Geometria analitica shadai crea

Manuel Zegarra Vasco Shadai Crea

Geometría Analítica



GEOMETRIA ANALITICA Introducción:

La geometría analítica es parte de la matemática que tiene por objeto el estudio de

las relaciones entre el algebra y la geometría euclidiana difiere en procedimiento de

la que se estudia en las escuelas secundarias.

La geometría analítica plana incluye el estudio de puntos, rectas, planos, curvas y

superficies en un plano.

La geometría analítica del espacio se compone de puntos, rectas, planos, curvas y

superficies en el espacio tridimensional.

Segmento orientado.

Es la porción de una línea recta comprendida entre dos puntos llamados extremos.

BAAB esto es :

0BAAB

Sistema coordenado lineal:

Es la correspondencia biunívoca que existe entre puntos de una recta y los números

reales.

P2 0 A P1 P

X2 0 1 x1 x

A B AB

AB

A B



Teorema.- En un sistema coordenado lineal la distancia dirigida entre dos puntos

2,22111 , yxPyyxP sobre una recta está dado por:

1221, xxPPd

Teorema.- En un sistema coordenado lineal la distancia no dirigida entre dos puntos

se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos

dos puntos.

21122,1 xxxxppd

Ejemplo 1: Hallar la distancia dirigida y no dirigida entre los puntos

7221 PyP

Resolución :

i) Por el teorema : 527122,1 xxPPd

ii) Por el teorema: 55122,1 xxPPd

Ejemplo 2: Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido

cuyos extremos son los puntos 108 21 pyP

Resolución

P1 P M Q P2

-8 x1 x x2 10



i) Sea 21 xQyxP los puntos de trisección y M(x) el punto medio del

segmento 21PP .

ii) Si 2

1

2

1

PP

PP; entonces PPPP 12 2 Donde:

2

1

2

1

x

x

x

x

Luego: 28210 111 xxx

iii) “Q” es punto medio de 2PP ; entonces: 2QPPQ .

Luego: 4102 222 xxx

iv) “M” es punto medio de 21PP Entonces: 21 MPMP

Luego: 1108 xxx

14;2 MyQP

PROBLEMAS

1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

a). 65 y R : 11

b). 73 y R : 10

c). 128 y R : 4

2. La distancia entre dos puntos es 4, si uno de los puntos es (-1) ; hallar el otro

punto e. interpretar geométricamente el resultado.

R: )5(3 22 PóP

3. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres

partes iguales por los puntos 925 QyP

R: A(-41) y B(7)



4. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos

extremos son los puntos (-7) y (-19).

R: P (-11) Q (-15) M (-13)

5. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres

partes iguales por los puntos: P (-17) Y Q (-5)

R: A(-39) y B(7)

6. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos, cuyas coordenadas

satisfacen a las siguientes desigualdades:

a) 3

2

1

3

5

1

x

x R : 11,4

b) 253 2 xx R : ,33

1,

7. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2). Hallar el otro

punto. (Dos casos).

R: a) 72P b) 112P

8. Un extremo de un segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es (3).

Hallar la coordenada del otro extremo.

R: 142P

9. Sean los puntos 92 21 PyP . Hallar los puntos P y Q que trisecan al

segmento 21PP

R: a) 35P b) 3

16Q

10. La distancia entre los puntos: 5, 21 PPd y uno de los puntos es 22P . Hallar el

otro punto e interpretar gráficamente el resultado.

R: a) 71P ó b) 31P



5.1.3. Sistema de coordenadas rectangulares :

El sistema coordenado rectangular en el plano establece una correspondencia

biunívoca entre cada punto del plano y un par de números reales.

5.1.4. Distancia entre dos puntos :

Teorema: La distancia entre dos puntos cualesquiera 222111,, yxPyyxP

está dado por la fórmula:

212

21221 )()(,( yyxxPPd



Obs: Como caso particular para la distancia de cualquier punto 2, RdeyxP al

origen es expresado por:

22).( yxOPd

Ejemplo: Determinar un punto en el eje de las abscisas que sea equidistante de los

puntos 3,34,0 ByA

Resolución :

Sea oxC , el punto equidistante de los puntos 3,34,0 ByA , entonces:

),(),( CBdCAd y

2222 )3(0)3()40()0( xx A (0,4)

2222 33)4( xx

x2 + 16 = x2 + 6x + 9 + 9

x = -1 / 3 C(x,0) x

)0,3

1(C

B (-3,3)

Ejemplo:

Demostrar que los tres puntos siguientes son colineales:

4,92,5,2,3 CyBA

Resolución

i) Si A, B, y C son colineales se debe cumplir:

ACBCAB

54801664223522

AB



5220416245922

BC

;5618036144243922

AC

entonces: 565254

los puntos son colineales.

PROBLEMAS

1. Demostrar que el triangulo de vértices A(4,7) ; B(-1,-8) ; C(8,-5); es un triángulo rectángulo. Hallar su perímetro y su área.

R : Perímetro = 1012 ; Área = 260 u

2. La abscisa de un punto es -6 y su distancia al punto 743,1 esA . Hallar

la ordenada del punto. R: y= 8 ó y= -2

3. Hallar las coordenadas del punto que equidistante de los puntos fijos

8,37,2,3,4 CyBA R : P (-5,1)

4. Hallar el perímetro de los triángulos cuyo vértice son:

a) 2,7,3,4,5,2 R: 23,56

b) 3,3,1,4,4,0 R: 20,67

c) 3,0,4,3,5,2 R: 20, 74

d) 5,3,2,4,2,1 R: 21,30

5. Demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo:

a) 1,4,2,3,1,0,2,1

b) 1,2,5,1,1,2,5,1

c) 8,4,6,8,2,6,4,2



6. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son :

2,5,3,1,1,2,2,6 DCBA , es un rombo.

Hallar el área. R: Área: 215u

7. Los extremos de una varilla homogénea son A (3,-5) B (-1,1). Determinar las coordenadas de su centro de gravedad.

R: P (1,-2)

8. El centro de gravedad de una varilla homogénea está situado en el punto M (1,4), uno de sus extremos es el punto P (-2,2). Determinar las Coordenadas del otro extremo Q. de la varilla.

R: Q (4,6)

9. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (-1,1) y B

(3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. R: 2311C ó

231,1C

10. Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de los vértices son

isósceles:

a) 6,1,1,3,2,2

b) 7,2,1,8,7,6

5.1.5. División de un segmento en una razón dada

Teorema.-Si 222111 ,, yxpyyxP son los extremos de un segmento 21PP , las

coordenadas del punto yxP , que divide a este segmento en la razón dada.

2

1

PP

PPr ; son: 1;

1,

1

2121 rr

ryyy

r

rxxx



Obs.

i) Si ,0r el punto yxP , es interno al segmento dirigido 21PP .

ii) Si ,0r el punto yxP , es externo al segmento dirigido 21PP .

iii) Corolario.- Si yxP , es el punto medio del segmento que une

222111 ,, yxPyyxP . entonces la razón 12

1

PP

PPr y las

coordenadas son: 2

,2

2121 yyxxP

Ejemplo: El segmento que une A (-2,-1) con B (2,2) se prolonga hasta “C” sabiendo

que ABBC 3 . Hallar las coordenadas de “C”.

Resolución

Si 3:3AB

BCrEntoncesABBC

3AB

BC

AB

BC

yy

yy

xx

xx

3)1(2

2

)2(2

2 yx

)11,14(33

2

4

2C

yx



Ejemplo: Hallar dos puntos 222111 ,, yxPyyxP que dividan al segmento

que une 7,91,3 BconA en 3 partes.

Resolución :

35,5

13

51

2

11

72

11

1

51

2

11

92

13

1:

;2

1

1

11

:1

,11

)

Pyy

xxentonces

BP

PAryxPi

3

1323

13221

721

2

221

923

2

2222

,7

7:

;2:,)2

2

Pyy

xxentonces

ryxPiiBP

PA

PROBLEMAS

1. Hallar las coordenadas de un punto P (x,y) que divida al segmento determinado

por P1 (1,7) y P2(6,-3) en la relación 32r R: P (3,3)

2. Hallar las coordenadas de un punto y)(x, P que divida al segmento

determinado por (-2,1)P1 y )4(3,-P2 en la relación 38r R:

P (6,-7)

3. Los extremos de un segmento son los puntos 4,71P y 4,12P . Hallar la

razón 21 : PPPP en que el punto 2,1P divide al segmento. R: 3r

4. Los vértices de un triángulo son 1,75,3,1,1 CyBA . Si D es el punto

medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC , demostrar que la longitud del

segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC .

R: ACDE2

1



5. El segmento de extremos en 0,14,2 ByA es dividido por los puntos P y Q. En

las razones 3

22

3 y respectivamente. Hallar la distancia .1QPd

R: 25

6. Los extremos de un segmento son 8,22,10 ByA hallar la razón

PB

APr en que el punto aP ,6 divide a este segmento. R: 2r

7. Dados los puntos )3,5()1,2( QyP tales que ABAQAPPB 43;2 . Hallar las

coordenadas de los puntos A y B .

R:

),4(,),1( 37

31 BA

8.Los vértices de un cuadrilátero son )11,6()0,8()1,2(;)6,4( DyCBA .Hallar la

razón PD

BPr en que la diagonal AC divide A ,BD donde P es el punto de

intersección de las diagonales.

R : 5

3

9. Los vértices de un paralelogramo son ,0,82,12,2,4,,0,0 DyCBA M es

punto medio de ACyBMAB ; se intersecan en el punto P de modo que se ce:

.BC

AP

PD

MP Hallar las coordenadas del punto “P”.

R: 3

2,4P

10. Hallar las coordenadas de un punto yxP , que divida al segmento que

determina ),(),( 222111 yxPyyxP en la razón2

1

PP

PPr

a) 2,4,1,3,4 21 rPP R: 35,2P

b). 35,4,1,2,5 21 rPP R: 1,

35P



Área de un polígono de vértices conocidos

Teorema: Sean 333222111 ,,,, yxPyyxPyxP los vértices de un triangulo.

Entonces el área del polígono es:

1

1

1

2

1

33

22

11

yx

yx

yx

S

Ejemplo: Hallar el área del triangulo de vértices A(1,6) B(-3,-4) y C(2,-2)

2201188212642

1

61

22

43

61

2

1uS

Ejemplo: Los puntos A(-1,2) y B(5,2) son los extremos del lado AB de un triángulo de

área 212u . Hallar la ordenada del vértice C.

Resolución :

615AB

Si 462

1

2

11212 2 hhhABuABCS

Luego: 22

62

22

11

yhy

yhy

PROBLEMAS

1.-Hallar el área de los triángulos cuyas coordenadas de los vértices son:

a. 25,18:2,52,4,3,2 uRy

b. 25,24:3,42,6,4,3 uRy



c. 228:5,16,4,2,8 uRy

d. 230:4,10,8,4,0 uRy

e.262:22,46,4,2,2 uRy

f.240:1,53,2,1,3,4,2,5,1 uRy

2.-Los vértices de un triángulo son A(-5,3), B(a,5) y C(-1,-1). Si el área de triángulo es

16 u2, Hallar la suma de los posibles valores de a.

R: -14

3.-El área de un triángulo es S=12u2, dos de sus vértices son los puntos A(-1,8) y B(-

3,2), el tercer vértice puede tomar cualquiera de los siguientes valores: ( x1 ,0) y C

(x2 ,0). Hallar el valor de 21 xx .

R: 8

4.-Dado el triángulo de vértices A(3,7), B(2,-3) y C(-1,4). Hallar la longitud de la

altura trazada de B sobre AC .

R: 7,4

5.-El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos: B(-1,-4) y

C(3,2). Calcular las coordenadas del tercer vértice A; si el área del 226uABC .

R: A(-5,3), Y 5,7'A

6.-El área de un triángulo es S=3u2, dos de sus vértices son los puntos A (3,1) y B (1,-

3); el centro de gravedad de este triangulo está situado en el eje x. Determinar las

coordenadas del tercer vértice C.

R: C(5,2) y

C’(2,2,)



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