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GEOMETRÍA ANALÍTICA

Competencias de la Unidad. Al concluir la unidad serás capaz de:

1. Calcular la distancia entre dos puntos, la división de un segmento de acuerdo a una razón dada, la pendiente de una recta y el ángulo formado por dos rectas. 1. Encontrar la ecuación de las secciones cónicas con centro en el origen, dadas sus

características. 2. Identificar los parámetros que caracterizan una sección cónica a partir de su ecuación

y a partir de su gráfica.

Contenidos de la Unidad.

Sistema de coordenadas: unidimensional y bidimensional. División de un segmento de acuerdo a una razón dada. La línea recta. Pendiente de una recta. Formas de la ecuación de la recta. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Punto de intersección de dos rectas. Secciones cónicas con centro en el origen. (Circunferencia, parábola, elipse e hipérbola).

6.1 Sistema de coordenadas.

6.1.1 Concepto de segmento.

Actividad 1. Observe la figura y diga cuáles son los elementos que reconoce: Identifique los siguientes elementos: 1. Un punto 2. Una recta 3. Un segmento. Si has señalado correctamente, has reconocido tres conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Actividad 2. De acuerdo a la figura de la Actividad 1, cómo se simbolizan los elementos que identificaste? a. El punto A. b. La recta. c. El segmento.

Renato Descartes (1596-1650). Filósofo y matemático. Padre de la Filosofía moderna. Nació en La Haye en Touraine, cerca de Poitiers. Desde 1967 La Haye se llama Descartes en honor al filósofo. Es considerado el creador de la Geometría Analítica.

A B

2

6.1.2 Sistema de coordenadas unidimensional. La recta real. Cuando tu ubicas puntos sobre una recta y le asignas un número real a cada punto, estás estableciendo una correspondencia biunívoca. Concepto de correspondencia biunívoca entre puntos de la recta y el conjunto de los números reales.

En la siguiente figura se ilustra el concepto enunciado:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

ℝ

{ -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 }

Actividad 3. A partir del gráfico anterior determina a que número real corresponden los

siguientes puntos de la recta: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.

Recuerda la observación sobre el significado del símbolo “∞” hecha por C.F, Gauss y que la presentamos en la primera unidad. .

A cada punto de la recta le corresponde un número real y a todo número real le corresponde un punto de la recta.

El conjunto de puntos, en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números reales, se llama sistema de coordenadas unidimensional o recta real (o numérica).

La recta en la se ubican los puntos de acuerdo a la correspondencia biunívoca se llama recta numérica

-∞ 0 -1 1 +∞

La gráfica representa la recta numérica. Ten presente, que se puede dibujar no sólo en forma horizontal, sino que puede estar en cualquier posición.

El número cero se toma, generalmente como origen del sistema de coordenadas unidimensional. Para los objetivos que se persiguen en la Escuela Secundaria, se acostumbra tomar el cero como origen de coordenadas

3

6.1.3 La distancia entre dos puntos en el sistema unidimensional. a. ¿Por qué se usan las barras de valor absoluto?

b. ¿Qué significado tiene la afirmación )( 21PPd ? )( 12 PPd

c. ¿Qué ocurre si los puntos coinciden? Las preguntas anteriores tiene las respuestas siguientes: a. Se usan barras de valor absoluto, porque la distancia entre puntos es una cantidad

positiva.

b. Esta afirmación nos muestra que la distancia entre dos puntos es simétrica. Esto significa que se recorre la misma distancia para ir del punto P1 al punto P2 que del punto P2 al punto P1.

c. Si los puntos coinciden, la distancia entre ellos es cero. Esto significa no moverse del

punto. Nos podemos convencer que la distancia es cero sustituyendo las coordenadas de los puntos en la fórmula que indica el Teorema 1. En efecto:

Si los puntos coinciden, entonces tienen la misma coordenada, y la distancia entre ellos

es: 0)( 1111 xxPPd .

Teorema 1. La distancia entre los puntos P1 y P2, se define como el valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas de los puntos. Si representamos la distancia por

“d”, se escribe: 1221 )( xxPPd o también 2112 )( xxPPd , donde 1x es la

coordenada del punto 1P y 2x es la coordenada del punto 2P

Actividad 4. Analiza con detenimiento el Teorema 1 que se presenta a

continuación.

A todo punto de la recta le corresponde un número real y

a todo número real le corresponde un punto de la

recta

Actividad 5. De acuerdo al teorema 1, responda a las preguntas:

4

Actividad 6. Calcula la distancia entre los puntos P1 (8) y P2 (-2) utilizando la fórmula del teorema 1. a. Aplica el teorema 1 para los puntos dados. b. Realiza el cálculo para la distancia de P2 a P1. c. Compara los resultados. ¿Qué puedes concluir del resultado obtenido? Actividad 7. Calcula la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a. A(-9) y B(+5) b. C(-34) y D(-16). c. E (45) y F (100) d. G (-23) y H(x)

6.1.4 Sistema de coordenadas en dos dimensiones o bidimensional.

Si los conjuntos A y B son los números reales, entonces el par (x,y) se llama par ordenado de números reales. Sobre una recta numérica, a cada punto le corresponde un número real. En un plano, a cada punto le corresponde un par ordenado de números reales. Para representar el producto cartesiano, se traza un eje “x” y un eje “y” perpendiculares entre sí. El eje “x” y el eje “y” se llaman ejes coordenados. En el par ordenado (x, y), los números “x” e “y” se llaman coordenadas del punto (x, y). La coordenada “x” se llama abscisa del punto y la coordenada “y” se llama ordenada del punto. En el lenguaje utilizado en la geometría analítica, también se usa el nombre de plano cartesiano.

Concepto de sistema coordenadas en dos dimensiones o bidimensional.

La intersección 0 de los ejes “x” e “y” se llama origen. A este sistema se le llama sistema de coordenadas cartesianas. También se le llama sistema de coordenadas rectangulares.

I cuadrante

x>0 y y>0

II cuadrante

x<0 y y>0

III cuadrante

x<0 y y<0 IV cuadrante

x>0 y y<0

0 90

Eje x

Eje y

Las direcciones positivas y negativas de las

coordenadas, se muestran en la figura.

Dados dos conjuntos A y B no vacíos, el producto cartesiano de A con B, que se

denota por BA se define:

ByyAxyxBA /),( , los pares (x, y) se llaman pares ordenados.

5

Actividad 8. Ubicar el punto (-5,-3) en un sistema de coordenadas rectangulares.

Solución:

La expresión (-5, -3) se llama par ordenado: Son las coordenadas de un punto en el

plano. Sea x1 la coordenada correspondiente a -5 en el “eje x” y y1 la coordenada

correspondiente a (-3) en el “eje y”.

Actividad 9. Ubicar los siguientes puntos en un sistema coordenado bidimensional.

A(-5, 7) ; B(9, -3) ; C(-8, -5) ; D(0, 0) ; E(2/5, 2).

6.1.5 Distancia entre dos puntos en un sistema coordenado bidimensional.

e. Considera el triángulo rectángulo P1EP2. Es rectángulo en E. A continuación se aplica el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo P1EP2:

2

2

2

1

2

21 ),(),(),( EPdEPdPPd (Teorema de Pitágoras.)

a. En la figura, tenemos el segmento P1P2, b. Las coordenadas del punto P1 son (x1, y1) y las del punto P2 son (x2, y2). c. Traza perpendiculares P1A y P2B a ambos ejes coordenados. d. Sea E(x2,y1) el punto de intersección de los segmentos P1E y P2E. el triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras:

Actividad10. Analiza la deducción de la fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano.

Para ubicar el punto (-5,-3) se traza un

segmento perpendicular a partir del punto

x=-5 en el eje “x” y un segmento

perpendicular a partir del punto y = -3 en el

eje “y”. El punto estará ubicado en la

intersección de los dos segmentos. La

elección de la escala en los ejes en arbitraria.

6

2

2

2

121 ),(),(),( EPdEPdPPd (2

21

2

2

2

21

2

1 ),(),( yyEPdyxxEPd ).

Por la definición de valor absoluto, sabemos que:

22

21

22

21

2

2

22

21

22

21

2

1 )(),()(),( yyyyEPdyxxxxEPd ; por

lo tanto: 2

21

2

2121 ),( yyxxPPd

Esta es la fórmula para el cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano. Actividad 11. Seguidamente se explica un ejemplo de aplicación de la fórmula anterior. Analiza la solución del ejemplo.

Ejemplo: Demuestre que los puntos )33,33(),3,3(),3,3( 321 PPP , son vértices de un

triángulo equilátero.

Aplicando la fórmula encontrada para la distancia entre dos puntos, tenemos que:

2 2

1 2d PP 3 3 3 3 36 36 = 72 6 2

Continúa el ejercicio en tu grupo de trabajo y comprueba que los otros dos lados tienen la misma longitud que la encontrada para el primer lado. Actividad 12. Resuelve el siguiente ejercicio en conjunto con tus compañeros de clase: Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3), (8, 0) y (4, -2) son vértices de un paralelogramo. a. Encuentra las distancias entre los vértices consecutivos y verifica que son congruentes dos a dos. b. Recuerda que un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos y

congruentes dos a dos. Congruente significa que tienen la misma longitud.

Solución: Se calcula la distancia entre cada par de vértices que son las longitudes de los lados. Después se comparan y se comprueba que tienen las mismas longitudes (los triángulos equiláteros tienen sus lados congruentes) Por tanto, hay que demostrar que:

.

.

313221 PPPPPPd

7

Demostración el teorema 2. En la figura puedes observar que los triángulos

PGP1 y FPP2 son semejantes. ¿Por qué?

Por ser semejantes se cumplen las siguientes proporcionalidades:

(1)PF

GP

PP

PP 1

2

1 =r (razón)

Tomando las coordenadas y las distancias correspondientes, obtenemos:

11 xxGP xxPF 2 . De la expresión (1) obtenemos que:

xx

xx

PF

GPr

2

11

12 )( xxxxr

21121212 )1()( rxxrxxrxxrxxxrxrxxxxxr

Despejando “x” de la última igualdad, obtenemos: r

rxxx

1

21 (r -1).

Esta es la coordenada “x” del punto P que divide al segmento 21PP en la razón r (r -1).

Actividad 13. A continuación se presenta un resultado importante en geometría. Estudia con atención su demostración.

D

C B

A

Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces se cumple que:

CDAB y BCAD ; CDAB y BCAD

Teorema 2. Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son los extremos de un segmento P1P2, las coordenadas (x, y) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada

1

2

PPr

PP son: 1 2x rx

x1 r

y 1 2y ryy

1 r, r -1

8

Actividad 14. Intenta realizar la demostración para la coordenada “y” del punto de división: de un segmento

r

ryyy

1

21 (r -1). Se da la siguiente

sugerencia: En la figura puedes observar que los

triángulos PGP1 y FPP2 son semejantes.

¿Por qué? Por ser semejantes se cumplen las siguientes proporcionalidades:

FP

PG

PP

PP

22

1 =r (razón), 1yyPG , yyFP 22 yy

yy

FP

PGr

2

1

2

Despeja “r” de la última igualdad y obtendrás la fórmula buscada para “y”. Actividad 15. A continuación analiza el siguiente ejemplo en el que se aplica el teorema 2. Ejemplo. Los puntos P1 (-4, 2) y P2(4, 6) son los puntos extremos del segmento P1P2. Calcular las coordenadas del punto P(x, y) que divide a este segmento en la razón

221

1

PP

PP.

Solución. Como la razón es negativa (r= -2), entonces el punto de división P es externo. Utilizando el teorema 2 obtenemos:

1221

4)2(4

1

21

r

rxxx ; 10

21

6)2(2

1

21

r

ryyy

Por lo tanto, las coordenadas del punto de división son: P(x, y)=P(12,10). Actividad 16. Ubica los puntos P(x, y), P1 (-4,2) y P2 (4,6) en un sistema de coordenadas. Observarás que el punto P es exterior al segmento P1P2; es decir que no pertenece al segmento.

Calcula las distancias d (PP1) y d (P1P2) y verifica que 221

1

PP

PP.

Actividad 17. Resuelva el siguiente ejercicio: Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A(-4, 8) y B(5, 7). Calcular las coordenadas del punto que divide al segmento en la razón 2/3.

9

6.1.6 Punto medio de un segmento.

Concepto. Consideremos el segmento que une los puntos P1 ( 1x , 2x ) y P2 ( 1y , 2y ).

Encontremos las coordenadas del puntos P(x,y) que divide al segmento P1P2 en una razón r = 1. Solución: Aplicando la fórmula del teorema 2, obtenemos:

211

)1(

1

212121 xxxx

r

rxxx y ,

211

)1(

1

212121 yyyy

r

ryyy

2

21 xxx y

2

21 yyy , nos dan las coordenadas del punto medio del segmento P1P2

. Actividad 18. Encuentre las coordenadas del punto medio de los segmentos unidos por los puntos:

a. P1(-2,3) y P2(-1,2), b. P1(4,5) y P2(6,2), c. P1(-5,7) y P2(-1,8) Calcule las coordenadas del punto de división, si la razón es 1. Grafique el segmento y el punto divisor. ¿A qué conclusiones llega acerca de este punto? Comente. ¿Cómo llamaría a este punto?

6.2 Pendiente de una recta.

a. Perpendiculares cuando el ángulo que forman es de 90°. b. No perpendiculares cuando el ángulo que forman es diferente de 90°. Indicación: En cualquiera de los dos casos, la intersección forma dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Se puede demostrar que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (tienen la misma medida.) Actividad 19. Analiza la siguiente definición y el gráfico.

Definición 1. Se denomina ángulo de inclinación de una recta, al ángulo formado por la recta con la dirección positiva del “eje x”.

Dos rectas en el plano, o son paralelas o se cortan. Al cortarse, la intersección es un único punto. Dos rectas que se cortan pueden ser:

10

En la figura, el ángulo de inclinación de la recta

L1 es y el de la recta L2 es β. Los intervalos en que están contenidos las medidas de los ángulos de inclinación son:

900 y 1800

Actividad 20. Analiza la siguiente definición que tiene una gran importancia para los cursos superiores de Matemática.

1. Si es agudo, la pendiente es positiva. (Si 0 < <90º, entonces m tan >0)

2. Si es obtuso, la pendiente es negativa. (Si 90 < <180º, entonces m tan <0)

3. Si la recta es paralela al “eje x”, la pendiente es 0. (Si =0º, entonces m tan =0)

4. Si la recta es perpendicular al “eje x”, el ángulo de inclinación es de 900 y por tanto la recta no tiene pendiente definida. Explica este hecho. Actividad 21. Lea el siguiente teorema e intente deducir la fórmula para el cálculo de la pendiente “m”. Después estudie su aplicación en el ejemplo.

Definición 2. Se llama pendiente de una recta L, a la tangente del ángulo de inclinación (ángulo formado con la dirección positiva del “eje x”). Se denota por “m”.

Si es el ángulo de inclinación de la recta L, la pendiente de L es: m tan

Teorema 3. Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es:

2 1

2 1

y ym

x x, x2 x1

Es muy importante recordar que la

pendiente de una recta es la tangente del

ángulo de inclinación.

11

Ejemplo: Calcule la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (5, -2). Solución: En Geometría Analítica es conveniente hacer una gráfica con los datos del problema, pues eso nos aclara algunas ideas y dudas acerca del problema. Por el teorema 3:

m = -2 tan = -2 = tan-1(-2) = 1160 14’

.

6.3 Ángulo formado por la intersección de dos rectas.

Se define el ángulo entre L1 y L2, como el ángulo de medida positiva obtenido al rotar la

recta L2 hacia L1. En la figura, el ángulo entre L1 y L2 viene dado por 1. Como los ángulos

1 y 2 son congruentes, sus medidas son iguales. Se puede verificar que la medida del

ángulo 1 es igual la medida del ángulo 1 menos la medida del ángulo 2 ¿Porqué?.

Por lo tanto se cumple que: m 21 m =m 1 (1)

Ahora, veamos como establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la expresión (1) se tiene:

Definición 3. Sean L1 y L2 dos rectas no perpendiculares, cuyos ángulos de

inclinación son 1 y 2 respectivamente. Al cortarse, las rectas L1 y L2 forman cuatro ángulos congruentes dos en dos, esto es:

1 2 y 1 2

Actividad 22. Recuerda la definición de ángulo de inclinación de una recta y en base a ella analiza con tus compañeros la siguiente definición y su explicación.

tan 1 = tan ( 1 - 2) por tanto:

(2)2

,2

,2

,tantan1

tantantan 211

21

211

Recuerda la expresión para la )(Tan

6 ( 2) 8m 2

1 5 4

12

Pero m1 = tan 1 y m2 = tan 2, por lo tanto la igualdad (2) se puede escribir en la forma siguiente:

2,

1tan 1

21

211

mm

mm y 0,

1cot 1

21

211

mm

mm

6.4 Ecuación de la Recta.

6.4.1 Ecuación de la Recta en la forma punto – pendiente

Actividad 23. Estudie el siguiente teorema, con el cual podemos encontrar la ecuación de una recta. Como esta ecuación está dada en función de un punto de la recta y su pendiente, se le denomina ecuación punto – pendiente. Actividad 24. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(8, 5) y tiene pendiente m=2. Solución: Si tomamos x1 = 8, y1 = 5 y aplicando el teorema 4, tenemos:

y – y1 = m(x – x1) y – 5 = 2 x – (-8) y – 5 = 2(x + 8) 2x –y + 21 = 0

6.4.2 Ecuación de la Recta en la forma pendiente – ordenada al origen. Actividad 25. Estudia con atención la siguiente demostración: Sea una recta “L” con pendiente “m” y ordenada en el origen, o sea, la intersección con el eje “y” es “b”, por tanto, el punto (0, b) pertenece a la recta. Aplicando la forma punto – pendiente, la ecuación de esta recta es:

y – y1 = m(x – x1) y – b = m(x – 0) y – b = m x y = mx + b

La ecuación de la recta y = mx + b se llama ecuación de la recta en la forma pendiente-

ordenada al origen.

Teorema 4. La recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente “m”, tiene por ecuación: y – y1 = m(x – x1).

Después de haber estudiado los conceptos básicos de la Geometría Analítica, iniciaremos el tema “ecuación de la recta”.

0

1

º90

º90º90

Cos

SenTan

Si el ángulo de inclinación es de 90º, entonces la tangente no está definida y por lo tanto la pendiente de una recta con ángulo de inclinación 90º no está definida.

13

6.4.3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Actividad 26. Estudie la siguiente demostración y elabore un resumen del procedimiento para aplicarla. En Geometría Analítica, la ecuación de una recta queda definida si se conocen las coordenadas de dos de sus puntos. Por tanto, si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son las coordenadas de dos puntos de la recta “L” y “m” es su pendiente, por la forma punto-pendiente podemos encontrar la ecuación de esta recta:

y – y1 = m(x – x1) y usando la definición de pendiente 2 1

2 1

y ym

x x obtenemos:

2 11 1

2 1

y yy y (x x )

x x que es la ecuación de la recta dados dos de sus puntos.

6.4.4 Ecuación simétrica o canónica de la recta. Actividad 27. Estudie la demostración siguiente y elabore un resumen del procedimiento para aplicarla. Sean dados los puntos (x1, y1)=(a, 0) y (x2, y2)= (0, b). Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados utilizaremos la forma de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Por lo tanto, tenemos que:

2 11 1

2 1

y yy y (x x )

x x y sustituyendo tenemos

0 by 0 (x a)

a 0

abbxayabbxayaxa

by )(

Finalmente, se divide toda la expresión entre ab y se obtiene:

1b

y

a

x

ab

ab

ab

bx

ab

ay. Esta última ecuación es la ecuación simétrica de la recta

6.4.5 Forma general de la ecuación de la recta.

En temas anteriores, se ha mencionado que la ecuación de una recta cualquiera en el plano coordenado, es la ecuación lineal Ax + By +C = 0, que es una ecuación de primer grado con dos variables (por eso se le llama ecuación lineal), donde A o B deben ser diferentes de cero y C puede o no ser igual a cero.

Definición 4. La ecuación Ax + By + C = 0 se llama forma general de la ecuación de

una recta. .0,0 BA

Actividad 28. A continuación se presenta la forma general de la ecuación de la recta.

14

Actividad 29. Encontrar la pendiente de una recta a partir de la ecuación general. Solución: De la ecuación general Ax + By +C = 0, obtenemos:

A

Cx

B

AyCAxByCByAx 0 , esta última ecuación tiene la

forma bmxy , por lo tanto la pendiente es: B

Am . m es el coeficiente de “x”.

6.4.6 Posiciones relativas de dos rectas. Paralelismo perpendicularidad. Actividad 30. Estudie los criterios de paralelismo y perpendicularidad expresados en el siguiente teorema y elabore un cuadro resumen del contenido del teorema y de las observaciones.

6.4.7 Cálculo de la distancia de un punto a una recta. Actividad 31. Analice con su grupo de estudio, el siguiente teorema y el ejemplo de aplicación, después elabore un resumen de su procedimiento de aplicación.

Teorema 5. Perpendicularidad y paralelismo. Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:

L1 es paralela a L2 (L1 || L2) m1 = m2.

L1 es perpendicular a L2 (L1 L2) m1m2 = -1

Teorema 6. La distancia de la recta Ax + By + C = 0 al punto P1(x1, y1) se obtiene por la expresión:

22

11

BA

CByAxd

Es muy importante recordar que la distancia o es un

número real positivo o es cero.

15

Ejemplo. Encontrar la distancia del punto P (1, 2) a la recta x – 3y + 3 = 0.

Solución. Aplicando el teorema 6 con A = 1, B = -3 y C = 3, obtenemos:

6.5 Coordenadas del punto de intersección de dos rectas. Las coordenadas “x” e “y” del punto de intersección (en el caso que no sean paralelas) de dos rectas coplanares, son la solución del sistema de dos ecuaciones con dos variables:

(1) 0

0

222

111

CyBxA

CyBxA, la solución es:

Actividad 32. Estudie con su grupo el siguiente ejemplo y emplee un método para resolver el sistema de ecuaciones. Elabore un resumen del procedimiento empleado. Ejemplo. Encontremos el punto de intersección de la recta L1: 3x + 2y –10 = 0 con la recta L2: 5x + 2y – 6 = 0. Solución: El punto de intersección de las rectas es el punto (x, y), que es la solución del sistema de ecuaciones:

Resuelve el sistema.

10

2

10

2

10

361

)3(1

3)2)(3()1)(1(

22d

Por consiguiente tenemos que la distancia es:

10

2d

22

11

22

11

BA

BA

BC

BC

x

22

11

22

11

BA

BA

CA

CA

y

Compara con la Regla de Cramer.

3x 2y 10 0

5x 2y 6 0

En la gráfica

puedes observar

que la solución

corresponde al

punto de

intersección de las

rectas P(-2,8).

x= -2 y y=8,

16

6.6 Secciones cónicas con centro en el origen.

Concepto de Sección Cónica.

Recuerda que en geometría no tiene sentido

utilizar la frase “lugar geométrico de puntos”.

Las definiciones en geometría deben construirse

utilizando la frase “conjunto de puntos”

Esta aclaración es muy importante.

Apolonio de Perga. (262-190 A.C.) Fue conocido como "El gran

geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral. Estudió en Alejandría y luego visitó Pérgamo, en donde han sido construidas una biblioteca y una

universidad semejantes a la de Alejandría.

Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono. Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vértice: un punto, una línea o 2 líneas intersectadas

Secciones de un cono

17

6.7 La circunferencia.

6.7.1 Ecuaciones de la circunferencia.

Actividad 33. Hallar la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio 3.

Solución: La ecuación es de la forma 222 ryx . Entonces, sustituyendo el valor del

radio, obtenemos:

93 22222 yxyx

Actividad 34. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (7,-6) y que pasa por el punto (2,2). Solución: Paso 1: Encontramos primero el radio. Para esto, calculamos la distancia entre los puntos (7,-6) y (2,-2). Recuerde que la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro, es el radio.

.89896425262722

rr

A continuación, sustituimos el radio y las coordenadas del centro en la ecuación=

89)6()7()89()6()7()()( 22222222 yxyxrkyhx

,

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro es el radio.

La ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r, está dada por: 222 )()( rkyhx , Si el centro es el origen de coordenadas, entonces la ecuación

se reduce a: 222 ryx

Sección de un cono

r: es el radio. o: es el centro.

18

Actividad 35. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y centro en el punto de

intersección de las rectas 0=9+7y+2x 0,=24-2y-3x .

Solución: Paso 1: Encontramos las coordenadas del centro. Para esto, resolvemos el sistema de ecuaciones lineales dadas; ya que el centro se encuentra en el punto de intersección de las rectas. El sistema de ecuaciones es:

Por lo tanto las coordenadas del centro son (6,-3). Entonces, la ecuación de la

circunferencia es: 253622

yx . Trazar la gráfica.

Actividad 36. Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Una cuerda de la circunferencia 2522 yx está sobre la recta cuya ecuación es

0=25+7y-x . Halle la longitud de la cuerda.

2. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 0=53+8y-28x4y4x 22

3. Determinar el centro, el radio y ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

a. 0) (7, 6), (3, 0), (0, b. 3)- (-2, 7),- (0, 1),- (4, c. 6). (4, 4), (-1, 2),- (2,

4. Determine si las ecuaciones 0=710y+6x-2y2x 22; 0=538y-28x4y4x 22

y 0=177+8y64x-16y16x 22representan o no una circunferencia. Si la respuesta es

afirmativa, halle su centro y su radio.

5. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia 0 =39-2y -2xy + x 22en el

punto (4,5).

6. La ecuación de una circunferencia es 364322

yx . Demostrar que el punto

(2, -5) es interior a la circunferencia y que el punto B (-4,1) es exterior.

Este sistema lo puedes resolver por los métodos que se

estudiaron en la Unidad 2. La solución es: 3,6 yxS )2(972

)1(2423

yx

yx

19

6.8 La parábola.

6.8.1 Ecuaciones de la parábola. En la siguiente tabla se presentan las diferentes formas de la ecuación de la parábola:

Vértice Foco Directriz Ecuación Descripción

(0,0) (p, 0) x= -p pxy 42 Abierta hacia la derecha.

Eje simetría, el eje x.

(0,0) (-p, 0) x=p pxy 42 Abierta hacia la izquierda.

Eje de simetría, el eje x.

(0,0) (0, p) y= -p pyx 42 Abierta hacia arriba.

Eje de simetría, el eje y.

(0,0) (0,-p) y=p pyx 42 Abierta hacia abajo.

Eje de simetría, el eje y.

(h,k) (h+p ,k)

x=h-p )(4)( 2 hxpky Abierta hacia la derecha.

(h,k) (h-p ,k) x=h+p )(4)( 2 hxpky Abierta hacia la izquierda.

(h,k) (h, k+p)

y=k-p )(4)( 2 kyphx Abierta hacia arriba.

(h,k) (h, k-p) y=k+p )(4)( 2 kyphx Abierta hacia abajo.

Actividad 37. Analiza la solución del siguiente ejercicio: 1. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco es F (-3,0) y la ecuación de la

directriz es x=3. Grafica la parábola a partir de la ecuación obtenida.

Una parábola es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (D).

F: Es el foco de la parábola.

V: Es el vértice de la parábola.

D: Es la directriz de la parábola.

Lado Recto p4 : Es el segmento que pasa

por el foco y es perpendicular al eje de

simetría.

d(FP)=d(PE). La distancia del vértice al

foco es igual a la distancia del vértice a la

directriz y se denota por “p”.

20

Solución Justificación

Actividad 38. Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del

lado recto para la parábola de ecuación yx 122. Gráfica la parábola.

Actividad 39. Hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y la

longitud del lado recto de la parábola con ecuación 7120484 2 yxy . Grafica la

parábola. Actividad 40. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz y la longitud del lado

recto de las siguientes parábolas con ecuaciones:

a. yx 169 2 c. 10202 xy e. xy 32 2

g. 01672249 2 yxx

b. yx 162 d.

28 yx f. yx 32

2. Hallar la ecuacion de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4,3) y (-1,3),

respectivamente. Halle también la ecuacion de la directriz y de su eje focal. 3. Hallar la ecuacion de la parábola a partir de los datos siguientes: a. F(3,4), directriz x-1=0 b. V(2,0), F(0,0) c. V(0,0), F(3,0) d. V(0,0), directriz y-5=0

) a (x,y), (- 03de Distancia 2222 303 y)(x)(y)(x

),3(de Distancia y (x,y) a 222 33 )(xy)(y)(x-

22

222 33 )(xy)(x

222 )3(3 xy)(x

9696 222 xxyxx

xy 122

Inverso aditivo de “y”

Eliminando la raíces.

Reduciendo términos semejantes.

Desarrollando los cuadrados

21

Actividad 41. Parea cada grafica con su respectiva ecuacion:

0133102 yxx

-4 -2 0 2 4

10

20

x

y

1. 1.

042 yx

-14-12-10 -8 -6 -4 -2 2 4

-20

-10

10

x

22. 2.

0322 xy

2 4

-2

-1

0

1

2

x

y

3. 3.

022 xy

-2 2 4

-2

-1

1

2

x

y

4. 4.

-4 -2 0 2 4

-6

-4

-2

xy

02 yx5. 5.

22

6.9 La elipse.

6.9.1 Concepto de elipse.

Focos: Son los puntos fijos F1 y F2.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento F1F2.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes. En este caso es el origen.

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes.

Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Relación entre la distancia focal y los semejes: 222 cba .

Lado recto. Es el segmento de recta pependicular al eje focal y que pasa por el foco (focos).

Excentricidad de la elipse (e). Es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

10,, eaca

ce

Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijo F1 y F2 llamados focos, es constante.

V2

Centro Eje mayor Focos Vértices Ecuación

(0,0) A lo largo del eje x.

)0,(c )0,(a 222

2

2

2

2

0,1 cbaybab

y

a

x )0,( c )0,( a

(0,0) A lo largo del eje y.

),0( c ),0( a 222

2

2

2

2

0,1 cbaybab

x

a

y ),0( c ),0( a

23

6.9.2 Ecuaciones de la elipse con centro en el origen. Actividad 42. En esta actividad se presentan las soluciones de dos ejercicios que se refieren a elipses con eje mayor en el “eje x” y con eje mayor en el “eje y”. Encontrar el centro, focos, vértices, longitud del eje mayor, longitud del eje menor y la excentricidad de las elipses con ecuaciones:

a. 11625

22 yx b. 3649 22 yx

Solución del inciso a:

Paso 1: La ecuación 1125

22 yx tiene la forma de la ecuación de una elipse con centro

en (0,0) y eje mayor sobre el “eje x”. Por lo tanto, tenemos:

5252 aa y 4612 bb ,

Paso 2: Para encontrar la distancia del centro al foco, usamos la relación entre a, b y c

para la elipse, que viene dada por 222 cba . Tenemos que:

3916252222 ccbac

La longitud del eje mayor es 2a = 2(5) =10. La longitud del eje menor es 2b = 2(8)= 16.

Los focos son: )0,(1 cF y )0,(2 cF , por lo tanto: )0,3(1F y )0,3(2F .

Los vértices son: )0,(1 aV y )0,(2 aV , por lo tanto: )0,5(1V y )0,5(2V .

El centro es el punto (0,0).

La excentricidad es a

ce =

5

3.

Paso 3: Gráfica de la elipse.

Lado Recto Lado Recto

24

Solución del inciso b:

Paso 1: La ecuación dada es 3649 22 yx . Transformamos la ecuación a la forma

ordinaria dividiendo entre 36:

19436

36

36

4

36

92222

yxyx

Esta es la ecuación de una elipse con centro en el origen. Paso 2: El eje mayor se encuentra sobre el “eje y”. El el eje menor se encuentra sobre el “eje x”.

392 aa y 242 bb (a > b)

Para una elipse se cumple que 5492222 ccbac .

La longitud del eje mayor es: 2a = 2(3)=6; la longitud del eje menor es: 2b= 2(2) =4.

Las coordenadas de los focos son: ),0(1 cF y ),0(2 cF , por lo tanto: )5,0()5,0( 21 FyF .

Las coordenadas de los vértices son: ),0(1 aV y ),0(2 aV . Por lo tanto: )3,0(1V y )3,0(2V .

La excentricidad es e=3

5.

Paso 3: Gráfica de la elipse. Actividad 43. Basado en las soluciones de los ejercicios de la actividad anterior, resuelve los siguientes ejercicios:

1. Encontrar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0), (-4,0) y los focos (-3,0) y (3,0).

2. Encontrar la ecuación y excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen,

uno de sus vértices es (0,-7) y pasa por el punto 3/14,5

V2

V1

Lado Recto

Lado Recto

25

3. Encontrar el centro, coordenadas de los focos, coordenadas de los vértices, longitud del eje mayor, longitud del eje menor y la excentricidad en las elipses con ecuaciones:

a. 1164

22 yx b. 3694 22 yx c. 4002516 22 yx

4. Determine una ecuación para la Elipse, que satisfaga cada una de las condiciones

dadas:

a. C(0,0) 0,8,0,5 VF

b. C(0,0) 5,0V , eje menor de longitud 3.

c. Eje mayor horizontal de longitud 8 y eje menor de longitud 5.

6.10 La hipérbola.

6.10.1 Concepto de hipérbola.

Focos: Son los puntos fijos F1 y F2.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices: Los puntos V1 y V2 que son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. d(F1F2)

Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a. d(V1V2)

Eje menor: Es el segmento de longitud 2b. d(B1B2)

aPFdPFd 2)()( 21

Sección de un cono

Elementos de la hipérbola

Una hipérbola, es el conjunto de puntos del plano cuya diferentas de distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es constante.

26

Rectángulo fundamental: Rectángulo cuyos vértices pertenecen a las rectas tangentes a la hipérbola.

Asíntotas: Son las líneas rectas que contienen a las diagonales del rectángulo fundamental y sus ecuaciones son:

xa

byx

a

by ,

Relación entre los semiejes: 222 bac

Excentricidad: Número que mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

1,, eaca

ce

6.10.2 Ecuaciones de la hipérbola con centro en el origen. Centro Eje focal Focos Vértices Ecuación Asíntotas

(0,0) A lo largo del eje x. )0,(c )0,(a 1

2

2

2

2

b

y

a

x

xaby )/(

xaby )/( 222 bac

)0,( c )0,( a

(0,0) A lo largo del eje y. ),0( c ),0( a 1

2

2

2

2

b

x

a

y

xbay )/(

xbay )/( 222 bac

),0( c ),0( a

Actividad 44. Analiza detenidamente las soluciones de los ejercicios siguientes: Encontrar los focos, centro, vértices, excentricidad, ecuaciones de las asíntotas y la gráfica de las hipérbolas con las ecuaciones siguientes:

a. 149

22 xy b. 1

49

22 yx c. 01616124 22 xyxy

Solución del inciso a.

Paso 1: La ecuación es 149

22 xy. Es una hipérbola con centro en el origen y “eje y”

como eje focal. El término positivo nos permite determinar la ubicación del eje de la hipérbola. En este caso, el eje de la hipérbola se encuentra sobre el “eje y”. Paso 2: De acuerdo con la ecuación tenemos que:

392 aa , 242 bb

27

El valor de “c” lo encontramos a partir de la relación 222 bac .

1313492 cc

Las coordenadas de los focos son: ),0(1 cF y ),0(2 cF , )13,0(1F y )13,0(2F .

Las coordenadas de los vértices son: ),0(1 aV y ),0(2 aV , )3,0(1V y )3,0(2V .

La excentricidad es: 3

13

a

ce .

Las ecuaciones de las asíntotas: xyxyxa

by

3

2,

3

2.

Paso 3: Gráfica de la hipérbola. Solución del inciso b.

Paso 1: La ecuación dada es: 149

22 yx. El término positivo nos permite determinar la

ubicación del eje de la hipérbola. En el caso que nos ocupa, el eje de la hipérbola se encuentra sobre el “eje x”. Paso 2: De acuerdo con la ecuación, tenemos que:

392 aa y 242 bb

El valor de “c” lo encontramos a partir de la relación 222 bac .

1313492 cc

Las coordenadas de los focos son: )0,13(1F y )0,13(2F .

Las coordenadas de los vértices son: )0,3(1V y )0,3(2V .

La excentricidad es: 3

13

a

ce

Asíntota xy3

2

Asíntota

xy3

2

28

Las ecuaciones de las asíntotas son: xyxyxa

by

3

2,

3

2

Paso 3: Gráfica de la hipérbola. Actividad 45. Hallar la ecuación estándar de la hipérbola que tiene las características siguientes:

a. )3,0(3,0 21 FyF , )2,0(2,0 21 VyV b. )0,4(0,4 21 FyF , 2e

Solución del inciso a.

Las coordenadas de los focos son: )3,0(3,0 21 FyF y las coordenadas de los vértices

son: )2,0(2,0 21 VyV .

Paso 1: La información suministrada nos indica que la hipérbola está sobre el eje y, el

centro es el origen, por lo que la ecuación estándar tendrá la forma: 12

2

2

2

b

x

a

y,

Paso 2: 42 2aa (“a” es la distancia del centro a los vértices).

93 2cc (“c” es la distancia del centro a los focos).

52222 bacb (Por la relación entre a, b y c).

Paso 3: 154

22xy

(Sustituyendo los valores de a y b).

Actividad 46. Encuentra da ecuación de la hipérbola según los datos del inciso b. La solución del inciso a te servirá de apoyo. Actividad 47. Encontrar los focos, eje transverso, centro y vértices de las hipérbolas con ecuaciones:

a. 13616 22 yx b. 149

22xy

c. 11625

22 yx e. 122 xy d. 0,3V y 0,5F

Asíntota xa

by

Asíntota a

by x