el sistema polar tiene una

infinidad de pares de coordenadas. Podra suceder que par an punto P de una curva, un par de

sus coordenadas polares satisfaga la ecuacin de la curva, pero otro par no la satisfaga.

Dada la diversidad de representaciones polares de un punto, se tienen ecuaciones polares

equivalentes. La equivalencia entre dos ecuaciones polares puede ser evidente si sta es

algebraica o trigonomtrica. Es decir si una ecuacin puede obtenerse de otra con efectuar una

simplificacin algebraico o trigonomtrica, por ejemplo:

os

Evidentemente representan el mismo lugar geomtrico.

La equivalencia entre ecuaciones polares puede ser ms difcil de determinar cuando no es

algebraica ni trigonomtrica, porque se debe a las diferentes posibilidades de representacin de

un punto en este tipo de coordenadas

1.- Intersecciones.

Con el eje polar, cuando existen se pueden determinar calculando los valores de r que resultan

cuando a se le asignan los valores de , donde n Z

Con el eje copolar, en este caso las intersecciones se pueden determinar calculando r para igual

a

. Si para algn valor de resulta r=0, entonces la curva toca el polo.

Geometra Analtica 2.- Simetras.

Respecto al eje polar: una curva es simtrica si para cada punto P existe un punto P1 que tambin

pertenece a la curva, de tal forma que el eje polar es mediatriz del segmento obtenido, por lo que

una curva es simtrica, si su ecuacin polar no se altera cuando se reemplaza por , o por

y r por r.

Respecto al eje copolar: es simtrica, si para cada punto P de la curva, existe un punto P1 tambin

de la curva de tal forma que el eje copolar es mediatriz del segmento.

Una curva es simtrica respecto al eje copolar si su ecuacin polar no se altera cuando se

reemplazan por o por y r por r.

La simetra respecto al eje copolar existe tambin si al reemplazar los valores anteriores, la

ecuacin polar de la curva cambia por una equivalente.

Respecto al polo. Si para cada punto P de la curva, existe un punto P1 tambin de la curva tal que

el polo es el punto medio del segmento.

Es simtrica con respecto al polo si su ecuacin polar no se altera cuando se reemplaza por +

o r por r. La simetra existe si el reemplazo indicado cambia la ecuacin polar de la curva en

una equivalente.

Eje polar: a) por o b) r por r y por

Eje copolar: a) por o b) r por r y por

Polo a) por + o b) r por r

3.- Extensin: Se determina si la curva es cerrada o abierta, para lo cual ser necesario que en

su ecuacin se exprese r en funcin de es decir r=f( ). De tal manera que si para cualquier

valor de la variable r toma un valor finito, entonces la curva es cerrada.

Si para ciertos valores de la variable r se vuelve infinita, entonces la curva es abierta.

Si para ciertos valores de la variable r se vuelve compleja, entonces no hay curva para estos

valores.

4.- Calculo de las coordenadas de algunos puntos de la curva. Las coordenadas polares de

algunos puntos de la curva pueden obtenerse asignando valores particulares a en la

ecuacin de la curva r = f( ), con lo que se obtendrn los valores correspondientes de r

cuando existen. En general ser suficiente dar valores de a intervalos de

.

Geometra Analtica 5.- Representacin grfica de la curva. Para esto ser necesario trazar un sistema de

referencia polar, y localizar, en este sistema, los puntos tabulados en el paso anterior.

A continuacin se unen estos puntos con una curva continua, que deber concordar con los

datos obtenidos en los pasos uno, dos y tres.

6.- Transformacin de la ecuacin polar a una en coordenadas cartesianas. Haciendoo uso de

las ecuaciones de transformacin entre el sistema de referencia polar y el cartesiano, se puede

transformar la ecuacin de la curva f(r, )=0 a otra del tipo f(x, y)=0

Geometra Analtica

III. lgebra vectorial

3.1 Sistema cartesiano en tres dimensiones, Simetra de puntos

En un espacio de tres dimensiones, los puntos estn definidos por una terna ordenada de nmeros

reales, ahora se tienen tres coordenadas. En este caso son tres ejes perpendiculares entre s (cada

uno de ellos perpendicular a los otros dos) que se cortan en un origen comn. A este sistema se le

conoce como sistema cartesiano en el espacio de tres dimensiones. Los ejes se denominan

generalmente con las letras X, Y, Z.

Los tres ejes definen tres planos llamados Planos Coordenados, que dividen al espacio

tridimensional en ocho partes llamadas octantes. El plano XY contiene los ejes X y Y, el plano XZ

contiene los ejes X y Z y el plano YZ a los ejes Y y Z.

Un punto cualquiera en el espacio tridimensional queda definido si se conocen sus tres distancias

dirigidas a los tres planos coordenados. La distancia del punto al plano YZ se llama abscisa, su

distancia a XZ es ordenada, y su distancia al plano XY, se llama cota. A cada terna ordenada puede

hacerse corresponde un punto del espacio. Ejemplo. P (2,3,3)

Para espacios de ms de tres dimensiones, los puntos no pueden representarse geomtricamente.

Simetra:

Definicin: Dos puntos P y P1 son simtricos con respecto a un tercero O, si ste es un punto

medio del segmento PP1.

Definicin: Dos puntos P y P1 son simtricos con respecto a una recta L, si sta es mediatriz del

segmento PP1.

Definicin: Dos puntos P y P1 son simtricos con relacin a un plano, si ste es normal bisector del

segmento PP1

Con base en estas definiciones, se puede plantear que a todo punto P (x,y,z) del espacio de tres

dimensiones, le corresponde un simtrico P1 (-x,-y,-z) con respecto al origen.

Geometra Analtica A todo punto P(x,y,z) del espacio de tres dimensiones le corresponde un simtrico P1(x,-y,-z) con

respecto al eje X, puesto que este eje es la mediatriz del segmento PP1.

En consecuencia a todo punto P(x,y,z) del espacio de tres dimensiones le corresponde un simtrico

P1 (x,y,-z) con respecto al plano XY, pues un plano normal bisector del segmento PP1. Adems tiene

sus simtricos respecto a los planos YZ P2 (-x,y,z) y en XZ (x,-y,z).

3.2 Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Definicin de segmento dirigido. Componentes

escalares de un segmento dirigido en la direccin de los ejes coordenados. El vector como terna

ordenada de nmeros reales. Definicin de mdulo de un vector e interpretacin geomtrica.

Vector de posicin de un punto. Vector nulo. Vector unitario. Vectores unitarios i,j,k. Vectores

representados por una combinacin lineal de los vectores i, j, k.

Es frecuente encontrarse con cantidades que poseen magnitud y direccin, como la fuerza, la

velocidad, la aceleracin, el desplazamiento, etc. A este tipo de cantidades se les denomina

cantidades vectoriales o vectores.

Y se denominan cantidades escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente

expresadas por medio de un nmero y su correspondiente unidad, como masa, temperatura,

presin y densidad.

Para representar geomtricamente a un vector se utiliza el segmento dirigido, el cual es un

segmento de recta entre dos puntos al que se le asigna un sentido, con un punto inicial llamado

origen y un punto final llamado extremo. Q (extremo)

P (origen)

Los segmentos dirigidos presentan las caractersticas de un vector: direccin, dada por la direccin

de la recta y por el sentido de recorrido (flecha) y magnitud, dada por la longitud del segmento.

Por lo general se usan letras minsculas con una testa para designar a los vectores: .

A fin de describir los vectores desde un punto de vista analtico, es conveniente considerar que dos

vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma direccin, se establece que un vector

no se altera si se mueve paralelamente a s mismo.

Geometra Analtica Bajo la consideracin anterior, el origen de cualquier vector se puede hacer coincidir con el

correspondiente sistema coordenado rectangular, con lo cual es factible establecer una

descripcin de un vector en forma exclusivamente numrica.

Considerando un vector representado grficamente por un segmento dirigido cuyo punto inicial

es el origen del sistema y con punto final ( )

A los tres nmero reales, se les denomina las componentes escalares del segmento

dirigido sobre los ejes coordenados y dado que representa grficamente al vector ,

se dice que estos nmeros son las componentes de dicho vector y de esta forma el vector se

expresa como: ( ), donde es la componente en X, la componente en Y, y

es la componente en Z.

Si se considera ahora a un vector representado geomtricamente por el segmento dirigido

las coordenadas de R y S son respectivamente ( ) ( ) entonces dicho

vector tiene por componente a ( ).

Se puede establecer que si dos vectores son iguales, tienen las mismas componentes; e

inversamente, dos vectores con las mismas componentes son necesariamente iguales en

magnitud y direccin. Se concluye que un vector queda completamente determinado,

especificando, en forma ordenada, los tres nmeros reales que constituyen sus componentes.

Una ecuacin vectorial donde ( ) ( ), es una forma de

representar las siguientes tres igualdades entre nmeros reales.

Mdulo de un vector:

El modulo es la magnitud del vector. El smbolo se utilizar para denotar el mdulo del

vector .

Para deducir la expresin que calcula el mdulo del un vector a partir de sus componentes, se

usa la siguiente figura:

Z

A= (a a a )

O

Y

X

Geometra Analtica

Del tringulo rectngulo OMN N a a

Del tringulo rectngulo OAN

Por lo tanto el mdulo del vector es:

Vector posicin, vector libre.

Se denomina vector posicin aquel que indica la posicin por medio de la lnea recta dirigida

desde la posicin previa a la posicin actual. Lo usual es que el vector une al origen con

cualquier punto P es el vector de posicin P.

DEFINICIN: Sea el punto A en el espacio de tres dimensiones, cuyas coordenadas son

( ) se llama vector de posicin de este punto al representado por el segmento

dirigido que va del origen del sistema a dicho punto.

Designado por al vector de posicin del punto A, sus componentes son:

( ) ( ), como se puede observar, las componentes del vector de

posicin son siempre iguales a las coordenadas del punto.

A=( )

O ( )

A cada punto del espacio de tres dimensiones le corresponde un vector de posicin y

viceversa. En general est correspondencia existe, cualquiera que sea la dimensin del espacio

en que se trabaje.

Un vector libre queda caracterizado por su mdulo, direccin y sentido. Este vector es

independiente del lugar en el que se encuentra. Cada vector fijo es un vector libre, son

vectores equipolentes es decir, que tienen igual mdulo, direccin y sentido.

Un vector nulo es un vector cuyas componentes son cero, esto es: ( ). Este vector

tiene mdulo cero, por eso se llama vector nulo, pero no se le asigna ninguna direccin en

particular. Geomtricamente puede ser considerado como un segmento dirigido para el cual

el origen y el extremo son coincidentes, es decir, son el mismo punto.

Un vector es unitario cuando su mdulo es igual a la unidad. Para cualquier vector diferente

de cero, siempre es posible determinar el vector unitario en su misma direccin. As la

expresin para obtener un vector unitario en el espacio de tres dimensiones es:

( )

Geometra Analtica Los vectores unitarios i, j, k, tienen la direccin de los ejes coordenados y su mdulo es igual a

1. Z

k

j

i Y

X

A los vectores unitarios no se acostumbra testarlos.

En trminos de sus componentes, los vectores unitarios quedan expresados como:

( ) ( ) ( )

As entonces el vector ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

que es una combinacin lineal de vectores unitarios.

Esta expresin define al vector en su forma trinmica.a As la forma trinmica del vector

( ) . Ambas notaciones son equivalentes.

3.2 Definicin de igualdad de vectores. Operaciones con vectores: adicin, sustraccin y

multiplicacin por un escalar. Propiedades de las operaciones.

DEFINICIN: Dados dos vectores en el espacio de n dimensiones,

( ) ( ) es igual a si y solo si, sus componentes

correspondientes son iguales; es decir si y slo si .

Se dice que dos vectores son iguales si sus respectivos segmentos dirigidos tienen la misma

magnitud y direccin.

Geometra Analtica Operaciones con vectores:

Adicin. DEFINICIN: Dados dos vectores en el espacio de n dimensiones,

( ) ( ) la suma es el vector que se obtiene

sumando sus componentes correspondientes. As se tiene:

( )

En esta definicin se llama suma al vector que resulta de aplicar la operacin de adicin entre

los vectores .

La adicin de vectores en el espacio de tres dimensiones se puede interpretar

geomtricamente, a partir del siguiente razonamiento.

El fenmeno de desplazamiento de un cuerpo se puede interprestar matemticamente a

travs de vectores, as si un objeto se desplaza en una trayectoria recta de un punto R a un

punto S, esto queda representado por el segmento . Si posteriormente el mismo objeto se

mueve en lnea recta desde el punto S al punto T, es desplazamiento es . Entonces el

desplazamiento total corresponde a que si se hubiera efectuado uno solo desde el punto R al

T, por lo que el vector es la resultante de los desplazamientos y .

En la siguiente figura se observa que es una diagonal del paralelogramo definido por y

.

T

R S

Propiedades:

1) Cerradura. Si son dos vectores del espacio de n dimensiones, entonces

tambin es un vector de n dimensiones.

2) Asociatividad. Se cumple que:

3) Existencia del elemento idntico. Para la adicin de vectores existe un elemento

idntico que es el vector cero, cuyas componentes son iguales a cero y designado por

( ), y tiene la propiedad que:

4) Existencia de los inversos. Si se tiene un vector , su negativo es , definido como

( ). Entonces se cumple que: ( ) ( ) . Para

cada vector siempre existe su inverso, tal que al sumarlos da como resultado el vector

cero.

5) Conmutatividad. Se cumple que:

Geometra Analtica Multiplicacin por Escalar. DEFINICIN. Si es u mero real (llamado om me e

escalar) y ( ) es u ve or e el espa io de dime sio es el produ o

es el vector obtenido multiplicando cada componente de por es de ir:

(a a a )

Al multiplicar un vector por un escalar, da como resultado un vector del mismo espacio.

Si el escalar es mayor que uno, el resultado de la multiplicacin ser un vector con la misma

direccin del vector, pero con mdulo mayor que el del vector original.

Si el escalar es mayor que cero pero menor que uno, el resultado ser un vector con la misma

direccin pero con mdulo menor.

Cuando el escalar es mayor que menos uno (-1), pero menor que cero se obtendr un vector

paralelo al vector original, pero con direccin opuesta y mdulo menor.

Finalmente si el escalar es menor que menos uno, el resultado ser un vector paralelo al

vector inicial pero con direccin opuesta y mdulo mayor.

Propiedades:

Si 1 y 2 son escalares y son vectores del mismo espacio, se cumplen las siguientes

propiedades:

1) 1 ( ) 1 + 1

2) (1 + 2) 1 2

3) (1 2) 1 (2 )

4)

5) 0 = , 1 = , (-1) =- , - =

Sustraccin de vectores:

DEFINICIN: La sustraccin de vectores se puede definir a partir de la adicin como:

( ) ( ) ( )

La interpretacin geomtrica de la sustraccin de dos vectores, muestra que los vectores se

consideran con origen comn y la diferencia es el vector que va del extremo de . Es decir

se hace la adicin de

Geometra Analtica

Z

3.4 Producto escalar de dos vectores y propiedades. Condicin de perpendicularidad entre

vectores. Componente escalar y componente vectorial de un vector en la direccin de otro.

ngulo entres dos vectores. ngulos, cosenos y nmeros directores de un vector.

Producto escalar de dos vectores:

DEFINICIN

El producto escalar de dos vectores en el espacio de n dimensiones ( ) y

( ) denotado por , es:

El resultado del producto escalar de dos vectores es un escala ( nmero real).

A este producto escalar tambin se le conoce como producto interno o producto punto.

Propiedades.

Dados los vectores e el espa io de dime sio es y el es alar el produ o es alar

tiene las siguientes propiedades:

1)

2)

3) (a ) a

4)

Geometra Analtica Condicin de perpendicularidad.

Dos vectores son ortogonales si y solo si

Geomtricamente se establece que son perpendiculares (ortogonales) si y solo si en el

tringulo descrito se cumple que:

En caso de que los vectores sean iguales a entonces necesariamente se cumple que

En esta situacin, el vector no tiene una direccin definida; sin embargo se ha adoptado que

el vector nulo es ortogonal a todo vector.

Componente escalar y componente vectorial.

DEFINICIN: La componente vectorial de un vector sobre otro vector , que se simboliza

. . es u ve or en el cual es un vector unitario en la direccin de y es

un escalar tal que es ortogonal a . Al es alar se le llama ompo e e es alar de

sobre .

La componente vectorial de sobre est dada por la expresin:

.

El es alar o sea la ompo e e es alar de sobre est dada por la expresin:

Geometra Analtica

. .

Por otro lado del tringulo rectngulo se tiene que:

os

De donde: os

Se debe notar que cuando son ortogonales, se tiene que os y por lo tanto

, que coincide con la proposicin enunciada previamente acerca de la ortogonalidad

de vectores.

Adems, el signo del producto escalar es importante, pues expresa:

i) Si os el ngulo que forman es agudo y, por lo tanto, la proyeccin de

en la direccin de tiene el mismo sentido que el vector que recibe la

proyeccin; es decir .

ii) Si os , el ngulo es de 90 y la proyeccin de en la direccin de es el

vector nulo.

iii) Si os , es obtuso y tiene sentido contrario al de

ngulo entres dos vectores.

Anteriormente se lleg a determinar la expresin:

En la cual el ngulo es el ngulo que forman los vectores al considerarlos en origen

comn.

Al despejar a cos de la expresin anterior se tiene:

os

Es decir que: os

Geometra Analtica ngulos, cosenos y nmeros directores de un vector.

DEFINICIN: Los ngulos directores de un vector , son los ngulos que

respectivamente foma el vector con los vectores unitarios .

k

j

i

Las expresiones para calcular los ngulos directores de un vector, se pueden obtener a partir

de la expresin planteada anteriormente, esto es:

os

os

os

Frecuentemente es ms conveniente trabajar con los cosenos de estos ngulos; a dichos

cosenos se les llama cosenos directores del vector los cuales est dados por las siguientes

expresiones:

Geometra Analtica Los cosenos directores de un vector no pueden ser arbitrarios; y su relacin se puede

establecer como sigue:

Sumando se tiene

Entonces:

Expresin que relaciona a los cosenos directores del vector .

3.5 Producto vectorial: definicin, interpretacin geomtrica y propiedades. Condicin de

paralelismo entre vectores. Aplicacin del producto vectorial al clculo de un paralelogramo.

Producto vectorial, solo es aplicable a parejas de vectores del espacio de tres dimensiones y se

obtiene como resultado otro vector del mismo espacio, representado por

DEFINICIN: Sean dos vectores en el espacio de

tres dimensiones. El producto vectorial que se lee a ruz es defi ido por el ve or:

( ) ( ) ( )

Una representacin ms fcil de recordar el producto vectorial es por medio de un

determinante de tercer orden:

( ) ( ) ( )

En el producto vectorial si son iguales al vector cero, entonces:

( )

Geometra Analtica Propiedades:

Si es u es alar y son dos vectores en el espacio de tres dimensiones, entonces se

cumple que:

1) ( ) ( ) (Anticonmutatividad)

2) ( ) ( ) (Ley Distributiva)

3) (a )

El vector es perpendicular tanto a como a .

Demostracin:

Interpretacin geomtrica.

La definicin del producto vectorial est basada en la regla de la mano derecha que dice:

Cuando es girado hacia de tal manera que los d3edos de la mano derecha giran en la

direccin de la rotacin, entonces el dedo pulgar indica la direccin del vector .

Condicin de paralelismo entre vectores.

Condicin: Dos vectores en un espacio tridimensional, diferentes del vector nulo, son

paralelos si y slo si su producto vectorial es igual a o sea

Esta afirmacin se basa en la expresin los vectores no son nulos y

para que resulte cero, la nica posibilidad es que sen sea igual a 0; o sea igual a 0 o

180 . En ambos casos los vectores son paralelos, slo que cuando =0 los vectores

tienen la misma direccin y cuando =180 tienen la direccin opuesta.

Geometra Analtica Y se deduce que: el producto vectorial de cualquier vector ( ) por si mismo es

igual a

rea de un paralelogramo.

Por medio del producto vectorial, se puede calcular el rea de un paralelogramo, a partir del

siguiente razonamiento.

Considerando un paralelogramo que aloja en dos de sus lados concurrentes a los vectores

tal como se demuestra en la siguiente figura.

h

La altura del paralelogramo est dada por , en tanto que su base es igual a . El rea

del paralelogramo ser entonces igual a que al relacionarla con la expresin

, se deduce que el mdulo del producto vectorial es igual al rea del

paralelogramo en cuyos lados se alojan los vectores es decir:

rea del paralelogramo =

3.6 Producto mixto e interpretacin geomtrica.

DEFINICIN: Dados tres vectores cualesquiera; ( ) ( )

( ), se llama producto mixto de los tres vectores al escalar ( ).

Al calcular el producto mixto, primero se debe efectuar el producto ya que si la expresin

se asocia de otra manera no tiene significado. Dado que es un escalar y el producto

vectorial est definido para dos vectores.

El producto mixto, denominado tambin como triple producto escalar, puede expresarse en

trminos de un determinante de tercer orden:

( ) ( )

Geometra Analtica

Mediante un clculo directo se puede demostrar que:

Si en el determinante se intercambia dos veces sus renglones se obtiene el mismo resultado;

tambin se tiene igual resultado si se vuelve a intercambiar dos veces ms los renglones. Esto

implica que el resultado del producto mixto no se altera al cambiar cclicamente el orden de

los vectores.

Ahora bien, como el producto escalar es conmutativo, se puede escribir:

Cambiando cclicamente el orden de los vectores:

Por lo que se tiene que:

En el producto mixto se pueden intercambiar el punto y la cruz, sin que se altere el resultado.

Por esta razn, en ocasiones se utiliza la notacin para indicar el producto mixto de

los vectores , o sea:

Geometra Analtica Representacin grfica:

Considerando tres vectores cualesquiera , alojados en tres aristas concurrentes de un

paraleleppedo, como se muestra a continuacin.

Como se vio anteriormente, el rea del paralelogramo, cuyos lados concurrentes son los

vectores es . Por otro lado la altura del paraleleppedo en la figura anterior es

, donde es el ngulo entre . En la figura cos es positivo porque

.

Entonces el volumen del paraleleppedo est dada por:

Pero como el producto escalar entre dos vectores es el producto de sus mdulos multiplicados

por el coseno del ngulo, se tiene que:

= Volumen del paraleleppedo.

Cuando el ngulo entre es: , el producto es el negativo del

volumen del paraleleppedo.

Esta interpretacin geomtrica conduce a la conclusin de que la condicin necesaria y

suficiente para que tres vectores, llevados a un origen comn, estn en un mismo plano es que

su producto mixto sea igual a cero, los vectores son coplanares.

Doble producto vectorial:

( ) ( )

( ) ( )

Geometra Analtica

IV. La recta y el plano en el espacio.

4.1 Ecuacin vectorial y ecuaciones paramtricas de la recta. Ecuaciones cartesianas en forma

simtrica y en forma general de la recta.

DEFINICIN: Una recta es el conjunto de puntos P(x,y,z) tales que el vector de posicin de

cualquiera de ellos se puede expresar como la suma del vector de posicin del punto

ms un vector paralelo al vector ; .

Z P L

Po

Y

X

Si el vector es paralelo a , entonces por la condicin de paralelismo entre vectores,

existe un escalar tal que .

Entonces

Considerando que po y estn fijos y que el escalar t (parmetro), puede tomar cualquier

valor en los R; entonces se dice que la recta que contiene a po y es paralela al vector , es el

conjunto de todos los puntos P para los cuales sus respectivos vectores de posicin

satisfacen la expresin , ecuacin paramtrica vectorial o ecuacin vectorial de la

recta.

La o di i para que u pu o P per e ez a a la re a L es dada por: P Po pertenece a L

si y solo si es paralelo a .

El vector ( ) determina la direccin de la recta, por lo que a sus componentes se les

llama nmeros directores de la recta. Cualquier vector paralelo a determinara tambin la

direccin de la recta y se podra utilizar en lugar de que se le llama vector director de la

recta L.

Cualquier terna de nmeros proporcionales a a, b y c tambin pueden utilizarse como

nmeros directores de la recta.

Geometra Analtica Si se quiere determinar la ecuacin vectorial de la recta a partir de los puntos fijos

( ) y ( ) para obtener la ecuacin ya se tiene el vector posicin ,

falta definir el vector que determina la direccin de la recta, por lo cual se debe tomar al

vector como el vector , entonces la ecuacin queda:

( )

En esta ecuacin el valor t=0, corresponde al punto Po, y el valor t=1 corresponde al punto P1,

cuanto t toma los valores en el intervalo de , el punto P describe el segmento de recta que

une a Po y P1. Para valores de t menores que cero o mayores que uno, se obtienen los dems

puntos de la recta.

Z

Po P P1 L

Y

X

Ecuaciones paramtricas:

De la ecuacin vectorial de una recta que contiene al punto Po y al vector director :

Si en esta ecuacin se sustituyen los vectores por sus respectivas componentes se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Por igualdad de vectores, entonces:

Y son llamadas las ecuaciones paramtricas de la recta que contiene el punto P, y cuyo vector

director es .

La recta es el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x,y,z) se determinan respectivamente

por las ecuaciones paramtricas cuando t toma todos los valores reales.

Geometra Analtica Ahora bien, si ninguna de las componentes del vector director es cero, se puede despejar a t

de las ecuaciones paramtricas, obteniendo:

Igualando se obtiene:

Que son las ecuaciones en forma simtrica de la recta que contiene a Po y es paralela a

Si una o dos de las componentes de son nulas, se presentan casos particulares en estas

ecuaciones.

Dado que el vector es paralelo al plano YZ, la recta tambin ser paralela al plano YZ.

Ecuacin de la recta que contiene a dos puntos dados.

Dada la ecuacin vectorial que contiene a los puntos ( ) ( ) y sean

los vectores de posicin .

Al sustituirlos en la ecuacin vectorial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ( ) ( ))

Por igualdad de vectores se tiene:

( ) ( ) ( )

Obteniendo las ecuaciones paramtricas de la recta que contienen a los puntos P y P1.

Si , se puede despejar a t de las ecuaciones:

Ecuaciones de forma simtrica de la recta que contiene a los puntos P0 y P1

4.2 Distancia de un punto a una recta. ngulo entre dos rectas. Condicin de

perpendicularidad y condicin de paralelismo entre rectas. Distancia entre dos rectas.

Interseccin entre dos rectas.

Distancia de un punto a una recta: Sea L una recta que contiene al punto P0 y es paralela a , y

sea Q un punto fijo dado que no pertenece a L.

La distancia del punto Q a la recta L es igual a la longitud del segmento dirigido que es

perpendicular a L y que tiene como punto inicial a Q y como punto final un punto sobre la

recta L.

Geometra Analtica

Z Q

d L

P0

O Y

X

Para calcular el valor de la distancia d, se puede hacer por distintos procedimientos, si se

considera la siguiente figura:

Z Q

d L

P1

P0

O Y

X

Del tringulo rectngulo P0, P1 y Q se tiene:

, donde son los vectores de

posicin de los puntos Q y P0 respectivamente.

Al despejar a d se tiene:

El gulo lo forma la re a y el segme o y es el mismo que forma el vector con

el vector . Por lo que el ( )

Sustituyendo en la expresin de distancia: ( )

( )

Geometra Analtica Expresin que permite calcular la distancia de un punto fijo Q a una recta que pasa por el

punto P0 y es paralela a , aplicando el producto vectorial.

Otro procedimiento para calcular la distancia, sera aplicando el teorema de Pitgoras en el

tringulo rectngulo P0, P1 y Q, quedando expresado de la siguiente manera:

El segmento es la representacin del vector , el mdulo de es la distnaica que

se quiere calcular, y es la componente del segmento sobre la recta L, que es

equivalente a la componente escalar de sobre , esto es:

. ( ) ( )

Por lo que la expresin inicial queda:

(

( )

)

De donde:

(

( )

) Expresin que permite calcular la distancia del punto Q a la recta

L que contiene a P0 y cuyo vector director es , aplicando el producto escalar.

ngulo entre rectas.

Sea L1una recta que contiene al punto P01 y es paralela a , y sea L2 una recta que contiene al

punto P02 y es paralela a .

Z

P01 L1

P02

L2

Y

X

Geometra Analtica El ngulo que forman dos rectas L1 y L2 en el espacio de tres dimensiones, es el ngulo que

forman sus respectivos vectores paralelos .

Y de acuerdo con la definicin sobre ngulo entre vectores, est dado por la siguiente

expresin: os

Condicin de perpendicularidad y condicin de paralelismo entre rectas.

Sean las rectas L1 y L2 paralelas a los vectores respectivamente.

Perpendicularidad: Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando el ngulo que forman

es de 90, es decir cuando el ngulo entre sus vectores directores es de 90.

Esto lleva a que si la expresin os

, y considerando el ngulo de 90, entonces:

De aqu que se tiene la siguiente condicin; dos rectas son perpendiculares si y slo si el

producto escalar entre sus respectivos vectores di

rectores es igual a cero.

Paralelismo: Si L1 es paralela a y L2 es paralela a , y a su vez L1 es paralela a L2, entonces

son vectores paralelos, es decir el ngulo entre es igual a 0 o 180.

De la expresin de lgebra vectorial:

Al considerar un ngulo de 0 o 180, entonces sen =0 por lo que:

De donde:

Entonces dos rectas sern paralelas si y solo si el producto vectorial entres sus respectivos

vectores directores es igual al vector cero.

Se puede afirmar tambin que la recta L1 es paralela a la recta L2, si las componentes de sus

respectivos vectores directores son proporcionales.

Geometra Analtica Coincidencia: Si para las rectas L1 y L2 se satisface la condicin de paralelismo y adems un

punto cualquiera P(x,y,z) de L1 pertenece tambin a L2, entonces las rectas son coincidentes.

Z

L2 L1

P0

Y

Distancia entre dos rectas.

Sean L1 una recta que contiene al punto P01 y es paralela al vector y sea L2 una recta que

contiene a P02 y es paralela a

La distancia entre dos rectas en el espacio de tres dimensiones, es la mnima longitud que

existe entre ambas, medida sobre una perpendicular comn.

Z L

L2 P02

d C2

C1

L1 Y

X

Si L es perpendicular a L1 y L2, entonces un vector director de L, es tambin perpendicular a

, entonces:

El vector que se obtiene de restar los vectores de posicin de los puntos conocidos de L1 y L2,

( ), se traslada paralelamente, de tal forma que su punto inicial coincida con el punto

C1 (interseccin entre L con L2).

Entonces la distancia es igual al valor absoluto de la componente escalar del vector

( ) sobre la direccin de L, que es equivalente a:

Geometra Analtica

. ( ) . ( )

( ) (

Esta expresin permite calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan o intersectan, que

ser cero.

Si las rectas son paralelas, la expresin no tiene solucin, ya que su producto vectorial es igual

a cero. En este caso la distancias entre las rectas es igual a la distancia de una de ellas a un

punto cualquiera de la otra.

Interseccin entre dos rectas.

En el caso de que las rectas sean paralelas y la distancia entre ellas sea igual a cero, entonces

todos sus puntos son comunes, es decir las rectas son coincidentes.

Cuando se sabe que dos rectas se intersectan, se puede determinar el punto de interseccin.

Si el punto P(x,y,z) es el punto de interseccin, entonces sus coordenadas deben satisfacer

simultneamente a las ecuaciones de las rectas, en tal caso se puede hacer la siguiente

igualacin:

Siendo datos entonces las incgnitas son los parmetros

. Esto implica que se tiene un sistema de tres ecuaciones con dos incgnitas, el cual

tiene solucin nica o no tiene solucin.

Se resuelve para dos de las ecuaciones y los valores de satisfacen la tercera ecuacin,

entonces esos valores de son la solucin al sistema. Si no se satisface la tercera

ecuacin entonces el sistema no tiene solucin y en consecuencia las rectas no se intersectan.

Si existe la solucin, entonces al sustituir el valor de en las ecuaciones de L1 o el de en las

ecuaciones de L2, se obtendrn los valores de x, y, z, correspondientes a las coordenadas del

punto de interseccin.

Geometra Analtica 4.3 Ecuacin vectorial, ecuaciones paramtricas y ecuacin cartesiana del plano. Distancia de

un punto a un plano. ngulo entre dos planos. Condicin de perpendicularidad y condicin de

paralelismo entre planos. Distancia entre dos planos. Interseccin entre planos.

La recta en el espacio se defini como el conjunto de puntos P para los cuales, el vector de

posicin de cualquiera de ellos puede expresarse como la suma del vector de posicin de

un punto dado ms un vector paralelo a un vector dado , que analticamente quede

especificado como: .

De forma anloga es en el plano, con la diferencia de que el vector se le suman dos vectores

paralelos a dos vectores dados .

Se partir de las siguientes condiciones: Sea ( ) un punto en el espacio y sean

( ) ( ) dos vectores no paralelos.

DEFINICIN: Un plano en el conjunto de puntos P(x, y, z) tales que el vector de posicin de

cualquiera de ellos se puede expresar como la suma del vector de posicin del punto P0

ms dos vectores paralelos a los vectores respectivamente.

Y queda expresado por la siguiente ecuacin vectorial:

Si r=s=0 entonces la ecuacin se reduce a , lo que indica que el punto P0 pertenece al

plano.

La interpretacin geomtrica es la siguiente:

Z

P0 P

Y

X

Ecuacin vectorial del plano que contiene al punto P0 y que es generado por los vectores

:

Geometra Analtica Plano definido por dos rectas que se intersectan:

Cuando en la ecuacin vectorial del plano, s toma el valor de cero, entonces la ecuacin se

reduce a: que es la ecuacin de una recta que contiene al punto P0 y es paralela a

y est contenida en el plano. Si por el contrario ahora es r el que se anula, entonces queda

, que es la ecuacin de una recta que contiene al punto P0, es paralela a y

tambin est contenida en el plano.

En este caso se han definido dos rectas que estn contenidas en el plano y que se intersectan

en P0 y cuyos vectores directores son los vectores que generan al plano.

Contrariamente dos rectas no coincidentes, que se intersectan en un punto, definen a un plano

cuyos vectores generadores son respectivamente los vectores directores de las rectas.

Plano definido por tres puntos no colineales.

Sean tres puntos ( ) ( ) ( ) que no perteneces a una

misma recta.

Teorema: Si P0, P1 y P2 so res pu os o oli eales e is e u pla o y solo u o que o ie e

a los tres puntos.

Para obtener la ecuacin vectorial de un plano definido por tres puntos los vectores

generadores se pueden determinar restando los respectivos vectores de posicin de los tres

puntos.

Y la ecuacin vectorial del plano queda: ( ) ( )

Ecuaciones paramtricas del plano:

Si en la ecuacin vectorial del plano se sustituyen a los vectores por sus

respectivas componentes se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Por igualdad de vectores se tiene:

Que son las ecuaciones paramtricas del plano que contiene al punto P0 y se genera por

Geometra Analtica Ecuacin cartesiana del plano:

Para establecer la representacin cartesiana del plano, se puede eliminar los parmetros con

las tres ecuaciones paramtricas. Al ser dos parmetros el resultado ser una sola ecuacin.

Por otro lado se puede trabajar con la ecuacin normal del plano, esto es: se obtiene un vector

normal que ser el vector perpendicular al plano, que es generado por , por lo cual

este vector normal ( ) tambin ser perpendicular a .

De esto se obtiene que la ecuacin normal del plano est dada por: ( ) ( ) y

si el plano est definido por tres puntos no colineales, la ecuacin ser:

( ) (( ) ( )) =0

As para o formar u pla o que o ie e al pu o ( ) y cuyo vector normal es

( ).

Al usar la ecuacin normal ( ) , por propiedades del producto escalar, la

ecuacin se puede expresar como:

Sustituyendo los vectores por sus respectivas componentes:

( ) ( ) ( ) ( )

Efectuando los productos escalares:

( )

Si se hace: ( )

Queda: que es la ecuacin cartesiana general del plano.

Ejemplo.

Distancia de un punto a un plano

Sea u pla o que o ie e al pu o P0 y cuyo vector normal es , y sea un punto Q que no

pertenece al plano.

DEFINICIN. La distancia de un plano a un punto Q, es la longitud del segmento dirigido

ortogonal al plano, y cuyo punto inicial es un punto del plano y punto final es Q.

Geometra Analtica Grficamente:

Z

Q

P0 d

P1

Y

X

La distancia es el valor absoluto de la componente escalar del vector sobre :

. . ( )

En el caso particular de encontrar la distancia de un plano al origen, se sabe entonces que el

plano contiene al punto P0 y su vector normal es por lo que:

( )

( )

Recordando que ( )=D, lo que implica que si el plano est dado por su ecuacin

cartesiana, entonces la distancia del origen al plano est dada por:

.

Ahora si el plano contiene al origen, entonces esta distancia ser cero.

expresin que se cumple slo cuando D=0

Entonces la ecuacin cartesiana de un plano que contiene al origen del sistema de referencia

es:

ngulo entre dos planos.

DEFINICIN: El gulo e re los pla os 1 y 2 es el ngulo que forman sus respectivos

vectores normales

Geometra Analtica Sea P01 y el pu o y el ve or ormal que defi e a u pla o 1 y sea P02 y el punto y el

ve or ormal que defi e a o ro pla o 2, y de acuerdo a la expresin para calcular el ngulo

e re dos ve ores se ie e que el gulo e re el pla o 1 y 2 es: os

2

1

Condicin de perpendicularidad y condicin de paralelismo entre planos

Dos pla os 1 y 2 son perpendiculares si y slo si sus respectivos vectores normales son

ortogonales.

Sea el pla o 1 definido por el punto P01 y por el vector normal sea am i el pla o 2

definido por el punto P02 y por el vector normal sern perpendiculares si estos vectores

normales forman un ngulo igual a 90.

Entonces: os

, .

1 2

Geometra Analtica Si en la ecuacin cartesiana de un plano el coeficiente de la variable Z es cero, entonces el

plano es perpendicular al plano coordenado XY.

Esto porque el vector normal del plano debe ser ortogonal a cualquier vector normal a XY,

pero a su vez cualquier vector normal al plano XY es paralelo a la direccin del eje Z, por lo

que su tercer componente es nula y el vector normal del plano es del tipo ( )

De forma anloga se concluye que si en la ecuacin cartesiana de un plano, el coeficiente de la

variable Y o el de la variable X es cero, entonces el plano es perpendicular al plano XZ o al YZ

respectivamente.

Paralelismo.

DEFINICIN: Dos pla os 1 y 2 son paralelos si y slo si sus respectivos vectores normales

son paralelos.

Es decir: lo que es equivalente a que se cumpla tambin que:

Si el pla o es paralelo al pla o XY e o es el ve or ormal a de e ser paralelo a

cualquier vector normal a XY, pero a su vez cualquier vector normal al plano XY es paralelo a

la direccin del eje Z y como consecuencia es ortogonal a la direccin del eje X y a la direccin

del eje Y, de donde sus dos primeras componentes sern nulas es decir: ( ).

La ecuacin cartesiana del plano paralelo al xy es de la forma:

Donde:

Pero ( )

Sustituyendo Z=Z0, donde Z0 es la cota de todos los puntos del plano, por lo que se concluye

que un plano paralelo al plano XY tiene una ecuacin de la forma Z=k, k es constante.

El plano paralelo a YZ se tiene una ecuacin de la forma X=k.

Un plano paralelo al XZ es Y=k.

COINCIDENCIA.

Dos pla os 1 y 2 son coincidentes si y slo si sus respectivos vectores normales son

paralelos y adems e is e al me os u pu o que es o e ido e 1 y 2.

Si sus respectivos vectores normales son paralelos entonces:

Suponiendo que las ecuaciones de los planos son:

: :

Geometra Analtica Y por condicin de paralelismo entre sus vectores normales:

Ahora suponiendo que existe un punto ( ) contenido en ambos planos, las

ecuaciones de los planos quedan como:

De donde:

( ) ( )

Lo que implica que

Distancia entre dos planos.

En el espacio, dos planos se intersectan o son paralelos. En caso de ser paralelos, la distancia

entre ambos estar dada por la distancia de uno de los planos a un punto del otro plano, la

cual se puede calcular por la expresin: ( )

En caso de intersectarse se considera que la distancia es nula.

Interseccin entre planos.

DEFINICIN: La i erse i de dos pla os 1 y 2 es el conjunto de todos los puntos que

per e e e al pla o 1 y al pla o 2.

Si cada punto de la inteseccin de dos planos est contenido en ambos entonces cualquier

punto de la interseccin deber satisfacer las ecuaciones de los dos planos.

Las caractersticas de la interseccin entre dos planos estn dadas por el siguiente teorema.

Teorema: Para dos pla os 1 y 2 se tiene que:

a) Si 1 y 2 son paralelos no coincidentes, entonces su interseccin es el conjunto vaco

1 2 =

b) Si 1 y 2 so oi ide es e o es: 1 2 1 2

c) Si 1 y 2 no son paralelos ni coincidentes, entonces su interseccin es una recta.

A las interse io es de u pla o o los pla os oorde ados se les llama razas del pla o .

Dado u pla o uya e ua i ar esia a es A By Cz D

Geometra Analtica La raza del pla o so re el pla o XY es u a re a o e ida e el pla o XY la o a de

cualquier punto contenido en XY es igual a cero, por lo que haciendo z=0, la ecuacin

ar esia a del pla o es A By D z que ser las e ua io es de la raza del pla o

sobre el plano XY.

A logame e: A Cz D y so las e ua io es de la raza del pla o so re el pla o

XZ.

Finalmente: By+Cz+D=0; x=0; son las ecuaciones de la traza del plano YZ.

4.4 Relaciones entre rectas y planos. ngulo entre una recta y un plano, condicin de

paralelismos y condicin de perpendicularidad. Interseccin de una recta con un plano.

Distancia entre una recta y un plano.

Relaciones entre rectas y planos.

ngulo entre una recta y un plano.

DEFINICIN. El gulo e re el pla o y la re a L es el gulo que forma la re a L o su

proye i or ogo al so re el pla o .

Sea una recta L definida por un punto P0 y su vector director ( ) y sea u pla o

definido por un punto P1 y su vector normal ( )

Se e e der por proye i or ogo al de la re a L so re el pla o la i erse i de o

un pla o perpe di ular a y que o ie e a la re a L.

1

L

L1

E la figura 1 es u pla o perpe di ular al pla o y que contiene a la recta L, la interseccin

del pla o 1 y se ha represe ado por L1 el gulo e re y L es el gulo que hay entre

las rectas L y L1.

Geometra Analtica El ngulo es complementario al que forman los vectores .

L1

As que = 90 -

Para calcular se tiene: os

entonces os( )

Pero: os( )

Finalmente:

Condicin de paralelismos y condicin de perpendicularidad.

Sea u pla o defi ido por u pu o P1 y su vector normal ( ), y sea una recta L

definida por un punto P0 y su vector director ( )

El plano y la recta son paralelos si y solo si el vector normal del plano es ortogonal al vector

director de la recta.

L

Geometra Analtica Perpendicularidad.

El plano y la recta son perpendiculares si y solo si el vector normal del plano es paralelo al

vector director de la recta.

L

L

Interseccin de una recta con un plano.

Para u pla o y u a re a L se ie e.

a) Si y L so paralelos y L o es o e ida e su i erse i es el o ju o va o:

b) Si y L so paralelos y L es o e ida e su i erse i es igual a L:

c) Si y L o so paralelos su i erse i es u pu o. Sea : ( ) :

el pu o P de L es o e ido e si y slo si dado por su ve or de posi i

se cumple que: ( )

Distancia entre una recta y un plano.

Para determinar la distancia entre el plano y la recta, el problema se reduce a calcular la

dis a ia de u pu o de la re a L al pla o . (Distancia de un punto a un plano)

Geometra Analtica V. Curvas en el espacio.

5.1 Ecuaciones paramtricas y ecuacin vectorial de una curva contenida en planos paralelos

a los planos coordenados.

Sean tres funciones reales de una variable real t, ( ) ( ) ( ), cuyos dominios son

respectivamente. Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

Es conjunto de ternas ordenadas con una grfica en el sistema cartesiano.

Para todo nmero t en la interseccin de existe un vector definido por:

( ) ( ) ( )

Para cada valor de t, definir el vector de posicin de un punto; cuando t toma todos los

valores en la interseccin de los dominios, el punto final de la representacin de posicin del

vector traza una curva C.

Z

( ( ) ( ) ( ))

C

Y

X

La ecuacin:

( ) ( ) ( )

Es la ecuacin vectorial de la curva C. Para curvas en situadas en el plano X, Y la componente

dada por ( ) es siempre cero.

Un punto de la curva C tiene la representacin cartesiana (x, y, z) donde:

Geometra Analtica

( ) ( ) ( )

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramtricas de la curva C y a la variable t en funcin

de la cuales estn definidas las variables x, y, z, se llama parmetro.

En la ecuacin vectorial de una curva, as como en sus paramtricas, se puede dar al

parmetro t distintas intersecciones.

Intervalo paramtrico.

Se llama intervalo paramtrico, al conjunto de valores de t para los cuales est definida la

funcin ( ) ( ) ( ) , es decir el conjunto de valores de t que pertenecen al

dominio de la funcin .

5.2 Ecuaciones paramtricas y ecuacin vectorial de las cnicas. 5.3 Ecuaciones cartesianas

de una curva plana en el espacio, obtenidas a partir de sus ecuaciones paramtricas.

Para deducir parejas de ecuaciones paramtricas para algunos casos particulares de curvas

cnicas en un espacio de dos dimensiones, as como sus respectivas ecuaciones vectoriales.

Elipse: Considerando dos circunferencias concntricas de radio a y b, con centro en el origen,

siendo a > b. Se traza una recta cualquiera L que pasa por el origen, formando un ngulo con

la parte positiva del eje X. Esta recta corta a las dos circunferencias en los puntos A y B.

Geometra Analtica

De la figura se tiene que: os

O sea: os que son las ecuaciones paramtricas de la elipse.

Si se toma el vector de posicin del punto P, se puede plantear la ecuacin vectorial

correspondiente. ( ) ( )

Para eliminar el parmetro: , despejando

Sumando estas expresiones se tiene:

Entonces:

, que es la ecuacin cartesiana de la elipse con centro en el origen,

semieje mayor (horizontal) a y semieje menor b.

Circunferencia: Sea una circunferencia con centro en el origen y radio a. Sea el vector de

posicin del punto P de la circunferencia. Se designa con al ngulo que forma el vector con la

parte positiva de eje X.

Y

P(x,y)

y

x X

a

Pero por lo que (Ecuaciones paramtricas)

La ecuacin vectorial correspondiente es: ( ) ( )

Eliminando el parmetro en las ecuaciones de la circunferencia se obtiene la ecuacin

cartesiana:

Geometra Analtica

Hiprbola: Se consideran dos circunferencias concntricas, con centro en el origen y radio a y

b respectivamente, a > b. Se traza una recta M que pasa por el origen y forma un ngulo con

el eje X. C es el punto de interseccin de dicha recta con la circunferencia de radio mayor; se

pasa por C la tangente de dicho crculo, que corta al eje X en el punto D. En el punto B se traza

una paralela al eje Y, que corta a la recta M en el punto E. Se pasa por D una paralela al eje Y y

por E una paralela a X, rectas que se cortan en el punto P, el cual pertenece a la hiprbola con

centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X.

P

Del tringulo rectngulo OCD:

Del tringulo rectngulo OBE:

Por lo que: (ecuaciones paramtricas de la hiprbola)

Si es el vector de posicin del punto P, la ecuacin vectorial correspondiente es:

( ) ( )

Eliminando el parmetro de las ecuaciones paramtricas (mediante la desigualdad

), se obtiene la ecuacin cartesiana:

Geometra Analtica Parbola: Sea una parbola con vrtice en el origen, cuya ecuacin cartesiana es:

Si es el gulo de i li a i de la a ge e a la urva e ualquier pu o.

Aplicando derivada omo a :

Despejando a y:

. Sustituyendo en la cartesiana de la parbola se tiene:

( )

Donde:

Las ecuaciones paramtricas de la parbola:

La ecuacin vectorial correspondiente, est dada por: ( ) ( )

Geometra Analtica VI. Superficies.

6.1 Clasificacin de superficies. Superficies cudricas. Definicin de superficies cilndricas,

cnicas, regladas y de revolucin.

Superficie es el conjunto de puntos y solamente aquellos puntos, cuyas coordenadas

satisfacen la ecuacin de la forma F(x,y,z)=0; se establece que si esta ecuacin representa un

lugar geomtrico, ese lugar es una superficie. Y recprocamente, si una superficie puede

representarse analticamente, tal representacin es una sola ecuacin de la forma F(x,y,z)=0.

Observacin: No todas las ecuaciones de la forma F(x,y,z)=0 representan una superficie.

Clasificacin de algunos tipos de superficies:

- Superficies alabeadas: aquella que no pueden estar contenidas en un plano. Una

superficie que no es plana.

- Superficies cudricas o cuadrticas: las que se representan por una ecuacin de

segundo grado en tres variables. Una seccin plana de una cudrica es una cnica o

una forma degenerada o lmite de sta, y se subclasifican en: esferas, elipsoides,

hiperboloides de uno y dos mantos, paraboloides circulares o de revolucin,

paraboloides elpticos, paraboloides hiperblicos y degeneracin de las anteriores.

- Superficies cilndricas: aquellas que se forman con el movimiento de una recta que se

conserva siempre paralela a un vector dado y que se apoya en una curva fija en un

plano.

- Superficies cnicas: aquellas que se generan con el movimiento de una recta que pasa

siempre por un punto fijo llamado vrtice y que se apoya en una curva fija.

- Superficies regladas: las que pueden generarse por medio de rectas

- Superficie de revolucin: aquellas que se generan con el giro de una curva plana

alrededor de una recta fija en el plano de la curva, llamada meridiana, alrededor de

un eje contenido en el mismo plano. La trayectoria de cada punto de la curva es un

crculo con centro sobre el eje de la superficie.

6.2 Ecuacin vectorial y ecuaciones paramtricas de una superficie cudrica.

Una ecuacin vectorial expresa matemticamente una superficie por medio de una ley que

describe el desplazamiento de un vector de posicin, el cual toca continuamente con su

extremo a dicho lugar geomtrico.

La ecuacin vectorial que representa a un plano en la superficie: , donde:

.

.

Geometra Analtica Para lograr que el vector tenga su extremo en el plano, dicho vector debe poder obtenerse

como la suma del vector ms dos vectores paralelos a los vectores respectivamente,

y an su sentido pero no su direccin. Si un punto no pertenece al plano, al no poder alterar la

direccin de los vectores , no podr alcanzarse con un vector obtenido con esas

caractersticas.

La ecuacin tambin puede escribirse:

( ) ( )

Que es la ecuacin vectorial de la superficie.

Si se sabe que:

Si tiene como componentes (x,y,z), con la sola condicin de que pertenezca al plano, por

igualdad de vectores se pueden establecer las ecuaciones paramtricas de la superficie:

Pero, recordando que tanto la ecuacin vectorial como las ecuaciones paramtricas no son las

nicas expresiones matemticas que representan al plano. La ecuacin cartesiana del plano

es:

Para determinar otrs ecuaciones paramtricas y de all una ecuacin vectorial, se puede

parametrizar haciendo:

Por lo tanto en la ecuacin cartesiana:

( ) que es la tercera de las

ecuaciones paramtricas.

Por lo que se tiene:

( )

que es otra ecuacin vectorial de la superficie.

Para representar paramtricamente o vectorialmente a una superficie, es necesario utilizar

dos parmetros, mientras que para la representacin de una curva se necesita nicamente de

uno.

Geometra Analtica 6.3 Obtencin de la ecuacin cartesiana por el mtodo de las generatrices.

Curva generatriz: Es aquella que cambia de posicin y a vedes de forma para que al apoyarse

o s a eme e e urvas fijas llamadas dire ri es ge ere u a superfi ie. Es a urva ie e

parmetros.

Curva directriz: Es una curva fija que seala la direccin por donde se mueve la generatriz

para formar una superficie. Esta curva no tiene parmetros.

Las ecuaciones de la(s) directriz(ces) y ecuaciones de la generatriz o es dato o por las

caractersticas de la superficie deben obtenerse.

El nmero de parmetros que contengan las ecuaciones de la generatriz debe ser igual al

nmero de directrices ms uno.

La generatriz tiene 2 ecuaciones cartesianas por ser una curva.

Descripcin del Mtodo:

1.- Con las ecuaciones de la generatriz y con las de la directriz uno, se eliminan las variables X,

Y, Z y se obtiene una ecuacin que contiene solo parmetros y constantes. Se le llama ecuacin

de condicin uno.

2.- Con las ecuaciones de la generatriz y las de la directriz dos, se eliminan X, Y, Z y se obtiene

la ecuacin de condicin dos. Se prosigue o odas las dire ri es has a o e er

ecuaciones de condicin.

3.- Con todas las ecuaciones de condicin junto con las ecuaciones de la generatriz, se

eliminan los parmetros, obtenindose una ecuacin que contiene las variables X, Y, Z y

constantes. Esta es la ecuacin de la superficie.

Si en la generatriz figuran n parmetros, para que el problema est determinado deben existir

n-1 ecuaciones de condicin entre los parmetros. La ecuacin de la superficie engendrada se

obtiene eliminando a los n parmetros entre las dos ecuaciones de la generatriz y las n-1

ecuaciones de condicin.

La ley segn la cual la generatriz se desplaza y se deforma en el espacio estar obligando a la

generatriz a tocar constantemente a ciertas curvas fijas llamadas directrices.

Si en las ecuaciones de la generatriz figuran n parmetros, el problema estar determinado si

se tienen n-1 directrices.

Geometra Analtica 6.4 Ecuacin cartesiana de una superficie a partir de una de sus ecuaciones vectoriales.

Ahora se necesita quitar los parmetros, auxilindose por identidades trigonomtricas, se

puede llegar a los trminos X, Y, Z que representan a la ecuacin cartesiana de la superficie.

6.5 Determinacin de las caractersticas de una superficie cudrica (identificacin) a partir de

su ecuacin cartesiana.

Identificacin de una Superficie:

I. Interseccin con los ejes coordenados

II. Trazas con los planos coordenados

III. Simetras: - Ejes coordenados

- Planos coordenados

- Origen

IV. Secciones paralelas a los planos coordenados

V. Representacin Grfica

Preidentificacin de superficies.

Clasificacin de cudricas con centro

Con R positivo:

A, B, C Lugar Geomtrico Todos positivos Elipsoide Todos negativos Ningn lugar geomtrico Dos positivos y uno negativo Hiperboloide de un manto Uno positivo y dos negativos Hiperboloide de dos mantos Uno nulo y dos positivos Cilindro elptico recto, si los dos son iguales es

circular. Uno nulo y dos negativos Ningn lugar geomtrico Uno nulo y los otros de signos diferentes Cilindro hiperblico recto Dos nulos y uno positivo Dos planos paralelos Dos nulos y uno negativo Ningn lugar geomtrico.

Con R nulo:

A, B, C Lugar Geomtrico Todos del mismo signo El origen Dos positivos y uno negativo Cono recto Uno nulo y los otros dos del mismo signo Un eje coordenado Uno nulo y los otros de signos diferentes Dos planos que se cortan Dos nulos Un plano coordenado

Geometra Analtica Cudricas sin centro

Con R positivo:

A, B Lugar Geomtrico Del mismo signo Paraboloide elptico Diferentes signos Paraboloide hiperblico Uno nulo Cilindro parablico recto

Con R nulo:

A, B Lugar Geomtrico Del mismo signo Un eje coordenado Signos diferentes Dos planos que se cortan Uno nulo Un plano coordenado.

La ecuacin ms general de segundo grado en tres variables es:

Suponiendo que a, b y c son constantes positivas.

Si una superficie cudrica es cortada por un plano cualquiera, la curva de interseccin es una

seccin cnica o una forma lmite de una seccin cnica.

La superficie representada por la ecuacin

, se llama elipsoide. La superficie es

simtrica con respecto a cada plano coordenado, a todos los ejes coordenados, y al origen.

Todas las trazas sobre los plano coordenados son elipses.

Geometra Analtica Si cualquiera de los coeficientes en la ecuacin anterior son iguales, se llama elipsoide de

revolucin. En particular, si a>b y c=b, se tiene el elipsoide alargado. Si a>b y c=a se tiene un

elipsoide achatado o esferoide. Si a = b = c, la superficie es una esfera de radio a.

La forma cannica de la ecuacin del hiperboloide de una hoja es:

. Las otras

formas de la ecuacin son:

Estas ecuaciones representan a la misma superficie difieren solamente en sus posiciones con

relacin a los ejes coordenados. Las intercepciones con los eje X y Y son ,

respectivamente. No hay intercepciones con el eje Z.

Geometra Analtica

Las trazas sobre los planos XY es una elipse:

. Traza XZ la hiprbola

, y en YZ, la hiprbola

.

La superficie es simtrica con respecto a todos los planos coordenados, ejes coordenados y al